Calse 2 (Transformada de Laplace).ppt

CONTROL AUTOMATICO

UTA – FISEI

INGENIERIA INDUSTRIAL EN PROCESOS DE AUTOMATIZACION

CURSO SEPTIEMBRE- FEBRERO

Introducción

• El control automático desempeña un papel fundamental en los procesos de manufactura, industriales, robótica, aeroespaciales, biológicos, etc.

Introducción

La Planta

• La estructura física de la planta es una parte intrínseca del problema de control.

• Los ingenieros de control deben estar familiarizados con la física del proceso bajo estudio.

• Esto incluye conocimientos básicos de balance de energía, balances de masas, flujo de materiales, entre otros.

Introducción

Transformada de Laplace

• El método de la transformada de Laplace aporta muchas ventajas cuando se usa para resolver ecuaciones diferenciales lineales, mediante su uso es posible convertir funciones tales como senoidales, exponenciales, en funciones algebraicas de una variable compleja.

• Las operaciones como la integración y la diferenciación se sustituyen por operaciones algebraicas en el plano complejo.

Variables y Funciones complejas

• Variable compleja:

» S = δ + jw

• Función compleja:

» G(s) = Gx + jGy

Teorema de Euler

Definición y características: • La transformada de Laplace es un método que transforma una

ecuación diferencial en una ecuación algebraica más fácil de resolver.

• f(t): una función del tiempo t tal que f(t) = 0 para t<0S : una variable complejaL : un símbolo operativo que indica que la cantidad a la que antecede se va a transformar mediante la integral de Laplace.F(s): transformada de Laplace

• La transformada de Laplace se obtiene mediante:

Transformada Inversa de Laplace

• El proceso inverso de encontrar la función del tiempo f(t) a partir de la transformada de Laplace F(s) se denomina transformada inversa de Laplace.

Propiedades:

• 1. L es una transformación lineal

• 2. Desplazamiento en el tiempo

Propiedades

• 3. Impulso

• 4. Desplazamiento de frecuencia

Propiedades

• 5. Derivada

• 6. Integral

Propiedades

• 7. Teorema del valor inicial

• 8. Teorema del valor final

Propiedades

• 9. Tiempo por una función

Transformada de Laplace para una función escalón unitario:

• La figura muestra la forma que tomaría una entrada escalón cuando tiene lugar un cambio abrupto en la entrada en el tiempo t=0 y la magnitud del escalón es la unidad, a=1.

f(t)=1 t > 0.

f(t)=0 t < 0.

Transformada de Laplace para una función escalón unitario:

Tabla de propiedades de la Transformada de Laplace

Continuación ...

Transformada de laplace mediante MATLAB

• Procedimiento:• Declarar una variable simbólica con la instrucción syms. • Obtener la transformada para una expresión definida utilizando la

variable simbólica anterior

• Instrucciones de Matlab correspondientes a cada una de las transformadas:

• laplace transformada de Laplace

• ilaplace transformada inversa de Laplace


• MATLAB utiliza el comando laplace(f(t)) y el comando

ilaplace(f(s)), que se encuentra en el toolbox simbólico. • A. Primer caso:• Para poder calcular la transformada de Laplace

introducimos el siguiente comando:• » syms t;

f = f(t);ans = laplace(f)

• con el comando syms definimos la variable t y aplicando laplace nos calcula la transformada.


• Para calcular la antitransformada de Laplace introduciremos el siguiente comando

• » syms s;f = f(s);ans = ilaplace(f)

• con el comando syms definimos la variable s y aplicando ilaplace nos calcula la antitranformada.


• Ejemplo: Primer caso

• Calcular la transformada de Laplace de la siguiente función:


• %------------------------------------------------------------------------%REG.AUTOMATICA Y MATLAB%En este ejemplo calcularemos la transformada de Laplace de una función%------------------------------------------------------------------------

•% Primero definimos la variable t

• syms t;• % Luego introducimos la función que queremos transformar• f=(4-4*exp(-0.5*t))• %introducimos el comando laplace

• ans=laplace(f)• % para arreglar el resultado

pretty(ans)

• Resultado: • 4/s-4/(s+1/2)• pretty(ans)


• B. Segundo caso:• Supongamos que queremos encontrar la transformada de Laplace

de sin(w*t), donde la variable de integración es 't' y 'w' es una constante, en la línea de comando escribimos:

• » w=sym('w');» t=sym('t');» laplace(f(t,w))

• Primero se define la constante w y luego la variable t.


• Para el cálculo de la antitransformada aplicamos:

•» w=sym('w');» t=sym('s');» ilaplace(f(s,w))

Primero se define la constante w y luego la variable s


• C. Tercer caso:• Otra forma más simple para encontrar la

transformada es utilizando:• » syms a s t w x

laplace(f(t)) laplace(f(a,s)) laplace(f(w,x))

• Definiendo primero las variables y las constantes, sin comas ni comillas.


• Para el cálculo de la antitransformada

• » syms a s t w xilaplace(f(s)) ilaplace(f(t)) ilaplace(f(w,y))

• Definiendo primero las variables y las constantes, sin comas ni comillas.

Calse 2 (Transformada de Laplace).ppt

Documents

Transcript of Calse 2 (Transformada de Laplace).ppt