Bloque III de Matemáticas 1° Secundaria

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BLOQUE III

I UNIDADES DE MEDICIÓN.

Las unidades de medición sirven para poder identificar la medida de pertenencia de una cantidad dada sobre un cuerpo, estructura, situación o proceso. Dependiendo de su origen será la simbología que le represente.

Las unidades de medición que se utilizan con más frecuencia son aquellas que pertenecen al tiempo, distancia, peso y volumen.

Tiempo se define como el momento en que ocurre algo. Distancia es el recorrido de la trayectoria de un cuerpo, la cual puede ser lineal o curva. Peso es la medida de la masa con respecto a la gravedad. Volumen hace referencia al contenido de un cuerpo.

Para el caso de cada una de las anteriores se emplean diferentes unidades de medición simbolizadas con sus abreviaciones, también cada una de ellas tiene una equivalencia con respecto a otra de la misma pertenencia. Así entonces tenemos:

PESONOMBRE ABREVIACIÓN EQUIVALENCIAKilogramo Kg 1 Kg = 1000 g

Libra Lb 1 Lb = 454 gTonelada Ton 1 Ton = 1000 Kg

Gramo(S) = g

VOLUMENNOMBRE ABREVIACIÓN EQUIVALENCIAMililitro mL 1 mL = 1000 μL

Litro L 1 L = 1000 mLMetro cúbico m3 1 m3 = 1000 L

Galón gal 1 gal = 3.85 L µ (letra griega miu) = micro

DISTANCIA O LONGITUDNOMBRE ABREVIACIÓN EQUIVALENCIACentímetro cm 1 cm = 10 mm

Metro m 1 m = 100 cmKilómetro Km 1 Km = 1000 m

Yarda yd 1 yd = 91.63 cmMilla mi 1 mi = 1609.3 mPié ft 1 ft = 30.48 cm

Pulgada in 1 in = 2.54 cm mm = milimetro

Rosa María Jiménez Solar | Matemáticas I

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TIEMPONOMBRE ABREVIACIÓN EQUIVALENCIA

Minuto min 1 min = 60 sHora h, hr 1 h = 60 min = 3600 sDía día 1 día = 24 h

Semana semana 1 semana = 7 díasMes mes 1 mes = 30 díasAño año 1 año = 365 días

Década década 1 década = 10 añosSiglo siglo 1 siglo = 100 años

s = segundo(s)

1.1 Conversión de unidades.

La conversión de unidades es el cambio que se realiza de una unidad de medición a otra que se requiere para unificar criterios de uso o de resolución.

La conversión de unidades puede realizarse por medio de una regla de tres, de la técnica de casillas o por fórmulas. En el caso de la regla de tres se debe saber resolver los cuatro casos (ver bloque I). Antes de aplicarla para llegar a los valores necesarios se tiene que:

Reconocer las unidades que aparecen en cuestión. Escribir las equivalencias directas conocidas en donde aparezca cada una de

las unidades en cuestión. Si se localiza una equivalencia directa que contenga a ambas unidades en

cuestión, entonces sólo se realiza la conversión aplicando la regla de tres. Si no se localiza una equivalencia que contenga a ambas unidades entonces de las equivalencias que aparecen por separado se identificará aquella unidad que tengan en común. En caso de no tener una unidad en común entonces se deberá buscar una tercera combinación, partiendo de las nuevas observadas, en la cual se pueda hallar esa unidad en común.

Después de localizar el común se ubican las unidades con respecto a sus equivalencias formando la regla de 3, se realizan las operaciones y el valor deseado se obtiene.

Nota: Se sugiere que al hacer la conversión cuando haya más de una equivalencia se respete un orden y cada una de las nuevas unidades calculadas.

Por ejemplo:

- Convertir 35 L a mL

Equivalencia conocida: 1 L = 1000 mL , se observa que la equivalencia es directa, por lo tanto se colocan L debajo de L y mL debajo de mL.


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1 L – 1000 mL x = (35 L) (1000 mL) = 35000 mL35 L – x mL 1L

- Convertir 35000000 mL a m3

Equivalencias conocidas 1 L – 1000 mL y 1 m3 – 1000L , se observa que no hay una equivalencia directa pero si hay una unidad de medición en común la cual es el L por lo tanto quiere decir que la cantidad que nos dan debemos convertirla primero en L y después en m3.

