Mtodos Numricos

Dr. Roberto Aravire Flores

Abril de 2014

1 Resolucin de Ecuaciones No Lineales

Un problema fundamental de las matemticas aplicadas es determinar valores tales que f() = 0. Estos valores se denominan races de la ecuacin

f(x) = 0

En general no es posible resolveruna ecuacin como esta y por lo tanto en-contrar los valores exactos no es alcanzable en todos los casos, por esto se handesarrollado mtodos que permiten determinar aproximaciones numricas su-cientemente cercanas a las races buscadas. El siguiente ejemplo ilustra eltipo de problemas que queremos estudiar:

Problema: En los estudios sobre recoleccin de energa solar al enfocarun campo de espejos planos en un colector solar central, un investigadorobtuvo la siguiente ecuacin para el factor de concentracin geomtrica C:

C =(h= cosA)2F

0:5D2(1 + sinA 0:5 cosA) ;

donde A es el ngulo de anillo del campo, F es la cobertura fraccionaria delcampo con los espejos, D es el dimetro del colector y h es la altura delmismo. Encuentre A, si h = 300, C = 1200, F = 0:8 y D = 14.

Para resolver este tipo de problemas consideraremos 3 mtodos que ilus-tran el tipo de argumentos y herramientas usadas en clculo numrico.

1

1.1 Mtodo de la Biseccin

Est basado en el Teorema del Valor Intermedio que dice: Si f(x) unafuncin real tal que f(a) y f(b) tienen signos distintos y adems es continuaen un intervalo que incluye a [a; b], entonces existe 2 [a; b] tal que f() = 0.

De este modo debemos determinar dos puntos a y b donde la funcinf cambie de signo, esto es posible mediante el uso de la funcin plot deMaple, de modo que supongamos que ya tenemos estos valores. El mtodoconsiste en considerar el punto medio c entre ambos extremos y determinardonde se produce el cambio de signo, en [a; c] o en [c; b], segn correspondase descarta uno de los dos intervalos y se contina con el restante, al que seaplica el mismo procedimiento. De este modo en cada iteracin del procesola amplitud del intervalo se reduce a la mitad y la raiz buscada quedarencerrada en el intervalo restante. El intervalo inicial tiene amplitud b a,de este modo, despus de n iteraciones, obtendremos un intervalo de amplitud(b a)=2n1.

Este mtodo permite obtener una sucesin xi donde cada xi es el puntomedio obtenido en cada iteracin. Dado que la amplitud del intervalo tiendea 0, tenemos que la sucesin es convergente y su lmite es una de las racesbuscadas.

En el documento adjunto se incluye un programa en Maple que permiteaplicar este mtodo.

Ejercicios:

1. Encuentre la menor raiz positiva de la funcin trascendente

f(x) = 3x+ sinx ex

Cuntas races existen?

2. La funcin f(x) = x cos(x=(x 2)) tiene muchos ceros, especialmentecerca de x = 2, donde est indenida. Trace la grca de la funcin.Determine las cuatro primeras races positivas aplicando el mtodo dela biseccin, obtengas estas races con hasta 6 dgitos signicativosexactos.

2

3. Encuentre, mediante el mtodo de la biseccin, las coordenadas de lospuntos dende se cortan las grcas de y = x2 2 e y = ex con hasta6 cifras decimales exactas. Cuntas iteraciones se requieren?

1.2 Metodo de Newton - Raphson

Este mtodo es uno de los ms utilizados y est basado en aproximacioneslineales de f . Para deducir el mtodo recurriremos a la serie de Taylor de lafuncin, la que supondremos tiene todas sus derivadas en una vecindad queincluya a la raiz buscada. Sea x0 una paroximacin inicial, desarrollemos laserie de Taylor de f alrededor de x0, entonces

f(x) = f(x0) + f0(x0)(x x0) + + 1

n!f (n)(x0)(x x0)n +

Considerando x cercano a x0 tenemos que las potencias de xx0 deben sermuy pequeas lo que permite truncar la serie a partir de la segunda derivada,de este modo obtenemos:

f(x) t f(x0) + f 0(x0)(x x0)con un error dado por la segunda derivada de f . Ms an como la raiz escercana a x0 podemos especializar x = , obteniendo, dado que f() = 0

0 t f(x0) + f 0(x0)( x0)de donde concluimos que:

t x0 f(x0)f 0(x0)

Esta aproximacin nos permite construir una nueva y mejor aproximacin

x1 = x0 f(x0)f 0(x0)

e iterando el procedimiento

xn+1 = xn f(xn)f 0(xn)

para n 1.

3

Nota: Cabe destacar que este mtodo no converge cuando la primeraderivada es 0 o muy cercana a 0, en tal caso, se puede recurrir a un trminoms en la serie de Taylor para obtener una aproximacin mejor, en este casoobtendremos una aproximacin de carcter cuadrtica en la que an podemosdespejar .

En el documento adjunto se incluye un programa en Maple que permiteaplicar este mtodo.

Ejercicios:

1. Un mtodo similar al de la Biseccin es el Mtodo de Interpolacin Lin-eal, consiste en determinar como aproximacin el punto de interseccinde la recta que une (a; f(a)) y (b; f(b)) , con el eje X.

(a) Aplique este mtodo para determinar la raiz de f(x) = x3+ x23x 3 = 0 con valores iniciales a = 1, b = 2.

(b) Redacte un programa en Maple que desarrolle este mtodo.

2. Mtodo de Gree para separar races de polinomios. A veces las racesde un polinomio estn muy cercanas, por lo que los mtodos usualesno convergen, este mtodo permite construir un nuevo polinomio cuyasraces son los cuadrados de las races originales, por lo tanto estsraces quedarn ms separadas. sea P (x) un polinomio, considere elproducto P (x)P (x), este nuevo polinomio es tal que la variable x seencuentra siempre elevado a potencias pares. reemplazando z = x2 ,obtenemos un polinomio en z que tiene el mismo grado que el originalpero con races que son el cuadrado de las races del polinomio original.Demuestrelo.

3. Confeccione un programa en Maple que permita aplicar el mtodo deBairstow.

4. Encuentre los puntos mximo/mnimo de la funcin

f(x) = [sin(x)]6 e20x tan(1 x)

sobre el intervalo [0; 1].

4

5. Aplique el mtodo de Newton para calcular las races de

f(x) = ex + 4x3 5

con una precisin de hasta el quinto decimal, determine el nmero deiteraciones necesarias para lograr esta aproximacin.

6. Use el mtodo de Newton en la ecuacin x2 = N para deducur elalgoritmo para obtener la raiz cuadrada de N ;

xn+1 =1

2

xn +

N

xn

:

7. Encuentre las races (reales o complejas), mediante el mtodo de New-ton - Raphson, de las siguientes ecuaciones:

(a) 3x3 + 2x2 x 6(b) x3 x2 1(c) x3 e2x + 1

8. Determine las races del polinomio

x5 11x4 + 46x3 90x2 + 81x 27

(a) Es posible obtener todas las races por biseccin?

(b) Qu ocurre con el mtodo de Newton (hay races mltiples).

9. Encuentre los puntos mximos o mnimos de la funcin

f(x) = [sinx]6 e20x tan(1 x)

en el intervalo [0; 1]. Utilice cualquier mtodo.

10. El polinomio p(x) = x3 + 94x2 389x+ 294 tiene como races a 1, 3,-98. El punto x0 = 2 debera ser en este caso un buen punto inicialpara calcular cualquiera de las races pequeas por medio de iteracionesde Newton. Haga los clculos y explique lo que sucede.

