1

Consigna: Organizados en parejas, resuelvan el siguiente problema: Si el área de un terreno, como el indicado en la figura, mide 207 m2, ¿cuáles son sus dimensiones?

Con el fin de consolidar el uso de la fórmula general se puede plantear, como tarea, la resolución de las siguientes ecuaciones:

a) 3x2-5x+2=0b) x2+11x+24=0c) 9x2-12x+4=0d) 6x2 = x +222e) 8x+5 = 36x2

Consigna. Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas.

1. Sea ABCD un cuadrilátero, ¿qué condiciones debe cumplir para que al trazar una de sus diagonales resulten dos triángulos congruentes?__________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Se tienen dos triángulos con el mismo perímetro; los lados del ΔLMN miden LM=5x+3, LN=2x+2 y MN=8X-1; y los lados del ΔRST miden RS=3x+13, RT=4x-8, y, ST=6x+9a) ¿Los triángulos LMN y RST son congruentes? _________ ¿Por qué?

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

En relación con el problema 2, una forma de iniciar es averiguar las medidas de los lados de los triángulos, para ello, considerando que los triángulos tienen el mismo perímetro, los estudiantes podrán establecer la siguiente igualdad:

2x + 2 + 8x – 1 + 5x + 3 = 4x – 8 + 6x + 9 + 3x + 13

Al resolver la ecuación anterior se darán cuenta que x vale 5 y que al sustituir este valor en las expresiones que indican las medidas de los lados, resulta que los triángulos tienen sus lados respectivamente iguales, razón suficiente para considerarlos congruentes por el criterio LLL.

1

X²X²X²

2

Una pregunta de reflexión es la siguiente, ¿todos los triángulos de igual perímetro son congruentes?

Consigna. Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas.

1. Analicen los siguientes casos y determinen si se trata o no de triángulos semejantes, argumenten sus respuestas:

a) Dos triángulos isósceles ABC y MNL en los que el ángulo desigual mide 45°.

b) Dos triángulos rectángulos cualesquiera.

2. El siguiente dibujo representa una parte lateral de una piscina, la cual tiene 2.3 m de ancho. Con base en la información de la figura, contesten lo que se pide.

¿Qué profundidad (x) tiene la piscina?

¿Cuál es la distancia que hay desde el punto G hasta H?

3. Dos caminos que son paralelos entre sí, se unen por dos puentes, los cuales se cruzan por un punto O, como se muestra en la figura.Considerando las medidas que se muestran, ¿cuál es la longitud total de cada puente?

2

3

Consigna: Trabajen en equipo con el problema siguiente:El dibujo corresponde a un portón hecho por un herrero. Su ayudante dice que existe relación entre los segmentos (ED’, D’C’, C’B’, B’A’) de la barra reforzadora (EA’) y la medida del ancho de cada lámina (ED, DC, CB, BA) que forma el portón. ¿Cuánto deben medir de ancho las láminas que hay en los extremos? ________________________

a) Describan en forma breve qué relación existe entre esas

medidas._________________________________________________

b) Observen y comenten qué otras relaciones encuentran, además de las

que señala el ayudante del herrero. Justifícalas

________________________________________________________

________________________________________________________

Consigna 1. Organizados en parejas señalen los puntos donde el segmento corta a las rayas de la hoja de un cuaderno.

3

3 3

1.8

3.6

3.6

1.8

4

a) ¿Cuántos puntos obtuvieron? ________________________________

b) ¿En cuántas partes quedó dividido el segmento? _________________

c) ¿Por qué se puede asegurar que todas esas partes son iguales? _________________________________________________________________

_______________________________________________________________

Consigna 2. Enseguida, dividan el segmento que aparece abajo en 7 partes iguales; pueden usar escuadras y compás.

Describan el procedimiento utilizado y justifíquenlo: _____________________________________________________________________________________

Consigna 1: Reunidos en equipos, realicen las siguientes actividades:

a) Dividan el segmento AB en dos partes, de tal forma que la razón entre las medidas de las dos partes sea 2:3

B

A

b) Dividan los segmentos en partes cuya razón sea la indicada.

4

5

Consigna 2: La siguiente fotografía, es un homenaje a Escher. Las líneas negras se colocaron para resaltar las dos alturas que se observan de la construcción. Digan qué relación existe entre dichas alturas y los segmentos que las unen. Justifiquen su respuesta.

