24

Unitatearen aurkezpena

•Unitatehonetanberrikusikoetasakondukodituguaurrekounita-teanlandutakoeragiketakegitekoteknikak.

•Ikasleek,aurrekoikasturteetan,berretzailepositiboadutenbe-rreketaketahaienpropietateaklandudituzte.Unitatehonetan,berretzailenegatiboaedozerodituztenakaurkeztukoetasakon-dukoditugu.Berreketenpropietateakadierazpenaksinplifikatze-koaplikatzeaezdagaierrazaizatenikasleentzat;horidelaeta,komenidagaiamodupatxadatsuanlantzea.Horrela,ikasleekedukiabarneratzealortukodugu.

•Notaziozientifikoarenirakurketaetaidazketaezagutzeaketain-terpretatzeak,dokumentuidatzietanetakalkulagailuan,eremuzientifikoankalkulatzekoetainformazioainterpretatzekoaukerakematendituzte.

•Azkenik,zenbakibatenenegarrenerroazerdenlandukodugu.Kontzeptuhorienegarrenberreketarilotutadago.Enegarrenerroaerrozehatzak(horietanzenbakiarrazionalbatlortzenda),etaerroez-zehatzak(zenbakiirrazionalekinidentifikadaitezkee-nak)kalkulatzekoerabiltzenda.

•Ikasturtehonenhelburuaezdaerrotzaileaksakonaztertzea.Horidelaeta,horienerabilerariburuzkozenbaitaraubainoezdiraaurkezten,ikasleekakatsikeginezdezaten.

•Unitatekoedukiteorikoaosatzeko,honakohaueklandukoditu-gu:zenbakiarrazionaleiburuzkobitxikeriak(zatikietahamartargisa),etazenbakihamartarez-periodikoak(irrazionalak)egotea.

Gutxienekoezaguerak

Unitateaamaituorduko,ikasleekezaguerahauekjakinbeharkodi-tuzte,gutxienez:

•Berretzaileosokoberreketakkalkulatzea.

•Berreketenpropietateakerabiltzea,kalkuluerrazaksinplifikatzeko.

•Errozehatzakkalkulatzea,enegarrenerroarendefinizioaaplika-tuz.Erro-kopuruajustifikatzea,errotzaileabikoitiadeneneanedobakoitiadenean.

•Zenbakiaknotaziozientifikoan interpretatzeaetaadieraztea.Eragiketakzenbakiekinnotaziozientifikoan,kalkulagailuaerabiliz.

2 Berreketak eta erroak

24

Unitatearen eskema

ZENBAKI ARRAZIONALAK

a) Zeroezdenzifrabakarbatekosatutakoatalosoa.

b)Atalhamartarbat.c) 10nfaktorea,

(n,zenbakiosoa).

•npositiboabada,zenbakia«handia»da.

•nnegatiboabada,zenbakia«txikia»da.

ZenbakiarrazionalbatberretzaileosokoBERREKETAbatera

jasozgero,

ba

abn

n

n–

=e o

zenbakiarrazionalbatlortukodugu.

BERRETZAILEOSOADUTENBERREKIZUNENPROPIETATEAK

am·an=am+n

(a·b)n=an·bn

(am)n=am · n

aa

n

m

=am–n

ba

ban

n

n

=e o

aetabzenbakiarrazionalakdirametanzenbakiosoakdira

honakohauenbitartezadieraztenda:

Emaitzazenbakiarrazionalbatda.

Emaitzazenbakiirrazionalbatda.

BERREKETAK ERROAK

ZEHATZA EZZEHATZA

NOTAZIOZIENTIFIKOA

Zenbakiarrazionalbatenenegarrenerroaizandaiteke:

25

Osagarrigarrantzitsuak

•Eragiketakzenbakiekinnotaziozientifikoan,arkatzaetapaperaerabiliz.

•Errotzaileakerabiltzekooinarrizkozenbaitarauezagutzea.

•Notaziozientifikoanadierazitakodatuakdituztenproblemakebaztea.

•Zenbakiarrazionalaketairrazionalakantzematea.

Lanakaurreratu

•Berretzailenaturaladutenberreketakberrikustea.

•Berretzailenaturaladutenberreketenpropietateakberrikustea,baitahaiekineragiketakegitekoprozedurakere.

•Berrekizun10dutenberreketekineragiketaknolaeginbehardirenberrikustea.Buruzkokalkulua.Konparazioa.

•Berreketaklantzekoteklakerabiltzea,kalkulagailuan.

LANKIDETZAN IKASI PENTSAMENDU ULERKORRA PENTSAMENDU KRITIKOA

28.or.Pentsatuetapraktikatu.(*) 28.or.Ariketaebatzia.(*) 30.or.1.ariketa.(*)

29.or.Pentsatuetapraktikatu.(*) 29.or.Ariketaebatziak.(*) 32.or.2.ariketa.(*)

36.or.PDhonetaniradokitakoariketa.(*) 32.or.1.ariketa.(*) 37.or.Eginteoriariburuzkogogoeta.(*)

37.or.PDhonetaniradokitakoariketa.(*) 33.or.4.(*)eta5.(*)ariketak.

34.or.1.ariketa.(*)

35.or.Ariketaetaproblemaebatziak.(*)

33.or.8.(*)eta9.(*)ariketak.

DIZIPLINARTEKOTASUNA IKT EKIMENA PROBLEMAK EBAZTEA

30.or.PDhonetaniradoki-takoariketa.

31.or.Ariketaebatziaeta3.ariketa.(*)

27.or.PDhonetaniradokitakoariketa.

Ikaslearenliburuanproposatutakoproblemaguztiakatalhonidagozkio.Jarraian,interesbereziadutenbatzukadierazikoditugu.

36.or.10.ariketa. 36.or.11.(*),12.(*),13.(*)eta14.(*)ariketak.

27.or.Ebatzi.(*) 37.or.26.ariketa.

37.or.25.ariketa. 38.or.«Eginsusmoaetaorokortu»ariketa.(*) 39.or.«Trebatuproblemakebatziz».(*)

Jarraianaurkeztuduguntaulan,lankidetza,pentsamenduulerkorra,pentsamendukritikoa,diziplinartekotasuna,IKTak,ekimenaetaproblemenebazpenalantzekoariketa-sortabatproposatudugu.Horietakobatzukikaslearenliburuanpro-posatuditugu,etahemenadieraziditugubakoitzaridagozkionorrialdeaetaariketa.Besteariketabatzuk,ordea,Proposamendidaktikoanbertanjasoditugu.

Iradokizunhorienaukeraketabatikaslearenliburuandagoadierazita,ikonobatekin;hemen,izartxo(*)batekinadieraziditugu.

26

2726

2 Berreketak eta erroakZer da gugola ?

Bat idazten duzula joko dugu atzean ehun zero dituela:

10 000 000 … 000 100 zero

Zenbaki horri gugol, esaten zaio; izen hori, ingelesera itzuliz gero googol idatziko litzateke. Ezagun egiten al zaizu? Bai, ezta? Hori omen da bilatzaile informatiko ospetsuari ipini nahi izan zioten izena, indar eta eraginkortasun eskergaren ideiarekin lotuta. Azkenez, merkataritza-arrazoiak direla eta, antzeko izena eman zioten: «Google».

Eta zenbaki hori handia dela uste izanez gero, pentsatu orain zenbaki bat eta gugol bat. Zenbaki horri gugolplex edo googolplex esaten zaio.

Gauza al zara kalkulatzeko zenbat paper beharko zenukeen zenbaki horren zifra guztiak idazteko? Ezinezkoa!!

Ebatzi

1. Kabituko lirateke Budaren semeak Indian? Kontuan hartuta Mahabharata eta Indiak, gutxi gorabehera, 3 milioi kilometro karratuko azalera duela:

a) Zenbat metro karratu izango luke beretzat Budaren seme-alabetako bakoitzak?

b) Zenbat jainko eta jainkosa egongo lirateke metro karratuko?

2. Zer leku har dezakete 1040 tximinok? Tximino batek 10 litro inguruko bolu-mena okupatzen duela eta esfera baten barruan 1040 tximino sartzen ditugula, ondo estututa, joko dugu.

Zer radio izango luke esfera horrek?

oharra: Uranotik Eguzkirako distantzia 2 870 milioi kilometrokoa da, gutxi gorabehera.

3. a) Honako berreketa hauetako zein edo zeintzuk erabil daitezke gugolplex bat adierazteko?

10(10100)

10100

10(102)

10(10010)

b) Zer da handiena, gugolen gugola ala gugolpexa?

c) Paper-orri batean, ondo estututa, 3 000 karaktere sartzen direla joko dugu. Gauza izango al zinateke gugolplex hori zifra guztiekin idazteko zenbat orri beharko liratekeen adieraziko lukeen esaldia asmatzeko?

Zenbaki handiak Indian…Antzinako indiarrei itzelean gustatzen zitzaizkien zenbaki eskergak. Gutxi gorabehera, K.a. vi. mendekoa den Mahabharata olerki handian, Budak 6 · 1011 seme-alaba izan zituela eta 24 · 1015 jainko eta jainkosa zeudela esaten da.

… Eta antzinako GrezianArkimedes matematikari eta asmatzaile handiak (K.a. iii. mendea) harea aleen kopurua «infinitu ez» zela frogatzeko, unibertsoan kabitzen diren baino harea ale kopuru handiagoa idaztea bururatu zitzaion. Eta liburu bat idatzi zuen horretarako, Harea aleen kalkulua izenekoa; liburu horretan, zenbaki itzel handiak idazteko sistema asmatu behar izan zuen.