5

1.3 Mtodo de Newton - Raphson Generalizado

Este mtodo permite obtener las races de sistemas de n funciones no linealesde n variables. Est basado en las series de Taylor de variables mltiples, lasque se truncan manteniendo su parte lineal, siguiendo la misma estrategiaque en la seccin anterior obtenemos un sistema lineal de n ecuaciones conn incgnitas ( las incgnitas son las componentes de un punto interseccinde las supercies ) (x1; x1; : : : ; xn)En el caso n = 2, las funciones son

F (x; y) = 0

G(x; y) = 0

y un punto de interseccin de estas curvas (; ) , se puede aproximarmediante una sucesin de puntos (xn; yn) obtenidos de la siguiente manera:

xn+1 = xn

F (xn; yn) Fy(xn; yn)

G(xn; yn) Gy(xn; yn)

Fx(xn; yn) Fy(xn; yn)

Gx(xn; yn) Gy(xn; yn)

yn+1 = yn

Fx(xn; yn) F (xn; yn)

Gx(xn; yn) G(xn; yn)

Fx(xn; yn) Fy(xn; yn)

Gx(xn; yn) Gy(xn; yn)

donde el determinante

Fx(xn; yn) Fy(xn; yn)

Gx(xn; yn) Gy(xn; yn)

es el Determinante Ja-cobiano del Sistema.

En el documento adjunto se incluye un programa en Maple que permiteaplicar este mtodo.

Ejercicios:

6

1. Considere las siguientes funciones

F (x; y) = x3 2y2 10G(x; y) = x2 3xy3 + 3

Determine los puntos de interseccin entre estas curvas. Para elloefectue primero una gracacin y luego, partiendo de diversas aproxi-maciones, determine los puntos de interseccin.

2. En Anlisis Numrico con Aplicaciones de Gerald & Wheatley y enotros textos se encuentran una variedad de mtodos. Revise estos mto-dos, son variaciones de los que hemos presentado.

(a) Mtodo de Interpolacin Lineal

(b) Mtodo de Muller

(c) Mtodo de Newton para Polinomios

(d) Mtodo de Bairstow para factores cuadrticos

(e) Mtodos para races mltiples.

3. Para efectuar Integracin Numrica se utiliza un mtodo denominadoCuadratura Gaussiana. Para esto es necesario determinar los cerosde los polinomios de Legendre. Encuentre los ceros del polinomio deLegendre de sexto orden

P6(x) =1

48(693x6 945x4 + 315x2 15)

Similarmente encuentre los ceros de los polinomios de Laguerre:

(a) L3(x) = x3 9x2 + 18x 6(b) L4(x) = x4 16x3 + 72x2 96x+ 24

4. Determine las races de las ecuaciones simultneas

(x 4)2 + (y 4)2 = 4x2 + y2 = 16

Use una aproximacin grca para obtener los valores iniciales.

7

5. Repita el problema anterior para

y = x2 + 1

y = 3 cos x

6. Localice la primera raz positiva de

f(x) = sin(x) + cos(1 + x2) 1

donde x est en radianes. Mediante grcos determine una primeraaproximacin y luego use 4 iteraciones con el mtodo de Newton-Raphson.

7. El mtodo de divide y promedia, un antiguo mtodo para aproximarla raiz cuadrada de cualquier nmero positivo a, se puede formularcomo

x =x+ a=x

2

Demuestre que esta frmula est basada en el algoritmo de Newton-Raphson.

8. Efecte iteraciones con el Mtodo de Newton Generalizado para el sis-tema siguiente

F (x; y) = 1 + x2 y2 + ex cos yG(x; y) = 2xy + ex sin y

con valores iniciales x0 = 1 e y0 = 4 .

8

2 Aproximacin de Funciones

Otro problema fundamental en matemticas aplicadas es cmo aproxi-mar funciones mediante funciones elementales?, las elementales son las fun-ciones polinmicas, trigonomtricas, funciones racionales (cuociente de poli-nomios), exponenciales, etc. En particular, desde un punto de vista prcticoes muy importante aproximar una funcin mediante funciones elementalesque involucren el menor nmero posible de operaciones y que stas sean el-ementales. En el caso de las calculadoras, se desea representar las funcionestrigonomtricas, logaritmicas, exponenciales y otras, a partir de multiplica-ciones, sumas y restas, este tipo de habilidadesson las que transforman auna calculadora usual en una cientca.

2.1 Aproximaciones de Taylor

Cuando la funcin es continua y derivable todas las veces necesarias, se puedeconstruir su serie de Taylor alrededor de algn punto x0. As tenemos

f(x) = a0 + a1(x x0) + a2(x x0)2 + a3(x x0)3 + + an(x x0)n +

donde an =1

n!f (n)(x0) y esta representacin es vlida en una cierta

vecindad de x0 de radio R (radio de convergencia) donde se producela convergencia uniforme lo que permite realizar operaciones fundamentalestrmino a trmino tales como derivacin e integracin.De esta manera truncando la serie en algn trmino obtenemos

f(x) a0 + a1(x x0) + a2(x x0)2 + a3(x x0)3 + + an(x x0)n

es decir, la funcin f(x) aproximada por un polinomio. Por ejemplo,

sin x x x3

3!+x5

5! x

7

7!+x9

9!

Con esta aproximacin podemos calcular sin(u) evaluando un polinomio degrado 9. Los problemas que surgen son: cul es el error cometido?, esposible encontrar otro polinomio del mismo grado que d menos error?

La primera pregunta se responde por medio de la frmula

jET j jf (n+1)(x1) (x x0)n+1 j=n!

9

donde x1 es un punto en el intervalo en que se est trabajando.

En el Taller 2 se estudia el caso de f(x) = sin x, con [a; b] = [=2; =2],y se verica que la distribucin del error no es uniforme en el intervalo, dehecho para esta funcin, los valores del error crecen violentamente en losextremos del intervalo.En el mismo Taller se revisan los grcos de cada elemento de la base

f1; x; x2; x3; x4; : : : ; xn; : : :g del conjunto de polinomios }(X).

La poca uniformidad de la distribucin de errores para esta base hace quese estudien bases alternativas de }(X) y funciones de ponderacin (pesos) queden mayor importancia a los extremos. En la siguiente seccin veremos unabase distinta de polinomios y una funcin peso que permitir una distribucinms uniforme.

2.2 Polinomios de Chebyshev

Consideremos el Espacio I[1; 1] de Funciones Reales Cuadrtico-Integrablessobre el intervalo [1; 1] con el producto

< f; g >=

Z 11

f(x)g(x)p1 x2 dx

donde w(x) =1p1 x2 es la funcin peso, da mayor mayor importancia a

los extremos del intervalo y caracteriza este producto.(I[ 1; 1]; < ; >) es Espacio Vectorial Euclidiano, es decir, < ; >

es producto interior de denicin positiva.Ejercicio: Demuestre que

1. < f; g >=< g; f >

2. < f; g + h >=< f; g > + < f; h >

3. < f; g >= < f; g > para todo real :

4. < f; f > 0, en particular < f; f >= 0 implica que f es cero salvo unnmero nito de puntos.

10

Es posible, mediante el proceso de Gram-Schmidt, encontrar una baseortogonal de este espacio, sin embargo recurriremos a la siguiente denicinpara determinar una base ortogonal.

