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Secundaria

Matemáticas I, II y III (PRIMER BLOQUE)

2

SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA DE HIDALGO

Joel Guerrero Juárez

SUBSECRETARÍA DE PLANEACIÓN Y EVALUACIÓN SECTORIAL DE POLÍTICAS EDUCATIVAS

Fernando Cuatepotzo Costeira

SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN BÁSICA

Ma. Luisa Pérez Perusquía

DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN BÁSICA

María Elena Núñez Soto

DIRECCIÓN GENERAL DE DESARROLLO CURRICULAR

Noé Arciniega Lora

DIRECCIÓN DE PROGRAMAS CO-CURRICULARES

Jesús Casañas Pérez

COORDINACIÓN ESTATAL DE ASESORÍA Y SEGUIMIENTO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA

Cirilo Rubio Vega

3

PRIMERA EDICIÓN, 2013

Secretaría de Educación Pública de Hidalgo

Circuito Exhacienda La Concepción LT-17,

San Juan Tilcuautla, Hgo.

Impreso en Hidalgo

MATERIAL GRATUITO/Prohibida su venta

Programa de estudios 2011. Educación Básica. Secundaria. Material Curricular de Apoyo a la Planificación Didáctica, fue elaborado por

el personal académico de la Coordinación Estatal de Asesoría y Seguimiento de Educación Secundaria, de la Dirección General de

Educación Básica, en colaboración con la Dirección de Programas Co-curriculares Transversales, de la Dirección General de Desarrollo

Curricular que pertenecen a la Subsecretaría de Educación Básica, de la Secretaría de Educación Pública de Hidalgo.

Responsable de contenidos

Fidel Cruz Isidro

4

Presentación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

PRIMER GRADO

Sugerencias didácticas primer Bloque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

SEGUNDO GRADO

Sugerencias didácticas segundo Bloque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

TERCER GRADO

Sugerencias didácticas tercer Bloque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

ÍNDICE

6

Agosto de 2013.

Directoras, Directores y Docentes.

El ciclo escolar 2013-2014 que estamos iniciando, presenta retos inéditos para todos nosotros. Debemos

afrontarlos, como siempre lo hemos hecho, con talento y altura de miras, teniendo como compromiso

fundamental el incremento en la calidad de la educación que impartimos al mejor patrimonio que tiene el

Estado de Hidalgo: sus niños y jóvenes.

Dentro de las innovaciones que presenta este nuevo curso, destaca especialmente el posicionamiento de

los Consejos Técnicos Escolares como la instancia fundamental de la operación de nuestras escuelas.

El trabajo colectivo de Directores y Maestros, y su capacidad de construir acuerdos en un marco

democrático y de tolerancia, será la mejor ruta para transitar el calendario y cumplir a cabalidad con los

programas.

En este sentido, la planeación de la práctica docente es determinante, junto con la organización sistemática

de las tareas pedagógicas y la definición de estrategias didácticas idóneas.

PRESENTACIÓN

7

Con este propósito, instruí la elaboración de materiales de apoyo, como el presente, para fortalecer la

planeación de estas tareas. Su finalidad es la de coadyuvar a que en las escuelas se cuente con elementos

comunes que a su vez permitan adecuarse a la realidad social y económica de las zonas donde se insertan

los centros educativos, respetando y atendiendo la diversidad y riqueza cultural de nuestra entidad.

Este material es el primero de una serie completa. Queda a su disposición. Enriquecerlo y mejorar su

contenido y enfoque es tarea de ustedes. Estaremos atentos a sus aportaciones y comentarios.

Reciban mi saludo respetuoso y, junto con él, la reiteración de la certeza de la calidad y compromiso de los

maestros hidalguenses. Hagamos del ciclo escolar 2013-2014, el mejor que se haya impartido en Hidalgo.

PROFESOR JOEL GUERRERO JUÁREZ

SECRETARIO DE EDUCACIÓN PÚBLICA

8

A partir de la Reforma iniciada en el año 2004 en Educación Preescolar, en 2006 en Educación Secundaria, y en 2009 en Educación

Primaria, la cual se consolida con el Plan de Estudios Articulado para la Educación Básica en el 2011, donde se introducen cambios

curriculares que sin duda alguna condicionan el trabajo que desarrollan los docentes al interior del aula, en el ámbito de la Planificación

Didáctica y que al mismo tiempo plantean retos importantes que son necesarios sortear.

Entre las innovaciones destacan, el cambio del paradigma educativo, ahora centrado en el desarrollo de competencias; la introducción

de nuevos componentes curriculares, como los aprendizajes esperados, competencias para la vida y estándares curriculares; la

trasformación de los enfoques didácticos de las distintas asignaturas en el caso de Educación Primaria y Educación Secundaria, y Campos

Formativos en Educación Preescolar, los cuales se fundamentan en nuevas teorías de aprendizaje y pedagógicas, que definen el rol del

docente y del alumno; además, del papel que juegan los contenidos académicos en los procesos educativos; la reorganización de las

asignaturas agrupadas en Campos de formación con finalidades claras y precisas; el cambio de conceptos en el lenguaje didáctico tales

como indicadores de desempeño, evidencias de aprendizaje y ámbitos; la diversidad de estrategias metodológicas que se proponen

para implementar los procesos educativos, tales como: estudio de caso, dilemas morales, proyectos y consignas; nuevos elementos

necesarios a considerar en los procesos de evaluación de los aprendizajes como indicadores de desempeño, evidencias de aprendizaje,

autoevaluación, heteroevaluación y coevaluación; y por último la variedad de técnicas e instrumentos que se sugieren para la evaluación

formativa.

Estas innovaciones demandan a los docentes adaptarse a los cambios, y considerando que el Acuerdo Secretarial 592 por el que se

establece la Articulación de la Educación Básica señala que “la planificación es un elemento sustantivo de la práctica docente para

potenciar el aprendizaje de los estudiantes hacia el desarrollo de competencias”, la Secretaria de Educación Pública de Hidalgo, pone a

su disposición el documento Material Curricular de Apoyo a la Planificación Didáctica, con el propósito de contar con un material de

apoyo para la práctica docente.

El Material que se propone contiene sugerencias didácticas que ofrecen elementos o pueden ser referentes para comprender y

concretizar el enfoque de cada una de las asignaturas, ayuda a su práctica en el aula, que motiva la esencia del ser docente por su

creatividad y búsqueda de alternativas situadas en el aprendizaje de sus estudiantes.

INTRODUCCIÓN

9

En este sentido, se recomienda que las sugerencias didácticas sean valoradas, analizadas y/o modificadas considerando el contexto

escolar y las condiciones del grupo. Sólo buscan orientar al docente en el diseño de su planeación didáctica, no pretende sustituirla.

Por otra parte, este material pretende fortalecer el trabajo académico de los Consejos Técnicos Escolares, promoviendo al seno de los

mismos el análisis, la reflexión y el debate de los aspectos curriculares; condición necesaria para lograr elevar los resultados académicos

en las escuelas de Educación Básica.

Al respecto, el Consejo Técnico Escolar plantea cinco herramientas de trabajo para el desarrollo efectivo del mismo:

1. Planeación

2. Seguimiento

3. Evaluación

4. Diálogo

5. Retroalimentación

Con relación a la planeación se consideran dos vertientes:

La primera se refiere a la planeación institucional, es decir aquella que define la organización, funcionamiento y gobierno del Centro

Escolar y que en este caso, desde el Modelo Hidalgo, se plantea una perspectiva de Planeación Estratégica con una mirada de escuela-

zona-región.

Con relación a la segunda vertiente, se hace énfasis en la planeación del trabajo en el aula, donde este material pretende abonar dicha

tarea. Esta propuesta pretende apoyar al docente en los siguientes aspectos:

Organización sistemática del trabajo en el aula.

Reconocimiento de los referentes fundamentales para el diseño de la planificación.

Diseño de secuencias didácticas a partir de las sugerencias metodológicas que se incluyen en este material.

Uso de diversos recursos educativos para favorecer el aprendizaje.

Identificación de los elementos básicos para definir estrategias de evaluación y reconocimiento de instrumentos y técnicas de

evaluación formativa.

10

La planeación didáctica es importante para alcanzar los aprendizajes esperados. En matemáticas es importante mencionar que estos no se corresponden uno a uno con los contenidos del bloque debido a que éstos constituyen procesos de estudio que en algunos casos trascienden el bloque e incluso el grado. Es importante considerar los principios pedagógicos en forma integral, crear un ambiente de aprendizaje con el conocimiento del enfoque de la asignatura, la diversidad social, la planificación y la evaluación de los aprendizajes, entre otros aspectos. En la asignatura se trabaja con secuencias de situaciones problemáticas, y las actividades deben presentar un reto intelectual para los alumnos y que sean ellos quienes resuelvan los problemas, con la finalidad de que tomen conciencia sobre la responsabilidad de sus propios aprendizajes. Por eso es importante que el docente esté al pendiente de todo lo que el alumno hace al resolverlos, y no dejarlos solos. A diferencia de las otras asignaturas, para la recuperación de conocimientos previos ésta se va dando conforme el alumno se enfrenta al problema, mediante las interacciones que se generan entre los propios alumnos y con ayuda del maestro. Otro punto muy importante es llegar siempre a la puesta en común (socialización), donde todos comentan y discuten las diferentes formas de solucionar el problema.

En las sugerencias de evaluación del aprendizaje se propone la elaboración y aplicación de instrumentos, es recomendable revisar el principio pedagógico 1.7 evaluar para aprender, y la serie: Herramientas de la evaluación en Educación Básica, folleto 4 “Las estrategias y los instrumentos de evaluación desde el enfoque formativo”.

MATEMÁTICAS

11

PRIMER GRADO

12

Campo de formación Asignatura Grado Bloque Eje Tema Contenido Semana

Pensamiento

Matemático

Matemáticas 1º I Sentido numérico y

pensamiento

algebraico.

Números y sistemas

de numeración.

Conversión de fracciones decimales y

no decimales a su escritura decimal y

viceversa.

1

Competencias Matemáticas Aprendizajes esperados

Resolver problemas de manera autónoma

Comunicar información matemática

Validar procedimientos y resultados

Manejar técnicas eficientemente

Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa

Sugerencias didácticas

En este momento los alumnos no deben tener dificultad para transformar un número decimal finito en fracción (0.8 = 8

10=

4

5) o bien una fracción decimal

en su notación decimal (75

100= 0.75) , pues en sexto grado realizaron este tipo de conversiones. Es importante que los alumnos logren distinguir las

fracciones que pueden ser expresadas con un decimal finito, como 1/8, 4/5, etcétera, entendiendo que sus denominadores pueden convertirse a una

potencia de 10 y analizando el hecho de que las potencias de 10 sólo tienen como factores primos el 2 y el 5.

El proceso se complica cuando la fracción no es decimal ni puede transformase en una de ellas o bien cuando el número decimal no es finito. Por ejemplo:

¿Cuál es el perímetro del siguiente rectángulo?

Si se decide transformar 1

3 en un número decimal, se obtiene

1

3= 0.333 Dado que se trata de una expresión decimal periódico,

puesto que en este caso hay una cifra que se repite infinitamente, basta truncar hasta la cifra deseada. Así, el ancho del rectángulo

puede representarse con 0.33 m. Una vez expresados el largo y ancho del rectángulo con el mismo tipo de número, fácilmente puede

obtenerse su perímetro.

Además de practicar las conversiones entre fracciones y números decimales finitos y entre fracciones decimales y sus expresiones decimales, se sugiere

estudiar las siguientes transformaciones:

Fracción a un número decimal periódico puro: 1

3= 0.333 … = 0. 3̅

Fracción a un número decimal periódico mixto: 7

6= 1.1666 … = 1.16

Los procesos inversos podrán estudiarse una vez que se trabajen las propiedades de la igualdad.

Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que implican realizar transformaciones entre números decimales finitos y fracciones.

Se recomienda comenzar en la recuperación de los conocimientos previos para rescatar el concepto de fracción, decimal, in (pulgadas) periódico y de las

palabras que mencionan en el problema (soleras y ángulos).

Consigna: Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema, pueden auxiliarse de una calculadora.

El Sr. Jorge se dedica a reparar y construir diferentes estructuras metálicas. Para realizar algunos trabajos envío a su ayudante Juan a comprar los siguientes

materiales.

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1. Barras de solera de las siguientes medidas: 1 1/8 in, 1 ¼ in y 1/2 in. Al llegar a la ferretería, le muestran un manual donde aparecen las medidas que están disponibles.

¿Cuáles medidas del manual debe pedir Juan?

____________________________________

2. Ángulos de lados iguales con las siguientes medidas: 0.75 x 0.125 in, 0.1875 x 0.375 in, en el catálogo disponible en la ferretería aparecen las siguientes medidas disponibles.

¿Cuáles medidas del catálogo debe pedir Juan? _____________________________________

a) 0.933 in c) 0.5 in e) 1.125 in g) 1.250 in

b) 0.4375 in d) 1.375 in f) 1.933 in h) 1.012

a) ¾ x 5/16 in c) 3/16 x 2/8 in

b) 3/16 x 3/8 in d) ¾ x 1/8 in

Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que implican realizar transformaciones entre fracciones y número decimal periódico puro o

número decimal periódico mixto.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema, pueden auxiliarse de una calculadora:

Calculen el perímetro de las siguientes figuras. Expresen los resultados con números decimales y con fracciones.

a) b)

Sugerencias para la evaluación

Ejemplo de una lista de cotejo para la autoevaluación:

Rasgos Muy

bien

Bien Más o

menos

Aún me

falta

Comprendo el significado de una fracción, y lo relaciono con le vida real.

Convierto números fraccionarios a decimales y viceversa sin ningún problema

Puedo transformar un número decimal finito en fracción

Comprendo y Entiendo cómo transformar una fracción decimal en su notación decimal

Logro distinguir las fracciones que pueden ser expresadas con un decimal finito

Recursos de Apoyo

GIS (Guía Interactiva para Secundaria) http://basica.sep.gob.mx/dgdgie/cva/gis/index.html

Se le puede recomendar al alumno a ver el video para reforzar sus conocimientos: https://www.youtube.com/watch?v=DFdf3ZftmXw

3 1

6 m

3 8

15 m

1.30 m 4.72 m

1

3 m

2.80 m

Haga recorridos por los equipo para ver como resuelven los problemas y ver

sus dudas y la forma en que ellos se apoyan, hágales preguntas o de tips pero

que sean ellos quienes resuelvan.

Haga pasar a un equipo, de preferencia escoja uno al azar, para que explique y

comunique la forma de resolver los problemas.

Si existieran preguntas, que sean ellos quienes argumenten y respondan y

validen sus resultados.

http://basica.sep.gob.mx/dgdgie/cva/gis/index.html

https://www.youtube.com/watch?v=DFdf3ZftmXw

14

Campo de formación Asignatura Grado Bloque Eje Tema Contenido

Pensamiento

Matemático

Matemáticas 1º I Sentido

numérico y

pensamiento

algebraico.

Números y sistemas

de numeración.

Representación de números fraccionarios y

decimales en la recta numérica a partir de

distintas informaciones, analizando las

convenciones de esta representación.

2






Conoce y utiliza las convenciones para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica.


Cuando se inicie con la recta numérica, explicar la necesidad de asignar el cero a un punto de la recta, de determinar una unidad y con base en ésta determinar

la ubicación de cualquier número. Se puede iniciar con estos problemas para recuperar los conocimientos previos.

• Ubiquen en la recta numérica 3/4 y 5/3 (previamente deben encontrarse representados 1 y 5/2).

• Representen en la recta numérica 7/4 y 1/2 e intercalen entre ellos cinco fracciones.

• Ubiquen 3.5 y 1.8 (previamente deben encontrarse representados 2.3 y 4.5).

Consigna: Reunidos en equipos, resuelvan el siguiente problema.

El salto de altura es una de las competencias atléticas más atractivas. Se trata de saltar sobre una barra horizontal que está colocada a varios metros sobre el nivel del piso. ¡Los mejores atletas saltan más de 2 metros de altura!

Para decidir cuándo un competidor gana o pierde una competencia es muy importante medir de modo muy preciso la altura de sus saltos. Las mediciones de los saltos se pueden realizar usando fracciones y números decimales.

La tabla muestra tres marcas conseguidas en el salto de altura por distintos atletas.

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En la siguiente recta se ha representado el salto de Sotomayor. Anota en el lugar correspondiente la representación de la distancia que saltaron Austin y Hölm. a) ¿Quién hiso el salto de mayor altura?

b) ¿Quién hizo el salto de menor altura?

Comparen sus respuestas y comenten como las obtuvieron.

Ubica en la siguiente recta los números 1, y 1 .