Zenbaki Sistema Hamartarra (ZSH) iristeaGure zenbaki-sistema arabiarren bidez (ix. mendean) iritsi zen mendebal-deko zibilizaziora; arabiarrek, aldiz, indiarrengandik bereganatu zuten vii. eta viii. mendeetan zehar. Horregatik, gaur egun «arabiar zenbakikuntza» deritzogunari «hindu» edo «hindu-arabiar» esan beharko genioke.ZSH horrek hegoak eman zizkion matematikaren garapenari, sistema hori eguneroko egoeretan aplika-tzeaz gain.ZSHaren egituraren eta berre-keten bidez, erosotasun eta erraztasun handiz adieraz dai-tezke tamaina handiko zenba-kiak, oso handiak zein oso txi-kiak izan.

Swayambhunath tenplua Katmandu haranean (Nepal).

Gripearen birusak 10 –7 metroko batez besteko diametroa du.

«Arkimedes pentsakor», Domenico Fetti.

Indiako antzinako herri-legendak 10 40 tximinok parte hartu zuten borroka deskribatzen du.

Unitatea hastekoOrrialdehauekirakurriz,honakoideiahaueknabarmendukoditugu:

•Antzinakozibilizazioetanzenbakiosohandiakzeudela,k.a.vi.mendetikaurrera(Indian,Grezian…).

•Notazioaosomodueraginkorradelaberreketakadierazteko.

•Gurezenbaki-sistemahamartarrarengarrantzia,indiarrengandikjaraun-tsidugunaetaarabiarreieskerguganaheldudena.

•Arkimidesmatematikariarengarrantzia,antzinatekoetahistoriakomate-matikaririknabarmenetakoazeneta.

•Zenbakiosohandibatzuenizenenesanahiaetaerabileragauregun(gugol, gugolplex).Izanere,horietatikhartuduizenaInternetekobilake-ta-enpresarikezagunenak.

Aurrejakintzak identifikatzeko ideiak•«Ebatzi»atalarenariketetan,honakohaunahida:ikasleekzenbakioso

handiakdituztenproblemakplanteatzekoetaebaztekogai izatea.Ikasleekatalhonetandituztenzailtasunakabiapuntuizangodiraunita-teanzeharlandukodugunnotaziozientifikoariheltzeko.

Ekimena Honakoariketahauiradokitzendugu:

Ikertu:Zerdagugolplex?

«Ebatzi» atalaren soluzioak

1 a)5m2

b)8000jainko-jainkosaegongoliratekemetrokarratuko.

2 2870milioikm-koradioa,gutxigorabehera.

3 a)Gugol:bigarrenaetahirugarrena.Gugolplex:lehenengoa.

b)Gugolengugola.

c)3,33·1096orri,gutxigorabehera.

OHARRAK

27

2928

Berretzaile positiboa duten berreketakBerretzaile positiboa (1, 2, 3, …) duten berreketak errazak dira interpretatzen:

a1 = a a n = a · a · … · a n aldiz

Adibidez: 81 = 8, (– 6)4 = (– 6) · (– 6) · (– 6) · (– 6), · ·2 272

72

7 7

3=d n

Propietateak

1 a m · a n = a m + n

2 (a · b )n = a n · b n

3 (a m )n = a m · n

4 aanm

= a m – n

5 ba

bannn

=b l

Adibidez: a 3 · a 4 = (a · a · a) · (a · a · a · a) = a 3 + 4

Adibidez: (a · b)3 = (a · b) · (a · b) · (a · b) = = (a · a · a) · (b · b · b) = a 3 · b 3

Adibidez: (a 2)3 = a 2 · a 2 · a 2 = = (a · a) · (a · a) · (a · a) = a 2 · 3

Adibidez: aa

a a a aa a a a a a a

1· · ·· · · · ·

46 6 4–

= = = a 6 – 4

Adibidez: · ·· ·· ·

ba

ba

ba

b b ba a a

ba

ba3

33

= = =b l

Berretzailea zero edo negatiboa duten berreketakAurreko orrialdeko 4 propietateak m > n-rako baino ez zuen balio. Orain m = n edo m < n izanez gero zer gertatuko litzatekeen ikusiko dugu:

aa3

3 = a 3 – 3 = a 0. Baina

aa3

3 = 1. Ondorioz, a 0 = 1 izan beharko luke.

aa

53

= a 3 – 5 = a –2. Baina ·a

aa a a a a

a a aa1

· · ·· ·

53

2= = → a –2 =

a12

Berdintza horiek honako definizio hau iradokitzen digute:

a zero ez den zenbaki arrazionala eta n osoa izanez gero:

a 0 = 1 a –n = a1n

Ondorioz: ba

ab

abn

n

nn–

= =b dl n

Berretzaile positiboko berreketetarako genituen propietateak baliagarriak dira edozein berretzaile osoko berreketetarako ere.

1 Berreketa

Hartu kontuan4 propietateak, oraingoz, honeta-

rako baino ez du balio m > n.

LaburbilduzDefinizioa

a 0 = 1, a 1 = aBaldin eta n > 1, a n = a · a · … · a n aldiza –n = 1/a n

PropietateakBaldin m, n ∈ Z, betetzen da:1 a m · a n = a m + n

2 (a · b)n = a n · b n

3 (a m)n = a m · n

4 aa

nm

= a m – n

5 ba

ban

nn

=b l

1. Laburtu berreketa bakar batera.

a) 43 · 44 · 4 b) (56)3 c) 77

46

d) 3

1533

e) 210 · 510 f ) · 43

1255

5

g) (a 6 · a 3)2 : (a2 · a 4)3 h) (62)3 · 35 · (27 : 22)

2. Kalkulatu berreketaren propietateak erabiliz.

a) 23 · 54 b) (65 : 24) : 35 c) ·32

43

36d dn n

d) 28 · 25 4d n e)

220

66

f ) 220

56

g) (33)2 : 35 h) (25)3 · [(53)4 : 23]

Pentsatu eta egin 3. Adierazi berrekizuna 10 duen berreketa eran 0,00001 : 10 000 000 eragiketaren emaitza.

4. Adierazi zatiki sinplifikatu eran.

a) 33

54

b) 5–1 c) a – 6 d) x –1y –2

e) yy

xx

6

3 4

2 f ) (3xy 2)–2 g) 5 · 3–1 · xy –2

5. Laburtu zenbaki arrazional bakar batera.

a) 51

2d n b)

51

2–d n c)

51–

2–d n

d) 43

2–d n e) ·

51

21

6–d n f )

21

51·

6 6d dn n

g) 32

32·

3 2d dn n h)

4517 0d n i)

31

3 2–d n> H

Pentsatu eta egin

Ariketa ebatziaBerreketa bakarrera laburtzea.

a) 52 · 56 · 53 b) (2 3)4

c) 55

6

8 d)

714

5

5

e) 2 7 · 57

f ) (7 4 · 7 5) : (7 · 7 3)2

a) 52 · 56 · 53 = 52 + 6 + 3 = 511 ( 1 propietatea)

b) (23)4 = 23 · 4 = 212 ( 3 propietatea)

c) 55

68

= 58 – 6 = 52 ( 4 propietatea)

d) 714

714

55 5

=d n = 25 ( 5 propietatea)

e) 27 · 57 = (2 · 5)7 = 107 ( 2 propietatea)

f ) (74 · 75) : (7 · 73)2 = 79 : (74)2 = 79 : 78 = 7 ( 1 , 3 eta 4 propietateak)

Ariketa ebatziak1. Honako zenbaki hau berre-

kizuna 10 duen berreketa eran adieraztea:

0,0000000000001

0,0000000000001 = 110000000000000

= 11013

= 10–13

2. Sinplifikatzea.

a) 53

59·

4 3–d dn n

b) 25

2 3– –

d n> H

c) 2 8 9 3

2 4 3 9· · ·

· · ·4 5

6 3 4 2

– –

– –

a) · ·· ( )

···

·53

59

53

5 33 5

5 33 5

4595

3 51 1

4 3

44

4 2 34 3

4 64 3

33

2

–= = = = =d dn n

b) 3 propietatea aplikatuz ebatz daiteke:

25

25

25

25

6415625( )·( )2

3 2 3

666–

– – –= = = =d d dn n n> H

c) 2 8 9 3

2 4 3 92 2 3 32 2 3 3

· · ·· · ·

· · ·· · ·

4 5

3 4 2

4 3 2 5

6 6 4 46

– –

–

– –

– ––= = 2– 6 + 6 + 4 – 3 · 34 – 4 – 2 + 5 = 2 · 33 = 54

Berretzaile arrunta duten berreketen eragiketak berrikusteko ariketak.

Webgunean

Berretzaile osoko berreketen eragiketak berrikusteko ariketak.Webgunean

Berretzaile osoko berreketen eragiketak indartzeko ariketak.Webgunean

Iradokizunak•Aurrekoikasturtean,ikasleekberretzailenaturaladutenberreketakikasi

dituzte,baitahorienpropietateakere.Ikasturtehonetan,ikasleakpro-pietatehoriekulertzekoetajustifikatzekogaiizateanahidugu.

•Xedehorrekin,adibidez,biderkadurabatenberreketakalkulatzeko,berre-ketarendefinizioaaplikatzenda,trukatze-etaelkartze-propietateakera-biltzendira,eta,azkenik,berreketarendefinizioaaplikatzendabestebehinere.Horrela,propietatearenadierazpeneraheldukogara:(a·b)n=an·bn.

•Osokomenigarriadaikasleakgaiizateaberreketenpropietateaktermi-nologiazehatzarekinadierazteko:berrekizuna,berretzailea,berrekizunberekoberreketenbiderkadura,biderkadurabatenberreketa…

•28.orrialdekoproblemaebatzietakobakoitzean,atalbakoitzeanaplika-tutakopropietateaknabarmenduditugu.Proposatutakoariketakegite-rakoan,interesgarriaizandaitekeikasleekgauzaberaegitea.

