CÁLCULO FINANCEIRO Renato

8/7/2019 CLCULO FINANCEIRO Renato

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CLCULO FINANCEIROE

CONTABILIDADE

ANO LECTIVO: 2005/2006DOCENTE RESPONSVEL:ROLANDO RODRIGUESInstituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO: 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE2

SUMRIOi) Objectivos e metodologiasii) Programa Geraliii) Bibliografia recomendadaiv) Planificao das aulasv) Apontamentos de Clculo Financeirovi) Exerccios de Clculo Financeirovii) Apontamentos de Contabilidadeviii) Exerccios de ContabilidadeInstituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO: 2., 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE3OBJECTIVOS E METODOLOGIAS

1-ENQUADR

AMENTODe forma resumida, nos pontos seguintes descrevem-se, os objectivos da disciplina e asMetodologias para os atingir no final do semestre lectivo.2- OBJECTIVOS (Contedo programtico)- Proporcionar conhecimentos essenciais sobre o funcionamento das organizaes eevidenciar as

Necessidades de informao sobre a actividade das mesmas para, sob diversas pticas,Dar a conhecer os seus resultados e evoluo.- Evidenciar a importncia da contabilidade no sistema de informao dasorganizaes- Transmitir conhecimentos bsicos sobre a cincia e tcnicas contabilsticas, tanto aonvel da suaConcepo, como da sua articulao e funcionamento.- Familiarizar os alunos com os procedimentos contabilsticos correntes, nas suasdiferentes fases de

Processamento, desde a abertura at ao encerramento das contas, de modo apossibilitar a assimilaoDo contedo e significado das mesmas.- Dotar os alunos de conhecimentos elementares de Matemtica Financeira que lhes

possibilite


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Apreender e interpretar os conceitos essenciais e habilit-los com capacidades para omanuseamento

Dos mesmos, nomeadamente nas aplicaes comuns e na avaliao de aplicaesalternativas ouSituaes comparadas3- METAS A ATINGIRPELOS ALUNOS

- Criar agilidade na identificao e escolha dos suportes de registo contabilistico maisadequados e de

Meios diferenciados.- Conhecer e dominar as tcnicas contabilsticas elementares e as diferentes fases dotrabalhoContabilstico.- Saber elaborar, ler e interpretar as peas contabilsticas fundamentais e apreender asinterligaes

Mais relevantes entre as mesmas.- Habilit-los a localizar e identificar os dados e a ler as informaes proporcionadas

pela

Contabilidade- Dot-los de treino e agilidade que lhes possibilitem o manuseamento dos conceitos etcnicas de

Matemtica Financeira e das suas aplicaes mais relevantes- Apreender a importncia do Clculo Financeiro na actividade quotidiana dasorganizaes e dos

Indivduos.- Familiarizar-se com algumas aplicaes de Clculo Financeiro em computador- Habilitar-se a desenvolver anlise comparadade valores ou grandezas financeirasInstituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO: 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE

44-METODOLOGIA (DE ENSINO)A metodologia de ensino apoiar-se- nos seguintes vectores:2.1) - Aulas tericasApresentao, explanao das matrias e enquadramento temtico dos assuntos em articulaoCom as aplicaes desenvolvidas nas aulas prticas.2.2) - Aulas prticasRecorrer-se-ta a exemplos e exerccios de aplicao relativos s matrias expostas para debate,Resoluo nas aulas e trabalhos curricularesDar-se-ta prioridade ao debate em pequenos grupos e ao confronto das solues ou ideias foraAvanadas pelos alunos.Far-se- tambm apela aos trabalhos individuais ou de grupo sobre temas a seleccionar e a seremPosteriormente objecto de debate em sala.Procurar-se- ainda, diversificar os suportes tcnicos de aprendizagem, de acordo com as

Possibilidades de meios existentes.5- TRABALHOS PRTICOSEm complemento das aulas prticas, sero distribudos aos alunos trabalhos especficos paraDesenvolvimento em grupo, com indicao de prazos para a sua apresentao e debate em sala.Em princpio, cada grupo de trabalho dever elaborar dois (2) trabalhos desta natureza no decurso doSemestre, obedecendo ao contedo e objectivos previamente definidos e sero elaborados e apresentadosEm conformidade com o modelo de relatrio publicado.6- AVALIAOA avaliao dos alunos processar-se- de acordo com o estatudo na respectiva ficha de Disciplina.Instituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTO


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CURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO: 2., 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE5PROGRAMA GERALI- NOES DE MATEMTICA FINANCEIRA1- Conceitos Bsicos1.1- Capital, Tempo e Juro1.2- Taxa de Juro

2- Regimes de Juro2.1- Regime de juro simples (frmula geral de capitalizao, desconto)2.2- Regime de juro composto (capitalizao ou acumulao e actualizao)3- Equivalncia de Valores3.1- Equivalncia de Capitais3.1.1- Equao do valor (para os diferentes regimes de juro)3.1.2- Capital nico3.1.3- Vencimento mdio3.2- Equivalncia de Taxas3.2.1- Taxas de juro nominais e taxas de juro efectivas3.2.2- Taxas equivalentes e taxas proporcionais4- Rendas4.1- Noo e classificao4.2- Rendas inteiras de termos constantes (imediatas, diferidas, finitas, infinitas)4.3- Rendas fraccionadas de termos constantes4.4- Rendas de termos variveis5- Amortizao/Reembolso de Emprstimos5.1- Tipos de Emprstimos5.2- Modalidades de Reembolso5.3- Reembolso em regime de juro simples5.4- Reembolso em regime de juro compostoII- CONTABILIDADE E ORGANIZAO DE EMPRESAS1- A Contabilidade com sistema de informao1.1- Requisitos, contedo e suportes da informao contabilstica1.2- A evoluo e o papel da contabilidade como instrumento de gesto1.3- As divises da contabilidade2- Conceitos fundamentais de contabilidade2.1- O Patrimnio2.2- Inventrio e Balano2.3- A Conta2.4- Mtodos de Registo Contabilstico2.5- Lanamentos2.6- Dirio e Razo2.7- Balancetes e Balanos2.8- Sistemas ContabilsticosInstituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO: 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE63- Normalizao Contabilstica. A normalizao contabilstica e o Plano Oficial deContabilidade3.1- Introduo3.1- Vantagens da normalizao contabilstica3.2- A normalizao contabilstica em Portugal

3.4- O P. O . C. Plano Oficial de Contabilidade3.4.1- Aspectos gerais3.4.2- Princpios Contabilsticos4- Estudo das Contas4.1- Contas de Balano (ou Patrimoniais)4.1.1- Classe 1 Disponibilidades (Valorimetria das disponibilidades, Provises)4.1.2- Classe 2 terceiros (Contas bipolares, IVA, Acrscimos e Diferimentos,Provises)4.1.3- Classe 3 Existncias (Sistemas de Inventrio, Valorimetria, Descontos eAbatimentos, Adiantamentos, Regularizaes, Provises)4.1.4- Classe 4 Imobilizaes (Valorimetria, Amortizaes e Reintegraes,


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Provises )4.1.5- Classe 5 Capital, Reservas e Resultados Transitados (Reservas deReavaliao, Resultados Transitados)4.2- Contas de Resultados4.2.1- Classe 6 Custos e Perdas4.2.2- Classe 7 Proveitos e Ganhos4.2.3- Classe 8 Resultados4.3- Outras Contas4.3.1- Classe 9 Contas de Contabilidade Analtica4.3.2- Classe 0 Livre ( Contas de Ordem)5- Operaes de fim de exerccio5.1- Enquadramento e significado5.2- Lanamentos de Regularizao de Contas e Balancete Rectificado5.3- Lanamentos de Apuramento de Resultados (encerramento das Contas dasClasses 6 e 7)5.4- Balancete Final ou de Encerramento5.5- Balano e Demonstrao de Resultados ( e outras demonstraes econmico-financeiras)5.6- Encerramento das Contas ( de Balano)5.7- Reabertura das Contas5.8- Aplicaes de ResultadosInstituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE7

BIBLIOGRAFIA RECOMENDADAPara alm dos apontamentos distribudos, recomenda-se a consulta da bibliografia pelaOrdem indicadaI - CONTABILIDADEA)- ELEMENTOS de CONTABILIDADE GERAL, 22. EdioPor Antnio Borges, Azevedo Rodrigues e Rogrio RodriguesAREAS EDITORA, 2005B) CONTABILIDADE FINANCEIRA, 5. Edio, 2005Publisher TeamC)- PRTICAS DE CONTABILIDADE FINANCEIRA, 3. EdioA. Borges; J. Macedo; J. Morgado; A. Moreira e H. IsidroREAS EDITORA, 2002D)- CONTABILIDADE, 1. Traduo para PortugusLerner Joel L. Cashin JamesA.McGraw-Hill, 2001 ainda indispensvel:P. O. C. PLANO OFICIAL DE CONTABILIDADE (simples ou anotado)II CLCULO FINANCEIROA)- ELEMENTOS DE CLCULO FINANCEIRO, 7, Edio( livros de texto e de exerccios)Por Azevedo Rodrigues e Isabel NicolauEDITORA REI DOS LIVROS, 2004

B)-CLCULO FINANCEIRO,Rogrio MatiasESCOLAR EDITORA, 2004C)- LIES DE MATEMTICA FINANCEIRAPor Miguel Cadilhe e Carlos SoaresEDIES ASAD)- MATEMTICA FINANCEIRA APLICADAPor Miguel CadilheEDIES ASA


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E)- CALCULO FINANCEIRO ( livros de texto e de exerccios)Por Alves MateusEDIES SILABO

Nota : - A bibliografia de referencia das alneas A) e B) de cada grupoInstituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTO

CURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE8PLANIFICAO DAS AULASI- AULAS TERICASSemanas..........................................................1 4 Aulas Semana.................................................. 2 ( 2x14 = 28 )Durao/Aula.................................................. 50 min.1. Aula :Apresentao, Metodologia, Avaliao, BibliografiaDefinio e caractersticas de uma operao financeira : noo de Capital , Tempo eJuro2. AulaJuro e Taxa de juro.Capitalizao e ActualizaoRegimes de Juro : Regime de Juro Simples : Formula geral de Capitalizao;DescontoRegime de Juro Composto: Capitalizao e Actualizao;Desconto3. AulaEquivalncia de Valores : Equivalncia de Capitais: Equao do valor, Capital nico,Vencimento mdio: Equivalncia de Taxas : Taxas de juro nominais etaxas efectivas; Taxas de

juro equivalentes e taxasProporcionais4. AulaRendas. Noo e classificao; Valor actual e valor acumulado de uma rendaRendas inteiras de termos constantes: imediatas e finitas (post cipadas e antecipadas)Diferidas; infinitasRendas fraccionados5. AulaReembolso de Emprstimos: Tipos de Emprstimos; Modalidades de ReembolsoReembolso de Emprstimos em Regime de Juro Simples6. Aula

Reembolso de Emprstimos em regime de juro Composto7. AulaNoo de Empresa e dos fluxos associados actividade da empresa; fluxos reais ouEconmicos e fluxos financeiros ou monetrios8. AulaA informao contabilstica e os documentos suporte das operaes que ocorrem noSeio da empresa e nas suas relaes com o exterior:O Contrato de Compra e Venda como base das transaces comerciais. O preo e osPrazos de pagamento. Os descontos de preo e de pagamento.


