ATPS de Cálculo III.docx

8/15/2019 ATPS de Cálculo III.docx

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ENGENHARIA DE CONTROLE EAUTOMAÇÃOº

PROF.º JOSÉ DONIZETI RODRIGUES

EGO DE OLIVEIRA SEDE - RA:14004756CULDADE ANHANGUERA DE SOROCABA

ATIVIDADER!TICASUERVISIONA

DA



SumárioIntrodução 2

O Cálculo III 2

Etapa 1 2

Cálculo Integral Pa!!o " 2

De!a#$o! %e Integra&'o Pa!!o 2 e ( (

De!a#$o ) ( De!a#$o * + De!a#$o C + De!a#$o D ,

Etapa 2 7

T-cn$ca! %e Integra&'o Pa!!o "

E/erc0c$o! co1 Integra$! Pa!!o 2 e (

Igual%a%e I3 4 Igual%a%e II3 5

Etapa 3 10

Cálculo %e 6rea 7ela Teor$a %e Integra$! Pa!!o " "8

De!a#$o %e Cálculo %e 6rea! Pa!!o 2 e ( "8 F$gura I "" F$gura II ""

Etapa 4 14

Cálculo %e 6rea! e 9olu1e %e S:l$%o! %e Re;olu&'o Pa!!o " "+

6rea! e 9olu1e! %e S:l$%o! %e Re;olu&'o Pa!!o 2 e ( "+

De!a#$o ) "+

De!a#$o * ",



3

Intro%u&'o

O Cálculo III

Ne!te tra<al=o a7re!enta1o! a cont$nua&'o %o cálculo> e!ta 7arte ;olta%a 7ara o cálculo %e área!e ;olu1e!> <e1 co1o área! !o< cur;a! e1 grá#$co!> !en%o e!te o cálculo $ntegral. De!en;ol;$%o 7or

Ne?ton e @e$<n$A e1 tra<al=o! !e7ara%o!> Bue logo 1o!trou!e !er u1a %a! 1a$! $17ortante!#erra1enta! %o cálculo 7ara o e!tu%o %a! área! e ;olu1e! %e 1ane$ra #ac$l$tar a 1e!1a.

Ne!te )TPS tra<al=are1o! co1 7ro<le1a! %e algun! !etore! econ1$co! Bue 1o!tra1!e %enatureAa 7ro#un%a1ente 1ate1át$ca 7ara %eter1$na&'o %e %ec$!e!> co1o !en%o> %a área %ee/7lora&'o 7etrol0#era> $1ag$nan%o 1o%elo! 1ate1át$co! %e ;alore! $rrea$! 7ara o cu!to 1arg$nal%o 1e!1o. E1 outro! 7ro<le1a!> te1o! a %eter1$na&'o %e !olu&e! 7ura1ente 1ate1át$ca!.

Para a %eter1$na&'o %o cálculo> $n$c$a1o! no!!o tra<al=o co1 e/ten!a 7e!Bu$!a e

%e!en;ol;$1ento 7e!!oal e a%a7tat$;o #erra1enta> on%e a7re!enta1o! u1a %$!!erta&'o t-cn$ca!o<re o cálculo $ntegral e !ua! a7l$ca&e!> <e1 co1o a <re;e =$!t:r$a %o 1e!1o. Dentre to%o! o!1ater$a$! %e %e!en;ol;$1ento> %e;e!e notar o u!o %a! %$;er!a! t-cn$ca! %e $ntegra&'o>$17re!c$n%0;e$! 7ara 7ro<le1a! co17le/o! e Bue> %e #or1a !$17le!> au%a1no! 7ara a%eter1$na&'o %e !olu&e!> 7o%en%oa! !er co1o gu$a! %e !olu&e! at- 7ara e!tu%ante! n'o#a1$l$ar$Aa%o! co1 o cálculo $ntegral.