•Berretzailepositiboadutenberreketenaldean,berretzaileazeroedone-gatiboadutenberreketakezdirahainintuitiboak.Horidelaeta,zehatza-golandubeharditugu.Azkenbatean,ikasleekhonelainterpretatube-har dute berretzaile negatibora jasotako zenbaki bat: berretzailepositiboaduenzenbakibatenalderantzizkogisa.

•Gomendagarriadaberretzailepositiboaetanegatiboadutenberrekete-kineragiketaugariegitea.Bereziki,berrekizun10dutenberreketeierre-paratukodiegu,notaziozientifikoanerabiltzenbaitira.

Indartu eta sakonduHonakohauekgomendatzenditugu:

•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko1.koadernotik:

Indartzeko:16.orrialdeko1etik8rakoariketak.18.orrialdeko1etik8rakoariketak.

Sakontzeko:17.orrialdeko9tik18rakoariketak.19.orrialdeko9tik16rakoariketak.

•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTZEAmaterialetik:

S.:Afitxa,«Praktikatu»,1.ariketa.Bfitxa,«Praktikatu»,1.eta2.ariketak.

Lankidetzan ikasi Orrialdehauetanmetodologiahonijarraitzeairadokitzendugu:

•Ikasleaktaldetxikitanbanatukodira(bikoedohirukotaldeak).

•Ikasleekadierazpenmultzobatebatzikodute,bakarka.Gero,soluzioaketaprozedurakegiaztatukodituzte.

•Ezadostasunakegonezgero,akatsakazaleratukodituzte.Zalantzakar-gitzekogaiezbadira,edoadosjartzenezbadira,irakasleakpartehar-tukodu.

Ekimena Honakoariketahauiradokitzendugu:

«Ikertu:Zergertatubeharzaioberrekizun3duenberreketabatiberrekizun9duenberreketagisaadieraziahalizateko?»

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 a)48 b)518 c)72 d)53

e)1010 f) 1 g)1 h)611

2 a)5000 b)2 c)1/27

d)10000 e)1000000 f) 2000000

g)3 h)1000000000000

3 10–12

4 a)1/3 b)1/5 c)1/a 6 d)1/xy 2

e)x/y 2 f) 1/9x 2y 4 g)5x/3y 2

5 a)1/25 b) 25 c) 25 d) 16/9 e) 1000000

f) 1/1000000 g)32/243 h)1 i) 729

28

3130

Honako zenbaki hauek notazio zientifikoan adierazi dira:3,56 · 1013 = 35 600 000 000 000

13 zifra

9,207 · 10–16 = 0,0000000000000009207 16 zifraNotazio zientifikoak honako hobari hau du ohikoaren ondoan: zifrak zenbatuta ematen zaizkigu; ondorioz, magnitude-ordena bistakoa da. Notazio edo idazkera hori erabilgarri da, batez ere, zenbaki oso handiak edo oso txikiak adierazteko.Notazio zientifikoan adierazitako zenbakia honela dago osatuta:• Zero ez den zifra bakar batek osatutako atal osoa (unitateetakoak).• Gainerako zifra esangarriak, halakorik egonez gero, atal hamartar legez jarrita.• Zenbakiaren magnitude-ordena ematen duen berrekizuna 10 duen berreketa.

ATAL OSOA (ZIFRA BAKAR BAT) ATAL HAMARTARRA

N = a , b c d … · 10n

BERREKIZUNA 10 DUEN BERREKETA OSOA

n positibo izanez gero, N zenbakia «handia» da.Eta n negatibo izanez gero, N «txikia» da.

Eragiketak notazio zientifikoan adierazitako zenbakiekinNotazio zientifikoan adierazitako zenbakiekin eragiteko, era naturalean joka-tzen da, kontuan hartuz zenbaki bakoitza bi faktorek osatuta dagoela: adierazpen hamartarrak eta berrekizuna 10 duen berreketak.Biderkadura eta zatidura berehalakoak dira, batura eta kendura kalkulatzeko, aldiz, batugaiak berrekizuna 10 duen berreketa bera izateko prestatu beharra dago, horrela faktore komuna ateratzeko.

a) (4,73 · 107) · (7,5 · 105) = (4,73 · 7,5) · 107 + 5 = 35,475 · 1012 = = 3,5475 · 1013

b) , ·, ·

7 5 104 73 10

5

7

– = (4,73 : 7,5) · 107 – (–5) = 0,631 · 1012 = 6,31 · 1011

c) 4,73 · 107 – 7,5 · 106 = 47,3 · 106 – 7,5 · 106 = (47,3 – 7,5) · 106 = = 39,8 · 106 = 3,98 · 107

Ariketa ebatzia

Notazio zientifikorako kalkulagailuaEdozein motatako kalkulagailuak programatu daitezke notazio zientifikoan baka-rrik lan egiteko (SCI modua). Hobe izango da modu hori ez erabiltzea, arrunta (NORM) baino. Bilatu nola programatzen den zure kalkulagailuan. Mode-loen arabera, behin eta berriz q tekla sakatuz edo SHIFT SETUP bidez aurki dezakezu. 1~2? galdetuz gero, 2 erantzun. Horrela, erabilitako zifra hamarta-rren kopurua oso handia denean baino ez du joko notazio zientifikora.Berretzailea notazio zientifikoan jartzeko teklak, kalkulagailuaren modeloaren arabera, honako hauek dira: P edo @.

■ Interpretatzea

Kalkulagailuak pantailan kabitzen direnak baino zifra kopuru handiagoko emaitza lortzen baldin badu, notazio zientifikora jotzen du. Adibidez:

123 000 000 * 45 000 = {∫∫∫∞…∞«∞À’”}0,000123 / 50 000 = {∫∫∫“…¢\À—ÒÔ}

■ Idazkera

5,74 · 109 idazteko, honako hau egingo dugu: 5,74 P 9 [edo 5,74 @ 9]2,95 · 10–13 idazteko, honako hau egingo dugu: 2,95 P 13 ± [edo 2,95 @g 13]

■ Eragiketak

Eragiketak zenbaki arruntak balira legez kateatzen dira. Kalkulagailuak berak, = tekla sakatuz gero, emaitza era zientifikoan aurkeztuko du.

unitate-ordenetarako aurrizkiaktera 1012

giga 109

mega 106

kilo 103

hekto 102

deka 10dezi 10–1

zenti 10–2

mili 10–3

mikro 10– 6

nano 10–9

2 Notazio zientifikoa

Buruzko kalkuluaI. Eragin eta adierazi emaitza berre-

kizuna 10 duen berreketa eran:a) 1 000 · 100 000b) 1 000 · 0,01c) 1 000 : 0,01d) 1 000 : 0,000001e) 1 000 · 0,000001f ) 0,0001 · 0,01g) 0,0001 : 0,01

II. Adierazi zer balio duen n-k ber-dintza egia izan dadin:a) 374,2 · 105 = 3,742 · 10n

b) 374,2 · 10–7 = 3,742 · 10n

c) 0,031 · 105 = 3,1 · 10n

d) 0,031 · 10–7 = 3,1 · 10n

OharraAriketa ebatziko hiru ataletan, «kon-pondu» egin behar izan dugu azken soluzioa notazio zientifikoan adieraz-teko: zifra bakar bat atal osoan.

1. Egia ala gezurra?a) 5,83 · 10–5 < 2,01 · 104

b) 58,35 · 104 > 3,5 · 106

c) 6,2 · 10–3 < 5,8 · 10– 4

d) (3,1 · 105) · (3,3 · 10–5) < 10

2. Kalkulatu.a) (3,25 · 107) · (9,35 · 10–15)b) (5,73 · 104) + (–3,2 · 105)c) (4,8 · 1012) : (2,5 · 103)d) (1,17 · 108) – (3,24 · 10 – 6)

Pentsatu eta egin

3. Kalkulagailua erabiliz, ebatzi aurreko orrialdeko 2. ariketa.

Pentsatu eta egin

Ariketa ebatziaa) (3,214 · 10 –5) · (7,2 · 10 15)

b) ,

,7 2 10

3 214 10·

·15

5–

c) 3,2 · 108 + 7,3 · 10 –14 –

– 4,552 · 108

a) (3,214 · 10–5) · (7,2 · 1015) = (3,214 · 7,2) · 10–5 + 15 = 23,14 · 1010 = = 2,314 · 1011

Kalkulagailuarekin: 3,214 P 5 ±* 7,2 P 15 = {∫∫“…«‘¢≠°À’’}

b) ,

,7 10

102

3 214·

·51

5– =

,,7 2

3 214 · 10–5 – 15 = 0,446 · 10–20 = 4,46 · 10–21

Kalkulagailuarekin: 3,214 P 5 ±/ 7,2 P 15 = {∫¢…¢\«°°°£À—”’}

c) 3,2 P 8 + 7,3 P 14 ±- 4,552 P 8 = {∫∫∫∫–‘…«∞“À} Batu nahi ditugun zenbakiak magnitude-ordena oso desberdinekoak izanez

gero, kalkulagailuak erakusten duen emaitza ordena horietako handienaren parekoa da.

Adibidez: 7,32 P 4 + 5,35 P 17 = {∫∫∫∫∫∞…«∞À’Í}

Gogoratu berrekizuna 10 duten berreketen propietateak.

Webgunean

• Praktikatu berrekizuna 10 duten berreketekin.

• Praktikatu notazio zientifikoan idatziz.

• Praktikatu notazio zientifikoan adierazitako zenbakiak batuz.

Webgunean

Iradokizunak•Orrialdearenhasierakoadibideenbitartez,ikasleekargiikusikoduteoso

komenigarriadelazenbakiakmoduerrazeanadieraztea.Horrela,begira-tubatean,zenbakiosohandiakedoosotxikiakbereizikodituzte,etamagnitude-ordenakkonparatzekogaiizangodira.

