bloque 9 matematicas

BLO

QU

E

9 Saberes Conocimientos Habilidades Actitudes y valores» » »

SUG

EREN

CIA

DE

EVID

ENCI

AS

DE

AP

REN

DIZ

AJE

»

UN

IDA

D D

E CO

MP

ETEN

CIA

»

• Comprendelosmétodospararesolverecuacionescuadráticasincompletas:-Extraccióndefactorcomún-Despejedelavariablecuadrática

• Identificaecuacionesincompletasdesegundogradoenunavariable.

• Ubicaeinterpretasituacionesconecuacionescuadráticasincompletas.

• Comprendelosmétodospararesolverecuacionescuadráticascompletas.

• Describeelprocedimientodecompletaryfactorizartrinomioscuadradosperfectospararesolverecuacionescompletasdesegundogradoenunavariable.

• Identificaraícesrealesycomplejasyescribeecuacionesapartirdeéstas.

• Ubicaeinterpretasituacionesconecuacionescuadráticascompletas.

Resuelve ecuaciones cuadráticas I

BLO

QU

E

9 Saberes Conocimientos Habilidades Actitudes y valores» » »

SUG

EREN

CIA

DE

EVID

ENCI

AS

DE

AP

REN

DIZ

AJE

»U

NID

AD

DE

COM

PET

ENCI

A»Construyeeinterpretamodelos

aritméticos,algebraicosygráficosaplicandolaspropiedadesdelosnúmerosrealesyexpresionesalgebraicas,relacionandomagnitudesconstantesyvariables,yempleandolasliteralesparalarepresentaciónyresolucióndesituacionesy/oproblemasalgebraicos,concernientesasuvidacotidianayescolar,queleayudanaexplicarydescribirsurealidad.Identificalascaracterísticaspresentesentablas,gráficas,mapas,diagramasotextos,provenientesdesituacionescotidianasylostraduceaunlenguajealgebraico.

• Aplicatransformacionesalgebraicasparadespejarlavariableenunaecuacióncuadráticapura.

• Extraefactorcomúnparafactorizarunaecuacióncuadráticamixta.

• Aplicalapropiedaddelproductoceroparahallarlasraícesdeunaecuacióncuadráticamixta.

• Resuelveecuacionescuadráticascompletasmediantelatécnicadecompletaryfactorizartrinomioscuadradosperfectos.

• Reconocequeunaecuacióncuadráticapuedetenerraícesreales,oraícescomplejas,enparesconjugados,yescribelasecuacionescuadráticasapartirdesusraíces.

• Resuelveoformulaproblemasdesuentorno,uotrosámbitos,quepuedenrepresentarseysolucionarsemedianteunaecuaciónounafuncióncuadrática.

• Efectúalascorrespondientesconversionesdeunidades,ensituacionesmodeladasconecuacionescuadráticasdondesepresentandistintasunidadesdemedición.

• Obtienelasolucióndeecuacionescuadráticas.

• Aplicatécnicasalgebraicasdedespejeoextraccióndeunfactorcomún.

• Resuelveecuacionesincompletasdesegundogradoenunavariable.

• Utilizalatécnicadecompletaryfactorizartrinomioscuadradosperfectospararesolverecuacionescompletasdesegundogradoenunavariable.

• Representaysolucionasituacionesconecuacionescuadráticas.

• Aprecialautilidaddeutilizarmétodosespecíficospararesolverecuacionescuadráticasincompletas.

• Valoralaimportanciadecontarconunmétodoalgebraicopararesolvertodotipodeecuacióncuadráticaenunavariable.

• Valoralaaplicabilidaddelasecuacionescuadráticaspararepresentaryresolverdiversassituaciones.

286

B9 �B9 �Corresponde ahora estudiar las ecuaciones cuadráticas, completas oincompletas,apartirdemodelarsituacionesdediversoscontextos,diferentesmétodosalgebraicosdesolución.

