VECTORES

Capítulo 03

Contenidos:

● Escalares y vectores● Sistemas de coordenadas● Algunas propiedades de los vectores● Componentes de un vector● Vectores unitarios

Vectores

Las magnitudes físicas fundamentales que estudiamos en el capítulo de introducciónson tales que están determinadas por medio de un único número. Llamaremos a este tipo de magnitudes escalares.

Existe otro tipo de magnitudes físicas que están determinadas por más de un único número. Ellas son las magnitudes quedenominaremos vectores.

Vectores

Algunos ejemplos de magnitudes escalares son:

Temperatura

Resistencia eléctrica

Diferencia de potencial

Presión

Vectores

Algunos ejemplos de vectores son:

Fuerza: coloquialmente hablamos de cuánta fuerza ejercemos y de hacia dónde y dóndela ejercemos.

Velocidad: acostumbramos hablar de qué tan rápido nos movemos y hacia dónde.

Desplazamiento: decimos cuánto nos hemosmovido y hacia dónde.

Vectores

De los tres ejemplos anteriores se ve que los vectores tienen algunos elementos en común:

● Están completamente definidos por más de un número o valor.

● Intuitivamente están asociados a las ideas de magnitud y dirección.

● En este capítulo, estas nociones lasformularemos matemáticamente.

Vectores

Comenzaremos considerando el concepto de posición

Podemos indicar un punto por un par de coordenadas (x,y) en un sistema de coordenadas cartesiano, como en la figura:

Ahora, podemos imaginar que en el punto P(4,2) se encuentra un objeto.

Decimos entonces, que la posición de dicho objeto está descrita por el punto P cuyas coordenadas son x = 4m e y = 2m

Vectores

Como vemos, se requieren dos números, x = 4 m e y = 2 m, para determinar e informar la posición de un objeto.

Notemos que, en el ejemplo, el objeto está sobre un plano.

En general, se requieren más de dos números para establecer la posición de un objeto. Por ejemplo, en el espacio.

Vectores

Dos cuadras: idea de la distancia entre dos puntos. Cantidad de cuadras que se debe recorrer para llegar a la posición deseada.

Hacia el centro: idea de la dirección en la que se debe caminar para llegar a la posición deseada.

En algunas situaciones usamos coordenadas, indicamos, por ejemplo, la “intersección de un par de calles”. En otras situaciones decimos“dos cuadras hacia el centro”.

Vectores

Matemáticamente, ¿de dónde proviene nuestra noción de la vida diaria en la que se indica la posición de un objeto por medio de qué tan lejos se encuentra y en quédirección?

Distancia desde el origen0 hasta el punto P:

Ángulo formado por la flecha, con respecto al eje x:

Vectores

x

y

P(x0 , y0)

x0

y0

0

r 2 20 0r x + y=

( )10 0tan /θ y x−=

Podemos indicar la posición de cualquier punto por medio de los valores de r y del ángulo θ

Decimos que la flecha que comienza en el origen 0y termina en el punto P representa gráficamente a un vector.

El largo de la flecha se llama módulo del vector.

El ángulo que el vector forma con respecto al eje x es su dirección.

Definición de vector

r

x

y

P(x0 , y0)

x0

y0

0

Algunos ejemplos de magnitudes físicasvectoriales que estudiaremos en el transcurso de esta asignatura:

Desplazamiento Velocidad

AceleraciónFuerza

Torque Momento lineal

Momento angular

...

Vectores

Consideraremos dos vectores como equivalentes cuando sus módulos y direcciónes sean iguales

Los vectores A y B son equivalentes, tienen igual módulo y dirección.

Los vectores A y C no son equivalentes,tienen la misma dirección, pero su módulo es distinto.

Los vectores A y D no son equivalentes,tienen el mismo módulo, pero sus direcciones son distintas.