•Helburunagusianotaziozientifikoanidatzitakozenbakiakinterpretatzeaeta adieraztea izangoda,papereaneta kalkulagailuan. Irakasleakhainbatadibidejarrikodizkieikasleei,kontzeptuhorrekegunerokobizi-tzanduenaplikagarritasunariburuzhausnardezaten.Honahemenzenbaitadibide:edozeinplanetatikEguzkiradagoendistantziaematea(milioikakilometrotanadierazita),ikasleekkilometrotannotaziozienti-fikoanadierazdezaten.Edozelularenbatentamainamilimetrotanema-tea,ikasleekzentimetrotannotaziozientifikoanadierazdezaten.

•Eragiketakegiterakoan,nabarmendukodugunotaziozientifikoanidatzi-takozenbakiakbifaktoredituela:zenbakiosoedohamartarbatetabe-rrekizun10duenberreketabat.Biderkaduraetazatidura,beraz,hamar-tarrenbiderketaedozatiketadira,etaberrekizun10duenberreketarenbiderketaedozatiketa.Batuketaetakenketazailagoakdira;izanere,horietangaiakprestatubehardira,berrekizun10duenberreketaberare-kinadierazibeharbaititugu,batuketaedokenketaeginahalizateko.Argidagohonekguztiakinteresteorikoabainoezduela,kalkulagailuakzuzeneanegitenbaititueragiketaknotaziozientifikoaerabiliz.Halaere,komenigarriairuditzenzaiguikasleekkalkulagailuarizereskatzendiotenjakiteaetaulertzea.

•Ikasleakedozeinzenbakinotaziozientifikoanidentifikatzekoetaadieraz-tekogaidirenean,horiekinkalkulagailuanlanegitenikasibeharkodute.Ezinbestekoadaulertzeakalkulagailuakhorrelaidatzitakozenbakiakno-laadieraztendituen,etazenbakiosohandiakedoosotxikiakhorrelaadieraztekoaukeraematendutenteklakzeindirenjakitea.

•Gomendagarriadaikasleeieskatzea,eragiketakegiteazgain,erabilidu-tentekla-sekuentziadeskribatzeko.Horriesker,kalkulagailuahobetoezagutukodute,etairakasleakakatsakzuzentzekoaukeraizangodu.

•Magnitude-ordenaosodesberdinekozenbakiekinbatuketakegiteangertatzendenareninguruanhausnartzeaosointeresgarriada.Halaber,gureburuarigaldediezaiokeguzergatikbatdatozenbatugaietakobatetaemaitza.Adibidez:

3·1018+5·103=3·1018edobestela3·1018–5·103=3·1018

Indartu eta sakonduHonakoakgomendatzenditugu:

•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko1.koadernotik:

Indartzeko:20.orrialdeko1etik4rakoariketak.

Sakontzeko:21.orrialdeko1.eta2.ariketak.

•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTZEAizenekofotoko-piatzekomaterialetik:

Indartzeko:Afitxako«Praktikatu»ataleko3.ariketa.

Sakontzeko:Afitxako«Aplikatu»ataleko1etik4rakoariketak.Bfitxako«Aplikatu»ataleko1etik3rakoariketak.

Diziplinartekotasuna Honakoariketahauiradokitzenda:

Idatzimatematikaezdenbestezientziabatzuekinlotutakolauegoera,nonnotaziozientifikoaerabiltzenden(bizenbakiosohandietarakoetabestebizenbakiosotxikietarako).

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 a)E b)G c)G d)F

2 a)3,03875·10–7 b)–2,627·105

c)1,92·109 d)1,17·108

3 Ikusiaurrekoariketa.

29

3332

■ Erro karratuak. Dakizunez, 81 = 9 zeren 92 = 81.

■ Erro kubikoak. 1253 = 5 zeren 53 = 125.

■ Beste erro batzuk. Antzean interpretatzen dira 3tik gorako errotzailea duten erroak:

25 = 32 denez, 325 = 2 izango da.

10 0004 = 10 zeren 104 = 10 000.

Orokorrean, a = bn izanez gero, orduan an = b.an adierazpenean, n errotzailea da eta a errokizuna.an zenbaki arrazionala baldin bada (osoa edo zatikiarra), orduan erroa

zehatza dela esaten da.

Errotzaileak12 espresioan, ez dago erroa ezabatzeko modurik horren gutxi beherako balio

hamartarra kalkulatzen baldin ez bada. Zehatz adierazteko modu bakarra dagoen-dagoenean uztea da; hau da, erro eta guzti.

Erro adieraziak ageri diren espresioei errotzaile esaten zaie.

Errotzaileak zuzen eta erraz erabiltzeko, beharrezkoa izango da ikasketa ona eta trebakuntza luzea izatea. Ikasturte honetan, araurik sinpleenetako batzuk ikasiko ditugu, baita egin behar ez dena ez egiteko arreta batzuk ere.

Errotzaileak erabiltzeko arau batzuk

■ Indize bereko errotzaileak biderkatzea

Indize bereko bi errotzaileren biderketa, errotzaile bakar baten bidez adieraz daiteke. Adibidez:

· ·3 2 3 2 6= = 5 515 15 75· ·3 3 3 3= =

■ Faktoreak erro batetik kanpo ateratzea

Faktoretan deskonposatutako errokizunak erroaren indize bereko edo erroa baino handiagoko berreketak izanez gero, horietako batzuk errotik atera daitezke.Adibidez:

·18 3 2 3 2 3 2·2 2= = = · ·3 3 3 381 3 3 33 3 3 3 3 34 3 3= = = =

■ Errotzaile bat berretzea

Errotzaile baten berreketa sinplifikatu egin daiteke berretzailea erroaren indi-zearen multiplo izanez gero. Adibidez:

( )2 2 234 3 2 6= =` j 10 10

8 24 =` j

■ Errotzaileak batzea eta kentzea

Bi errotzaile desberdin ezin daitezke batu horien gutxi gorabeherako espresio hamartarrak lortuz baino. Errotzaile berdin-berdinak baino ezin daitezke batu:

37

27– 3

+ 4 Gutxi gorabehera baino ezin daitezke egin edo adierazita utzi behar dira.

Honako espresio hauek sinplifikatu egin daitezke, ostera:

7 5 11 5 5 17 5–+ = 2 3 3 5 3 6 3–3 3 3 3+ =

3 Erroak eta errotzaileak

Buruzko kalkuluaSinplifikatu:a) 5 20· b) ·6 103 3

Buruzko kalkuluaDeskonposatu eta atera errotzailetik:

a) 50 b) 243 c) 2 0003

Buruzko kalkuluaKalkulatu zer balio duten honako hauek:

a) 36` j b) 23

6` j c) 5412` j

Buruzko kalkuluaSinplifikatu:

a) 4 5 5 57 –+

b) 44 5 4 7–3 3 3+

Bi erro karratuHartu kontuan:

32 = 9, (–3)2 = 9Ondorioz, 9k bi erro karratu ditu: 3 eta –3.Baina, kontuz!, 9 jartzen dugunean, erro positiboa adierazi nahi dugu, hau da, 9 = 3.Era berean, 16k bi erro laugarren ditu: 2 eta – 2.Baina 164 = 2.

1. Kalkulatu honako erro hauek:

a) 646 b) 2163

c) 14 400 d) 6416

e) 216643 f ) 1000

33753

g) , ·1 728 103 21 h) , ·2 025 10 11–

2. Egia ala gezurra?a) (–5)2 = 25 denez, orduan 25 = –5.b) –5, 25en erro karratua da.c) 81ek bi erro karratu ditu: 3 eta –3.d) 27k bi erro kubiko ditu: 3 eta –3.e) 7k bi erro laugarren ditu: 74 eta – 74 .f ) 4– = –2 eta 4 = 2.

Pentsatu eta egin

Ariketa ebatziaHonako erro hauek kalkulatzea:

a) 1649

b) 4 356

c) 6410003

d) 12435

e) , ·2 16 10143

f ) ,5 76 10· 8–

a) 47 2d n = 7

422

= 1649 . Ondorioz,

1649 =

47 .

b) 4 356 kalkulatzeko eskatzen zaigunez, 4 356 karratu perfektua dela egiazta-tuko dugu.

Horretarako, faktore lehenetan deskonposatuko dugu: 4 356 = 22 · 32 · 112. Hau da, 4 356 = (2 · 3 · 11)2 = 662. Beraz, 4 356 = 66.

c) 1 000 = 103, 64 = 43. Orduan, 64

10003 = 4

10 = 25 .

d) 243 = 35. Ondorioz, 243

15 = 31 .

e) 2,16 · 1014 = 216 · 1012 = 63 · (104)3 = (6 · 104)3.

Hortaz, ,2 16 10· 143 = 6 · 104.

f ) 5,76 · 10–8 = 576 · 10–10 = 26 · 32 · 10–10 = (23 · 3 · 10–5)2.

Beraz, ,5 76 10· 8– = 23 · 3 · 10–5 = 24 · 10–5 = 2,4 · 10– 4.

3. Sinplifikatu ahal izango dituzun espresioak:

a) 8 5 6 3– b) 3 5 4 5+ c) 25 8–3

d) 55 – 3 e) ·6 7 f ) ·6 73

g) 2 8· h) ·7 493 3 i) 5 5–3 6

j) 510` j k) 6 7` j l) 75

10` j

4. Ahal izango duzunean, atera errotzailetik.

a) ·3 52 4 b) ·2 33 5 2 c) 54 5

d) 180 e) 720 f ) 3753

5. Eragin eta sinplifikatu ahalik eta gehien:

a) 15 20· b) 6 16·5 5 c) · · 39 54 63 312` j

Pentsatu eta egin

Erro karratu zehatzen kalkulua indartzeko ariketak.Webgunean

Iradokizunak•Aurrekourteetan,ikasleekerrokarratuaketakubikoakikasidituzte,bai-

tahoriekberreketekindutenerlazioaere.Horrezgain,zenbakikarratuperfektuakereikasidituzte,baitazenbakinegatiboekezdutelaerroka-rraturik.Edozeinerrotzailetarakoerroarendefinizioaorokortuaurretik,kon-tzeptuhoriekberrikusteakomenida.

