Atps de Cálculo III
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Atividades Práticas Supervisionadas
Engenharia de Controle e Automação
3º e 4º Semestres
Cálculo III
Objetivo do Desafio
Encontrar a quantidade total mensal de óleo, estimada pelos engenheiros da Petrofuels,
que poderá ser extraído de um poço de petróleo recém-descoberto.
ETAPA 1
Aula-tema: Integral Definida. Integral Indefinida.
PASSOS
Passo 1
História da Integral:
A história mostra que o cálculo integral se originou com problemas de quadratura e
cubatura. Resolvendo o problema de medição da área de uma região bidimensional. Para
muitos matemáticos, cientistas e engenheiros a integral simplifica os problemas complicados.
Historicamente, existem inúmeras contribuições dos matemáticos no cálculo, tais como:
- Hipócrates de Chios (cerca de 440 A.C.) quem executou as primeiras quadraturas
quando encontrou a área de certas lunas.
- Antiphon (cerca de 430 A.C.) afirmava que poderia "quadrar o círculo" ou encontrar
sua área, usando uma sequência infinita de polígonos regulares inscritos.
- Eudoxo (cerca de 370 A.C.) usou um método chamado de exaustão.
- Arquimedes (287--212 A.C.), conhecido como o maior matemático da antiguidade,
usou o método de exaustão para encontrar a quadratura da parábola. Arquimedes primeiro
mostrou que a área depende da circunferência. Seu mais famoso trabalho de todos, foi um
tratado combinado de matemática e física, Arquimedes empregou indivisíveis para estimar o
centro de gravidade.
Outros matemáticos surgiram, depois de Arquimedes, como o árabe Thabit ibn Qurrah
(826--901) quem desenvolveu sua própria cubatura. Assim também o cientista persa Abu Sahl
al-Kuhi (século 10) quem simplificou consideravelmente o processo de Thabit Ibn. O
matemático Al-Haytham (965--1039), mais conhecido no ocidente como Alhazen e quem
chegou a ser famoso por seu trabalho em ótica. E assim em diante, muitos outros
matemáticos, estudantes, cientistas, etc. trabalharam ao longo da história para construir o
caminho que hoje facilita o cálculo integral em diversos ambientes, sendo usada como uma
ferramenta de auxilio.
Fonte: Wikipédia.
Passo 2
Leiam os desafios propostos:
Desafio A
Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de:
= a^4/12 + (3a^-2)/-2 + 3lna
= a^4/12 – 3/2a^2 + 3lna + C
Desafio B
Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de
U$ 10.000 e um custo marginal de C’(q) =1000 + 50q dólares por pé, onde q é a
profundidade em pés. Sabendo que C(0) = 10.000, a alternativa que expressa C(q), o custo
total para se perfurar q pés, é:
C’(q) =1000 + 50q
= 1000q + (50q^2)/2
= 1000q +25q^2 +C
Substituindo C(0) = 10000 na expressão acima teremos:
C(q) = 1000q +25q^2 + 10000
Resposta correta alternativa A.
Desafio C
No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu
exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número
de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por:
C(t) = 16,1.e^0,07t. Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de
petróleo consumida entre 1992 e 1994?
Resposta correta alternativa C.
Desafio D
Resposta correta alternativa A.
Passo 3
Marquem a resposta correta dos desafios A, B, C e D, justificando através dos cálculos
realizados, o porquê de uma alternativa ter sido considerada.
Para o desafio A:
Associem o número 3, se a resposta correta for a alternativa (b).
Para o desafio B:
Associem o número 0, se a resposta correta for a alternativa (a).
Para o desafio C:
Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (c).
Para o desafio D:
Associem o número 9, se a resposta correta for a alternativa (a).
Passo 4
Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de
Relatório 1 com as seguintes informações organizadas:
1. os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3;
2. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.
Resposta 1: Vide Etapa1, Passo 3, Desafios A, B, C e D.
Resposta 2: 3019.
ETAPA 2
Aula-tema: Integração por Substituição. Integração por Partes.
PASSOS
Passo 1
Integração por Partes:
No cálculo integral, integração por partes é um método que permite expressar
a integral de um produto de funções em outra integral. A integração por partes pode ser vista
como uma versão integrada da regra do produto.
A fórmula típica é a seguinte, onde e são funções de classe C no
intervalo , ou seja, são diferenciáveis e suas derivadas são contínuas entre a e b.
