Paradoxes matematiques sobre l’infinit

Elisabeth Albanell Sarroca, Silvia Garcıa Dıez i Anna Valdivia Garcıa

9 de desembre del 2009

1. INTRODUCCIO

1.1. Que es una paradoxa?

Etimologicament, paradoxa es troba composta pel prefix per a-, que significacontrari a i -doxa, que significa “opinio”. Es a dir, la paraula paradoxa significa elcontrari a l’opinio comuna. Es refereix a un tipus d’argument en el qual s’exposarauna idea que no concorda amb el que s’acorda comunament. Per aixo les paradoxessorprenen, meravellen i ens obliguen a aturar-nos a pensar que volen dir o quines con-sequencies se’n dedueixen. Les paradoxes son un gir inesperat en l’argumentacio quegenera la necessitat d’una visio de les coses.

La paradoxa pot exposar una consequencia sorprenent derivada d’un argumentamb un rigor logic inquestionable. En aquest cas la seva funcio es fer-nos adonar deles implicacions de l’argument. Pero tambe pot tenir una funcio negativa quan ensconfon i ens allunya del fil d’una argumentacio correcta.

Figura 1: L’infinit

La identificacio de paradoxes basades en conceptes en aparenca raonables i sim-ples ha impulsat importants avencos en la ciencia, filosofia i les matematiques, per

1

exemple, l’anomenada paradoxa de Russell1, de 1901, va provocar una veritable crisien la teoria logica i en la teoria de conjunts i, en general, en la fonamentacio de lamatematica. Moltes d’elles, d’altra banda, han obligat a replantejar diversos supositslogics o cientıfics, o a reflexionar sobre determinats conceptes filosofics fonamentals.

1.2. Historia de les paradoxes

Les primeres paradoxes conegudes son les citades per Aristotil, i reben el nom deparadoxes de Zeno. Zeno va divulgar les teories del seu mestre sobre la impossibilitatdel moviment i del canvi, contra l’opinio dels pitagorics sobre la pluralitat i contral’afirmacio de Heraclit que canvia, amb famoses argumentacions paradoxals contrael moviment, les mes conegudes de les quals son la paradoxa d’Aquil·les i la tortuga,que mes endavant estudiarem, la de la dicotomia, la de la fletxa en vol, la paradoxade l’estadi i la del munt, i l’argument contra la pluralitat.

Entre els megarics, deixebles de Socrates, Eubulides de Megara va proposarfamoses paradoxes conegudes amb el nom de paradoxa del munt i la paradoxes delmentider. Tambe aquestes paradoxes ens han estat transmeses pels escrits d’Aristotil.Totes elles estaven al servei de la dialectica i de la logica.

Els autors medievals, sobretot a partir del s. XIV, van continuar en el mon de lesparadoxes amb les seves discussions dialectiques sobre els insolubilia, o tambe im-possibilia, noms que apliquen als arguments paradoxals dels antics.

En l’edat moderna, en intentar fonamentar la matematica en la logica, vanapareixer un cert nombre de problemes paradoxals. Autors com Dedekind, Cantor,Russell i Frege son els mes importants d’aquesta epoca.

En resum, les primeres paradoxes van sorgir a l’Antiga Grecia, amb els primerspensadors, i han anat desenvolupant-se al llarg de la historia fins a arribar a para-doxes relacionades amb la teoria de la decisio, classificades com a psicologiques perode contingut logic. Per tant, les paradoxes son un clar exemple de que els essershumans hem anat evolucionant.

1.3. Tipus de paradoxes

No totes les paradoxes son iguals, es per aixo que es possible classificar-les segonsdiversos criteris.

1Existeix un barber el qual diu: “jo afaitare a tots aquells que no s’afaitin a si mateixos”, perollavors, qui afaitara al barber? Matematicament parlant, existeix un conjunt que contingui tots elsconjunts que no es contingui a ell mateix?

2

Classificacions:

a. Segons la seva veracitat i les condicions que les formen:

Algunes paradoxes nomes ho semblen, ja que el que afirmen en realitat es certo fals, unes altres es contradiuen a elles mateixes, per tant es poden considerarveritables paradoxes, mentre d’altres depenen de la seva interpretacio per ha sero no ser paradoxa.

Paradoxes verıdiques: Son resultats que aparenten ser absurds encara quesigui possible demostrar la seva veracitat. A aquesta categoria pertanyen lamajor part de les paradoxes matematiques.Exemples:

a) Paradoxa de l’aniversari: “Quina es la probabilitat de que dues personesen una mateixa reunio facin anys el mateix dia?”

b) Paradoxa de Galileu: “Encara que no tots els nombres son quadrats, nohi ha mes nombres que nombres quadrats.”

c) Paradoxa de l’hotel infinit: “Un hotel de infinites habitacions que potacceptar mes hostes, fins i tot si esta ple.”