•Enegarrenerroarenkontzeptuaaurkeztukoduguhemen;terminohorienegarrenberreketarilotutadago.Halaber,enegarrenberreketakasuzehatzbatzuetanaplikatukodugu,hainzuzenereerrokizunahonelaadieraztekoaukeraematenduenean:berretzaileaerroarenerrotzailea-renmultiploduenberreketatzat(errozehatzak).

Errojakinbatzehatzadenalaezjakiteko,errokizunafaktorelehenetandeskonposatukodugu,etaharenberretzaileakerroarenerrotzailearenmultiplodirenalaezikusikodugu.

•Errotzaileabikoitiadenean,etaerrokizunapositiboa,bierrodagoelae-sangodugu.Eraberean,honakoideiahaunabarmendukodugu: 4 -rennotazioa4renerrokarratupositiboaridagokiosoilik.Negatiboaadierazinahiizanezgero,– 4 jarribeharradaukagu.

•Zenbakiarrazionalbat(errozehatzak)lortzendenkasueienegarrenerroa-rendefinizioaaplikatuostean,bestezenbaiterrolandukoditugu.Hainzu-zenere,honakohauek:zehatzadieraztekoberehorretanutzibehardire-nak,dagokienerroarekin.Horrela,errotzailearendefinizioraheldukogara.

•Ikasturtehonetan,ezdituguerrotzaileguztiakzehatzazalduko.Izanere,horienerabilerariburuzkozenbaitarauerrazbainoezdituguemango,ikasleekakatsikeginezdezaten,etazenbaitadierazpensinplifikatzekogaiizandaitezen.

•Errotzaileenbiderkadura:errotzaileekerrokizunberaduteneanaplika-tukodugusoilik.Horrekin,etaerrotzailebatenberreketarekin,errokizu-narenfaktoreaklortukoditugu,etabierrotzaileakberdinakdirenalaezegiaztatukodugu,batuahalizateko.

Indartu eta sakonduHonakohauekgomendatzenditugu:

•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko1.koadernotik:

Indartzeko:20.orrialdeko1.ariketa.21.orrialdeko2.ariketa.

Sakontzeko:23.eta24.orrialdeetako1etik6rakoariketak.

•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTZEAizenekofotoko-piatzekomaterialetik:

Indartzeko:Afitxako«Praktika»ataleko2.ariketa.Bfitxako«Praktika»ataleko4.ariketa.

Sakontzeko:Bfitxako«Aplikatu»ataleko5.ariketa.

«Pentsatu eta praktikatu» atalaren soluzioak

1 a)2 b)6 c)120 d)1/2

e)2/3 f) 3/2 g)1,2·107 h)4,5·10–6

2 a)F b)V c)F

d)F e)V f) F

3 a)Berdingelditzenda. b)7 5 c)Berdingelditzenda.

d)Berdingelditzenda. e) 42 f)Berdingelditzenda.

g)4 h)7 i) Berdingelditzenda.

j) 55 k)63 6 l) 72

4 a)3·52 b)2 ·2 32 23 c)5 54

d)6 5 e)12 5 f) 5 33

5 a)10 3 b)2 35 c)33 ·2 323

30

Ariketa eta problema ebatziak

3534

Zenbaki arrazionalakAurreko ataletan ikusi duguna gogoratuko dugu:

Zenbaki arrazionalak zatiki eran jar daitezkeenak dira. Hau da, bi zenbaki oso-ren zatiketa eran lor daitezkeenak.

Zenbaki osoak ez ezik, arrazionalak adierazpen hamartarra zehatza edo periodikoa dutenak dira.

Zenbaki arrazionalen multzoari Q esaten zaio.

ARRAZIONALAKQ

OSOAKZ

ZATIKIARRAK, ; , ; …

, ; , ; …8

80 84 17 23

2 3 0 084HAMARTAR ZEHATZAK

HAMARTAR PERIODIKOAK* ! #

, , , , , , , …, , , , , …

88

N 0 1 2 3 4 51 2 3 4 5– – – – –

ARRUNTAK

ARRUNT NEGATIBOAK*

Zenbaki irrazionalakArrazionalak ez diren zenbakiei irrazional esaten zaie.

Espresio hamartar zehatzik ez periodikorik ez dutenak zenbaki irrazionalak dira. Horien artean daude:

— Erro zehaztugabe guztiak. Adibidez:

2 = 1,41421256… 43 = 1,58740105…

— π zenbakia = 3,14159265…

Bestelako infinitu zenbaki irrazional daude.

1. Jarri honako zenbaki hauetako bakoitza dago-kion tokian. Hartu kontuan bakoitza lauki batean baino gehiagotan egon daitekeela.

107; 3,95; ,3 95#

; –7; 20; 9

36 ; 94 ; – 36;

37 ; π – 3

Pentsatu eta egin

arruntak, N

osoak, Z

zatikiarrak

arrazionalak, Q

irrazionalak

Ariketa ebatziaHonako zenbaki hauetako bakoitza dagokion laukian jartzea. Bakoitza lauki batean baino gehiagotan egon daiteke:

24; 0,71; ,70 1!

; –5;

53 ; 7 ; – 9 ;

728 ; π – 1

arruntak, N 24; 28/7 = 4

osoak, Z 24; –5; – 9 = –3; 28/7 = 4

zatikiarrak 0,71; ,0 71!

; 3/5

arrazionalak, Q 24; 0,71; ,0 71!

; –5; 3/5; – 9 = –3; 28/7 = 4

irrazionalak 7; π – 1

4 Zenbaki arrazionalak eta irrazionalak1. Berreketa

Berreketaren propietateak sin-plifikatzeko erabiltzea.

a) 31 1 3

32–

12

2––

–+c cm m

b) ·

· ·60 48

50 54 33 3

2 2

–

–

Zeuk egin. Sinplifikatu:

·· ·

18 122 6 3

4 3

7 5 4

a) ·3 3 32 22 2

323

41

45– – – –

1 22

– ––+ = + = + =c cm m

b) Zenbakitzailea eta izendatzailea faktoretan deskonposatuko ditugu:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 3 5 2 32 5 2 3 3

2 3 5 2 32 5 2 3 3

2 5 32 5 3

· · · ·· · · ·

· · · ·· · · ·

· ·· ·( ) ( )

2 3 4 3

2 2 3 2 16 3 3 12 3

2 4 2 6 26 3 0

0 4 5

–

–

– –

– –

–

–= = =

· · ·2 5 3243320

32 56 5

5

6–= = =

Honako propietate hauek aplikatuko ditugu: (1) (a · b)n = a n · b n (a n ) p = a np (2) an · am = an + m an : am = an – m

2. Notazio zientifikoa

Kasu bakoitzean, n-ren balioa zenbat den kalkulatzea:

a) 0,007 · 10 – 8 = 7 · 10 n

b) 20 · 10 – 4 + 15 · 10 –3 = = 1,7 · 10 n

c) (0,36 · 10 – 6) · (0,2 · 10 5) : : (3 000)2= 8 · 10 n

a) 103-rekin biderkatu eta zatituko dugu: 7 · 10–11 → n = –11b) Lehenengo batugaia 10ekin zatitu eta biderkatuko dugu:

2 · 10–3 + 15 · 10–3 = 17 · 10–3 = 1,7 · 10–2 → n = –2c) Gai bakoitza notazio zientifikoan adieraziko dugu:

(3,6 · 10–7) · (2 · 104) : (9 · 106) = (3,6 · 2 : 9) · 10–7 + 4 – 6 = = 0,8 · 10–9= 8 · 10–10 → n = –10

Zeuk egin. Kalkulatu eta adierazi emaitza notazio zientifikoan.(54 · 104 : 0,6 · 103) + 3,2 · 104• Zenbaki irrazionalak adieraztea.

• Zenbakiak sailkatzea.• Balio bereko espresioak uztar-

tzea.

Webgunean

3. Problema notazio zientifikoarekin

Espazio-ontzia Lurretik 106 km-ra dagoen planeta bate-rantz abiatu da. Ibilbidearen 1/4 egin ondoren, galdu egin du irrati bidezko kontaktua eta helmugatik 105 km-ra egon denean berreskuratu du. Zenbat kilometro egin ditu irratirik gabe?

Irrati bidezko kontaktua galdu baino lehen egin duen bidea:

41 106 = 0,25 · 106 = 2,5 · 105 km

Kontaktua berreskuratu duenean 105 km falta ditu helmugara iristeko. Ondo-rioz, honako hau egin du:

106 – 105 = 10 · 105 – 105 = (10 – 1)105 = 9 · 105 kmKantitate horri kontaktua galdu baino lehen egin duen bidea kenduz gero, eskatu zaigun distantzia izango dugu:

9 · 105 – 2,5 · 105 = 6,5 · 105 km egin ditu irratirik gabeZeuk egin. Ibilbidearen erdia egin eta gero kontaktua galdu eta planetatik 104 km-ra berreskuratu baldin badu, zenbat kilometro egin ditu irratirik gabe?

4. Errotzaileak

Honako adierazpen hauek sin-plifikatzea:

a) ·a a175 112 b) 436

` j

Zeuk egin. Sinplifikatu:a) · 38 2 b) 2245

a) Faktoreak aterako ditugu errotzaileetatik:

·a a a175 5 7 5 72= = a a a1 7 712 2 4·4= =

Biderkatu egingo dugu: ··a a a5 4 7 77 20 2 2= = 20 · 7 · a = 140a

b) · · ·4 2 2 2 2 263 123 3 3 3 33= = = 2 · 2 · 2 · 2 = 16

Iradokizunak•Aurrekounitateanhonakohauikasigenuen:zenbakiosoaketazenbakiha-

martarzehatzakedoperiodikoakzatikieranadierazdaitezkeela.Orain,zenbakiakadieraztekobesteerabatzukikasiondoren,zenbakiarrazionala-renkontzeptuaosoargiizanbehardugu.Gogoanizangoduguzenbakiarrazionalahonakohaudela:bizenbakiosorenzatiduragisajardaitekeena.