1 L – 1000 mL x= (35000000 mL)(1 L) = 35000 Lx L – 35000000 mL 1000 mL

1 m3 – 1000 L x= (35000 L)(1 m 3 ) = 35 m3

x m3 – 35000 L 1000L

- Convertir 10 mi a in

Equivalencias conocidas 1 mi – 1609.3 m y 1 in – 2.54 cm, se observa que no hay una equivalencia directa y tampoco hay una unidad en común entonces se procede a buscar una equivalencia que contenga a las dos nuevas unidades, en este caso se tiene que 1 m – 100 cm por lo tanto eso quiere decir que entonces debemos realizar la siguiente línea de conversión de mi – m – cm – in.

1 mi – 1609.3 m x = (10 mi)(1609.3 m) = 16093 m10 mi – x m 1 mi

1 m – 100 cm x = (16093 m)(100 cm) = 1609300 cm16093 m – x cm 1 m

1 in – 2.54 cm x = (1609300 cm)(1 in) = 6335.8 inx in – 1609300 cm 2.54 cm

EJERCICIO 1. Realiza en tu libreta la conversión de las siguientes unidades de medición, debes llevar un orden y hacer todas las operaciones necesarias.

1.- 45 m3 – gal 2.- 130 in – m 3.- 187 mi – ft4.- 347m3 – mL 5.- 827 días – s 6.- 425 gal – m3

7.- 1530 Lb – Kg 8.- 487 cm – yd 9.- 635 yd – mi 10.- 1383 L – gal 11.- 7824 s – h 12.- 2478 Lb – g

II PERÍMETRO, ÁREAS SIMPLES Y COMBINADAS


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2.1 Perímetro.

El perímetro hace alusión al contorno de un cuerpo y por tanto para este deben sólo sumarse las medidas de los lados que forman a la figura. Para el cálculo del perímetro se emplean como unidades de medición. Estas unidades de medición corresponden a la distancia o longitud, empleando así centímetros (cm), metro (m), Kilómetro (Km), yarda (yd), (pie, ft), pulgada (pulg, in).

Las fórmulas utilizadas se muestran continuación:

Nombre Figura Fórmula de perímetro

CuadradoPcuad = L + L + L + LL = lado de la figura.

Pcuad = 4(L)

Rectángulo

Prec = LL1 + LL2 + LA1+ LA2

L = lado de la figura*LL1= LL2 ; LA1=LA2

Prec = 2 (LL) + 2 (LA)

TriánguloPtri = L + L+ L

L = lado de la figura.Ptri = 3(L)

Círculo

Pcir = 2r = 3.1416

= diámetro = línea que divide a la mitad al círculo.

r = radio = mitad del diámetro.

* LA = b = Lado angosto LL = a = Lado largo

Por ejemplo:


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Nombre Figura Fórmula de perímetro

Cuadrado

Cada lado (L) mide 2.3 cmPcuad = L + L + L + L

Pcuad = 2.3 + 2.3 + 2.3 + 2.3Pcuad = 4(L) = 4(2.3)

Pcuad = 9.2 cm

Rectángulo

LA= 3cm ; LL= 5cmPrec = LL1 + LL2 + LA1+ LA2

Prec = 5 + 5 + 3 + 3Prec = 2 (LL) + 2 (LA)

Prec = 2(5) + 2(3)Prec = 16 cm

Triángulo

L = 8.1cmPtri = L + L+ L

Ptri = 8.1 + 8.1 + 8.1Ptri = 3(L) = 3(8.1)

Ptri = 24.3 cm

Círculo

Pcir = 2r = 3.1416

= 10 cmr = / 2 = 10/2 = 5cm

Pcir = 2(3.1416)(5)Pcir = 31.416 cm

* LA = b = Lado angosto LL = a = Lado largo

EJERCICIO 2. En tu cuaderno realiza el cálculo del perímetro para las siguientes figuras geométricas aplicando la fórmula correspondiente, en algunos casos deberás realizar la conversión a las unidades que se piden para el resultado, de ser posible redondea el resultado a un decimal.