Efectúaentucuaderno lossiguientesejerciciosysubraya laopciónquemuestraelresultadocorrecto:

1.Ricardoaceptóunempleocomovendedordeunproducto.Susueldoseráde10dólaresporcadaunidadvendidax,másunacomisióndiariade35dólares.¿Cuáldelassiguientesexpresionesrepresentaelsueldoydecincodíasdetrabajo?

a) ( )y 5 x 35= +

b) ( )y 5x 5 35= +

c) ( )y 5 35x 10= +

d) ( )y 5 10x 35= +

2.¿Cuáleslasolucióndelsiguientesistemadeecuacioneslineales?

x y 153x 2y 20

+ =− =

a) x 5, y 10= = b) x 7, y 8= = c) x 10, y 5= = d) x 8, y 7= =

3.Ellargodeunrectánguloeseldobledesuanchoqueesx.¿Cuáldelassiguientesexpresionesrepresentaeláreadelrectángulo,enunidadescuadradas?

a) 3x b)4x c)6x d)2x2

4. Unatinadebañosellenaenmediahoraconlallavedelaguacalienteyen15minconlallavedeaguafría.Latinasedesaguaen60 min.¿Cuáleslaexpresiónqueindicaeltiempodellenadoconambasllavesyeldesagüeabierto?

a) 1 1 1x 1

30 15 60 + + =

b) 1 1 1x 1

30 15 60 + − =

INTRODUCCIÓN

Evaluación diagnóstica

B9 �

287

B9 �ResuelveecuacionescuadráticasI

c)x x x

130 15 60

+ + =

d)1 1 1

x30 15 60

+ + =

5.Enlaexpresión ( )( )x 4 x 1 0− + = ,¿quévaloresdexsatisfacenlaigualdad?

a) x 4, x 1= = − b) x 4, x 1= − = c) x 2, x 1= = d) x 3, x 0= =

6.¿Cómocompletaslaexpresión 2x 6x+ paraqueseatrinomiocuadradoperfecto?

7.Enlaexpresión ( )2x 5 9− = ,¿quévalordexsatisfacelaigualdad?

a) x 4, x 1= = − b) x 4, x 1= − = c) x 2, x 1= = d) x 3, x 0= =

8. Enlaecuación ( )2x 2 0− = ,¿quévalordexsatisfacelaigualdad?

a) x 1= b) x 2= c) x 4= d) x 0=

9.Enlaecuación 2x 361= ,¿quévalordexsatisfacelaigualdad?

a) x 3= b) x 2= − c) x 3= − d) x 2=

10. ¿Quénúmerodebeirdentrodelradical ?

a)Eldoblede15b)Elcuadradode15c)Lapotenciade15d)Lamitadde15

Modelandoconecuacionescuadráticas.

Organizadosenequiposdetresintegrantesymonitoreadosporsuprofesor,realicenlos cálculos necesarios, registrándolos en su cuaderno de notas, para encontrarla ecuación cuadrática que modele la situación planteada, así como su respuestacorrespondiente.

1.Hallardosnúmerosparesconsecutivoscuyoproductosea168.

a) 12 y 14 b) 24 y 7 c) 6 y 28 d) 4 y 4

Actividad introductoria

288

B9 �B9 �2. Calculardosnúmeroscuyasumasea39ycuyoproductosea380.

a) 10 y 29 b) 15 y 24 c) 25 y 14 d)19 y 20

Alfinalizarelíjaseunodelosequiposparaexponersusresultadosfrentealgrupo.

Siunaecuacióntienesólounaincógnitayelmayorexponentedeéstaesdos,entoncessetieneunaecuacióndesegundogradoconunaincógnita,tambiénllamadaecuacióncuadrática.Al resolverunaecuacióndeestetipo,puedenencontrarsedossoluciones,unasolución,obien,laecuaciónpuedenotenersolución,enlosreales.

Unaecuacióndesegundogradoconunaincógnitatienelaforma:

ax2 + bx + c = 0

donde:a,bycsonnúmerosreales,cona≠0.ax2eseltérminocuadrático.bxeseltérminolineal.c eseltérminoindependiente.