En la misma recta ubica al 3.

¿Cómo supiste donde va el 3?

Con tu regla mide la distancia del 0 al 1

¿Cuánto es? __________________________ ¿y la distancia de 1 a 2? ___________ ¿Y la de 2 a 3?______________

Verifica que estas tres distancias sean iguales, si no es así revisa dónde está el error.

Considera ahora sólo el punto 2 a 3.

a) Ubica el punto 21

3 ( altura que saltó Holm)

b) ¿Qué hiciste para localizar el punto ?


Para la evaluación sugerimos hacer una coevaluación.

Criterios / nivel Si No

Reconoce la importancia y Logra ubicar el cero sin ningún problema en la recta numérica

Logra ubicar la fracción aun cuando solo tiene un número la recta numérica

Logra identificar en la recta numérica cuando una fracción es mayor o menor.

Identifica sin problemas la escala a utilizar cuando solo está señalado un dato.

Recursos de Apoyo

Bibliotecas Escolares y de Aula: Marvan, Luz María. (2003). “Escritura decimal infinita” y “Otros símbolos para números no enteros” en Representación Numérica. México: SEP/Santillana

Libros del Rincón.

Marvan, Luz María, Andrea y las fracciones. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón.

Dos Video en donde nos explican brevemente la representación de fracciones en la recta numérica: http://www.youtube.com/watch?v=lIr-z9V_9xo

http://www.youtube.com/watch?v=pz4rsiTBKC4

http://www.youtube.com/watch?v=lIr-z9V_9xo

http://www.youtube.com/watch?v=pz4rsiTBKC4

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Pensamiento

Matemático

Matemáticas 1º I Sentido numérico

y pensamiento

algebraico.

Problemas

aditivos

Resolución y planteamiento de problemas

que impliquen más de una operación de

suma y resta de fracciones

3






Nota: Este aprendizaje esperado se encuentra en el bloque V. Esto quiere decir que se

consolidará al llegar a este bloque.

Resuelve problemas aditivos que implican el uso de números enteros, fraccionarios o

decimales positivos y negativos


En la primaria, los alumnos han trabajado problemas que implican sumar o restar fracciones con igual o diferente denominador, empleando diferentes

procedimientos, incluyendo los algoritmos usuales o convencionales. Ahora, la intención es fortalecer el dominio de esos procedimientos enfatizando la

necesidad de igualar los denominadores para poder sumar o restar y al mismo tiempo enfrentarse y resolver situaciones más complejas, problemas que

requieran de dos o más operaciones de suma y resta de fracciones. Es importante que en muchos casos las operaciones puedan ser resueltas mediante el cálculo

mental porque éste ayuda a darle sentido a los procedimientos.

Algunos ejemplos de problemas que pueden plantearse son los

siguientes:

• De una pizza entera Ana comió 1/3 y María comió ¼. ¿Qué parte

de la pizza quedó?

• De una jarra que contenía 2 ¼ litros de agua llené dos vasos de ¼

de litros cada uno y un vaso de 1/3 de litros. ¿Cuánta agua quedó

en la jarra?

• En relación con su deporte favorito, a un grupo de estudiantes se

le aplicó una encuesta, se obtuvieron los siguientes resultados:

1/4 de los entrevistados prefiere jugar fútbol.

1/6 de los entrevistados contestó básquetbol.

1/3 de los entrevistados se decidió por el beisbol.

El resto de los entrevistados no tiene deporte favorito.

¿Qué parte del total de los entrevistados no tiene un deporte favorito?

Es conveniente realizar actividades que consistan en diseñar problemas

que puedan resolverse con operaciones dadas.

Se sugiere que los alumnos resuelvan mentalmente problemas que

impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.

Proponer a demás actividades en donde los alumnos resuelvan

problemas de suma y resta de fracciones que impliquen dos o más

operaciones

Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan mentalmente problemas

que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.

Consigna: Organizados en parejas resuelvan mentalmente los siguientes

problemas:

Para cumplir con los pedidos del día, una confitería calcula que necesita usar 4

kg de harina. En el estante guardan 2 paquetes de ¾ kg, 2 paquetes de ½ kg y

2 de ¼ kg. Averigüen si la harina que tienen es suficiente. Si falta o sobra harina,

digan cuál es la diferencia.

Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas de suma y resta de

fracciones que impliquen dos o más operaciones.

Consigna: Organizados en parejas resuelvan los siguientes problemas:

1. De una jarra que contiene 2 ¼ litro de agua llené dos vasos de ¼ litro cada

uno y un vaso de 1/3 de litro. ¿Cuánta agua quedó en la jarra?

2. A Diego le proponen que elija la bolsa de golosinas más pesada. La primera

pesa 3 3/8 kg y la segunda 20/6 kg. ¿Cuál es la que pesa más? ¿Cuánto pierde

si elige la de menor peso?

3. Decide si es cierto o no que con 3 vasos de ¼ litro y 2 vasos de 1/5 litro se

puede llenar una botella de 1 ½ litro.

17


Lista de cotejo que puede ser empleado para realizar la evaluación

Criterios / nivel Si No

Puede sumar o restar fracciones con igual o diferente denominador

Usa diferentes procedimientos para sumar o restar fracciones de la vida cotidiana

Resuelve mentalmente problemas que implican más de una operación de suma y resta de fracciones.

Recursos de Apoyo

Videos que pueden ser consultados por el maestro antes de abordar el contenido, o para que alumno se retroalimente.

http://www.youtube.com/watch?v=1ktyVZthSX4

http://www.youtube.com/watch?v=_mUzX7JNmkY

http://www.youtube.com/watch?v=1ktyVZthSX4

http://www.youtube.com/watch?v=_mUzX7JNmkY

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Pensamiento

Matemático


y pensamiento

algebraico.

Patrones y

ecuaciones

Construcción de sucesiones de números o de

figuras a partir de una regla dada en lenguaje

común. Formulación en lenguaje común de

expresiones generales que definen las reglas de

sucesiones con progresión aritmética o

geométrica, de números y de figuras

4






Representa sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada y viceversa.


Intenciones didácticas:

Que los alumnos construyan sucesiones de números con progresión aritmética y con progresión geométrica a partir de la regla general o de la regla de la

regularidad, respectivamente, dadas en lenguaje común.

Consigna: Organizados en equipos realicen lo que se indica a continuación.

1. El siguiente esquema representa lo que realiza una máquina al introducir las posiciones de los primeros cinco términos de una sucesión. a) Aplica la regla que emplea la máquina y determina los términos que están en las

posiciones 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 de la sucesión. ___________________________________________________________

b) Si se introducen los números 50, 100, 500 y 1000, ¿cuáles son los términos de la sucesión que corresponden a estas posiciones? ____________________________________________________________

Otra máquina emplea la regla de regularidad siguiente: “Al número anterior se multiplica por 3 para obtener el siguiente término”. Si el primer término de la

sucesión es 5, determina los primeros 6 términos de la sucesión: _________________________

Intenciones didácticas: Que los alumnos formulen, en lenguaje común, reglas generales que permitan determinar cualquier término de sucesiones con

progresión aritmética.

MÁQUINA ENTRADA SALIDA

Posición

0, 2, 4, 6, 8,...

Sucesión

1, 2, 3, 4, 5,...

Regla general:

Al número de la

posición se

multiplica por

dos y al resultado

se le resta dos.

19

Consigna: Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema: Cada vez que Claudia resuelve problemas de sucesiones, la estrategia que le funciona es

representar la información en una tabla para relacionar el número de la posición de la figura y el número de elementos que la componen; por ejemplo, para la

sucesión:

La tabla que construyó en su análisis de la sucesión es la siguiente:

Con sus propias palabras, formulen una regla que permita determinar el número

de cuadrados de cualquier figura de la sucesión.

Regla:

________________________________________________________

Intenciones didácticas: Que los alumnos formulen, en lenguaje común, la regla de la regularidad o del patrón de comportamiento de los elementos de una

sucesión con progresión geométrica.

Consigna. En equipo, completen las siguiente sucesiones y escriban con palabras una regla que defina la regularidad de cada una.

Regla: ____________________________________________ Regla: ________________________________________________

Número de la posición de la figura. 1 2 3 4 5 6

Número de cuadrados 5 9 13 17 21 25

Diferencia del número de cuadrados entre dos figuras consecutivas

4 4 4 4 4


Usa la siguiente lista de cotejo para realizar la autoevaluación. Selecciona un nivel según el enunciado.

CRITERIOS / NIVEL Muy bien

Bien Algo Me

falta

1. Comprendo que es una sucesión de números o figuras 2. Logro identificar como está construido una sucesión. 3. Puedo construir una regla general en una sucesión. 4. Entiendo la diferencia entre una sucesión aritmética y una geométrica. 5. Logro identificar fácilmente en figuras una sucesión.

Recursos de Apoyo

http://www.youtube.com/watch?v=zXPqxtbbd_M http://www.youtube.com/watch?v=Khbb3CSP0AU

Puedes ver este video para ver cómo se construyen sucesiones con una hoja electrónica: http://www.youtube.com/watch?v=q3dLVLa5zII

http://profe-alexz.blogspot.mx/2012/10/series-numericas-razonamiento.html

http://www.youtube.com/watch?v=zXPqxtbbd_M

http://www.youtube.com/watch?v=Khbb3CSP0AU

http://www.youtube.com/watch?v=q3dLVLa5zII

http://profe-alexz.blogspot.mx/2012/10/series-numericas-razonamiento.html

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Pensamiento

Matemático


y pensamiento

algebraico.

Patrones y

ecuaciones

Explicación del significado de fórmulas

geométricas, al considerar a las literales como

números generales con los que es posible operar.

5






Nota: Este AE, se encuentra en el bloque III.

Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de las formas: x + a = b; ax = b

y ax + b = c, donde a, b y c son números naturales y/o decimales.


Con el objeto de que los alumnos interpreten las literales que aparecen en las fórmulas como números generales y no como simples etiquetas que evocan las

dimensiones de las figuras, es necesario plantear preguntas que apunten hacia la generalización de procedimientos. Por ejemplo:

• Dada una figura que representa un marco cuadrado que mide 15 cm por lado, ¿cómo se puede saber el perímetro del marco? (nótese que no se trata de

calcular el perímetro sino de que el alumno explique con palabras el procedimiento para calcular el perímetro de cualquier cuadrado). Suponiendo que

el lado del marco midiera 28 cm, ¿cómo se determina el perímetro del marco? ¿Y si midiera 35 cm? En general, ¿cómo se determina el perímetro de

cualquier cuadrado?

La idea de que es posible operar con la literal que representa una medida cualquiera se subraya cuando se pide a los alumnos que, por ejemplo en el caso del

cuadrado, representen la fórmula del perímetro mediante una suma o un producto (l + l + l + l o bien 4l). De este modo se inicia también el trabajo con

expresiones algebraicas equivalentes.

Puede seguirse un proceso similar para otras fórmulas sencillas, como las del área del cuadrado y del rectángulo, y las del perímetro de otros polígonos en los

que dos o más lados sean del mismo tamaño (por ejemplo, polígonos regulares como el triángulo equilátero, los rombos, rectángulos y romboides).

Se recomienda proponer actividades para que los alumnos expliquen, con lenguaje natural, el significado de algunas fórmulas geométricas de perímetro;

expresen con una fórmula generalizada los perímetros de algunas figuras geométricas e interpreten el uso de la literal como número general.

Intenciones didácticas: Que los alumnos expliquen, con lenguaje natural, el significado de algunas fórmulas geométricas de perímetro; expresen con una

fórmula generalizada los perímetros de algunas figuras geométricas e interpreten el uso de la literal como número general.

Consigna: Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas:

1. Dado el siguiente marco cuadrado a) ¿Cómo se puede saber el perímetro del marco?_________________ b) ¿Y si el marco fuera de 20 cm de lado?________________________ c) ¿Y si fuera de 35 cm?______________________________________ d) Escribe con tus propias palabras, ¿cómo se determina el perímetro de cualquier cuadrado? ________________________________ e) Expresa en forma general, para cualquier medida del lado de un cuadrado: ___________________________________________ 2. Luisa quiere poner una tira bordada alrededor de un mantel rectangular que mide 2 m de largo y 1.60 m de ancho: a) ¿De qué forma calcularía Luisa, la medida de la tira bordada?_______________ b) ¿Y si el mantel midiera 80 por 60 cm?__________________________________ c) ¿Cómo obtendrías este dato (perímetro) para manteles de cualquier tamaño?

15 cm

15 cm

21

Expresa de forma general el perímetro de cualquier rectángulo______________

Intenciones didácticas: Que los alumnos expliquen con lenguaje natural el significado de algunas fórmulas geométricas de área, expresen con una fórmula

generalizada el área de algunas figuras geométricas e interpreten el uso de la literal como número general, aplicando diversos valores para el cálculo.

Consigna: Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas:

1. En la clase de agricultura los alumnos de primer grado deben sembrar rábanos. El terreno ofrecido por el Ayuntamiento es cuadrado, mide 300 m por lado.

a) ¿De qué manera calcularían el área?__________________________________ b) Si por gestiones de la directora se consigue un terreno más grande (500 m por lado), ¿cómo calcularían el

área?_____________________________________ c) Sin importar la medida de cada lado, ¿cómo expresarías, con tus propias palabras, el procedimiento para calcular el área de un

cuadrado?____________ d) ¿Y cuál sería la expresión general que la represente?_____________________

2. Anoten la información que hace falta en la siguiente tabla Figura Expresión verbal Fórmula

P = ________________

A =_________________

P = ________________

A = _______________

P = _______________

P = ________________

P = ________________

A = ________________

P = ________________

A = ________________

Observaciones: Si los alumnos no tienen claro a qué se refiere la columna “Expresión verbal”, se pondrá un ejemplo.


Usa la siguiente lista de cotejo para realizar la autoevaluación.

Rasgos Si No

Logro muy bien resolver problemas usando ecuaciones sencillas.

Conozco y utilizo muy bien las letras que aparecen en una formula y sé que se llaman literales.

Puedo explicar con palabras el procedimiento para calcular el perímetro de cualquier cuadrado.

Puedo expresar en forma verbal el procedimiento o fórmula en cuestión (perímetro, área) y luego algebraicamente

Puedo utilizar una hoja de cálculo y representar una fórmula de manera algebraica.

Realizo despejes sin problemas una ecuación.

Recursos de Apoyo

Interpretar formulas geométricas: http://www.youtube.com/watch?v=OF0wb96OeLg, Áreas: http://www.youtube.com/watch?v=iUZDIER6Hfs

http://www.youtube.com/watch?v=OF0wb96OeLg

http://www.youtube.com/watch?v=iUZDIER6Hfs

22


Pensamiento

Matemático

Matemáticas 1º I Forma, espacio y

medida

Figuras y cuerpos Trazo de triángulos y cuadriláteros

mediante el uso del juego de geometría.

6






Nota: este aprendizaje esperado se encuentra en el bloque II.

Resuelve problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de las

alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en triángulos y cuadriláteros.


Intenciones didácticas: Que los alumnos describan las características mínimas de cuadriláteros y triángulos para trazarlos con la misma forma y tamaño.

Consigna: Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema: Javier necesita encargarle, a un carpintero, por teléfono, la elaboración de varias piezas de madera para hacer un rompecabezas. Las formas y tamaños de las piezas son como se muestran a continuación. Anoten debajo de cada pieza la información que Javier tendría que darle (por teléfono) al carpintero, para que las haga iguales.

OBSERVACIONES: Al decidir sobre la información que requiere el carpintero pueden suceder tres casos: que falte información, que sobre información o que se dé justamente la información necesaria. Es importante analizar mensajes que sean representativos de los tres casos anteriores; pero, además, entre los mensajes que aportan la información necesaria, hay que ver si algunos son más breves o si hay mensajes que aun siendo diferentes aportan la información necesaria. Por ejemplo, en el caso del triángulo equilátero, un mensaje podría ser: “Un triángulo equilátero de 3.7 cm por lado”; o bien: “Un triángulo equilátero de 3.7 cm de base por 3.2 cm de altura”. La mejor manera de que los alumnos se den cuenta de si un mensaje aporta o no la información suficiente para construir una figura es que lo usen para construir la figura y vean si todos obtienen la misma. Se sugiere analizar la descripción de dos figuras, ya que en la sesión posterior se trabajarán las demás

Intenciones didácticas: Que los alumnos tracen diversos tipos de cuadriláteros y triángulos, utilizando los instrumentos del juego de geometría. Consigna: En la sesión anterior ustedes escribieron la información que debía dársele a un carpintero para que pudiera construir unas piezas de madera, hoy vamos a usar parte de esa información para ver si todos obtenemos las mismas figuras. Empezaremos con el siguiente mensaje: “Se trata de construir un triángulo isósceles cuyo lado desigual mide 3 cm y sus lados iguales miden 5 cm cada uno” Antes de hacer los trazos contesten: ¿Consideran que todos deberían obtener el mismo triángulo? __________________

Se sugiere poner atención especial al uso del compás, no es fácil

para los niños entender que un instrumento que sirve para trazar

circunferencias se pueda utilizar para trazar figuras con lados

rectos. Dadas las longitudes de los lados de un triángulo, es

suficiente regla y compás para trazarlo.