A fórmula canônica é dada pela seguinte expressão:
ou, ainda, de forma mais enxuta:
Exemplos:
Algumas antiderivadas são facilmente obtidas via integração por partes, então vejamos
alguns exemplos:
Onde se escolheu e
Mediante e
Demonstração
Uma demonstração simples pode ser obtida através da regra do produto:
Integrando esta expressão entra a e b, temos:
Concluímos a demonstração, através do teorema fundamental do cálculo:
Integração por Substituição:
Considere a seguinte integral:
A substituição consiste simplesmente em aplicar uma mudança de
variáveis , onde é uma função qualquer contínua no domínio de integração.
Fazendo :
Esta técnica, que é fruto da regra da cadeia para derivadas, é muito útil quando a função
a ser integrada pode ser representada como um produto de funções, onde uma é derivada da
outra (podendo diferir de uma constante).
Nem sempre a substituição adequada é evidente; muitas vezes é necessário fazer
substituições pouco intuitivas (tais como substituição através de funções trigonométricas).
Para tal, são necessários prática e alto poder de carteação.
Substituições trigonométricas
As substituições trigonométricas são muito úteis quando encontramos integrais contendo
expressões da forma:
Neste caso, as substituições adequadas são:
Passos para a integração:
Passo 1: Faça uma escolha para . Ex.: .
Passo 2: Calcule .
Passo 3: Faça a substituição , . Neste ponto a integral deve estar
em termos de . Se isso não acontecer, deve-se tentar uma nova escolha para .
Passo 4: Calcule a integral resultante, se possível.
Passo 5: Substituir por ; assim, a resposta final estará em termos de .
Exemplo
Considere a integral usando a substituição ,
obtêm-se
A integral de Cosseno ao quadrado pode ser feita utilizando integração por partes:
Voltando a equação original:
Agora deve se voltar à incógnita original, isso pode ser feito traspondo o ângulo para
um triângulo retângulo. Nesse caso o triângulo teria hipotenusa de valor 4 e cateto oposto a
igual a , consequentemente o cateto adjacente ao ângulo valerá . Estes valores
podem ser deduzidos a partir das relações fundamentais da função seno e cosseno. Obtendo
assim as seguintes relações:
O ângulo pode ser expresso como:
Obtendo assim a resposta final.
Fonte: Wikipédia.
Passo 2
Considerem as seguintes igualdades:
I) = II)
Resolução I) – Integral por substituição:
u = t^2-6t
du = 2t-6 dt , du/2 = t-6 dt
∫u^4 du/2 = -1/2∫u^4 du = -1/2(u^5)/5 = (-u^5)/10 =
=
Resolução II) – Integral por partes:
u = t , du = 1 dt
dv = dt/√t+4
v = ∫dt/√t+4 , v = ∫(t+4)^-1/2 dt , v = u^-1/2 du , v = 2√(t+4)
, ∫t. dt/√t+4 = t. 2√(t+4) - 2∫√(t+4) dt =
= 2t√(t+4) – 2[2√(t+4)^3/3]entre 0 e 5 =
= [30-36] – [-10,667] = -6+10,667 = 4,667
Resposta correta alternativa A.
Passo 3
Marquem a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio dos
cálculos realizados, os valores lógicos atribuídos.
Para o desafio:
Associem o número 4, se a resposta correta for a alternativa (a).
Passo 4
Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de
Relatório 2 com as seguintes informações organizadas:
1. os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3;
2. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.
Resposta 1: Vide Etapa 2, Passo 2.
Resposta 2: 30194.
ETAPA 3
Aula-tema: Cálculo de Área.
PASSOS
Passo 1
Os cálculos relacionados a áreas de figuras planas regulares são de certa forma
realizados facilmente, devido às fórmulas matemáticas existentes. No caso de figuras como o
triângulo, quadrado, retângulo, trapézios, losangos, paralelogramo entre outras, basta
relacionarmos as fórmulas à figura e realizar os cálculos necessários. Algumas situações
exigem ferramentas auxiliares na obtenção de áreas, como exemplo as regiões existentes sob
uma curva. Para tais situações utilizamos os cálculos envolvendo as noções de integrações
desenvolvidas por Isaac Newton e Leibniz.