Paralaecuaciónanterior,sibycsondistintosdecero,laecuaciónsellamacompleta;perosibocsonigualesacerosetieneunaecuaciónincompleta.

Laecuacióncuadráticaesdegranimportanciaysepresentafrecuentementenosóloenmatemáticas,sinotambiénenfísica,química,biología,etc.,yaquemodelamuchosfenómenosrelacionadosconestasciencias.Porejemplo,enfísicaelmodeloquedescribeelmovimientodecaídalibrees:

h=4.9t2

Pararepresentarlaenergíapotencialelástica,elmodeloes:

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

B9 �

289


EP= 21kx

2

Elmodeloquepermitecalculareláreadeuncírculoes.

A=πr2

Ejemplo

El siguiente caso presenta una situación quepuedemodelarsepormediodeunaecuacióndesegundogradoconunaincógnita.

Paraencontrarelmodeloquepermitecalcularlalongituddeuntensorquesujetaaunatorre,siéstemidedosunidadesmásquelaalturadelatorre,ydesdelabasedelatorrehastadondesesujetaeltensormideunaunidadmásquelaalturadelatorre.

Solución:

Enlafiguraseobservauntriángulorectángulo,cuyahipotenusarepresentaeltensoryloscatetos(baseyalturadelatorre).

Donde:

Alturadelatorre:x

Longituddelabasehastadondesesujetaeltensor: x + 1

Longituddeltensor: x + 2

AltenerencuentaelteoremadePitágoras,secumple:

(x + 2)2 = (x + 1)2 + x2

Así,x2 + 4x + 4 = x2 + 2x + 1 + x2

Luego,laecuaciónquemodelaestasituaciónes:

x2 – 2x – 3 = 0

Unavezencontradalaecuaciónseprocederáaresolverlaaplicandoalgúnmétododesoluciónalgebraicoqueestudiaremosacontinuación,ográficoqueabordaremosenelsiguientebloque.

290

B9 �B9 �

Diseñaunaecuaciónquemodelecadaunadelassituacionesplanteadas.Alfinalizarcomparatusmodelosconlosdetuscompañeros.

1. Encuentraelnúmerodistintodeceroqueesigualaldobledesucuadrado.

2. Sialdobledelcuadradodeunnúmeroselerestaeltripledelmismoelresultadoescero.Hallaelnúmero,siésteesdistintodecero.

3.Enunrectángulo,labasemideeltriplequelaaltura.Sisedisminuyeen1centímetrocadalado,eláreainicialdisminuyeen15centímetros.Calculalasdimensionesyeláreadelrectánguloinicial.

4. Halla3 números impares consecutivos, tales que si al cuadradodelmayor se lerestanloscuadradosdelosotros2,seobtienecomoresultado7.

5.Laedaddeunpadreeselcuadradodeladesuhijo.Dentrode24añoslaedaddelpadreseráeldobledeladelhijo¿cuántosañostieneahoracadauno?

Métodos de solución

Hemos mencionado en el bloque VI que resolver una ecuación significaencontrarelvalorrealdelavariablequecumplelaigualdad.Ahorabien,parauna ecuación cuadrática se pueden encontrar sólo dos valores reales quesatisfacentalecuación,mismosquesonlassolucionesoraícesdelaecuación.Si existen efectivamente dos soluciones, éstas se designan por x1 y x2. Sisólohayunasolución,porx1.Sinoseencuentraunvalorrealquecumplalaigualdad,seconcluyequelaecuaciónnotienesoluciónenlosnúmerosreales,portanto,lassolucionesseencuentranenlosnúmeroscomplejosysellamanraícescomplejasoimaginarias.

Pero,¿cómoseencuentranlassolucionesdeunaecuacióncuadrática?Hayalgunosmétodosdesolución,losqueabordaremosenestebloqueseránlosmétodosalgebraicosdespejeparaecuacionesincompletasyfactorización. Veamos.