)!!$1> %a1o! $n0c$o a a7re!enta&'o geral %e cálculo $ntegral atra;-! %e!te tra<al=o> Bue %e <oa#or1a> %e1on!tra ;ár$o! %o! 7ro<le1a! e a%;er!$%a%e! Bue 7o%e1 !er encontra%o! no 1un%o real eBue !o1ente %e!cr$to! e1 #:r1ula! 1ate1át$ca! e %e enten%$1ento c$ent0#$co> !ea 7ara o 1un%o#0!$co> !ea 7ara o 1ate1át$co> !e17re l$ga%o! 7or le$! %a! Bu$! 7o%e1o! $nter7retar %o u!o %ocálculo> !ea %o cálculo %$#erenc$al> !ea %o cálculo $ntegral.

.

Eta7a "

Cálculo Integral – Pao 1

O %e!en;ol;$1ento 1ate1át$co %a ant$gu$%a%e le;ouno! 7e!Bu$!a %e no;o! 1e$o! %ere!7on%er Bue!te! %e $ntere!!e 7ara o %e!en;ol;$1ento =u1ano> %entre ela!> co1o 7r$1or%$al>tentar re!7on%er a área %e 7lano! 7ara o %e!en;ol;$1ento %a agr$cultura> e at- 1e!1o> %aengen=ar$a ant$ga> %a%o! e!te! e/e17lo! 7ara o e/ten!o e!tu%o %e 1ane$ra! %e re!ol;er 7ro<le1a!1ate1át$co! %e natureAa e!7ec0#$ca.

)!!$1> %o %e!en;ol;$1ento 1ate1át$co cont$nuo atra;-! %o! !-culo! !egu$nte!> e1 e!7ec$al na$%a%e 1o%erna> e co1 o !urg$1ento %a 1ate1át$ca a7l$ca%a> #o$ co1 I!aac Ne?ton ",+("23 eGott#r$e% H$l=el1 @e$<n$A ",+,"",3 Bue 7ro<le1a! ante! !e1 !olu&'o e/ata e %e cálculo!e/ten!$;o! #ora1 re!7on%$%o! e1 tra<al=o! $gua$!> 1a! $n%e7en%ente!> 7elo! %o$! 1ate1át$co!> Bue%$!!ertara1 re!7e$to %o %e!en;ol;$1ento %o cálculo %$#erenc$al e $ntegral.

O! conce$to! a7re!enta%o! 7ela no;a #erra1enta %e #aAer 1ate1át$ca 1o!trara1!e ute$! no!

%$;er!o! ca17o! %e e!tu%o!> tanto 7ara o e!tu%o %a! 1at-r$a! e/ata!> tanta 7ara o %e!en;ol;$1ento%a! 1at-r$a! =u1ana! e <$ol:g$ca!> !en%o $17ortante notar o $17acto %$reto %o %e!en;ol;$1ento!%e!ta! %ua! lt$1a! na !oc$e%a%e.



No %e!en;ol;$1ento %a !oc$e%a%e conte17ornea o cálculo a!!u1$u caráter r$goro!o> tornan%o!e %e gran%e $17ortnc$a 7ara co1 o %e!en;ol;$1ento t-cn$coc$ent0#$co atual. Ne!te 7er0o%o #o1o!ca7aAe! %e e/7an%$r a! $%e$a! %o cálculo $ntegral 7ara o e!7a&o eucl$%$ano> Bue - u1 e!7a&o ;etor$alreal %e %$1en!'o #$n$ta 1un$%o %e u1 7ro%uto $nterno> e 7ara o 7lano co17le/o.

)!!$1> %a co17reen!'o %a ca7ac$%a%e %e re!ol;er 7ro<le1a!> a %eter1$na&'o %e u1a no;a#erra1enta 1o!trou!e o 1e$o %e#$n$t$;o 7ara o encontro %e !olu&e!> 1o!tran%o o! 1e$o! et-cn$ca! %e cálculo 7ara o! ;ár$o! 7ro<le1a! 1ate1át$co! %a! 1a$! %$;er!a! área! %o con=ec$1ento.

!ea"io de Integração – Pao 2 e 3

)gora> %a 7ro7o!ta %o Pa!!o 2 e ( %e!te tra<al=o> %e;e1o! !oluc$onar algun! %e!a#$o! Bueen;ol;e1 $ntegra$! e> a7:! $!!o> a!!oc$ar n1ero! %a%o! 7elo %e!a#$o ! re!7o!ta!> on%e o<tere1o!u1a !eBuKnc$a nu1-r$ca e!7ec0#$ca.