Paradoxes falsıdiques: Donen un resultat que no nomes sembla ser fals,sino que ho es a consequencia d’una fal·lacia2 en la demostracio donada. Lesdemostracions falses (per exemple, les que demostren que 1=2) s’inclouenen aquesta categoria.Exemples:

a) Paradoxa del cavall: “Mostra com tots els cavalls del mon son del mateixcolor”

b) Paradoxa de Epimides: “Un cretenc afirma que tots els cretencs son unsmentiders”

c) Paradoxa de l’examen sorpresa: “ Es possible fer un examen sorpresa sit’avisen amb antelacio?”

d) Paradoxa de Zeno: “ Si Aquil·les corre mes rapid que una tortuga. Comes que no pot atrapar-la?”

Antinomies: Son paradoxes que arriben a un resultat que s’autocontradiu,aplicant correctament metodes acceptats de raonament. Mostren errors enun raonament, axioma o definicio previament acceptats. Per exemple, laparadoxa de Grelling-Nelson que assenyala problemes en el nostre modede entendre les idees de veritat i descripcio. Molts son casos especıfics, oadaptacions de la paradoxa de Russell.Exemples:

2Fal·lacia: Forma d’argument defectuosa. Per be que, generalment, hom la considera com asinonim de sofisma, hom pressuposa en aquest darrer un caracter deliberat que pot no esser presenten la fal·lacia.

3

a) Paradoxa de Russell: “Existeix un conjunt de tots els conjunts que noes contingui a si mateix?”

b) Paradoxa de Grelling-Nelson: “Es la paraula ‘heterologic’, que significa‘que no es descriu a si mateix’, heterologica?”

c) Paradoxa de Curry: “ Si no m’equivoco, el mon s’acabara en deu dies.”d) Paradoxa del mentider: “Aquesta oracio es falsa”.e) Paradoxa de Berry: “ El menor enter positiu que no es pot definir amb

menys de quinze paraules.”f ) Paradoxa de la sort: “Porta mala sort ser supersticios”g) Paradoxa dels nombres interessants: “Tot nombre enter presenta alguna

propietat interessant especıfica, i per tant el conjunt dels nombres nointeressants es buit.”

Antinomies per definicio: Son paradoxes que es basen en definicions am-bigues, sense les quals no arribarien a una contradiccio. Aquest tipus deparadoxa constitueix un recurs literari, en el qual cal destacar l’escriptorangles G.K. Chesterton 3.Exemples:

a) Paradoxa de Sorites: “¿En quin moment un pilo deixa de ser-ho quanes van traient grans de sorra?”

b) Paradoxa de Teseo: “Quan es canvien totes les parts d’un vaixell, segueixsent el mateix vaixell?”

c) Paradoxa de Boixnet: “Penso per tant soc, aleshores quan penso ¿ noexisteixo?

d) Paradoxes de G. K. Chesterton:“Hi havia una vegada un estranger moltdesitjable, tot i aixo no el van deportar”.“Una vegada vaig coneixer doshomes que estaven tan completament d’acord que, logicament, un vamatar a l’altre.”

Paradoxes condicionals: Nomes son paradoxals si es fan certes suposicions.Algunes d’elles mostren que aquestes suposicions son falses o incompletes.Exemples:

a) Paradoxa de Newcomb: “Com jugar contra un oponent omniscient.”b) Paradoxa de Sant Petersburg: “La gent unicament arriscara una petita

quantitat per a obtenir una recompensa de valor infinit.”c) Paradoxa del viatge en el temps: “Que passaria si viatgessis en el temps

i matessis al teu avi abans que conegui a la teva avia?”

b. Segons l’area del coneixement a la qual pertanyen:3G.K.Chesterton: Escriptor britanic (1874-1936) que era conegut com “prıncep de els paradox-

es” donat que el seu estil sempre va estar marcat per l’us de paradoxes. Aprofitant els multi-ples significats de les paraules, buscava marcar contrastos que cridessin l’atencio sobre algunaquestio comunment poc considerada. Aquestes paradoxes, com les del seu llibre Les paradoxes deMr. Pond (1936), es resolen en el transcurs dels relats al afegir alguna informacio clau.

4

Totes les paradoxes es consideren relacionades amb la logica, que antigament esconsiderava part de la filosofia, pero que ara s’ha formalitzat i s’ha inclos comuna part important de la matematica. Tot i aixo, moltes paradoxes han ajudat aentendre i avancar en algunes arees concretes del coneixement.