Métodos algebraicos

Despeje para ecuaciones incompletas

Abordemos la solución para ecuaciones incompletas, es decir, la ecuacióncuadrática:

Actividad

B9 �

291


ax2 + bx + c = 0 a ≠ 0,dondeloscoeficientesbocsonigualesacero,dedondesedesprendendoscasos.

Caso 1

Sib=0,setieneunaecuacióndesegundogradoconunaincógnitaenlaquefaltaeltérminolineal,esdecir,laecuacióntienelaforma:

ax2 + c = 0

Pararesolverestaecuaciónbastarádespejarxcomosigue:

2

2

2

ax c 0

ax cc

xa

cx

a

+ =

= −

= −

= ± −

Ejemplos

I.Resolvamosecuacionescuadráticasincompletasdelaformaax2 + c = 0yhagamoslacomprobacióndelasmismas.

1. 2x 4 0− =

Solución:

x

x

x

x

2

2

1

2

4 0

4

4

4 2

4 2

− =

=

=±

= =

=− =−

de donde

x

Comprobación:

Para 1x 2= Para 2x 2= −

( )22 4 0

4 4 00 0

− =

− ==

( )22 4 0

4 4 00 0

− − =

− ==

Se verifica la igualdad; luego 1x 2= y

2x 2= − , son las raíces de la ecuación2x 4 0− =

2. 24x 25 0− =

292

B9 �B9 �Solución:

4 25 0254254

254

52

254

52

2

2

1

2

x

x

x

x

− =

=

=±

= =

=− =−

dedonde

x

Comprobación:

Para 1

5x

2= Para 2

5x

2= −

254 25 0

2

254 25 0

425 25 00 0

− = − = − ==

25

4 25 02

254 25 0

425 25 00 0

− − = − = − ==

Severificalaigualdad;luego 1

5x

2= y 2

5x

2= − ,

sonlasraícesdelaecuación 24x 25 0− =

Caso 2

Sic=0,setieneunaecuacióndesegundogradoconunaincógnitaenlaquefaltaeltérminoindependiente,esdecir,laecuacióntienelaforma:

ax2 + bx = 0

Pararesolverestaecuaciónseaplica la factorizaciónportérminocomúndedondesedesprendenlasdossolucionescomosigue:

( )

2

1

2

ax bx 0

x 0x ax b 0 b

ax b 0 xa

+ =

=+ = →

+ = → = −

Ejemplos

I.Resolvamosecuacionescuadráticasincompletas,ahoradelaformaax2 + bx = 0yhagamostambiénlacomprobación.

1. 2x 4x 0− =

Solución:

x x

x x

x x

2

1

2

4 0

4 0

0

4 0 4

− =

−( )=

=

− = → =

de dondex

Comprobación:Para 1x 0= Para 2x 4=

( ) ( )20 4 0 0

0 0 00 0

− =

− ==

( ) ( )24 4 4 0

16 16 00 0

− =

− ==

Severificalaigualdad;luego 1x 0= y

2x 4= ,sonlasraícesdelaecuación 2x 4x 0− = .

B9 �

293


2. 26x 7x 0− =

Solución:

6 7 0

6 7 0

0

6 7 076

2

1

2

x x

x x

x x

− =

−( )=

=

− = → =

de dondex

Comprobación:

Para 1x 0=

( ) ( )26 0 7 0 0

0 0 00 0

− =

− ==

Para 2

7x

6=

27 76 7 0

6 6

49 496 0

36 3649 4936 360 0

− = − =

−

=

Severificalaigualdad;luego 1x 0= y 2

7x

6= ,

sonlasraícesdelaecuación26x 7x 0− =

Factorización

Paraencontrarlassolucionesoraícesdeunaecuacióncuadráticacompleta,esdecir,laecuacióndelaformaax2 + bx + c = 0 a ≠ 0,dondeloscoeficientesbycsondistintosdecero,podráaplicarseelmétodoalgebraicoporfactorización;nuevamentesepresentandoscasos:

Caso 1

Este caso se presenta cuando se tiene una ecuación cuadrática, la cual esposiblefactorizar.Pararesolverestaecuación,sefactorizacorrectamentelaexpresiónax2 + bx + c,ylosfactoresresultantesseigualanacerodedonde,despejando la incógnita en cada igualdad se obtendrán las raíces de laecuación.