También se recomienda utilizar el software de Geogebra para la

realización de las actividades.

23

OBSERVACIONES: En esta sesión se pondrán a prueba diversos mensajes, elaborados por los propios alumnos o no, para que analicen con mayor profundidad la información que es pertinente para trazar una figura que sea congruente con otra. El término congruente se asigna a dos o más figuras que al superponerse coinciden en todos sus puntos. Es importante que al analizar los mensajes elaborados por los alumnos haya de todos tipos; es decir, unos que tengan información suficiente, y otros a los que

les falte o sobre información.

Hay que tomar en cuenta que en esta actividad hay dos clases de dificultad; una consiste en identificar la información suficiente para reproducir una figura y

otra es hacer los trazos. En esta última, después de los intentos que los propios alumnos hagan, es necesario que usted les muestre un camino.

Actividades complementarias que contribuyen a reafirmar el trazo de triángulos y cuadriláteros son las siguientes:

1. De manera individual, tracen en su cuaderno las siguientes figuras con las medidas que se indican. En aquellos casos donde falte información para obtener figuras congruentes, ustedes agréguenla.

2. Utilizando regla y compás, reproduzcan individualmente las siguientes figuras con las mismas medidas:


RASGO / NIVEL Si NO

Puedo saber cuándo un triángulo se puede construir conociendo los lados del triángulo.

Puedo trazar triángulos y cuadriláteros sin problemas usando regla y compas.

Con cierta información de un triángulo o cuadrilátero puedo trazarlos, por ejemplo, un cuadrado de 5 cm por lado

Uso sin problemas el compás para trazar figuras con lados rectos.

Puedo usar el programa cabri o geogebra para la construcción de triángulos y cuadriláteros.

Recursos de Apoyo

Curso Estatal “Forma, Espacio y Medida”

Construcción de triángulos: http://www.youtube.com/watch?v=H-V1FWzAwi4

Página donde muestra la construcción de triángulos: http://boj.pntic.mec.es/acorra7/treslados.htm

Construcción de un triángulo a partir de dos lados y el ángulo que forman: http://www.youtube.com/watch?v=RleoGeiFWJU

1 2

3

a) Cuadrado

Lado: 6.5 cm

b) Rectángulo

Largo: 7 cm

Ancho: 5 cm

c) Trapecio isósceles

Base mayor: 7.5 cm

Base menor: 5 cm

d) Triángulo equilátero

Lado: 6 cm

e) Triángulo escaleno

Lado a: 5 cm

Lado b: 6.5 cm

cm

Base menor: 5 cm

http://www.youtube.com/watch?v=H-V1FWzAwi4

http://boj.pntic.mec.es/acorra7/treslados.htm

http://www.youtube.com/watch?v=RleoGeiFWJU

24


Pensamiento

Matemático


y pensamiento

algebraico.

Figuras y cuerpos Trazo y análisis de propiedades de las

alturas, medianas, mediatrices y bisectrices

en un triangulo

7






Resuelve problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de las alturas,

medianas, mediatrices y bisectrices en triángulos y cuadriláteros


Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen y comparen las características y propiedades de las rectas notables del triángulo.

Consigna: Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema. Se comenzar presentando a los alumnos diferentes definiciones de las líneas del

triángulo y pedir que las analicen con el fin de establecer su

utilidad.

1. Analicen las líneas que aparecen en los triángulos y anoten

una en la tabla frente al triángulo cuando las características sí se cumplan y una X cuando no se cumplan.

Características Las líneas son perpendiculares a los

lados del triángulo o a la prolongación

de éstos

Las líneas pasan por

un vértice del

triángulo

Las líneas cortan los lados

del triángulo en los puntos

medios

Las líneas dividen a la

mitad los ángulos del

triángulo

Las líneas se

cortan en un

punto

Las líneas son

paralelas a los lados

del triángulo

Las líneas cortan los lados

del triángulo en una razón

de 2 a 1

Triángulo 1

(mediatrices)

Triángulo 2

(medianas)

Triángulo 3

(alturas)

Triángulo 4

(bisectrices)

Puesta en común: Realizar una confrontación. Para esto se sugiere tener dibujada la tabla en el pizarrón o en una hoja de rotafolio y hacer lo siguiente:

a) Ir preguntado a cada equipo y anotar en cada casillero de la tabla tantas palomitas y/o cruces como fueron anotadas por los equipos. b) Analizar los casilleros en los que haya diferencias, animar a los alumnos para que busquen argumentos que fundamenten su respuesta. c) Cuando todos estén de acuerdo en los resultados de la tabla, anotar por separado el nombre de cada tipo de rectas y las características que le

corresponden. Es probable que algunos alumnos no sepan a qué se refiere la última columna, en cuyo caso hay que aclarar que es como si el lado se dividiera en tres partes

iguales, de las cuales quedan dos a un lado de la recta y una al otro lado.

25

Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen los puntos notables en un triángulo con el fin de establecer su utilidad y propiedades. Hay que prever que

los alumnos tengan tijeras, hilo o cordón, aguja, cartulina y juego de geometría.

Consigna: Organizados en equipo, resuelvan el siguiente problema. Se les indicará a los alumnos que para saber si el punto encontrado es el punto de

equilibrio del triángulo, deberán recortar éste y hacer pasar la aguja con hilo por el punto obtenido, sosteniendo el hilo en forma vertical.

1. Analicen los puntos donde se cortan las medianas, mediatrices, bisectrices y alturas en un triángulo cualquiera y anoten una donde se cumplan las características señaladas y una X donde no se cumplan.

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen el concepto de mediatriz y bisectriz para resolver problemas.

Consigna: Organizados en equipo analicen y resuelvan los siguientes problemas.

1. En una ciudad pequeña se quiere construir un quiosco que quede a la misma distancia del Palacio Nacional, de la Secretaría de Educación y del Edificio del Congreso, ¿dónde deberán construirlo?

2. Se tiene un terreno de forma triangular y se va a construir en él una fuente circular de tal manera que toque los tres lados del terreno y la parte restante se cubrirá de pasto. Dibuja cómo quedaría la fuente en dicho terreno.

Actividad complementaria: “Bisectriz, altura, mediana y mediatriz de un triángulo cualquiera”, en Geometría dinámica. EMAT, México, SEP, 2000, pp. 82-83.


Se puede utilizar esta lista de cotejo para evaluar el trabajo en equipo.

Criterios Insuficiente Suficiente Satisfactorio Destacado

Identifican los puntos notables en un triángulo.

Reconocen, durante la construcción las propiedades de un triángulo.

Aplican sus conocimientos sobre las rectas y puntos notables del triángulo en la resolución de problemas.

Utilizan el concepto de mediatriz y bisectriz para resolver problemas

Recursos de Apoyo

Mediatriz, altura, mediana, y bisectriz de un triángulo: http://www.youtube.com/watch?v=ngdSM51pNp0

Trazo de altura con geogebra: http://www.youtube.com/watch?v=qttPpyB0X2E

http://www.youtube.com/watch?v=ngdSM51pNp0

http://www.youtube.com/watch?v=qttPpyB0X2E

26


Pensamiento

Matemático

Matemáticas 1º I Manejo de la

información

Proporcionalidad y

funciones

Resolución de problemas de reparto

proporcional.

8






Resuelve problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”, en los que la

razón interna o externa es un número fraccionario.


Es importante favorecer el uso de procedimientos informales y discutirlos, incluso si los alumnos tienen en cuenta otros criterios ajenos a la proporcionalidad,

tales como la amistad, la edad, etc. Un ejemplo típico de estos problemas es el siguiente:

• Tres amigos obtienen un premio de $1 000.00 en la lotería. ¿Cómo deben repartírselo según lo que gastó cada uno si uno de ellos puso $12.00, el otro $8.00

y el tercero $15.00?

Una variante del problema anterior, donde deben hacerse algunos cálculos para obtener la información necesaria, sería ésta:

• Supongan ahora que el premio es de $1 500.00; si uno de ellos aportó una séptima parte del costo del billete y los otros dos amigos, el resto en partes

iguales, ¿qué cantidad le corresponde a cada uno, si reparten el premio proporcionalmente?

Se sugiere buscar ejemplos que consideren diversos contextos culturales.

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen procedimientos personales para resolver problemas de reparto proporcional.

Consigna: En equipos, resolver el siguiente problema: Tres amigos obtienen un premio de $1000.00 en la lotería, ¿cómo deben repartirlo si uno de ellos aportó

$12.00, el otro $8.00 y el tercero $15.00?

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen procedimientos expertos para resolver problemas de reparto proporcional.

Consigna: En equipos, resolver el siguiente problema: Cuatro amigos ganaron un premio de $15000.00 en un sorteo y se lo repartieron proporcionalmente a

lo que cada uno aportó para la compra del boleto que costó $100.00. Al primero le tocó $2100.00, al segundo $5700.00, al tercero $3300.00 y al cuarto el resto

de los $15000.00 ¿Cuánto aportó cada amigo para la compra del boleto?


Se recomienda revisar el cuaderno del alumno para ver los procesos de solución de los problemas planteados en este bloque, así como el desempeño del alumno.

Para más información revisar: “Las estrategias y los instrumentos de evaluación desde el enfoque formativo”, Cuadernillo 4, Página. 43 Recursos de Apoyo

Capitulo IV, Pág. 23, El hombre que calculaba. Libros del rincón. 1Más sobre reparto proporcional: http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/telesecundaria/tsa01g01v01/u01t08s02.html

Reparto proporcional: https://www.youtube.com/watch?v=XmOG6oIOQE8 http://www.youtube.com/watch?v=JtIdG-0fUGw

http://www.youtube.com/watch?v=wUFsnO5G4Rc Reparto proporcional directo simple: https://www.youtube.com/watch?v=IlYTaaf2-F4

http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/telesecundaria/tsa01g01v01/u01t08s02.html

https://www.youtube.com/watch?v=XmOG6oIOQE8

http://www.youtube.com/watch?v=JtIdG-0fUGw

http://www.youtube.com/watch?v=wUFsnO5G4Rc

https://www.youtube.com/watch?v=IlYTaaf2-F4

27


Pensamiento

Matemático


información

Nociones de

probabilidad

Identificación y práctica de juegos de azar sencillos

y registro de resultados. Elección de estrategias en

función del análisis de resultados posibles.

8






Nota: es te aprendizaje está en el bloque I, de segundo grado.

Compara cualitativamente la probabilidad de eventos simples.


En este primer contacto con el estudio de la probabilidad se sugiere que los alumnos practiquen diferentes juegos (de azar o no) y que identifiquen a los

primeros, en los que las posibilidades de ganar o perder no dependen de la habilidad del jugador sino exclusivamente del azar. Algunos ejemplos son los volados,

los juegos con dados, la lotería, las quinielas, etcétera. Ejemplos de juegos en los que ganar o perder dependen de los conocimientos o de la habilidad del

jugador son el dominó, el ajedrez, el gato, carrera 20, etcétera, aunque en ciertas etapas del juego intervenga el azar, por ejemplo, en el caso del dominó, la

repartición de fichas es al azar.

El registro de los resultados, además de ser importante en sí mismo, por la habilidad para manejar la información, puede servir como un insumo para modificar

la estrategia de juego en una próxima participación, por ejemplo, si se trata de adivinar la suma de puntos cuando se lanzan dos dados, al registrar los resultados

de 20 lanzamientos se tendría algo similar a lo siguiente:

Lanzamiento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Suma obtenida 6 10 8 3 7 4 7 9 12 8 8 6 7 2 7 4 8 5 9 6

Los participantes pueden analizar la información registrada y con base en ella decidir si continúan jugando con el mismo número o lo

cambian por otro. En este momento no se trata de analizar el espacio muestral de los juegos de azar que se realicen, simplemente se

trata de que los alumnos noten diferencias en las decisiones que se toman cuando se juega y algunas convienen más que otras.

Con la finalidad de contrastar diferentes tipos de juegos, es necesario dedicar tiempo para discutir las estrategias que los alumnos

siguen para tratar de ganar en juegos que no dependen exclusivamente del azar, como por ejemplo en carrera 20 o el gato.

Una recomendación amplia es la utilización de una hoja de cálculo para realizar estos ejercicios.

Intenciones didácticas: Que los alumnos a través de la práctica de diversos juegos, identifiquen los que son de azar.

Es importante prever que todas las parejas tengan una moneda y que cada participante tenga lápiz y papel. Si algunos alumnos tengan duda respecto a cómo

se juega el “gato”, el profesor o algún alumno que conozca este juego, puede comentar en qué consiste.

Consigna: Organizados en parejas practiquen los siguientes juegos.

28

1. Cada uno lance una moneda 10 veces y su compañero trate de adivinar uno a uno los resultados. Ganará quién acierte más veces. Posteriormente, escriban una estrategia para ganar una siguiente partida.

Cada pareja y cada participante tendrá libertad de escribir lo que considere importante, de tal manera que al final sepan quién ganó y que puedan

escribir sus estrategias. Por ejemplo, en el caso de los volados probablemente hagan una tabla para registrar los aciertos o desaciertos de los volados

y así saber quién ganó. Se darán cuenta de que no hay una estrategia posible para ganar, el resultado depende exclusivamente del azar.

2. Jueguen “gato” 5 veces. El ganador final será quién venza a su compañero más veces. Posteriormente, escriban una estrategia para ganar un siguiente juego.

Es probable que hagan una tabla para registrar quién gana en cada uno de los cinco juegos. Se sugiere preguntar si en algún equipo alguien ganó los

cinco juegos y pedirle que explique su estrategia. Después, conviene que todas las parejas pongan a prueba la estrategia y confirmen si funciona. Esto

mismo se puede hacer con otras estrategias que hayan surgido.

Es importante que cada pareja cuente con el tiempo suficiente para realizar ambos juegos y obtener alguna conclusión. Conviene saber que en el

juego del “gato” la posibilidad de ganar NO depende exclusivamente del azar, se puede preguntar si el hecho de empezar el juego es determinante

para ganar o no y si lo es, qué circunstancias se deben cumplir para ganar.

Intenciones didácticas: Que los alumnos practiquen juegos de azar y que adviertan si hay resultados que aparecen con más frecuencia, con la finalidad de

tomar mejores decisiones en próximas participaciones.

Consigna: Organizados en equipos realicen el siguiente juego. Es necesario prever que cada equipo cuente con dos dados, lápiz y papel.

Se trata de lanzar dos dados y sumar los puntos de ambos. Antes del primer lanzamiento cada jugador elige un número al que “le apuesta”, después, por turnos,

lanzan los dados al menos 30 veces. Cada vez que sale “su número”, el jugador se anota un punto. Gana el jugador que acumula más puntos.

Después de una primera serie de al menos 30 lanzamientos, los jugadores pueden cambiar de número e inician una nueva serie.


Lista de cotejo para realizar la evaluación.

Rasgos a evaluar Si No

Identifica cuando un juego es de azar.

Sabe cómo registrar los resultados porque usa formatos.

Ha descubierto que hay una estrategia para ganar al gato.

Trata de usar o buscar una estrategia para ganar.

Comunica sin problemas la estrategia utilizada.

Aprendió que en los volados, ganar o perder, no depende de los conocimientos y habilidades del jugador

Recursos de Apoyo

Fichero de actividades, Matemáticas. SEP, Página 36.

Estadística y probabilidad: http://www.youtube.com/watch?v=4AnRMRFsk3g

http://www.youtube.com/watch?v=4AnRMRFsk3g

29

SEGUNDO GRADO

30


Pensamiento

Matemático


pensamiento

algebraico.

Problemas

multiplicativos

Resolución de multiplicaciones y divisiones

con números enteros.

1






Nota: Este aprendizaje esperado está en el bloque III.

Resuelve problemas que implican efectuar multiplicaciones o divisiones con

expresiones algebraicas


En el curso anterior se dio sentido a los números enteros, fraccionarios y decimales, positivos y negativos, a través de la representación

en la recta numérica de diversas situaciones de comparación, adición y sustracción. Ahora se incorpora la multiplicación y división.

