Bloque 1 Libro Conecta Secundaria

BLOQUE

118

Aprendizajes esperados

Resuelve problemas que implican el uso de las leyes de los exponentes y de la notacin cientfica.

Resuelve problemas que impliquen calcular el rea y el permetro del crculo. Resuelve problemas que implican el clculo de porcentajes o de cualquier

trmino de la relacin: Porcentaje = cantidad base tasa. Inclusive problemas que requieren de procedimientos recursivos.

Compara cualitativamente la probabilidad de eventos simples.

Hace cinco siglos, en 1500, haba sobre la Tierra 500millones de personas: la poblacin tard tres siglos en duplicarse; en 1800 ya haba casi mil millones de seres humanos. En 1900 haba aproximadamente 1 650 millones.

A partir de ah la poblacin humana mundial ha crecido (y sigue creciendo) a una velocidad increble, como se representa en la grfica:

1500

500

1 000

7 000

1800 2011

Fuente: Departamento de Asuntos Econmicos y

Sociales. Divisin de Poblacin. ONU

S-COM_MAT2-B1-018-029C.indd 18 3/5/13 11:50 AM

19

Trabajen en equipo. Lean la informacin, disctanla y planteen cmo responder cada pregunta. Tomen en cuenta lo que estudiaron en primaria y en el grado anterior. Tambin pueden consultar Internet o un libro; lo importante es recordar y compartir los conocimientos matemticos que poseen.

a) Supongamos que la poblacin se duplica cada 150 aos. Por qu nmero se tendra que multiplicar la poblacin de 2011 para calcular la que habr dentro de 600 aos? Y dentro de 1 200 aos?

b) Se calcula que China cuenta con 19% de la poblacin mundial. Cul es la po-blacin de China?

c) Si la poblacin mundial menor de quince aos es aproximadamente 1 900 000 000de personas, a qu porcentaje corresponde?

d) Si la poblacin creciera 2% cada ao, cuntos aos tardara para duplicarse? e) Una de las razones del aumento poblacional es que la esperanza de vida ha au-

mentado. La esperanza de vida es la media de la cantidad de aos que vive una determinada poblacin en un periodo de tiempo. Qu significa que la esperan-za de vida de una poblacin sea de 70 aos?


Juegos y retos

20

Los frijoles saltarines

Los frijoles saltarines es un juego cuya finalidad es multiplicar nmeros enteros. Se jue-ga en grupos de dos o tres personas. Cada uno deber elaborar dos dados de cartulina a partir de los siguientes desarrollos.

Dado 1 Dado 2

Tambin se le pueden colocar etiquetas en las caras a dados comunes, con los nmeros, signos y colores correspondientes.

Cada jugador necesitar un tablero de 25 casillas como el siguiente.

Cada jugador usar dos frijoles: uno rojo y uno negro, que pueden sustituir-se por dos fichas como las de la izquierda.

Reglas

1. Al iniciar la partida el jugador coloca sus frijoles en el cuadro de salida, marcado con S en el tablero. El frijol rojo avanza con saltos de tres en tres casillas, y el negro, de dos en dos.

2. Cada participante, por turnos, lanza los dados, cuyo significado es el siguiente.

Dado 1. Los signos + indican que el frijol debe saltar hacia la derecha, los signos , que lo har hacia la izquierda.

Dado 2. Los nmeros indican cuntos saltos da el frijol. Si el signo del nmero es + se respeta la direccin del salto que seala el dado, si es se salta en sentido con-trario al que indica el dado 1.

3. El jugador decide qu frijol avanza en cada tirada despus de lanzar los dados.

4. Gana quien coloque sus frijoles a cinco, diez o quince casillas entre s.

5. Si los frijoles no pueden avanzar, se pierde el turno.

Recuerda

Los nmeros enteros son cualquiera de estos:

Los negativos: 1, 2, 3, 4, 5, etctera.

Los positivos: 1, 2, 3, 4, 5, etctera.

El cero.

++

+

2

3 1 +3+1

+2

S

3 2


21

Analicemos cmo jugaron Claudia y Antonio.

Primero tir Claudia y le sali +1 . El signo del dado 1 indica salto a la izquierda, y el +1 del dado 2, un salto. Claudia movi el frijol negro, que salta de dos en dos.

Antonio tir los dados y obtuvo + 3 . El signo + del dado 1 significa avance a la dere-cha, y el 3 del dado 2, tres saltos, pero como tiene signo , cambia el sentido de estos. El joven escogi el frijol rojo.

En su segundo tiro Claudia obtuvo 1 . El signo del dado 1 seala avance a la iz-quierda, pero como sali 1 en el dado 2, cambia el sentido, es decir, el salto es a la de-recha. La joven movi el frijol rojo.

Como los frijoles de Claudia quedaron a cinco saltos de distancia, ella gan el juego.

Formen grupos de dos o tres integrantes y jueguen a los frijoles saltarines.

Efecta lo siguiente para mejorar tu habilidad en el juego.

a) Explica en qu casos los frijoles avanzan a la derecha y en cules, a la izquierda.

b) Si tus frijoles estn como en el dibujo y cae 3 , qu frijol moveras? Por qu?

PISTAS Y ESTRATEGIAS

S3

2

S2

3

32

S 32

S3 2

R. T. Avanzan a la derecha cuando los dados 1 y 2 tienen signos iguales; a la

izquierda, en caso contrario.

El frijol rojo, para que quede a cinco saltos de distancia del negro.


22

Leccin 1

PREGUNTA INICIAL

Multiplicacin de nmeros con signo I

Cul es el resultado de 4 + (4) + (4) y cmo se expresa mediante multiplicacin?

1 Representa los desplazamientos de cada frijol mediante adiciones de sumandos iguales y anota el resultado para saber cuntas casillas se desplaza cada frijol y en qu sentido.

Indica los desplazamientos a la derecha con nmeros positivos y a la izquierda, con nmeros negativos.

a) Dado 1 Frijol Dado 2 b) Dado 1 Frijol Dado 2 + 2 +3 3 +3

Contesta.

i) En qu caso los sumandos tuvieron signos positivos?

Qu determin que los sumandos tuvieran signos positivos?

ii) En qu caso los sumandos tuvieron signos negativos?

Qu determin que los sumandos tuvieran signos negativos?

iii) En qu caso la suma es una multiplicacin de dos nmeros con signo positivo?

Por qu?

iv) En qu caso la suma es una multiplicacin de un nmero con signo positivo y

uno con signo negativo? Por qu?

2 Analiza lo siguiente y haz lo que se pide.

Cuando el segundo dado es verde, el desplazamiento del frijol cambia de sentido, por lo que se cambian los signos y se efecta una sustraccin de nmeros iguales.

Representa los desplazamientos de cada frijol mediante sustracciones de nmeros iguales y anota el resultado para saber cuntas casillas se desplaza cada frijol y en qu sentido.

a) Dado 1 Frijol Dado 2 b) Dado 1 Frijol Dado 2 3 2 + 2 3

de nuevoel juego

Recuerda

Restar un nmero negativo es lo mismo que sumar uno positivo del mismo valor absoluto. Por ejemplo: 3 (4) = 3 + 4

2 + 2 + 2 = 6 3 3 3 = 9

En el caso a).

En el caso a).

En el caso b).

R. T. Porque se repite un sumando positivo.

(3) (3) = 6 2 2 2 = 6

R. T. Porque se repite un

El signo + en los

El signo + en el

dos dados.

primer dado y el signo en el segundo.

sumando negativo.


23

Eje: Sentido numrico y pensamiento algebraicoTema: Problemas multiplicativos

Resolucin de multiplicaciones y divisiones con nmeros enteros

Contesta. i) En qu caso el desplazamiento fue a la derecha?

Qu determin que el desplazamiento fuera a la derecha?

ii) En qu casos los desplazamientos fueron a la izquierda?

Qu determin que el desplazamiento fuera a la izquierda?

3 En tu cuaderno, resuelve las adiciones y sustracciones en rectas numricas. Despus, anota las multiplicaciones y los resultados.

a) (1) + (1) + (1) Multiplicacin:

b) 3 3 3 3 Multiplicacin:

c) (2) (2) (2) Multiplicacin:

Contesta en tu cuaderno. Despus discutan sus respuestas en grupo.d) Qu indica una multiplicacin de un nmero negativo y uno positivo? e) Qu indica una multiplicacin de un nmero positivo por uno negativo?f) Qu indica una multiplicacin de un nmero negativo por otro negativo?

4 Contesta en tu cuaderno, de acuerdo con las reglas de los frijoles saltarines.

a) Si el dado 1 muestra cara azul y el 2, verde, hacia qu lado avanza el frijol? b) Si el dado 1 indica cara verde y el 2, azul, hacia qu lado avanza el frijol? c) Si el dado 1 muestra cara azul, qu debe suceder con el 2 para que el frijol avance

hacia la derecha?d) Si el dado 1 muestra cara verde, qu debe suceder con el 2 para que el frijol avance

hacia la derecha?

5 Completa la tabla como en el ejemplo y contesta.

Color de la cara del dado 1 Color de la cara del dado 2 Avance hacia la

derecha

a) En qu casos se avanza hacia la derecha?

b) Y hacia la izquierda?

6 Comenta con un compaero la respuesta de la pregunta inicial. Determinen los distintos casos de una multiplicacin con nmeros del mismo signo y cmo pueden representarse con adiciones o sustracciones de nmeros iguales.

En el caso a).

Solo en el caso b).

1 3 = 3

2 (3) = 6

izquierda

izquierda

derecha

R. T. Cuando los colores (signos) son

R. T. Cuando los colores (signos) son diferentes.

R. T. Que los

R. T. Que los

signos son iguales.

signos son diferentes.

3 4 = 12

iguales.


24

Leccin 2

PREGUNTA INICIAL

Multiplicacin de nmeros con signo II

Cul es el resultado de multiplicar un nmero distinto de cero por 1?

1 Completa las sucesiones y anota cmo cambia cada una.

a) 20, 15, 10, , , 5, 10, , 20 La sucesin

b) 20, 16, , 8, , , 4, , 12 La sucesin

2 Relaciona las sucesiones anteriores con las multiplicaciones de las tablas y anota los resultados que faltan como en los ejemplos. Pon atencin en los signos.