Consigna: Organizados en equipos realicen el siguiente experimento:1. Utilizando la pared como pantalla o fondo, coloquen un objeto (por

ejemplo: un vaso, el borrador, un lápiz, una vela, un CD o una de tus manos) a 1 m de distancia de ella. Después, iluminen dicho objeto con una lámpara de mano a 50 cm de distancia de él en línea recta, de tal forma que se proyecte la sombra del objeto en la pared.

2. Enseguida, acerquen y alejen la lámpara del objeto, y observen qué sucede en ambos casos.

3. Dejen fija la lámpara a 1 m de la pared, acerquen y alejen el objeto de ella. Expliquen lo que sucede en ambos casos.

4. Midan las distancias entre la lámpara y el objeto y entre éste y la sombra. También midan la longitud del objeto y la de la sombra. Verifiquen que la razón entre las distancias es igual a la razón entre las longitudes.

Consigna 1: En equipos, analicen la siguiente figura y contesten las preguntas planteadas.El foco alumbra un pino y éste proyecta una sombra de mayor tamaño sobre la pared. Los segmentos de recta unen todos los vértices del arbolito con los de su sombra y la prolongación de éstos hacia la izquierda coincide en un punto O.

5

A

A’E

DCB

6

a) ¿Cuál es la razón entre OA’ y OA?______________________________b) Elijan otro par de segmentos, sobre una misma recta, y verifiquen que

guardan la misma razón que OA’ y OA.c) Comparen la altura de la sombra con la del pino y anoten la relación

entre ambas medidas.________________________________________

Consigna: Organizados en equipos, realicen la siguiente actividad.Tomen el punto O como centro de homotecia y únanlo con el punto A, prolónguenlo una distancia igual a OA para ubicar el punto A’; hagan lo mismo con los puntos: B, C, y D para encontrar los puntos B’, C’ y D’, Después, unan los cuatro puntos obtenidos para formar el polígono A’B’C’D’ y contesten las preguntas.

a) ¿Qué relación existe entre la medida de

los lados de ambos polígonos?_________________________________________________

b) ¿Cómo son los ángulos de las dos figuras?_______________________c) ¿Qué relación existe entre los perímetros de ambas figuras?

_______________________________________________d) ¿Qué relación existe entre las áreas de ambas figuras?

___________________________________________________e) ¿Cuál es la razón de homotecia? _____________________________

6

5 cm

3 cm2 cm

D

C

B

A

7

Consigna: Organizados en equipo realicen la siguiente actividad:Tomen como centro de homotecia el punto O, tracen los segmentos AO, BO, CO y prolónguenlos hacia la izquierda la misma distancia. Ubiquen los puntos A’, B’, C’ y únanlos para formar un nuevo triángulo.

a) ¿En qué posición está el nuevo triángulo con respecto al original?________________________________________________

b) ¿Dónde quedó el punto de homotecia con respecto de las dos figuras?_________________________________________________

c) ¿Cuál es la distancia OA?__________________________________d) ¿ Y cuál la de OA’?________________________________________e) Si consideran el punto de homotecia O, como origen en una recta

numérica, ¿cuál es el sentido que tiene la distancia OA?________________ ¿Y el sentido de OA’?__________________

f) ¿Cuál es la razón de homotecia? ___________________________ g) ¿Cuál es el perímetro de ambas figuras?_______________ ¿Cuál es

su área?_________________________

Consigna: Organizados en parejas, analicen el siguiente dibujo y contesten las preguntas.La figura 1 es la original, la figura 2 es la primera figura homotética (sombra 1) y la figura 3 es la segunda figura homotética (sombra 2). Se sabe que OP = 4 cm, OP’ = 8 cm, P’P’’ = 8 cm y QR = 3cm.

7

6

108

C

B

A

O

8

1. ¿Cuál es la razón de homotecia de la figura 2 con respecto de la 1?_______2. ¿Cuál es la razón de homotecia de la figura 3 con respecto a la 2?________3. ¿Cuál es la razón de homotecia de la figura 3 con respecto a la 1?________4. Si el segmento QR mide 2.6cm, ¿Cuánto mide el segmento Q’’R’’?

____________

Consigna: Reunidos en equipos, analicen la información y luego hagan lo que se pide.