Denicin: Para 1 x 1, sea = arccos x, es decir 2 [0; ]:Denimos

Tn(x) = cos(n)

De la denicin se obtiene:

T0(x) = cos(0) = 1

T1(x) = cos() = x

T2(x) = cos(2) = 2x2 1

T3(x) = cos(3) = 4x3 3x

T4(x) = cos(4) = 8x4 8x2 + 1

En general es un tedioso calcular Tn(x) para n 4, por ello se utiliza lasiguiente frmula:

Tn+1(x) = cos((n+ 1)) = cos(n) cos sin(n) sin Tn1(x) = cos((n 1)) = cos(n) cos + sin(n) sin

Sumando ambas igualdades obtenemos

Tn+1(x) + Tn+1(x) = 2 cos(n) cos = 2xTn(x)

es decirTn+1(x) = 2xTn(x) Tn1(x)

para todo n 1: Esta es la Frmula de Recurrencia de los Polinomios deChebyshev.

Propiedades:

1. Tn(x) es polinomio de grado n.

2. El coeciente principal de Tn(x) es 2n1, para n 1:

11

3. Tn(x) es funcin cuya paridad corresponde a la paridad de n.

4. jTn(x)j 1 para todo x 2 [1; 1].5. Tn(1) = 1

6. Tn(1) = (1)n

Ejercicios:

1. Demuestre las propiedades anteriores.

2. Determine Tn(0).

Un hecho sorprendente es que estos polinomios de Chebyshev constituyenuna base orotogonal de }[1; 1] y en consecuencia de (I[ 1; 1]; < ; >): Dado que el grado de Tn(x) es n, resulta evidente que el conjunto depolinomios de Chebyshev es una base, el hecho que sea ortogonal se obtienedel siguiente clculo:

< Tm(x); Tn(x) >=

Z 11

Tm(x)Tn(x)p1 x2 dx =

cambiando variable x = cos , dx = sin d, obtenemosZ 11

Tm(x)Tn(x)p1 x2 dx =

Z 0

cos(m) cos(n)p1 cos2 ( sin )d

=

Z 0

cos(m) cos(n)d

=1

2

Z 0

[cos(m+ n) + cos(m n)] d

=1

2

sin(m+ n)

m+ n+sin(m n)m n

0

= 0

De este modo los polinomios de Chebyshev son ortogonales.

12

Ms an, con argumentos similares se demuestra que:

< Tn(x); Tn(x) >=

8:1

R 11

f(x)p1x2dx para n = 0

2

R 11

f(x)Tn(x)p1x2 dx para n 1

Ejemplo: Si f(x) = 3 + x x3, entonces

f(x) = 3T0(x) 14T1(x) 1

4T3(x)

La razn para la eleccin de los polinomios de Chebyshev, es que dis-tribuyen el error de manera uniforme, es decir, comparado con polinomiosdel mismo grado y mismo coeciente principal, los polinomios de Chebyshevtienen menor error uniforme.

Demostracin. Dado que el coeciente principal de los polinomios deChebyshev Tn(x) es 2n1, consideremos los polinomios tn(x) = 2(n1)Tn(x),es polinomios multiplos de los de Chebyshev pero con coeciente principal 1,entonces la variacin mxima de tn(x) es 2(n1) (que es alcanzada en n+1puntos, dado que Tn(x) es un coseno). Supongamos que existe un polinomiode grado n, con coeciente principal 1 que tiene variacin menor que la detn(x) en [1; 1], es decir

maxx2[1;1]

fq(x)g < maxx2[1;1]

ftn(x)g

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Entonces la grca de q corta a la grca de tn en, al menos, n puntos. Porlo tanto el polinomio qtn debe tener grado mayor o igual que n. Pero estoes imposible porque q tn es un polinomio diferencia entre dos de grado ncon el mismo coeciente principal, es decir deg( q tn) < n Contradiccin.

En consecuencia no existe un polinomio de grado n, con coeciente prin-cipal 1 que tiene variacin menor que la de tn(x) en [1; 1]. Es decir lospolinomios de Chevyshev son los de variacin minimal.

Ejercicios:Determine la serie de Chebyshev de

1. f(x) =p1 x2

2. f(x) = jxj

3. f(x) = (1 x2)3=2

4. Calcule T6(x) a T10(x).

5. Extienda las grcas de T1(x), T2(x), T3(x) al intervalo [2; 2].Observe que la magnitud mxima de los polinomios de Chebyshev noes igual a la unidad fuera de [1; 1].

6. Determine la Serie de Chebyshev de las siguientes funciones

(a) f(x) = 4x4 + x3 5x+ 2(b) f(x) = jxj.

14

3 Ms Aproximacin de Funciones

En esta ocasin continuamos trabajando con el problema de aproximacinde funciones mediante funciones elementales. Hemos visto que existe un tipoespecial de polinomios que son ortogonales respecto a un peso que ponderael intervalo [1; 1] dando importancia a los extremos del intervalo. Estetipo especial de polinomios, llamados Polinomios de Chebyshev, tienen lapropiedad de ser ptimos respecto a la distribucin del error. Por la ortog-onalidad es posible expresar una funcin mediante serie de polinomios deChabyshev. Desarrollando estos polinomios obtenemos una representacinde esa funcin como serie de potencias en una versin distinta a la obtenidamediante el desarrollo de Taylor.El inconveniente de esta representacin es que se deben evaluar integrales

numricas que utilizan la propia representacin de f(x), aunque en puntosmuy especcos.En esta reunin analizaremos alternativas o complementos al trabajo con

series de Chebyshev, en particular el mtodo de economizacin de seriestruncadas y la aproximacin mediante funciones racionales.

3.1 Series de Potencias Economizadas

Consideremos la serie de Maclaurin para sin(x)

sin(x) = x x3

6+x5

120 x

7

5040+

Para usar una serie truncada para aproximar sin(x) en [1; 1] con una pre-cisin de 0.000001, sera necesario retener trminos hasta x7 . Supongamosque sumamos

1

5040

T764

a la serie truncada, entonces se tiene que desaparece el trmino con x7 y serealizan modicaciones a otros coecientes de la serie. Dado que jT7j 1, lamodicacin realizada modica la serie slo en

1

5040 164< 3:1 106

15

que es pequeo respecto a la precisin requerida.Al realizar los clculos se obtiene un polinomio de grado 5 que se aproxima

a la funcin tan bien como el polinomio de de grado 7 de Maclaurin. Desdeeste punto de vista la serie de potencias se ha economizado en el sentido que seobtien presicin similar pero con menos trminos. Ms an es posible efectuarotras economas que permitan disminuir ms an el nmero de trminos dela representacin.

Los reemplazos efectuados estn basados en la siguiente lista:

1 = T0

x = T1

x2 =1

2(T0 + T2)

x3 =1

4(3T1 + T3)

x4 =1

8(3T0 + 4T2 + T4)

x5 =1

16(10T1 + 5T3 + T5)

x6 =1

32(10T0 + 15T2 + 6T4 + T6)

x7 =1

64(35T1 + 21T3 + 7T5 + T7)

...

3.2 Aproximacin con Funciones Racionales

An con la generacin de Polinomios especiales como los de Chebyshev yel sistema de economizar trminos, desde el punto de vista prctico an esposible optimizar la aproximacin en trminos del nmero de clculos y lafacilidad de ellos. Una de los procedimientos ms simples es la Aproximacinmediante Funciones Racionales, es decir, mediante cocientes de polinomios,denominada Aproximaciones de Pad. Supongamos que

f(x) = RN(x) =a0 + a1x+ a2x

2 + a3x3 + + anxn

1 + b1x+ b2x2 + b3x3 + + bmxm

16

donde N = n +m y el trmino constante en el denominador ha sido con-siderado 1, sin prdida de generalidad. Estas aproximaciones son ms tilescuando el grado del numerador es igual o mayor en 1 al del denominador.Para determinar los coecientes ai , bi desarollamos la serie de Maclaurin

de f(x) (hasta xN) de este modo se obtiene un sistema de N ecuacionescon N incognitas que puede ser resuelto y as obtenemos los valores de loscoecientes de la aproximacin.