1.- Cuadrado; L = 5 cm ; resultado en metros.2.- Triángulo; L = 8.2 m ; resultado en yardas.3.- Círculo; = 10 mi ; resultado en millas.4.- Rectángulo; b = 5cm a = 2cm ; resultado en centímetros.5.- Círculo; r = 1.3m ; resultado en pulgadas.


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2.2 Áreas simples.

El área indica o hace referencia a la superficie de un cuerpo. Para el cálculo del área se emplean las medidas del largo y ancho, en algunas figuras el largo correspondería a lo alto. Estos valores se multiplican y dan unidades de medición correspondiente a la distancia o longitud pero al cuadrado, empleando así centímetros cuadrados (cm2), metro cuadrado (m2), Kilómetro cuadrado (Km2), yarda cuadrada (yd2), pie cuadrado (pie2, ft2), pulgada cuadrada (pulg2, in2), otra unidad que sirve para indicar área es hectárea (ha) o hectómetro cuadrado (hm2).

Las fórmulas utilizadas se muestran a continuación:

Nombre Figura Fórmula de área

CuadradoAcuad = (L)(L)

Acuad = L2

Rectángulo

Arec = (b)(a)b = base ; a = altura

L = lado de la figura*Arec = (LL) (LA)

Triángulo

Atri = (b)(a) 2

b = base ; a = altura

Círculo

Acir = r2

= 3.1416 = diámetro = línea que divide a la mitad al círculo.

r = radio = mitad del diámetro.

*LA = b = Lado angosto LL = a = Lado largo

Por ejemplo:


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Nombre Figura Fórmula de área

Cuadrado

L = 4.3 mAcuad = (L)(L)

Acuad = (4.3)(4.3)Acuad = L2 = 4.32 Acuad = 18.49 m2

Rectángulo

b = 5.1cm a = 3cmArec = (b)(a)

Arec = (LL) (LA)Arec = (5.1)(3)

Arec = 15.3 cm2

Triángulo

Atri = (b)(a) 2

b = 12mi ; a = 23miAtri = (12)(23)

2Atri = 138 mi2

Círculo

Acir = r2

= 3.1416 = 46 yd

r = /2 = 46/2 = 23ydAcir = (3.1416)(23)2

Acir = (3.1416)(529)Acir = 1661. 9064 yd2

Redondeando a un decimal

Acir = 1661.9 yd2

EJERCICIO 3. En tu cuaderno realiza el cálculo del área para las siguientes figuras geométricas aplicando la fórmula correspondiente, en algunos casos deberás realizar la conversión a las unidades que se piden para el resultado, de ser posible redondea el resultado a un decimal.

1.- Cuadrado; L = 5.3 cm ; resultado en yd2.2.- Triángulo; b = 8 m a= 10m; resultado en m2.3.- Círculo; = 13 in ; resultado en ft2.4.- Rectángulo; b = 4.5cm a = 2.7cm ; resultado en cm2.5.- Círculo; r = 5.3ft ; resultado en in2.

2.3 Reconocimiento y aplicación en problemas.


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Las figuras geométricas se pueden determinar en un enunciado o problema de acuerdo a las medidas que nos proporcionan, así también se puede saber si se necesita calcular el perímetro o el área siguiendo la referencia a la que hace cada uno de esos términos, por ejemplo:

Una señora tiene una huerta de 2 x 4 m y desea conocer cuantos metros deberá cercar así como todo el espacio que tiene la huerta para sembrar.

Razonamiento del enunciado.

En este caso nos dan una medida de 2x4m eso quiere decir que se habla de un rectángulo, si observamos las fórmulas que nos proporcionan (ver pág. 40 y 42) las medidas dadas nos indican al LA y al LL. Siguiente situación que se requiere es el cálculo del perímetro de la huerta, esto se sabe por que la señora desea cercarla y las cercas son una estructura que se pone en el contorno o alrededor de un espacio para limitarlo con otro. Finalmente se reconoce que también habrá de calcular el área de la huerta ya que el problema habla de que la señora desea conocer el espacio con el que cuenta para sembrar, ese espacio hace referencia a la superficie de la huerta que es donde se siembra.