!ea"io #

Ne!te %e!a#$o %e;e1o! encontrar a !olu&'o %a $ntegral ∫( a ³

3 +

3

a ³+3

a ) > re!7on%en%o> a7:!

re!ol;$%a> Bual %a! alternat$;a! - a re!7o!ta!. Sen%o ela!L

a3 F (a )=12a4−

3a−2

2 +ln|3a|+C

<3 F (a )= a4

12

− 3

2a2+3 ln|a|+C

c3 F (a )= a4

12−

2

3a2−3ln|a|+C

%3 F (a )=12a4+

3

2a−2+ ln|a|+C

e3 F (a )=a4+

3

2a2+3 ln|a|+C

Ent'o> re!ol;en%o ∫( a ³

3 +

3

a ³+3

a )∂ a >

∫ a ³

3 ∂ a+∫ 3

a ³ ∂ a+∫ 3

a∂ a

a4

3.4+3a

−2

−2 +3 ln|a|+C

a4

12− 3

2a2+3 ln|a|+C



5

)!!$1> encontra1o! Bue a !olu&'o %a $ntegral - F (a )= a4

12− 3

2a2+3 ln|a|+C > ou !ea> a

!olu&'o a7re!enta%a 7ela alternat$;a <> e a!!$1> 7elo 7ro7o!to no Pa!!o> %e;e!e !er a!!oc$a%o on1ero 3 7ara a alternat$;a <.

!ea"io $

)Bu$ co17reen%e1o! u1 cálculo %e rela&'o ut$l$Aa%o 7ela $n%!tr$a %o 7etr:leo> !u7on%o;alore! %e 7er#ura&'o 7or 7-! q 7er#ura%o! e o ;alor $n$c$al 7ara tal 7er#ura&'o> !en%oC

' (q )=1000+50q e C (0 )=10000 > re!7ect$;a1ente> e a!!$1> a re7re!enta&'o %o cu!to total 7ara a 7er#ura&'o %e q 7-! 7o%e !er %a%a entre u1a %a! !olu&e!.

a3 C

(q

)=10000+1000q+25 q ²

<3 C (q )=10000+25q+1000q ²

c3 C (q )=10000q ²

%3 C (q )=10000+25q ²e3 C (q )=10000+q ²+q ³

To1an%o C ' (q )=1000+50q co1o o $ntegran%o> te1o!L

∫(1000+50q)∂q

∫ (1000 ) ∂ q+∫(50q)∂ q

1000q+50q ²

2 +C

C (q )=1000q+25q2+C

)gora> e!ta<elecen%o Bue a con!tante %e $ntegra&'o !ea o ;alor corre!7on%e Buan%o o ;alor 7araq na atual #un&'o - 0 > ou !ea> C (0 )=1000. (0 )+25 (0 )2+C > C (0 )=C > 7or !er

$n%e7en%ente %o ;alor %e q > e to1an%o o Bue #o$ %a%o no enunc$a%o %o %e!a#$o 7ara C (0) > 7o%e1o! atr$<u$r o ;alor C =1000 na eBua&'o.

C (q )=1000q+25q2+10000

)!!$1 te1o! Bue a alternat$;a Bue 1o!tra a !olu&'o correta 7ara o 7ro<le1a - a alternat$;a a>ent'o> a!!oc$a1o! o n1ero 0 re!7o!ta.

!ea"io C

Ne!te %e!a#$o e!clarece1o! o cre!c$1ento e/7onenc$al %o con!u1o C ( t ) %e 7etr:leo 7ara alt$1a %-ca%a %o !-culo MM> on%e t - o n1ero %e ano! conta%o! a7:! o $n0c$o %e "558. Para tal

ta/a %e con!u1o o<te1o! u1 1o%elo 1ate1át$co a7ro/$1a%o> C (t )=16,1.e0,07 t . )!!$1>



%e;e1o! anal$!ar a Buant$%a%e %e 7etr:leo con!u1$%a entre "552 e "55+> co17aran%o co1 u1a %a!!olu&e! alternat$;a! a<a$/o.

a3 56,43 <$l=e! %e <arr$! %e 7etr:leo <3 48,78 <$l=e! %e <arr$! %e 7etr:leoc3 39,76 <$l=e! %e <arr$! %e 7etr:leo%3 26,54 <$l=e! %e <arr$! %e 7etr:leoe3 Nen=u1a %a! alternat$;a!