+4 +3 +2 +1 0 1 2 3 4

+5 20

+5 +4 +3 +2 1 0 1 2 3

4 20

3 Toma en cuenta las actividades 1 y 2, y contesta. Justifica tus respuestas.

a) Cul es la relacin entre la sucesin a) de la actividad 1 y la tabla a) de la actividad 2?

b) Cul es la relacin entre la sucesin b) de la actividad 1 y la tabla b) de la actividad 2?

c) Si se multiplica un nmero por 5 y el resultado es negativo, cul es el signo del factor?

d) Si se multiplica un nmero por 4 y el resultado es positivo, cul es el signo del factor?

e) Si se multiplica un nmero por 4 y el resultado es negativo, cul es el signo del factor?

Comenten en grupo sus respuestas. Justifiquen cul es el signo del producto de un nmero positivo por un negativo y de uno negativo por uno positivo.

a)

b)

12 4 0 8

5 0 15 disminuye de

aumenta de

5 en 5.

4 en 4.

En ambas las cantidades disminuyen de 5 en 5.

En ambas las cantidades aumentan de 4 en 4.

Es de signo negativo.

Es de signo negativo.

Es de signo positivo.

20 15 10 5 0 5 10 15

16 12 8 4 0 4 8 12


25



4 Resuelve las multiplicaciones y contesta. Justifica tus respuestas.

(3) 2 = (3) (3) = (3) 1 =

(3) 0 = (3) (1) = (3) (2) =

a) Qu significa que 3 se multiplique por un nmero positivo?

b) Qu significa que 3 se multiplique por un nmero negativo?

c) Cul es el signo del producto de un nmero negativo por uno positivo?

d) Cul es el signo del producto de dos nmeros negativos?

5 Completa las multiplicaciones y responde.

a) De arriba hacia abajo, cmo van cambiando los

productos de la tabla A?

b) De arriba hacia abajo, cmo van cambiando los

productos de la tabla B?

c) Qu tienen en comn las multiplicaciones de las tablas?

d) Si se contina la tarea matemtica en ambas tablas, las multiplicaciones tendrn

productos iguales? Por qu?

e) Elabora en tu cuaderno dos tablas para mostrar que 7 (2) = (2) (7). Compralas en grupo y argumenten por qu este resultado es cierto y discutan si la multiplicacin con nmeros negativos cumple la propiedad conmutativa.

6 Completa la tabla a partir de las operaciones que has efectuado.

Signos de los factores Signo del producto

+ + =

+ =

+ =

= +

7 Comenten en grupo la respuesta a la pregunta inicial. Expliquen cmo es el signo y el valor absoluto del producto de multiplicar un nmero distinto de 0 por 1

Tabla A Tabla B

7 1 = 1 7 =

7 0 = 0 7 =

7 (1) = (1) 7 =

7 (2) = (2) 7 =

Es una adicin

Es una sustraccin

0 3

6 9 36

de tantos 3 como el valor del nmero positivo.

de tantos 3 como el valor absoluto del nmero negativo.

Signo negativo.

Signo positivo.

Disminuyen de 7 en 7.

7

0

714

7

0

714

Tambin disminuyen de 7 en 7.

Todas tienen como

factor a 7.

S R. T. Porque ambos productos

comienzan en 7 y disminuyen de igual manera.

+


26

Leccin 3

PREGUNTA INICIAL

Divisin de nmeros con signo

Qu nmero multiplicado por 3 da 6?

1 Efecta lo que se pide. Responde y justifica en tu cuaderno.

a) Claudia y Antonio siguen jugando a los frijoles saltarines. Claudia tiene la siguiente posicin en su tablero y le corresponde tirar.

i) Si se mueve el frijol negro hacia la izquierda, es posible ganar el juego? Explica tu respuesta.

ii) Si se mueve el frijol negro hacia la derecha, es posible ganar el juego? Explica tu respuesta.

iii) Escribe las dos multiplicaciones que corresponden al movimiento con el que se puede ganar si se mueve el frijol negro.

Multiplicacin 1: Multiplicacin 2:

iv) Cuntas casillas hay que mover el frijol negro para ganar el juego? v) Divide ese nmero entre 2, qu indica el resultado? vi) Escribe las dos multiplicaciones que corresponden al movimiento con el que se

puede ganar si se mueve el frijol rojo.

Multiplicacin 1: Multiplicacin 2:

vii) Cuntas casillas hay que mover el frijol rojo para ganar el juego? v) Divide ese nmero entre 3, qu indica el resultado?

b) Explica en tu cuaderno cmo se relaciona con una multiplicacin el resultado de la divisin 30 6.

c) Explica en tu cuaderno cmo se relaciona con una multiplicacin el resultado de la divisin (16) 4.

Compara tu respuesta con tus compaeros. Argumenten y lleguen a una conclusin acerca de la relacin entre una multiplicacin y una divisin.

2 Considera que c a b y escribe los siguientes resultados.

c a = y c b =

3 Completa las expresiones y contesta.

a) 56 (7) = porque 7 = 56

Cul es el signo del cociente de la divisin? Por qu?

S 32

-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 3

3 (2)

3 2

2 (3)

b

Negativo Porque al

a

8 8

multiplicarlo por el divisor, que es negativo, el producto debe ser positivo.


27



b) 27 (9) = porque 9 = 27


c) 35 5 = porque =


4 Resuelve las divisiones y contesta.

a) 20 4 = b) 28 4 = c) 56 7 = d) 72 9 =

e) 20 4 = f) 28 7 = g) 56 7 = h) 72 9 =

i) 20 (4) = j) 28 (7) = k) 56 (7) = l) 72 (9) =

m) 20 (4) = n) 28 (4) = ) 56 (7) = o) 72 (9) =

p) Si se divide un nmero negativo entre un nmero positivo, cul es el signo del co-

ciente? Por qu?

q) Si se divide un nmero positivo entre un nmero negativo, cul es el signo del co-

ciente? Por qu?

r) Si se divide un nmero negativo entre otro negativo, cul es el signo del cociente?

Por qu?

5 Escribe una conclusin en el cuaderno respecto a la divisin de nmeros con signo. Utiliza esta conclusin para completar la tabla.

Signo del dividendo Signo del divisor Signo del cociente

+ + =

+ =

+ =

=

6 Compara tus respuestas con las de tus compaeros de grupo y determinen cules son correctas.

7 Revisen en grupo sus respuestas de la pregunta inicial y determinen cual es la correcta. Comenten las estrategias que siguieron para hallar el valor absoluto y el signo del nmero.

3

Positivo.

Negativo.

7 5 (7) 35

Porque al

Porque al

3

multiplicarse por el divisor, que es negativo, debe obtenerse un resultado negativo.

multiplicarse por el divisor, que es positivo, debe obtenerse un resultado negativo.

5

5 4

5

5

4

4

8

8 8

7 8 8

8

8 8

Negativo.

Positivo.

Positivo.

R. P.

R. P.

R. P.

+

+


28

Leccin 4

PREGUNTA INICIAL

Problemas de multiplicacin y divisin de nmeros con signo

Juan sum 5 a un nmero y multiplic el resultado por 2; obtuvo 12. Qu nmero era?

1 Contesta.

a) Anota tres nmeros con los que se obtenga un resultado con signo negativo cuando dividen a 32.

Qu caractersticas deben cumplir estos nmeros?

b) Anota tres nmeros con los que se obtenga un resultado con signo positivo cuando

dividen a 40.

Qu caractersticas deben cumplir estos nmeros?

c) Escribe dos divisiones cuyo resultado sea 1.

Qu caractersticas deben cumplir el dividendo y el divisor para que el cociente sea 1?

d) Escribe tres multiplicaciones cuyo producto sea 24.

Qu caractersticas deben cumplir los signos de los factores en las multiplicaciones anteriores? Por qu?

e) Anota dos multiplicaciones cuyo producto sea 1. Utiliza solo nmeros enteros.

Son las nicas multiplicaciones posibles? Por qu?

f) Escribe tres multiplicaciones cuyo producto sea 49. Utiliza solo nmeros enteros.

R. T.

32 8 4 R. T. Deben ser negativos.

R. T.

5 8 4

R. T. Deben ser positivos.

R. T.

5 (5) 7 7

R. T. Deben ser nmeros opuestos, es decir, de signos contrarios y a la misma

distancia del cero.

8 (3) 6 4 12 (2)

Uno positivo, el otro negativo R. T.

Para que el producto sea negativo.

1 (1) 1 1 S. Porque 1 es el

nico divisor de 1.

7 (7) 49 1 49 (1)

R. T.


29


Resolucin de multiplicaciones y divisiones con nmeros enteros.

Salvo por el orden de los factores, son las nicas multiplicaciones posibles?

Por qu?

g) Escribe cuatro multiplicaciones cuyo resultado sea 0.

Qu caractersticas cumplen los factores de una multiplicacin cuyo producto es 0?

Comenten en grupo sus respuestas y explquenlas.

2 Lee el siguiente texto sobre los grados Fahrenheit.

El grado Fahrenheit es la unidad de medida de temperatura que se utiliza en algunos pases de habla inglesa.

Para convertir grados Fahrenheit en centgrados se utiliza la frmula

C = 59 (F 32),

donde F representa los grados Fahrenheit. Por ejemplo, para convertir 20 F (20 grados Fahrenheit) en centgrados se hace lo siguiente.

59 (20 32) =

59 =

609 C

a) Expresa en grados centgrados las siguientes temperaturas.

a) 10 F = C b) 8 F = C c) 50 F = C

d) 4 F = C e) 0 F = C f) 7 F = C

b) Contesta con dos o tres compaeros.

i) Qu temperaturas en grados Fahrenheit son menores que 0 C y cules, mayores?

ii) Recuerden el problema del inciso a) de la pgina 19. Cmo lo resolvieron? Pueden hacerlo con la frmula anterior? Discutan las estrategias que siguieron y escojan las mejores. Anoten sus conclusiones en sus cuadernos.

3 Revisen en grupo sus respuestas a la pregunta inicial y pidan a algunos compaeros que expliquen sus procedimientos de solucin.

Recuerda

El smbolo significa aproximadamente igual a.

TIC

Consulta la pgina electrnica www.e-sm. com.mx/ matcom2-029 y efecta las actividades. Elabora un informe en tu cuaderno explicando tu experiencia con las actividades que efectuaste.

S.

Porque 1, 7 y 49 son los nicos divisores de 49.

R. T.

4 0 0 0 0 (5) 5 0

R. T. Al menos uno de los factores es cero.

12 6.667

12.222 13.333 10

15.555 17.778 21.667

Las temperaturas menores que 32 F son menores que 0 C. Las temperaturas mayores que 32 F son mayores que 0 C.


