Calcul Numeric - Bonet

Click here to load reader

  • date post

    01-Dec-2014
  • Category

    Documents

  • view

    617
  • download

    8

Embed Size (px)

Transcript of Calcul Numeric - Bonet

Clcul numricCarles Bonet Reves Angel Jorba Monte M. Teresa Martnez-Seara Alonso Joaqum Masdemont Soler Merc Oll Torner Antoni Susin Snchez Marta Valncia Guitart

Primera edici: febrer de 1994 Reimpressi: febrer de 1995

Aquesta publicaci s'acull a la poltica de normalitzaci lingstica i ha comptat amb la collaboraci del Departament de Cultura i de la Direcci General d'Universitats, de la Generalitat de Catalunya. En collaboraci amb el Servei de Llenges i Terminologia de la UPC. Disseny de la coberta: Manuel Andreu

Els autors, 1994 Edicions UPC, 1994 Edicions de la Universitat Politcnica de Catalunya, SL Jordi Girona Salgado 31, 08034 Barcelona Tel. 93 401 68 83 Fax 93 401 58 85 Edicions Virtuals: www.edicionsupc.es e-mail: [email protected]

Producci:

Servei de Publicacions de la UPC i CPDA (Centre de Publicacions d'Abast) Av. Diagonal 647, ETSEIB, 08028 Barcelona

Dipsit legal: B-3.516-94 ISBN: 84-7653-376-4

Sn rigorosament prohibides, sense l'autoritzaci escrita dels titulars del copyright, sota les sancions establertes a la llei, la reproducci total o parcial d'aquesta obra per qualsevol procediment, inclosos la reprografia i el tractament informtic, i la distribuci

Index

7

Index

pag:

1 Captol 1: Introducci o1.1 Generalitats 1.2 Aritmtica de coma otant i errors d'arrodoniment e 1.2.1 Error en la representaci o 1.2.2 Error en les operacions 1.3 Resoluci de problemes o 1.3.1 Propietats dels algorismes 1.3.2 Estabilitat numrica e 1.3.3 Velocitat de clcul a 1.3.4 Capacitat de memria o 1.4 Problemes ben o mal condicionats 1.4.1 Explicaci matemtica del mal condicionament o a

11 11 12 14 15 18 18 19 20 20 22 23 27 27 28 29 30 31 33 36 36 42 43 47 49 52 55 60

2 Captol 2: Sistemes lineals

2.1 Introducci o 2.1.1 Mtode de Gauss e 2.1.2 Eliminaci Gaussiana o 2.1.3 Resoluci de sistemes triangulars o 2.1.4 Nombre d'operacions en el mtode de Gauss e 2.1.5 Estratgies de pivot e 2.2 Mtodes de factoritzaci directa e o 2.2.1 Factoritzaci triangular. Descomposici o o 2.2.2 Cas particular: Matrius banda 2.2.3 Esquemes compactes 2.3 Mtodes iteratius e 2.3.2 Convergncia dels mtodes iteratius e e 2.3.3 Mtode de sobrerelaxaci e o 2.4 Sistemes mal condicionats 2.5 Anlisi de l'error aLU

Els autors, 1998; Edicions UPC, 1998.

82.6 3.1 3.2 3.3 Escalat de sistemes lineals Introducci o El mtode de la potncia e e Mtodes basats en transformacions de semblana e c 3.3.1 El mtode de Jacobi e 3.3.2 Mtode de Hyman e 3.3.3 L'algorismeQR

Clcul numric a e

61 65 67 74 74 78 80 85 85 87 88 91 94 96 97 99 101 102 103 104 109 109 114 116 117 118 119 123 125 127 128 128 129 129 133 135 136

4 Captol 4: Interpolaci o4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 Introducci o Interpolaci de Lagrange o Interpolaci de Newton diferncies dividides o e Interpolaci per a punts equiespaiats o L'error a les taules de diferncies e Interpolaci inversa o Error en la interpolaci o Abscisses de Txebyshev Interpolaci d'Hermite o Fenomen de Runge Interpolaci per splines o Construcci de splines o

