Calc Vectu 4

7/24/2019 Calc Vectu 4

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Anteriormente se defini una curva plana, como el conjunto de pares ordena

satisfacen las ecuaciones paramtricas. () e () )

Donde y son funciones continuas de en el intervalo I. Esta definicin puede exttridimensional como sigue.

Una curva en el espacioCes el conjunto de todos los tripletes ordenados ( (), (ecuaciones paramtricas!

(), (), () )

Donde , , y son funciones continuas de en un intervalo I.

UNIDAD 4

FUNCIONES VECTORIALES

Definicin de Curva en el E!aci"


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Una funcin de la forma!

En el "lano

En el Espacio

#e conoce como funcin vec#"rial, donde las funciones componentes , , yrealedel par$metro .

N"#a! %&srvese la distincin entre la funcin vectorial y las funciones reale

ellas son funciones de la varia&le real de , pero e un vec#"r, mientras quen'meros reales.

Definicin de funcin ectorial


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)as funciones vectoriales desempe*an un papel do&le en la representaci+aciendo que el par$metro represente al tiempo, podemos usar una funcin representar el movimiento a lo largo de una curva. %, en el caso m$s general, puna funcin vectorial !ara decri$ir la %r&ficade una curva.

En cualquier caso, el !un#" final del vector de posicin coinciden en el puntso&re la curva dada por las ecuaciones paramtricas, como se muestra en la fig

Fig. 1 Curva descrita por el punto fnal del vector de posicin


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Definicin de derivada de una funcin vec#"rial'

)a derivadade una funcin vectorial se define como!

"ara toda #para el que existe el l-mite.

Derivacin de funci"ne vec#"riale

. #i siendo y funciones deriva&les de , entonces

En el "lano.

. #i siendo funciones deriva&les de#entonces

En el Espacio.


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N"#a')as derivadas de rdene u!eri"re,se o&tiene por derivacin suces

funcincomponente. Adem$s, llamamos a la curva representada por uave, scontinuas, y , para cualquier valor .

Ee!l" *! Derivacin de funci"ne vec#"riale

+allar la derivada de las funciones vectoriales siguientes!

a) $)

S"lucin'

Derivando las componentes vectoriales, o&tenemos lo siguiente!a)

b)


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Ee!l" +!

"ara la funcin vectorial dada por!

+allar!

a $) c)S"lucin

a)

b)

c) ) . ( )

=


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N"#a! Al igual que con las funciones reale, con las funciones vectoriales, es coocasiones usar para la derivada la notacin deLei$nio de operadores. De forla derivada de, podemos escri&ir!

#i , y son funci"ne vec#"riale deriva&les de , y es funcin realderiva&lun escalar, entonces se cumplen las propiedades siguientes!

1)

2)

3)

-r"!iedade de la Derivada


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4)

5)

6)

7)


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Ee!l" .! "ara las funciones vectoriales dadas por!

y

+allar!

a)$)

S"lucin'

a) /0#"d" *. Aplicando propiedades. 0alculamos primero!

y


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Aplicando la propiedad 1!

2

/0#"d" +'

"rimero efectuamos el !r"duc#" !un#" y el resultado lo derivamos con respe

Eercici" #area1


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$ /0#"d" *. Aplicando propiedades. Dado que

Determinamos y , y de la propiedad 3

calculamos


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Ee!l" 4! 0onsidere la curva en el espacio $idieni"nal,que es tra4adcuya posicin est$ dada por!

a Determine!

& Determine y grafique'S"lucin'

a) (*

& #ustituyendo 5 2en (*!

(2)

#ustituyendo en (*! (6


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$1 +) 3r&fica de!

"ara graficar , primero eliminamos el par$metro de las ecuaciones para(ecuacin rectangular! 5 ( 5 (

7ediante la identidad del do&le $ngulo! (6

#ustituimos (6 en ()' (1

De ( tenemos! , sustituyendo en la ec. (4

(ec. rec#an%ular (

Puesto ue la curva ! es la porcin de la parbola (ec. ("))! so#

defnido

por ! es decir$


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8raficamos la ec. (. Dando valores a (ta&la . ver 9ig.

Y X ( X, Y)

-1 -1 ( -1, -1)

-0.5 0.5 (0.5, -0.5)

0 1 (1, 0)

0.5 0.5 0.5, 0.5)

1 -1 (-1, 1)


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Fig. 2


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)os vectores y se di&ujan tangentesa la curva Cen los puntos -*(*, 2 y

es decir, de 5 y 5, o&tenemos!

cuando! 5 2! 5 5 , 5 5 :, ; -*(*, 2)

5! 5 5 :.3, 55 :.3, ; -+

As- tam&in! (

< (

Entonces en los puntos de tangencia, di&ujamos ee de c""rdenada au5iliarecuales representamos los vectores y e decir, ecuaciones ( y ( respectivamse muestra en la 9ig.


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In#e%racin de funci"ne vec#"riale'

#i , es una funcin continua en un intervalo , entonces la integral indefinidade

< la integral definida de esta dada por!

Ee!l" *! i 0alcular la integral indefinida

a

S"lucin'


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Ee!l" +! #= 0alcule la integral Definida siguiente!

a


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Donde


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a > al : p$gina :?

& Ejercicios +al 6:, resolver con los vectores!

c Ejercicios 6 al 61& Ejercicios 63 al 6@

ncisos &, c y d p$gina :

Tarea '


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