Juegos y retos

Realmente era tan grande la cantidad de trigo que deba entregar el rey?RETO

30

La leyenda del ajedrez

Segn una leyenda, en un antiguo reino de Persia o de la India un sbdito de los ms po-bres, llamado Sissa, llev a su monarca el juego que hoy llamamos ajedrez, que consis-te en 32 piezas, 16 claras y 16 obscuras, sobre un tablero dividido en 64 casillas. El rey pronto aprendi las reglas del juego y le gust ms que ninguno; lo jugaba a todas horas. El ajedrez le agrad tanto que mand llamar a Sissa.

Pdeme lo que quieras le dijo el rey cuando lo tuvo en su presencia. No es necesario que me premies, seor dijo Sissa. Estoy contento por haberte servido.

El rey no poda creer lo que escuchaba. Le pareca imposible que un sbdito tan pobre no deseara nada. Volvi a preguntarle y Sissa volvi a declinar la oferta.

Pdeme algo en recompensa por tu juego o mandar que te corten la cabeza dijo con voz autoritaria el rey.Muy bien, soberano. Ya que insistes tanto, te pedir que me obsequies un grano de trigo por el primer cuadrado del tablero, dos por el segundo, cuatro por el tercero, ocho por el cuarto, 16 por el quinto, 32 por el sexto y as hasta cubrir las 64 casillas del tablero.

Qu dices? grit furioso el rey Puedes pedirme oro, piedras preciosas, poder y lo nico que deseas es un poco de trigo? Muy bien, te dar lo que quieres. Es ms: te dar el doble de lo que pides! Llamen a mis calculistas!

Quince calculistas del rey empezaron a hacer el recuento de los granos de trigo que peda Sissa:

Veamos: un grano por la primera y dos por la segunda son tres; ms cuatro por la ter-cera, son siete; ms ocho por la cuarta son quince, ms

Pasaron varias horas y todava no podan saber cunto trigo haba que dar a Sissa. Sissa regres al otro da y se encontr a un rey absorto.

Los calculistas me han dicho que no puedo cumplir tu deseo. No existe tal cantidad de trigo en el reino, ni siquiera en el mundo! Mucho menos el doble!

El rey, impresionado por la inteligencia de Sissa y por la leccin de humildad que acababa de recibir, nombr al inventor del ajedrez primer consejero real.

Sissa acept complacido el cargo y desde entonces ayud al monarca a gobernar el reino con sabidura y benevolencia.

Leyenda popular


31

Ilusiones pticas

a) Qu ngulo es mayor: el de la izquierda o el de la derecha?

b) Las lneas rojas son paralelas?

Tringulos imposiblesc) Cules de estos tringulos son posibles? Traza en tu cuaderno los que lo sean.

equiltero rectngulo escaleno rectngulo issceles rectngulo equiltero obtusngulo

La leyenda del ajedrezCalcula con un compaero cuntos granos pidi Sissa por las primeras diez casillas. Des-pus calculen cunto pidi solo por la vigsimo sptima casilla y solo por la trigsima. Pueden usar calculadora. Escriban sus conclusiones en sus cuadernos.

Ilusiones pticasComenta en equipo tus observaciones acerca de las figuras anteriores. Propongan m-todos para comprobar si sus respuestas son correctas. Investiguen, si es necesario, la definicin de cuadrado, lneas paralelas, lneas rectas, etctera. Seleccionen el mtodo para comprobar la respuesta que en cada caso les parezca ms adecuada.

Tringulos imposiblesRecuerda las caractersticas de los tringulos que se piden e intenta dibujarlos para des-cubrir cul es imposible.

PISTAS Y ESTRATEGIAS


32

Leccin 5

PREGUNTA INICIAL

Producto de potencias

El resultado de multiplicar dos potencias de la misma base puede expresarse como una potencia?

1 Resuelve el problema.

La velocidad de la luz es 3.0 105 km por segundo. Si la luz del Sol tarda aproximada-mente 5.0 102 segundos en llegar a la Tierra. Cul es la distancia aproximada entre estos dos astros? Anota tu resultado con notacin cientfica.

La distancia es km

Comenta en grupo tu procedimiento de solucin.

2 Analiza la tabla con las potencias de 2, que indican cuntos granos de trigo pidi Sissa por cada una de las primeras casillas del tablero.

20 21 22 23 24 25 26 27

Contesta en tu cuaderno.

a) En qu casilla est el resultado de multiplicar 22 2?

b) En qu casilla est el resultado de multiplicar 22 22?

c) En qu casilla est el resultado de multiplicar 22 23?

d) En qu casilla est el resultado de multiplicar 23 2?

e) En qu casilla est el resultado de multiplicar 23 24?

f) En qu casilla estara la potencia 237?

g) En qu casilla estara el resultado de multiplicar 237 210? Por qu?

h) En qu casilla estara el resultado de multiplicar 2n 2m? Por qu?

i) Escribe un mtodo para multiplicar dos potencias de 2. Despus compralo con los de tus compaeros. Elijan los que son correctos.

3 Contesta.

a) Si se elaborara una tabla como la de la actividad 1, pero con las potencias de 3, en

qu casilla estara el producto 35 37? Cmo lo sabes?

Recuerda

Una potencia es un producto de dos o ms nmeros iguales.

El factor que se repite se llama base.

El nmero de veces que se repite el factor se llama exponente.

a a a = an

n veces

base

an

exponente

Un nmero distinto a cero elevado al exponente 0 es igual a 1.

Una potencia con exponente 1 es igual a su base.

de nuevoel reto

1.5 108

En la 13. R. T. Porque el exponente del producto se obtiene al sumar los exponentes; entonces el

producto es 312, que se ubica en la decimotercera casilla (la primera es para 3

0).


33


Clculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Significado de elevar un nmero natural a una potencia de exponente negativo

b) Si se elaborara una tabla como la de la actividad 1, pero con las potencias de 4, en

qu casilla estara el producto 415 45? Cmo lo sabes?

Comenta en equipo cmo se determina en qu casilla est el producto de los nme-ros que se encuentran en otras casillas.

4 Resuelve las multiplicaciones. Expresa el resultado con una potencia.

a) 34 35 = b) 420 427 = c) 671 681 =

d) 1043 1056 = e) 52 52 = f) an am =

5 Escribe en tu cuaderno una regla para multiplicar dos potencias con la misma base. Comenta en grupo tu regla. Elijan las que sean correctas.

6 Responde en tu cuaderno.

a) Qu significa el exponente 3 en la potencia (32)3? b) Cul es la base en (64)2 con respecto al exponente 2? c) Expresa (64)2 como una multiplicacin iterada de la base que indicaste en el inciso b).d) Desarrolla cada potencia que usaste en el inciso c) y expresa (64)2 como una potencia

de base 6. e) Explica el procedimiento que efectuaste en el inciso d).

7 Expresa las potencias de potencias como una potencia.

a) (32)3 = b) (42)2 =

c) (13)3 = d) (72)3 =

e) (85)3 = f) (an)m =

8 Escribe en tu cuaderno una regla para elevar una potencia y comenta en grupo cmo la obtuviste.

9 Lee de nuevo el problema de la actividad 1 y considera si ahora puedes resolverlo con un procedimiento ms sencillo. Comenta tus conclusiones con tus compaeros de grupo.

10 Lee de nuevo la pregunta del inciso a) de la pgina 19 y contesta con una potencia.

11 Comenta con tus compaeros de grupo la respuesta de la pregunta inicial y justifcala.

El resultado de multiplicar potencias de la misma base es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de los factores. El resultado de elevar una potencia es otra potencia de la misma base y cuyo exponente es el producto del exponente de la potencia original y el exponente a la que se eleva.

En la 21. R. T. El exponente del producto es la suma de los exponentes 15 + 5 = 20. 420, la cual est en la casilla 21.

39

447

6152

1099

54

an + m

32 32 32 = 36 42 42 = 44

13 13 13 = 19 72 72 72 = 76

85 85 85 = 815 anm


34

Leccin 6

PREGUNTA INICIAL

Cociente de potencias

Cules de los siguientes resultados pueden expresarse con una potencia?

52 + 53 (42)3 74 72 63 62

1 Lee el texto y contesta.

El Byte, el kibibyte y el gibibyte son unidades de informacin empleadas en informtica. Un kibibyte son 210 bytes y un gibibyte son 230 bytes.

A cuntos kibibytes equivale un gibibyte? Expresa tu respuesta con una potencia de 2.

Equivale a kibibytes.

2 Contesta en tu cuaderno.

Sissa pidi dos veces ms granos por la segunda casilla que por la primera, dos veces ms granos por la tercera que por la segunda, dos veces ms granos por la cuarta que por la tercera Cuntas veces ms granos pidi por

a) la quinta casilla que por la segunda? Con qu operacin lo calcularas? b) la sexta casilla que por la tercera? Con qu operacin lo calcularas? c) la sptima casilla que por la dcima? Con qu operacin lo calcularas? d) Los nmeros que anotaste en los incisos anteriores son potencias de 2? Por qu?

3 Escribe las potencias que faltan y contesta en tu cuaderno.

a) 32 = 37 Entonces, 37

32 = b) 44 = 48 Entonces, 4

8

44 =

c) 95 = 910 Entonces, 910

95 = d) 35 = 312 Entonces, 3

12

35 =

e) En las divisiones anteriores, cmo se relacionan los exponentes de las potencias que se dividen y el exponente del cociente?

4 Escribe en tu cuaderno una regla para dividir dos potencias con la misma base.

Renete en equipo para explicar y justificar la regla anterior.

5 Resuelve las siguientes divisiones aplicando la regla que anotaste.

a) 22

22 = b) 4646 = c)

5959 =

d) 310

310 = e) 45234523 = f)

amam =

6 Contesta. Lee la informacin y escribe una justificacin en tu cuaderno.

a) Cul es el resultado de dividir un nmero distinto a cero entre s mismo?

Recuerda

Si a y b son distintos a cero y a b = c,

entonces ca = b

y cb = a.

Un kibibyte y un gibibyte son unidades para medir informacin que no deben confundirse con el kilobyte y el gigabyte. Estas ltimas equivalen a mil bytes y un milln de kilobytes, respectivamente.

220

35

35 4

4

44

95

95

37

37

20

40

50

30

450

a0

1


35


Clculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Significado de elevar un nmero natural a una potencia de exponente negativo

7 Escribe en tu cuaderno si la solucin de las divisiones es correcta y por qu.

2325 =

2 2 22 2 2 2 2 =

02 2

2325 =

2 2 22 2 2 2 2 =

12 2

8 Recuerda los granos que pidi Sissa y escribe, en cada caso, una divisin para calcular lo que se pide.

a) Cuntas veces ms granos pidi por la octava casilla que por la quinta?

b) Qu parte de los granos que pidi por la octava casilla son los que pidi por la quinta?