En matematiques/logica:

� Sobre la probabilitat i l’estadıstica:Exemples:a) Paradoxa de l’aniversari: “Quina es la probabilitat de que dues per-

sones en una mateixa reunio facin anys el mateix dia?”b) Paradoja de Simpson: “Quan afegim dades, podem trobar relacions

enganyoses.”c) Paradoxa de Arrow:“No es possible tenir totes els avantatges d’un

sistema de votacio ideal al mateix temps.”d) Paradoxa de Sant Petersburg:“Com no mereix la pena arriscar molt

per a guanyar un premi infinit.”� Sobre la logica:

Tot i que totes les paradoxes es consideren relacionades amb la logica,hi ha algunes que afecten directament a la seva bases i postulats tradi-cionals.Exemples:a) Paradoxa de l’actual rei de Franca:“Es certa una afirmacio sobre

alguna cosa que no existeix?”b) Paradoxa del corb (o corbs de Hempel):“Una poma vermella incre-

menta la probabilitat que tots els corbs siguin negres.”c) Paradoxa de la regressio infinita del pressuposat:”Tot nom que des-

igna un objecte pot convertir-se al seu torn en objecte d’un nou nomque designi el seu sentit”

� Sobre l’infinit:El concepte matematic d’infinit, al ser contrari a la intuıcio, ha generatmoltes paradoxes des de que va ser formulat.Exemples:a) Paradoxa de Galileu:“Tot i que no tots els nombres son nombres

quadrats, no hi ha mes nombres que nombres quadrats.”b) Paradoxa de l’hotel infinit:“Un hotel d’infinites habitacions pot ac-

ceptar mes hostes, fins i tot si esta ple.”c) Conjunt de Cantor:“Com extreure elements d’un conjunt i que segueixi

tenint la mateixa grandaria.”d) Banya de Gabriel (o Trompeta de Torricelli):“Com pot ser que calgui

una superfıcie infinita per a contenir un volum finit? ”e) Paradoxes de Zeno: mitjancant el concepte de divisio a l’infinit,

Zeno va tractar de demostrar que el moviment no pot existir, confir-mant aixı la filosofia del seu mestre, Parmenides. Les mes conegudesson la “dicotomia” i la paradoxa de “Aquil·les i la tortuga”.

5

En fısica:Paradoxes en l’ambit de la fısica 4

Exemples:

a) Paradoxa de Martini:“Si la llum viatja mes rapid que el temps, a onva?”

b) Paradoxa de Olbers:“Per que, si hi ha infinites estrelles, el cel es negre?”c) Paradoxa dels bessons:“Quan un dels germans torna d’un viatge a ve-

locitats properes a les de la llum descobreix que es molt mes jove que elseu germa.”

d) Paradoxa del lingot de plata:“Es impossible la duplicacio exacta de lamateria i tots els seus estats quantics, per tant son impossibles els viatgesen el temps.”

En economia:Exemples:

a) Paradoxa de Abilene:“Un grup de persones frequentment pren decisionsen contra dels seus propis interessos.”

b) Paradoxa de l’estalvi:“Si tothom tracta d’estalviar durant una recessio,la demanda agregada caura i els estalvis totals de la poblacio seranencara mes baixos.”

c) Paradoxa de Allais:“En un cert tipus d’apostes, encara quan la gentprefereix la certesa a la incertesa si es planteja el problema d’una maneradiferent preferiran la incertesa que abans rebutjaven.”

d) Paradoxa del valor (o paradoxa del diamant i l’aigua):“Per que es mesbarata l’aigua que els diamants, sent que els humans necessiten aigua, ino diamants, per a sobreviure?”

e) Paradoxa de Jevons:“Un increment en l’eficiencia comporta un majorincrement en la demanda.”

f ) Paradoxa de J.LIP.:“Com menys diners gastis, mes diners tindras per agastar.”

g) Paradoxa del votant:“Quantes mes personas participin en una elec-cio per votacio, menor sera el benefici d’anar a votar, al ser cada votantmenys decisiu.”

Altres:Exemples:

a) Paradoxa de la forca irresistible: Sabent que un cos inamovible es unacos al qual cap forca, per forta que sigui, es capac de moure. I teninten compte que una forca irresistible es una forca a la que cap cos potresistir-se: Que succeeix quan un cos inamovible es troba amb una forcairresistible?