Aunque no existe un modelo que permita justificar la regla de los signos de la multiplicación, hay algunos que ayudan a darle sentido a

dicha regla. Uno de ellos consiste en presentar series de multiplicaciones como la siguiente, en la que el producto disminuye en 5 cada

vez, para llegar a productos de enteros positivos por negativos.

Al cambiar el orden de los factores de la última multiplicación, puede generarse una serie más en la que el producto aumenta en 3 cada

vez, para llegar al producto de dos enteros negativos.

Intenciones didácticas: Que los alumnos descubran cómo es el resultado cuando se multiplican o dividen números con signo apoyándose en la calculadora,

para que construyan las leyes de los signos de esas operaciones.

Consigna: Integrados en equipos, realicen la siguiente actividad.

1. Completen las siguientes tablas utilizando la tecla (+/-) de la calculadora. En la tabla de la división, los números de la columna vertical corresponden al dividendo.

2. Con base en las operaciones que han realizado completen los siguientes enunciados. a) Siempre que se multiplican o dividen dos números del mismo signo el

resultado tiene signo:___________________________________________________________

(X) +1 -3 +4 -2.3 -3/4

+2

0

-1 -4

-3

-1/2 +3/8

() +1 -4 +3 -1.2 -3/5

+2

0

-4.1

-9 +9/4

+1/2 -5/6

(+5) x (+3) = (+15)

(+5) x (+2) = (+10)

(+5) x (+1) = (+5)

(+5) x (0) = 0

(+5) x (–1) = (–5)

(+5) x (–2) = (–10)

(+5) x (–3) = (–15)

Puesto que no abundan los problemas reales que impliquen la multiplicación y

división de números con signo (multiplicar o dividir temperaturas, elevaciones y

depresiones no tiene sentido), se pueden plantear problemas numéricos que

seguramente serán retos interesantes. Por ejemplo:

Pensé un número. Al multiplicarlo por –7 y enseguida restar 49 obtengo cero. ¿De

qué número se trata?

3) x (+5) = (–15)

(–3) x (+4) = (–12)

(–3) x (+3) = (–9)

(–3) x (+2) = (–6)

(–3) x (+1) = (–3)

(–3) x (0) = 0

(–3) x (–1) = (+3)

31

b) Siempre que se multiplican o dividen dos números de distinto signo el resultado tiene signo: _________________________________________________________________________

c) Siempre que se multiplica o divide un número por menos uno el resultado es: _______________________________________________.

Observación: Probablemente algunos alumnos tendrán dificultad en el manejo de la calculadora, en cuyo caso el maestro indicará que para escribir números

negativos primero debe teclear el número y después la tecla (+/-). Si en la puesta en común los resultados obtenidos por algunos alumnos fueron diferentes,

ellos validarán el procedimiento adecuado. Es importante analizar detenidamente cada enunciado hasta que todos los alumnos estén de acuerdo.

Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan multiplicaciones de números con signo con base en las reglas de los signos construidas en la sesión anterior.

Consigna: Integrados en equipos, resuelvan las siguientes multiplicaciones aplicando las reglas de los signos obtenidas en la sesión anterior.

011 83

)6)(5( )2)(1(

)1)(7( )6)(6(

)5)(5.8( )4

3(*)

5

2( =

)8)(4)(5( )3)(6

7)(

3

1(

)3)(1)(5)(2( )1)(2.0)(4

3)(3)(6(

Actividad complementaria: “Programación de una expresión I”, en Álgebra mediante el uso de la calculadora, México, EMAT, SEP, 2002, p.67.


Ejemplo de rúbrica para la evaluación. Se recomienda agregar otros rasgos.

Rasgos Excelente Satisfactorio En proceso Necesita apoyo

Resolución de los problemas y ejercicios.

Realiza una muy buena ejecución de los ejercicios presentados, los resuelve sin dificultad y de manera rápida.

Ejecuta bien los ejercicios pero con un grado mínimo de problemas en su resolución.

Realiza los problemas con ayuda de la profesora o compañeros, pero logra resolverlos.

Resuelve problemas de forma muy lenta y solicita ayuda.

Recursos de Apoyo

Multiplicación y división con números enteros: http://www.youtube.com/watch?v=OwnWuDUEfIA

Es necesario informar a los alumnos que hay varias formas de

representar la multiplicación, además de la que ellos conocen.

Una vez que hayan resuelto las operaciones, se les plantean las

siguientes preguntas.

¿Qué sucede con el signo del producto cuando la multiplicación

tiene más de dos factores? ¿Se puede formular una regla?

¿Cuál?

http://www.youtube.com/watch?v=OwnWuDUEfIA

32


Pensamiento

Matemático

Matemáticas 2º I Sentido

numérico y

pensamiento

algebraico.

Problemas

multiplicativos

Cálculo de productos y cocientes de potencias

enteras positivas de la misma base y potencias de

una potencia. Significado de elevar un número

natural a una potencia de exponente negativo.

2







Resuelve problemas que implican efectuar multiplicaciones o divisiones con expresiones

algebraicas


La comprensión del significado de estas operaciones y la habilidad para realizar cálculos con ellas es importante por los vínculos que se pueden establecer con

otros temas, como la multiplicación, el teorema de Pitágoras o las ecuaciones de segundo grado. Tanto para el estudio de potencias de una misma base, como

para la potencia de una potencia, pueden plantearse cálculos con números pequeños que los alumnos puedan

resolver mentalmente y en los cuales puedan observar regularidades. Por ejemplo:

De este modo se podría hacer la siguiente generalización 2𝑚𝑥 2𝑛 = 2𝑚+𝑛 para llegar a establecer que: 𝑎𝑚 × 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛

De manera similar se puede abordar el cociente de potencias de la misma base y llegar al exponente negativo. Una forma de hacerlos es la siguiente: Generalizar

la regla para simplificar expresiones de la forma 𝑎𝑚

𝑎𝑛 , a partir de casos particulares:

45

42=

4 × 4 × 4 × 4 × 4

4 × 4= 4 × 4 × 4 = 45−2 = 43

Luego, utilizar el significado de los exponentes para simplificar 73

75 ÷73

75 =7×7×7

7×7×7×7×7=

1

72

Finalmente, utilizar la regla anterior para simplificarlo 73

75 ÷73

75 = 73−5 = 7−2 e interpretar el significado de elevar un número a una potencia de exponente

negativo.

En este caso 7−2 =1

72 y en general, 𝑎−𝑚 =1

𝑎𝑚

Con frecuencia, la cancelación de factores en expresiones fraccionarios da lugar a que los alumnos comentan errores como el

siguiente:

Probablemente este error tenga su origen en un uso indebido del lenguaje. Usar expresiones como “este factor se va con este” puede inducir a que los alumnos

piensen que todos los factores del numerador se anulan, por lo que queda 0.

En cambio, generalmente no tienen dificultades cuando se utiliza otro procedimiento para simplificar la misma expresión. Por ejemplo: 23

25 =2×2×2

2×2×2×2×2=

8

32=

1

4 O bien

23

25 =23÷23

25÷23 =20

22 =1

22 =1

4

21 x 25 = 2 x 32 = 64 = 26

22 x 23 = 4 x 8 = 32 =25

24 x 25 = 16 x 32 = 515 =29

33

Las razones por las que se comenten errores son complejas. Solamente la participación de los estudiantes en el análisis del error les permitirá comprender por

qué no suceden las cosas como ellos piensan.


Que los alumnos a partir de casos particulares, se apropien de la ley de los exponentes para simplificar el producto de potencias de la misma base.

Consigna: Integrados en equipos resuelvan lo siguiente:

4. De acuerdo con lo anterior, elaboren una regla general para simplificar una multiplicación de potencias de la misma base.

El punto medular de este plan de clase es la resolución de la tabla, a partir de la cual se espera que los alumnos descubran la siguiente regularidad: un producto

de dos potencias de la misma base es igual a la base elevada a la suma de los exponentes. Si lo logran, podrán llenar la última columna y el último renglón de

la tabla, en caso contrario habrá que ayudarlos.


Ejemplo de una lista de cotejo para la autoevaluación

Criterios Si No

Entiendo el significado de un exponente.

Simplificó el producto usando potencias de la misma base.

Logro identificar la diferencia entre 3 + 3 + 3 + 3 = con 3 x 3 x 3 x 3 =

Entiendo el concepto "un producto de dos potencias de la misma base es igual a la base elevada a la suma de los exponentes"

Recursos de Apoyo

Una ventana al infinito, Libros del rincón. Página. 18 y 19.

Villagrá, Ma. del Rosario; Villagrá Ana, Atlas básico de matemáticas, Pág., 19.

Después de dar tiempo suficiente para que los equipos realicen las actividades, algunos alumnos pasarán al

pizarrón a escribir sus respuestas, mismas que serán analizadas por todo el grupo.

1. Expresen las siguientes cantidades como productos de

factores iguales, como se muestra en el ejemplo.

8 = (2) (2) (2) 243 =

32 = 625 =

64 = 343 =

128 = 27 =

2. Expresen en forma de potencias los siguientes

productos de factores iguales:

(2)(2)( 2) =

(10)(10)(10)(10) =

(4 x 4 x 4) + (5 x 5 x 5)=

(3 x 3 x 3) (3 x 3 x 3 x 3) =

(7 x 7 x 7) ( 7 x 7) =

3. Completen la siguiente tabla:

x 21 22 23 24 25 2m

21 26

22 23

23 26

24

25

2n

34


Pensamiento

Matemático

Matemáticas 2º I Forma,

espacio y

medida

Figuras y cuerpos Identificación de relaciones entre los ángulos

que se forman entre dos rectas paralelas

cortadas por una transversal. Justificación de

las relaciones entre las medidas de los ángulos

interiores de los triángulos y paralelogramos

3







Justifica la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o polígono y utiliza

esta propiedad en la resolución de problemas.


Respecto a los ángulos que se forman entre dos paralelas cortadas por una secante, no sólo se trata de que los alumnos memoricen los nombres, sino también

de que establezcan relaciones de igualdad entre ellos y que busquen argumentos para justificarlas, sin recurrir a la medición. Con la finalidad de mostrar que

la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°, los alumnos pueden partir de un triángulo particular hecho en papel, recortar dos de las puntas del

triángulo y colocarlas junto al ángulo que no se cortó. De esta manera podrán argumentar que los tres ángulos, al formar un ángulo de media vuelta suman

180°. Estas conclusiones, si bien se basan en un caso particular y provienen de una prueba física, sirven como apoyo al establecer relaciones más formales;

aunque no se planteen como una meta de la enseñanza en secundaria, tampoco se trata de limitar las posibilidades de los alumnos en la búsqueda de

argumentos.

Con base en la suma de los ángulos interiores de un triángulo, los alumnos pueden avanzar hacia la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero, dividiendo

éste en dos triángulos.

A partir de las relaciones de igualdad de ángulos encontrados, los alumnos argumentarán el porqué de la igualdad de los ángulos en triángulos y

paralelogramos.

Intenciones didácticas: Que los alumnos establezcan las relaciones de igualdad de ángulos que se forman al cortar dos paralelas por una transversal y que

nombren los ángulos, busquen argumentos para justificar dichas relaciones.

Consigna: En equipo, resuelvan el siguiente problema.

Un carpintero hizo una puerta de 1.8 metros de alto, por

1 metro de ancho. En la parte media colocó un vitral

transversal; el diseño es el siguiente:

1. Identifiquen todos los ángulos que se forman con las paralelas del vitral y la línea transversal. Encuentren las medidas.

2. Encuentren la relación entre los ángulos.

Los alumnos tendrán que encontrar todos los ángulos y las

medidas. En plenaria revisarán si falta alguno. No olvidar que el

alumno tiene que encontrar todos.

El docente podrá dar los nombres de los ángulos, conforme vayan

encontrando la relación. Los alumnos tendrán que encontrar los

ángulos opuestos por el vértice, los internos, los externos, los

colaterales (internos y externos), los alternos (internos y externos)

y los correspondientes.

35

Intenciones didácticas: Que los alumnos concluyan que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180° y utilicen esta propiedad al

resolver problemas.

Consigna 1: En binas, desarrollen la siguiente actividad:

Recorten un triángulo en una hoja de papel y realicen los cortes de dos ángulos, después colóquenlos consecutivamente junto al ángulo que no se cortó.

a) ¿Qué observan?____________________________________________________ b) ¿Qué tipo de ángulo forman?________________________________________ c) ¿Siempre sucederá lo mismo?________________________________________

d) Enuncien con palabras la propiedad anterior_______________________________

Consigna 2: En equipo, resuelvan los siguientes problemas.

1. En el ∆ABC el <A = 60°, <B = 45°, ¿Cuál es el valor del <C? 2. En el ∆PQR, <P = x, <Q = 2x, <R = 3x, ¿Cuál es el valor de x, del <P, <Q, <R? 3. En el ∆DEF, <D = 2x+10°, <E = 2x - 50°, <F = x + 40°, calcular los valores de los ángulos D, E y F.

4. De la siguiente figura, si L M, encuentra la medida del ángulo marcado con x.

Se sugiere aplicar y comprobar esta propiedad, el profesor les plantee a los alumnos preguntas como las siguientes: ¿Cuánto miden cada uno de los ángulos

interiores de un triángulo equilátero? En un triángulo rectángulo un ángulo mide 30°, ¿Cuál es el valor del otro ángulo agudo? En un triángulo isósceles el

ángulo desigual mide 40° ¿Cuál es el valor de los ángulos iguales?

Intenciones didácticas: Que los alumnos deduzcan que la suma de los ángulos interiores de un paralelogramo es equivalente a la suma de los ángulos

interiores de dos triángulos.

Consigna: En equipos, realicen las siguientes actividades.

1. Observen un paralelogramo y respondan: ¿Cuál será la suma de los ángulos interiores de un paralelogramo? Argumenten su respuesta. Por cierto, ¿qué paralelogramos conocen? ¿La suma de sus ángulos interiores es la misma para todos?

2. Observen los siguientes paralelogramos y contesten:

Actividad complementaria: “Relaciones de los ángulos entre paralelas”, en Geometría dinámica.

EMAT, México, SEP, 2000, pp. 104-105.


Aspectos a evaluar / Nivel DESTACADO SATISFACTORIO SUFICIENTE INSUFICIENTE

Resolución de problemas

Resuelve de manera correcta el problemas e identifica todas sus partes

Resuelve de manera correcta el problema e identifica casi todas sus partes

Resuelve problemas e identifica algunas de sus partes

No interpreta los problemas, se le dificulta y no identifica sus partes.

Recursos de Apoyo

Ejercicios de ángulos en líneas paralelas y un triángulo: https://www.youtube.com/watch?v=mkjaOvBkTAc

Ángulos determinados por rectas paralelas…: https://www.youtube.com/watch?v=ow2Fs2vitQs

100°

40°

x

M

L

¿Cuál es la suma de los ángulos 1 al 6 en este paralelogramo?

¿Cuál es la suma de los ángulos interiores del paralelogramo?

Dado el valor de uno de los ángulos del paralelogramo, calculen el valor de los tres restantes.

https://www.youtube.com/watch?v=mkjaOvBkTAc

https://www.youtube.com/watch?v=ow2Fs2vitQs

36


Pensamiento

Matemático


medida

Figuras y cuerpos Construcción de triángulos dados ciertos

datos. Análisis de las condiciones de

posibilidad y unicidad en las construcciones

4






Resuelve problemas que impliquen calcular el área y el perímetro del círculo.


A diferencia de las construcciones geométricas que se realizaron en el curso anterior, con base en procedimientos específicos, ahora se trata de anticipar,

probar y justificar los datos que son necesarios y suficientes para construir un triángulo. Por ejemplo:

• Dados dos segmentos que deben ser iguales a dos lados de un triángulo, ¿se pueden dibujar dos triángulos distintos? ¿Cuántos triángulos

distintos se pueden dibujar con base en esta información?

• Si en un grupo de 40 alumnos cada uno define tres segmentos para construir un triángulo, ¿cuántos triángulos distintos podrían construirse

en el grupo?

• Dados tres segmentos tales que la suma de las longitudes de dos de ellos es igual a la longitud del tercer segmento, ¿es posible construir un

triángulo?

Si se cuenta con aula EMAT, hacer uso del programa de geometría dinámica para su construcción.


Concluyan que dados solamente dos segmentos no es posible obtener un único triángulo.

Consigna 1. En equipo, resuelvan el siguiente problema.

Dadas las siguientes medidas: 5 cm, 6 cm y 7 cm, que corresponden a los lados de un triángulo, construyan todos los triángulos diferentes que sea posible y

escriban por qué son diferentes los triángulos dibujados.

Observaciones: Es probable que los alumnos consideren que dos o más triángulos son diferentes porque tienen distinta posición. Aquí el maestro puede sugerir

que recorten los triángulos y los sobrepongan para que observen que se trata de triángulos iguales y que no importa la posición.