Contesta en tu cuaderno. i) En cul de los casos anteriores la divisin tiene como cociente un nmero

mayor a 1? Por qu? ii) En cul de los casos anteriores la divisin tiene como cociente un nmero

menor a 1? Por qu? iii) Cmo se pueden escribir los cocientes de ambas divisiones usando potencias

de 2?

Discute las respuestas anteriores en equipo. Expongan sus conclusiones ante el grupo.

9 Resuelve las operaciones aplicando la regla que anotaste en la actividad 4.

a) 34

36 = b) 2225 = c)

4347 = d)

5356 =

Los cocientes de las divisiones anteriores son mayores o menores a 1? Por qu?

Expresa los cocientes anteriores con una fraccin simplificada. Cul es el signifi-cado de un exponente negativo?

10 Lee de nuevo la actividad 1 y considera si puedes resolverla con otro procedimiento ms eficiente usando lo que aprendiste en la leccin.

11 Discute en equipo tu respuesta a la pregunta inicial. Justifquenlas.

Si a es cualquier nmero distinto a cero, a0 = 1.

Si a es distinto a cero, an se define como 1an

TIC

Practica producto y cociente de potencias en la pgina www.e-sm.com.mx/ matcom2-035Anota en tu cuaderno los resultados de las actividades y comprubalos con la herramienta que se proporciona en el sitio.

28

25

25

28

32

23

44

53

Menores.

R. T. Porque el denominador es mayor que el numerador.

R. T. El exponente negativo corresponde a dividir

la unidad entre la potencia positiva correspondiente.


36

Leccin 7

PREGUNTA INICIAL

ngulos adyacentes y opuestos por el vrtice

Cul es la suma de las medidas de los ngulos que forman al cortarse las diagonales de cualquier cuadriltero?

1 Lee la situacin y efecta lo que se pide.

En una empresa hicieron un logo rectangular. Establecie-ron que puede tener cualquier tamao, pero siempre debe conservar la medida del ngulo que se muestra en la figura.

De acuerdo con los diseadores del logo, si la medida de AED se conserva los otros ngulos de la figura siempre tendrn la misma medida, sin importar el tamao del logo.

a) Construye en tu cuaderno la figura de distinto tamao, pero conserva la medida de AED. Tambin anota las mismas literales.

b) Anota la medida de los ngulos de tu figura que se indican:

CED = CEB = BEA =

c) Renete en equipo. Comparen las medidas de los ngulos que anotaron en el inciso b). Si hay diferencias revisen sus trazos y sus mediciones.

d) Considera los ngulos AED, CED, CEB y BEA, y contesta.

i) Qu parejas de ngulos tienen la misma medida?

ii) En qu parejas de ngulos sus medidas suman 180?

2 Completa la tabla con las medidas de los ngulos de las figuras. Despus contesta.

Figura1 2 3 4

AED

CED

CEB

BEA

Observa

ABC significa ngulo con vrtice en B, cuyos lados pasan por los puntos A y C.

ABC denota la medida de ABC.

B A

DCFigura 1

E

Figura 2

B A

DC

E

Figura 3

B A

DC

E

Figura 4

B A

DCE

A

B

C

75

B A

DC

E

105 75 105

AED y CEB; CED y BEA. AED y CED; CEB y BEA.

75 86 115 34 105 94 65 146 75 86 115 146 105 94 65 34


37

Eje: Forma, espacio y medidaTema: Figuras y cuerpos

Identificacin de relaciones entre los ngulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificacin de las relaciones entre las medidas de los ngulos interiores de los tringulos y paralelogramos

a) Qu parejas de medidas de ngulos en cada figura son iguales?

b) Qu parejas de medidas de ngulos en cada figura suman 180?

Comenta tus respuestas con tus compaeros. Digan qu regularidades hallaron.

3 Observa los ngulos marcados en la figura y contesta.No efectes mediciones.

a) Qu ngulos son suplementarios?

b) Qu ngulos son suplementarios de 1?

c) Los ngulos que anotaste en el inciso anterior tienen la misma medida?

Por qu?

d) Explica por qu 1 y 3 tienen la misma medida.

Renete en equipo. Justifiquen las explicaciones que anotaron en el inciso d).

4 Escribe tres razones por las cuales las medidas de los ngulos marcados en la figura no pueden ser correctas. No efectes mediciones.

5 En parejas, lee la informacin. Escriban en sus cuadernos qu relacin guardan las medidas de los ngulos adyacentes con los ngulos opuestos por el vrtice.

Cuando dos rectas se cruzan, se forman dos parejas de ngulos opuestos por el vrtice y cuatro parejas de ngulos adyacentes.

Las parejas de ngulos opuestos por el vrtice son:a y c b y d

Las parejas de ngulos adyacentes son: a y b b y cc y d d y a

6 En parejas, revisa de nuevo el reto b) de la pgina 31. Expliquen la solucin en sus cuadernos.

7 Discute con un compaero tu respuesta a la pregunta inicial. Expliquen sus conclusiones empleando los trminos ngulos opuestos y adyacentes.

Observa

a denota la medida del ngulo a.

a

TIC

En www.e-sm.com.mx/ matcom2-037 hallars un video y actividades relacionadas con los ngulos opuestos por el vrtice.Despus, elabora un informe en tu cuaderno indicando lo nuevo que aprendiste.

4550130

128

Recuerda

Los ngulos cuyas medidas suman 180 se llaman suplementarios.

bc

da

de nuevoel reto

1

3

4 2

AED con CEB y CED con BEA.

AED con CED y CEB con BEA.

1 y 2, 2 y 3, 3 y 4, 4 y 1

2 y 4

S.

R. T. Porque ambos suman 180 con la medida de 1. (o con 3).

R. T. Porque ambos son

suplementarios con 2 (o con 4).

R. T. Los ngulos opuestos por el vrtice miden lo mismo.

Los ngulos de 128 y 45 no suman 180 Los ngulos de 130 y 45 no suman 180


38

Leccin 8

PREGUNTA INICIAL

Paralelas cortadas por una transversal

Cuntos ngulos iguales se forman cuando una lnea corta dos paralelas?

1 Recuerda el reto b) de la pgina 31; lleva a cabo lo que se indica y contesta las preguntas en tu cuaderno. Despus compara tus respuestas con las de tus compaeros.

a) Comprueba con una regla que las lneas rojas son rectas.b) Si la medida de ABC es mayor que la de ADE, BC y DE se cruzan al prolongarse?

En qu lado? c) Si la medida de ABC es menor que la de ADE, BC y DE se cruzan al prolongarse?

En qu lado? d) Si la medida de ABC es igual que la de ADE, BC y DE se cruzan al prolongarse?

Son paralelas? e) Marca en la figura los ngulos que deben ser iguales para que las rectas AF y BC

sean paralelas.

2 Efecta lo que se pide.

a) Traza una recta que interseque ambas rectas. Despus, seala dos ngulos que midan lo mismo e indiquen que las rectas son paralelas.

b) Traza una recta que interseque ambas rectas. Despus, seala dos ngulos que cuyas medidas sean distintas e indiquen que las rectas no son paralelas.

Renete en equipo. Comparen sus respuestas de las actividades 1 y 2, y justifquenlas.

Observa

AB significa: recta que pasa por los puntos A y B.

A

B

E

A

C

B

D

Si p1 y p2 son paralelas y t es una transversal, los ngulos a y b miden lo mismo.

Los ngulos a y b son correspondientes.

a

b

t

p2

p1

de nuevoel reto


39



3 Anota las parejas de ngulos correspondientes y opuestos por el vrtice.

Parejas de ngulos correspondientes:

a) 1 y b) 2 y

c) 3 y d) 4 y

Parejas de ngulos opuestos por el vrtice:

e) 1 y f) 2 y

g) 5 y h) 6 y

4 Trabaja en equipo. Contesten las preguntas en sus cuadernos y escriban una definicin de ngulos correspondientes.

a) Los ngulos correspondientes se encuentran del mismo lado que la trasversal? b) Se encuentran dentro de las paralelas, fuera o uno dentro y otro fuera? c) Tienen lados sobre la misma recta?

5 Lee la definicin y contesta en tu cuaderno.

Si p1 y p2 son paralelas, y t es una transversal, los ngulos a y b son alternos internos y los ngulos d y c son alternos externos.

a) Cul es la diferencia entre los ngulos alternos internos y los alternos externos? b) En qu se parecen los ngulos alternos internos y los alternos externos.

6 Anota las parejas de ngulos alternos que se piden y contesta en tu cuaderno.

a) Parejas de ngulos alternos internos:

3 y 4 y

b) Parejas de ngulos alternos externos:

1 y 2 y

s1 y s2 son paralelas.

c) Cmo son las medidas de los ngulos alternos internos?d) Y las de los ngulos alternos externos?

7 Define en tu cuaderno ngulos alternos internos y ngulos alternos externos. Compara tus definiciones con las de tus compaeros. Discutan y redacten la definicin ms completa posible.

8 Revisa en equipo tu repuesta a la pregunta inicial. Justifiquen las relaciones que se dan entre las parejas de ngulos de la misma medida de acuerdo con lo estudiado en la leccin.

TIC

En www.e-sm.com.mx/matcom2-039puedes encontrar ms actividades relacionadas con este tema.Comenta con tus compaeros qu aprendiste al trabajar con las figuras de la pgina.

l1

l2

12

4

56

87

3

541

2

3

8

67

s1s2

a

bc

d

t

p2

p1

l1 y l2 son paralelas.

5 6

7 8

3 4

7 8

5 6

7 8


40

Leccin 9

PREGUNTA INICIAL

ngulos interiores de tringulos

Puede haber un tringulo con dos ngulos rectos?

1 Traza en una hoja un tringulo y haz lo que se pide.

a) Colorea los ngulos interiores de distintos colores.

b) Recorta el tringulo en tres partes de manera que quede un ngulo en cada una.

c) Coloca los ngulos de manera que sean adyacentes, como se aprecia en la figura de la izquierda.

d) Responde.

Cunto suman las medidas de los tres ngulos? e) Verifica qu sucede con los tringulos de tus compaeros. f) Renanse en equipo y discutan si lo anterior sucede para todos los tringulos. En

caso de que crean que no sucede para un tringulo dado, trcenlo en una hoja, repi-tan los pasos de los incisos a), b) y c) y comprueben qu pasa.