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Tipos de documentos; suas caractersticas e exigncias fiscais9. AulaA contabilidade e as suas divises; os requisitos da informao contabilsticaO Patrimnio; noo e tipos de PatrimnioComposio e valor do PatrimnioInventrio: Massas Patrimoniais e sub-massas Patrimoniais. Sua classificao

Valor do Patrimnio10. AulaVariaes patrimoniais.Factos e fenmenos patrimoniais; sua classificaoO Balano. Equao do BalanoEquao fundamental da ContabilidadeInstituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE911. AulaA Conta; noo de conta; tipos de contas e suas caractersticasMtodos de registo contabilsticoLanamentos contabilsticos12. AulaLivros de registo da informao contabilsticaOs livros Selados: o Dirio e o RazoSistemas contabilsticos13. Aula

Normalizao Contabilstica: significado, vantagens e limitaesO P. O. C. Plano Oficial de ContabilidadeQuadro de ContasCdigo de Contas14. AulaA distino entre contas de Balano e Contas de Resultados ou de GestoAs contas de Reduo de Valores Activos e de Acrscimos e Diferimentos.A distino entre Existncias e Imobilizado15. AulaA Valorimetria das Existncias. Critrios ValorimtricosA Amortizao do Imobilizado. Mtodos e Tcnicas de Amortizao16. AulaO Imposto sobre o Valor Acrescentado (IVA)A distino entre imposto dedutvel e no dedutvel17.

Estudo das Contas : Contas de Balano : Disponibilidades : Valorimetria, Provises;Terceiros : IVA18. AulaEstudo das Contas : Contas de Balano ( Cont.) : Terceiros : Acrscimos eDiferimentos, Provises19. AulaEstudo das Contas : Contas de Balano ( Cont.) : Existncias : Sistemas deInventrio, Valorimetria, Descontose Abatimentos, Adiantamentos,


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Regularizaes, Provises20. AulaEstudo das Contas : Contas de Balano ( Cont.) : Imobilizaes : Valorimetria,Amortizaes e Reintegraes,Abatimentos de Imobilizado,Grandes Reparaes, Provises

21. AulaEstudo das Contas : Contas de Balano ( Cont.) : Capital, Reservas e ResultadosTransitadosEstudo das Contas : Contas de Resultados : Custos e Perdas22. AulaEstudo das Contas : Contas de Resultados ( Cont.) : Proveitos e Ganhos;ResultadosEstudo das Contas: Outras Contas23. AulaOperaes de fim de Exerccio : Enquadramento e significado;Lanamentos de Regularizao de ContasBalancete RectificadoPrincpios Contabilsticos24. AulaOperaes de fim de Exerccio (Cont.): Lanamentos de Apuramento de ResultadosEncerramento das Contas das Classes 6 e 7Balancete Final ou de Encerramento25. AulaInstituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2., 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE10Operaes de fim de Exerccio (Cont.): Balano e Demonstrao de ResultadosOutras Demonstraes26. AulaOperaes de fim de Exerccio (Cont.): Encerramento das ContasReabertura das ContasAplicaes de Resultados27. AulaArticulao da Matemtica Financeira com a Contabilidade28. AulaRevises gerais!II- AULAS PRTICAS

Semanas.14Aulas Semana.................................................. 2 (2x14 = 28)Durao/Aula..................................................1 h 50 mim.1. AulaApresentao. Metodologias. AvaliaoExerccio simples de introduo ao clculo financeiro2. AulaFormulas gerais de capitalizao e de actualizao em regime de juro simples e emRegime de juro composto.


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3. AulaFormulas derivadas das frmulas gerais de capitalizao e de actualizao em regime de

juro simples e em regime de juro composto.Lanamento TP n.14. AulaExerccios sobre equivalncia de capitais. Equao do valor. Capital nico e

vencimento mdio.Taxas de juro nominais e efectivas. Equivalncia de taxas. Taxas proporcionais5. AulaExerccios sobre rendas : rendas inteiras, imediatas e de termos constantes6. AulaExerccios sobre rendas : rendas inteiras, diferidas e de termos constantes7. AulaExerccios sobre rendas : rendas fraccionadas8. AulaExerccios sobre amortizao/reembolso de emprstimos. Em regime de juro simplese em regime de juro composto. Clculo dos juros e das amortizaes de capital9. AulaExerccios sobre amortizao/reembolso de emprstimos em regime de juro composto,com prestaes constantes de capital e juro. Elaborao de mapas de reembolso10. AulaExerccios sobre amortizao/reembolso de emprstimos em regime de juro composto,com prestaes constantes de capital e juro. Elaborao de mapas de r eembolso11. AulaExerccios sobre amortizao/reembolso de emprstimos em regime de juro composto,com prestaes constantes de capital. Elaborao de mapas de reembolsoInstituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE11Recolha TP n. 112. AulaExerccio:- Patrimnio e sua representao atravs do Inventrio; agregao doselementos patrimoniais em massas homogneas, subconjuntos e contas. Apresentaoe enquadramento.13. AulaExerccio :- Cont. : Diferentes tipos de Inventrio, sua classificao e valorizao;massas patrimoniais e contas.14. AulaExerccio - Concl. : Elaborao do balano simples : activo, passivo e valor do

patrimnio . Apuramento de Resultados pela diferena do Capital Prprio15. AulaExerccio :- Classificao dos factos patrimoniais e seu registo em dispositivosgrficos apropriados Lanamentos . Apresentao e debate genrico do tema.Lanamento TP n.216. AulaExerccio :- Cont. : Classificao e registo digrfico dos factos patrimoniais.Lanamentos de factos patrimoniais no Razo Geral. Balancete de Verificao17. AulaExerccio :- Apuramento dos resultados pela diferena entre custos e

proveitos .Comparao com o mtodo anterior

18. AulaExerccio :- Lanamentos de factos patrimoniais no Razo Geral. Balancete deVerificao. Apuramento da margem de lucro : sobre o preo de custo/ sobre o preode venda19. AulaExerccio :- Regimes de inventrio de existncias. Suas implicaes nos registoscontabilsticos e no apuramento das margens de venda. Caso particular do inventrio

permanente: critrios valorimtricos e movimentao das existncias. Apresentao,enquadramento e aplicaes.20. AulaExerccio :- Elaborao de fichas de existncias e sua articulao com amovimentao das contas.O Inventrio Intermitente; suas implicaes no processamento contabilistico21. Aula


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Exercicio:- Lanamentos de factos patrimoniais nos Razes Auxiliares.Agregao de subcontas em contas gerais. Balancetes sectoriais e Balancetes gerais22. AulaExerccio:- Contabilizao das Amortizaes do Imobilizado. Contabilizao dasProvises23. AulaExerccios Contabilizao dos encargos com PessoalExerccios Contabilizao dos movimentos de Capitais. Tratamento das Reservas24. Aula

Exerccio: - Operaes de rectificao de contas e de apuramento de resultados nofinal do exerccio econmico. Apresentao, debate e esquematizao da metodologiade resoluo.Recolha TP n.2Instituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE1225. AulaExerccio - Operaes de rectificao de contas e de apuramento de resultados nofinal do exerccio econmico. Contabilizao das operaes de rectificao eelaborao do Balancete rectificado. Operaes de Apuramento.26. AulaExerccio :- Operaes de fim de exerccio : Rectificao e regularizao de contas,transferncia de saldos das contas de custos e prove itos para as contas de resultados eseu encerramento. Encerramento das contas e elaborao das demonstraes

econmico-financeiras. Apresentao, discusso e formulao da metodologia deresoluo.27. AulaExerccio: - Elaborao dos mapas de fim de exer ccio: Demonstrao de Resultados eBalanoExerccio:- Encerramento das contas . Articulao com o Balancete Final e o Balano.Apresentaes/Revises28. AulaExerccio: Reabertura das contas. Casos particulares de Resultados Transitados e Acrscimos e DiferimentosApresentaes/RevisesInstituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE13

IAPONTAMENTOSDECLCULO FINANCEIROInstituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE14

CLCULO FINANCEIRONDICE Pag.

1. Regras Bsicas do Clculo ou Matemtica Financeira 22. Operaes de Capitalizao e Actualizao 32.1 Capitalizao em Regime de Juros Simples 3- Exerccios Resolvidos 62.2 Actualizao (Desconto) em Regime de Juro Simples 8- Exerccios Resolvidos 92.3 Capitalizao em Regime de Juros Composto 11- Exerccios Resolvidos 152.4 Actualizao (Desconto) em Regime de Juro Composto 16- Exerccios Resolvidos 203. Equivalncia de Valores 23


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3.1 Equivalncia Capitais 233.1.1 Equao do valor 233.1.2 Casos particulares da equao do valor 233.2 Equivalncia de Taxas de Juro 243.2.1 taxa efectiva e taxa nominal 243.2.2 TAEG e TAEL 243.2.3 Taxa Nominal e Taxa Real 274. Rendas 284.1 Introduo 284.2 Conceitos 284.3 Classificao das rendas 294.4 Estudo das rendas 294.4.1 Rendas temporrias, certas, imediatas e inteiras 304.4.2 Rendas temporrias, certas, diferidas e inteiras 314.4.3 Rendas perptuas, certas, imediatas ou diferidas e inteiras 314.4.4 Rendas certas, temporrias ou perptuas, imediatas ou diferidas efraccionadas334.4.5 Rendas incertas e de termos variveis 355. Reembolso de Emprstimos 365.1 Conceitos 365.2 Modalidades de reembolso 365.2.1 Regime de juro Simples 375.2.2 Regime de juro Composto 405.3 Mudana de Taxa de Juro 595.3.1. Negociao de taxas de juro diferentes ao longo da vida do emprstimo 595.3.2. O emprstimo estabelecido na base de uma taxa de juro, ajustvel svariaes do mercado60- Exerccios Resolvidos 61Mapas de amortizao de emprstimosExercciosInstituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE151. Regras Bsicas do Clculo ou da Matemtica Financeira

O Capital um factor de produo, a par do trabalho e dos recursos naturais e como tal, a suautilizao tem de ser remunerada. A remunerao do Capital Financeiro o juro.