5 Captol 5: Aproximaci o5.1 Introducci o 5.2 Aproximaci polinomial per mnims quadrats. Polinomis ortogonals o 5.2.1 Polinomis de Gram 5.3 El cas continu 5.3.1 Polinomis de Legendre 5.3.2 Polinomis de Txebyshev 5.4 Sistemes lineals sobredeterminats 5.5 Aproximaci de Fourier o 5.5.1 Canvi d'escala 5.5.2 Interpolaci trigonomtrica o e 5.6 Transformada rpida de Fourier FFT a 5.6.1 La transformada de Fourier de funcions peridiques o 5.6.2 La transformada de Fourier de funcions aperidiques" o 5.6.3 L'impuls de Dirac 5.6.4 La transformaci de Fourier discreta. DFT o 5.6.5 Transformada rpida de Fourier FFT a

Els autors, 1998; Edicions UPC, 1998.

Index

9141 141 145 149 151 153 162 169 169 169 171 173 174 175 176 177 178 179 180 181 181 182 183 184 185 185 191 191 194 197 203 209 209 210 214 214 220 221

6 Captol 6: Integraci numrica o e6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 Frmules de Newton-Cotes o Frmules compostes o Frmula d'Euler-Maclaurin o Extrapolaci de Richardson o Integraci gaussiana o Derivaci numrica o e

7 Captol 7: Zeros de funcions

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 Introducci. Mtode de bisecci o e o Mtode de Newton o de la tangent e Mtode de la secant. Regula falsi e Teoria d'iteraci. Mtodes de punt x o e 7.4.1 Teorema del punt x 7.4.2 Nota sobre la condici de Lipschitz o Estudi de l'error pels mtodes de punt x e 7.5.1 Acceleraci de la convergncia o e 7.5.2 Algorisme d'Aitken Convergncia no lineal e 7.6.1 Ordre de convergncia del mtode de Newton e e 7.6.2 Zeros mltiples u El mtode de Newton per a sistemes d'equacions no lineals e 7.7.1 Teorema del punt x Mtodes espec cs per a polinomis e 7.8.1 Mtode de De acci e o 7.8.2 Problemes amb el mal condicionament Mtode de Bairstow e

8 Captol 8: Programaci lineal i optimitzaci o o8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 Introducci o Formulaci estndard del problema de programaci lineal o a o Formulaci geomtrica del problema o e Mtode del smplex Dantzig 1942 e Mtode computacional del smplex e 8.5.1 Forma matricial del mtode del smplex e 8.5.2 El mtode del smplex revisat e 8.6 Programaci no lineal o 8.6.1 Mtodes bsics de descens unidimensional e a 8.6.2 Mtodes que necessiten derivades o que la sigui regular e 8.6.3 Mtodes de descens multidimensional ef

Els autors, 1998; Edicions UPC, 1998.

10 9 Captol 9: Equacions diferencials

Clcul numric a e

229 229 230 230 232 235 238 241 242 243 245 247 248 249 255

9.1 Introducci o 9.2 Mtodes d'un pas e 9.2.1 Mtode d'Euler e 9.2.2 Errors en els mtodes numrics e e 9.2.3 Mtodes de Taylor e 9.2.4 Mtodes de Runge-Kutta e 9.2.5 Generalitzaci a sistemes d'equacions diferencials ordinries o a 9.3 Mtodes multips e a 9.3.1 Mtodes d'Adams-Bashforth e 9.3.2 Mtodes d'Adams-Moulton e 9.3.3 Mtodes predictor-corrector e 9.4 Condicions de consistncia e 9.5 Estabilitat i convergncia e

Bibliogra a

Els autors, 1998; Edicions UPC, 1998.

