Ejercicios Resueltos de Calcul Vectorial, anónimo

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    03-Oct-2015
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varios ejercicios resueltos de cálculo vectorial

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  • Un hombre recorre 25 km al Nordeste, 15 km al Este y 10 km al Sur. Determinara) qu distancia recorre?, b) En qu direccin est a partir de su posicin inicial?Solucin:a)Si ponemos el eje X en la direccin "Este" y el eje Y en la direccin "Norte", el primer vector hace un ngulo de 45 con el

    eje XLos vectores son entonces

    v1 = 25 (cos 45; sin 45) =

    25p2

    2(1; 1)

    v2 = (15; 0) Ya que recorre 15 Km haca el Este.v3 = (0;10) Ya que recorre 10 Km haca el Sur.La suma es

    ~v = ~v1 + ~v2 + ~v3 =25p2

    2(1; 1) + (15; 0) + (0;10) =

    25p2

    2+ 15;

    25p2

    2 10

    !

    ~v =

    25p2

    2+ 15;

    25p2

    2 10

    !=32:7 7:7

    La distancia a la que est del punto donde sali, es la magnitud del vector ~v; as qued =

    32:7 7:7

    = 33:6b)La direccin est dada por el ngulo que hace el vector resultante con el eje X,

    = arctan

    7:7

    32:7

    = 0:23 rad

    En grados el ngulo es

    =0:23 180

    = 13:2

    Gracamente tenemos

    donde la resultante es el vector rojo

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  • Hallar un vector unitario en la direccin de la resultante de ~a = 2bi bj + bk, ~b = bi+ bj + 2bk, ~c = 3bi 2bj + 4bkSolucin:El vector resultante es~R = ~a+~b+ ~c = 2bi bj + bk +bi+ bj + 2bk + 3bi 2bj + 4bk = 6bi 2bj + 7bkAhora basta dividir entre la magnitud del vector para entonces tener un vector unitario en la misma direccin de la resultante.La magnitud del vector es

    6bi 2bj + 7bk

    = k(6;2; 7)k =q62 + (2)2 + 72 = p89 (89 es primo, no se puede reducir ms el radical)As que el vector unitario en la direccin de la resultante esbR = ~R

    ~R

    = (6;2; 7)k(6;2; 7)k = (6;2; 7)p89Resumiendo:bR = (6;2; 7)p

    89

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  • Calcular

    ~a+~b ~a~b

    si ~a = 2bi 3bj + 5bk y ~b = 3bi+ bj 2bk

    Solucin:Tenemos

    ~a+~b ~a~b

    =

    2bi 3bj + 5bk + 3bi+ bj 2bk 2bi 3bj + 5bk 3bi bj + 2bk

    ==

    5bi 2bj + 3bk bi 4bj + 7bk

    =

    =

    5bi bi 20bi bj + 35bi bk + 2bj bi+ 8bj bj 14bj bk 3bk bi 12bk bj + 21bk bk

    Comobi bi = bj bj = bk bk = 1ybi bj = bi bk = bj bi = bj bk = 0la expresin anterior queda

    ~a+~b ~a~b

    =

    5bi bi+ 8bj bj + 21bk bk

    = k5 + 8 + 21k = 24Finalmente

    ~a+~b ~a~b

    = 24

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  • Hallar tal que 2bi 3bj + 5bk y 3bi+ bj 2bk sean perpendicularesSolucin:Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es cero.El producto escalar de estos dos vectores es2bi 3bj + 5bk 3bi+ bj 2bk == 6bi bi+ 2bi bj 4bi bk 9bj bi 3bj bj + 6bj bk + 15bk bi+ 5bk bj 10bk bkSabemos quebi bi = bj bj = bk bk = 1y quebi bj = bi bk = bj bi = bj bk = 0,por tanto2bi 3bj + 5bk 3bi+ bj 2bk = 6 3 10y esto debe ser cero, sea, debemos tener6 3 10 = 0,o bien = 4

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  • Cul es el ngulo entre los vectores 2bi+ 6bj + bk y bi+ bj 2bk?Solucin:Por denicin tenemos que

    ~a ~b = k~ak

    ~b

    cos

    donde es el ngulo que forman los dos vectores.En este caso2bi+ 6bj + bk bi+ bj 2bk = (2; 6; 1) (1; 1;2) = 2 + 6 2 = 2adems

    2bi+ 6bj + bk

    = k(2; 6; 1)k = p22 + 62 + 12 = p41y

    k(1; 1;2)k = k(1; 1;2)k =q(1)2 + 12 + (2)2 =

    p6

    as que

    cos =~a ~bk~ak

    ~b

    cos =

    2p41p6

    por lo tanto,

    = arccos

    2p246

    = 1:44 rad

    que expresado en grados es

    = 1:44 rad =1:44 180

    = 82:5

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  • Hallar un vector unitario perpendicular al plano de los vectores ~a = 3bi 2bj + 4bk y ~b = bi+ bj 2bkSolucin:Sabemos que el producto vectorial ~a~b es perpendicular al plano de los vectores ~a y ~b.Sin embargo, el producto vectorial no tiene porque tener una magnitud igual a 1, pero podemos crear uno paralelo dividiendo

    entre su magnitud.Tenemos~a~b =

    3bi 2bj + 4bk bi+ bj 2bk = (3;2; 4) (1; 1;2) =

    =

    [email protected] bj bk3 2 41 1 2

    1A = (4 4)bi (6 4)bj + (3 + 2)bk = 10bj + 5bk = (0; 10; 5)La magnitud de el producto vectorial esk(0; 10; 5)k =

    p102 + 52 =

    p100 + 25 =

    p125 = 5

    p5

    as que el vector unitario que estamos buscando esbc = (0; 10; 5)5p5

    = 1p5(0; 2; 1)

    Resumiendo:bc = 1p5(0; 2; 1)

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  • Hallar el rea del tringulo de vrtices (2;3; 1), (1;1; 2) y (1; 2; 3)Solucin:Los lados del tringulo son(2;3; 1) (1;1; 2) =

    1 2 1

    y(2;3; 1) (1; 2; 3) =

    3 5 2

    El rea del paralelogramo formado por los vectores de arriba, est dada por la magnitud del producto vectorial de los vectoresque forman el tringulo,El producto vectorial es1 2 1

    3 5 2

    =

    bi bj bk1 2 13 5 2

    = bi bj + bk = 1 1 1

    1 1 1

    = p1 + 1 + 1 = p3Por lo tanto el rea del trangulo es la mitad de este valor (la mitad del rea del paralelogramo)

    rea=

    p3

    2

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  • Calcular el ngulo solido que subtiende el Sol respecto al centro de la Tierra.Solucin:El dimetro del Sol es 1:392 109m, y por lo tanto, su rea es

    1:392 109m=2

    2.

    La distancia del la Tierra al Sol es 1:496 1011m.El ngulo slido subtendido es

    =A

    R=

    1:392 109m=2

    2(1:496 1011m)2

    = 6: 80 105

    En resumen,

    = 6:80 105 sr

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  • Transforma la integralR a0

    hRpa2x20

    x2 + y2

    dx

    idy a coordenadas polares y calcula su valor. Dibuja el rea sobre la

    cual ests integrandoSolucin:Las coordenadas polares se denen comox = cos y = sin ( 0; 0 < 2)El determinante jacobiano [email protected]

    @

    @y

    @@x

    @

    @y

    @

    = cos sin sin cos

    = cos2 + sin2 = cos2 + sin2 = El rea de integracin es el cuarto de crculo S =

    (x; y) j 0 < y < a; 0