Ejemplo: Aproximemos arctan(x) mediante R9. Usemos como numer-ador un polinomio de grado 5.

arctan(x) = x 13x3 +

1

5x5 1

7x7 +

1

9x9

Entonces tenemos:

arctan(x) = x 13x3 +

1

5x5 1

7x7 +

1

9x9 =

a0 + a1x+ a2x2 + + a5x5

1 + b1x+ b2x2 + + b4x4

Multiplicando y ordenando obtenemos:

a0 = 0

a1 = 1

a2 = b1

a3 = 13+ b2

a4 = 13b1 + b3

a4 =1

5 13b2 + b4

1

5b1 1

3b3 = 0

17+1

5b2 1

3b4 = 0

17b1 +

1

5b3 = 0

1

9 17b2 +

1

5b4 = 0

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Se resuelve primero el sistema para las b y luego se sustituye para determinarlas a . Obtenemos b1 = b3 = 0, b2 = 109 , b4 =

521; a0 = a2 = 0, a1 = 1,

a3 =79, a5 = 64945 .

De este modo una funcin racional que aproxima a arctan(x) es:

arctan(x) x+79x3 + 64

945x5

1 + 109x2 + 5

21x4

Esta aproximacin tiene un error (1/275) en el extremo x = 1.

Ejercicios1. La aproximacin de ex, mediante la serie de Taylor, es

ex = 1 + x+x2

2+x3

6+x4

24+x5

120+x6

720+

Supongamos que la serie es truncada a partir de x7 y que se resta1

720

T632

de la serie truncada, entonces este proceso cancela el trmino en x6 yal mismo tiempo realiza ajustes en otros coecientes de la serie. De-termine los nuevos coecientes del polinomio. Este polinomio es mejoraproximacin a la funcin que el correspondiente al polinomio de Tay-lor de grado 5. Se dice que se ha economizado en la serie de potenciaspues se obtien casi la misma precisin con menos trminos. Efecteotro porceso de economizacin al polinomio resultante y estime el errorcometido.

2. La funcin arctan(x) puede representarse por la serie truncada depotencias

arctan(x) = x x3

3+x5

5 x

7

7+x9

9Economice tste polinomio tres veces a n de obtener un polinomio detercer grado. Trace la grca de los errores y comparela con los erroresdel polinomio de grado 9.

3. Encuentre la aproximacin mediante funciones racionales (cuociente depolinomios de grado 2) de la funcin

cos(x)

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4 Integracin Numrica

La integracin numrica es el proceso mediante el cual se genera un valornumrico para la integracin de una funcin sobre un conjunto. Por ejemplo:Z 2

0

ex2

dxZ 10

Z 10

sin(xyex)dxdyZ 10

Z xx2tan(xy2)dydx

Estos problemas no son tratables con las tcnicas de los cursos bsicos deClculo.En el caso Z b

a

f(x)dx

la tcnica clsica consiste en encontrar la antiderivada, es decir, encontrarF (x) tal que F 0 = f y luego, por el Teorema Fundamental del ClculoIntegral, se tiene que Z b

a

f(x)dx = F (b) F (a)

Sin embargo para la generalidad de los casos no es posible efectuar el pro-ceso descrito. Una estrategia muy poderosa para calcular el valor numricode la integral consiste en reemplazar f por otra funcin g que aproximaa f y que es fcil de integrar, de hecho, g puede ser un polinomio queinterpola a f en cierto conjunto de nodos. De este modo el valor de la inte-gral debe ser una combinacin lineal del valor de la funcin en esos nodos,ms an, con el objeto de simplicar los clculos, se puede suponer que losnodos estn uniformemente espaciados, es decir x0 = a, x1 = a + h, : : :,xn = a+ nh = b. As la frmula es del tipo:Z b

a

f(x)dx nXi=0

Aif(xi)

Este tipo de aproximaciones se denominan Frmulas de Newton-Cotes. Comohay n parmetros Ai es razonable esperar que una frmula de este tipo sea

19

exacta para polinomios de grado hasta n. Examinaremos algunos casos quedan origen a frmulas clsicas.

4.1 Regla del Trapecio

En este caso n = 1 y los nodos son x0 = a y x1 = b. Adems seah = b a, Entonces tendremosZ b

a

f(x)dx A0f(a) + A1f(a+ h)

Adems podemos esperar que esta frmula sea exacta para polinomios degrado 1, es decir, polinomios generados por 1 y x. Consideremos amboscasos

1. Caso f(x) = 1. En este caso obtenemosZ ba

1dx = b a = h = A01 + A11

2. Caso f(x) = x. En este caso obtenemosZ ba

xdx =1

2(b2 a2) = h

2(2a+ h) = A0a+ A1(a+ h)

De esta manera obtenemos 2 ecuaciones para las dos incgnitas A0 y A1Reemplazando la primera ecuacin en la segunda se obtiene:

A0 + A1 = h

A1 =h

2

por lo tanto la frmula, para n = 1 es:Z ba

f(x)dx h2[f(a) + f(a+ h)]

que es la conocida Frmula de los Trapecios. El error de la frmula es

112(b a)3 f 00(c)

donde c 2 [a; b].

20

4.2 Regla de Simpson

Esta frmula se produce al considerar n = 2, en este caso hay tres nodos:

a, a+ h, a+ 2h donde h =b a2. La frmula en este caso debe ser de la

forma Z ba

f(x)dx A0f(a) + A1f(a+ h) + A2f(a+ 2h)Como hay 3 parmetros es esperable que esta frmula sea exacta hasta grado2. Para determinar los coecientes podemos estudiar el caso de 1, x, x2.

1. Veamos el caso f(x) = 1. En esta situacin obtenemosZ ba

1dx = b a = 2h = A01 + A11 + A21

2. Para f(x) = x, obtenemosZ ba

xdx =1

2(b2 a2) = 2h(a+ h) = A0a+ A1(a+ h) + A2(a+ 2h)

3. Finalmente consideramos la funcin f(x) = x2 y obtenemosZ ba

x2dx =1

3(b3a3) = 2a2h+4ah2+8

3h3 = A0a

2+A1(a+h)2+A2(a+2h)

2

Como en el caso anterior, reduciendo obtenemos las ecuaciones:

A0 + A1 + A2 = 2h

A1 + 2A2 = 2h

A1 + 4A2 =8

3h

Lo que da la solucin A0 =h

3, A1 =

4h

3, A2 =

h

3, es decir, la frmula

obtenida es: Z ba

f(x)dx h3[f(a) + 4f(a+ h) + f(a+ 2h)]

que es conocida como la Regla de Simpson. Inesperadamente esta frmulaes exacta para polinomios de grado 3. El trmino de error asociado a la reglade Simpson es

190(b a)5 f (4)(c)

para algn c 2 [a; b].

21

4.3 Cuadratura Gaussiana

Una sorpresiva variacin de los mtodos anteriores es considerarZ ba

f(x)w(x)dx nXi=0

Aif(ui)

donde ui no son los puntos equiespaciados del intervalo [a; b], y w(x) esuna funcin peso. En este caso contamos con n + 1 coecientes Ai ycon n+1 nodos ui por lo que podemos esperar que la frmula sea exactapara polinomios de grado 2n+ 1. Para demostrar esto se usa el siguienteteorema de polinomios ortogonales.