4Richard Feynman en els seus llibres Lectures on Physics, aclareix que en l’ambit de la fısicarealment no existeixen les paradoxes, sino que en les paradoxes fısiques hi ha sempre una inter-pretacio erronia d’algun o ambdos raonaments que componen la paradoxa. Aixo no es necessariamentvalid en altres disciplines on les paradoxes reals poden existir.

6

b) Paradoxa del futur: “Pots modificar el teu futur, pero el futur s’avancaa la teva modificacio.”

c) Paradoxa de advocat: “Un professor fa un pacte amb el seu alumna dedret: Si voste guanya el seu primer judici, hem paga les classes. Si elperd, no hem deu res. Finalment, el nou advocat no va participar encap judici per tal de corre risc de haver de pagar. Passat un temps elprofessor el va demandar. En el seu judici, l’alumne, es va defensar a simateix. Si guanyes el judici, per llei no hauria de pagar al seu professor,pero pel pacte ho hauria de fer. Si perdes el judici, hauria de pagar perordre del jutge, pero pel pacte no ho hauria de fer.”

d) Paradoxa de la fe: “Com es pot tenir plena confianca en quelcom queno se sap si realment existeix?”

Tot i les multiples classificaions no totes les paradoxes encaixen amb exactituden una unica categoria.

7

2. PARADOXA DE ZENO: D’AQUIL·LES I LA TOR-TUGA

2.1. Introduccio

Figura 2:Parmenidesd’Elea

En l’epoca de Zeno d’Elea (s. V aC) els filosofs discutien sobreel tema de l’espai i el moviment, la unitat i la pluralitat. N’hi havienalguns, com Parmenides, que defensaven la unitat, la immobilitat,la continuıtat de l’espai i el temps. D’altres, com els pitagorics oHeraclit, estaven convencuts del contrari: que el mon era mobil,canviant, plural.

Zeno, deixeble de Parmenides, va aportar un argument para-doxal per defensar la idea del seu mestre. L’originalitat del seu ar-gument es troba en el fet que adopta la posicio contraria i la portaa les darreres consequencies. Descobreix aixı el que hi ha d’absurden aquesta postura. Amb aixo demostra que l’opcio veritable ha deser necessariament la de Parmenides.

Les paradoxes de Zeno consisteixen en explicar mitjancant larao el seguent: una persona no pot recorrer una longitud, perqueprimer ha d’arribar a la meitat d’aquest, abans a la meitat de la meitat, pero abansencara hauria de recorrer la meitat de la meitat de la meitat i aixı infinitament fins al’infinit. D’aquesta manera, teoricament, una persona no pot recorrer una longitud,encara que els sentits mostren que sı es possible.

Figura 3:Zeno d’Elea

2.2. Autor

2.2.1. Zeno D’Elea

Zeno d’Elea fou un filosof grec nascut en Elea (490-430? a.C.).Va argumentar a favor de la filosofia parmenida5. Es conegut per lesseves paradoxes, que en la seva epoca eren aporetiques6, tals comles que neguen l’existencia del moviment o la pluralitat de l’esser.Zeno va tractar de provar que el ser ha de ser homogeni, unic i, enconsequencia, que l’espai no esta format per elements discontinussino que el cosmos o univers sencer es una unica unitat. Va inventarla demostracio cridada ad/absurdum (reduccio per l’absurd, moltemprada a les demostracions en l’ambit de les matematiques, coma l’assignatura de Calcul), que pren per hipotesi les afirmacionsde l’adversari i mostra els absurds als quals s’arribaria si aquesta

5No existeix el moviment, sino l’esser.6Argumentacions que busquen demostrar una teoria volent demostrar que l’anterior es falsa.

8

hipotesi fos veritable, obligant a l’interlocutor, en ultima instancia,a acceptar la tesi oposada a la qual va sostenir en un principi.

Els seus principals arguments son en contra de:

1. La pluralitat com estructura de la realitat.

2. La validesa de l’espai.

3. La realitat del moviment.

4. La realitat de transcorrer del temps.

Cal destacar que Zeno pot considerar-se un precursor del calcul infinitesimal,posteriorment desenvolupat per Leibniz a l’any 1666, ja que va ser el primer entractar d’aquest tema, encara que els seus raonaments no fossin del tot correctes.

2.2.2. James Gregory

Tambe hauriem de destacar al matematic i astronom escoces James Gregory(Drumoak 1638 - Edimburg 1675). Es diu que Gregory va ser un dels matematicsmes importants de la seva epoca. Una de les aportacions mes important que va fera les matematiques fou la publicacio del llibre Vera Circuli et Hyperbolae Quadratu-ra. En aquesta obra s’estudia el calcul d’arees de cercles i hiperboles mitjancantseries infinites convergents. Tambe s’especula entorn de l’existencia dels nombrestranscendentals, es deduıx la impossibilitat de resoldre el problema de la quadratu-ra del cercle, i realitza aportacions en els polinomis de Taylor i la primera provadel Teorema fonamental del calcul integral. James Gregory fou el matematic queva donar solucio7 a la paradoxa d’Aquil·les i la tortuga demostrant que una sumainfinita d’elements no ha de ser sempre divergent.