Para re!ol;er1o!> to1a1o! a Buant$%a%e %e 7etr:leo con!u1$%a entre o! ano! %e "552 e "55+co1o o l$1$te %a $ntegra&'o %o con!u1o ∫ (16,1.e0,07 t )∂t > on%e o<te1o! u1a $ntegral %e#$n$%a

%o t$7o ∫1992

1994

(16,1. e0,07 t )∂ t > e co1o o n1ero %e ano! - conta%o a 7art$r %o $n0c$o %e "558 te1o!

∫2

4

(16,1 . e0,07 t )∂ t . Re!ol;en%oaL

∫2

4

(16,1.e0,07 t )∂t

16,1.∫2

4

e0,07 t

∂ t

)!!$1> 7elo 1-to%o %a !u<!t$tu$&'o> to1a1o! 0,07 t co1o u > e agora ∂ u=0,07 ∂t >

ent'o ∂ t =

∂u

0,07 > on%e ut$l$Aa1o! na eBua&'o.

16,1.∫2

4

eu ∂u

0,07

16,1

0,07.∫

2

4

eu

∂ u

16,1

0,07. e

u∨4

2

)gora !u<!t$tu01o! o ;alor %e u 7or 0,07 t .

16,1

0,07. e

0,07 t ∨4

2

230. e0,07 t ∨4

2

Ent'o> to1an%o o con!u1o total %a%o 7ela eBua&'o co1o F ( t ) e a7l$can%oo no cálculo>

te1o!L230. e

0,07 t ∨4

2= F (4 )− F (2)



7

230. e0,07 t ∨4

2=230. e

0,07.4−230.e0,07.2

230. e0,07.4=304,32

230. e0,07.2=264,56

230.e0,07.4−230.e

0,07.2=304,32−264,56=39,76

De!te 1o%o> co1o o con!u1o %e 7etr:leo - %a%o e1 <$l=e! %e <arr$!> te1o! Bue o con!u1ototal entre o! ano! %e "552 e "55+ #o$ %e 39,76 <$l=e! %e <arr$! %e 7etr:leo> con%$Aente co1 aalternat$;a c> %o Bue agora atr$<u01o! o n1ero 1 alternat$;a.

!ea"io !

)o %e!a#$o no! - !ol$c$ta%a a !olu&'o 7ara a área !o< a cur;a e x

2 no $nter;alo 7ara x=−3 a

x=2 > %a%a! a! alternat$;a! co1 a! !olu&e! 7ara co17ara&'o.

a3 4,99

<3 3,22

c3 6,88

%3 1,11

e3 2,22

Ent'o> #aAen%o!e a $ntegral %a cur;a e

x

2 no $nter;aloL

∫−3

2

e

x

2 ∂ x

)!!$1> 7elo 1-to%o %a !u<!t$tu$&'o> te1o! u= x

2> a!!$1 ∂ u=

1

2∂ x > ent'o ∂ x=2∂u .

Su<!t$tu$n%o na eBua&'oL

∫−3

2

eu 2∂ u

2∫−3

2

eu

∂ u

2e x

2∨ 2

−3=(2e

2

2)−(2e

−3

2 )

(2e

2

2

)=2e≅5,44



(2e−3

2 )≅0,45

(2e

2

2)−(2e

−3

2 )=5,44−0,45=4,99

De!te 1o%o te1o! Bue o ;alor %a área !o< a cur;a - %e 4,99 > ou !ea> o ;alor %a%o naalternat$;a a> e Bue agora a!!oc$a1o! o n1ero % a 1e!1a.

O<te1o!> %e!te 1o%o> a !egu$nte !eBuKnc$a nu1-r$caL 301%.