Ejemplos

I.Resolvamosecuacionescuadráticascompletasaplicandofactorizaciónyefectuemoslacomprobación.

1. x2 – 5x –14 = 0

Sefactorizalaecuación:(x + 2) (x – 7) = 0

Aligualarlosdosfactoresacero,setiene:x + 2 = 0 y x – 7 = 0

Aldespejarxenestasigualdadesseencuentranlosvaloresx = –2 y x = 7

Así,lassolucionesoraícesdelaecuaciónx2 – 5x –14=0son:x1-2 yx2=7

294

B9 �B9 �Comprobación:Parax1 = 7

( ) ( )27 5 7 14 0

49 35 14 049 49 00 0

− − =

− − =− ==

Parax2 = –2

( ) ( )22 5 2 14 0

4 10 14 014 14 00 0

− − − − =

+ − =− ==

Severificalaigualdad;luego 1x 0= y

2x 4= ,sonlasraícesdelaecuación 2x 4x 0− =

2. 6x2 + 11x –10 = 0

Sefactorizalaecuación:(3x – 2) (2x + 5) = 0

Aligualarlosdosfactoresacero,setiene:3x – 2 = 0 y 2x + 5 = 0

Despejandoxenestasigualdadesseencuentranlosvalores y2 5x x

3 2= = −

Así,lassolucionesoraícesdelaecuación6x2 + 11x –10 = 0son: y1 2

2 5x x

3 2= = −

Comprobación:

Para 1

2x

3= Para 2

5x

2= −

22 26 11 10 0

3 3

4 226 10 0

9 38 8

03 30 0

+ − = + − =

− =

=

25 5

6 11 10 02 2

25 556 10 0

4 275 75

02 2

0 0

− + − − = − − =

− =

=

Caso 2

Éste se presenta cuando se tiene una ecuación cuadrática, la cual noes posible factorizar inmediatamente. Para resolver esta ecuación de la

formaax2 + bx + c = 0sebuscaexpresarlacomo 2 b cx x

a a+ = − yapartirde

éstaseprocedecomosigue:

B9 �

295


Apartirdelaforma:

Se completa a trinomio cuadradoperfecto (T.C.P) el miembroizquierdodelaecuación,atendiendoque el término que completa aT.C.Psesumedeambosladosdelaecuación.

Se factoriza el T.C.P. a binomiocuadradoalcuadrado.

Se extrae raíz cuadrada en ambosladosdelaigualdad.

Seefectúanlosprocesosalgebraicosnecesariosparadespejarx.

Las soluciones o raíces de laecuaciónson:

xbax

ca

xbax

ba

ca

ba

xba

2

22 2

2 2

2

+ =−

+ + =− +

+

=− +

+

=± − +

+ =± − +

+

2 2

2 2

2

4

2 4

2 4

ca

ba

xba

ca

ba

xba

ca

ba

xb22

44

24

2

24

2

42

2

2

2

2

ab c

a

xba

b ca

xba

b ca

xb b c

a

=±−

+ =±−

=− ±−

=− ± −

xb b c

ax

b b ca1

2

2

242

42

=− + −

=− − −y

Ejemplos

I.Encontremoslassolucionesdelassiguientesecuacionescuadráticascompletandoatrinomiocuadradoperfectoyefectuandolacomprobaciónrespectiva.

1. x2 – 6x – 7 = 0

Seexpresalaecuaciónenlaformaindicada:

x2 – 6x = 7

Se completa a trinomio cuadradoperfecto el primermiembrode esta ecuación,recordandoque:

• Seprocedeadividirentre2elcoeficientedeltérminolineal.

Paraesteejemplo:6

32−

= −

• Elresultadoasíobtenidoseelevaalcuadrado.