2.3. Enunciat

Zeno ens explica el cas seguent. Si Aqui·les, l’heroi mitologic famos per la sevavelocitat, perseguıs la tortuga, l’animal mes lent del planeta, mai no seria capacd’atrapar-la. Tot seguit veurem per que.

Zeno situa Aquil·les i la tortuga en una lınia que simbolitza l’espai que cal recorre.Per als mitagorics era ben clar que aquesta lınia (l’espai) estava dividida en segments.Aquil·les ha de recorre aquests segments per acostar-se a la tortuga que, al seu torn,tambe hi avanca, per davant d’Aquil·les. Quan Aquil·les arriba on era la tortuga,l’animal ja ha avancat un tram, pero la distancia entre tots dos s’ha reduıt. Podrıempensar que ara arribara un moment que Aquil·les atrapara la tortuga, perque vames rapid. Pero aquı trobem la paradoxa: aixo es impossible perque la tortuga jaha marxat quan Aquil·les arriba. La distancia s’escurcara indefinidament pero, comque els segments son infinits, Aquil·les mai no l’atrapara.

7Veure apartat 3.4.1. Demostracio mitjancant series.

9

Zeno sap, com qualsevol de nosaltres, que Aquil·les realment atrapa a la tortuga.Pero la seva paradoxa permet veure que l’espai no pot dividir-se sino que ha de sercontinu. Aixo es el que defensava Parmenides.

A continuacio, mostrarem l’enunciat de la paradoxa:Aquil·les, cridat “el dels peus lleugers”i el mes habil guerrer dels Aqueos, qui va

matar a Hector, decideix sortir a competir en una carrera contra una tortuga. Jaque corre molt mes rapid que ella, i segur de les seves possibilitats, li dona un granavantatge inicial. Al donar-se la sortida, Aquil·les recorre en poc temps la distanciaque els separava al comencament, pero a l’arribar alla descobreix que la tortuga ja noesta, sino que ha avancat, mes lentament, un petit tros. Sense desanimar-se, segueixcorrent, pero a l’arribar de nou on estava la tortuga, aquesta ha avancat una micames. D’aquesta manera, Aquil·les no guanyara la carrera, ja que la tortuga estarasempre per davant d’ell.

Figura 4: Aquil·les i la tortuga

2.4. Explicacio i raonament matematic

Hi ha tres maneres de demostrar que aquest enunciat es fals. Vegem-les:

2.4.1. Demostracio mitjancant series

La idea principal d’aquesta demostracio es basa en calcular una serie geometrica8.

Suposem que Aquil·les recorre la meitat d’una distancia, despres un quart d’aquestadistancia, despres un vuite i aixı sucessivament. Matematicament ens referim a lasuma d’una successio de nombres Q), es a dir, la serie:

∞∑n=1

12n

=12

+14

+18

+ ...

8Una successio geometrica successio de nombres que compleix que el quocient entre qualsevol dosmembres successius de la successio es una constant anomenada rao comuna o factor de progressio dela successio.

10

Pero aquesta serie es convergent o divergent? Observem que aquesta serie es deltipus geometrica. Per tant, donada una serie geometrica

∞∑n≥0

rn

es divergent si |r| ≥ 1

es convergent si |r| < 1.

Per tant, es convergent ja que |r| = 12 .

Per tal de calcular quin es el valor de la suma aplicarem la seguent igualtat:

∞∑n≥i

rn =ri − r∞

1− r

Per tant,∞∑

n=1

12n

=12 − 01− 1

2

=1212

= 1

es a dir, la suma de la meitat de la meitat de la meitat... es 1.

Aquesta es la demostracio que va fer el matematic James Gregory.

2.4.2. Demostracio mitjancant equacions

Suposem que la distancia que recorre Aquil·les per poder atrapar la tortuga esx, que son els 100 metres que li dona d’avantatge mes una distancia y que recorre latortuga, es a dir, x = 100 + y. Si Aquil·les avanca a una velocitat deu vegades mesque la tortuga, es a dir, mentre la tortuga recorre y Aquil·les recorre deu vegadesmes x = 10y. Llavors si substituım a l’equacio d’abans obtenim que 10y = 100 +y, operem i obtenim que 100 = 9y. D’aquesta manera obtenim que y = 100/9 =11.1111..., es a dir, Aquil·les i la tortuga es creuaran en 11.111... metres.