Consigna 2. Organizados en los mismos equipos, pero en forma individual, resuelvan el siguiente ejercicio.

Con la medida de los segmentos AB = 6 cm y BC = 9 cm, tracen un triángulo y digan cuál es la medida del tercer lado. Al finalizar el trazo comparen el

triángulo con el de sus compañeros de equipo y digan si todos los triángulos trazados son iguales y por qué.

37

Aquí es importante que los alumnos observen que con sólo esos datos no se puede obtener un triángulo único, puesto que la medida del tercer lado

dependerá del ángulo que formen los dos segmentos dados.

Intenciones didácticas: Conozcan los requisitos indispensables que deben poseer tres segmentos cualesquiera para formar un triángulo.

Consigna 1. En equipo, resuelvan el siguiente problema. Dados los siguientes segmentos, ¿cuántos triángulos diferentes se pueden construir en cada caso?

Escriban sus conclusiones.

a)

Consigna 2. Con su mismo equipo, construyan un triángulo cuyo perímetro sea de 11 cm y las medidas de cada uno de sus lados sean números enteros.

a) ¿Cuántos triángulos diferentes se pueden construir que cumplan con la condición anterior? b) ¿Podrá tener un triángulo un perímetro de 4 cm y que la medida de sus lados sea un número entero? ¿Por qué?

Observaciones: Es probable que después de construir los dos primeros triángulos, al ver que uno es equilátero y el otro es isósceles, digan –sin realizar el trazo–

que el tercero también se puede construir y que es escaleno. Será importante insistirles en que deben construirlo y con base en ello responder. Además, si no

llegan a la conclusión de comparar las medidas de los lados el maestro puede sugerirlo, a fin de que concluyan que la suma de dos lados debe ser mayor que

el tercero para que se forme el triángulo.

Con relación a la segunda consigna, hay que animar a los alumnos para que prueben y por un lado encuentren todos los triángulos que se pueden construir,

pero también vean que no siempre es posible construir un triángulo con cualesquiera tres medidas. Un buen apoyo para resolver este problema consiste en

utilizar palillos, en este caso 11, para tratar de distribuirlos entre los lados del triángulo.


Ejemplo de una lista de cotejo

Rasgos para autoevaluarse Si No

Puedo saber cuándo un triángulo se puede construir conociendo los lados del triángulo.

Puedo trazar un triángulo sin problemas usando regla y compas.

Conozco las propiedades que tienen un triángulo y la aplicación de estas en la construcción de estructuras.

Se cuáles son las condiciones necesarias para la construcción de cuadriláteros irregulares.

Puedo usar el programa cabri o geogebra para la construcción de triángulos y cuadriláteros.

Recursos de Apoyo

Fichero de actividades didácticas, Pág. 94, Triángulos con palillos.

b) c)

38


Pensamiento

Matemático

Matemáticas 2º I Forma espacio y

medida

Medida Resolución de problemas que impliquen el

cálculo de áreas de figuras compuestas, incluyendo

áreas laterales y totales de prismas y pirámides.

5






Resuelve problemas que impliquen calcular el área y el perímetro del círculo.


De manera independiente se han calculado áreas de diversas figuras como triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares y círculos; ahora se trata de presentar

figuras compuestas por algunas de ellas y calcular el área de las partes solicitadas, para lograrlo es necesario usar diversos conceptos geométricos y de medida.

Para ello se pueden presentar problemas de cálculo del área en situaciones cotidianas, así como calcular el área sombreada de las siguientes figuras.

En relación con las áreas laterales y totales de prismas y pirámides se sugiere utilizar cuerpos disponibles como envases y a partir de ellos, primero construir

los desarrollos planos para calcular el área lateral o total del cuerpo, luego realizar los cálculos sin construir los desarrollos y finalmente plantear problemas

del tipo: «¿Cuánto cartón será necesario para hacer una caja cúbica de 25 cm de arista?»


Que los alumnos utilicen las fórmulas para calcular el área del cuadrado y del círculo, al resolver problemas.

Consigna. En equipos de tres integrantes, resuelvan los siguientes problemas:

1. Se dispone de una tabla de madera de forma cuadrada, como se muestra en la figura, a la cual se le pretende dar una forma

circular para que sirva de tapa de un recipiente que tiene forma cilíndrica.

a) ¿Qué área de la madera se va a usar? b) ¿Cuál es el área de la madera que no se va a utilizar?

3.5 cm

¿Cuál es el área de la parte sombreada de la siguiente

figura, si el punto M es el punto medio del lado del

cuadrado?

39

2. ¿Cuál es el área de la parte sombreada de la siguiente figura, si el radio del círculo mide un metro? Justifiquen su respuesta.

Observaciones: Probablemente la mayoría de los alumnos no recuerden la fórmula del área del círculo, el maestro podrá solicitar

si alguien del grupo la recuerda, si es así, que la dé a conocer. Por otra parte se permitirá el uso de la calculadora, usando valor de

pi con dos cifras decimales (3.14).

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen las fórmulas para calcular el área del triángulo y del cuadrado, al resolver problemas.

Se espera que los equipos encuentren al menos una de las formas posibles para encontrar el área solicitada (cálculo directo del área del triángulo sombreado,

deducción que es la cuarta parte y diferencia de áreas).

Consigna. En equipos de tres integrantes, resuelvan el siguiente problema:

La siguiente figura representa el vitral de una ventana cuadrada que está formada por varios cuadrados más pequeños. La

parte del vitral que tiene forma triangular es de color rojo y se quebró el vidrio de la parte sombreada.

Al tratar de reparar el vitral:

1. ¿Cuántos cm2 de vidrio rojo deberá utilizar quien la repare? 2. ¿Cuántos cm2 de vidrio rojo usa este vitral? 3. ¿Qué fracción del área total representa el triángulo rojo?

Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen cuáles son las medidas pertinentes para calcular el área total de un prisma o una pirámide a partir de su

desarrollo plano.

Consigna: Se sugiere organizar al grupo en equipos. El maestro armará o conseguirá cajas en forma de prismas y pirámides iguales (cuyas bases sean cuadrados,

rectángulos o triángulos) en cantidad suficiente para entregar una a cada equipo.

En esta actividad el maestro les entregará un cuerpo geométrico. Organicen equipos y tracen en cartulina el desarrollo plano del cuerpo que les toque. Después,

calculen la cantidad de cartulina que ocupa dicho desarrollo. Conviene incluir un cubo.

Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen cuáles son las medidas pertinentes para calcular el área total de un prisma o una pirámide, sin trazar su

desarrollo plano.

Consigna: En esta actividad el maestro les entregará un cuerpo geométrico. Organicen equipos y tomen las medidas que necesiten para calcular su área total.

No se vale desarmar el cuerpo.

La sugerencia de que todos los equipos trabajen con el mismo cuerpo geométrico facilita la comparación de resultados para descubrir errores. Es importante

tener presente que los resultados no necesariamente serán iguales, pero el tamaño de las diferencias puede indicar posibles errores.

Actividad complementaria: “Resolución de problemas de áreas de figuras conocidas”, en Geometría dinámica. EMAT, México, SEP, 2000, pp. 100-101.


Elabore una rúbrica como el ejemplo del cuadernillo 4, Las estrategias y los instrumentos desde el enfoque de la evaluación Formativa. Pág. 57.

Recursos de Apoyo

Áreas compuestas: http://quiz.uprm.edu/cgi-bin/Quiz/oneques.cgi?database=REVIEW/Geometry/tut5_area_comb_sp.db&no_ques=6

http://quiz.uprm.edu/tutorial_es/geometria_part5/geometria_part5_right.xhtml

http://quiz.uprm.edu/cgi-bin/Quiz/oneques.cgi?database=REVIEW/Geometry/tut5_area_comb_sp.db&no_ques=6

http://quiz.uprm.edu/tutorial_es/geometria_part5/geometria_part5_right.xhtml

40


Pensamiento

Matemático


información

Proporcionalidad

y funciones

Resolución de problemas diversos relacionados

con el porcentaje, tales como aplicar un porcentaje

a una cantidad, determinar qué porcentaje

representa una cantidad respecto a otra y obtener

una cantidad conociendo una parte de ella y el

porcentaje que representa.

6






Resuelve problemas que implican el cálculo de porcentajes o de cualquier término de

la relación: Porcentaje = cantidad base × tasa. Inclusive problemas que requieren de

procedimientos recursivos.


El desarrollo de esta habilidad tiene un antecedente muy importante en la primaria y un campo de trabajo privilegiado por su amplio uso social. De manera

que vale la pena utilizar situaciones de la vida real, tales como el cálculo del IVA, el aumento de precios y salarios, las operaciones bancarias, etc., para

profundizar en este tema. Inicie la clase planteando los siguiente problemas:

Aplicar el porcentaje a una cantidad: ¿Cuánto es el 12% (12/100) de 25?

Determinar qué porcentaje representa una cantidad respecto a otra: ¿Qué porcentaje es 12 de 25?

Determinar la base de un porcentaje (desglosar el IVA): Si 575 es el total a pagar, incluido el 15% de IVA, ¿cuál es la cantidad sin IVA?

Es conveniente plantear problemas en los que el porcentaje es mayor que 100, como el siguiente:

• Un productor de piña vende su cosecha al distribuidor en $0.75 el kilogramo. En el supermercado se vende a $4.50 el kilogramo. ¿En qué

porcentaje se incrementa el precio?

Se sugiere vincular el desarrollo de esta habilidad con el estudio de las ecuaciones de primer grado que se plantea en el contenido 7.3.3 y con el contenido

7.3.8 del tema Análisis y representación de datos.


Que los alumnos utilicen diversos procedimientos para aplicar el

porcentaje a una cantidad.

Consigna: Reunidos en equipos, completen las tablas siguientes:


Que los alumnos utilicen diversos procedimientos para

determinar qué porcentaje representa una cantidad respecto a otra.

Consigna: Reunidos en equipos resuelvan el siguiente problema: En un grupo hay 25 alumnos. Si un día asistieron únicamente 17, ¿qué porcentaje faltó a

clase ese día?

41

En el análisis del problema debe quedar claro que lo que se busca es qué porcentaje representa 8 respecto a 25 y no qué porcentaje representa 17 respecto

a 25, error muy común en los estudiantes.

Si los alumnos tienen dificultades para abordar el problema, una sugerencia podría ser el establecimiento de una relación de proporcionalidad: 25 es a 100

como 8 es a x; contenido trabajado con anterioridad. Una vez que los alumnos se familiarizan con un procedimiento conviene que prueben su funcionalidad

con otros problemas similares.

Un ejercicio complementario para trabajar este contenido podría ser el llenado de las siguientes tablas:

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen diversos procedimientos para determinar qué porcentaje representa una cantidad respecto a otra, cuando

la tasa es mayor a 100.

Consigna. Reunidos en equipos, resuelvan el siguiente problema: Luis compra mazapanes a $0.80 y los vende a $2.00 cada uno, ¿en qué porcentaje se

incrementa el precio?

Observaciones: Es probable que los alumnos intenten resolver el problema utilizando las propiedades de una relación de proporcionalidad, lo cual es correcto,

sin embargo, conviene promover también el uso de las ecuaciones, para este caso: 0.80 + 0.80x = 2 o bien 0.80x = 1.20, en donde x representa el tanto por

ciento buscado, expresado en decimal.

Una confusión posible es que los alumnos consideren como incremento a dos pesos, en cuyo caso obtendrán como resultado 250%, pero en realidad el

incremento es $1.20

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen diversos procedimientos para determinar la base de un porcentaje en la resolución de problemas.

Consigna. Reunidos en equipos, resuelvan el siguiente problema: En la compra de un televisor se pagó $3220.00, incluido el 15% de IVA. ¿Cuál es el precio

del televisor sin IVA?

Actividad complementaria: “Análisis de textos”, en Hoja electrónica de cálculo. EMAT, México, SEP, 2000, pp. 142-143.

Qué % es Respecto a: %

21 42

7 28

19 32

Qué % es Respecto a: %

2.5 5

3.2 16

2.5 10

42

Tema Contenido Semana

Proporcionalidad y

funciones

Resolución de problemas que impliquen el cálculo de interés compuesto, crecimiento poblacional u otros que

requieran procedimientos recursivos.

6


Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen procedimientos

recursivos para resolver problemas relacionados con el interés

compuesto y que identifiquen las características de este tipo de

procedimientos.

Consigna: En equipo, resuelvan el siguiente problema: Un grupo

de tercer grado está organizando su fiesta de graduación. Les

faltan $25 000.00 para todos los gastos previstos y para obtener

ese dinero tienen dos opciones, el banco PIERDEMEX les presta esa

cantidad con un interés simple del 9% bimestral, mientras que el

banco ATRACOMER les ofrece la misma cantidad con un interés

compuesto del 8% bimestral. Si tienen planeado pagar el préstamo

junto con los intereses al término de 12 bimestres, completen la

siguiente tabla y contesten lo que se pide.

a) ¿En cuál banco les conviene pedir el préstamo?_______________________ b) ¿Cuánto más tendrían que pagar de intereses en el Banco que no les conviene, al término

del plazo fijado? _____________________________________ Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen procedimientos recursivos para resolver

problemas relacionados con el crecimiento poblacional.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema: En el año 2010 la población

mundial de la Tierra era de 6 854 millones de habitantes. Suponiendo que la tasa de crecimiento

durante una década es de 13% y ésta se mantiene constante, ¿cuál será la población en los años

2020, 2030 y 2040?

Actividad complementaria: “Recursividad (2)” y “Explosión demográfica”, en Hoja electrónica de

cálculo. EMAT, México, SEP, 2000, pp. 91-92 y 98, respectivamente.

Sugerencias para la evaluación Aspectos a evaluar / Nivel

DESTACADO SATISFACTORIO SUFICIENTE INSUFICIENTE

Resolución de problemas

Resuelve, comunica, argumenta y aplica los procedimientos correctos

Resuelve, comunica y aplica los procedimientos correctos

Resuelve y aplica los procedimientos de manera parcialmente correcta.

Resuelve y aplica procedimientos pobres

Compromiso y responsabilidad

Realiza el trabajo completamente sin excusas Demuestra disposición pero se distrae un poco

Retoma la actividad posteriormente a la explicación

Muestra poco interés en la actividad

Recursos de Apoyo

Hoja de cálculo, calculadora y geogebra: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/El_IVA/

Existen problemas matemáticos cuya resolución requiere procesos formados por varias fases, en cada

una se encuentra un resultado que es necesario para continuar con la siguiente fase y así

sucesivamente hasta encontrar el resultado final, este tipo de procedimientos suelen llamarse

recursivos. Un ejemplo de este tipo de situaciones es la siguiente:

• En el año 2010 la población mundial de la Tierra era de 6 854 millones de habitantes.

Suponiendo que la tasa de crecimiento durante una década es de 13% y ésta se mantiene

constante, ¿cuál será la población en los años 2020, 2030, 2040...?

De acuerdo con la información anterior la población para el 2020 será de 6 854 x 1.13 = 7 745.02

(millones); para el 2030 será de 7 745.02 x 1.13 = 8 751.87 (millones) y así sucesivamente.

Los problemas relacionados con el interés compuesto también pueden resolverse mediante

procedimientos recursivos. Por ejemplo: Hallar el valor futuro de $20 000.00 depositados al 8 %,

capitalizable anualmente durante 10 años.

En este caso al transcurrir el primer año el monto sería de 20 000 x 1.08 = 21 600; para el final del

segundo año el monto sería de 21 600 x 1.08 = 23 328 y así sucesivamente, hasta llegar a 43 178.5 a

los 10 años.

Una vez que los alumnos encuentren los resultados, puede sugerirles que los organicen en una tabla

para que observen el carácter recursivo.

43


Pensamiento

Matemático


información

Nociones de

probabilidad

Comparación de dos o más eventos a partir de

sus resultados posibles, usando relaciones como:

“es más probable que…”, “es menos probable

que…”.

7






Compara cualitativamente la probabilidad de eventos simples.


En situaciones de juego en las que los alumnos tienen que elegir un número, se plantean problemas de comparación del número de ocurrencias que pueden

aparecer. Por ejemplo, en una cuadrícula dibujada en el patio se numeran las casillas sobre uno de los lados del 1 al 12, se reparten al azar esos números a esa

misma cantidad de alumnos y cada uno se coloca en la casilla que tiene su número. El docente tira dos dados y el niño que tiene el mismo número que la suma

de los puntos marcados por los dados avanza una casilla hacia el otro extremo. El juego se termina cuando uno de los alumnos llega al otro extremo. Entre uno

y otro juego, el docente reparte nuevamente los números al azar y plantea a los alumnos si pueden prever quién o quiénes serán los posibles ganadores en

cada partida. Las afirmaciones encontradas de los alumnos pueden servir de base para discutir y argumentar sobre cuáles son los números más probables y

cuáles los menos.