Bibliograf a

255

Bibliograf a

1. G. Dalquist, A. Bjrck, Numerical methods", 1974, Prentice Hall. o 2. C. Froberg, Introduccin al anlisis numrico", 1977, Ed. Vicens-Vives. o a e 3. P.E. Gill, W. Murray Wright, Practical Optimization", 1981, Academic Press. Inc. 4. P. Henrici, Elementos de anlis numrico", Ed. Trillas, Mxico. a e e 5. E. Isaacson, B. Keller, Analysis of numerical methods", 1966, John Wiley and Sons, Inc. New York. 6. P.E. Luenberger, Introduction to linear and nonlinear programming", 1973, Adison Wesleay, Menlo-Park, California. 7. Ortega, W.G.Poole, An introduction to numerical methods for diferential equations", 1981, Pitman Publishing Inc. 8. J. Stoer, R. Bulirsch, Introduction to numerical analysis", Springer-Verlag. 9. C. Williams Geat, Numerial initial Value Problems in ordinary di erential equations" Prentice-Hall, Inc.

Els autors, 1998; Edicions UPC, 1998.

Introduccio

11

Cap tol 1

Introduccio

1.1 Generalitats

Des de 1947, any en que fou fundat a Los Angeles el "Institute of Numerical Analysis", l'analisi numerica ha tingut un desenvolupament vertiginos i es avui una de les branques mes importants de les matematiques. L'objectiu de l'analisi numerica es l'estudi dels metodes constructius en analisi matematica. Entenem per metode constructiu qualsevol procediment que ens permet d'obtenir la solucio d'un problema amb una precisio arbitraria en un nombre nit de passos, que es poden fer de manera raonable. Aquests metodes constructius se sistematitzen en una successio de sentencies. Aquesta successio de passos s'anomena algorisme. Per tal d'il lustrar el tipus de problemes i conceptes que tractarem, considerem un exemple senzill. Exemple. p Considerem el problema de determinar l'arrel quadrada d'un nombre real positiu a, a. La podem calcular mitjancant el proces iteratiuxk+1

=

xk

+

a=xk =2 ;

Es pot demostrar que xk ,! a si k ,! 1. Com que, per raons practiques, nomes podem considerar un nombre nit d'iteracions, el calcul es realitza amb una precisio xada ". L'algorisme conte els passos segents: u 1. Inicialitzacio: x = x0 precisio imposada .x0

p

k

= 0; 1; 2; : : : ; x0 0 ; arbitrari :

0 , I = 0, Imax nombre maxim d'iteracions , " la

Els autors, 1998; Edicions UPC, 1998.

12

Calcul numeric

2. Mentre I Imax feu. 3.I

, I + 1.x + a=x =2. ",

4. Calculeu y = 5. Si j y , x j 6. Fimentre.

escriviu y i pareu; si no, feu x , y i continueu.

7. Poseu "l'algorisme no convergeix" i pareu. A l'hora de denir un algorisme cal tenir cura que no hi hagi ambigitat en passar u a l'operacio segent. Entre les causes mes senzilles de fracas d'un algorisme podem u esmentar: - divisions per zero - arrels quadrades de nombres negatius - absencia de condicions per tal d'aturar un proces iteratiu, etc.

1.2 Aritmetica de coma otant i errors d'arrodonimentNaturalment els algorismes s'executen en un computador digital on les operacions de suma, multiplicacio i divisio es realitzen amb un cert error. A causa de la nitud de la maquina no es possible representar tots els nombres nomes ns a una certa talla , i dels que es poden representar nomes es possible fer-ho aproximadament no podem p guardar innits decimals i les operacions no es poden fer exactament 2 no es pot calcular exactament . Des del punt de vista de l'usuari un algorisme ha de ser vist com una caixa negra que agafa un problema i, despres d'un gran nombre d'operacions inexactes, dona una resposta. Aix es necessari estudiar a priori els efectes de tots aquests errors en un algorisme. La majoria de calculs en un computador es fan utilitzant aritmetica de coma otant. Encara que generalment operen amb representacio binaria, es mes facil de descriure aq