Aquest problema tambe es pot resoldre de la mateixa manera pero posant coma mesura el temps. D’aquesta altra manera obtenim que Aquil·les i la tortuga escreuaran passats 11.111... segons.

2.4.3. Demostracio mitjancat un punt fix

Una altra manera de platanejar el problema es que Aquil·les pot fixar un puntd’arribada, un punt fix, el qual esta a metres per davant de la tortuga, en comptesde fixar el punt on es trobaran. Ara, en comptes de tenir quantitats infinites, tenimdues quantitats finites amb les quals es pot calcular un espai finit de temps en elqual Aquil·les passara a l’animal.

11

Aquesta manera simple de solucionar la paradoxa tambe es pot relacionar en-focant el problema fısicament. Es ben sabut pels fısics que tant la distancia comel temps no son infinitament divisibles, per tant, en el proces es finit i aleshoresAquil·les arribara a atrapar a la tortuga.

2.5. Conclusio

Zeno va ser el primer en expilcar les seves idees i tesis amb arguments, pero a laseva epoca va ser impossible portar-li la contraria. En canvi, avui podem veure que lasolucio que va donar Zeno a la paradoxa no era correcte, gracies a la demostracio queva publicar el matematic James Gregory.

Avui podem saber mitjancant les matematiques que Aquil·les arribara a agafar latortuga, doncs la suma d’infinits elements pot arribar a ser convergent. Cada vegadaque Aquil·les avanci un petit tros del recorregut s’anira apropant mes a l’animal,amb distancies cada vegada mes petites, i la suma d’aquestes, com hem vist abans,es un numero finit, que es quan Aquil·les es trobara amb la tortuga.

12

3. PARADOXA DE CANTOR: EL CONJUNT DE CAN-TOR

3.1. Introduccio

El conjunt de Cantor es probablement, el mes usual exemple i contraexemplede tots els que s’utilitzen en l’estudi de certes arees de les matematiques. Va serelaborat per primera vegada a finals del segle XIX per Georg Cantor, per resoldreun problema que s’havia plantejat en l’ambit de la topologia: saber si existia o noun subconjunt compacte no buit de R que fos totalment no connex9 i dens en simateix. Cantor va provar que si existeix.

Mes tard, ja en el segle XX es va demostrar que tots els conjunts amb aquestescaracterıstiques son topologicament equivalents (homeomorfs).

3.2. Autor

3.2.1. Georg Cantor

Figura 5:Georg Cantor

Georg Ferdinand Cantor, matematic alemany d’origen rus. Can-tor va neixer al 1845 a Sant Peterburg (Russia). Fill de mare russai el pare danes, d’ofici comerciant, va creixer en una famılia de sisgermans. En 1856 quan Cantor nomes tenia 11 anys la famılia esva traslladar a Wiesbaden (Alemanya) degut a la delicada salut delseu pare.

La disciplina a la seva famılia era molt estricta i tenien unaveritable obsessio per l’exit. Es per aixo que el seu pare volia queestudies enginyeria, doncs en aquella epoca hi havia una gran de-manda d’enginyers i a mes aquests estaven molt ben pagats, mal-grat tot, a Cantor no li agradava la idea doncs ell volia estudiarmatematiques. Aixı doncs, al 1862 va ingressar a la universitatpolitecnica de Zurich, pero despres de la mort del seu pare, un anymes tard, es va traslladar a la Universitat de Berlın, on va estudiarmatematiques, fısica i filosofia. I va ser precisament a Berlın on va

9Connex ↔ A ⊂ U ∪ V , A ∩ U ∩ V = ø , A ∩ U 6= ø , A ∩ V 6= ø

13

tenir professors com Weierstrass10, Kummer11 i Kronecker12.Al 1867 es va doctora i al 1869 va comencar a treballar de

professor a la Universitat de Halle (Alemania). Cantor en realitatsempre va desitjar que el truquessin d’una de les grans universitats(Berlın o Gotinga) pero la trucada no es va produir, es creu que degut a la oposicio deKronecker, amb qui Cantor estava enfrontat ja que els seus treballs refutaven elsfonaments dels treballs que realitzava Kronecker.

Cal destacar l’estudi de Cantor sobre els conjunts infinits.En 1874 va publicar el seu primer treball sobre la teoria de conjunts, el seu primer

descobriment revolucionari va ser la demostracio de que hi havia un mateix nombrede punts en el pla que a la recta. (Galileu havia demostrat que hi havia el mateixnombre de punts en segments de diferents mides).