Una vez razonado el problema se puede resolver y se tiene entonces lo siguiente:

Datos Figura Fórmula(s) Solución

b = LL= 4 ma = LA = 2 m

Prec = 2 (LL) + 2 (LA)Arec = (LL) (LA)

Prec = 2 (LL) + 2 (LA)Prec = 2(4) + 2(2)

Prec = 12 mArec = (LL) (LA)

Arec = (4)(2) = 8 m2

Solución: la señora cercará 12 m y sembrará en 8m2.

EJERCICIO 4. Razona y resuelve los siguientes problemas aplicando las fórmulas correspondientes, las operaciones y conversiones necesarias, traza la(s) figura(s) que esquematicen el problema y encierra en un rectángulo el resultado, este último a un decimal de ser posible.

1.- Don Paco debe colocar listón tricolor para las fiestas patrias en todo el redondel del barandal de los pasillos, ¿cuántos pies de listón necesitará si el barandal está rodeando el patio central que es de 17 x 9 m?

2.- Una constructora debe colocar unas escaleras con un diámetro de 8.4in, ¿cuál es la superficie que abarcará la construcción?

3.- Un director de orquesta cuenta con 110 músicos, deberán colocarse de tal manera que formen un triángulo con un área de 165 m2, ¿cuál es el espacio en in2 que ocupa cada músico?


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4.- Un laboratorio tiene una superficie que abarca 450.43 x 340.12 ft, ¿Cuál es el espacio que abarca en in2? Si se desea bardar el terreno del laboratorio ¿cuántos metros serán alrededor?

5.- Un niño tiene que elaborar una maqueta y desea saber cual será la medida de cada lado de la tabla que ocupará, conoce que la superficie que ocupan en total las cosas que lleva la maqueta es de 49 in2.

2.4 Áreas combinadas.

Las áreas combinadas se encuentran compuestas por más de dos figuras geométricas que se encuentran mezcladas entre sí, principalmente se localizan áreas combinadas cuando se requiere el cálculo de áreas sombreadas, para ello es necesario realizar lo siguiente:

Identificar cuales son las figuras geométricas que se encuentran en la imagen observada. Se recomienda “jugar” con la posición en que se encuentren las figuras en si mismas para poder localizar la estructura más sencilla.

Localizar las medidas correspondientes de cada una de las figuras e identificar la fórmula de su área. En caso de presentarse una medida entonces será necesario razonar e identificar la obtención de las demás medidas a partir de esa conocida.

Tomar en cuenta que área se desea conocer e identificar si a partir de obtener el área de las figuras deberán sumarse o restarse las necesarias.

Se deben realizar las operaciones necesarias e identificar los resultados de las áreas calculadas, para no confundirse.

Por ejemplo:

Calcula el área sombreada de la siguiente figura.

Datos: Fórmulas: Para el círculo sólo se emplea la mitad por lo tanto laLA = 5cm Acir = r2 la fórmula quedará: Acir / 2= r2/ 2LL = 10cm Arec = (LL) (LA) Finalmente después de calcular las áreas se sumaran r = 5cm para dar el Área sombreada total (AST).Cálculos y resultado:

Acir / 2= r2/ 2


5cm

Razonamiento: se puede observar que hay un medio círculo y dos cuadrados que al moverse forman un rectángulo, solo se conoce la medida de uno de los lados de un cuadrado pequeño, analizando se identifica que la medida corresponde al radio del círculo y también al LA del rectángulo, el doble de la medida corresponderá al LL del rectángulo. Una vez conocido esto se procede a resolver.