Intenciones didácticas: Mediante un juego, que los alumnos comparen la probabilidad de varios eventos con base a sus resultados posibles.

Consigna: Organízate con once compañeros más para jugar dos veces “Carrera de autos”: Posteriormente contesten lo que se pide.

Para desarrollar la actividad es conveniente que se formen equipos de 12 integrantes, de tal manera que cada uno participe con un auto diferente; sin

embargo, si el número de alumnos del grupo no es múltiplo de 12, los equipos pueden integrarse con menos jugadores, sin llegar a ser menos de ocho, con la

finalidad de que se presenten las diferentes tendencias de resultados.

Preparen el tablero, dos dados de diferente color, y 12 fichas o piedritas.

Cada jugador toma una ficha y la coloca en la casilla del auto con el que desea competir. Si dos o más participantes seleccionan el mismo auto, pueden decidir quién escoge primero mediante un volado. A cada jugador le corresponde un carro diferente.

Por turnos, cada integrante del equipo irá lanzando los dados y el auto que tenga el mismo número que la suma de los puntos del tiro, avanza una casilla rumbo a la meta.

Gana el auto que llegue primero a la meta.

1. ¿Qué autos ganaron en las dos rondas?____________________________________________

44

2. Si jugaran una tercera ronda, ¿qué auto convendría seleccionar?_________________________ ¿Por

qué?____________________________________________________________________

Mediante el juego se espera que los alumnos identifiquen que algunos autos tienen mayores oportunidades de ganar que otros, es decir, que al lanzar dos

dados, las diferentes sumas que pueden obtenerse (del 2 al 12) tienen diferentes posibilidades. Por ejemplo:

El número 5 es más probable que el 3 porque hay cuatro posibles resultados mediante los cuales se obtiene 5: (1,4) (2,3) (3,2) (4,1); en

cambio sólo hay dos para obtener el 3: (1,2) (2,1). Es importante advertir que los resultados (1,4) y (4,1) son diferentes, pues se trata

de dados diferentes, por ello es necesario utilizar dados de diferente color, o en su defecto, de distinto tamaño:

Todos los posibles resultados se pueden apreciar en la siguiente tabla.

¿Cuál es el número que tiene mayores posibilidades de

obtenerse? ¿Por qué? ¿Cuál es el número que tiene menores posibilidades de

obtenerse? ¿Por qué? ¿Cuál es el auto que no tiene posibilidad de avanzar?

Sugerencia: La actividad se puede desarrollar haciendo una variación, que

consiste en cambiar los dados por fichas de dominó. Básicamente el juego se

realizaría siguiendo las mismas reglas, con el mismo número de integrantes por

equipo y utilizando el mismo tablero. Pero, para este juego los alumnos tendrían que considerar que por las características de las fichas, las oportunidades

para cada número son diferentes, inclusive, el auto con el número uno sí tendría posibilidad de avanzar. Para jugar esta versión, se entrega a cada equipo un

juego de dominó sin la ficha llamada “blanca” o “mula güera” (0,0), así, la

suma de los puntos varía de uno a 12. Las fichas se colocan con los puntos

hacia abajo. Por turnos, cada integrante toma una ficha y suma los puntos; el

resultado es el número del auto que avanza una casilla. Es importante que las

fichas que vayan saliendo se regresen al montón para revolverlas. De la misma

forma que en la primera versión, cuando un auto llega a la meta el juego

termina. Durante la puesta en común, es importante que los alumnos discutan

y argumenten si algún auto tiene mayores posibilidades de ganar.

Los dos factores que modifican los resultados son:

Ahora los números que se pueden sumar son siete (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6). A diferencia de los dados, en las fichas solamente hay una forma de combinar dos números. Por ejemplo (1,2) y (2,1) representan dos resultados

diferentes al lanzar dos dados, en cambio (1,2) y (2,1) representan un solo resultado en el dominó, es decir, es la misma ficha.

45

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen las expresiones “es más probable que…”, “es menos

probable que…” o “es igualmente probable a…”, al comparar dos eventos a partir de sus posibles

resultados.

Consigna: Organízate en tríos para resolver los problemas. En un juego de la feria se encuentra este cartel:

1. Observen el contenido de las tres bolsas y respondan las preguntas.

Si se saca una paleta de la bolsa 1, ¿qué sabor es menos probable de obtener? ___________

¿Por qué? _______________________________________

a) Si se desea una paleta de limón, ¿de cuál bolsa es más probable sacarla?________________

¿Por qué?____________________________________________

2. Ahora observen el contenido de las bolsas 4 y 5 y escriban en las líneas “es más probable que”, “es menos probable que” o “es igualmente probable a” según corresponda.

En la bolsa 4, sacar una paleta de piña _____________________________ sacar una paleta de limón.

a) En la bolsa 5, sacar una paleta de piña _____________________________ sacar una paleta de

limón.

b) Sacar una paleta de limón de la bolsa 4 ____________________________ sacar una paleta de

piña de la bolsa 5.


Lista de cotejo como sugerencia para la autoevaluación.

CRITERIOS si NO

Después de varios juegos logra comprender que pista avanza más

Identifica que autos tienen mayores oportunidades de ganar que otros

Escoge sin titubeos y precisa que pistas no tiene probabilidad de ganar

Argumenta que números tienen mayores posibilidades de ganar que otros.

Sabe comparar dos eventos a partir de sus posibles resultados.

Recursos de Apoyo

Una ventana a la incertidumbre, Libros del rincón.

46


Pensamiento

Matemático


información

Análisis y

representación de

datos.

Análisis de casos en los que la media

aritmética o mediana son útiles para

comparar dos conjuntos de datos

8






Nota: este aprendizaje esperado está en el bloque IV.

Resuelve problemas que implican calcular, interpretar y explicitar las propiedades de la

media y la mediana


Se sugiere plantear a los alumnos problemas en los que tengan que analizar la información que cada medida estadística proporciona (media y mediana), pero además decidir cuál de ellas es más representativa del conjunto de datos. Un ejemplo de problemas que se pueden plantear es: Se ha decidido dar un premio al equipo que haya tenido mejor aprovechamiento académico en matemáticas de acuerdo a sus calificaciones. El equipo de Luis consta de tres estudiantes y sus calificaciones son: 9, 9 y 10. Las calificaciones del equipo de Carlos son: 6, 6, 6, 6 y 6. ¿Cuál es el equipo de mejor aprovechamiento? Para resolver el problema muchos acostumbran sumar las calificaciones de los estudiantes de cada equipo y compararlas. Esto no es justo cuando un equipo es menor que otro; en el ejemplo, el equipo de Luis, con tres integrantes, suma 28 puntos, mientras que el equipo de Carlos, formado por 5 estudiantes suman 30, entonces, ¿el segundo equipo es mejor que el primero? ¡Claramente no!, pues en el primer equipo todos tienen calificación muy buena, mientras que en el segundo todos tienen calificación apenas suficiente. La media aritmética o promedio es una medida de tendencia central que resulta útil para comparar los dos conjuntos de calificaciones. Intenciones didácticas: Que los alumnos justifiquen la elección de la medida de tendencia central (media o mediana) que sea representativa de un conjunto

de datos.

Consigna: En parejas, resuelvan los siguientes problemas:

1. Los representantes de una comunidad desean estimar el

número promedio de niños de ese lugar. Para ello, dividen el número total de niños entre 50, que es el número total de familias y obtienen como resultado 2.2. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas? ________ ¿Por qué?

a) La mitad de las familias de la comunidad tiene más de 2 niños.

b) En la comunidad hay más familias con 3 niños que familias

con 2 niños.

c) Hay un total de 110 niños en la ciudad.

d) En la comunidad hay 2.2 niños por cada adulto.

2. El maestro de Educación física pidió a sus alumnos que para la próxima clase llevaran pelotas. En el equipo 1, Andrés lleva 5, María 8, José 6, Carmen 1 y Daniel no lleva ninguna. ¿Cómo repartir las pelotas de forma equitativa entre los integrantes del equipo?

3. Como parte de un proyecto, los integrantes de un grupo de basquetbolistas entregan su número de calzado, obteniéndose los siguientes datos: 26 26 26 27 27 27 27 28 28 28 28 28 28 29

29 29 29 29 30 30 30 30 30 30 30 31 32 32

33

¿Cuál sería el mejor número para representar

este conjunto de datos?

4. Un objeto pequeño se pesa con un mismo instrumento por nueve estudiantes de una clase, obteniéndose los siguientes valores en gramos: 6.2, 6.0, 6.0, 15.3, 6.3, 6.1, 6.23, 6.15, 6.2 ¿Cuál sería la mejor estimación del peso del objeto?

47

Intenciones didácticas: Que los alumnos usen la media o la mediana para comparar dos conjuntos de datos.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas:

1. Se midieron 12 bloques de aluminio de dos marcas diferentes: Las longitudes de los bloques de la marca “A” fueron: 10, 20, 30, 40, 50 y 60 cm, y las longitudes de los bloques de la marca “B” fueron: 10, 10, 10, 60, 60 y 60 cm. ¿Cuál de los dos conjuntos presenta mayor variabilidad de las longitudes? __________________________________________

2. Se ha decidido dar un premio al equipo que haya tenido mejor aprovechamiento académico en matemáticas de acuerdo a sus calificaciones. El equipo de Luis consta de tres estudiantes y sus calificaciones son: 9, 9 y 10. Las calificaciones del equipo de Carlos son: 6, 6, 6, 6 y 6. ¿Cuál es el equipo de mejor aprovechamiento? ¿Por qué? ____________________________________________________

3. Al medir la altura en centímetros que pueden saltar un grupo de alumnas, antes y después de haber efectuado un cierto entrenamiento deportivo, se obtuvieron los valores siguientes.

¿Piensas que el entrenamiento es efectivo? __________________

¿Por qué? ________________________________________________________________

¿Qué medida de tendencia central, la media o la mediana, es útil para determinar lo anterior?_________________________________________


Con este pequeño ejemplo de rubrica se puede realizar la evaluación de los alumnos.

Rasgo Excelente Satisfactorio En proceso Necesita apoyo

Contenido: Análisis y representación de datos

Entiendo claramente y justifico la elección de una medida de tendencia central (media o mediana) representativa de un conjunto de datos.

Más o menos entiendo y justifico la elección de una media de tendencia central (media o mediana) representativa de un conjunto de datos.

Poco entiendo y justifico la elección de una media de tendencia central (media o mediana) representativa de un conjunto de datos.

No entiendo ni logro justificar en la elección de una mediana de tendencia central (media o mediana) representativa de un conjunto de datos.

Recursos de Apoyo

Una Ventana a la incertidumbre, Libros del rincón. “Quién es mejor en el Golf”, Página 14.

49

TERCER GRADO

50


Pensamiento

Matemático


pensamiento

algébrico

Patrones y

ecuaciones

Resolución de problemas que impliquen el

uso de ecuaciones cuadráticas sencillas,

utilizando procedimientos personales u

operaciones inversas.

1






Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado.


Las ecuaciones y funciones cuadráticas desempeñan un papel importante en el estudio de las matemáticas y la física; por ejemplo, en la resolución de

problemas sobre áreas de figuras geométricas, en el estudio del movimiento uniformemente acelerado, etc. Se recomienda entrar en el tema con problemas

que permitan plantear ecuaciones cuadráticas y que los alumnos resolverán mediante procedimientos personales. Por ejemplo:

• El área de un triángulo es de 37.5 m2 y su altura es el triple de la base. Hallar

sus dimensiones.

• El cuadrado de un número menos 5 es igual a 220, ¿cuál es este

número?

Este último problema constituirá el primer acercamiento de los

estudiantes a las ecuaciones que tienen más de una solución. Puede

plantearse también el problema inverso: dada una ecuación cuadrática,

traducirla al lenguaje común y resolverla. Ejemplos:

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen procedimientos personales u operaciones

inversas, al resolver problemas que implican una ecuación cuadrática.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas. Si lo consideran

necesario, utilicen su calculadora y traten de justificar sus respuestas.

El cuadrado de un número menos 5 es igual a 220. ¿Cuál es ese número?

El cuadrado de un número más el mismo número es igual a 306. ¿Cuál es ese número?

El producto de dos números consecutivos es 552. ¿Cuáles son esos números?

Intenciones didácticas: Que los alumnos planteen ecuaciones cuadráticas y las resuelvan mediante procedimientos personales u operaciones inversas.

Consigna: En equipo resuelvan los siguientes problemas. Para ello, planteen y resuelvan una ecuación para cada caso. Si consideran necesario, utilicen su

calculadora y traten de justificar sus respuestas.

1. El cuadrado de un número es igual al triple del mismo. ¿De qué número se trata?

Se sugiere que cuando la mayoría de los equipos termine de

resolver el primer problema, hacer un alto para analizar los

procedimientos utilizados. Lo más probable es que utilicen el

ensayo y error, es decir, que vayan probando con diferentes

números hasta encontrar el que cumple con las condiciones del

problema. En este momento conviene pedirles que traten de

formular una ecuación, darles unos minutos y analizar las

ecuaciones formuladas. La siguiente pregunta es ¿qué se puede

hacer para resolver una ecuación como ésta? x2 – 5 = 220. Un

recurso posible es simplificar la ecuación: x2 = 225 y luego sacar

raíz cuadrada en ambos miembros para obtener el valor de x. Otro

recurso es hacer el camino de regreso: a 220 sumarle 5, luego

sacar raíz cuadrada al resultado.

51

2. El cuadrado de un número menos el doble del mismo número es igual a 24. ¿Cuál es ese número? 3. El cuadrado de un número es igual a la tercera parte del mismo más 8. ¿Cuál es ese número? Una vez que los alumnos son capaces de plantear y resolver problemas como los

anteriores, se pueden proponer ejercicios de resolución de

ecuaciones como las siguientes:

Intenciones didácticas: Que los alumnos traduzcan al lenguaje común ecuaciones

cuadráticas y las resuelvan usando procedimientos personales u operaciones inversas.

Consigna: Organizados en parejas, inventen un problema

que se pueda resolver con cada una de las ecuaciones

presentadas. Resuelvan y comprueben resultados. Pueden

utilizar calculadora.

Los problemas inventados pueden corresponder a diferentes contextos tales como, cálculo

de áreas, edades, números, dinero, etcétera, sin embargo, para una misma ecuación, los problemas siempre tendrán la

misma estructura. Por ejemplo, para la del inciso a, los problemas pueden ser:

- El largo de un rectángulo mide tres unidades más que el ancho y el área es 270 m2, ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

- El producto de dos números es 270. Si uno es tres unidades mayor que el otro, ¿cuáles son los números? - Juan es tres años mayor que su hermano Luis. Si el producto de sus edades es 270, ¿qué edad tiene cada uno?


Ejemplo de rúbrica para evaluar ecuaciones simples. Se recomienda que el docente la adecue. Rasgo Excelente Satisfactorio En proceso Necesita apoyo

Manejo de técnicas para resolver ecuaciones

Utiliza procedimientos convencionales para resolver ecuaciones.

Utiliza procedimientos personales para resolver ecuaciones sin problemas.

Utiliza procedimientos pocos convencionales para resolver ecuaciones.

Tiene dificultades para resolver ecuaciones sencillas.

Argumenta sus razonamientos

No argumenta mejor sus razonamientos

Recursos de Apoyo

¿Cuánto pesa una manzana?, Fichero de actividades didácticas, Pág. 74.

Página generador de ecuaciones para contestar inmediatamente: http://prueba.uprm.edu/cgi-bin/Quiz/oneques.cgi

http://quiz.uprm.edu/cgi-bin/Quiz/oneques.cgi?database=filander/Linear_Equations_sp/LinearEq_fra1_Tutorial_Spanish.db&no_ques=1

Las ecuaciones que resultan de los problemas anteriores son

cuadráticas y pueden resolverse por ensayo y error, procedimiento

muy probable que utilicen los alumnos. Es necesario considerar al

menos 15 minutos para la discusión e iniciar con la revisión de las

ecuaciones para ver si son iguales, equivalentes o distintas.

Después, hay que analizar los procedimientos que usaron para

resolverlas.