(–3)2 = 9

296

B9 �B9 �Este valor completa la expresión del primer miembro en un trinomio cuadradoperfectoyporlapropiedadaditivadelaigualdad,debemossumarloaamboslados,comosigue:

x2 – 6x + 9 = 7 + 9

Sefactorizaeltrinomiocuadradoperfectocomobinomioalcuadrado:

(x – 3)2 = 16

Seextraeraízcuadradaenambosladosdelaigualdad.

x – 3 = 16±

Sedespejax: x – 3 = 4±

x = 4 3± +

Donde: x = 4 + 3 y x = – 4 + 3

Así,lassolucionesoraícesdelsistemason: 1 2x 7 y x 1= = −

Comprobación:

Parax1 = 7 Parax2 = –1

( ) ( )27 6 7 7 0

49 42 7 049 49 00 0

− − =

− − =− ==

( ) ( )21 6 1 7 0

1 6 7 07 7 00 0

− − − − =

+ − =− ==

2. 5x2 – 7x – 9 = 0


2 7 9x x

5 5− =

Se completa a trinomio cuadrado perfecto el primer miembro de esta ecuación,recordandoque:


Paraesteejemplo:

( )

77 75

2 2 5 10= =

Paracompletaratrinomiocuadradoperfecto,atiendequeelcoeficientedeltérminocuadráticosealaunidad(1),siendonecesarioenocasiones,dividirlaecuaciónporelcoeficientededichotérminocuadrático.

B9 �

297



27 4910 100 =

Estevalorcompletalaexpresióndelprimermiembroenuntrinomiocuadradoperfectoyporlapropiedadaditivadelaigualdad,debemossumarloaamboslados,comosigue:

2 7 49 9 49x x

5 100 5 100− + = +


27 229x

10 100 − =


7 229x

10 100− = ±

Sedespejax:7 229

x10 10

− = ±

7 229 7 229x

10 10 10±

= ± =

Dedonde: 7 229

x10

+= y

7 229x

10−

=

Así,lassolucionesoraícesdelsistemason: 1

7 229x 2.21

10+

= = y x2

7 22910

0 81=−

=− .

.

Comprobación:

Para 1

7 229x

10+

=

298

B9 �B9 �2

7 229 7 2295 7 9 0

10 10

49 14 229 229 49 7 2295 9 0

100 10 10

49 7 229 229 49 7 2299 0

20 10 20 10 10139 139

010 10

0 0

+ +− − =

+ +

− − − =

+ + − − − =

− =

=

3. 5x2 - 4x + 1 = 0


2 4 1x x

5 5− = −

Se completa a trinomio cuadrado perfecto el primer miembro de esta ecuación,recordandoque:


Paraesteejemplo:

44 25

2 10 5

−= − = −


22 45 25

− =

Este valor completa la expresión del primer miembro en un trinomio cuadradoperfectoyporlapropiedadaditivadelaigualdad,debemossumarloaamboslados,comosigue:

2 4 4 1 4x x

5 25 5 25− + = − +


22 1x

5 25 − = −


B9 �

299


2 1x

5 25− = ± −

Sedespejax:

2 1x

5 25= ± −

Dedonde,

( )

( )

2 1x 1

5 25

2 11

5 25

2 1i

5 5

= ± −

= ± −

= ±

Luego,1

2

2 ix

5 52 i

x5 5

= + = −

Así,lassolucionesoraícesdelsistemasoncomplejas(imaginarias):

xi

y xi

1 2

25 5

25 5

= + = −

Otrosmétodosdesolucióndeunaecuacióncuadráticasonelgráficoyporfórmulageneral,motivosdeestudiodelsiguientebloque.

I.Resuelvelassiguientesecuacionescuadráticasincompletasdelaformaax2+c=0ycompruebaquelasraícesencontradassoncorrectas.