•Erroez-zehatzakkalkulatzean,periodikokierrepikatzenezdireninfinituzifrahamartardituztenzenbakiaktopatukoditugu.Zenbakiirrazionalakdirahoriek,hots,zatikieranadierazezindaitezkeenak.

•Zenbaki-eremuarenetengabekohanditzeetanjarrikoduguarreta,baitaN,ZetaQmultzoenarteandaudeninklusio-erlazioetanere.Kontzeptuhoriekaurkezteko,eskemaketadiagramakdiratresnarikeraginkorrena.

•Ariketekarretajarribehardutezenbakiensailkapenean;horrela,ikasleekhonakoideiahaubarneratukodute:zenbakibakarbat,aldiberean,arrunta,osoaetaarrazionalaizandaitekeela,etazenbakiirrazionalbatezindaitekeelaizanezarrunta,ezosoaeztaarrazionalaere.

•«Ariketaetaproblemaebatziak»izenekoorrialdean,ikasleekzenbaites-trategia,iradokizunetajarraibidetopatukodituzte;horrela,unitatearenamaierakoorrialdeetanageridirenariketakerrazagoebatzikodituzte.Horrekinguztiarekin,ikasleakgaiizangodiraantzekozenbaitegoeraproblematikoriaurreegiteko.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 arruntak, N 107;36/9=4

osoak, Z 107;–7;36/9=4;– 36 =–6zatikiarrak 3,95; ,3 95

$; /4 9 =2/3;7/3

arrazionaak, Q 107;3,95, ,3 95$

;–7;36/9=4; /4 9 =2/3;– 36 =–6;7/3

irrazionalak 20 ;π–3

«Zeuk egin» atalaren soluzioak

1 32

94

2

2

=

2 3,29·104

3 4,9·105kmegindituirratirikgabe.

4 a)12 b)2 75

OHARRAK

OHARRAK

31

36 37

Ariketak eta problemak

Erroak eta errotzaileak

16. Kalkulatu, posible denean, erro hauek:

a) 164 b) 2516 c)

813 d) 1–4

e) 2163 f ) 128–7 g) 243–5 h) 4 0966

i) 646 j) 8–3 k) 6254

l) 8– m) /625 164 n) 1–5

17. Atera errotzailetik ahal izango diren faktoreak.a) 2 5·2 3 b) 2 7·6 33 c) 2 3·2 64

d) a b27 · · 33 e) a b16 ·54 f ) a b32 · ·2 105

18. Atera errotzaile bakoitzetik ahal izango diren faktoreak:a) 324 b) 813 c) 2003

d) 50 e) 1444 f ) 2503

g) 645 h) 2433 i) a4 3

19. Ahal izanez gero, sinplifikatu.a) 2 · 8 b) 5 · 16 c) 43 · 53

d) 54 · 2 e) 34 · 274 f ) 10 · 63

20. Sinplifikatu.

a) 244` j b) 2

63` j c) 2236` j

d) 10 10003 3 e) 2 165 5 f ) 9 813 3

21. Sinplifikatu ahal izango dituzun adierazpenak eta, gainerakoetan, adierazi zergatik ezin diren sinplifikatu.

a) 7 2 4 2– b) 3 2– c) 4 3 5 3–

d) 6 3 2– e) 2 531 5– f )

222 –

22. Egin eragiketak.

a) 50 72 10 2–+ b) 80 45 20– –

c) 48 3 75 108– –+ d) 5175 28 63–+

Erabili ikasi duzuna23. Osatu notazio zientifikoan.

a) 27 km2 = … cm2 b) 50 cm3 = … m3

c) 0,8 ha = … km2 d) 1 200 l = … mm3

e) 180 µ = … dm f ) 0,075 Å = … µ(1 µ = 10– 6 m) (1Å = 10–10 m)

24. Erreparatu honako planeta hauen masei:Lurra: 5,98 · 1024 kg Martitz: 6,42 · 1023 kgJupiter: 1,90 · 1027 kga) Zenbat kilo gehiago ditu Lurrak Martitzek baino?b) Zenbat bider astunago da Jupiter Martiz baino?

25. M87 galaxia Lurretik 50 milioi argi-urtera dago eta 60 argi-urteko diametroa duen zulo beltza du; horren masa Eguzkiarena baino bi mila milioi bider handiago da.a) Kalkulatu kilogramotan zulo beltzaren masa.

(Eguzkiaren masa, gutxi gorabehera, 2 · 1030 kg-koa da).

b) Adierazi kilometrotan galaxia horretatik Lurrerako distantzia eta zulo beltzaren diametroa.

Hausnartu teoriari buruz 26. Egia ala gezurra? Justifikatu eta jarri adibideak.

a) Zenbaki negatibo baten berretura 1 izan daiteke.b) x < 0 izanez gero, orduan –x 3 > 0.c) –x 2 beti da zenbaki positiboa.d) Zenbaki negatibo baten kuboa beti da zenbaki hori

baino txikiago.

27. a 2 = b 2 izanik, zer esan a eta b-ri buruz?

28. Ordenatu n, n2, n eta 1/n zenbakiak kasu hauetan: a) n > 1 izanda. b) 0 < n < 1 izanda.

29. Adierazi honako erro hauetako zein diren arra-zionalak eta zein irrazionalak:a) 64 b) 643 c) 645

d) 100 e) 1003 f ) /1 4

30. Justifikatu zer balio izan behar duen a-k ber-dintza egiazta dadin:

a) a 3 = 26 b) a –1 = 2 c) a54=

d) a4 = 1 e) a –2 = 41 f ) a –5 = –1

31. Zergatik ezin daiteke kalkulatu zenbaki negatibo baten indize bikoitiko erroa?Ahal denean, kalkulatu honako erro hauek:a) 27–3 b) – 64 c) 16–4 d) 1–5

EginBerreketa

1. Kalkulatu honako berreketa hauek:a) (–3)3 b) (–2)4 c) (–2)–3

d) –32 e) – 4–1 f ) (–1)–2

g) 21

3–d n h)

21–

2–d n i)

34

0d n

2. Adierazi berrekizuna 2 edo 3 duen berreketa eran.

a) 64 b) 243 c) 321 d) 1

3

e) – 127

f ) 33

34– g) 2

235–

h) 22

2

13–

––e o

3. Kalkulatu.

a) :122

3 1–3 2– –

d dn n b) 231

2–+d n · 3–2

4. Adierazi berreketa bakar legez.

a) :34 4

33 2–

d dn n b) ·2

2 24

5 7–

–

c) 21 1

1 3–+d n> H d) :

2114

3 2d dn n

e) ·23

2 3–2 4

d dn n f ) ·3

5 151

2–

5. Sinplifikatu.

a) · ( ) ·6 9

2 3 4·

–3 2

3 2 2 b)

2 8 32 4 3 9

· ·· · ·5 2

4 2 1–

– –

c) :aba

b9

43

2 d) (6a)–1 : (3a –2)–2

e) (a –1b 2)2 · (ab –2)–1 f ) ( )aba 1 23 – ––b l

Notazio zientifikoa

6. Idatzi honako zenbaki hauek zifra guztiak erabiliz:a) 4 · 107 b) 5 · 10– 4 c) 9,73 · 108

d) 8,5 · 10– 6 e) 3,8 · 1010 f ) 1,5 · 10–5

7. Idatzi honako zenbaki hauek notazio zientifikoan:a) 13 800 000 b) 0,000005 c) 4 800 000 000d) 0,0000173 e) 50 030 000 f ) 0,002007

8. Adierazi n-ren balioa:a) 3 570 000 = 3,57 · 10n

b) 0,000083 = 8,3 · 10n

c) 157,4 · 103 = 1,574 · 10n

d) 93,8 · 10–5 = 9,38 · 10n

9. Osatu honako berdintza hauek:a) 836 · 103 = 8,36 · 10…

b) 0,012 · 104 = … · 102

c) … · 10–3 = 0,0834 · 103

d) 73,3 · 102 = … · 10–1

10. Adierazi notazio zientifikoan.a) Lurretik Eguzkirako distantzia: 150 000 000 kmb) Garau bat arrozen pisua: 0,000027 kgc) Birus jakin baten diametroa: 0,00000008 md) Urte bateko CO2 -ren igorpena: 54 900 000 000 kg

11. Kalkulatu eta egiaztatu kalkulagailuarekin.a) (2 · 105) · (3 · 1012) b) (1,5 · 10–7) · (2 · 10–5)c) (3,4 · 10–8) · (2 · 1017) d) (8 · 1012) : (2 · 1017)e) (9 · 10–7) : (3 · 107) f ) (4,4 · 108) : (2 · 10–5)

12. Kalkulatu, adierazi emaitza notazio zien-tifikoan eta egiaztatu kalkulagailuarekin.a) (2,5 · 107) · (8 · 103) b) (5 · 10–3) : (8 · 105)c) (7,4 · 1013) · (5 · 10– 6) d) (1,2 · 1011) : (2 ·10–3)

13. Adierazi notazio zientifikoan eta kalkulatu:

a) · ,

, ·250000 0 00002

0 00054 12000000 b) ,, 0 00

0000 000002 111320000 25

··

c) , ,1250000

0 000600000

015 0 000004·

· d) (0,0008)2 · (30 000)2

14. Eragin eta egiaztatu kalkulagailuarekin.a) 3,6 · 1012 – 4 · 1011 b) 5 · 109 + 8,1 · 1010

c) 8 · 10–8 – 5 · 10–9 d) 5,32 · 10– 4 + 8 · 10– 6

15. Eragin eta idatzi emaitzak zifra guztekin.a) 5,3 · 1011 – 1,2 · 1012 + 7,2 · 1010

b) 4,2 · 10– 6 – 8,2 · 10–7 + 1,8 · 10–5

c) (2,25 · 1022) · (4 · 10–15) : (3 · 10–3)d) (1,4 · 10–7)2 : (5 · 10–5)

• Egin eragiketak berreketa errazekin.• Egin eragiketak berreketa korapilatsuagoekin.