Teorema: Consideremos una funcin w(x) de peso positiva y q unpolinomio de grado n + 1 que sea ortogonal a todo polinomio p de gradomenor o igual a n, es decirZ b

a

q(x)p(x)w(x)dx = 0

Si u0, u1, : : :, un, son las races de q, entonces la frmula de cuadraturaes exacta para todo f polinomio de grado menor o igual a 2n+ 1.Demostracin: Sea f de grado menor o igual a 2n+ 1. Dividimos f

por q, obteniendof = pq + r

donde p y r son polinomios de grado menor o igual n. En consecuenciaf(ui) = r(ui). Usando la ortogonalidad de q, obtenemosZ b

a

fwdx =

Z ba

rwdx =nXi=0

Air(ui) =nXi=0

Aif(ui)

lo que demuestra el teorema.

4.4 Cambio de Intervalos de Integracin

Supongamos que el intervalo de integracin es [a; b] , entonces para aplicar lateora de polinomios ortogonales, es necesario cambiar el intervalo y pasar alcorrespondiente a tipo de polinomios en que se desea trabajar. Supongamos

22

que se desea trabajar con los polinomios de Legendre, entonces el intervalode integracin debe ser [1; 1].

a ! 1b ! 1x ! u

de ah se deduce que

x =b a2u+

b+ a

2

es el cambio de variable adecuada, adems dx =b a2du. De este modo

obtenemos la igualdadZ ba

f(x)dx =

Z 11

b a2f

b a2u+

b+ a

2

du =

Z 11(u)du

Por lo tanto, sin restriccin, podemos considerar el problema de calcularR 11 (u)du.

4.5 Polinomios Ortogonales

Existe una variedad de familias de polinomios ortogonales (una familia porcada funcin peso w(x)).En general las ms conocidas con sus pesos y sus intervalos son las sigu-

ientes

1. Polinomios de Legendre Pj(x): Funcin peso w(x) = 1, intervalo[1; 1]. Algunos casos son:

P0(x) = 1

P1(x) = x

P2(x) =3

2x2 1

2

P3(x) =5

2x3 3

2x

P4(x) =35

8x4 15

4x2 +

3

8

P5(x) =63

8x5 35

4x3 +

15

8x

23

2. Polinomios de Laguerre Lj(x): Funcin Peso w(x) = ex, intervalo[0;+1). Algunos casos son

L0(x) = 1

L1(x) = 1 xL2(x) = 1 2x+ 1

2x2

L3(x) = 1 3x+ 32x2 1

6x3

L4(x) = 1 4x+ 3x2 23x3 +

1

24x4

L5(x) = 1 5x+ 5x2 53x3 +

5

24x4 1

120x5

3. Polinomios de Hermite Hj(x): Funcin Peso w(x) = ex2, intervalo

(1;+1). Algunos casos sonH0(x) = 1

H1(x) = 2x

H2(x) = 4x2 2

H3(x) = 8x3 12x

H4(x) = 16x4 48x2 + 12

H5(x) = 32x5 160x3 + 120x

4. Polinomios de Chebyshev Tj(x): Funcin Peso w(x) = (1 x2)1=2,intervalo [1; 1].

4.6 Cuadraturas de Gauss-Legendre

Ahora hacemos uso de las secciones anteriores para determinar frmulas deintegracin basadas en polinomios de Legendre. El procedimiento es debidoa Gauss y se aplica a variados polinomios ortogonales obteniendo frmulasadecuadas para los diversos tipos de intervalos.

Supongamos que n = 1: Entonces tenemos la frmulaZ 11f(x)dx A0f(u0) + A1f(u1)

24

que debe ser exacta para polinomios de grado menor o igual a 3, es decirpolinomios generados por 1, x, x2, x3. Examinemos los diversos casos:

1. Veamos el caso f(x) = 1. En esta situacin obtenemosZ 111dx = 2 = A01 + A11

2. Para f(x) = x, obtenemosZ 11xdx = 0 = A0u0 + A1u1

3. En el caso f(x) = x2 y obtenemosZ 11x2dx =

2

3= A0u0

2 + A1u21

4. Finalmente consideramos el caso f(x) = x3 y obtenemosZ 11x3dx = 0 = A0u0

3 + A1u31

Es decir, tenemos el sistema

A0 + A1 = 2

A0u0 + A1u1 = 0

A0u02 + A1u

21 =

2

3A0u0

3 + A1u31 = 0

Calculando la 4ta. Ec. menos la u1 veces la 3ra. Ec. obtenemos A0u02(u0u1) = 2

3u1.

Calculando la 3ra. Ec. menos la u1 veces la 2da. Ec. obtenemos A0u0(u0u1) =

2

3.

25

Calculando la 2da. Ec. menos la u1 veces la 1ra. Ec. obtenemos A0(u0u1) = 2u1. Es decir tenemos el sistema

A0(u0 u1) = 2u1A0u0(u0 u1) = 2

3

A0u02(u0 u1) = 2

3u1

Dividiendo la 3ra. Ec. por la 2da. y luego la 2da. Ec. por la 1ra. tenemos

u0 = u1u0 = 1

3u1

De donde se deduce que u0 = 1p3, u1 =

1p3. A0 = A1 = 1. As la

frmula de Gauss-Legendre para n = 1, esZ 11f(x) f

1p3

+ f

1p

3

que es exacta para polinomios de hasta grado 3.Ejercicios

1. Use las frmulas de los Trapecios, Simpson, para estimar la integralf(x) = ex sin(x) sobre [1; 3] donde cada aplicacin tiene h = 1.compare las aproximaciones y estime elerror cometido.

2. Demuestre las frmulas de los 3/8 y de Boole para integracin numrica.

3. Evale, mediante el mtodo de los trapecios, la integral de ex entrex = 0 y x = 1 con un valor de h sucientemente pequeo paragarantizar exactitud de cinco decimales. cul es el tamao mximo deh?

4. La Regla de Simpson es exacta para polinomios de grado 3. Esto seexplica porque el rea bajo cualquier cbica entre x = a y x = b esidentica al rea de una parbola que coincide con la cbica en x = a,x = b y x = (a+ b)=2. Demuestre este hecho.

26

5. En los siguientes ejercicios, pruebe que las dos integrales son igualesy calcule la aproximacin usando Cuadraturas de Gauss-Legendre deorden 2:

(a) Z 20

6t5dt =

Z 116(x+ 1)5dx

(b)1p2

Z 10

et2=2dt =

1p2

Z 11e(x+1)

2=8dx

6. La Regla de Gauss-Legendre con tres nodos es:Z 11f(x)dx 1

9

"5f

r3

5

!+ 8f(0) + 5f

r3

5

!#

Pruebe que la frmula es exacta para polinomios de grado hasta 5.

7. Deduzca la Regla de Gauss-Legendre con 3 puntos en [-1,1], usando elhecho que los nodos son las races del Polinomio de Legrendre de grado3:

x1 = r3

5; x2 = 0; x1 =

r3

5

8. Calcule, mediante aproximacin numrica, usando el mtodo de lostrapecios para funciones de 2 variables, con m = n = 2, las siguientesintegrales:

(a) Z 10

Z 20

2xydxdy

(b) Z 10

Z 10

e(x2+y2)dxdy

(c) Z 10

Z y0

sin(x2 + 2y2)dxdy

27

9. Elabore un mtodo, anlogo al de Simpson, para calcular integrales deltipo Z d

c

Z ba

f(x; y)dxdy

28

5 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Las Ecuaciones Diferenciales aparecen naturalmente en la construccin demodelos matemticos de problemas en ciencias e ingeniera. Normalmenteno existe una solucin analtica conocida por lo que hay que recurrir a aprox-imaciones numricas.