A Matemtica ou o Clculo Financeira(o), constitui um segmento ou ramo da MatemticaAplicada que tem por objecto o Capital Financeiro e a anlise intertemporal do seu valor.Assim, os trs elementos bsicos da Matemtica Financeira, so: Capital, Tempo e JuroTal como para os restantes factores de produo, o valor da remunerao vai depender de umpadro, que o rendimento (ou custo) de uma unidade de capital durante uma unidade detempo. Por questes de simplicidade de tratamento, convencionou-se exprimir aquele valor emtermos percentuais, ou seja, se a remunerao de 1,00 no perodo de um ano(sendo esta aunidade de tempo) de 0,048, que designamoss por taxa de juro e, dizemos que a taxa de juro de 0,048*100/100== 4,8%.- O capital: varivel que representa um valor e que est sempre associada a um momento notempo, frequentemente o incio ou o fim do perodo de capitalizao (o perodo de capitalizaoou perodo de formao dos juros um perodo de tempo, habitualmente de durao constanteao longo de um processo de capitalizao, durante o qual um capital est sob os efeitos de uma

taxa de juro).- O tempo: perodo ou quantidade de tempo em que decorre o processo de capitalizao.- O juro: que o valor gerado pela passagem do tempo de um perodo de capitalizao sobre umcapital, mas que s est disponvel no momento do seu vencimento (habitualmente o fim doperodo de capitalizao).Tal como para os restantes factores de produo, o valor da remunerao vai depender de umpadro, que o rendimento (ou custo) de uma unidade de capital durante uma unidade detempo, que se convencionou designar por taxa de juro.- A taxa de juro: que uma varivel positiva (> 0) de proporcionalidade entre o capital e o juro,para cada perodo de capitalizao, habitualmente expressa na forma percentual.Por questes de simplicidade de tratamento, convencionou-se exprimir aquele valor em termos


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percentuais, ou seja, se a remunerao de 1,00 no perodo de um ano(sendo esta a unidadede tempo) de 0,048, dizemos que a taxa de juro de 0,048*100/100== 4,8%.Desde sempre uma dessas prticas mais comuns a do clculo do juro, como sendo o produtode um capital por uma taxa. Ao processo de transformao, provocada pelo tempo, de capitalem capital mais juro, chama-se capitalizao. As variveis envolvidas neste processo so,como referido acima o tempo, o capital e o juro.H trs princpios ou regras, que gerem as relaes entre estas variveis e que so os seguintes:- 1 Regra: A presena de capital e de tempo e ausncia de juro uma impossibilidade emmatemtica financeira. Se h capital e tempo, tem que haver um juro. O juro zero pode ocorrerse e s se o capital for zero e/ou o prazo for zero- 2Regra: Qualquer operao matemtica sobre dois ou mais capitais requer a sua homogeneizaono tempo. Dados dois capitais quaisquer C e C, podem-se adicionar, subtrair ou estabelecer umaInstituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE16relao de grandeza entre eles (C>C ou C>C ou C=C) se e s se eles estiverem referidos ao mesmomomento. pois incorrecto afirmar que 100 euros recebidos hoje mais 100 euros recebidos daqui aum ms so 200 euros.- 3 Regra: Sendo Jk o juro do perodo k, Ck-1 o capital no incio do mesmo perodo, isto , nomomento k-1 e ik a taxa de juro em vigor no mesmo perodo, ser:Jk= ik*Ck-1 (k=1,2,3,)

Temos pois que, qualquer capital aplicado durante um determinado perodo de tempo (perodode capitalizao), a uma dada taxa de juro, gera uma remunerao (juro), que o produto dessecapital pela taxa de juro em vigor nesse perodo.Todas as operaes envolvendo capitais devem observar estes princpios.Prticas correntes como o emprstimo de dinheiro sem juros, comum entre amigos ou familiares,so considerados um erro e uma impossibilidade em termos de matemtica financeira.Instituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE172. Operaes de Capitalizao e Actualizao

A aplicao de um capital (capital inicial) durante um determinado perodo de tempo, a umadeterminada taxa de juro, resulta num determinado rendimento (juro). Ao fim desse perodo detempo, o capital inicial transforma-se num montante capitalizado (capital inicial mais rendimento).

operao que consiste em adicionar o juro do perodo ao capital inicial chama-se operao decapitalizao. Um processo de capitalizao decorre ao longo de n (n>0) perodos decapitalizao, podendo a taxa de juro em vigor para cada um desses perodos ser fixa ouvarivel. O estudo dos processo de capitalizao permite-nos, entre outras coisas, calcular, emfuno da taxa de juro, quanto vai valer num momento futuro (capital acumulado), um capitalcolocado em capitalizao num momento anterior.

A actualizao ou desconto o processo de clculo inverso capitalizao, pelo qual podemoscalcular, em funo da taxa de juro, quanto vale num momento anterior um capital vencvel nummomento posterior.2.1 - Capitalizao em Regime de Juro SimplesTradicionalmente h dois regimes extremos de capitalizao: o regime de capitalizao simples(situao em que os juros so retirados logo que se vencem pressupe-se que estes juros socolocados noutro processo de capitalizao, deixando por isso de ser objecto da nossa ateno)e o regime de capitalizao composta (situao em que os juros so totalmente recapitalizados,ou seja, so adicionados ao capital no momento do seu vencimento).

No regime de juros simples o stock (quantidade) de capital (tambm designado por capitalacumulado) mantm-se constante, de perodo de capitalizao para perodo de capitalizao: oscapitais iniciais e finais so iguais em todos os perodos de capitalizao ao longo do processode capitalizao (C0 = C1 = ... = Ck); como tal, o juro de cada perodo de capitalizao s varia sevariar a taxa de juro. No h juros de juros. Tal acontece porque o juro, quando vencido, retirado do circuito de capitalizao, mantendo-se inalterado o capital inicial. Este factor garantea proporcionalidade entre o juro de qualquer perodo e o capital inicial, ou seja, o rcio entre o

juro e o capital mantem-se constante seja qual for o perodo de capitalizao.Esquematicamente (capitalizao em regime de juro simples)J1J2 J3 Juros = J1 + J2 + J3


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C0+ J1 C0 + J2 C0 + J3C0 C0 C0C0Capital = C0JCJCJC1 = 2 = 3 = ii = Taxa de JuroJt= it*Ct-1 = it*C0 (t = 1, 2, 3, , n)Instituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE18Obviamente que no final do ltimo (n) perodo de capitalizao se faz o reembolso do capitalinicial e do juro desse ltimo perodo: C0 + it*C0Exemplo:a) Qual o juro gerado num depsito de 600 durante um ano se a taxa de juro anual for de 7%?

b) Se o juro gerado pelo mesmo depsito no mesmo perodo de tempo fosse de 72, qual seria ataxa de juro desse depsito?Resoluo:a) C0 = 600; i = 7% = 0,07J= i*C0 = 0,07 * 600 = 42b) J= i*C0 = 72 = i * 600i = 72/600 = 0,12 = 12%(i) Aplicao por um Perodo- Qual o rendimento produzido pelo investimento de um capital de 1.000, por 1 ano, taxa de

juro anual de 10%?J = C0 * i * 1J Rendimento (Juro)C0 Capital Iniciali Taxa de Juro AnualJ = 1.000 * 0,1 * 1J = 100- Qual o valor de um capital de 1.000, investido taxa de juro anual 10%, ao fim de 1 ano?S = C + JS = C + C * (i * 1)S = C * (1 + i * 1)S Capital Acumulado (Montante Capitalizado)S = 1.000 * (1 + 0,1 * 1)S = 1.100(ii) Aplicao por dois Perodos- Qual o rendimento produzido pelo investimento de um capital de 1.000, por 2 anos, taxa de

juro anual de 10%?J = 1.000 * 0,1 * 2J = 200- Qual o valor de um capital de 1.000, investido taxa de juro anual de 10%, ao fim de 2 anos?S = 100.000$00 * (1 + 0,1 * 2)S = 1.200Instituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE19(iii) Aplicao por n PerodosS = C + C * (i * n)S = C * (1 + i * n)(1 + i * n)Factor de Capitalizao em Regime de Juro SimplesC0 Juro = (i * n) J = C0 * i * n


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0 12 3 .. n

C0 Capital Acumulado = (1 + i * n) S = C0 + JApontamento:Quando o perodo da aplicao no coincide com o perodo da taxa de juro deve-sehomogeneizar os perodos.i Taxa de Juro Nominali`- Taxa de Juro Proporcional(i) Taxa de juro mensal/prazo da aplicao (dias)

* n30i * C J = nn de dias da aplicaoExemplo:n = 1i 3%i`- 0,1%(ii) Taxa de juro anual/prazo da aplicao (dias)* n365

i* C J

=n n de dias da aplicaoExemplo:n = 1i 12%i`- 0,0333%(iii) Taxa de juro anual/prazo da aplicao (ms)* n12i * C J

= n n de meses da aplicaoExemplo:n = 1i 12%i`- 1%Instituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE20(iv) Taxa de juro anual/prazo da aplicao (trimestre) * n4i * C J

= n n de dias da aplicaoExemplo:n = 1i 12%i`- 3%(v) Taxa de juro anual/prazo da aplicao (semestre)


14/152

* n2i * C J = n n de dias da aplicaoExemplo:

n = 1i 12%i`- 6%Exerccios Resolvidos:Exerccio 2.1.1Calcular o rendimento obtido aplicando 1.500, durante 7 meses e 15 dias, taxa de juro anualde 5%, em regime de capitalizao simples.Resposta:*22546,88365J 1.500* 0,05= =

Exerccio 2.1.2

A aplicao de 3.000 pelo prazo de 9 meses, em regime de juro simples, gera um rendimentode 112,50. Qual a taxa de juro aplicada?Resposta:i 5%* 912112,50 3.000 * i=

= Apontamento: A taxa de juro i, dividida por 12, corresponde a uma taxa proporcional mensal.Isoladamente, a taxa i anual. A diviso feita de forma a homogeneizar o perodo deinvestimento (meses) com o perodo a que se refere a taxa de juros proporcional (meses).Exerccio 2.1.3Considere um capital acumulado ao fim de determinado perodo de tempo no montante de156.250. Se a taxa de juro anual aplicada foi de 5%, em regime de juro simples, e orendimentoauferido na aplicao de 6.250, quantos meses durou a aplicao em causa?Resposta:Instituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE21n 10 meses

* n12* 1 0,05* n120,05156.250 150.000* n12* 1 i* n12


15/152

iS J* n12J C * i* n)12S C * (1 i=

+=

+

=

=

= +

Exerccio 2.1.4Qual o investimento necessrio para gerar um capital de 1.050 daqui a 6 meses taxa de juroanual de 10%, em regime de juro simples?Resposta:C 1.000* 6)12

1.050 C* (1 0,10== +

Exerccio 2.1.5Um capital de 36.000 transformou-se, aps 100 dias, em 37.000. Calcule a taxa de juro anualaplicada.Resposta:i 10%*100)36537.000 36.000* (1 i=

= +

Exerccio 2.1.6Um investidor tem os seguintes pagamentos para efectuar: 20.000 daqui a 3 meses e 40.000daqui a 9 meses. Se pretender prorrogar o pagamento desses mesmos dbitos, o primeiro a serpago daqui a 9 meses e o segundo a ser pago daqui a um ano, quais devero ser os montantesa pagar nessas datas, considerando uma taxa de juro anual de20%, em regime de juro simples.Resposta:Instituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE22S2 = 40.000 S2 = ?