2 Examina la figura y contesta.

En el tringulo ABC se traz la recta m, paralela a la base BC. Entonces, m y BC son paralelas.

AB y AC son transversales a las paralelas m y BC.

a) Indica los ngulos interiores del tringulo.

b) Por qu la suma x + CAB + y es 180?

c) Considera las relaciones entre las rectas paralelas y transversales de la figura y expliquen en los recuadros por qu son correctas las siguientes igualdades.

x = ACB y = CBA

d) Con base en lo anterior, explica por qu es correcta la siguiente igualdad.

CAB + CBA + ACB = 180

Observa

AB es el segmento cuyos extremos son los puntos A y B.

AB

A

B C

yxm

180

CAB,ACByCBA,

R.T.Porqueformanmediavuelta.

R.T.Porserngulosalternosinternos. R.T.Porseralternosinternos.

x+CAB+y=180porqueformanunngulollano.

ACB+CAB+CBA=180 porquex=ACByy=CBA.


41



Reunidos en equipos, comparen y expliquen sus respuestas. Comenten si lo anterior puede efectuarse en cualquier tringulo. Expongan sus conclusiones ante el grupo y expliquen cunto suman las medidas de los ngulos interiores de cualquier tringulo.

3 Haz en tu cuaderno lo que se pide.

El segmento HI es paralelo al lado EF y HJ es paralelo a FG.

Muestra, usando la figura, que los ngu-los interiores del tringulo suman 180.

Comenta tu procedimiento con el grupo.

4 Calcula los ngulos que se indican.

a) b)

x = z =

En equipos redacten una explicacin de cmo calcular la medida de un ngulo inte-rior de un tringulo si se conocen las de los otros dos y expnganla en grupo.

5 Observa la figura y explica por qu ACB mide 32.

6 Contesta en tu cuaderno. Justifica tus respuestas.

a) Si los ngulos de un tringulo equiltero son iguales, cunto mide cada uno? b) Los tringulos rectngulos tienen un ngulo recto. Si uno de los ngulos agudos de

un tringulo rectngulo es de 32, cunto mide el otro ngulo agudo?c) Cuntos ngulos obtusos puede tener un tringulo? d) Los tringulos issceles tienen dos ngulos iguales. Si un tringulo rectngulo tam-

bin es issceles, cunto miden sus ngulos?

7 Recuerda el reto d) de la pgina 31. Explica en tu cuaderno por qu algunos tringulos no pueden trazarse. Compara tus respuestas con las de tus compaeros. Lleguen a una conclusin.

8 Revisen y corrijan en equipo sus respuestas a la pregunta inicial. Despus, justifquenla ante el grupo con lo que aprendieron en la leccin.

La suma de las medidas de los ngulos interiores de un tringulo es 180.

TIC

En www.e-sm.com.mx/matcom2-041podrs hacer actividades interactivas relacionadas con la suma de los ngulos interiores de tringulos.Escribe en tu cuaderno una actividad que se pueda realizar con la aplicacin que se proporciona en el sitio.

F

J

EH

G

I

120152

C

B

A

120

26x

5055

z

34 75

R.T.BAC=38porqueformaunngulollanoconotrode152.BAC+ABC=158;entonces,ACB=32.


42

Leccin 10

PREGUNTA INICIAL

ngulos interiores de los cuadrilteros

La suma de los ngulos interiores de un rombo es la misma que la de un cuadrado?

1 En equipos, observen los siguientes cuadrilteros paralelogramos:

Escriban en sus cuadernos qu caractersticas tienen en comn los cuadrilteros paralelogramos. Tengan en cuenta lo siguiente.

a) Qu ngulos son iguales. b) Qu lados son iguales. c) Cunto suman las medidas de todos sus ngulos o parejas de los mismos. d) Qu lados son paralelos o perpendiculares.e) Escriban cules son las caractersticas que definen un paralelogramo. Despus

comprenlas con las de otros equipos y justifiquen cules son correctas.

2 Consulta en un diccionario la palabra colateral. Despus examina la informacin y contesta en tu cuaderno.

a) Anota las parejas de ngulos colaterales externos.b) Escribe cunto suman las medidas de los ngulos

colaterales externos. Explica por qu.c) Anota las parejas de ngulos colaterales internos.d) Escribe cunto suman las medidas de los ngulos

colaterales internos. Explica por qu.

Renanse en equipos y discutan las respuestas anteriores. Determinen cules son correctas.

3 En parejas, tracen en un papel dos paralelogramos iguales y recrtenlos. Investiguen de cuntas maneras pueden formar otro paralelogramo unindolos. Por ejemplo:

Discutan qu caractersticas de los ngulos de los paralelogra-mos son las que permiten hacer este tipo de construcciones.

Comenten sus conclusiones con las otras parejas del grupo.

1

4

32

58

76

Si p1 y p2 son paralelas, y t es una transversal: Los ngulos a y c son colaterales externos. Los ngulos b y d son colaterales internos.

a

bd

c

t

p2

p1


43



4 Observa la figura y contesta en tu cuaderno. Considera la actividad anterior.

a) Si se conoce la medida de C, cmo puede calcularse la medida de A?Por qu?

b) Si se conoce la medida de C, cmo puede calcularse la medida de D? Por qu?c) Si se conoce la medida de A, cmo puede calcularse la medida de B? Por qu?

Compara tus respuestas con las de tus compaeros y, con ayuda de su profesor, determinen las correctas.

5 Observa el paralelogramo y contesta en tu cuaderno.

a) Considerando AD un segmento transversal que corta a los parale-los AB y CD, qu tipo de ngulos son DAB y CDA? Cul es la suma de DAB y CDA? Por qu? Qu otras parejas de ngulos del paralelogramo cumplen con esta propiedad?

b) Cmo son las medidas de B y D? Por qu?

Renete con un compaero y revisen sus respuestas. Despus revisen sus respues-tas en equipo y expongan sus conclusiones ante el grupo.

6 Lee las definiciones y contesta en tu cuaderno.

Los ngulos interiores de un cuadriltero: Se llaman opuestos si no tienen un lado en comn. Se llaman adyacentes si tienen un lado en comn.

a) Cmo son las medidas de los ngulos opuestos de un paralelogramo? b) Cmo son las medidas de los ngulos adyacentes de un paralelogramo?

5 Calcula la medida de los ngulos que se indican en el paralelogramo.

a)

6 Analiza con un compaero la figura y determinencunto suman los ngulos interiores de cualquier cuadriltero. Anoten por qu en sus cuadernos.

7 Comenten en equipo la respuesta de la pregunta inicial. Justifiquen su respuesta en sus cuadernos. Despus, busquen qu caractersticas en comn tienen las medidas de los ngulos de las dos figuras y que los hacen distinguirse como paralelogramos. Tambin determinen qu caractersticas de las medidas de sus lados los distinguen.

TIC

En www.e-sm.com.mx/matcom2-043 hay un video relacionado con la suma de los ngulos interiores de un cuadriltero.Anota en tu cuaderno si el video explica claramente los conceptos de la leccin y por qu o cmo podra mejorarse.

i) EFG =

ii) FGH =

iii) HEF =

A D

B C

F

E

G

H

117

B A

C D

67

117

63

63


44

Leccin 11

PREGUNTA INICIAL

Construccin de tringulos I

Puede trazarse un tringulo cuyos lados midan 18 cm, 9 cm y 8 cm?

1 Resuelve con un compaero el problema.

Supongan que un avin vuela en lnea recta entre tres ciudades. Primero viaja 600 km de la ciudad A a la B; despus vuela 400 km de la B a la C; por ltimo va de la C a la A.

a) Tracen la ruta posible del avin. Representen 100 km con 1 cm.

b) Comparen su construccin geomtrica con la de las otras parejas. Observen que puede haber varias diferentes, pero correctas. Lo importante es que las medidas de los segmentos AB y BC sean las indicadas.

c) Revisen en grupo qu construcciones son correctas. Anoten las diferencias entre ellas.

d) En tu cuaderno, traza junto con tu compaero una construccin con la misma escala que en el inciso a). Supongan que entre A y C hay 500 km.

i) Verifiquen con otras parejas que los tringulos tengan las medidas correctas. ii) Superpongan los tringulos para constatar que sean iguales.

A

B

C

R.T.

R.P.


45


Construccin de tringulos dados ciertos datos. Anlisis de las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones

e) Supongan que entre A y C hay 1 100 km. Intenten trazar en sus cuadernos la trayec-toria que sigui el avin. Comenten con otras parejas qu dificultades enfrentaron. Anoten sus conclusiones.

f) Anota con un compaero tres distancias a las que podran encontrarse A y C.

g) Anoten tres a las que no es posible que se encuentren.

h) Comparen sus respuestas de los incisos f) y g) con las de otras parejas. Determinen cules son correctas.

i) Comenten cul es el rango de distancias entre las que podran encontrarse A y C si A, B y C son los vrtices de un tringulo. Justifiquen su respuesta.

2 En parejas contesten lo siguiente. Justifiquen su respuesta. Despus, comparen las respuestas de todo el grupo y determinen cules son correctas y por qu.

Supongan que D, E y F son los vrtices de una ventana con forma de tringulo. Si la distancia entre D y E es 5 dm y entre E y F, 7 dm, entre qu distancias pueden en-contrarse F y D?

3 En parejas, analicen cada triada de medidas y determinen cules pueden ser las medidas de los lados de un tringulo y subryenlas. Despus comparen sus respuestas con las de sus compaeros y expliquen cmo discriminaron cada triada.

a) 1 cm, 3 cm, 4 cm b) 4 dm, 3 dm, 6 dm c) 8 m, 4 m, 6 m

d) 2 mm, 1 mm, 5 mm e) 16 cm, 12 cm, 25 cm f) 45 m, 65 m, 123 m

g) 43 cm, 25 cm, 17 cm h) 7 m, 12 m, 13 m i) 24 dm, 17 dm, 48 dm

Comenten en grupo sus respuestas; justifquenlas.

4 Revisen en grupo su respuesta a la pregunta inicial. Discutan cul es la forma ms eficiente de hallar la solucin. Despus, anoten en sus cuadernos qu caractersticas deben tener tres longitudes para ser los lados de un tringulo.

R.P.

R.T.

300km 600km 800km

R.T. 1300km 1500km 1800km

R.T.LadistanciaentreAyCdebesermenorque1000km,queeslasumade

lasotrasdosdistancias.Elcaminomscortoentrelosdospuntoseslalnearecta.