Consideremos la siguiente situacin. Sea y(t) la temperatura de un objetoque se enfra. Se puede conjeturar que la velocidad de cambio de temperaturadel cuerpo est relacionada con la diferencia entre su temperatura y la delmedio ambiente, por medios experimentales se conrma esta conjetura y daorigen a la Ley de Newton que establece que dicha velocidad de cambio esdirectamente proporcional a la diferencia de dichas temperaturas. Si deno-tamos por A la temperatura ambiente y por y(t) la temperatura del cuerpoen el instante t , entonces

dy

dt= k(y A);

donde k es una constante positiva propia de la naturaleza del cuerpo. Siconcocemos la temperatura y0 del cuerpo en el instante t = 0, entoncesincluyendo esta condicin, llamada condicin inicial, obtenemos el siguienteenunciado: Resolver

dy

dt= k(y A) con y(0) = y0.

Mediante la tcnica de separacin de variables obtenemos

y = A+ (y0 A)ekt

Cada eleccin de y0 nos proporciona una solucin distinta, en el Tallerveremos algunas grcos de las diferentes soluciones obtenidas.

En general un Problema de Valor Inicial

y0 = f(t; y) con y(t0) = y0

en un intervalo [t0; b] es una funcin derivable y = y(t) tal que

y(t0) = y0 e y0(t) = f(t; y(t)) para todo t 2 [t0; b]

29

Para visualizar geomtricamente el problema consideremos el rectnguloR

R = f(t; y)j a t b , c y dgEn cada punto (t; y) del rectngulo se puede hallar la pendiente m dela solucin y = y(t) mediante la frmula m = f(t; y(t)). Por lo tanto,cada valor mi;j = f(ti; yj), representa la pendiente de la recta tangente a lasolucin que pasa por (ti; yj), la grca de este proceso se denomina campode direcciones y puede usarse para ver cmo se va ajustando una solucin ala sucesin de pendientes.

Algunos resultados clsicos de la teora son los siguientes:Denicin: Dado el rectngulo R, con f continua en R, se dice que

la funcin f verica una condicin de Lipschitz con respecto a su variabley si existe una constante L > 0 tal que

jf(t; y1) f(t; y2)j L jy1 y2jpara cualquier (t; y1); (t; y2) 2 R. La constante L se llama constante deLipschitz de f .

Teorema: Supongamos que f(t; y) est denida en R. Si existe unaconstante L > 0 tal que

jfy(t; y)j Lpara todo (t; y) 2 R, entonces f verica una condicin de Lipschitz conrespecto a su variable y en R, siendo L su constante de Lipschitz.

Teorema: (Existencia y Unicidad de soluciones) Supongamos que f(t; y)es continua en R. Si f verica una condicin de Lipschitz con respecto asu variable y y (t0; y0) 2 R, entonces el problema de valor inicial tienesolucin nica en algn subintervalo y0 t t0 + .

5.1 El Mtodo de la Serie de Taylor

Es un mtodo general y sirve de referencia para todos los dems mtodos.

Supongamos que y(t) 2 CN+1[t0; b] y que y(t) tiene el desarrollo deTaylor de orden N alrededor de un punto tk 2 [t0; b] dado por

y(tk + h) = y(tk) +NXj=1

y(j)(tk)

j!hj1 +O(hN+1)

30

donde y(j)(t) = f (j1)(t; y(t)) denota la derivada (j 1)-sima de la fun-cin f respecto a t. Las frmulas de estas derivadas pueden calcularserecursivamente usando la derivacin en cadena:

y0(t) = f

y00(t) = ft + fyy0 = ft + fyf

y(3)(t) = ftt + 2ftyy0 + fyy00 + fyy(y0)2

= ftt + 2ftyf + fyyf2 + fy(ft + fyf)

y(N)(t) = P (N1)f(t; y(t))

donde P es el operador de derivacin

P =

@

@t+ f

@

@y

El error global del mtodo es de orden O(hN+1), por lo tanto se puede elegirN de manera que este error sea tan pequeo como se desee.Este mtodo es poco prctico ya que hay que calcular derivadas parciales

de funciones y lo que desea es efectuar slo aplicaciones de f .Como se dijoeste mtodo sirve como referencia para determinar la calidad de otros mto-dos.

5.2 El Mtodo de Euler

Sea [a; b] el intervalo en el que queremos hallar la solucin de un problemade valor inicial y0 = f(t; y) con y(a) = y0 que est bien planteado (enel sentido que f satisface una condicin de Lipschitz). Con los mtodosnumricos no vamos a encontrar una funcin derivable que sea solucin delproblema de valor inicial, en vez de eso, lo que se construye es un conjuntonito de puntos f(tk; yk)g que son aproximaciones de la solucin. Ms an,es posible gracar este conjunto de puntos y as obtener una aproximacinal grco de la solucin.En primer lugar elegimos las abscisas de los puntos. Se divide el intervalo

[a; b] en M subintervalos del mismo tamao, es decir

tk = a+ kh para k = 0; 1; : : : ;M , siendo h =b aM

El valor de h se llama tamao del paso.

31

Partiendo de t0, por el teorema de Taylor, tenemos

y(t) = y(t0) + y0(t0)(t t0) + y

00(c1)(t t0)22

para cierto c1 2 [t0; t]. Sustituyendo y0(t0) = f(t0; y(t0)) y h = t1 t0, enla ecuacin anterior, obtenemos

y(t1) = y(t0) + hf(t0; y(t0)) + y00(c1)

h2

2

Si el tamao del paso h es sucientemente pequeo, entonces podemos des-preciar el trmino que contiene h2 y obtener

y(t1) y1 = y0 + hf(t0; y0)

que se denomina aproximacin de Euler.Repitiendo el proceso se genera una sucesin de puntos que se aproximana

la grca de la solucin buscada. El error del mtodo es del orden de h1

Ejemplo: Usemos el mtodo de Euler para hallar una solucin aproxi-mada del problema de valor inicial

y0 = Ry en [0; 1] con y(0) = y0

En este caso tenemos que

yk+1 = yk(1 + hR)

Por recursin obtenemos

yM = y0(1 + hR)M = y0

h(1 + hR)

1hR

iRde modo que si h ! 0, entonces yM = y(1) = y0eR lo que da una solucinexacta.

5.3 El Mtodo de Heun

Se plantea un enfoque distinto para resolver el mismo problema que en laseccin anterior.

32

Observemos queZ t1t0

f(t; y(t))dt =

Z t1t0

y0(t)dt = y(t1) y(t0);

Despejando y(t1) obtenemos

y(t1) = y(t0) +

Z t1t0

f(t; y(t))dt

Usando la regla de los trapecios, con incremento h = t1 t0 , para estimarla integral, se tiene

y(t1) y(t0) + h2[f(t0; y(t0)) + f(t1; y(t1))]

Como en el lado derecho aparece y(t1) , que es lo que queremos calcular,podemos usar una estimacin de este valor, para ello utilizamos la aproxi-macin de Euler, de este modo se alcanza la siguiente frmula

y1 = y(t0) +h

2[f(t0; y0) + f(t1; y0 + hf(t0; y0))]

que se llama Mtodo de Heun.El error global del mtodo es O(h2).En general existe una gran variedad de mtodos y es posible sistemati-

zarlos en una gran familia.

5.4 Los Mtodos de Runge-Kutta

Los mtodos de Taylor tienen la caracterstica deseable de que el error globales de orden O(hN), de modo que se puede escoge N tan grande como se deseepara minimizar el error. Sin embargo tienen el inconveniente de tener quedeterminar N a priori y calcular las derivadas de orden superior de funcionesde varias variables lo que puede ser bastante complicado. Los Mtodos deRunge-Kutta se construyen a partir de un mtodo de Taylor, de orden N , detal manera que el error global sea del orden O(hN) pero se evite la evaluacinde las derivadas parciales; el precio a pagar es evaluar f en varios puntos,pero sin duda este precio es bajo ante la perspectiva de evaluar derivadasparciales. Desarrollaremos el caso N = 1, N = 2, y enunciaremos el casoN = 4 que da origen al mtodo ms conocido de la familia.