1. 2x 9 0+ =

2. 23x 12 0+ =

3. 22x 10 0− − =

4. 27x 11 0+ =

5. 25x 15 0− =

Unaraízimaginariaocompleja,esunnúmerocuyocuadradoesnegativo;serepresentacomobi,dondebesunnúmerorealeieslaunidadimaginariaconlapropiedadsiguiente:

i2=–1,dedondei=1−

Lassolucionescomplejasseexpresancomo

a bi±

Actividad

300

B9 �B9 �6. 281x 16 0− − =

7. 2x 18 0− + =

8. 28x 20 0+ =

9. 21x 4 0

2− =

II.Resuelvelassiguientesecuacionescuadráticasincompletasdelaformaax2+bx=0ycompruebaquelasraícesencontradassoncorrectas.

1. 2x 3x 0+ =

2. 23x 9x 0− =

3. 2x 4x 0− − =

4. 214x 17x 0− =

5. 25x 20x 0− − =

6. 212x 48x 0− =

7. 23x 18x 0− − =

8. 21 1x x 0

2 3+ =

9. 21 4x x 0

2 3− =

III.Aplicandofactorizaciónresuelvelassiguientesecuacionescuadráticascompletasycompruebaquelasraícesencontradassoncorrectas.

1. 2x x 2 0− − =

2. 2x 3x 4 0− − =

3. 2x 10x 25 0+ + =

4. 22x 5x 3 0+ − =

5. 2x 10x 24 0− + =

6. 22x 3x 5 0− − =

7. 23x 12x 12 0− + =

8. 2x 5x 6 0+ − =

9. 2x 2x 15 0− − =

10. 23x 5x 2 0− + =

11. 263x 29x 4 0− − + =

12. 265x 29x 4 0− − + =

B9 �

301


IV.Resuelvelassiguientesecuacionescuadráticascompletandoatrinomiocuadradoperfecto;compruebaquelasraícesencontradassoncorrectas.

1. 2x x 1 0− − =

2. 2x 3x 2 0− − =

3. 2x 10x 20 0+ + =

4. 22x 4x 6 0+ − =

5. 2x 5x 24 0− + =

6. 22x 8x 5 0− − =

7. 23x 12x 15 0− + =

8. 2x 6x 4 0+ − =

9. 2x 2x 10 0− − =

10. 2x 5x 2 0− + =

11. 260x 30x 120 0− + =

12. 210x 30x 1 0− + =

V.Apartirdelasecuacionesmodeladasenelejercicioanterior,encuentralasolucióndecadaunadeellasaplicandounmétodoalgebraico.

1.Encuentraelnúmerodistintodeceroqueesigualaldobledesucuadrado.

2.Sialdobledelcuadradodeunnúmeroselerestaeltripledelmismoelresultadoescero.Hallaelnúmero,siésteesdistintodecero.

3. En un rectángulo, la basemide el triple que la altura.Si se disminuye en1 centímetrocadalado,eláreainicialdisminuyeen 15centímetros.Calcularlasdimensionesyeláreadelrectánguloinicial.

4.Halla3númerosimparesconsecutivos,talesquesialcuadradodelmayorselerestanloscuadradosdelosotros 2, seobtienecomoresultado7.

5. Laedaddeunpadreeselcuadradodeladesuhijo.Dentrode24añoslaedaddelpadreseráeldobledeladelhijo,¿cuántosañostieneahoracadauno?

VI. Enequipos resuelvan los siguientesproblemas, cuya solución seráexpuestaenplenaria.

1. La suma de dos números es9 y la suma de sus cuadrados es53. Halla losnúmeros.

302

B9 �B9 �2.Unnúmeropositivoes3/5 deotroysuproductoes2160.Encuentralosnúmeros.

3. Paola tiene tres añosmás que Brenda y el cuadrado de la edad deAdrianaaumentadoenelcuadradodelaedaddeBrendaequivalea317años.Determinaambasedades.

4.Unnúmeroeseltripledeotroyladiferenciadesuscuadradoses1800. ¿Cuálessonlosnúmeros?

5. El cuadradodeunnúmerodisminuidoen 9, equivalea8 vecesel excesodelnúmerosobre2.Obtienetalesnúmeros.

6.Untrenharecorrido200kmenciertotiempo.Parahaberrecorridoesadistanciaen1horamenos,lavelocidaddebíahabersido10km/h.Encuentralavelocidaddeltren.