Conviene decir en esta sesión que las tres ecuaciones que resultan

son de segundo grado y que a diferencia de las de primer grado, la

incógnita está elevada al cuadrado.

a) x2 - 4 = 0 b) (x - 5)2 = 144 c) 2x2 – 8 = 0 d) x2 +2x =35

Es probable que los alumnos

obtengan este mismo resultado

por otros medios, lo importante

es que sepan explicar el

procedimiento utilizado y por

qué el resultado cumple con las

condiciones del problema.

a) x ( x +3) = 270 b) a2 +a = 132 c) 3n2-n=102

http://prueba.uprm.edu/cgi-bin/Quiz/oneques.cgi

http://quiz.uprm.edu/cgi-bin/Quiz/oneques.cgi?database=filander/Linear_Equations_sp/LinearEq_fra1_Tutorial_Spanish.db&no_ques=1

52


Pensamiento

Matemático


medida

Figuras y

cuerpos

Construcción de figuras congruentes o

semejantes (triángulos, cuadrados y

rectángulos) y análisis de sus propiedades.

2







Resuelve problemas de congruencia y semejanza que implican utilizar estas

propiedades en triángulos o en cualquier figura.


Cuando se pide a los alumnos que construyan un triángulo dadas las medidas de tres ángulos, se dan cuenta de que existe cierta relación entre los triángulos

obtenidos, independientemente de la longitud de los lados y si el maestro pidió además que analizaran la relación entre las medidas de los lados

correspondientes, pudieron concluir que las razones eran iguales y, por tanto, los lados eran proporcionales.

De esta manera se observa que la semejanza está estrechamente ligada a la proporcionalidad; así que, para introducir la noción de semejanza, se sugiere

plantear un problema como el siguiente:

• Se quiere ampliar una fotografía de 4 x 2 cm, de tal manera que el homólogo del lado que mide 4 cm mida 7 cm. ¿Cuánto debe medir el

otro lado?

Después de que los alumnos presenten posibles soluciones se les pide que dibujen ambos rectángulos, el de la fotografía original y el de la fotografía

ampliada. Se comparan las figuras obtenidas y se analiza cómo son ambas fotografías, cuánto aumentó cada lado y si cambió la forma.

Es importante que se varíen las medidas de la fotografía reproducida para que los alumnos comprueben si los rectángulos están bien construidos, es decir,

si son semejantes. Esta actividad se puede vincular con el eje Manejo de la información, al pedir a los alumnos que en un plano cartesiano ubiquen uno de

los vértices de los rectángulos en el origen de coordenadas, lo que permitirá mostrar que, para la ampliación correcta de las fotografías, los puntos O, A y

B están alineados (véase la gráfica de abajo); es decir, que las diagonales de todos ellos coinciden.

Al solicitar a los alumnos que construyan un triángulo dadas las medidas de los tres ángulos únicamente, existe la

posibilidad de que algunos utilicen las mismas medidas para los lados, es decir, se obtienen triángulos que tienen

lados y ángulos iguales, ¿estos triángulos también son semejantes? Se trata que los alumnos analicen sus propiedades

y concluyan que la congruencia es un caso especial de la semejanza.

Intenciones didácticas: Que los alumnos reflexionen sobre las propiedades que guardan los elementos homólogos al construir triángulos semejantes y que

adviertan que la congruencia es un caso especial de la semejanza.

53

Consigna: Equipos resuelvan los siguientes problemas.

1. Cada integrante del equipos construya los triángulos cuyos ángulos midan:

2. Agrupen sus triángulos, de acuerdo con las medidas de sus ángulos. Después contesten: ¿Por qué creen que los triángulos de cada grupo tienen la misma forma? _______________________________

3. Elijan dos triángulos que tengan la misma forma y hagan lo siguiente: a) Nombren uno de los triángulos con las letras ABC y al otro con A’B’C’ b) Nombren los lados de uno de los triángulos con las letras abc y los lados del otro con a’b’c’. c) Midan los lados de ambos triángulos y anoten los datos que se piden en la siguiente tabla.

Triángulo ABC a= b= c= a/a’= b/b’= c/c’=

Triángulo A’B’C’ a’= b’= c’= a/b= a’/b’=

d) ¿Por qué se puede asegurar que los lados de los triángulos ABC y A’B’C’ son proporcionales? ________________________________________

Intenciones didácticas: Que los alumnos usen las propiedades de la semejanza al construir dos polígonos semejantes.

Consigna: En equipos, construyan un pentágono regular semejante al que aparece abajo, pero cuyos lados midan el doble; tomen como referencia el

punto E”.

a) Comparen los lados homólogos de ambos polígonos y escriban el factor de proporcionalidad entre ellos. Después digan cómo son los ángulos correspondientes entre ambos polígonos.

Se sugiere realizar la actividad “El pantógrafo” del

fichero de actividades págs. 108 y 109.


Para la evaluación de este contenido se sugiere revisar el cuaderno de los alumnos. Más información revisar la serie: Herramientas de la evaluación en Educación Básica, folleto 4 “Las estrategias y los instrumentos de evaluación desde el enfoque formativo. Página 42.

Recursos de Apoyo

El pantógrafo, Fichero de actividades didácticas, Pág. 108.

Análisis de triángulos semejantes con geogebra: http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/geometria_part3/geometria_part3_home.html

a) 60º, 60º y 60º b) 90º, 45º y 45º c) 90º, 60º y 30º

En esta actividad se debe de hacer los trazos con un software de

geometría dinámica (por ej. Cabri-Géogebra).

http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/geometria_part3/geometria_part3_home.html

54


Pensamiento

Matemático


medida

Figuras y cuerpos Explicitación de los criterios de congruencia

y semejanza de triángulos a partir de

construcciones con información

determinada.

3







Resuelve problemas de congruencia y semejanza que implican utilizar estas

propiedades en triángulos o en cualquier figura.


Las construcciones a partir de ciertos datos permiten averiguar si éstos son suficientes y si hay más de una solución correcta. Los alumnos pueden enunciar los

criterios de congruencia de triángulos con base en las construcciones y la discusión acerca de la unicidad. Por ejemplo, si se dan dos segmentos que deben ser

iguales a dos lados del triángulo es posible plantear diversas preguntas y situaciones, entre ellas: ¿Se pueden dibujar dos triángulos distintos? ¿Cuántos

triángulos distintos puede haber?

Lo mismo cabe preguntar para tres segmentos que deben ser iguales a los tres lados del triángulo; para dos segmentos y un ángulo, que deben ser iguales a

dos lados y el ángulo comprendido entre ellos; para un segmento y dos ángulos, que deben ser iguales a un lado y a los dos ángulos adyacentes; para dos

ángulos, que deben ser iguales a dos de los ángulos del triángulo; para tres ángulos, que deben ser iguales a los ángulos del triángulo. En cada caso, para

responder a las preguntas planteadas, se necesita conocer propiedades como la suma de los ángulos interiores de un triángulo y saber trasladar los ángulos

con compás y medirlos con transportador.

Con relación a la semejanza, se propone que los alumnos enuncien los criterios de semejanza de triángulos a partir de las construcciones y la discusión acerca

de la existencia y la unicidad. Por ejemplo:

Con base en la siguiente información, dibujen dos triángulos semejantes cuando sea posible:

a) Dos de los lados de un triángulo miden 3 cm, y el tercer lado 5 cm; los lados del triángulo correspondiente miden 6 y 10 cm.

b) Los lados de uno de los triángulos miden 2, 3 y 7 cm, y sus correspondientes en el otro triángulo miden 1, 1.5 y 3.5 cm.

c) En un triángulo, uno de sus lados mide 6 cm y uno de sus ángulos 60°; en el otro triángulo, el lado y el ángulo correspondientes miden 3 cm y 60°,

respectivamente.

d) Dos lados de un triángulo miden 4 cm y el tercero 5 cm; el ángulo comprendido entre los primeros mide 77°. En el segundo triángulo los lados

correspondientes miden 8, 9 y 10 cm y el ángulo correspondiente se conserva.

e) Los tres ángulos de cada uno de los dos triángulos miden 45°, 65° y 70° y sus lados son proporcionales.

¿En qué casos es posible dibujar triángulos semejantes? ¿En cuáles no? Argumenten su respuesta.

Intención didáctica. Que los alumnos concluyan que para formar un triángulo es necesario que la suma de dos de sus lados sea mayor que el tercer lado. Se

pretende que los alumnos analicen cuándo es posible formar triángulos y cuándo no.

55

Para realizar las actividades correspondientes a este apartado es necesario que los alumnos usen su juego de geometría, tijeras y en especial para este plan se

necesitan palillos.

Consigna 1. Organizados en equipos, realicen la actividad 1 de la ficha “Triángulos con palillos”, págs. 94 y 95, Fichero de actividades didácticas. Matemáticas,

secundaria.

Consigna 2. Individualmente dibuja, si es posible, el triángulo DEF con las medidas indicadas en cada inciso. Al terminar contesta las preguntas.

a) ¿En cuáles casos no pudiste construir el triángulo solicitado? ¿A qué crees que se debe? _____________________________________________ b) Da dos ejemplos diferentes donde no se pueda construir un triángulo y explica por qué.__________

Intención didáctica: Que los alumnos enuncien el criterio de congruencia de triángulos basado en la medida de sus tres lados (LLL).

Consigna. Organizados en equipos, construya cada uno un triángulo con la medida de los segmentos que se dan enseguida, recorten sus triángulos y

compárenlos con los de sus compañeros de

equipo. Después contesten las preguntas.

Intención didáctica: Que los alumnos enuncien el criterio de congruencia de triángulos basado en la medida de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos

(LAL).

Consigna 1. Organizados en equipos, cada uno construya un triángulo con los segmentos que aparecen enseguida de manera que entre ellos formen un ángulo

de 60°. Comparen sus triángulos y digan qué sucedió.

Consigna 2. Con los mismos datos dibujen un triángulo diferente al anterior. Comenten con sus compañeros de equipo qué sucedió y por qué.

Intención didáctica: Que los alumnos, con base en las actividades realizadas, enuncien de manera precisa la congruencia de triángulos a partir de la medida

de dos ángulos y el segmento entre ellos (ALA).

Consigna 1: Organizados en parejas, construyan un triángulo con el segmento AC y los ángulos que se indican. Al terminar, compárenlo con el de otras parejas

poniéndolos a contraluz.

A_______________________C A = 40° C = 70°

Consigna 2: Cada integrante de la pareja dibuje un triángulo cualquiera. Después, cada uno anote en un papelito tres medidas del triángulo que construyó

para que con esta información la pareja pueda construir un triángulo igual. Comparen los triángulos para ver si efectivamente son iguales.

“Figuras directa o inversamente congruentes”, en Geometría dinámica. EMAT, México, SEP, 2000, pp. 124-125.

a) ¿Los triángulos dibujados por cada uno de ustedes fue igual al de sus compañeros de equipo?______ b) Si hubo diferencias, analicen sus trazos y digan a qué se debieron._________________________ c) ¿Serán iguales los triángulos que ustedes trazaron con los trazados por el resto de sus compañeros

de grupo?______ ¿Por qué?____________ d) ¿Dada la medida de los tres lados es suficiente para obtener triángulos iguales?

a) DE = 3 cm; EF = 4 cm y FD = 5 cm b) DE = 4 cm; EF = 5 cm y FD = 10 cm c) DE = 5 cm; EF = 7 cm y FD = 5 cm d) DE = 8 cm; EF = 3 cm y FD = 4 cm

56

Se recomienda usar el software de Geogebra para trazar los triángulos.


Se sugiere evaluar mediante una Guía de observación, Para más información revisar la serie: Herramientas de la evaluación en Educación Básica, folleto 4 “Las estrategias y los instrumentos de evaluación desde el enfoque formativo. Página. 21

Recursos de Apoyo

“Figuras directa o inversamente congruentes”, en Geometría dinámica. EMAT, México, SEP, 2000, pp. 124-125.

https://www.youtube.com/watch?v=lh7K8C5C5KA

Aplicación de la semejanza de triángulos: https://www.youtube.com/watch?v=3gU47ir7Zzc

Ejemplo de la aplicación de semejanza: https://www.youtube.com/watch?v=V7Aqbd5BmSI

http://quiz.uprm.edu/cgi-bin/Quiz/answert.cgi

Análisis de triángulos semejantes con geogebra: http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/geometria_part3/geometria_part3_home.html

Intenciones didácticas: Que los alumnos enuncien los criterios de

semejanza de triángulos a partir de las construcciones y la

discusión acerca de la existencia y la unicidad.

Consigna: De manera individual traza, sobre una hoja blanca, un

triángulo equilátero. Cuando termines el trazo, haz lo que se

indica más abajo.

a) Reúnanse en equipos y comparen sus triángulos. Verifiquen que, aunque sean de distintos tamaños, todos son semejantes porque tienen la misma forma. ¿A qué creen que se debe que todos son semejantes?

b) Tomen dos de los triángulos que construyeron y contesten las siguientes preguntas:

¿Cuál es la razón entre los lados de esos triángulos?

¿Cuál es la razón entre sus perímetros?

¿Cuál es la razón entre sus áreas?

c) Construya cada quien un cuadrado, procurando que sean de distintos tamaños, después contesten las siguientes preguntas:

¿Por qué creen que todos los cuadrados que construyeron son semejantes? Consideren solamente dos cuadrados para contestar lo siguiente:

¿Cuál es la razón entre sus lados?

¿Cuál es la razón entre sus perímetros?

¿Cuál es la razón entre sus áreas?

Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen la relación que existe entre las medidas de los

lados homólogos de dos triángulos semejantes.

Consigna: De manera individual traza, en una hoja blanca, un triángulo escaleno (tres lados

desiguales) cuyos ángulos midan respectivamente 80°, 60° y 40°. Cuando termines tu trazo, haz y

contesta lo que se indica en seguida.

a) Reúnete con tu equipo y comparen sus triángulos.

b) ¿Por qué creen que resultaron semejantes?

c) Tomen dos triángulos cualesquiera de los que construyeron, identifiquen los lados correspondientes y márquenlos como se indica en el siguiente dibujo. Después, calculen las razones expresadas con letras.

d) ¿Cuál es la razón entre los lados correspondientes de los triángulos que trazaron? e) ¿Cuál es la razón entre los perímetros? f) ¿Cuál es la razón entre las áreas?

https://www.youtube.com/watch?v=lh7K8C5C5KA

https://www.youtube.com/watch?v=3gU47ir7Zzc

https://www.youtube.com/watch?v=V7Aqbd5BmSI

http://quiz.uprm.edu/cgi-bin/Quiz/answert.cgi

http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/geometria_part3/geometria_part3_home.html

57


Pensamiento

Matemático


información

Proporcionalidad

y funciones

Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y

algebraicas), que corresponden a una misma

situación. Identificación de las que corresponden a

una relación de proporcionalidad.

4






Nota: Este aprendizaje esperado está en el bloque V.

Lee y representa, gráfica y algebraicamente, relaciones lineales y cuadráticas.


La posibilidad de representar una misma situación de diferentes maneras es una habilidad importante en todo el estudio de la matemática. Por ello, una vez

que los alumnos han resuelto problemas mediante el uso de tablas, mediante la expresión algebraica y con la representación gráfica, hay que integrar estos

tres aspectos, planteando problemas que permitan analizar las características que los hacen comunes para una misma situación.

Un ejemplo de estos problemas es el siguiente:

• Las coordenadas de uno de los puntos de la gráfica de una relación de proporcionalidad directa son (20, 50). ¿Cuál es el valor de la ordenada

del punto cuya abscisa es 1? ¿Cuál es la expresión algebraica que corresponde a esta gráfica?

¿Cuál de las siguientes situaciones puede asociarse con las representaciones anteriores?

a) Luis tiene 50 años de edad y su hija Diana, 20. ¿Qué edad tenía Luis cuando su hija tenía un año?

b) En una librería hay una pila de 20 libros iguales que alcanzan una altura de 50 cm. ¿De qué grosor es cada libro?

Intenciones didácticas: Que los alumnos calculen el valor faltante en una gráfica cartesiana y logren identificar la variación directa

en diversas representaciones.

Consigna: Reunidos en equipos resuelvan los siguientes problemas:

1) Con base en la gráfica de la travesía de una moto de carreras que va a una velocidad constante y se encuentra en determinado momento en el punto A (abscisa 20, ordenada 50) contesten las siguientes preguntas:

¿Cuál es el valor de la ordenada del punto cuya abscisa es 1?_________

¿Cuál es la constante de proporcionalidad?____________________

¿Cuál es la expresión algebraica que corresponde a esta gráfica?___________________________

2) ¿Cuál de las siguientes situaciones puede asociarse con la representación anterior?

a) Luis tiene 50 años de edad y su hija Diana 20 ¿Qué edad tenía Luis cuando su hija tenía 1 año? b) En una librería hay una pila de 20 libros iguales que alcanzan una altura de 50 cm. ¿De qué grosor es cada libro?