33

5.4.1 Mtodo de Runge-Kutta de primer orden, N = 1

En este caso el Mtodo de la Serie de Taylor es

y(tk + h) = y(tk) + hy0(tk) +O(h2)

lo que coincide con el mtodo de Euler. De este modo tenemos que el mtodode Euler es un mtodo Runge-Kutta de primer orden.

5.4.2 Mtodo de Runge Kutta de segundo orden N = 2

Escribiendo el desarrollo de Taylor para y(t+ h), tenemos

y(t+ h) = y(t) + hy0(t) +1

2h2y00(t) +O(h3)

Expresando y0(t) e y00(t) en trminos de f y sus derivadas parciales, obten-emos

y(t+ h) = y(t) + hf(t; y) +1

2h2 [ft(t; y) + fy(t; y)f(t; y)] +O(h

3)

En este mtodo se utiliza una combinacin lineal de dos funciones quenos permita expresar

y(t+ h) = y(t) + Ahf0 +Bhf1

donde

f0 = f(t; y);

f1 = f(t+ Ph; y +Qhf0)

Usando la frmula de Taylor para una funcin de dos variables podemosaproximar f(t; y) obteniendo la siguiente aproximacin de f1

f1 = f(t; y) + Phft(t; y) +Qhfy(t; y)f(t; y) +O(h2)

Sustituyendo en la expresin original de y(t+ h), obtenemos

y(t+h) = y(t)+(A+B)hf(t; y)+h2 [BPft(t; y) +BQfy(t; y)f(t; y)]+O(h3)

34

Comparando coecientes de los trminos correspondientes concluimos que

A+B = 1

BP =1

2

BQ =1

2

Tenemos 3 ecuaciones y 4 incgnitas, con B, P , Q distintos de 0, lo quenos permite elegir libremente uno de los coecientes

1. Caso A = 1=2. Esto implica que B = 1=2, P = 1, Q = 1. De estemodo obtenemos la frmula

y(t+ h) = y(t) +1

2h [f(t; y) + f(t+ h; y + hf(t; y))]

que es el Mtodo de Heum o Mtodo Mejorado de Euler.

2. CasoA = 0. Esto implica queB = 1, P = 1=2, Q = 1=2. Escribiendola ecuacin con estos parmetros obtenemos

y(t+ h) = y(t) + hf

t+

h

2; y +

h

2f(t; y)

Este mtodo se denomina Mtodo Modicado de Euler o Mtodo deCauchy.

Evidentemente hay innitos mtodos de segundo orden, sin embargo losdos mencionados son clsicos en la literatura.

5.4.3 Mtodo de Runge Kutta de cuarto orden N = 4

Este mtodo, denominado RK4, simula la presicin del mtodo de la serie deTaylor de orden N = 4 y consiste en calcular la aproximacin yk+1 de lasiguiente manera:

yk+1 = yk + w1k1 + w2k2 + w3k3 + w4k4;

35

donde k1, k2, k3, k4 son de la forma

k1 = hf(tk; yk);

k2 = hf(tk + a1h; yk + b1k1);

k3 = hf(tk + a2h; yk + b2k1 + b3k2);

k4 = hf(tk + a3h; yk + b4k1 + b5k2 + b6k3):

Al igual que en el mtodo de segundo orden, se pueden comparar coecientes,de este Runge y Kutta obtuvieron el siguiente sistema de ecuaciones:

b1 = a1;

b2 + b3 = a2;

b4 + b5 + b6 = a3;

w1 + w2 + w3 + w4 = 1;

w2a1 + w3a2 + w4a3 =1

2;

w2a21 + w3a

22 + w4a

23 =

1

3;

w2a31 + w3a

32 + w4a

33 =

1

4;

w3a1b3 + w4(a1b5 + a2b6) =1

6;

w3a1a2b3 + w4a3(a1b5 + a2b6) =1

8;

w3a21b3 + w4(a

21b5 + a

22b6) =

1

12;

w4a1b3b6 =1

24:

Este sistema tiene 11 ecuaciones con 13 incgnitas, as es que podemos aadirdos condiciones extras para resolverlo. La eleccin ms til es

a1 =1

2y b2 = 0:

Los dems valores de la solucin son

a2 =1

2; a3 = 1; b1 = b3 =

1

2b4 = b5 = 0, b6 = 1,

w1 =1

6; w2 =

1

3; w3 =

1

3; w4 =

1

6:

36

De este modo el Mtodo de Runge-Kutta de orden 4 usa la frmula recursiva

yk+1 = yk +h

6[f1 + 2f2 + 2f3 + f4]

donde

f1 = f(tk; yk);

f2 = f(tk +h

2; yk +

h

2f1);

f3 = f(tk +h

2; yk +

h

2f2);

f4 = f(tk + h; yk + hf3):

Ejercicios

1. Considere el problema de valor inicial

y0 = 0:12y

en [0; 5] con y(0) = 1000.

(a) Aplique la frmula de Euler para calcular y(5), tomando comopasos h = 1, h = 1=2.

(b) Cul es el lmite cuando h tiende a cero?

2. Crecimiento exponencial de una poblacin. La poblacin de ciertas es-pecies crece a una velocidad que es proporcional a la poblacin presentey que responde a un problema de valor inicial como el siguiente:

y0 = 0:02y en [0; 5] con y(0) = 5000

(a) Aplique la frmula de Euler para calcular la poblacin y(5) us-ando pasos h = 1, h = 1=2.

(b) Cul es el lmite cuando h tiende a cero?

3. Un paracaidista salta desde un avin. Hasta el momento en que abre elparacadas, la resistencia del aire es proporcional a v3=2 (v representala velocidad). Supongamos que el intervalo de tiempo es [0; 6] y quela ecuacin diferencial para la velocidad de descenso es

v0 = 10 0:01v3=2 en [0; 6] con v(0) = 0:Use el mtodo de Euler con h = 0:1 para estimar v(6).

37

4. Modelo de una Epidemia. Supongamos que tenemos una comunidadde L personas que contiene inicialmente P personas contagiadas yQ sin contagiar. Sea y(t) el nmero de personas contagiadas en uninstante t. Si la enfermedad no es muy grave, como el resfriado comn,contina activo y la epidemia se extiende. Puesto que hay PQ posiblescontactos entre personas de uno y otro grupo, la velocidad de cambiode y(t) es proporcional a PQ, as que el problema puede modelarsemediante el problema de valor inicial

y0 = ky(L y) con y(0) = y0(a) Tomando L = 25000, k = 0:00003 y h = 0:2 con la condicin

inicial y(0) = 250, use el programa correspondiente para calcularla aproximacin de Euler en el intervalo [0; 60].

(b) Dibuje la grca de la solucin aproximada.

(c) Estime el nmero medio de personas contagiadas calculando elpromedio de las ordenadas obtenidas.

5. En los siguientes ejercicios resuelva la Ecuacin Diferencial usando elMtodo de Heun.

(a) Tome h = 0:2 y d dos pasos calculando los valores a mano.Luego tome h = 0:1 y d cuatro pasos calculando los valores amano.

(b) Compare la solucin exacta y(0:4) con las dos aproximacionescalculadas antes.

(c) Se comporta el error global nal de las aproximaciones obtenidasen (a) como se espera cuando h se divide entre dos?