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Acir = (3.1416)(5) 2 = 78.54 = 39.27 cm2

2 2 2

Arec = (LL)(LA) = (10)(5) = 50 cm2

AST = Acir + Arec = 39.27 + 50 = 89.27 cm2 2Redondeando a un decimal el resultado nos queda: 89.3cm2

Datos: Fórmulas: Fórmulas a aplicar según el razonamiento:Triángulos Atri = (b)(a) Círculos pequeñosL= b = 30 cm 2 2Acirp = 2(r2)a = 15 cm Acir = r2 Círculo grandeCírculo grande Acirg = r 2 rcirg = 15 cm 2 2Círculo pequeño Triángulos = 15 cm 2Atri = 2(b)(a)rcirp = 7.5 cm 2 Atri = (b)(a) 2 2 2Aplicando y resolviendo las fórmulas:Círculos pequeños:2Acirp = 2(r2) = 2(3.1416)(7.5)2 = (6.2832)(56.25) = 353.43 cm2

Círculo grande:Acirg = r 2 = (3.1416)(15) 2 = (3.1416)(225) = 706.86 = 353.43 cm2

2 2 2 2 2Triángulos:2Atri = 2(b)(a) = (b)(a) = (30)(15) = 450 cm2 cuando se multiplica y divide por el 2 mismo número es como si no se realizaran


15 cm

Razonamiento: La figura deja ver una silueta de un muñeco el cual está compuesto de círculos y triángulos, los círculos pequeños corresponden en su diámetro al radio del círculo grande, el radio del círculo grande corresponde a la medida de la altura del triángulo que tiene en la cabeza la figura, el triángulo de la cabeza tiene la misma medida que tienen cada uno de los triángulos que tiene el muñeco en el cuerpo (pareciera que forman un cuadrado). Sabiendo esto se pueden obtener las medidas que corresponden a cada una de las figuras. Ahora bien para poder calcular el área sombreada total (AST) se observa que los cuatro círculos pequeños están sombreados a la mitad por lo tanto si se “juega” en el espacio con las figuras se tienen 2 círculos pequeños sombreados, en el caso del círculo grande se tiene la mitad sombreada, en el caso de los triángulos se tienen 2 y medio triángulos sombreados, identificado esto entonces se debe obtener el área sombreada de cada una de las figuras para que al final se sumen.

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dichas operaciones, compruébalo.

Atri = (b)(a) = (30)(15) = 450 = 225 = 112.5 cm2 2 2 2 2 2 2 2 2

AST = 2Acirp + Acirg + 2Atri + Atri = 353.43 cm2 + 353.43cm2 + 450cm2 + 112.5 cm2 = 2 2

AST = 1269.36 cm2

EJERCICIO 5. En tu cuaderno realiza el razonamiento matemático, utiliza las fórmulas respectivas y sus combinaciones para obtener el área sombreada de cada una de las siguientes figuras. Debes calcular el resultado a un decimal y en las unidades de medición que se requieren.

1.- 2.- 3.-

4.- 5.- 6.-

III RAÍZ CUADRADA

3.1 Partes de la raíz cuadrada


8in

Área sombreada en m2

4cm

Área sombreada en in2

10ftÁrea sombreada

en ft2

10ydÁrea sombreada

en mi2

10m

Área sombreada en yd2

50 cm

Área sombreada en in2

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La raíz cuadrada es la operación inversa a la potencia cuadrada, esta compuesta por:

Radical 2

Radicando Raíz cuadrada

Residuo

3.2 Solución de la raíz cuadrada

Para resolver la raíz cuadrada debes realizar los pasos siguientes:

La cantidad escrita en el radicando debe separarse en parejas de números, esto del punto decimal hacia los lados. Si a la izquierda queda un número se toma en cuenta como una pareja pero si a la derecha queda un número entonces deberá completarse la pareja con un cero, por ejemplo:

Radicándos: 1416 1874. 3 348.12

Parejas que se forman:

14 16 18 74 . 30 3 48 . 12

Se comenzará a resolver por la primera pareja o cifra, empezando de izquierda a derecha. Buscar un número en el que su resultado del producto por si mismo de esa primera cantidad o se acerque a ella, dicho número deberá escribirse en la línea de raíz cuadrada, y el resulta del producto por sí mismo se le resta a esa primera cifra, esto es:

Para 14 16, la primera pareja o cifra es 14 y se dice (2)(2) = 4, (3)(3)=9, (4)(4) =16, de los productos anteriores el que se ocupará será 3 ya que el producto por si mismo da 9 que es un número que se acerca a 14, no se ocupa 4 ya que al multiplicarse por si mismo da 16 que es mayor a 14. Ahora 9, que es el resultado del producto de (3)(3), se le restará a 14. En la operación se escribe de la siguiente forma: Para los otros dos ejemplos quedaría: 1 4 1 6 3 - 9 18 74 . 30 4 3 48 . 12 1 5 -16 -1 2 2