Podemos representar algebricamente uma curva no plano através de uma lei de
formação chamada função. A integral de uma função foi criada no intuito de determinar áreas
sob uma curva no plano cartesiano. Os cálculos envolvendo integrais possuem diversas
aplicações na Matemática e na Física. Observe a ilustração a seguir:
Para calcular a área da região demarcada (S) utilizamos a integrada função f na
variável x, entre o intervalo a e b:
A ideia principal dessa expressão é dividir a área demarcada em infinitos retângulos,
pois intuitivamente a integral de f(x) corresponde à soma dos retângulos de altura f(x) e base
dx, onde o produto de f(x) por dx corresponde à área de cada retângulo. A soma das áreas
infinitesimais fornecerá a área total da superfície sob a curva.
Ao resolvermos a integral entre os limites a e b, teremos como resultado a seguinte
expressão:
Exemplo
Determine a área da região a seguir delimitada pela parábola definida pela expressão f(x) = – x² + 4, no intervalo [0,2].
Determinando a área através da integração da função f(x) = –x² + 4.
Portanto, a área da região delimitada pela função f(x) = –x² + 4, variando de -2 a 2, é de
10,6 unidades de área.
Fonte: http://www.brasilescola.com
Passo 2
Leiam o desafio abaixo:
Considerem as seguintes regiões S1 (Figura 1) e S2 (Figura 2). As áreas de S1 e S2
são,
respectivamente 0,6931 u.a. e 6,3863 u.a.
Figura 1. Figura 2.
Resolução:
Figura 1:
f(x) = 1/x
Integral de lnIxI entre x=1 e x=2.
= ln2 – ln1 = 0,6931 u.a.
Figura 2:
f(x) = 4/x
Integral de 4lnIxI entre x=0 e x=4.
= 4ln4 – 4ln0 = 5,5452 u.a.
Podemos afirmar que:
(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa
Passo 3
Marquem a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio dos
cálculos realizados, os valores lógicos atribuídos.
Para o desafio:
Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (c).
Passo 4 Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de
Relatório 3 com as seguintes informações organizadas:
1. os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3;
2. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.
Resposta 1: Vide Etapa 3, Passo 2.
Resposta 2 : 301948.
ETAPA 4
Aula-tema: Volume de Sólido de Revolução.
PASSOS
Passo 1
Sólidos e Superfícies de Revolução
Ao fazermos uma região do plano girar em torno de uma reta fixa qualquer do plano,
obtemos uma figura espacial, um sólido, denominado Sólido de Revolução. A reta fixa em
torno da qual ocorre o giro é denominada Eixo de Revolução.
Vejamos um exemplo deste sólido:
Ao fazer o retângulo delimitado pelas retas x = 0, x = 3, y = 0 ey = 2 girar em torno do eixo y, obtemos um cilindro (cilindro de revolução).
Volume de Sólidos de Revolução
Vamos agora a um dos mais interessantes problemas que ligam o Cálculo à Geometria
Analítica, que é o de determinar, através da Integral Definida, uma expressão para o volume
de um sólido de Revolução associado ao gráfico de uma função y = f (x).
Suponhamos para isso, primeiramente, que f (x) seja uma função contínua e não-
negativa no intervalo [a, b]. Consideremos então uma partição P deste intervalo [a, b], dada
por a = x0 < x1 < x2 < . . . < xi < xi+1 < . . . < xn−1 < x0 = n.Denotemos (como nas outras vezes) por Δxi o comprimento de cada subintervalo
[xi−1, xi ] da partição, ou seja, Δxi = xi − xi−1.
Agora, para cada um desses subintervalos [xi−1, xi ], vamos considerar o retângulo Ri
de base Δxi e altura igual f (ci ), onde ci ∈ [xi−1, xi ]. Fazendo este retângulo girar em torno
do eixo dos x, obtemos um cilindro de revolução cujo volume é, da conhecida fórmula da
Geometria Espacial,
V(ci ) = πr 2 · h = π[f (ci )]2Δxi .Logo, a soma dos volumes dos n cilindros originados a partir dos n retângulos da
partição é dada por:
e esta soma, analogamente ao que aconteceu no caso do comprimento de arco e da área sob a
curva y = f (x), nos dá uma boa aproximação do que na verdade é o volume V do sólido
gerado pela rotação desta curva.