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S1 = 20.000 S1 = ?3 meses 9 meses 1 anoS 42.000* 3)12S 40.000 * (1 0,2S 22.000* 6)12S 20.000 * (1 0,22211

=

= +

=

= +

Instituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE232.2 Actualizao (Desconto) em Regime de Juro Simples

A actualizao (desconto ou resgate) de determinado capital a receber no futuro (valor nominal)Consiste no clculo do valor actual desse montante. Corresponde, portanto, a uma operaoInversa operao de capitalizao de um certo capital. Assim, o factor de actualizao ser oInverso do factor de capitalizao.(i) Desconto por um Perodo- Qual o valor actual correspondente a um valor nominal de 1.000, a receber daqui a um

Ano, considerando um taxa de juro anual de 10%, em regime de juro simples?C + C * (i * 1) = SC * (1 + i * 1) = SC 1(1 i *1)= * S+

S Valor Nominal do Capital (ao fim de um ano)

C Valor Actual do Capital (descontado durante um ano taxa de juro i)C 909,09*1.000(1 0,1*1)C 1=

+

=

- Qual o valor do desconto de um capital de 1.000, a receber daqui a um ano, considerandouma taxa de juro anual de 10%, em regime de juro simples?D = S - C+

=

+

=

(1 i *1)D S * 1 1


17/152

* S(1 i *1)D S 1D DescontoC Valor Actual (Valor Descontado)S Valor Nominal do Capital (ao fim de um ano)i Taxa de Juro Anual SimplesD 90,91(1 0,1*1)D 1.000 * 1 1=

+

=

(ii)Desconto por dois Perodos- Qual o valor actual correspondente a um valor nominal de 1.000, a receber daqui a dois anos,considerando um taxa de juro anual 10%, em regime de capitalizao simples?C 833,33*1.000

(1 0,1* 2)C 1=

+

=

Instituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE24(iii) Desconto por n PerodosC 1(1 i * n)= * S+

1(1+ i * n)Factor de Actualizao em Regime de Juro SimplesD S* 1 1(1 i * n)=

+

1 1(1 i * n)

+

S0 12 3 n

C 1(1 i * n)= * S+


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19/152

Exerccio 2.2.3Uma empresa, necessitando de financiar a sua tesouraria, envia ao banco para desconto oseguinte mapa de ttulos de crditoCliente Sacado Valor de Resgate (Valor Nominal) Prazo at ao VencimentoCliente X 50.000 15 diasCliente Y 25.000 25 diasCliente W 100.000 1 msCliente Z 150.000 3 mesesValor de Resgate Total 325.000Se a taxa anual simples de desconto cobrada pelo banco for de 20%, qual ser o valor que aempresa ir receber pelo desconto dos vrios ttulos?Resposta:Cliente Sacado Valor de Resgate Prazo Valor Descontado dos TtulosCliente X 50.000 15 dias* 50.000 49.586,78*153601 0,20C 1 =

+

=

Cliente Y 25.000 25 dias* 25.000 24.657,53* 253601 0,20C 1 = +=

Cliente W 100.000 1 ms*100.000 98.360,66*1121 0,20C 1 = +=

Cliente Z 150.000 3 meses*150.000 142.857,14* 3121 0,20

C 1 =

+=

Valor Descontado Total 315.462,11Instituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE


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21/152

= C i o * (1 )+ 3..........................................Ct = Ct-1 + Jt = Co i* (1+ )t1+ Co i* (1+ )t1* i com Jt = Ct-1 * i= C i o* (1+ )t1 * (1+i)= C i o* (1+ )tTemos ento a frmula geral de capitalizao em regime de juro compostoCt Co i= * (1+ )tC0 Capital InicialCt Capital Acumulado ao fim de t Perodosi Taxa de JuroInstituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE28Regime Juros simples Regime Juros compostos

Juro Jt = it*C0 Jt = it*Ct-1Capital no incio de cadaperodo tCt-1 = C0 Ct-1 = C0 (1 + i1) (1 + i2)... (1 + ik-1)- no h variao de capital- no h juros de juros- h aumento de capital- h juros de jurosExemplo:Considere a aplicao de um capital de 100, a uma taxa de juro anual de 10%, em regime decapitalizao composta, durante trs anos. Qual o capital acumulado ao fim dos trs anos? Paracada perodo (ano) distinga as vrias componentes do juro1 Perodo (1 ano)C0 = 100J1 = C0 * i = 100 * 0,1 = 10

C1 = C0 + J1 = 100 + 10 = 110C1 = C0 * (1+i) = 100 * (100 * 0,1) = 1102 Perodo (2 ano)C1 = 110J2 = C1 * i = 110 * 0,1 = 11C2 = C1 + J2 = 110 + 11 = 121C2 = C0 * (1+i)2 = 100 * (100 * 0,1)2 = 121OuC0 = 100Jsobre o capital inicial, obtido duante o 1 perodo = C0 * i = 100 * 0,1 = 10Jsobre o capital inicial, obtido duante o 2 perodo = C0 * i = 100 * 0,1 = 10Jsobre o juro do 1 perodo, obtido durante o 2 perodo = J1 * i = 10 * 0,1 = 1C2 = 100 + 10 + 10 + 1 = 1213 Perodo (3 ano)C2 = 121J3 = C2 * i = 121 * 0,1 = 12,10C3 = C2 + J3 = 121 + 12,1 = 131,10C3 = C0 * (1+i)3 = 100 * (100 * 0,1)3 = 131,10OuC0 = 100Jsobre o capital inicial, obtido duante o 1 perodo = C0 * i = 100 * 0,1 = 10Jsobre o capital inicial, obtido duante o 2 perodo = C0 * i = 100 * 0,1 = 10Jsobre o capital inicial, obtido duante o 3 perodo = C0 * i = 100 * 0,1 = 10Jsobre o juro do 1 perodo, obtido durante o 2 perodo = J1 * i = 10 * 0,1 = 1Jsobre o juro do 1 perodo, obtido durante o 3 perodo = J1 * i = 10 * 0,1 = 1Jsobre o juro do 2 perodo, obtido durante o 3 perodo = J2 * i = 11 * 0,1 = 1,10


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C3 = 100 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1,1 = 131,10H obviamente outros regimes de juros mistos, por exemplo, a recapitalizao parcial dos jurosou a retirada ou adio de parte do capital.Instituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE29

Apontamento 1:Clculo de frmulas derivadas com base na frmula geral de capitalizao.(i) Clculo do juro em regime de juro compostoa) Juro acumulado ou juro de t perodos

J C *((1 i) 1) t 0= + t = C o * ib) Juro vencido no t-simo perodo (intervalo compreendido entre os momentos t-1 e t)

j Co * (1 i) t 1 * it

= + = C t-1 * iSe aplicarmos 10.000 durante 3 anos, taxa de juro de 10% com capitalizao mensal,teramos os seguintes rendimentos para o regime de juro composto e regime de juro simples.Perodo Regime de Juro Simples Regime de Juro Composto15 dias* 0,5)1210.000 * (1+ 0,110.041,67 0,5 )1210.000 * (1+ 0,110.041,581 ms*1)1210.000 * (1+ 0,110.083,33 1 )1210.000 * (1+ 0,1

10.083,336 meses* 6)1210.000 * (1+ 0,110.500,00 6 )1210.000 * (1+ 0,110.510,531 ano*12)1210.000 * (1+ 0,111.000,00 12 )1210.000 * (1+ 0,111.047,132 anos* 24)1210.000 * (1+ 0,112.000,00 24 )1210.000 * (1+ 0,112.203,91


23/152

3 anos* 36)1210.000 * (1+ 0,113.000,00 36 )1210.000 * (1+ 0,1

13.481,82Pode concluir-se que:1) os juros produzidos ao fim do primeiro perodo da taxa (ms) so iguais em ambos os regimesde capitalizao;2) para aplicaes em perodos inferiores ao da taxa (inferiores a um ms), superior o juroauferido em regime de juro simples;3) para aplicaes em perodos superiores ao da taxa de juro, superior o juro auferido emregime de juro composto.Instituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE30(ii) Clculo do prazo t em regime de juro compostoCt Co i=

* (1+

)t

(1+ i) = CCt tologaritmizando a expresso vem:t i C Ct C Citt

* log( ) log loglog loglog( )1100

+ =

=

+

Exemplo:Um capital de 180.000 aplicado, em regime de juro composto, taxa de juro anual de 20%gerou, num certo perodo t, um valor acumulado de 390.654,50. Calcule o prazo da aplicao.t 4 anos e 3 mesest 4,250,079(8)t 5,5917938 5,2552725log1,2t log390.654,50 log180.000,00

log(1 i)logC logCt t 0=

=

=

=

+


24/152

=

(iii) Clculo da taxa de juro i em regime de juro compostoCt Co i= * (1+ )t(1+ i) = CCt to

Dado o valor do rcio Ct/Co e conhecido o valor de t pretende-se calcular a taxa de juro i.= 1

+ =

+ =

tLnC LnCt 0t 0t 0

i etLn(1 i) LnC LnC

t * Ln(1 i) LnC LnCExemplo:Um capital de 6.000 aplicado taxa anual i durante o prazo de 4 anos, transformou-se numvalor acumulado de 13.183,39. Determine a taxa de juro i.i 21,75%i ei e46,120027 5,7781514log13.183,39 log6.000,00

=

=

=

11Instituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE31Apontamento 2:Quando o perodo da aplicao no coincide com perodos inteiros da taxa de juro (por exemplo,sendo a taxa de juro anual e vindo o tempo expresso numa unidade que no o ano), o factor tdever ser fraccionado, considerando-se como unidade o perodo da taxa.Exemplo:Calcular o capital acumulado resultante de um investimento de 5.000, aplicado em regime de

juro composto, taxa anual de 15% e num prazo de 15 meses.C 5.954,46

C 5.000 * (1 0,15)121512151215

=

= +

Exemplo:Determinar o juro produzido por um capital de 10.000, aplicado taxa semestral de 6%, durante11 meses.J 1.127,41


25/152

J 10.000 * (1 0,06) 1611611611

=

= +

Exerccios ResolvidosExerccio 2.3.1Um capital de 7.500 vence juros, em regime de juro composto, taxa de juro anual de 4%.a) Determinar o juro vencido durante o terceiro ano.b) Determinar os juros vencidos ao fim de quatro anos de aplicao.Resposta:a)

( )

( )j 324,48j 7.500 * (1 0,04) * 0,04j C * (1 0,04) * ij C * iou

j 324,48j 7.500 * (1 0,04) (1 0,04)j C * (1 0,04) (1 0,04)j C * (1 0,04) C * (1 0,04)j C C323

23 03 233 233 23 o2033 03 3 2

=

= +

= +

=

=

= + +

= + +

= + +

=

b)Instituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE32


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( )

( )J 1.273,94J 7.500 * (1 0,04) 1J C * (1 0,04) 144444 o

=

= +

= +

Exerccio 2.3.2Em que prazo um emprstimo de 50.000 pode ser amortizado por meio de um nicopagamento de 80.000, se a taxa de juros compostos cobrada for de 20%.Resposta:Ct Co i= *(1+ )t(1+ i) = C

Ct to

logaritmizando a expresso vem:t 2 anos, 6 meses e 28 diast 2,5778829Ln(1 0,2)t Ln80.000 Ln50.000Ln(1 i)t LnC LnCt * Ln(1 i) LnC LnCt 0t 0

=

=

+

=

+

=

+ =

Instituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE332.4 - Actualizao (Desconto) em Regime de Juro CompostoO estudo dos processo de capitalizao permite-nos, entre outras coisas, calcular, em funo dataxa de juro, quanto vai valer num momento futuro (capital acumulado), um capital colocado em

capitalizao num momento anterior.A actualizao ou desconto o processo de clculo inverso, pelo qual podemos calcular, em funo dataxa de juro, quanto vale num momento anterior um capital vencvel num momento posterior.Como j vimos para o regime de juro simples, em termos matemticos a actualizao oudesconto a operao inversa da capitalizao. O processo mais comum de actualizao oudesconto o desconto composto, operao inversa da capitalizao de juros compostos.(i) Actualizao por t Perodost0 t0 t ttt o

C C * (1 i)


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ou*C(1 i)C 1C C * (1 i)= +

+

=

= +

C0 Valor Actual (Valor Descontado)Ct Valor Nominal (Valor Acumulado ao fim de t Perodos)i Taxa de JuroExemplo:Quanto vale hoje a quantia de 1.000 a receber daqui a dois anos, em regime de juro composto.Se a taxa de juro anual for de 10% teremos:C 826,45*1.000(1 0,1)C 1 t 2=