Ahora se baja la siguiente pareja, cada vez que se baja una pareja se traza una línea debajo de la línea de raíz cuadrada y en ella se escribe el doble de la cantidad escrita en la línea de raíz cuadrada. Esto es:


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1 4 1 6 3 18 74 . 30 4 3 48 . 12 1 - 9 6 -16 8 -1 2 5 1 6 2 74 2 48

En el residuo que se tiene ahora, cantidad formada por el sobrante de la resta y la pareja bajada, se tapa su último número y la cantidad que queda descubierta se divide entre el número que esta escrito en la última línea. La cantidad aproximada que de cómo resultado de la división no puede ser mayor a 9 ni debe tener decimal, este número se escribirá en la línea de raíz cuadrada y en la última línea, o sea :

1 4 1 6 3 7 18 74 . 30 4 3 3 48 . 12 1 8 - 9 6 7 -16 8 3 -1 2 8 5 1 6 2 74 2 48

Entonces se divide: 51 ÷ 6 27 ÷ 8 24 ÷ 2

Aproximadamente el entero que nos da es: 7 3 8

Los cuales se escribieron en la línea de raíz cuadrada y en la última línea.

El último número escrito en la línea de raíz cuadrada ahora multiplica a toda la cantidad escrita en la última línea y el resultado de dicho producto se le resta al residuo.

Se multiplica el último número de la línea de raíz cuadrada por toda la cantidad de la última línea, o sea: 7(67) = 469 3(83) = 249 8(28) = 224El resultado de la multiplicación se le resta al residuo: 516 – 469 = 47 274 – 249 = 25 248 -224 = 24

1 4 1 6 3 7 18 74 . 30 4 3 3 48 . 12 1 8 - 9 6 7 -16 8 3 -1 2 8 5 1 6 2 74 2 48 - 4 6 9 - 2 49 - 2 24 47 25 24

Si existen más parejas se continua con bajar la siguiente pareja, si ya no hay parejas y se requieren decimales en el resultado se baja una pareja de ceros.


Baja una pareja, se aumenta una línea, se escribe el doble de la primera.

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Una vez esto entonces se resuelve de nuevo realizando todos los pasos a partir del punto 3. Esto es:

1 4 1 6 3 7 6 18 74 . 30 4 3 2 3 48 . 12 186 - 9 6 7 -16 8 3 -1 2 8 5 1 6 74 6 2 74 8 6 2 2 4 8 366 - 4 6 9 - 2 49 - 2 24 47 00 25 30 24 12 - 45 16 - 17 24 - 21 96 2 24 8 06 2 16

Recordando desde el punto 3: cuando se baja una pareja se traza una línea nueva, se escribe en la línea nueva el doble de todo lo que hay en la primera, se tapa el último número del residuo, la cantidad destapada se divide entre lo que hay en la última línea, el resultado se escribe en la primera y en la última línea, el último número escrito en la primera línea multiplica a todo lo que hay en la última línea y el resultado se le resta al residuo.

El punto decimal del resultado de la raíz cuadrada se coloca contando cuantas parejas hay a la izquierda del punto decimal, se cuenta el mismo número pero en posiciones en la cantidad de la raíz cuadrada y se coloca el punto. Por ejemplo:

Cantidad Raíz cuadrada Cantidad Raíz cuadrada Cantidad Raíz cuadrada 14 16 376 1874 . 30 432 348 . 12 186 Parejas Resultado Parejas Resultado Parejas Resultado que tiene con decimal que tiene con decimal que tiene con decimal 2 37 . 6 2 43 . 2 2 18 . 6

Para comprobar que el resultado de la raíz cuadrada es correcto, debes multiplicar por si mismo el resultado. Al final se suma el residuo, ubicando la cantidad de derecha a izquierda. El resultado de todas estas operaciones debe se igual al radicando. Por ejemplo:

37 . 6 43 . 3 18 .6 x 37 . 6 x 43 . 3 x 18 .6 22 56 8 64 11 16 263 2 129 6 148 8 1128 1728 186 . 1413 76 1866 24 345 96 + 2 24 + 8 06 + 2 16 1416.00 1874.30 348.12

EJERCICIO 6. En tu libreta obtén la raíz cuadrada de las siguientes cantidades, realiza las operaciones necesarias y la comprobación correspondiente.


