Calcul et Controle Stochastiqueˆ · PDF file 2018. 1. 18. · F. Comets, Th....

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Transcript of Calcul et Controle Stochastiqueˆ · PDF file 2018. 1. 18. · F. Comets, Th....

  • 1

    Sorbonne Universit

    ´

    e, Facult

    ´

    e de Sciences

    Master de Math

    ´

    ematiques M1 2017-2018

    Calcul et Contr

    ˆ

    ole Stochastique

    et Applications

    `

    a la finance

    Camille Tardif

    10-01-2018

    Polycopi

    ´

    e de Philippe Bougerol

  • 2

  • Table des matières

    1 Introduction 9 1.1 Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.2 Un peu de bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.2.1 En Français . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.2.2 Deux gros livres spécifiquement sur les aspects financiers. . . . 11

    1.2.3 Un livre en anglais, parmi d’autres . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.2.4 Les articles de Wikipedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    I Modèles à temps discret 13

    2 Introduction à l’évaluation en finance, Vocabulaire et produits 15

    2.1 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.1.2 Les métiers de la finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.2 La valeur du temps: Taux d’intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2.2.1 Economiquement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2.2.2 Mathématiquement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.2.3 Actualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.2.4 Quelques taux utilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    2.3 Actifs financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    2.3.1 Actifs de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    2.3.2 Marché à terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2.3.3 Marchés dérivés: Produits optionnels . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2.4 Utilité versus AOA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    2.5 Le modèle d’évaluation de base le plus simple . . . . . . . . . . . . . . 21

    2.5.1 Le modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    2.6 Portefeuille de couverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    2.6.1 Interprétation probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    2.6.2 Univers risque neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

  • 4 TABLE DES MATIÈRES

    3 Rappels et compléments d’analyse et de probabilité 25 3.1 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    3.1.1 Mesurabilité et variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1.2 Classe monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.1.3 Indépendance et espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . 26

    3.2 Projection dans un Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3 Théorème de Radon Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4 Espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    3.4.1 Un théorème de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    4 Calcul stochastique à temps discret 33 4.1 Filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.3 L’intégrale stochastique discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.4 Un théorème de Doob . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.5 Martingale continue à droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.6 Martingale locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    5 Contrôle stochastique à horizon fini 43 5.1 Systèmes dynamiques à temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    5.1.1 Système dynamique contrôlé déterministe . . . . . . . . . . . . 43 5.1.2 Système dynamique aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.1.3 Système dynamique contrôlé aléatoire . . . . . . . . . . . . . . 45 5.1.4 Stratégies markoviennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    5.2 Programmation dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.3 Premiers Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    5.3.1 Cas déterministe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.3.2 Remarque fondamentale sur la complexité . . . . . . . . . . . . 51 5.3.3 Remplacement de machines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.3.4 Gestion de stock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.3.5 Une solution explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    5.4 Arrêt optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.4.2 Enveloppe de Snell d’une suite adaptée . . . . . . . . . . . . . 55 5.4.3 Cadre markovien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.4.4 Approche du cas Markovien par l’enveloppe de Snell . . . . . . 57 5.4.5 Approche du cas markovien par la programmation dynamique . 57 5.4.6 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    6 Marchés à temps discret, AOA, complétude 63 6.1 Modèle Stock-Bond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.2 Portefeuille du marché (S,B) et autofinancement . . . . . . . . . . . . 64

    6.2.1 Portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6.2.2 Autofinancement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

  • TABLE DES MATIÈRES 5

    6.2.3 Changement de numéraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    6.3 AOA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    6.3.1 Lemme sur la transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . 67

    6.3.2 Preuve du théorème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    6.4 Evaluation d’un actif réplicable dans un marché viable . . . . . . . . . 70

    6.5 Marché complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    6.5.1 Complet => Unicité de P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.5.2 Unicité de P => Propriété de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . 72 6.5.3 Propriété de Bernoulli => Représentation prévisible . . . . . . 72

    6.5.4 Représentation prévisible => Complet . . . . . . . . . . . . . . 73

    6.6 Modèle binomial de Cox, Ross et Rubinstein . . . . . . . . . . . . . . 74

    6.6.1 Le modèle d’arbre recombinant de CRR . . . . . . . . . . . . . 74

    6.6.2 Représentation prévisible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    6.6.3 Prix d’options, Portefeuille de couverture . . . . . . . . . . . . 77

    6.7 Appendice: Preuve de la proposition 6.5.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    7 Théorie du Portefeuille de Markowitz 81

    7.1 La notion d’Utilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    7.2 Multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

    7.3 Théorie du portefeuille de Markowitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

    7.3.1 Cas sans taux fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    7.3.2 Frontière de Markowitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    7.3.3 Avec un actif sans risque, à taux fixe, Théorie de Tobin . . . . 87

    8 Contrôle et filtrage linéaire optimal 91

    8.1 Le cadre du contrôle linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    8.2 Matrices symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

    8.3 Programmation dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    8.4 Variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    8.4.1 Coe�cients dépendant du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    8.4.2 Correction de trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    8.5 Le problème du filtrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

    8.5.1 Gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

    8.6 Le Filtre de Kalman Bucy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

    8.6.1 Le Problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

    8.6.2 Décomposition à l’aide de l’innovation . . . . . . . . . . . . . . 98

    8.6.3 Calcul de la matrice de gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    8.6.4 L’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    8.6.5 Equation de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

    8.7 Contrôle avec information imparfaite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

  • 6 TABLE DES MATIÈRES

    9 Filtrage Markovien non linéaire: Cas fini 105 9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 9.2 Le modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 9.3 Les équations du filtrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

    9.3.1 L’étape de prédiction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 9.3.2 L’étape de mise à jour ou correction . . . . . . . . . . . . . . . 107

    II Mod