46

Leccin 12

PREGUNTA INICIAL

Construccin de tringulos II

Los ngulos interiores de un tringulo miden 40, 30 y 110. Cuntos tringulos dis-tintos con esas medidas pueden trazarse?

1 Trabaja con tres o cuatro compaeros. Efecten lo siguiente.

a) Tracen cada tringulo en una hoja de papel.

i) Un tringulo con un ngulo de 40 y un lado de 7 cm ii) Un tringulo con un lado de 5 cm y otro de 4.5 cm iii) Un tringulo cuyos ngulos midan 90, 40 y 50 iv) Un tringulo con lados de 4 cm y 5 cm que formen un ngulo de 60 v) Un tringulo con lados de 6 cm y 8 cm, y un ngulo de 40. El ngulo no debe ser

el que forman los lados de 6 cm y 8 cm vi) Un tringulo con ngulos de 40 y 50, y un lado de 7 cm. Los ngulos deben tener

como lado el de 7 cm vii) Un tringulo con ngulos de 40 y 50, y un lado de 7 cm. Solamente un ngulo

debe tener como lado el de 7 cm viii) Un tringulo cuyos lados sean de 6 cm, 8 cm y 10 cm

b) Comparen sus tringulos con los de otros equipos. Verifiquen que cumplan las con-diciones de cada caso.

c) Determinen si los tringulos que construyeron en cada caso son iguales a los de sus compaeros recortndolos y superponindolos.

d) En qu casos son iguales?

2 Traza en equipo un tringulo en una hoja. Efecten lo siguiente.

a) Proporcionen el menor nmero de datos (ngulos o lados) necesarios para trazar un tringulo igual.

b) Intercambien sus datos con los de otro equipo y tracen el tringulo.

c) Determinen si el tringulo que trazaron es igual que el del otro equipo. Recuerden que dos tringulos son iguales si pueden superponerse.

d) Expliquen si los datos que les dieron fueron suficientes o excesivos.

e) Repitan la actividad con otros datos.

Dados ciertas condiciones o datos, a veces es posible construir varios tringulos que las cumplan. Por ejemplo, si se proporciona solo la medida de dos lados, es posible construir muchos tringulos diferentes con dos lados que midan lo que se pide.

Enloscasosiv),vi)yviii).


47


Construccin de tringulos dados ciertos datos. Anlisis de las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones

3 Trabajen en equipo. Subrayen los datos que son suficientes para trazar otro tringulo igual. En caso de que no lo sean, tracen en una hoja un tringulo que cumpla con ellos pero que sea distinto al trazado.

a) Lados AB y BCb) Lados AB y BC, y ACc) Lados AB y BC, y Cd) Lados AB y BC, y Be) Lado AB, y la medida de dos ngulos sin definir dnde estnf) Lado AB, A y Bg) A, B y C

Comparen sus respuestas con las de otros equipos. Determinen, con ayuda del pro-fesor, cules son correctas.

4 Anoten qu condiciones son suficientes para trazar un tringulo.

5 Revisen sus respuestas a la pregunta inicial. Comenten qu otros datos son necesarios para que solo se pudiera trazar un tringulo.

99

60

5 cm8.5 cm

10.5 cm21

C

BA

a)Lostreslados

b)Dosladosyelngulocomprendidoentreellos

c)Dosngulosyelladocomnaambos


Juegos y retos

48

Juego de dardos

Juega tres rondas con dos compaeros. En cada una, dos de ustedes sern los compe-tidores, mientras que el otro cumplir la funcin de juez de lnea.

a) Tracen en una cartulina el siguiente dibujo, que servir como diana.

b) Coloquen el dibujo en la pared.

c) En lugar de dardos, usen tejas pequeas de papel hmedo del mismo tamao.

d) Elijan una distancia mnima desde donde lanzar la teja; por ejemplo, pueden ser 5 m.

e) Cada uno deber hacer tres tiros seguidos y sumar los puntos segn donde caiga la teja, de acuerdo con la tabla. En su dibujo, anoten las reas y el puntaje de cada zona.

Zona rea (cm2) Puntaje

1 2 250 58.44

2 675 17.53

3 450 11.7

4 375 9.74

5 100 2.6

f) Si la teja queda entre dos o tres zonas, o en los bordes del dibujo, el juez de lnea decidir a qu zona corresponde.

En qu zona te conviene acertar el tiro? Por qu?

20 cm 20 cm10 cm 10 cm 10 cm

5 cm

5 cm

30 cm

15 cm


49

Hagan una diana con el siguiente rectngulo: divdanlo en tres zonas con reas de distinta magnitud, numrenlas de 1 a 3 y anoten en ellas el porcentaje del rea total que representa cada una.

Jueguen nueve rondas de dardos y registren en la tabla el nmero de veces que atinen en cada zona.

Nmero de aciertos por persona

zona

nombre 1 2 3

suma

Comparen sus resultados con los de sus compaeros. Registren, con ayuda del profesor, los aciertos por zona de todo el grupo.

En qu zonas acertaron ms y en cul menos?A qu se debe que en algunas zonas se acierte con ms frecuencia que en otras? Por qu el puntaje de cada zona es distinto? Qu zonas son las que tienen ms valor?

Los dobleces de un papel

Toma un papel y dblalo por la mitad, luego dblalo de nuevo y vuelve a doblarlo. Cuntas veces puedes hacerlo?

Lo ms probable es que no puedas doblarlo ms de seis veces, sin importar el tamao de la hoja que utilices.

R. P.


50

Leccin 13

PREGUNTA INICIAL

rea de figuras compuestas I

La figura representa el diseo de una bandera de un equipo de bisbol. Cmo calcularas cunta tela de cada color se necesita para elaborarla?

1 Halla las reas que se indican.

Un invernadero est dividido en cinco zonas y un pasillo.

a) zona I: m2

b) zona II: m2

c) zona III: m2

d) zona IV: m2

e) zona V: m2

f) pasillo: m2

En el piso del pasillo se pondrn losetas de 1 dm2. Sin tener en cuenta el desperdicio, cuntas losetas se requieren?

Se requieren losetas.

Compara tus respuestas con las de tus compaeros. Corrijan, si es necesario, y comenten las estrategias que siguieron para calcular las reas.

2 Resuelve los problemas.

a) Cul es el rea de la superficie pintada de rojo?

El rea es cm2.

5 dm

10 dm

III

Pasillo

1 m

1 m

IV

II

I

V

60 cm

30 cm30 cm

50 cm

25 cm

7.5

7.5

12.75

7

6

16.25

1 625

375


51

Eje: Forma, espacio y medidaTema: Medida

Resolucin de problemas que impliquen el clculo de reas de figuras compuestas, incluyendo reas laterales y totales de prismas y pirmides

b) La figura representa la pared trasera de una fbrica. Calcula cunto costar pintarla si el metro cuadrado cuesta $32.00.

Costar $ .

Renete con un compaero. Comparen sus respuestas y, si es necesario, corrijan sus errores. Comenten las estrategias que usaron. Respondan estas preguntas en sus cuadernos.

i) Qu frmulas conocidas para calcular rea emplearon? ii) En qu casos tuvieron que sumar reas? iii) En qu casos tuvieron que restar reas?

3 Resuelve el problema

Un artesano elabora llaveros de metal con forma de letra; necesita saber el costo del material. Calcula el rea de las letras; las medidas estn en centmetros.

A = A = A =

Comenta con tus compaeros cmo dividiste las figuras anteriores para calcular sus reas.

4 Explica por qu los tringulos ABC y ABD tienen la misma rea.

Traza un tringulo con la misma rea que los anteriores.

5 Revisa la diana de la pgina 48 y comenta en equipo cmo se calcul cada rea.

6 Comenta con tus compaeros la respuesta a la pregunta inicial. Determinen qu estrategias son correctas y expliquen por qu.

8.3 m

9.6 m

5.4 m 7.8 m

4.2 m

A CB D8.5 m 4 m 11.8 m 3.6 m

2

2 6

2 2 2 2

62

422

2

3

3

42 2

A B

DC

6 577.76

32 cm2 20 cm

2 24 cm

2


52

Leccin 14

PREGUNTA INICIAL

rea de figuras compuestas II

Una alberca tiene la forma que se muestra en la figura. Qu medidas necesitaras para calcular su rea?

1 Lee la situacin, analiza la figura y haz lo que se indica.

Mariana es la encargada de hacer el vitral que se representa en la figura de la izquierda. Si el marco es cuadrado y mide 70 cm por lado, cunto vidrio de color morado y transparente necesita Mariana?

Busca, con tres o cuatro compaeros, mtodos para encon-trar el rea de la figura.

Comparen sus procedimientos con los de sus compae-ros. Elijan los mejores.

Calculen el rea de la figura. Tengan en cuenta lo que saben sobre las relaciones entre el rea de dos crculos.

Para calcular el rea de algunas figuras a veces es necesario identificar si estn forma-das por la adicin o sustraccin de otras.

2 Las figuras representan distintos vitrales. Calcula las reas que se piden.

I II III

a) Si conocieras el lado del cuadrado, cmo calcularas el rea de la superficie anaran-

jada de la figura II?

b) Y la de la superficie anaranjada de la figura III?

c) Si conocieras el rea de la parte anaranjada de la figura III, cmo calculas el rea

de la parte anaranjada de la figura I?

R. T. Calculara el rea el cuadrado y le restara el rea del

cuarto de crculo.

R. T. Al rea anterior le restara el

rea de medio cuadrado.

R. T. Al multiplicar por dos el rea

anaranjada de la figura III.


53



3 Calcula las medidas de las superficies coloreadas. Mide las figuras.

a) b)

A = A =

c) d)

A = A =

i) Qu medidas necesitaste conocer para calcular el rea de los crculos?

ii) En qu casos necesitaste hallar el centro de un crculo?

Cmo lo hiciste?

iii) En qu casos calculaste reas de solo una parte de un crculo?

Cmo determinaste qu parte del rea del crculo era necesario calcular?

Compara las estrategias que usaste para calcular el rea de las figuras con las de tus compaeros. Determinen cules son correctas.

4 Compara tu estrategia para calcular el rea de la figura de la pregunta inicial con las de tus compaeros. Elijan las correctas.

15.60 cm2 11.44 cm

2

14.2 cm2 25.9 cm

2

Los

radios o los dimetros.

R. P.

R. P.

R. P.

R. P.


54

Leccin 15

PREGUNTA INICIAL

rea total y lateral de prismas y pirmides I

Con una hoja de aluminio se elabor un cubo de 1 dm de arista. Cunto material se utiliz en total sin tomar en cuenta las pestaas?