7.Unaempresavendecalzadodeportivoa$40elparsisepidenmenosde50 pares.Sisecompran 50 omás,hasta600,elpreciodelparsereduceaunatasade$.04porelnúmerorequerido.¿Cuántosparessepuedencomprarcon$1800?

8.Sedeseausarunahojadepapelde24 cm x 36cm parauncartelrectangularcuyolargoseavertical.Losmárgenesalosladosyenlapartesuperiordebentenerigualanchura,peroelmargeninferiordebetenerdobleanchuraquelosdemás.Calculaelanchodelosmárgenessielárea impresadebetener661.5cm2.

9.Unapelotadebeisbolsearrojadirectahaciaarribaconunavelocidadinicialde64 pies/s.Elnúmerodepiess, sobreel terrenodespuésde t segundos,estáexpresadoporlaecuación:s=-16 t2 + 64 t.¿Cuándoestarálapelotaa48piessobreelterreno?

Resuelve en tu cuaderno de notas cada una de las situaciones planteadas,determinando en cada uno de ellas: ecuación cuadrática y método algebraico desolución.Elijelaopciónquemuestraelresultadocorrectoacadauna.

1.JuanAntoniotieneunterrenodeformacuadradaconunáreade289 m2,quequiereemplear como corral. ¿Cuántos metros de tela de alambre va a necesitar paracercarloporloscuatrolados?

a) 13 b) 15 c) 17 d) 19

Autoevaluación

B9 �

303


2. Si se aumenta en4 cm el ladodeun cuadrado, su área aumenta en 104 cm2.Calculareláreayperímetrodelcuadradoinicial.

a)Área:121cm2

Perímetro:44cmc)Área:144cm2

Perímetro:48cm

b)Área:81cm2

Perímetro:36 cmd)Área:169cm2

Perímetro:52cm

3. Determinaelvalordemparaquelaecuación2x2 - 4x + m = 0 tengaunaraízcuadráticadoble(demultiplicidad2).

a)m= 0 b)m=1 c)m=2 d)m=3

4.Calculaelvalordexparaelsiguientepardeecuaciones:

( )2

2

3x y 12

y 2 2 x 2

+ =

+ = +

a) x 2= ± b) x 2= c) x 3= d) x 3= ±

5. Enunlaboratorioseestudiaelcrecimientodeunabacteriapeligrosa;elestudiodesucomportamiento fueencargadoaHugo,pero, sedurmióysóloalcanzóaregistrarlosdatosmostradosenlasiguientetabla:

Hora (x) Crecimiento de una bacteria (y)

1 43 12

287

8411 124

¿CuáleslaexpresiónalgebraicaquedebióencontrarHugoparadeterminarlosvaloresquefaltanyasíestablecerlarelaciónentreambascolumnas?

a) 2y x 3= +

b) y x 3= +

c) 2y 3x=

d) 2y 3x 1= +

304

B9 �B9 �Evaluación formativa

Apartirdelasituaciónplanteadarealizaloquesepide.

Dos obreros tardan 12 horas en hacer un trabajo. ¿Cuánto tardarían en hacerloseparadamente,siunotarda5horasmásqueelotro?

a) Encuentralaecuacióncuadráticaquemodelalasituación.

b) Resuelvelaecuacióncuadráticaaplicandounmétodoalgebraico.

c) Verificaqueelprimerobrerotardaenrealizareltrabajo,élsolo,21.75horas,esdecir,21horasy45minutos;elsegundoobrerotarda5horasmás,esdecir,26horasy45minutos.

B9 �

305


Escala de rango

Nombredelalumno:

Escala de valoración:0 Nulo1 Deficiente2 Aceptable3 Satisfactorio

Aspectos observables Sí No Estimación

Comprendiólasituacióndelplanteada

Encontrólaecuacióncuadráticacorrectamente

Resolviólaecuaciónporalgúnmétodoalgebraico

Severificaronlosresultados

TOTAL:Cal

Total=

×1012

=

OBSERVACIONES:Nombredequienrevisó:

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