+

=

Exemplo:Considerando que a taxa de juro anual em vigor de 4,5%:a) Se voc ganhar um prmio de 700.000 a receber daqui a um ano, qual o valor desseprmio no momento presente (valor actual)?b) Se lhe perguntarem o que mais vantajoso, receber 1.000 hoje ou 1.050 daqui a um ano, o queresponderia?a) C0 = C1 (1 + i)-1 = 700.000 (1 + 0,045)-1 = 669.856,46b) C0 = C1 (1 + i)-1 = 1.050 (1 + 0,045)-1 = 1.004,78 > 1.000Como, 1.004,78 >1.000, mais vantajoso receber 1050 daqui a um ano.Outra forma de calcular o desconto (ou actualizao) em regime de juro composto peladiferena entre o valor nominal e o seu valor actual, calculado com base no regime decapitalizao composta.Instituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE34(ii)Desconto por t Perodos

(t)ttt tt 0

D C C * (1 i) C * 1 (1 i)D C C= + = +

=

D Desconto

C0 Valor Actual (Valor Descontado)Ct Valor Nominal (Valor Acumulado ao fim de t Perodos)I Taxa de JuroExemplo:Qual o valor do desconto de um capital de 1.000, a receber daqui a dois anos, considerando

uma taxa de juro anual de 10%?( )D 173,55D 1.000 * 1 (1 0,1) 2=

= +


28/152

(iii) Actualizao (ou desconto) por n Perodosnn

C S * (1 i)ou* S(1 i)C 1

= + +

=

CValor Actual (Valor Descontado)SCapital Acumulado ao fim de n Perodos(1+ i)nFactor de Actualizao em Regime de Juro Composto

D = S * (1 (1+ i) n)

(1 (1 + i) n) S0 12 3 n

C S*(1 i)n= + (1+ i)nSApontamento:Clculo da Taxa de DescontoO Desconto D no deve ser confundido com a taxa de desconto, porquanto esta correspondeactualizao de uma unidade de capital por um perodo de tempo.Sendo:Instituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE35Ct = 1 (uma unidade de capital)t = 1 (um perodo ou uma unidade de tempo)Temos:(1 i)d i

D 1 (1 i)D C CC (1 i)C 1* (1 i)C C * (1 i)1t 01010t0 t

+

=

= +

=

= +

= +

= +

d Taxa de DescontoComo D representa a actualizao de uma unidade de capital por uma unidade de tempo, d


29/152

corresponde taxa de actualizao ou desconto.O desconto pode ento ser calculado por duas vias:

(i) a partir da taxa de capitalizao: i (t)D C t * 1 (1 i) = + (ii) a partir da taxa de desconto: d

(t)t

ttttttt0 tt0 tt 0

D C * 1 (1 d)C * (1 d)1 dC * 11 dC * 1 d d1 dC C * 1 dC C * (1 i)D C -C1 di d1 id i=

=

=

+

=

= +

= +

=

=

+

=

Exemplo:Determinada empresa pretende descontar um ttulo de crdito no valor de 5.000 quando aindafaltam 2 anos para o seu vencimento. Considerando uma taxa de juro anual de 22,5%, qual ovalor a descontar ao valor nominal do ttulo, utilizando:a) taxa de juro i


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b) taxa de desconto equivalente.Resposta:Instituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE36a)

( )

( )D 1.668,06D 5.000 * 1 (1 0,225)D C * 1 (1 i)2tt

=

= +

= +

b)d C *(1 (1 d)) 5.000 * (1 (1 0,18367)) 1.668,060,183671 0,2250,2251 id it 2

= t = =

=

+

=

+

=

Exerccios ResolvidosExerccio 2.4.1Um capital aplicado em regime de juro composto taxa anual de 5,5%, produziu, ao fim do 5ano, um valor acumulado de 13.069,60. Determine o capital inicial.Resposta:C .00013.069,60 C * (1 0,055)050

= 10= +

Exerccio 2.4.2Um investidor efectua um depsito de 5.000. Daqui a 6 meses reforar o depsito em 2.000,estando ainda nos seus planos efectuar um levantamento daqui a 9 meses no valor de 2.000.

Confirmando-se estes movimentos, qual ser o saldo do depsito ao fim de um ano,considerando uma taxa de juro anual nominal de 10%, com capitalizao mensal (regime de jurocomposto).Resposta:5.000 2.000 2.000 S = ?3 6 9 12S 5.575,25122.000 * 1 0,1122.000 * 1 0,1


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12S 5.000 * 1 0,16 3 3

=

+

++

= +Exerccio 2.4.3Um pessoa dispe de duas alternativas para liquidar uma compra no valor de 2.000:

Alternativa A: pagamento vista com desconto de 10%.Instituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE37

Alternativa B: pagamento vista de 20% e pagamento do restante em duas prestaes: uma a 6meses e outra a um ano, vencendo juros taxa anual composta de 25% com capitalizaomensal.

Qual das duas alternativas prefervel?Resposta:(i) Comparao das duas alternativas no vencimento da ltima prestao.SB = ?400800 800SA = ?1.800

Alternativa A) 2.305,3212S 1.800 * (1 0,25 12A = + =

Alternativa B) 800 2.217,65

12) 800 * (1 0,2512S 400 * (1 0,25 12 6B = + + + + =

- prefervel a Alternativa B.(ii) Comparao das duas alternativas no momento do pagamento vista.CB = ? 800800400CA = 1.800 1.800


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Alternativa ACA = 2.000 * (1 0,1) = 1.800

Alternativa B) 1.731,5512) 800 * (1 0,2512

C 400 800 * (1 0,256 12

B = + + + + =

- prefervel a Alternativa B.Exerccio 2.4.4Uma empresa tem uma dvida com o valor nominal de 1.000.0000, vencendo-se daqui a 18meses. A dvida vence juros, j includos no valor nominal, taxa semestral i, em regime decapitalizao composta. Sabe-se que se a empresa reembolsasse a sua dvida dentro de 12meses pagaria um valor de 900.901.a) Qual a taxa de juro i.b) Querendo reembolsar imediatamente a dvida, qual seria o valor do reembolso.Instituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE38c) Imagine que decorridos 6 meses, a empresa decide renovar o prazo do emprstimo para 27meses, sendo para tal agravada a taxa de juro em 2 p.p. (pontos percentuais). Qual o valor apagar no fim do novo perodo.Resposta:a)Ct Co i= * (1+ )t(1+ i) = CCt to

, logaritmizando a expresso, vem:i e 1 e 1 11,00%tLn(1 i) LnC LnC

t * Ln(1 i) LnC LnC1log1.000.000 log900.901tLnC LnCt 0t 0t 0

= = =

+ =

+ =

b)C C * (1 i) t 900.901* (1 0,11) 2 731.191,460 = t + = + =

c)Capital em dvida ao fim dos 6 meses:C 731.191,46* (1 0,11) 811.622,52C C * (1 i)6tt 0

= + =

= +Nova taxa de juro:i` = 0,11+0,02 = 13%Perodo da dvida:


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n = 27 - 6 = 21 meses ou n = 21/6 = 3,5 semestresCapital em dvida ao fim de 27 meses:C 811.622,52* (1 0,13) 1.244.8833, 0C C * (1 i)3,521tt 0

= + == +

Instituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE393.Equivalncia de ValoresComo decorre do principio da capitalizao, os valores dos capitais variam em funo do tempoe da taxa de juro.Decorre daqui que, qualquer diferimento de pagamentos acarreta a contagem de juros a favor docredor e, qualquer antecipao de pagamentos ter de contemplar a contagem de juros a favordo devedor.Daqui se infere que, qualquer operao sobre dois ou mais capitais obriga a referi-los ao mesmomomento (no tempo).

Por outro lado, o montante dos juros vai depender da respectiva taxa de juros e do perodo a quea mesma se refere.Ora, a comparao de taxas reportadas a perodos diferentes, implica que as mesmas possamser referidas a um mesmo lapso de tempo.3.1-Equivalncia de CapitaisDois conjuntos de capitais dizem-se equivalentes num determinado momento, quando a somados valores actuais, referidos a esse momento, dos capitais que compem cada um dosconjuntos, forem iguais.

A expresso da equivalncia depende do regime de capitalizaoconsiderado, e designa-se porequao do valor3.1.1- Equao do ValorConsiderados dois conjuntos de capitais:Conjunto A- formado pelos capitais C1, C2, .....Cn, vencveis nos momentos t1, t2,.....tn,Conjunto B- formado pelos capitais C1, C2, .....Cn, vencveis nos momentos t1, t2,.....tn,e, admitindo que ambos os conjuntos vencem juros a uma mesma taxa de juro i, cujo perodo

coincide com a unidade de tempo em que se exprimem os vencimentos dos capitais,diz-se que estes dois conjuntos so equivalentes no momento 0 (ou eventualmente outro),quando as somas dos valores actuais referidos quele momento, dos capitais que compemcada conjunto, forem iguais.3.1.1.1-A equao do valor em regime de juro simplesa)- modalidade de desconto por dentrob)- modalidade de desconto por fora3.1.1.2-A equao do valor em regime de juro composto3.1.2-Casos particulares da equao do valor3.1.2.1- Capital nicoPor Capital nico (Ct), no momento t, entende-se o valor do capital vencvel no momento t, quesubstitui um conjunto de capitais C1, C2, .....Cn, vencveis nos momentos t1, t2,.....tn, para umadada taxa de juro i.Instituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTO

CURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE403.1.2.1.1-Clculo em regime de juro simplesa)- modalidade de desconto por dentrob)- modalidade de desconto por fora3.1.2.1.2-Clculo em regime de juro composto3.1.2.2-Vencimento mdioO vencimento mdio (t), consiste em determinar o prazo t, em que se deve vencer o capital Ct =Cj, de forma a substituir o conjunto de capitais Cj, aplicado a uma taxa de juro i.3.1.2.2.1-Clculo em regime de juro simples


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a)- modalidade de desconto por dentrob)- modalidade de desconto por fora3.1.2.2.2-Clculo em regime de juro composto3.1.3- Taxa Mdia3.2-Equivalncia de Taxas de JuroEm termos de equivalncia, diz-se que duas ou mais taxas, referidas a perodos diferentes, soequivalentes quando aplicadas a capitais iguais durante perodos de tempo tambm iguais,

produzem o mesmo valor acumulado.

H, no entanto, diversos tipos de taxas de juro, com significados claramente diferentes, pelo que,seguidamente descreveremos aqueles que mais interesse prtico possam ter, indo um poucoalm das situaes de equivalncia entre taxas.3.2.1 Taxa Efectiva e Taxa NominalNem sempre o chamado perodo de referncia da taxa de juro (perodo de tempo a que se refere ataxa de juro: um ano, um ms, etc.) coincide com o perodo de capitalizao. Ou seja, podemos terum regime de capitalizao semestral e a taxa que serve de base de clculo ser uma taxa anual. Parapodermos calcular o valor dos juros e/ou do capital acumulado ao longo dos vrios perodos decapitalizao, necessitamos converter a taxa de juro anual na correspondente taxa de juro semestral.Este clculo pode ser realizado essencialmente por dois processos, em funo do tipo de taxa de juroque estamos a utilizar:- Taxa de juro efectiva: esta taxa est de acordo com as regras de ouro da matemticafinanceira e pressupe que h lugar ao pagamento de juros de juros, correspondente ao regimede capitalizao de juros compostos. Ou seja, o juro que vai ser gerado ao longo de, porexemplo, um ano, independente de o perodo de capitalizao e o perodo de referncia dataxa juro serem alterados para um ms ou um semestre. O capital acumulado no final do ano vaiser o mesmo. Por exemplo, se tivermos uma taxa de juro efectiva anual e um processo decapitalizao mensal, teremos:C1 ano = C0 (1 + ianual)1 = C0 (1 + imensal )12ou seja: (1 + ianual)1 = (1 + imensal )12o que o mesmo que: ianual = (1 + imensal )12/1 - 1Instituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE41Estas duas taxas de juro ianual e imensal dizem-se equivalentes, porque precisamente, geram omesmo capital acumulado ao fim de um mesmo perodo de tempo.