Webgunean

Lankidetzan ikasi Orrialdehauetarako,etaeragiketakegitekotrebeziaindartzerabideratu-takobesteguztietarako,metodologiahonijarraitzeairadokitzendugu:

•Ikasleaktaldetxikitanbanatukodira(bikoedohirukotaldeak).

•Ikasleekadierazpenmultzobatebatzikodute,bakarka.Gero,soluzioaketaprozedurakegiaztatukodituzte.

•Ezadostasunakegonezgero,akatsakazaleratukodituzte.Zalantzakargitze-kogaiezbadira,edoadosjartzenezbadira,irakasleakpartehartukodu.

«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

1 a)–27 b)16 c)–1/8

d)–9 e)–1/4 f) 1

g)8 h)4 i) 1

2 a)26 b)35 c)2–5 d)3–1

e)–3–3 f) 37 g)2–8 h)2

3 a)2 b)1/49

4 a)(4/3)5 b)22 c) (2/3)3

d)2 e)(3/2)2 f) (1/15)3

5 a)32

5

4

b)323

2

c)ba34 2

d)a23

5 e)

ab

3

6

f) ab3

6 a)40000000 b)0,0005

c)973000000 d)0,0000085

e)38000000000 f) 0,000015

7 a)1,38·107 b)5·10–6 c)4,8·109

d)1,73·10–5 e)5,003·107 f) 2,007·10–3

8 a)6 b)–5 c)5 d)–4

9 a)5 b)1,2 c)83400 d)73300

10 a)1,5·108km b)2,7·10–5kg

c)8·10–8m d)5,49·1010kg

11 a)6·1017 b)3·10–12 c)6,8·109

d)4·10–5 e)3·10–14 f) 2,2·1013

12 a)2·1011 b)6,25·10–9

c)3,7·108 d)6·1013

13 a)1,296·103 b)1,5·1019

c)8·10–23 d)5,76·102

14 a)3,2·1012 b)8,6·1010

c)7,5·10–8 d)5,4·10–4

15 a)598000000000 b)0,00002138

c)30000000000 d)0,000000000392

OHARRAK

32

36 37

Ariketak eta problemak

Erroak eta errotzaileak

16. Kalkulatu, posible denean, erro hauek:

a) 164 b) 2516 c)

813 d) 1–4

e) 2163 f ) 128–7 g) 243–5 h) 4 0966

i) 646 j) 8–3 k) 6254

l) 8– m) /625 164 n) 1–5

17. Atera errotzailetik ahal izango diren faktoreak.a) 2 5·2 3 b) 2 7·6 33 c) 2 3·2 64

d) a b27 · · 33 e) a b16 ·54 f ) a b32 · ·2 105

18. Atera errotzaile bakoitzetik ahal izango diren faktoreak:a) 324 b) 813 c) 2003

d) 50 e) 1444 f ) 2503

g) 645 h) 2433 i) a4 3

19. Ahal izanez gero, sinplifikatu.a) 2 · 8 b) 5 · 16 c) 43 · 53

d) 54 · 2 e) 34 · 274 f ) 10 · 63

20. Sinplifikatu.

a) 244` j b) 2

63` j c) 2236` j

d) 10 10003 3 e) 2 165 5 f ) 9 813 3

21. Sinplifikatu ahal izango dituzun adierazpenak eta, gainerakoetan, adierazi zergatik ezin diren sinplifikatu.

a) 7 2 4 2– b) 3 2– c) 4 3 5 3–

d) 6 3 2– e) 2 531 5– f )

222 –

22. Egin eragiketak.

a) 50 72 10 2–+ b) 80 45 20– –

c) 48 3 75 108– –+ d) 5175 28 63–+

Erabili ikasi duzuna23. Osatu notazio zientifikoan.

a) 27 km2 = … cm2 b) 50 cm3 = … m3

c) 0,8 ha = … km2 d) 1 200 l = … mm3

e) 180 µ = … dm f ) 0,075 Å = … µ(1 µ = 10– 6 m) (1Å = 10–10 m)

24. Erreparatu honako planeta hauen masei:Lurra: 5,98 · 1024 kg Martitz: 6,42 · 1023 kgJupiter: 1,90 · 1027 kga) Zenbat kilo gehiago ditu Lurrak Martitzek baino?b) Zenbat bider astunago da Jupiter Martiz baino?

25. M87 galaxia Lurretik 50 milioi argi-urtera dago eta 60 argi-urteko diametroa duen zulo beltza du; horren masa Eguzkiarena baino bi mila milioi bider handiago da.a) Kalkulatu kilogramotan zulo beltzaren masa.

(Eguzkiaren masa, gutxi gorabehera, 2 · 1030 kg-koa da).

b) Adierazi kilometrotan galaxia horretatik Lurrerako distantzia eta zulo beltzaren diametroa.

Hausnartu teoriari buruz 26. Egia ala gezurra? Justifikatu eta jarri adibideak.

a) Zenbaki negatibo baten berretura 1 izan daiteke.b) x < 0 izanez gero, orduan –x 3 > 0.c) –x 2 beti da zenbaki positiboa.d) Zenbaki negatibo baten kuboa beti da zenbaki hori

baino txikiago.

27. a 2 = b 2 izanik, zer esan a eta b-ri buruz?

28. Ordenatu n, n2, n eta 1/n zenbakiak kasu hauetan: a) n > 1 izanda. b) 0 < n < 1 izanda.

29. Adierazi honako erro hauetako zein diren arra-zionalak eta zein irrazionalak:a) 64 b) 643 c) 645

d) 100 e) 1003 f ) /1 4

30. Justifikatu zer balio izan behar duen a-k ber-dintza egiazta dadin:

a) a 3 = 26 b) a –1 = 2 c) a54=

d) a4 = 1 e) a –2 = 41 f ) a –5 = –1

31. Zergatik ezin daiteke kalkulatu zenbaki negatibo baten indize bikoitiko erroa?Ahal denean, kalkulatu honako erro hauek:a) 27–3 b) – 64 c) 16–4 d) 1–5

EginBerreketa

1. Kalkulatu honako berreketa hauek:a) (–3)3 b) (–2)4 c) (–2)–3

d) –32 e) – 4–1 f ) (–1)–2

g) 21

3–d n h)

21–

2–d n i)

34

0d n

2. Adierazi berrekizuna 2 edo 3 duen berreketa eran.

a) 64 b) 243 c) 321 d) 1

3

e) – 127

f ) 33

34

– g) 22

35–

h) 22

2

13–

––e o

3. Kalkulatu.

a) :122

3 1–3 2– –

d dn n b) 231

2–+d n · 3–2

4. Adierazi berreketa bakar legez.

a) :34 4

33 2–

d dn n b) ·2

2 24

5 7–

–

c) 21 1

1 3–+d n> H d) :

2114

3 2d dn n

e) ·23

2 3–2 4

d dn n f ) ·3

5 151

2–

5. Sinplifikatu.

a) · ( ) ·6 9

2 3 4·

–3 2

3 2 2 b)

2 8 32 4 3 9

· ·· · ·5 2

4 2 1–

– –

c) :aba

b9

43

2 d) (6a)–1 : (3a –2)–2

e) (a –1b 2)2 · (ab –2)–1 f ) ( )aba 1 23 – ––b l

Notazio zientifikoa

6. Idatzi honako zenbaki hauek zifra guztiak erabiliz:a) 4 · 107 b) 5 · 10– 4 c) 9,73 · 108

d) 8,5 · 10– 6 e) 3,8 · 1010 f ) 1,5 · 10–5

7. Idatzi honako zenbaki hauek notazio zientifikoan:a) 13 800 000 b) 0,000005 c) 4 800 000 000d) 0,0000173 e) 50 030 000 f ) 0,002007

8. Adierazi n-ren balioa:a) 3 570 000 = 3,57 · 10n

b) 0,000083 = 8,3 · 10n

c) 157,4 · 103 = 1,574 · 10n

d) 93,8 · 10–5 = 9,38 · 10n

9. Osatu honako berdintza hauek:a) 836 · 103 = 8,36 · 10…

b) 0,012 · 104 = … · 102

c) … · 10–3 = 0,0834 · 103

d) 73,3 · 102 = … · 10–1

10. Adierazi notazio zientifikoan.a) Lurretik Eguzkirako distantzia: 150 000 000 kmb) Garau bat arrozen pisua: 0,000027 kgc) Birus jakin baten diametroa: 0,00000008 md) Urte bateko CO2 -ren igorpena: 54 900 000 000 kg

11. Kalkulatu eta egiaztatu kalkulagailuarekin.a) (2 · 105) · (3 · 1012) b) (1,5 · 10–7) · (2 · 10–5)c) (3,4 · 10–8) · (2 · 1017) d) (8 · 1012) : (2 · 1017)e) (9 · 10–7) : (3 · 107) f ) (4,4 · 108) : (2 · 10–5)

12. Kalkulatu, adierazi emaitza notazio zien-tifikoan eta egiaztatu kalkulagailuarekin.a) (2,5 · 107) · (8 · 103) b) (5 · 10–3) : (8 · 105)c) (7,4 · 1013) · (5 · 10– 6) d) (1,2 · 1011) : (2 ·10–3)

13. Adierazi notazio zientifikoan eta kalkulatu:

a) · ,

, ·250000 0 00002

0 00054 12000000 b) ,, 0 00

0000 000002 111320000 25

··

c) , ,1250000

0 000600000

015 0 000004·

· d) (0,0008)2 · (30 000)2

14. Eragin eta egiaztatu kalkulagailuarekin.a) 3,6 · 1012 – 4 · 1011 b) 5 · 109 + 8,1 · 1010

c) 8 · 10–8 – 5 · 10–9 d) 5,32 · 10– 4 + 8 · 10– 6

15. Eragin eta idatzi emaitzak zifra guztekin.a) 5,3 · 1011 – 1,2 · 1012 + 7,2 · 1010

b) 4,2 · 10– 6 – 8,2 · 10–7 + 1,8 · 10–5

c) (2,25 · 1022) · (4 · 10–15) : (3 · 10–3)d) (1,4 · 10–7)2 : (5 · 10–5)

• Egin eragiketak berreketa errazekin.• Egin eragiketak berreketa korapilatsuagoekin.