Los vectores A y E no son equivalentes,difieren tanto en módulo, como en dirección.

x

y

A

B

C

D

E

Equivalencia de vectores

Equivalencia de vectores

El transporte de A paralelo al eje x produce un nuevo vector equivalente B

El transporte de A paralelo al eje y produce un nuevo vector equivalente B

Ejemplo:

x

y

A B

0 x

y

A

B

0

Suma de vectores

La suma de vectores es Conmutativa

Multiplicación por un Escalar

Al multiplicar un vector por un número (un escalar) obtenemos un nuevo vector, con la misma dirección que el inicial, pero con una longitud distinta.

x

y

A

0 x

y B = αA

0

Multiplicación por un Escalar

α = − 1Con la elección:hemos invertido el vector

Ejemplo:

x

y

A

0

B = −A

x

y

0

Substracción de vectores

Substracción de vectores

Hemos visto gráficamente algunas operaciones sobre los vectores. Sin embargo, para nuestros estudios posteriores necesitaremos una descripción analíticade los mismos.

Tienen la dirección positiva del eje

Son perpendiculares (ortogonales)

Tienen módulo uno (adimensionales)

Definiremos los vectores y , los cuales tienen las siguientestres propiedades:

i j

Vectores unitarios

x

y

i

j0

Descomposición de vectores

A = Ax + Ay

De la suma de vectores sabemos que:

De la multiplicación porun escalar sabemos que

Ax ax iAy ay j

Luego:

A ax i ay j

x

y

A

Ax

Ay

i

j

0

Todo vector puede ser descompuesto como unasuma de los vectores unitarios multiplicados porla componente escalar de cada eje.

Por ejemplo, en la figura:

A 6 i 4 j

y

ij

A

ax

ay

x0

A ax i ay j

Operaciones con vectoresConsideremos los vectores:

A ax i ay j B bx i by j

Suma de vectores:

( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ x y x yC A+ B a i + a j + b i + b j= =

( ) ( )ˆ ˆ x x y yC a + b i + a + b j=

ˆ ˆ x yC c i + c j=

Operaciones con vectoresResta de vectores:

( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ x y x yC A B a i + a j b i + b j= − = −

( ) ( )ˆ ˆ x x y yC a b i + a b j= − −

ˆ ˆ x yC c i c j= +

O sea, que para la suma y resta de vectores, se tiene:

x x x y y yc a b c a b= ± = ±

Multiplicación de un vector por un escalar:

( )ˆ ˆ x yC αA α a i + a j= =

ˆ ˆ x yC c i + c j=

( ) ( )ˆ ˆ x yC αa i + αa j=

O sea, que para este caso, se tiene:

x x y yc a c aα α= =

Producto Escalar de dos vectores

El producto escalar de dos vectores y es una cantidad escalar igual al producto de las magnitudes de los dos vectores y el coseno del ángulo entre los dos vectores.

( )A B ABcos θ⋅ =

A B

Proyección de sobre A B

θ

A cos θB

Aθ

B cos θ

AB

Proyección de sobre B A

Se cumplen las siguiente propiedades:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1i i j j k k⋅ = ⋅ = ⋅ =

El producto escalar entre vectores unitarios es:

( ) A B + C A B + A C⋅ = ⋅ ⋅ Distributiva

Conmutativa A B B A⋅ = ⋅

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0i j j k k i⋅ = ⋅ = ⋅ =i

j

k

z

x

y

( ) A λB λ A B⋅ = ⋅ Asociativa

x x y y z zA A A A + A A + A A⋅ =

2 2 2x y zA A A + A + A⋅ =

2A A A⋅ =

ˆ ˆ ˆx y zA A i + A j + A k= ˆ ˆ ˆ

x y zB B i + B j + B k=

Si los vectores están expresado en componentes:

Entonces, se define el producto escalar como:

Caso particular: A B=

x x y y z zA B A B + A B + A B⋅ =

Si conocemos la magnitud de un vector, |A|, y su dirección, el ángulo θ, entonces podemos calcular sus componentes de la siguiente forma:

Inversamente, si conocemos sus componentes podemos calcular su módulo y su dirección, de la siguienteforma:

y

ij

A

ax

ay

xθ

|A|

0

ax = |A|cos(θ)

ay = |A|sin(θ)

2 2 x yA a + a=

( )1 tan /y xθ a a−=

La descomposición de un vectoren un plano, en vectores unitarios ortogonales, puede ser extendida al caso del espacio tridimensional.

Luego, un vector arbitrario se descompone como:

Basta considerar tres vectores ortogonales unitarios, como se aprecia en la figura.

A ax i ay j az k