À medida que tomamos n muito grande, o valor da soma dos volumes dos cilindros ci
, dado, pela expressão acima, aproxima-se cada vez mais do volume do referido sólido, o que
nos permite então escrever
Observando, agora, que a expressão denota uma soma de Riemann para
a função [f (x)]^2 e lembrando que f (x) é supostamente contínua (o que faz com que exista
limite acima), podemos finalmente escrever:
que é a expressão que define o volume V procurado.
Fonte: http://www.ead.ftc.br
Passo 2
Desafio A
A área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo x, da curva
dada por y 4√x de 1/4x4 é: 2π/3(128√2 - 17√7) u.a.. Está correta essa afirmação?
Resolução:
A = 2π∫〖f(y) √1+[f`(y)]^2 dy〗2π∫(1/4)^4〖4√x.√1+4/x dx〗2π∫(1/4)^4〖4√x.√x+4/(√x) dx〗8π∫(1/4)^4〖√x+4dx〗8π〖(x+4)〗^(3/2)/(3/2) = (4,1/4)┤ → 16π/3(8^(3/2) – 〖(17/4)〗^(3/2)) =
2π/3(128√2 - 17√17) u.a.
Desafio B
Qual é o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno da reta y = 2 ,
da região R delimitada pelos gráficos das equações: y sen x , y = (sen x)^3 de x = 0 até
x=π/2?
(a) 3,26 u.v. (b) 4,67 u.v. (c) 5,32 u.v. (d) 6,51 u.v. (e) 6,98 u.v.
Resolução:
π∫〖〖(f(x)- c)〗^2- 〖(f(x)- c )〗^2 dx〗π∫〖〖(senx-2)〗^2- 〖(〖sen〗^3 x- 2 )〗^2 dx〗π∫0^(π/2)〖〖sen〗^2 x-4 senx+4-(〖sen〗^6 x-4 〖sen〗^3 x+4)dx〗π∫0^(π/2)〖〖sen〗^2 x-4 senx+4- 〖sen〗^6 x+4 〖sen〗^3 x-4 dx〗π[∫0^(π/2)〖〖sen〗^2 x-4 ∫_0^(π/2)〖senx- ∫_0^(π/2)〖〖sen〗^6 x+4 ∫_0^(π/2)
〖〖sen〗^3 x〗〗〗〗]
π[(-senx cosx)/2+ x/2+ 4 cosx+ 1/6 〖sen〗^5 x cos5 senx cosx+15/48 sen x cosx-
15/48+4(-cosx+(〖cos〗^3 x)/3)]
π[(π/2)/2-(15 π/2)/48-(4+4(-1+1/3))]^24
π[(π/2)/2-(15 π/2)/48-(4-8/3)]
π[(π/2)/4-(15 π/2)/96-4+8/3]
π[π/4-15π/96-4/3]
π[(24π-15π-128)/96]
(〖24π〗^2-〖15π〗^2-128π)/96=3,26 u.v
Passo3
Resolvam o desafio A, julgando a afirmação apresentada como certa ou errada. Os
cálculos realizados para tal julgamento devem ser devidamente registrados.
Marquem a resposta correta do desafio B, justificando por meio dos cálculos
realizados, o porquê de uma alternativa ter sido considerada.
Para o desafio A:
Associem o número 4, se a resposta estiver certa.
Para o desafio B:
Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (a).
Passo 4
Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de
Relatório 4 com as seguintes informações organizadas:
1. os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3;
2. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.
3. colocar na ordem de realização dos desafios, os números encontrados indicando por
meio da sequência montada, os milhões de metros cúbicos que poderão ser extraídos do novo
poço de petróleo recém descoberto pela empresa Petrofuels.
Resposta 1: Vide Etapa 4, Passo 2, Desafio A e B.
Resposta 2 e 3: 30194848 metros cúbicos de petróleo.
CONCLUSÃO
Conforme estudo realizado sobre primitivas de funções, integrais indefinidas e
definidas, é possível concluir que na Integral Indefinida o resultado final é sempre uma
função, já na Integral Definida tem-se a resolução de uma função final. Existem várias formas
de integração: substituição, por partes, cadeia, etc. Cada uma delas é utilizada de uma forma
diferente e para resoluções de funções diferentes, neste estudo foi possível conhecer e
entender a aplicação de cada uma, através dos diferentes exercícios resolvidos. Conclui-se
que, com o conhecimento e o domínio das integrais é possível resolver qualquer função de
uma variável.