A frmula geral de clculo de taxas equivalentes a taxas efectivas com outro perodo dereferncia a seguinte:

ix= (1 + iy )x/y - 1em que x e y so os perodos de referncia das duas taxas de juro, que devem ser expressos namesma base temporal (dias, meses, anos, etc.).Se por exemplo a taxa de juro for de 10% anual efectiva e quisermos calcular a taxa de jurosemestral equivalente, seria:isemestral = (1 + ianual )6 meses /12 meses - 1 = (1 + 0,10 )6/12 - 1 = 4,88%Se por exemplo a taxa de juro for de 5% semestral efectiva e quisermos calcular a taxa de juroanual equivalente, seria:ianual = (1 + isemestral )12 meses /6 meses - 1 = (1 + 0,05 )12/6 - 1 = 10,25%- Taxa de juro nominal: a converso do perodo de referncia das taxas de juro nominais faz-se pelaregra da proporcionalidade: a uma taxa de juro anual nominal de 12% correspondem uma taxasemestral de 6%, um taxa trimestral de 3%, uma taxa mensal de 1%, uma taxa bianual de 24%, eassim sucessivamente.Ou seja: ix = (x/y) * iy ; em que x e y so os perodos de referncia das duas taxas de juro, que

devem ser expressos na mesma base temporal (dias, meses, anos, etc.).Ao contrrio da taxa efectiva, este tipo de taxa de juro no gera o mesmo capital acumulado sefor alterado o seu perodo de referncia e capitalizao. Por isso tem a designao de nominal,com o sentido de ser apenas aparente. Pagar ou receber, por exemplo 1.000 de juros todosos trimestre ou receber 4.000 de juros no final do ano no o mesmo. Ao recebermos parte docapital mais cedo podemos reinvesti-lo e receber o juro correspondente no final do ano.Pelo que foi atrs exposto, conclui-se que, se tivermos a necessidade de fazer a converso doperodo de referncia de uma taxa de juro, imprescindvel saber se esta efectiva ou nominal,dado que o respectivo processo de converso diferente.Em termos de matemtica financeira, s a taxa efectiva que respeita as suas trs regrasbsicas. Como se ver a seguir, o facto da taxa ser efectiva ou nominal pode ser importante em


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termos dos custos ou benefcios reais das operaes financeiras, como sejam a contraco deum emprstimo ou a realizao de um depsito bancrio.Exemplo:Dada uma taxa de juro anual nominal de 6%, a taxa mensal correspondente de 0,5%?Qual a taxa anual equivalente a uma taxa mensal efectiva de 1%?Resposta- Sim : 6%/ 12 = 0,5%- ianual = (1 + imensal )12 meses / 1 ms - 1 = (1 + 0,01 )12/1 - 1 = 12,68%Instituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE423.2.2 TAEG e TAEL frequente as instituies financeiras publicitarem as taxas de juro das operaes financeirasque realizam, por exemplo, emprstimos para habitao ou depsitos a prazo. Frequentementeos valores publicitados correspondem s taxas nominais, no correspondendo por isso ao custoou benefcio efectivo para o cliente.Por exemplo no caso de emprstimos para habitao, o pagamento das prestaes em geralmensal. Se um banco anuncia uma taxa de juro anual de 6%, habitualmente isso significa que ocliente vai pagar uma taxa de juro de 6/12 = 0,5% todos os meses, o que mais do que pagar6% de juros no final do ano: 0,5 % mensal corresponde a uma taxa efectiva anual de (1 + 0,005)12/1 - 1 = 6,17%. Embora a diferena possa parecer pequena, para valores de capital elevados

ela significativa.Alm desta nuance que pode induzir o cliente em erro, h em geral um conjunto de comissese impostos associados a qualquer operao financeira, que dependem da operao a realizar eda prpria instituio.No sentido de permitir a informao mais rigorosa aos clientes, que em geral so leigos namatria, todas as instituies so obrigadas a dar informao, mesmo na publicidade, sobre astaxas efectivas praticadas que englobam (quase) todos os encargos, designadas de TAEG (paraemprstimos a efectuar por entidades financeiras) e TAEL (para remunerao de depsitosbancrios).TAEL taxa anual efectiva lquida (taxa de juro paga ao cliente depois de descontadascomisses e imposto)TAEG taxa anual de encargos efectiva global (taxa de juro que o cliente paga e que engloba asdespesas para cobrana dos reembolsos, encargos fiscais e despesas de concesso dosemprstimos)Estas taxas aparecem habitualmente nas letras pequenas da publicidade escrita e televisiva e no

final dos anncios na rdio, e s atravs delas podemos determinar o que realmente vamospagar ou receber.Instituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE433.2.3 Taxa Nominal e Taxa RealPara alm do significado atrs atribudo, o termo nominal pode estar relacionado com a noconsiderao do efeito da inflao na taxa de juro.

A inflao (perda do valor do dinheiro, com o mesmo dinheiro posso adquirir menos bens eservios) est presente em praticamente todas as economias. O juro a pagar ou receber podeser dividido em dois componentes: uma parte para compensar a perda de valor do dinheiro(inflao) e uma componente para remunerar a utilizao do capital e o risco dessa utilizao(juro real - quem empresta enfrenta sempre o risco de, por qualquer razo, no receber o que lhe

devido).Estas trs variveis relacionam-se do seguinte modo:- se o valor da taxa de juro a pagar ou receber (taxa nominal) for representada por i- se o valor da inflao for representado por - se o valor da taxa de juro real for representada por iteremos no fim de um perodo de capitalizao:Cfinal = C0 (1 + i) = [C0 (1 + ) ] (1 + i)ou seja:i = i + + i Exemplo:a) Se a TAEL de um depsito a prazo for de 6% e a inflao for 4%, qual a taxa de juro real do


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depsito? E se a TAEL fosse de 2%b) Se a TAEG de um emprstimo for de 9% e a inflao for 4%, qual a taxa de juro real doemprstimo?c) Se inflao for de 0% e a taxa e juro real for de 3%, qual ser a taxa de juro nominal?Resoluo:a) i = i + + i; 0,06 = i + 0,04 + i0,04; i = 0,0192 = 1,92%b) i = i + + i; 0,09 = i + 0,04 + i0,04; i = 0,0481 = 4,81%c) i = i + i + i; i = 0,03 + 0 + 0,03*0 = 0,03 = 3%Pode pois haver dois significados para taxa de juro nominal: nominal em contraponto comefectiva ou nominal em contraponto com real. Convm por isso esclarecer em cada situao osignificado de nominal. Habitualmente, quando se trata de efectuar clculos de capitalizao ouactualizao, a designao de nominal refere-se ao primeiro significado e quando intervm ainflao ou a taxa de juro real estamos perante a segunda hiptese (como o caso do exerccioresolvido anterior em que uma taxa efectiva pode ser classificada como nominal por contrapontocom taxa real).Se nas operaes ou comparaes de capitais ou preos for descontado o efeito da inflao dizseque estamos a trabalhar a preos constantes; se o efeito da inflao no descontado, diz-seque estamos a referir-nos a preos correntes.Instituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE44

Exemplo:Sobre uma obra que custe 10.000.000 a pagar hoje mais 10.000.000 a pagar daqui a um ano,sendo a inflao de 4%, dir-se-ia que tem um custo total de 20.000.000 a preos correntes eum custo total de 10.000.000+10.000.000*(1+0,04)-1= 19.615.384,7 a preos constantes.H muitos outros tipos de taxas que no abordaremos neste captulo. Uma breve refernciaapenas para as taxas indexadas. Uma taxa indexada no mais do que uma taxa de juro quevaria em funo de outro factor, em geral outra taxa de juro. Por exemplo, no crdito habitao frequente a utilizao de uma taxa de juro com um spread de 2% acima da Euribor, ou seja, ataxa a cobrar aos clientes destes emprstimos igual soma da taxa de juro Euribor + 2%. Se aEuribor for de 3,5% a taxa a cobrar ser de 5,5% (a Euribor uma taxa de referncia dos jurosno mercado europeu). As taxas indexadas variam sempre que a respectiva taxa de refernciavaria.O conceito de indexao pode ser utilizado noutros contextos que no o dos juros. Por exemplo,posso fazer um contrato de trabalho que estipula um aumento anual do salrio igual taxa deaumento do salrio mnimo.

Instituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE454. Rendas4.1 IntroduoUma das aplicaes mais comuns dos conceitos atrs apresentados so as chamadas rendas.Uma renda, em matemtica financeira (no confundir com o termo renda relacionado compagamento de aluguer), um conjunto finito ou infinito de valores com vencimento deperiodicidade certa, ou seja, valores que so pagos ou recebidos com intervalos de tempoconstantes.Por exemplo, o pagamento de um emprstimo para habitao faz-se habitualmente atravs depagamentos com periodicidade constante, em geral num determinado dia de cada ms. Podepois ser considerado uma renda em termos de matemtica financeira. Os recebimentos dos juros

de um depsito em regime de juros simples, se o intervalo do seu vencimento for constante, tambm considerado uma renda.Muitas das operaes financeiras envolvem a utilizao de rendas, nomeadamente para opagamento ou amortizao de emprstimos ou investimentos. Os clculos do valor de cadaprestao (que em matemtica financeira se designa por termo), da taxa de juro associada ou donmero de prestaes necessrias, so baseados nos princpios apresentados nos pontos sobrecapitalizao e actualizao.4.2 ConceitosRENDA = Sucesso de capitais que se vencem peridicamente sendo o intervalo de tempo entreperodos constanteTERMO da renda, C = cada um dos capitais da sucesso. C1, C2, C3.Cn


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PERODO da renda, p= intervalo de tempo constante que separa osvencimentos consecutivosMomentos relevantes da vida de uma renda :Momento zero em que se convenciona a constituio da renda, podendo estacomear a produzir-se imediatamente ou no ( renda imediataou renda diferida)Momento w - de incio do primeiro perodo da rendaPrazo de diferimento (o;w) decorre desde a constituio darenda at que comea a produzir-se.Momento w + n fim do ltimo perodo da renda quando esta tem n termos e diferida de w perodos.Renda de termos constantes = C1=C2=C3=C4=CnRenda de termos variveis = C1 ; C2 ; C3 ; C4 Cn , os termos variam de acordo comuma lei conhecida (progresso aritmtica, progressogeomtrica etc) ou noRenda anual - chama-se aos termos anuidadesRenda semestral - chama-se aos termos semestralidades etc.Instituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE46Renda de termos com vencimento antecipado cada termo vence-se no incio do perodo

que lhe respeita.Renda de termos com vencimento normal (ou postecipado) cada termo vence-se no fimde cada perodo da renda (perodo do termo)Renda imediata o perodo do primeiro termo da renda inicia-se imediatamenteRenda diferida o perodo do primeiro termo da renda no se iniciaimediatamente, mas sim no inicio do perodow.Tem que se conhecer o n. de perodos de diferimento (w)Renda de amortizao para amortizar uma dvida assumida no momento zero; nestecaso os termos da renda incluem duas parcelas (i) uma queamortiza capital inicial e (ii) e outra que paga os jurosRenda de acumulao destina-se formao de um certo capital acumulado nomomento w + n ,( fim do prazo)Renda de remunerao apenas se destina a remunerar a colocao de um capital ou aprestao de um servio. Casos do juro simples produzido emcada perodo e o da renda da casa4.3-Classificao das rendas