58


Se puede Evaluar con un Diario de clase Fecha: ¿Qué aprendí hoy? ¿Cuáles fueron mis aportaciones para la actividad? ¿Qué me falta conocer o trabajar más? ¿Qué me falta por aprender acerca del tema y cómo lo puedo hacer?

Recursos de Apoyo

Gráficas, tablas y expresiones algebraicas: http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/telesecundaria/tsa01g01v02/u03t05s01.html

Intenciones didácticas: Que los alumnos calculen el valor faltante en

tabulaciones y a partir de expresiones algebraicas; asimismo, logren

identificar la variación directa en diversas representaciones.

Consigna 1. En equipos resuelvan el siguiente problema:

Un automóvil viaja a una velocidad constante, algunas distancias y

tiempos de recorrido se muestran en la tabla. Completa los datos que

hacen falta en ella y contesta las preguntas.

Tiempo (h) 1.5 3 5

Distancia

(km)

240 720

¿Cuál es la constante de proporcionalidad?_____________________

¿Cuál de las siguientes expresiones d = 40t; d= 80t; d= 120t es la que

corresponde? ____________

Argumenten su respuesta _______________________________

Con base en la expresión algebraica identificada, calculen la distancia

recorrida por el automóvil en:

a) 10 horas ___________________

b) 12 horas y media _____________

Consigna 2. Dadas las siguientes situaciones identifiquen las que son

variación proporcional directa y argumenten sus respuestas.

a) En la taquería de la esquina tienen esta tabla para calcular el precio de los tacos:

b) El número de obreros que se necesitan para la construcción de

una casa en un tiempo flexible se muestra en la siguiente gráfica:

c) La fórmula para calcular el 30% de descuento en una tienda está dada por la expresión y = 0.30x

http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/telesecundaria/tsa01g01v02/u03t05s01.html

59


Pensamiento

Matemático


información

Proporcionalidad

y funciones

Representación tabular y algebraica de relaciones

de variación cuadrática, identificadas en diferentes

situaciones y fenómenos de la física, la biología, la

economía y otras disciplinas.

5







Lee y representa, gráfica y algebraicamente, relaciones lineales y cuadráticas.


El desarrollo de esta habilidad se vincula estrechamente con el trabajo propuesto en el contenido 3.5 de este grado, con la diferencia de que ahora sólo se

destaca el aspecto algebraico, mientras en aquél se aborda dicho aspecto y la parte gráfica. El tipo de problemas que se pueden plantear consiste en

representar, con una expresión algebraica, la regla que gobierna la variación en casos como los siguientes:

a) El área de un círculo (y) en función de la longitud del radio (x)

b) El número de apretones de manos (y), entre un equipo de (x) jugadores y otro equipo con un jugador menos.

c) El área de la imagen sobre la pantalla (y) respecto a la distancia a la que se coloca el proyector (x)

Intenciones didácticas: Que los alumnos relacionen dos conjuntos de datos que guardan una relación cuadrática e identifiquen la expresión que modela

dicha relación.

Consigna: En equipos resuelvan el siguiente problema: Un helicóptero dejó caer un automóvil desde una altura de 245 metros. Algunos datos que se

registraron son los siguientes:

a) De acuerdo con la información, completen la siguiente tabla:

b) ¿Cuánto tiempo tardó el auto en llegar al suelo? ___________

c) ¿Cuál de las siguientes expresiones permite calcular la distancia de caída (d) en función del tiempo transcurrido (t)? ________ Justifiquen su

respuesta. 2

5td td 5 td 25 25 td

60

Intenciones didácticas: Que los alumnos expresen algebraicamente relaciones de variación cuadrática.


1. Se tiene un cuadrado que tiene por lado x cm, ¿cuál es la expresión algebraica que permite determinar el área (y)? _____________________ Si al cuadrado se le aumentan 2 cm en una de las dimensiones y 3 cm en la otra dimensión, ¿cuál es la expresión que determina el área (y) del rectángulo que se ha formado? ___________________________________________

2. En la escuela se organizó un torneo de Voleibol. Antes de iniciar un partido entre dos equipos de 10 integrantes cada uno, los jugadores de cada equipo saludarán a todos los elementos del equipo contrario. a) ¿Cuántos saludos se realizan en total? ____________________________________

b). Si uno de los equipos tiene nueve integrantes, ¿cuántos saludos se realizaran en total? ________________________________________

c) ¿Qué expresión algebraica permite obtener el total de saludos (y), si uno de los equipos tiene x cantidad de integrantes y otro tiene un jugador menos?

_________________________

Se tiene un rectángulo que tiene un perímetro de 20 metros, el cual tiene un lado de longitud x metros. Escriban una expresión algebraica que represente la

variación del área (y) en función de x. ________________________________________________________


Observar el cuaderno de los alumnos para detectar el progreso y comprensión de los alumnos en relación a la representación tabular y algebraica.

Observar durante el desarrollo de las actividades si lograr Leer y representar, graficar y presentar algebraicamente, relaciones lineales y cuadráticas.

Recursos de Apoyo

Una Ventana a las incógnitas, Libros del Roncón, Página. 44

Intenciones didácticas: Que los alumnos relacionen dos conjuntos de datos que guardan una relación

cuadrática y determinen la expresión que modela dicha relación.

Consigna: Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema: Cuando se proyecta una película, el

área de la imagen depende de la distancia entre el proyector y la pantalla, como se ilustra a continuación.

a) Escriban la expresión algebraica que muestre la relación entre las distancias y las áreas. _________ b) Anoten los datos que hacen falta en la siguiente tabla.

c) Utilicen la expresión anterior para encontrar a qué distancia se debe colocar el proyector de

manera que el área de la imagen sea de 24.01 m2. d = ______________

61

Campo de formación Asignatura Grado Bloque Eje Tema Contenido Semanas

Pensamiento

Matemático


información

Nociones de

probabilidad

Conocimiento de la escala de la probabilidad.

Análisis de las características de eventos

complementarios y eventos mutuamente

excluyentes e independientes.

6 y 7






Explica la diferencia entre eventos complementarios, mutuamente excluyentes e

independientes.


A partir del estudio de este contenido se pretende formalizar la medida de la probabilidad, de manera que los alumnos tengan claros los siguientes aspectos:

a) La escala de probabilidad va de 0 a 1. La probabilidad cero hace referencia a un evento imposible, la probabilidad uno corresponde a un evento

seguro.

b) La medida de la probabilidad es una razón entre los eventos favorables y el total de eventos posibles, es decir, el espacio muestral del

experimento.

c) La medida de la probabilidad puede expresarse mediante una fracción común, con una expresión decimal o a través de un porcentaje.

La suma de las probabilidades de los eventos simples de un experimento aleatorio es igual a uno, es decir, dicha suma corresponde a un evento seguro. Por

ejemplo, es seguro que al lanzar una moneda caerá águila o sol, {águila, sol} es el espacio muestral del experimento que consiste en lanzar un volado.

Por otra parte, se pretende también que los alumnos identifiquen eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes, para que más

adelante puedan calcular su probabilidad.

Los eventos complementarios son fácilmente identificables porque la suma de sus probabilidades es igual uno. Por ejemplo, el complemento del evento «cae

5» al lanzar un dado, es «cae un número distinto de 5». Si designamos con A y Ac respectivamente ambos eventos, podemos decir que: P(A)=1/6; P(Ac)=5/6; o

bien, P(A)+P(Ac)=1; o bien, P(Ac)=1-P(A).

Intenciones didácticas: Que los alumnos expresen la medida de la probabilidad mediante una fracción común, una expresión decimal o a través de un

porcentaje y formalicen la escala de la probabilidad.


1. Si se realiza el experimento de lanzar tres monedas al mismo tiempo. ¿Cuántos resultados puede haber? _____________ Represéntenlos de tal manera que puedan verse todos.

2. Con base en los resultados de lanzar tres monedas al mismo tiempo, contesten lo siguiente:

La probabilidad del evento “Obtener 0 águilas” es 125.08

1

La probabilidad del evento “Obtener 1 águila” es _____8

3

3. Completen las siguientes afirmaciones:

La probabilidad del evento “Obtener 3 águilas” es ______

De los cuatro eventos anteriores, ¿cuál tiene mayor probabilidad? ________ ¿Por qué?_________________________

62

a) Probabilidad del evento “Obtener 0 águilas”: 12.5 %. b) Probabilidad del evento “Obtener 1 águila”: ______% c) Probabilidad del evento “Obtener 2 águilas”: ______% d) Probabilidad del evento “Obtener 3 águilas”: ______%

En el experimento de lanzar tres monedas al mismo tiempo, ¿puede haber un evento cuya probabilidad sea 8

10? ___________ ¿Por qué?

Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen las características de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes.


1. Analicen el siguiente experimento e identifiquen las características de los eventos B y C y M y N.

Experimento: Lanzar un dado.

Espacio muestral: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Evento B: “Cae un número menor que tres”. B = {1, 2}

Evento C: “Cae un número mayor que cuatro”. C = {5, 6}

Características de los eventos B y C: ______________________________________________________________________________________

Evento M: “Cae el número tres”. B = {3}

Evento N: “Cae un número distinto de tres”. C = {1, 2, 4, 5, 6}

Características de los eventos M y N: _____________________________________________________________________________________

2. Contesten las preguntas siguientes:

a) Se lanzan cuatro volados consecutivos y en todos ellos ha caído águila. ¿Cuál es la probabilidad de que en el quinto volado también caiga águila? _______________

63

En una caja hay cinco pelotas, una verde, una amarilla, una azul, una negra y una roja. Se realizan extracciones de una pelota al azar y se devuelve la misma a

la caja. Si en la primera extracción resulta la pelota roja, en una segunda la verde y en una tercera nuevamente la roja, ¿qué probabilidad hay de sacar la pelota

azul en una cuarta extracción? ________________________________________________

b) En una caja hay cinco pelotas, una verde, una amarilla, una azul, una negra y una roja. Se realizan extracciones de una pelota al azar y se devuelve la misma a la caja. Si en la primera extracción resulta la pelota roja, en una segunda la verde y en una tercera nuevamente la roja, ¿qué probabilidad hay de sacar la pelota azul en una cuarta extracción? ________________________________________________


Se Sugiere ampliar más este ejemplo de lista de cotejo para llevar a cabo la evaluación:

CRITERIO Muy bien Bien Regular nada

Expresa la medida de la probabilidad mediante una fracción común, una expresión

decimal o a través de un porcentaje y formalicen la escala de la probabilidad.

Identifica las características de eventos complementarios, mutuamente excluyentes

e independientes.

Recursos de Apoyo

Marván, Luz María, “Andrea y las fracciones”, libros del rincón, Páginas 50, 52 y 56.

Giral, Carlos Bosch y Gómez, Claudia, Una ventana a la incertidumbre. Libros del rincón.

¿Cuándo dos eventos son mutuamente excluyentes?: http://www.youtube.com/watch?v=kDG889hwsA0

Eventos excluyentes y no excluyentes: http://www.youtube.com/watch?v=ZoR7Qwyb6So

Probabilidad de sucesos independientes: http://www.youtube.com/watch?v=BHTxS4b2dsU&feature=fvst

Cuaderno de prácticas. Escolares: https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxlbmxhY2VtYXQzfGd4OjRjNjc4NmRlYmM3NDk0N2U

http://www.youtube.com/watch?v=kDG889hwsA0

http://www.youtube.com/watch?v=ZoR7Qwyb6So

http://www.youtube.com/watch?v=BHTxS4b2dsU&feature=fvst

https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxlbmxhY2VtYXQzfGd4OjRjNjc4NmRlYmM3NDk0N2U

64


Pensamiento

Matemático


información

Análisis y

representación de

datos.

Diseño de una encuesta o un experimento e

identificación de la población en estudio. Discusión

sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de

datos de una muestra y búsqueda de herramientas

convenientes para su presentación.

8







Calcula y explica el significado del rango y la desviación media.


Una pregunta que se deba responder con datos generalmente se refiere a alguna población, aunque no siempre es fácil decir cuál es la población en cuestión.

Por ejemplo, tómese en cuenta la pregunta: ¿Cuál es el cantante más popular entre los estudiantes de la secundaria? Hay dos posibles poblaciones: ‘Cantantes

populares’, ‘Estudiantes de secundaria’. La manera de clarificar cuál es la población en cuestión es pensar en el experimento: ¿A quiénes hay que preguntar

sobre su cantante favorito? Respuesta: A los estudiantes. Entonces la población en estudio son todos los estudiantes de la secundaria y no los cantantes de

moda. Aclarado esto, se puede diseñar una encuesta pero será difícil preguntar a todos por su cantante favorito. Sólo se preguntará a un subconjunto de todos

los jóvenes; ésta es una muestra. Hay diferentes maneras de elegir la muestra: anunciar que quiénes quieran acudan a responder la pregunta (voluntarios);

preguntarle a personas que tiene uno cerca o a los amigos (Conveniencia); elegir la muestra al azar (conseguir una lista de todos los estudiantes de la secundaria,

asignarles un número y con un dispositivo aleatorio elegir al azar tantos números como se quiere que sea el tamaño de la muestra; se pregunta a los estudiantes

que salieron sorteados) (Aleatorio).

El tipo de presentación de la información depende de los datos que se tengan; puede uno elegir entre gráficas de sectores, gráficas de barras (verticales u

horizontales), pictogramas, histogramas, polígonos de frecuencia. Pero para hacer una presentación también conviene tener una o más medidas de tendencia

central; se puede decir dónde se ubica la media o la mediana y cuál fue el valor más frecuente. Una buena presentación también contiene enunciados valorativos

y conjeturas referentes al contexto al que pertenecen los datos.

Otros ejemplos de preguntas que se pueden plantear son:

¿Cuál es la afición preferida de los estudiantes de esta escuela?

¿Qué materia prefieren los alumnos de secundaria?

65

Intenciones didácticas: Que los alumnos diseñen y lleven a cabo un estudio estadístico, desde la planificación del proceso hasta la presentación de los resultados.

Consigna: Organizados en equipos, planifiquen y lleven a cabo las actividades necesarias para contestar la siguiente pregunta: ¿Cuáles son los deportes

preferidos por los estudiantes de tu escuela?

Pueden aprovechas las redes sociales para aplicar la pregunta.

Observaciones: El hecho de que únicamente se les plantee a los alumnos una pregunta es con la intención de que ellos hagan un trabajo amplio, desde definir

la información que necesitan y cómo obtenerla hasta la presentación de los resultados. Cabe aclarar que esta actividad no es para una sesión de clase, sino

para tres o cuatro. En la primera sólo se integran los equipos y se ponen de acuerdo sobre la información que van a recabar, cómo y cuándo la van a recabar y

de qué manera la van a registrar. Una segunda sesión sería para organizar la información recabada. La tercera sería para hacer la presentación y una cuarta

para analizar algunos resultados. Obviamente no serían sesiones seguidas sino en función del trabajo que los alumnos van realizando.

Es probable que para algunos alumnos la pregunta planteada no sea interesante y hay que dejar abierta la posibilidad de que la cambien.

Es importante comparar los resultados de los diferentes equipos y analizar las ventajas y desventajas de los trabajos realizados, por ejemplo, hay que ver si sólo

recabaron información de una muestra o de toda la población; por qué decidieron una u otra forma de presentar los datos. Se sugiere que las muestras

consideran al menos el 10% de la población.

Intenciones didácticas: Que los alumnos diseñen y lleven a cabo un estudio estadístico, desde la planificación del proceso hasta la presentación de los resultados.

Consigna: Organizados en equipos planifiquen y lleven a cabo las actividades necesarias para contestar la siguiente pregunta: ¿Cuál fue el comportamiento del

peso frente al dólar a lo largo del mes?


Ejemplo de lista de cotejo que puede ser utilizado

Criterios Si No Decidir e identificar qué datos es preciso tomar cuando se necesita recoger información para un propósito concreto. Aplicar sencillas técnicas de recogida de datos y hacer recuentos sistemáticos en el caso de que el número de datos sea reducido Interpretar y elaborar sencillas tablas de datos eligiendo formas expresivas de representación y realizándolas con pulcritud y precisión.

Recursos de Apoyo

Marván, Luz María, “Andrea y las fracciones”, libros del rincón, Páginas 50, 52 y 56.

Giral, Carlos Bosch y Gómez, Claudia, Una ventana a la incertidumbre. Libros del rincón.

Puede recurrir a la siguiente página donde pueden encontrar más problemas (elaborado por el Tecnológico de Monterrey):

http://www.cca.org.mx/profesores/reactivos_enlace/index.html

Secundaria Matemáticas I, II y III - wmvr.orgwmvr.org/libros/MATEMÁTICAS 123 BLOQUE 1.pdf · En...

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