1 Lee la situacin y contesta.

Julieta tiene un rollo de plstico auto adherible cuyas dimensiones son 45 cm de ancho por 2 m de largo. Con este tiene que cubrir cada cara de la caja que se muestra.

a) Es suficiente la cantidad de plstico que tiene Julieta? Justifica tu respuesta.

b) Compara tu procedimiento con el de un compaero. Respondan lo siguiente.

Le sobrar o le faltar material a Julieta?

2 Observa el desarrollo plano y contesta.

a) Es posible cubrir la caja que se construir con la cantidad de plstico que tiene

Julieta? Justifica tu respuesta.

b) Renete con un compaero. Comparen los procedimientos que efectuaron para determinar el rea en las situaciones de las actividades 1 y 2. Comenten cules fue-ron sus dificultades y validen las respuestas con el profesor.

30 cm

30 cm

60 cm

12 cm

16 cm

R. T. Julieta tiene la cantidad suficiente de plstico, pues la caja

tiene 9 000 cm2 de rea, que es la misma cantidad que tiene de plstico.

No le sobrar ni le faltar,

suponiendo que no hay desperdicio de material.

R. T. S, porque tiene la misma base que la caja

anterior, pero menor altura.


55



3 Renete con un compaero. Analicen los desarrollos planos y respondan.

a) Escriban cmo calcular el rea de los desarrollos planos A y B de abajo.

b) Comenten cmo calcular el rea de los desarrollos planos sin tener en cuenta las bases de cada cuerpo.

c) Comparen en grupo sus conclusiones y valdenlas con el profesor.d) Completen la tabla. Tengan en cuenta que el rea lateral es el rea total sin consi-

derar las bases.

Cuerpo Nombre rea lateral rea totalAB

Desarrollo A

Desarrollo B

Anoten en sus cuadernos los procedimientos que efectuaron para calcular las reas totales y laterales de cada cuerpo geomtrico. Revisen en grupo los valores que obtuvieron en la tabla.

4 Comenta en grupo tu respuesta a la pregunta inicial. Determinen cul es la relacin del problema con el rea total o lateral.

20 cm

27 cm10 cm

2.7 cm

5 cm

4.3 cm10 cm

R. P.

R. P.

Prisma pentagonal 200 cm2 254 cm

2

Pirmide hexagonal 150 cm2 2 14.5 cm

2


56

Leccin 16

PREGUNTA INICIAL

rea total y lateral de prismas y pirmides II

En una unidad habitacional tienen una escultura piramidal como la de la siguiente figura: El administrador de la unidad tiene encargado pintar la pirmide y necesita saber cuntos metros cuadrados tiene de superficie. Si todas las caras son tringulos de 5 m de base y 4.3 m de altura, cul es el rea?

1 Observa los cuerpos y contesta.

En la fbrica CartoPack tienen estos dos modelos de caja para venta.

rea total: rea total:

Modelo A Modelo B

a) En cul de los dos modelos se utiliza menos cantidad de cartn para construirlo?

b) El gerente de empaque y embalaje le coment al director que si utiliza una caja c-bica de 10 cm de arista se podra ahorrar ms material. Es cierto lo que afirma el gerente? Explcalo.

c) En CartoPack tambin manufacturan cajas sin tapa, como los modelos C y D.

rea total: rea total:

Modelo C Modelo D

d) Qu caja requiere menos material para su construccin? Explica cmo lo

calculaste.

Compara tus procedimientos con tus compaeros y corrijan lo que consideren nece-sario. Validen las respuestas con apoyo del profesor.

15 cm

8.3 cm

8 cm

7 cm7 cm

20 cm

8 cm

20 cm

10 cm

15 cm

6.9 cm

8 cm

658 cm2 960 cm

2

En el modelo A.

R. T. S, porque utilizara menos material y tendra mayor capacidad.

1 072.4 cm2 885.6 cm

2

La D.

R. P.


57



2 Contesta lo siguiente.

a) Azucena adquiri en CartoPack las cajas modelo E y F, como las que se muestran, y quiere decorarlas con papel auto adherible.

rea total:

rea total:

Modelo E Modelo F

i) Si tiene un rollo de 45 cm de ancho por 90 m de largo. Es suficiente para forrar

las dos cajas que se muestran? Explica qu procedimiento empleaste

para saberlo.

b) Azucena ha decidido comprar dos cajas ms para regalar a sus hermanas.

i) Necesitar ms papel o es suficiente con el que le sobr?

ii) Escribe los clculos necesarios para sostener tu respuesta anterior.

iii) Comenta con tus compaeros los procedimientos que seguiste para calcular las reas. Expliquen cules son correctos.

3 En grupo lee la siguiente informacin y comntala.

4 Revisa en grupo tu respuesta a la pregunta inicial. Comenten sus procedimientos y si calcularon el rea total o lateral de la pirmide.

El rea total de un cuerpo geomtrico es la suma de las reas de sus caras. El rea lateral de un prisma o una pirmide es el rea de sus caras sin tener en cuenta sus bases.

9 cm

25 cm

6.2 cm

9 cm

25 cm

10.9 cm

702 cm2

1 292.4 cm2

S.

R. P.

Es suficiente.

R. T. El

papel necesario es (702 + 1 292.4) 2 = 3 988.8 cm2, y el rollo tiene

45 90 = 4 050 cm2.


58

Leccin 17

PREGUNTA INICIAL

Porcentajes I

En dos tiendas venden un perfume al mismo precio. Cierta semana, en una tienda esta-blecieron una oferta de tres perfumes por el precio de dos y en la otra, 30% de descuento. En qu tienda el perfume es ms barato con la oferta?

1 Responde las preguntas.

En una tienda ofrecen 30% de descuento en todas sus prendas. Observa el precio de la ropa antes de aplicar el descuento.

a) Cunto se descontar por cada $200.00?

b) Qu cantidad se descontar por $50.00?

c) Y por $1 000.00?

d) Cunto se descontar por cada peso?

e) Completa la tabla.

30% de descuento significa que por cada $100.00 se descontarn $30.00.

Precio de la prenda ($)

180.00 250.50 416.50 175.00 20.00 234.00

Descuento ($)

Precio con descuento ($)

$175.00$180.00

$250.50

$416.50

$234.00$20.00

30%de

descuento

Sedescontarn$60.00.

Sedescontarn$15.00.

Sedescontarn$300.00.

Sedescontarn$0.30.

54.00 75.15 124.95 52.50 6.00 70.20

126.00 175.35 291.55 122.50 14.00 163.80


59

Eje: Manejo de la informacinTema: Proporcionalidad y funciones

Resolucin de problemas diversos relacionados con el porcentaje, tales como aplicar un porcentaje a una cantidad, determinar qu porcentaje representa una cantidad respecto a otra, y obtener una cantidad conociendo una parte de ella y el porcentaje que representa

f) El precio de la prenda y su descuento presentan variacin proporcional directa?

Explica por qu y, en caso afirmativo, indica el factor constante de propor-

cionalidad.

g) El precio de la prenda y su precio con descuento presentan variacin proporcional

directa? Explica por qu y, en caso afirmativo, indica el factor constante de

proporcionalidad.

h) Si al precio de un artculo se le descuenta 25%, qu porcentaje del precio se paga?

i) Por falta de tallas, a una falda que costaba $185.00 le aplicaron 45% de descuento. Anota cmo calcular el precio de la prenda ya con descuento.

j) Compara tus respuestas y procedimientos con los de tus compaeros.

2 Resuelve lo siguiente.

a) En una tienda de electrodomsticos ofrecen 30% de descuento sobre el precio sin iva y despus aplican el impuesto. Completa la tabla.

Artculo Radio Televisin Plancha Licuadora

Precio ($) 1 230.00 5 460.00 1 870.00 745.00

Precio con descuento ($)Precio con IVA

($)

b) Una persona piensa que pagara menos por un producto si primero se aplicara el iva al precio sin descuento y despus se hiciera el descuento de 30% al precio ya con el iva. Analiza la situacin. Puedes calcular el precio de algunos productos aplicando primero el iva y luego el descuento. Explica en tu cuaderno por qu sucede esto.

3 Compara tus respuestas y procedimientos de solucin con los de algunos compaeros. Revisen sus respuestas a la pregunta inicial y expongan sus conclusiones ante el grupo.

El iva es la abreviacin del impuesto al valor agregado. Es un impuesto que pagan los consumidores por cada artculo que compran. En Mxico, el iva es de 16%. Si un artculo cuesta $50.00 se debe pagar por l 16% adicional, es decir, en total se pagan $58.00.

Observa

Si se considera como 100% un precio sin iva, entonces el precio con iva es 116%.

S.

R.T.Aldividireldescuentoentreelpreciosiempreseobtiene0.3.

S.

R.T.Porquealdividirlascantidadessiempreseobtiene0.7.

R.T.Sepaga75%.

R.T.Semultiplica185por0.45yelresultadoserestaa185.Tambinsepuede

multiplicar185por0.55.

861.00 3822.00 1309.00 521.50

998.76 4433.52 1518.44 604.94


60

Leccin 18

PREGUNTA INICIAL

Porcentajes II

Una empresa de jabones hizo un paquete en el que se venden cinco jabones por el precio de tres. Cul es el porcentaje de descuento en el precio de cada jabn?

1 Lee la informacin.

2 Resuelve las siguientes operaciones con calculadora.

a) 25% de 500 = b) 50% de 250 =

c) 35% de 200 = d) 200% de 35 =

e) 25% de 70 = f) 70% de 25 =

3 Trabaja con un compaero. Respondan en sus cuadernos las siguientes preguntas relativas a la actividad anterior.

a) Por qu 25% de 500 es lo mismo que 50% de 250? b) Por qu 35 2 es igual que 200% de 35?c) Por qu 25% de 70 es igual que 70% de 25?

4 Examina la grfica que muestra los porcentajes de grasas, carbohidratos y otros componentes de un alimento de fruta y cereales para nios.

a) Si el crculo representa 100%, cul es el porcentaje de protenas?

b) Calcula la cantidad de cada componente que hay en una porcin de 25 g de este pro-ducto. Puedes usar calculadora.

Componente Grasas Carbohidratos Protenas OtrosContenido en una

porcin (g)

Algunas calculadoras cuentan con la tecla % , con la que se calculan porcentajes.

Por ejemplo, para calcular 65% de 20, se teclea

2

0 6 5 % , y en la pantalla aparece 13.