Va demostrar que no tots els conjunts infinits son de la mateixa mida i queconjunts, que tots dirıem que tenen mes elements que uns altres, en realitat, tenenels mateixos. Per exemple, hi ha el mateix nombre de nombre parells que de nombresnaturals, hi ha el mateix nombre de enters que de naturals, hi ha el mateix nombrede racionals que de naturals. En canvi, hi ha mes nombres reals que naturals. Esa dir, que tots els conjunts infinits tenen “la mateixa mida”. Va considerar aquestsconjunts com a entitats completes amb un nombre d’elements infinits complets. Vaanomenar a aquests nombre infinits complets “nombres transfinits” i va articularuna aritmetica transfinita completa. Per aquest treball al 1879 va rebre un ascens aprofessor.

Les seves teories van ser molt innovadores per la seva epoca, el concepte d’infiniten matematiques havia estat tabu fins aleshores i es per aixo que va tenir en-frontaments amb altres matematics. Cantor va tenir diversos enemics, especialmentLeopold Kronecker que com ja havıem esmenat va fer tot el que es trobava a lesseves mans per tal d’arruınar la seva carrera. Estancat en una institucio docent nodesitjada, privat del reconeixement pel seu treball i constantment atacat per Kro-necker, a l’any 1884 Cantor va patir la primera de les crisis nervioses que mes tardacabarien amb ell.

El seu treball no es va comencar a apreciar fins al final de la seva vida, quan ja era10Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (31/10/1815-19-2-1897) matematic alemany considerat el

pare de l’analisi modern, investigador i professor de catedra a la Universitat de Berlin. Weierstrassva donar les definicions actuals de continuıtat, lımit i derivada d’una funcio, que segueixen vigentsavui dia. Aixo li va permetre demostrar una serie de teoremes que estaven llavors sense demostrarcom el teorema del valor mig, el teorema de Bolzano-Weierstrass i el teorema de Heine-Borel.Tambe va realitzar aportacions en convergencia de series, en teoria de funcions periodiques, funcionsel·lıptiques, convergencia de productes infinits, calcul de variacions, analisi complexa...

11Ernst Eduard Kummer (29/1/1810-14/5/1893) matematic alemany d’origen prussia que va real-itzar diverses contribucions a les matematiques de diverses arees i es va especialitzar en matematicaaplicada. Una de les seves aportacions es la demostracio de l’ultim teorema de Fermat per a unaclasse considerable de exponents primers.

12Leopold Kronecker (7/12/1823-29/12/1891) matematic i logic Alemany nascut a Polonia i doc-torat a la Universitat de Berlın. L’any 1845 va escriure els seus raonaments sobre teoria de nombres.Es l’autor d’una frase ben coneguda entre els matematics: ”Deu crea els nombres naturals; la resta,es obra de l’home”. Teoria que el posa en contra d’algunes formulacions de Cantor. Amb la seva obrava contribuir al concepte de continuıtat en reconstruir la forma dels nombres irracionals dins delsreals. Diversos conceptes matematics han estat batejats amb el seu nom com per exemple la deltade Kronecker, el producte de Kronecker i el teorema de Kronecker dins de la teoria dels nombres.

14

massa tard, doncs la seva malaltia mental estava ja massa avancada. A principis delsegles XX, al 1904 va ser premiat amb una medalla de la Societat Reial de Londresi admes tant en la Societat Matematica de Londres com a la Societat de Ciencies deGotinga. Tot i aixı, George Cantor va morir en un sanatori mental l’any 1918.

En l’actualitat es considerat com el pare de la teoria de conjunts, punt de partidade excepcional importancia en el desenvolupament de la matematica moderna.

3.3. Enunciat

Com extreure elements d’un conjunt i que segueixi tenint la mateixa grandaria?Perentendre on es troba la paradoxa, primer cal explicar com es construeix el conjuntde Cantor.

3.3.1. Construccio de Cantor

Es construeix recursivament seguint els seguents passos:

1. Primerament, prenem l’interval [0,1].

2. El segon pas es treure el seu terc central, es a dir, l’interval obert (13 ,23).

3. El tercer pas es tornar a treure als dos segments restants els seus respectiustercos centrals, es a dir, els intervals oberts (1

9 ,29) i (79 ,89).

4. Els seguents passos son identics. Hem d’anar treient recursivament els tercosdels intervals que queden, per tant, el proces mai te fi.