As rendas podem classificar-se segundo diferentes pticas:a) quanto ao numero de termos : temporrias (n finito) ou perptuas ( n infinito)b) quanto sua dependncia de factores aleatrios : certas( se a disponibilidade de todosos termos absoluta) ou incertas ( se o vencimento dos termos est condicionado porqualquer factor aleatrio).c) Quanto ao momento a que so referidos os seus valores actuais: imediatas ( se o seuvalor actual referido a um momento que coincide com o inicio do seu primeiro periodo) oudiferidas ( se o valor actual se refere a um momento anterior ao inicio do seu primeiroperiodo)d) Quanto relao entre o periodo da renda e o da taxa : rendas inteiras ( quando operiodo da renda e o da taxa coincidem) ou rendas fraccionadas ( quando o periodo darenda e o da taxa no coincidem)e, os termos da renda tambm se podero classificar :1) quanto ao momento de vencimento : termos normais ou postcipados ( quando se vencerem

no final do periodo a que dizem respeito) ou termos antecipados (quando se vencerem noinicio do periodo a que correspondem)2) quanto ao seu valor: termos constantes ( se todos tiverem o mesmo valor) ou termosvariveis ( se o valor dos termos for desigual- a variao poder obedecer a uma certa leimatemtica : progresso aritmtica ou geomtrica- ou no)Instituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE474.4-Estudo das rendas


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Por via de regra, e salvo excepes, no estudo das rendas interessa-nos conhecer o seu valornum de dois momentos de referncia:a) - valor actual, ou seja, o valor da renda reportado ao momento zero, que coincide com oinicio do primeiro periodo da renda se esta imediata ou a ummomento anterior se arenda diferidab) - valor acumulado, ou seja, o montante capitalizado por uma renda no fim do seu ultimoperiodocomo a determinao daqueles valores vai depender da classificao da renda e da naturezados seus termos, torna-se necessrio desenvolver e determinar oss respectivos algoritmos casoa caso.4.4.1-Rendas temporrias, certas, imediatas e inteiras4.4.1.1-de termos normais ( ou postcipados) e constantesTrata-se da renda mais simples e que, como tal, ir servir de referencial para todas as restantes.a) Clculo do valor actual : an ; expressso que simboliza o valor actual de uma renda, temporria, certa,imediata e inteira, de n termos normais e unitrios.Para quaisquer outros termos constantes que no unitrios, ter de sermultiplicada por essa constante.Para calcular o valor actual da renda basta somar o valor de todos os termos, depois deactualizados para o momento zero ( zero= actual, por conveno), taxa de juro estipulada, ouseja :1 - (1+i) -nan i = 1[ 1/(1+i)+ 1/(1+i)2++1/(1+i)n-1+ 1/(1+i)n ] =[1- (1+i)n ]/ i =ib) Clculo do valor acumulado sn ; expressso que simboliza o valor acumulado de uma renda,temporria, certa, imediata e inteira, de n termos normais e unitrios.Para quaisquer outros termos constantes que no unitrios, ter de sermultiplicada por essa constante.Para calcular o valor acumulado da renda, teremos de somar os valores capitalizados ou acumulados detodos os termos para o momento n, ou seja o fim do periodo do ultimo termo daa renda, taxa de juroconvencionada, pelo que teremos:(1+i ) n - 1Sn i = 1[(1+i)n-1 + (1+i)n-2 ++ (1+i)+ 1] = [ (1+i)n - 1]/ i =iComparando as duas expresses, fcilmente se conclui que existe uma relao directa entre as mesmas,que se traduz :Sn i = an i (1+i) nOu seja, o valor actual capitalizado para o fim do ultimo periodo igual ao valor acumulado

pelos termos da renda.E, a inversa tambm verdadeiraInstituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE484.4.1.2-de termos antecipados e constantes

Ao contrrio da modalidade anterior, os termos da renda vencem-se no inicio de cada perodo eno no fim, o que corresponde a antecipar um periodo no vencimento de todos os termos darenda.Como consequncia, o valor actual de cada um e de todos os termos aumenta, pois, actualizado menos um periodo.Representa-se por : n i = an i (1+i) ={ [1- (1+i)n ]/ i } *(1+i)Do mesmo modo, o valor acumulado pelo somatrio dos termos da renda no fim do ultimo

periodo, tambm aumenta de igual modo, uma vez que cada termo da renda ir acumular maisum periodo de juros; sofre ou beneficia de um periodo adicional de capitalizao.Representa-se por : sn i = Sn i ( 1+i) = ={ [ (1+i) n -1 ] / i } *(1+i)Do mesmo modo que nas rendas de termos normais, tambm nas rendas de termosantecipados se verifica a relao entre o valor actual e o valor acumulado :sn i i = n i (1+i) ne inversamente4.4.2-Rendas temporrias, certas, diferidas e inteiras,4.4.2.1-de termos normais (ou postcipados) e constantesPor definio, uma renda diferida quando o inicio do seu primeiro periodo posterior ao momentoactual, ou, como dizemos por simplificao, ao momento zero.


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O numero de periodos que decorre desde o momento actual (zero) at ao inicio do periodo doprimeiro termo designado como o prazo de diferimento-tDeste modo, para calcular o valor actual de uma renda diferida det periodos, torna-senecessrio actualizar todos os termos de mais t periodos do que uma renda imediata.O valor actual de uma renda diferida de t periodos e de termos normais, representa-se pelaexpresso:t an i = an i [(1/(1+i) t ] ={ [1- (1+i ) - n ]/ i }*(1+I ) - t

O valor acumulado no final do ultimo periodo da renda, ou seja , no final do periodo do ultimotermo da renda, isto , n+t, ser exactamente igual ao valor acumulado por uma renda imediatae de termos normais no final do periodo n, pelo que o algoritmo de clculo exactamente omesmo.4.4.2.1-de termos antecipados e constantes

Aplica-se, por analogia, o que descrito para a renda imediata e de termos antecipados.Assim, o valor actual de uma renda diferida de t periodos e de termos antecipados, representasepela expresso:Instituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE49t n i = t an i * (1+i) = = {{ [1- (1+I)- n ] / i }*(1+i) - t }* (1+i) = { [1- (1+i) -n]/ i }*(1+i) -t+1 Tal como na modalidade anterior, o valor acumulado no final do ultimo periodo da renda, ouseja, no final do periodo n+t, ser igual ao que resultaria de uma renda imediata de termosantecipados no final do periodo n, pelo que o clculo se efectua do mesmo modo.4.4.3-Rendas, perptuas, certas, imediatas ou diferidas e inteirasPor oposio a rendas temporrias, em que o numero de termos n finito, ou seja, umaconstante dada, temos as rendas perptuas, em que o numero de termosn tende para infinito.Naturalmente que, se o numero de termos tende para infinitamente grande, no possivelreferenciar no tempo o fim do ultimo periodo da renda, e logo, carece de significado o valoracumulado da renda, o mesmo dizer que possivel determinar esse valor.Inversamente, reveste-se de particular interesse e acuidade o conhecimento do valor actualdessas rendas, para os mais diversos efeitos.Tal como para as rendas temporrias, poderemos ter rendas perptuas imediatas ou diferidas e,em ambos os casos, podero ser de termos normais ou postcipados ou de termos antecipados.Daqui decorre que, para determinar o valor actual de uma qualquer renda perptua, se podetomar os algoritmos de determinao do valor actual da correspondente renda temporria,fazendo tender a varivel n para infinito.

Vamos de seguida, deduzir alguns destes algoritmos4.4.3.1-Imediatas, de termos normais ( ou postcipados) e constantesA partir da formulao para a renda temporria vir: n:an i = [1- (1+i) -n] / i ={ [1-1/(1+i) n ] / i } e a i = { [1-1/(1+i)] / i }e como (1+i)> 1; 1/(1+i)ntende para zero ; donde :ai = { [1-1/(1+i) ]/ i } 1/ iEste , pois, o valor actual de uma renda perptua, certa, imediata e inteira, de termos normaise constantes e de valor unitrio.

A partir deste algoritmo deduzem-se todos os outros4.4.3.2-Imediatas, de termos antecipados e constantesVir :i = ai *(1+i) = 1/ i * (1+i)4.4.3.3-diferidas, de termos normais ( ou postcipados) e constantesTeremos :

Instituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE50t ai = ai [(1/(1+i)t] =(1/i)*(1+i)-t4.4.3.4-diferidas, de termos antecipados e constantesComo na modalidade anterior :t i = t ai * (1+i) = = (1/i)*(1+i) -t }* (1+i) = (1/i)*(1+i) -t+1

Analisamos at aqui as rendas, certas e inteiras , de termos constantes, quer sejamtemporrias, quer sejam perptuas e para ambas, tanto imediatas como diferidas e ainda, quer


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sejam de termos normais ou de termos antecipados.Vamos de seguida abordar as formas de clculo do valor actual e do valor acumulado dasrendas fraccionadas.4.4.4-Rendas certas, temporrias ou perptuas, imediatas ou diferidas e fraccionadasComo vimos na definio, estamos perante rendas fraccionadas quando o periodo da renda e operiodo da taxa de juro no coincidem.Por via de regra, nas rendas fraccionadas, o periodo da taxa de juro comporta dois ou maisperiodos da renda. Vamos, genricamente, considerar que o periodo da renda correspnde a 1/mdo periodo da taxa .

Assim, uma renda que se vence durante n periodos da taxa vai ter mxn termos, a saber:m- o numero de vezes que o periodo da taxa contm o periodo da renda, ou o numerodetermos da renda que se vencem durante um periodo da taxa.n- o numero de periodos da taxa durante os quais se vence a rendamxn- ser o numero de termos da renda4.4.4.1-Rendas certas, temporrias, imediatas, de termos normaisTal como para as rendas inteiras, interessa, fundamentalmente, determinar o valor actual (reportado aomomento actual) e o valor acumulado (reportado ao fim do ultimo periodo da renda).Por conveno representam-se : (rendas unitrias)(m) 1/m 2/m 1 n-1/m n

Valor actual : an i = 1{1/(1+i) + 1/(1+i) ++1/(1+i) +.1/(1+i) + 1/(1+i)-n 1/m

= [1-(1+i) ] / i . i/ [ (1+i) -1] = an i . I / i1/monde i a taxa equivalente relativa ao periodo da renda : i = (1+i) 1Podemos assim dizer que, o valor actual de uma renda fraaccionada resulta do produto do valor actual deuma renda inteira pelo quociente entre a taxa de juro peridoca e a taxa equivalente a esta relativa ao

periodo da renda.(m)

Valor acumulado: sn i = : sn i . i / iInstituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE514.4.4.2-Rendas certas, temporrias, imediatas, de termos antecipadosSe em vez de normais, os termos forem antecipados, haver menos um perodo da renda de actualizao,

para o valor actual e mais um de capitalizao para o final do ultimo periodo da renda, pelo que, e tal comonas rendas inteiras, vir:

(m) (m) 1/mValor actual : n i = an i .(1+i)(m) (m) 1/m

Valor acumulado : sn i = : sn i . (1+i)4.4.4.3-Rendas certas, temporrias, diferidas, de termos normais e de termos antecipadosAplica-se o algoritmo deduzido acima, quer para as rendas de termos normais, quer para as rendas determos antecipados, com a particularidade de que os periodos diferidos (t) correspondem a periodos darenda e no da taxade juro.a) Valor actual de uma renda diferida de tperiodos, de termos normais :(m) t / m

t an i = an i . i / i . (1+i )b) Valor actual de uma renda diferida de tperiodos, de termos antecipados(m) (m) 1/m t / m 1/m

t n i = t an i . (1+i) = an i . i / i . (1+i ) . (1+i)(t+1)/m

= an i . i / i . (1+i )Tal com vimos para as rendas inteiras, a determinao dos valores acumulados processa -se exactamentenos mesmos termos que os das rendas imediatas, uma vez que se reportam sempre ao fim do periodo doultimo termo da renda.4.4.4.4-Rendas certas, perptuas, imediatas ou diferidas, de termos normais e de termos antecipadosTal como para as rendas inteiras, tambm para as rendas fraccionadas a determina o do valor acumuladono possivel nas rendas perptuas.Quanto determinao do valor actual, procede-se como nas rendas inteiras adaptando osalgoritmos anteriormente deduzidos a cada combinao de renda/termos.