Bloque III 51

1.- 1587.35 2.- 15.5423 3.- 7.648 4.- 64.547 5.- 9.87616.- 923.5 7.- 193.55 8.- 342.3 9.- 435.52 10.- 3.985

IV SERIES NUMÉRICAS.

Una serie es un conjunto de cosas que tienen una relación entre si y que se suceden unas a otras.

Una serie numérica o aritmética es una sucesión, progresión o secuencia de números, los cuales pueden ser repetidos, pueden estar ordenados de mayor a menor, de menor a mayor o no estar ordenados.

Una serie matemáticas es la expresión de la suma de términos infinitos de una sucesión. Una serie de datos, por otra parte, es un conjunto de resultados, observados en una cierta secuencia temporal.

En la serie es muy importante definir la regla mediante la cual se pueden encontrar sus elementos, dichos elementos son:

La razón (r): es la diferencia que existe entre un término y el anterior, para obtenerla escoge un número de la serie y réstale el número anterior a el.

La posición de un término (an): indica el lugar que ocupa un término o valor. El valor de un término (Sn): hace referencia a la sumatoria de cada una de las

cantidades escritas en la sucesión . Cada serie comienza con un número que es seguido de otros y se separan por

una coma que puede estar seguida de puntos suspensivos u otros términos. Por ejemplo:

a1, a2, a3, a4, a5, … an

1, 3, 5, 7, 9, … En este caso r = 2; a1=1 ; an = aquí se daría el término y se pediría buscar la

posición; Sn= aquí se daría la posición y se pediría calcular el valor que la ocupa.

Para conocer el valor de una posición determinada se tiene la fórmula general siguiente:

an = a1 + (n – 1) r

Por ejemplo: 1,2,3,4,5,... cuando n= 63 Aplicando la fórmula: El cálculo indica que el valorSe sabe que: a1= 1 ; r = 1 an = a1 + (n – 1) r 63 para esta serie ocupa la a63 = 1 + (63 – 1)1 posición 63. a63 = 1 + (62)1 a63 = 1 + 62 a63 = 63 EJERCICIO 7. En tu libreta identifica el valor de a1, r y calcula la posición del valor de n en cada una de las siguientes series, utiliza la fórmula general.


Bloque III 52

1.- 3,6,9,12,15,… cuando n= 622.- 7,12,17,22,27,… cuando n= 273.- 21,26,31,36,… cuando n= 334.- 21,27,33,39,… cuando n= 485.- 1,11,21,31,… cuando n= 63

La suma de los términos de una progresión aritmética limitada es igual a la suma de los términos extremos multiplicada por el número de términos. Su expresión está dada por:

Sn = a1 + an n 2

En dicha expresión hay 5 variables que son a1, an, r, n y S o Sn. Las cuales están relacionadas entre sí, en algunos casos cuando an se ha desconocido en su valor y se pida el cálculo de la sumatoria de términos (S) entonces se deberá calcular primero an y posteriormente Sn. Por ejemplo:

3,7,11,15,… cuando n= 95Se conoce que: r= 4; a1= 3; an= a95 = ¿? Para calcular Sn

an = a1 + (n – 1) r Sn = a1 + an n Sn = (191)95 a95 = 3 + (95 – 1)4 2 Sn = 18145a95 = 3 + (94)4 a95 = 3 + 376 Sn = 3 + 379 95a95 = 379 2 Sn = 382 95 2

EJERCICIO 8. En tu libreta calcula el valor total de la sumatoria de términos total para las siguientes series.

1.- 15,21,27,33,… cuando n = 862.- 9,16,23,30,… cuando n = 1143.- 3,10,17,24,… cuando n = 974.- 1,6,11,16,… cuando n = 1275.- 112,118,124,130,… cuando n = 25


Bloque III de Matemáticas 1° Secundaria

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