1. Se soltó una pelota en caída libre y se registraron algunos datos en la tabla.

8

9

a) Tracen la curva que pasa por los puntos marcados.

b) Si se propone una función cuadrática de la forma como modelo continuo, ¿cuáles son los valores de a, b y c de la función para t=0, t=1 y t=2? Para encontrar dichos valores, completen y resuelvan las ecuaciones.Para t = 0: 0 = a(02) + b(0) + c de esta ecuación se desprende que c = ______

Para t = 1: 4.9 = a(12) + b(1) de esta ecuación resulta que 4.9 =

Para t = 2 19.6 = La segunda y tercera ecuaciones forman un sistema de ecuaciones simultaneas del que se obtienen los valores de a y b. ¿Cuáles son esos valores? a = ____ b = ___

9

Tiempo en segundos 0 1 2Distancia del punto inicial hacia el suelo en metros

0 4.9 19.6

0 1 2

19.60

4.9

d ( t )

t

10

c) Escriban la función que modela el fenómeno, luego, completen la tabla y grafiquen los datos.

t d ( t, d )0 0 ( 0, 0 )1 4.9 ( 1, 4.9 )2 19.6 ( 2, 19.6)3 ( 3, )4 ( 4, )

1. Analicen la siguiente gráfica, ésta representa la variación del área de un rectángulo en función de la medida de la base, cuando el perímetro es constante (10 cm).

10

y

x

Perímetro: 2 x+2 y=10 →y=10−2 x

2=5− x

Área: A=xy → A=x (5−x )=5 x−x2

Area (cm2)

Base (cm)

5.554.543.532.521.510.50

7

6.5

6

5.5

5

4.5

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

11

a) ¿Por qué la curva no pasa por el origen de coordenadas?_______________________________________ ________________________

b) ¿Cuántos rectángulos de 10 cm de perímetro pueden formarse? _________ ¿Por qué? ______________________________________________________

c) ¿Cuánto mide la base cuando el área es igual a 4 cm2? ___________________

d) ¿Entre qué valores enteros de la base se encuentra el rectángulo de área máxima? __________________________________________________

e) ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de área máxima? ______________

Consigna: Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema.

1. La siguiente gráfica representa la relación entre el área de una imagen proyectada en la pared y la distancia a la que se coloca el proyector. Analicen la información y posteriormente contesten lo que se pide.

11

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110.000.250.500.751.001.251.501.752.002.252.502.753.003.253.503.754.004.254.504.755.005.255.50

Relación del área de la pantalla que se proyecta y la distancia del pro-

yector

Distancia (m)

Área

(m2)

a) ¿Cuál es el área de la imagen en la pantalla si el proyector se encuentra a una distancia de 5 m? ____________________________________________________

b) ¿A qué distancia deberá colocarse el proyector con respecto a la pantalla para que la imagen tenga un área de 4 m2? ______________________________________

c) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área de la imagen proyectada en función de la distancia a que se coloca el proyecto? _________________________

¿Cuál es el área de la imagen en la pantalla si el proyector se encuentra a una distancia de 5.5 m? _________________________________________________

12

13

Consigna: En parejas, analicen la siguiente gráfica que representa el recorrido que hizo Juan para realizar una compra. Posteriormente contesten las preguntas.

a) ¿A qué distancia de la casa de Juan queda la tienda?b) ¿Cuánto tiempo tardó en hacer la compra?c) ¿A qué velocidad se desplazó de la tienda a su casa?d) Si llegó a las 11:30 horas a la tienda, ¿a qué hora salió de su casa?

Analiza la siguiente gráfica que representa la variación de la cantidad de agua en un tinaco de una casa, a partir de que se abre la llave de llenado, misma que permanece abierta y descarga 18 litros cada 2 minutos. Posteriormente contesta lo que se pregunta.

a) ¿Cuántos litros de agua tiene el tinaco al minuto 10?

13

●●

●

50

100

150

250

300

350

40

Distanci

a desde la casa (metros)

Tiempo (minutos)

3532520 1510 0 50

200

400

450

500

550

600

●

●

●●

10

20

30

50

60

70

40

Número de litros de agua

Tiempo (minutos)

3532520 1510 0 50

40

80

90

100

110

120

14

b) ¿Durante cuál intervalo de tiempo se utiliza agua?c) ¿Qué sucede con la cantidad de agua entre los minutos 10 y 20? ¿Por

qué?d) ¿Cuántos litros de agua cayeron al tinaco entre los minutos 25 y 30?