Webgunean

«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

16 a)2 b)4/5 c)1/2

d)–1 e)6 f) –2

g)–3 h)4 i) 2

j) –2 k)5 l) Ezdaposible.

m)5/2 n)–1

17 a)2·5· 5 b)22·7 c)3 ·2 32 24

d)3b a3 e)2a ·a b4 f) 2b2 a25

18 a)2 24 b)3 33 c)2 523

d)5 2 e)2 324 f) 5 23

g)2 25 h)3 323 i) 2a a

19 a) 16 =4 b) 80

c) 203 d)Ezinda.

e) 814 =3 f) Ezinda.

20 a)2 b)22 c)2

d)10 e)2 f) 9

21 a)3 2 b)Ezinda.

c)– 3 d)Ezinda.

e)35

5 f)2

2

22 a) 2 b)– 5 c)5 3 d)–8 7

23 a)2,7·1011 b)5·10–5 c)8·10–3

d)1,2·109 e)1,8·10–3 f) 7,5·10–6

24 a)5,338·1024kg

b)Gutxigorabehera,3000aldizgehiago.

25 a)4·1039kg

b)M87tikLurrerakodistantzia:4,73·1020km.Zulobeltzarendiame-troa:5,676·1014.

26 a)E b)E c)G d)G

27 a=boa=–b

28 a)1/n< n <n<n 2 b)n2<n< n <1/n

29 Arrazionalak:a),b),d),f).Irrazionalak:c),e).

30 a)4 b)1/2 c)16/25

d)1 e)2 f) –1

31 Zenbakibatberreketabikoitibaterajasotzeanzenbakipositibobatlortzenbaita.

a)–3 b)–8 c)Ezinda. d)–1

OHARRAK

33

38 39

Matematika-lantegiaMatematika-lantegia

1. Kalkulatu.

a) (–3)–2 + 43 1–c m – 8

10

c m – 3–1

b) 3 12–2–

c m · 2–3

2. Sinplifikatu.

a) a bab

63

2 1

2

–

– b) ·a b

a1–3 2– –

c bm l

c) ·ba

ba

234–

b l d) : ( )ab

ab3

4

2 1–

–

–c m

3. Deskonposatu faktoretan eta erabili berreketen pro-pietateak honako espresio hau sinplifikatzeko:

· ·· ·

8 9 324 15 6

4 3 10

2 2 4

–

–

4. Adierazi notazio zientifikoa erabiliz.a) 234 000 000 b) 0,0000075c) 758 · 10–5 d) 0,035 · 1013

5. Kalkulatu eta egiaztatu kalkulagailuarekin.

a) (3,5 · 107) · (8 · 10–13)

b) (9,6 · 10–8) : (3,2 · 1010)

c) (2,7 · 108) + (3,3 · 107)

d) ·8 103 18

6. Sinplifikatu.

a) 1331–3 b) · 25125 55 c) a b1203 3 4

7. Ahal izanez gero, sinplifikatu.

a) 3 27 b) 321 3+ c) 3 26 – d) 34

5` j

8. Erdialdeko Asiako gas-eremurik handienetako batek 900 km3-ko erreserbak ditu. Beste gas-poltsa bat aur-kitu dute eta, horren bidez, erreserbak 1,3 · 104 hm3 handiago izango dira. Urteko produkzioa 1,8 · 1010 m3-koa da. Zenbat urtean ustiatu ahal izango da baliabide hori gaur egungo produkzioaren erritmoa mantenduz gero? Adierazi notazio zienti-fikoa erabiliz, eta eragin.

Autoebaluazioa

IkertuErreparatu honako tekla-segida honek kalkulagailuan dituen emaitzei. Hamar tekla sakatu dira bietan.

3**===**== → {∫∫∫∫∞«‘¢¢‘}3**===*=*= → {∫∫¢«≠¢\|“‘}

Berrekizuna 3 duen zer berreketa lortu da kasu bakoitzean?Kontuan izanik aurrekoa, eta 3, *, = teklak bakarrik sakatuz, zenbat da 320 lortzeko sakatu beharko duzun tekla kopururik txikiena?

Trebatu problemak ebatziz •Automobila eta kamioia batera atera dira herri batetik,

errepide bera hartuz baina aurkako noranzkoan.

Automobila 120 km/h-ko abiaduran doa eta kamioia, 90 km/h-koan. Zer distantzia egongo da bien artean 10 minutu barru?

•Nekazariak lursailaren bi bosten goldatu du goizean. Arratsaldean, lanera itzuli eta geratzen zaionaren herena goldatu du.

Jakinik hektarea erdi falta zaiola goldatzeko, zenbat da lursail horren azalera?

•Hona hemen problema bat eta Anderren problema horren soluzioa:«Berunezko hogeita bost soldadutxo izango bagenitu, nola eratuko genituzke horiekin bost soldadutxoko sei ilara?».

Hala ere, Susanak 25 soldadutxoak sei baino askoz ilara gehiagotan banatu ditu, bakoitzean 5 soldadutxo jarriz.Ausartuko zara proba egiten?

Irakurri eta ulertuIritsi berriakUnibertsoaren adina hamar eta hamabost mila milioi urte artekoa dela jotzen da (jar deza-gun 12 · 109 urtekoa dela). Atzo goizekoa!Gutxi gorabehera zenbat denbora den aintzat har dezagun, unibertsoaren historia gure urteetako batean kondentsatuko dugu. Orain, erreparatu honako datu hauei:— Eskala horren arabera, Eguzkia uztailaren amaierako egunetan jaioko zen (duela

5 · 109 urte), eta Lurra, abuztuaren erdirantz (orain dela 4,6 · 109 urte).— Dinosauroek egun bat eta erdiko bizitza izango zuten abenduaren 23 edo 24an, gutxi

gorabehera (duela berrehun eta berrogeita hamar milioi urte).— Gizakiok urteko azken hiruzpalau minutuak baino ez gintuzke beteko.— Eta zure bizitzak (15 urte), segundoaren hiru hamarren baino ez. Gabon Zahar egu-

neko azken kanpai-hotsak baino gutxiago!

320 → {∫∫«¢°\|°¢¢≠‘}

Egin susmoa eta orokortu•erreparatu: 13 = 1 → 12 = 12

13 + 23 = 9 → 32 = (1 + 2)2

13 + 23 + 33 = 36 → 62 = (1 + 2 + 3)2

•egin susmoa: Aurresan dezakezu zer balio duten honako adierazpen hauek?13 + 23 + 33 + 43 = ? 13 + 23 + 33 + 43 + 53 = ? Egiaztatu!

•orokortu atera dituzun ondorioak:— Zer balio izango luke honako honek: 13 + 23 + 33 + … + 103?— Prestatu formula bat honako hau kalkulatzeko:

Sn = 13 + 23 + 33 + … + n 3 n gai naturala edozein izanda ere.

38

13 + 23 + … + n3 =

= (1 + 2 + … + n)2

eta ikasiizan ekimena

Honako ariketa hauek ebaztea.Webgunean

Irakurri eta ulertu

Iritsi berriak

•Ariketakunibertsoaren,Eguzkiaren,Lurrarenetagizaespeziearenadi-nenperspektibaeskaintzendigu.Horiekguztiakkonparatzeazgain,ari-ketakerakutsikodigugizakiarenpresentziaLurreanosolaburradela.Horrela,notaziozientifikoazenbakiosohandiakadieraztekoerabilgarriadelaikusikodugu.

Egin susmoa eta orokortu •Behatzea,aztertzea,susmoakegitea,susmoakegiaztatzeaetaorokor-

tzeaezinbestekolanakdiraikerketa-prozesuetan.Ikasleekohiturahoriekguztiakhartubehardituzte,ikastenikasinahibadute.

Soluzioak

• 13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102=100

13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2=152=225

• 13+23+33+...+103=(1+2+3+...+10)2=552=3025

Sn=13+23+33+...+n 3=(1+2+3+...+n)2

Ikertu •Ariketahonekin,ikasleekberreketenpropietateaksakondukodituzte,

baitakalkulagailuarenerabilerahobetuere.

•Lehenfasean,lortutakoemaitzenlogikaulertudelaegiaztatukodugu.

Soluzioak

• 312eta316

• Teklak11aldizsakatutakalkuladaiteke.

Trebatu problemak ebatzizSoluzioak

• 10minutubarru,35kilometrokodistantziaegongodabienartean.

• Lursailak125sailekoazaleradu.

•

Autoebaluazioaren soluzioak

1 a)1/9 b)1/50

2 a)ab21 b)–ab 2 c) a

b2 d)

ab1

3 ·2 51

1001

2 2=

4 a)2,34·108 b)7,5·10–6

c)7,58·10–3 d)3,5·1011

5 a)2,8·10–5 b)3·10–18

c)3,03·108 d)2·106

6 a)–11 b)5 c)2ab b15

7 a)9 b) 3 32

c)Ezindasinplifikatu. d)3 34

8 50,7urteanustiatuahalizangoda.