Assim teremos :a) rendas imediatas, de termos normais. Vir :


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(m)

ai = ai . i/ i = 1 / i . i / i = 1/ iInstituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE52b) rendas imediatas, de termos antecipados. Vir :

(m) (m) 1/m 1 /m 1/m 1/mi = ai .(1+i) = ai . i/ i .(1+i)= 1 / i . i / i.(1+i) = 1/ i .(1+i)c) rendas diferidas, de termos normais. Vir :(m) - t/m - t/m - t/m

t ai = ai . i/ i .(1+i) = 1 / i . i / i .(1+i) = 1/ i .(1+i)d) rendas diferidas, de termos antecipados(m) (m) 1/m - (t -1) / m - (t-1)/m - (t-1)/m

t i =t ai .(1+i) =ai . i/ i .(1+i)= 1 / i . i / i.(1+i) = 1/ i .(1+i)ImportanteO conceito de renda fraccionada assume grande importncia dado que, regra geral, os periodosda renda e da taxa de juro no so coincidentes.

Acontece que, mesmo sendo importante o seu conhecimento e tratamento como tal, semprepossivel converter uma renda fraccionada numa renda inteira, mediante o recurso equivalncia de taxas de juro, ou seja, a substituio da taxa de juro dada, pela sua equivalentecorrespondente ao periodo da renda.Por via de regra, o periodo da renda que cabe duas ou mais vezes no periodo da taxa (m), enestas situaes a taxa equivalente vem dada por :1/mI = (1+i) - 1Significa esta transformao que, a renda passa a ser inteira, com n . m termos, em vez nperiodos, comportando cada um m termos.Como fcilmente se poder demonstrar, teremos ( para uma renda temporria e de termosnormais) :(m)

Valor actual : an i = an. m i(m)

Valor acumulado : sn i = sn. m iO mesmo para o valor actual e valor acumulado e para todas as rendas e termosInstituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE534.4.5-Rendas incertas e de termos variveisNo abordaremos no nosso estudo as rendas incertas, nem to pouco as rendas certas determos variveis, pese embora a sua importncia em muitas aplicaes correntes,nomeadamente quando a variao do valor dos termos obedece a uma determinada regramatemtica, por exemplo quando os termos variam em progresso aritmtica ou geomtrica, apartir de uma determinada razo.5.Reembolso de Emprstimos5.1-ConceitoPor emprstimo, entende-se o acordo atravs do qual uma entidade coloca disposio deoutra, uma certa importncia, em determinadas condies e durante um determinado prazo detempo, obrigando-se a segunda a restituir o capital recebido, bem como o preo acordado para autilizao desse capital, ou seja, o juro.

Instituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE54Naturalmente que, todo o emprstimo dever observar os princpios da Matemtica Financeira,ou seja, em qualquer momento, o valor do capital emprestado dever ser igual soma dosvalores, de capital e juros, actualizados para esse momento. Este princpio, de equivalncia devalores reportados a qualquer momento, ser a base de clculo dos valores a pagar pelodevedor, no reembolso do capital e pagamento dos juros.Os emprstimos podem revestir as mais formas e natureza, mas isso no relevante para a


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Matemtica Financeira. Aqui interessam-nos essencialmente os processos de reembolso docapital (dito principal) o do pagamento dos juros, que pode assumir diversas formas e varia como regime de juro ( simples ou composto).5.2-Modalidades de reembolsoPor modalidade de rembolso entende-se a combinao entre o mtodo de amortizao docapital emprestado (principal) e do pagamento dos juros decorrentes do emprstimo.Naturalmente que, as partes envolvidas tem a faculdade de negociar as mais variadas formas deamortizao da divida e do pagamento dos juros da decorrentes, o que torna impossivel a suadescrio exaustiva.Vamos, pois, considerar aquelas que na prtica so as mais frequentes, e das quais se poderoderivar todas as outras (tendo em conta o principio da equao do valor aplicvel a todas asrelaes emprstimo-reembolso do capital e pagamento dos juros).

Assim, iremos considerar :A) Quanto amortizao do capital em dvida ( ou obtido de emprstimo):-Hip. A1 pagamento do capital de uma s vez no fim do prazo;-Hip. A2 pagamento escalonado do capital durante o prazo do emprstimoB) Quanto ao pagamento do juro :-Hip. B1 na totalidade e de uma s vez no fim do prazo do emprstimo-Hip. B2 na totalidade e de uma s vez no incio do prazo, ou seja, na data do emprstimo-Hip. B3 de forma escalonada no tempo, durante o prazo do contratoDa combinao de cada par de hipoteses ( reembolso do capital/pagamento dos juros) obtemos seishipteses de base, as quais iremos designar por modalidades de reembolso, conforme a seguir sedescreve:Amortizao do capital Pagamento do juro Modalidades1NO FIM DO .( A1; B1)PRAZO

A1NO FIM DO PRAZO

B1NO INICIO DO PRAZO

B2Instituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE55

2.(A1; B2)3.(A1; B3)4.(A2; B1)5.(A2; B2 )6.(A2; B3 )ImportantePara qualquer das modalidades acima (ou de quaisquer outras), em qualquer momento, ovalor actualizado para esse momento do capital emprestado, ser obrigatoriamente igual soma dos valores actualizados, para o mesmo momento, do capital a reembolsar e dos

juros a pagar pelo devedor, taxa de juro convencionada.Tendo em conta que h dois regimes de juro- regime de juro simples e regime de jurocomposto- de admitir, pelo menos no dominio das hipteses, que qualquer emprstimopossa ser negociado em regime de juro simples ou no regime de juro composto.Iremos de forma breve abordar a utilizao dos dois regimes.5.2.1-Regime de juro simples

Na prtica, o regime de juro simples aplica-se apenas nas operaes de curto prazo, comreembolso de capital de uma s vez no final do prazo. Hip. A1.Nos emprstimos que envolvem amortizaes escalonadas de capital, aplica-se, por via deregra, o regime de juro composto.Por tal razo, neste regime faremos referencia apenas s trs primeiras modalidades derembolso de emprstimos.1)- 1. Modalidade (A1; B1)Nesta modalidade, o devedor (ou muturio) ir entregar ao credor (ou mutuante) no fim do prazo,o capital inicialmente recebido acrescido dos juros vencidos, taxa de juro convencionada.Tomando como referencia o momento zero, ou seja o da concesso do emprstimo, vir :C = C/ (1+ni) + Jn/ (1+ni), ou


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C = (C+Jn) / (1+ ni), donde : C(1+ni) = C+Jn, eESCALONADO

B3ESCALONADODURANTEOPRAZO

A2NO FIM DO PRAZO

B1NO INICIO DO PRAZO

B2ESCALONADO

B3Instituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICAANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE56Esta expresso d-nos o valor do juro a pagar no momento n, ou seja no final do prazo do

emprstimo.2) 2. Modalidade ( A1 ; B2)Nesta modalidade, o pagamento dos juros efectuado no momento zero, ou seja na data doemprstimo, mantendo-se o reembolso do capital no fim do prazo, ou seja, no momento n.Vir :C= Jo + C/ (1+ni)e, resolvendo em ordem a Jo :Esta expresso, permite-nos determinar o montante do juro a pagar na data do contrato, ecorresponde ao juro vencido pelo capital (C-Jo) durante o prazo n.Sabendo que, Jn= Cni , fcilmente se verifica que :O que equivale a dizer, que o juro pago no inicio corresponde ao juro pago no fim descontado para o iniciodo prazo.ImportantePor vezes, na prtica, no se observa o principio da matemtica financeira acima e calcula-se o

juro a pagar no momento do emprstimo como se o mesmo fosse pago no fim do prazo ( J= Cni)

Nesta eventualidade, a taxa de juro efectivamente praticada (i) ser superior quela que foi, defacto contratada. Vejamos como :Sendo : J= Cni e J = juro pago no inicio, deveriamos ter : J= (C-J).n i ; donde por substituiovir:Cni = ( C- Cni) .n i ; e resolvendo em ordem a i , teremos :I = Cni/(C-Cni).n = Cni/{Cn (1-ni)} e, simplificando :Esta expresso evidencia que a taxa efectivamente praticada superior quela que foi, de facto,contratada.Jn= CniJo = Cni/(1+ni)Jo = Jn/(1+ni)I = I / (1-ni)Instituto Superior de Engenharia do PortoSECO DE ORGANIZAO E GESTOCURSO DE ENGENHARIA INFORMATICA

ANO : 2. , 1. SEMESTRE /2. SEMESTRE573) 3. Modalidade ( A1 ; B3)Nesta modalidade, os juros so pagos escalonadamente durante o prazo do emprstimo. Oescalonamento poder assumir diferentes critrios, mas aqui vamos considerar apenas o casomais comum e generalizado, de juros constantes e vencveis em momentos equidistantes, ouseja, em periodos de tempo constantes.Podero ser pagos no inicio ou no fim do periodo a que respeitam.3.1) Juros normais pagos no fim do periodoOs juros so pagos em periodos de tempo constantes, correspondentes a um (1) , a diversos oufraco de (k) periodos da taxa, pelo que teremos :


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J1 = J2 = J3 = Jn-1 = Jn e,J1 = J2 = . = J = C. i, se o periodo do juro corresponder ao periodo da taxa, eJ1 = J2 = .= J = C.k.i, se o periodo do juro corresponder a k periodos da taxa, ou fracodeste.Para a determinao dos juros periodicos, no necessitamos de recorrer equao do valor,mas importante constatar que a mesma se mantm, ou seja :Nota: Ao tratar-se de juro simples, que no produz juros de juros, resulta que os juros vencidosem cada periodo, somam aritmticamente entre si.3.2) Juros antecipados pagos no inicio do periodoNesta hiptese, em que os juro se vencem no inicio do periodo a que respeitam, no temos maisdo que descontar o valor dos juros calculados para o final do periodo para o inicio do mesmo.

Assim, se o periodo do juro corresponder ao periodo da taxa, vir :E, se o periodo do juro correponder a k periodos da taxa ou fraco, teremos :No limite, se k = n , estariamos reconduzidos modalidade (A1; B2),

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