Consigna 1. En equipos, seleccionen el texto que mejor describe la siguiente gráfica:

a) Ricardo salió a caminar cerca de una pendiente y le tomó menos tiempo bajar por el lado más bajo que por el más alto.

b) Maribel manejaba su coche a cierta velocidad, un policía le dijo que se detuviera y después de recibir una infracción y de que el policía se retiró, ella manejó más rápido, llegó a una velocidad mayor a la que venía circulando y mantuvo esa velocidad durante cierto tiempo para recuperar el tiempo perdido por la infracción.

c) En un tanque había cierta cantidad de agua que quedó de la noche anterior. Pedro se empezó a bañar e hizo que la velocidad del flujo de salida de agua se redujera a cero. Tiempo después llegó el agua al tanque hasta que quedó lleno.

d) Beatriz vive en una casa a desniveles. Se encuentra sentada en la cocina de su casa durante cierto tiempo. Sube las escaleras hacia la sala de su casa y se queda viendo la televisión durante algún tiempo, finalmente sube las escaleras hacia su recámara y se queda dormida.

Consigna 2. Con el mismo equipo, ahora relacionen cada una de las siguientes gráficas con el texto que mejor describe su información.

14m(t)

I)

m(t)

II

15

Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas:

1. La mamá de Enrique y la Tía de Ana están embarazadas y próximamente darán a luz a sus bebés. ¿Qué probabilidad hay de que las dos tengan un hijo varón?________________¿Crees que los eventos varón y varón son independientes? ______ Explica por qué ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Se lanzan simultáneamente un dado y una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga sol y el número 4?____________

Explica por qué los eventos caer sol y número 4 son independientes. _________

15

Tiempo

m(t)

III

16

a) La permanencia de una medicina en el cuerpo de un paciente, la cual es administrada por medio de una inyección.

b) La permanencia de una medicina en el cuerpo de un paciente, la cual es administrada por medio de píldoras cada cierto tiempo.

c) La permanencia de una medicina en el cuerpo de un paciente, la cual es administrada por medio de una mezcla del medicamento con suero y vía intravenosa.

Consigna 1. La gráfica que aparece a continuación representa el comportamiento de la temperatura de cierta solución (compuesto químico) en diferentes instantes. Organizados en parejas, hagan lo que se indica.

Describan y argumenten:

A. QUÉ OCURRIÓ DEL INICIO A LOS 5 MINUTOS

B. De los 5 minutos a los 8 minutos.

16

5

4

32

1

(Grados)

(Minutos)

17

C. De los 8 a los 9 minutos.

Consigna 2. Las siguientes gráficas representan el llenado de recipientes conforme varía la altura que va alcanzando el líquido en relación con el tiempo. Asocien cada uno de los 4 recipientes con su respectiva gráfica. Justifiquen sus respuestas.

Consigna: Organizados en equipos, bosquejen una gráfica que represente cada una de las siguientes situaciones:

a) La altura de los rebotes de una pelota que cae desde la azotea de una casa con respecto al tiempo.

b) La altura con respecto al tiempo de izar manualmente una bandera en un asta.

c) La altura que alcanza el líquido en el recipiente que se muestra en relación con el tiempo.

Para el caso de la pelota puede resultar una gráfica semejante a la siguiente:

17

18

y

0 x

Consigna: En equipos, determinen el espacio muestral del experimento que consiste en lanzar dos dados y observar los números de ambas caras, después contesten:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos caras tengan en número par?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que en ambas caras aparezca el mismo número?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ambas caras sea 10?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ambas caras sea 10 o 6?

e) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ambas caras sea 10 y que ambos números sean iguales?

Consigna: En equipos, calculen la probabilidad de los siguientes eventos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que en ambas caras aparezca el número 2?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ambas caras sea 7 o que ambos números sean iguales?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ambas caras sea 7 y que ambos números sean iguales?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ambas caras sea 4 y que ambos números sean iguales

Consigna: Organizados en equipos analicen y resuelvan las siguientes situaciones.

Situación 1.

18

Tiempo

Altura

19

a) Calcular la probabilidad de obtener 1 y águila al lanzar un dado y una moneda.

b) Calcular la probabilidad de obtener 1 al lanzar el dado, sabiendo que ya salió águila al lanzar la moneda.

Situación 2.a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par y menor que 4 al

lanzar un dado?b) Sabiendo que ya salió par, ¿cuál es ahora la probabilidad que sea

menor que 4?

Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas:

3. La mamá de Enrique y la Tía de Ana están embarazadas y próximamente darán a luz a sus bebés. ¿Qué probabilidad hay de que las dos tengan un hijo varón?________________¿Crees que los eventos varón y varón son independientes? ______ Explica por qué ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Se lanzan simultáneamente un dado y una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga sol y el número 4?____________

Explica por qué los eventos caer sol y número 4 son independientes. _________

19