El procedimiento puede cambiar ligeramente de acuerdo con la marca de la calcula-dora. Si tienes una con la tecla porcentaje, investiga cmo funciona.

protenas

carbohidratos 76%

Fuente: elaboracin propia

grasas 7%

otros 7%

125 125

70 70

17.5 17.5

10%

1.75 19 2.5 1.75


61



5 Completa la tabla con la fraccin del total de alumnos y el porcentaje de ellos que obtuvo cada calificacin.

En un grupo de 40 alumnos se present un examen de Matemticas. Los resultados fue-ron los siguientes.

Calificacin 5 6 7 8 9 10

Nmero de alumnos 2 4 10 20 3 1

Fraccin del total

Porcentaje

a) Comprueba que los porcentajes que encontraste sean correctos. Por ejemplo, si obtuviste que 20 es 50% de 40, verifica que 50% de 40 sea 20.

b) Trabaja con tres o cuatro integrantes. Comenten las estrategias que usaron para calcular los porcentajes.

c) Completen la tabla expresando como nmeros decimales las fracciones que encon-traron.

Calificacin 5 6 7 8 9 10

Fraccin del total

Nmero decimal

d) Discutan qu relacin existe entre los nmeros decimales y los porcentajes que ha-llaron. Anoten sus conclusiones en sus cuadernos.

6 Contesta.

a) Laura y Ral juntaron $4 500.00 para comprar un reproductor de archivos mp3. Si Laura dio $3 500.00 y Ral el resto. Qu porcentaje del total aport cada uno?

Laura aport % y Ral %.

7 Comenta en equipo tu respuesta a la pregunta inicial. Expliquen cmo hallaron el porcentaje y expongan el mtodo ante el grupo.

Recuerda

Una fraccin ab se puede representar en nmero decimal haciendo la divisin a b.

Una fraccin puede expresarse como porcentaje. Por ejemplo: para expresar 34 como porcentaje, primero se expresa como nmero decimal y despus se convierte en porcentaje.

34 = 0.75 = 75%

1 1 1 1 3 1

20 10 4 2 40 40

5% 10% 25% 50% 7.5% 2.5%

1 1 1 1 3 1

20 10 4 2 40 40

0.05 0.10 0.25 0.5 0.075 0.025

77.77 22.23


62

Leccin 19

PREGUNTA INICIAL

Problemas de porcentaje

Si 70 es 20% de una cantidad, cunto es 100%?

1 Resuelve los siguientes problemas.

a) Arturo quiere calcular cierto porcentaje de 89. Multiplic en su calculadora 89 por un nmero y obtuvo 48.95. Por qu nmero multiplic 89? Qu porcentaje calcul?

Multiplic por .

Calcul % de 89.

b) Mirna multiplic en su calculadora 230 por un nmero para obtener un porcentaje de 230. Si obtuvo 310.5, por qu nmero multiplic 230? Qu porcentaje calcul?

Multiplic por .

Calcul % de 230.

c) Elizabeth sabe el precio de un CD de msica sin iva y quiere calcular cunto pagar con el impuesto incluido. Multiplic el precio del CD por 1.16 y obtuvo $284.20. Cul es el precio del CD?

El precio es .

d) Patricia quera saber cunto es 35% de un nmero. Al multiplicar ese nmero por 0.35 obtuvo 26.25. Cul es el nmero?

El nmero es .

Observa

En los problemas de los incisos c) y d), la incgnita es qu nmero representa 100%.

Si se conoce un nmero y qu porcentaje es de otro, que se considera 100%, el nmero que representa 100% puede calcularse planteando una ecuacin. Por ejemplo:

si 34 es 85%, qu nmero es 100%?

Denotemos con x al nmero que representa 100%. El 85% de x se calcula multiplican-do x por 0.85. Como sabemos que el resultado es 34, podemos plantear la ecuacin: 0.85x = 34.

La solucin de la ecuacin es x = 340.85 = 40. Entonces 40 es 100%.

0.55

55

1.35

135

$245.00

75


63



2 Compara las estrategias que seguiste para resolver los problemas de la actividad 1 con las de tus compaeros. Sealen cules son correctos y por qu. Planteen una ecuacin con la que se pueda resolver cada uno y antenla a continuacin.

a) b) c) d)

Resuelvan los problemas con las ecuaciones. Junto con su profesor, discutan las ventajas y desventajas de resolver los problemas de esta manera.

3 Resuelve los siguientes problemas.

a) Un departamento tiene 90 m2 de superficie. Si el comedor tiene 27 m2, qu porcen-taje de la superficie del departamento corresponde al comedor?

Corresponde a %.

b) Una computadora que costaba $2 500.00 subi 20% por alta demanda. Luego de tres meses, la demanda baj y la tienda la ofreci con un descuento de 20% sobre el precio que tena en ese momento. La computadora vale lo mismo que antes del

incremento de precio? Por qu?

c) En una librera un libro costaba $135.00 y lo ofrecieron con 20% de descuento. Dos semanas despus, ofrecieron un descuento de 10% sobre el precio ya rebajado.

Ambos descuentos equivalen a 30%? Por qu?

d) Vctor pag $187.60 por unos audfonos con el iva incluido. Si los consigui con un descuento de 20%, cul era el precio sin descuento y sin iva?

El precio era $ .

4 Recuerda la diana de la pgina 48. Revisa cul es la relacin entre los puntajes y el porcentaje de rea de cada regin con respecto al rea total. Comenta tus conclusiones en grupo.

5 Revisa en grupo tus respuestas de los incisos b) y c) de la pgina 19.

6 Revisa en equipo tu respuesta a la pregunta inicial. Contesten lo siguiente en sus cuadernos.

a) Si 70 es 20% del total, qu fraccin del total es 70?b) Si 70 fuera 10% del total, cunto aumentara o disminuira el total?c) Si 70 fuera 40% del total, cunto aumentara o disminuira el total?d) Planteen una ecuacin con la que pueda responderse la pregunta inicial.

Observa

Si tu respuesta a los incisos b) y c) es afirmativa, comprubalo calculando los descuentos e incrementos correspondientes.

Observa

Puedes comprobar la solucin del inciso d) verificando que al aplicar el descuento y el iva al precio obtenido en tu respuesta se obtenga $187.60.

de nuevoel juego

89x=48.95 230x=310.5 1.16x=284.20 0.35x=26.25

30

R.T.No,lacomputadoravalemenosporque

primeroseaument20%delpreciooriginalydespussedisminuy20%sobreun

preciomayor.Como1.200.8=0.96,elprecioactuales96%deloriginal.

R.T.No,elprimerpreciose

obtienedemultiplicarelpreciooriginalpor0.80;elsegundo,demultiplicarel

resultadopor0.90.Como0.800.90=0.72,eldescuentoesde28%.

202.15


64

Leccin 20

PREGUNTA INICIAL

Crecimiento geomtrico I

Considera el dcimo trmino de cada una de las siguientes sucesiones. Cul es mayor? Sucede lo mismo con los trminos siguientes al dcimo?

4, 12, 20, 28, 36 1, 2, 4, 8, 16, 32

1 Efecta lo que se pide. Puedes usar calculadora.

a) Alberto deposit $10 000.00 en un banco a plazo fijo. La institucin bancaria le paga-r 1% de inters simple mensualmente.

Alberto obtendr 1% de inters sobre los $10 000.00 el primer mes, el segundo mes volver a recibir 1% de in-ters sobre los $10 000.00, y as los meses siguientes.

i) Completa la tabla para saber cunto dinero tendr Alberto en un ao.

b) Elena deposit $10 000.00 en un banco a plazo fijo y recibir 0.9% de inters mensual compuesto.

Elena recibir 0.9% de inters sobre los 10 000.00 el primer mes; el segundo los intereses se suman al capital, por lo que obtendr 0.9% sobre el nuevo capital; y as los meses siguientes.

Completa la tabla para saber cunto dinero tendr Elena en un ao. Redondea las cantidades a centavos.

c) Alberto y Elena se reunieron para analizar las opciones que eligieron. Con la informa-cin que tienes del primer ao, argumenta en tu cuaderno qu operacin financiera conviene ms para producir beneficios: inters simple o inters compuesto.

El inters simple es el beneficio que produce un capital fijo durante un tiempo determinado.

Mes 0 $10 000.00

Mes 1 $10 100.00

Mes 2 $10 200.00

Mes 3

Mes 4

Mes 5

Mes 6

Mes 7

Mes 8

Mes 9

Mes 10

Mes 11

Mes 12Mes 0 $10 000.00

Mes 1 $10 090.00

Mes 2 $10 180.81

Mes 3 $10 272.44

Mes 4

Mes 5

Mes 6

Mes 7

Mes 8

Mes 9

Mes 10

Mes 11

Mes 12

El inters compuesto es el beneficio que produce un capital con sus intereses, que se aaden al final de cada periodo para pro-ducir nuevos beneficios.

$10300.00

$10400.00

$10500.00

$10600.00

$10700.00

$10800.00

$10900.00

$11000.00

$11100.00

$11200.00

$10364.89

$10458.17

$10552.30

$10647.27

$10743.09

$10839.78

$10937.34

$11035.77

$11135.10


65


Resolucin de problemas que impliquen el clculo de inters compuesto, crecimiento poblacional u otros que requieran procedimientos recursivos

d) Supn que los jvenes dejan su capital al mismo inters otro ao. Elabora en tu cua-derno tablas como las siguientes y calcula cunto recibirn el segundo ao.

Alberto Elena

Mes 12 $11 200.00 Mes 12 $11 135.10Mes 13 Mes 13Mes 14 Mes 14Mes 15 Mes 15

e) Responde en tu cuaderno.

i) Si necesitaras conocer cunto tiene Alberto en el banco en el mes 36, cmo lo haras?

ii) Si necesitaras conocer cunto tiene Alberto en el banco en cualquier mes, ne-cesitaras calcular lo que tuvo el mes anterior? Por qu?

iii) Anota un mtodo para saber cunto tendr Alberto en cualquier mes. iv) Si necesitaras conocer cunto tiene Elena en el banco en el mes 36, cmo lo

haras? v) Si necesitaras conocer cunto tiene Elena en el banco en cualquier mes, nece-

sitaras calcular lo que tuvo el mes anterior? Por qu? vi) Anota un mtodo para saber cunto tendr Elena en cualquier mes.

f) Comenta en equipo los mtodos que anotaste. Comenten las diferencias entre ambos mtodos. En alguno hay un procedimiento que debe repetirse con el dato anterior?

g) Alberto y Elena se reunieron nuevamente para comparar las opciones que eligieron. Con la informacin que tienes del primer y segundo ao, argumenta en tu cuaderno qu o

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