1. y0 = t2 y con y(0) = 1, y(t) = et + t2 2t+ 22. y0 = 3y + 3t con y(0) = 1, y(t) = 4

3e3t t 1

3

3. y0 = e2t 2y con y(0) = 1=10, y(t) = e2t + te2t4. y0 = 2ty2 con y(0) = 1, y(t) = 1=(1 t2)

38

6. Pruebe que cuando se usa el Mtodo de Heun para resolver el problemade valor inicial y0 = f(t) en [a; b] con y(a) = y0 = 0 el resultadoes

y(b) =h

2

M1Xk=0

(f(tk) + f(tk+1)) ;

que es la aproximacin dada por la regla del Trapecio para aproximarla integral denida de f(x) en el intervalo [a; b].

7. Pruebe que el Mtodo de Heun falla cuando queremos aproximar lasolucin y(t) = t3=2 del problema de valor inicial

y0 = f(t; y) = 1:5y1=3 con y(0) = 0:

Justique sus respuesta. Cul es el problema?

8. Consideremos un proyectil que se dispara hacia arriba y luego cae si-guiendo una trayectoria rectilinea. Si la resistencia del aire es pro-porcional a la velocidad, entonces el problema de valor inicial para lavelocidad v(t) es

v0 = 10 KMv con v(0) = v0;

siendo v0 la velocidad inicial, M la masa y K el coeciente deresistencia del aire. Supongamos que v0 = 40 m/s y K=M = 0:1 .Use el Mtodo de Heun con h = 0:5 para resolver el problema de valorinicial

v0 = 10 0:1v en [0; 4] con v(0) = 40;Dibuje su solucin y la solucin exacta v(t) = 140et=10 100 en unamisma grca.

9. En los siguientes ejercicios resuelva la ecuacin diferencial usando elMtodo Runge-Kutta de orden N = 4.

(a) Tome h = 0:2 y d dos pasos calculando los valores a mano. Luego,tome h = 0:1 y d cuatro pasos calculando los valores a mano.

(b) Compare la solucin exacta y(0:4) con las dos aproximacionescalculadas en (a).

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(c) Se comporta el error global nal de las aproximaciones obtenidasen (a) como se espera cuando h se divide entre dos?

1. y0 = t2 y con y(0) = 1, y(t) = et + t2 2t+ 22. y0 = 3y + 3t con y(0) = 1, y(t) = 4

3e3t t 1

3

3. y0 = e2t 2y con y(0) = 1=10, y(t) = e2t + te2t4. y0 = 2ty2 con y(0) = 1, y(t) = 1=(1 t2)

10. Pruebe que cuando se usa el Mtodo de Runge-Kutta de orden 4 pararesolver el problema de valor inicial y0 = f(t) en [a; b] con y(a) =y0 = 0 el resultado es

y(b) =h

6

M1Xk=0

f(tk) + 4f(tk+1=2) + f(tk+1)

;

donde h = (ba)=M , tk = a+kh y tk+1=2 = a+(k+1=2)h, que es laaproximacin dada por la regla de Simpson para aproximar la integraldenida de f(x) en el intervalo [a; b].

11. En una reaccin qumica, una molcula de una sustancia A se combinacon una molcula de una sustancia B para formar una molcula de unasustancia C. Se sabe que la concentracin y(t) de la sustancia C enel instante t es la solucin del problema de valor inicial

y0 = k(a y)(b y) con y(0) = 0;

donde k es una constante positiva y a y b son las concentracionesiniciales de las sustancias A y B, respectivamente. Supongamosque k = 0:01, a = 70 milimoles/litro y b = 50 milimoles/litro. Useel Mtodo de Runge-Kutta de orden 4 con h = 0:5 para hallar lasolucin en el intervalo [0; 20]: Compare su resultdo con la solucinexacta y(t) = 350(1 e0:2t)=(7 5e0:2t).

12. En los siguientes problemas tome h = 0:05 y use

(a) El Mtodo de Euler

(b) El Mtodo de Runge-Kutta

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1 Para resolver el sistema

x0 = 2x+ 3y

y0 = 2x+ y

x(0) = 2:7 y(0) = 2:8en el intervalo [0; 10]. Compare con la solucin exacta

x(t) = 6925et +

3

50e4t

y(t) =69

25et +

1

25e4t

2 Para resolver el sistema

x0 = 3x yy0 = 4x y

x(0) = 0:2 y(0) = 0:5

en el intervalo [0; 2]. Compare con la solucin exacta

x(t) =1

5et 1

10tet

y(t) =1

2et 1

5tet

13. Para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior podemos usar elsiguiente mtodo (en este caso el orden es 2). Consideremos la ecuacin

x00(t) = f(t; x(t); x0(t)) con x(t0) = x0 y x0(t0) = y0

Esta ecuacin diferencial de segundo orden puede reformularse comoun sistema con dos ecuaciones de primer orden usando la sustitucin

x0(t) = y(t):

Entonces x00(t)y0(t) y la ecuacin diferencial anterior se convierte en elsistema

dx

dt= y

dy

dt= f(t; x; y)

x(t0) = x0 y(t0) = y0

Usando lo anterior, en los siguientes problemas:

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(a) Reformule la ecuacin diferencial de segundo orden como un sis-tema de dos ecuaciones de primer orden.

(b) Use el programa RK4 para resolver cada sistema en el intervalo[0; 2] tomando como tamao de paso h = 0:05.

(c) Dibuje la aproximacin obtenida y la solucin exacta en una mismagrca.

1.-

2x00(t) 5x0(t) 3x(t) = 45e2t con x(0) = 2 y x0(0) = 1Sol : x(t) = 4et=2 + 7e3t 9e2t

2.-

x00(t) + 6x0(t) + 9x(t) = 0 con x(0) = 4 y x0(0) = 4Sol : x(t) = 4e3t + 8te3t

3.-

x00(t) + x0(t) = 6 cos(t) con x(0) = 2 y x0(0) = 3

Sol : x(t) = 2 cos(t) + 3 sin(t) + 3t sin(t)

4.-

x00(t) + 3x0(t) = 12 con x(0) = 5 y x0(0) = 1

Sol : x(t) = 4 + 4t+ e3t

14. Un cierto sistema resonante de muelles sobre el que se ejerce una fuerzaexterna peridica se modela mediante la ecuacin

x00(t) + 25x(t) = 8 sin(5t) con x(0) = 0 y x0(0) = 0

Use el mtodo de Runge-Kutta para resolver la ecuacin diferencial enel intervalo [0; 2] usando M = 40 pasos con h = 0:05.

15. El modelo predador-presa. Un ejemplo de un sistema de ecuacionesdiferenciales no lineales es el problema predador-presa. En un cierto

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hbitat viven conejos y linces, cuyas poblaciones en un instante t de-notamos por x(t) e y(t), respectivamente. El modelo predador-presaestablece que x(t) e y(t) verican el sistema

x0(t) = Ax(t)Bx(t)y(t);y0(t) = Cx(t)y(t)Dx(t):

Una simulacin tpica con un computador usara como coecientes, porejemplo,

A = 2; B = 0:02; C = 0:0002; D = 0:8:

Use el mtodo de Runge-Kutta para resolver el sistema en el intervalo[0; 5] usando M = 40 pasos con h = 0:2 en los siguientes casos

(a) x(0) = 3000 conejos e y(0) = 120 linces.

(b) x(0) = 5000 conejos e y(0) = 100 linces.

16. Resuelva

x0 = x xy;y0 = y + xy

con x(0) = 4 e y(0) = 1

en [0; 8] tomando h = 0:1. Las trayectorias de este sistema son curvascerradas.

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