Figura 6: Construccio del conjunt de Cantor

El conjunt de Cantor es el conjunt dels punts restants: entre ells es troben elsextrems de cada subinterval: el 0 i l’1, 1

3 i 23 , 1

9 i 29 , 7

9 i 89 , etc. Per tant, tots els

elements de la forma 13n ∀n ∈ N. Pero hi ha molts mes, per exemple, 1

4 es un elementdel conjunt de Cantor.

15

3.3.2. Per que es una paradoxa?

Quan construım el conjunt de Cantor podem observar que aquest te una longitudmolt petita. Per tant, si te una longitud tant petita, per que te infinits elements? Esen aquest punt on trobem la paradoxa del conjunt de Cantor.

3.4. Explicacio i raonament matematic

En aquest apartat del treball intentarem demostrar que el conjunt de Cantor, elqual anomenarem C, te mesura zero i la seva cardinalitat es igual que la de R.

3.4.1. Mesura

Definim µ com la funcio de la mesura de longitud en R, C el conjunt de Cantori Cc el complementari d’aquest conjunt. Ara demostrarem que µ(C) = 0:

µ(Cc) =13

+29

+427

+ ... =∞∑i=1

2i−1

3i=

12

∞∑i=1

2i

3i

Sigui A = 12

∑∞i=1

(23

)i

, llavors:

A+ 1 = 1 +12

∞∑i=1

(23

)i

=12

∞∑i=0

(23

)i

Aixo es una serie geometrica amb rao 23 < 1 i per tant es convergent:

A+ 1 =1

1− 23

=113

= 3

d’on: A=2 i llavors:

µ(Cc) =12A = 1

A mes:µ([0, 1]) = 1

Per tant:µ(C) = 1− µ(Cc) = 1− 1 = 0

Despres de l’explicacio de la seva construccio podem deduır que el conjunt deCantor es infinit, pero tot i aixo, es un conjunt petit si tenim en compte la sevalongitud: l’interval inicial [0,1] medeix 1, i a cada pas se li treu un terc, per tant, laseva longitud es va multiplicant per 2

3 reiteradament. La successio geometrica∞∑

n≥0

(23

)n

= 0

tendeix a zero, per tant, la longitud total del conjunt de Cantor es zero. Trivial, jaque no conte cap interval, ja que s’han anat treient recursivament.

16

3.4.2. Cardinalitat

El conjunt de Cantor te una cardinalitat major o igual a la del interval [0,1).Per aixo:

#C ≥ #[0, 1]

Per construccio:C ⊂ [0, 1]→ #C ≤ #[0, 1]

Llavors:#C = #[0, 1] = 2ℵ0 = ℵ1

3.5. Aplicacions

El conjunt de Cantor es pot considerar tambe com l’atractor13 associat al sistemade funcions iterades format per les aplicacions contractives

f1(x) =x

3, i f2(x) =

x

3+

23

ambdues definides sobre el compacte [0,1].

Observem que la imatge del conjunt de Cantor per la homotecia14 de centre 0 iradi 1

3 es una part del propi conjunt de Cantor.

Aixo es una manifestacio d’autosimilaritat, que es una propietats basiques delsfractals. Concretament presenta una autosimilaritat exacte, aquest tipus es el mesrestrictiu d’autosimilaritats, exigeix que el fractal sembli identic a diferentes escales.Sovint la trobem en fractals definits per sistemes de funcions iterades.

La seva dimensio de Hausdorff15 es menor que 1, concretament log(2)/log(3).

13Es el conjunt al que el sistema evoluciona despres d’un temps suficientment llarg14es una transformacio geometrica del pla o de l’espai en el qual es compleixen dues condicions:

cada punt i la seva imatge estan alineats amb un punt fix O anomenat centre d’homotecia i s’estableixuna relacio constant λ entre els segments que uneixen el centre d’homotecia amb cada punt i la sevaimatge. En una homotecia hi ha una relacio de semblanca entre l’objecte original i el transformat.

15es una generalitzacio metrica del concepte de dimensio d’un espai topologic, que permet definirla dimensio d’una dimensio fraccionaria, (no entera) per a un objecte fractal.

17

Figura 7: Floc de neu de Koch

3.6. Conclusio

Com hem vist el conjunt de Cantor reuneix les caracterıstiques mes aparent-ment contradictories e interesants. Te una infinitat no numerable de punts peroningun interval hi cap en ells, es dens en si mateix pero a la vegada dens enlloc iconte molts mes punts que els extrems dels intervals que es formen durant el procesde construccio.

Per si aixo fos poca cosa, el conjunt de Cantor ens obre les portes de la geometriafractal, una branca molt nova i tot i aixı, molt extensa de les matematiques.

18