Eta7a 2&'cnica de Integração – Pao 1

O %e!en;ol;$1ento %o cálculo $ntegral ;e$o au%ar no cálculo %a área <e1 co1o %e BualBuer ;olu1e %e u1 !:l$%o ou a !u7er#0c$e %o 1e!1o. No entanto> !'o a! t-cn$ca! ut$l$Aa%a! 7ara a!olu&'o %e cálculo Bue %e1on!tra1 a #ac$l$%a%e %e !e tra<al=ar o! 7roce!!o! %e $ntegra&'o> %e 1o%oa no! %ar 1ane$ra! %e !e calcular> 7or e/e17lo> área! !o< cur;a! a%;er!a!> entre ela!> %o t$7o %e1ult$7l$ca&e! %e #un&e! %e cur;a!.

)!!$1> %o Bue %e!en;ol;ere1o! ne!ta Eta7a> con!$%era1o! algun! 7roce!!o! %e $ntegra&'o %e$17orta&'o> entre ele! o %e $ntegra&'o 7or !u<!t$tu$&'o> ou 1-to%o %a !u<!t$tu$&'o> o Bual con!$!tee1 tran!7or a #un&'o Bue !erá $ntegra%a e1 u1a outra #un&'o> %eno1$na%a> geral1ente> %e u >Bue !erá ent'o re!7on!á;el 7ela $ntegra&'o %e u 7or ∂ u ao contrár$o %e u1a #un&'o f ( x)

e1 ter1o! %e ∂ x . Co1o e/e17lo> to1e1o! a $ntegral $n%e#$n$%a ∫e− x

2 ∂ x . Para a

re!ol;er1o!> !u<!t$tu01o! o ;alor %o Bual e e!tá ele;a%o 7or u > a!!$1 ∂ u=−1

2 ∂ x e

∂ x=−2∂ u . D$!!o> !u<!t$tu01o! ∂ x 7or −2∂ u > o<ten%o a $ntegral ∫eu−2∂ u > Bue

7o%e !er e!cr$ta co1o −2.∫eu

∂u > e a!!$1 −2.∫e− x2 ∂x . )o #$nal %$!to o<te1o! a e/7re!!'o

−2 . e− x

2 .Entre outro! 1-to%o!> 7o%e1o! %e!tacar a $ntegra&'o 7or 7arte! e a $ntegra&'o %e #ra&e!

7arc$a$!.) $ntegra&'o 7or 7arte! re#ere!e a $ntegra&'o %e u1a 1ult$7l$ca&'o %e #un&e!> ut$l$Aan%o!e>

ta1<-1> %e !ua! %er$;a%a! 7ara o cálculo> !en%o e!ta o $n;er!o %a regra %o 7ro%uto e1 cálculo%$#erenc$al. Co1o a %er$;a%a %e u1a 1ult$7l$ca&'o %e #un&e! a7arece Buan%o #aAe1o! o cálculou' ( x ) . v ( x )+ v' ( x ) . u( x ) > no cálculo $ntegral> 7ara a 1ult$7l$ca&'o %e #un&e! a !ere1 $ntegra%a!> a

regra %o 1-to%o ;ale co1o u ( x ) v ( x )−∫ v( x)∂u .E agora> a $ntegra&'o %e #ra&e! 7arc$a$! !e %á Buan%o %a $ntegra&'o %e #ra&e! %o t$7o

∫ f ( x )g ( x )h( x ) ∂ x > !en%o re7re!enta%a %a #or1a ∫

A

g ( x) +

B

h( x) .



9

!ea"io de Integração – Pao 2 e 3

)Bu$> con!$%era1o! o !egu$nte %e!a#$o relat$;o $gual%a%e %a! e/7re!!e! I e II e %e;e1o!e!col=er u1a %a! + alternat$;a! Bue %e#$na1 a ;erac$%a%e %a! 1e!1a! e a!!oc$a1o! u1 n1ero%a%o re!7o!ta.

I. ∫ (3−t ) .(t 2−6 t )4 ∂t =

−( t 2−6 t )5+C

10

II. ∫0

5t

√ t +4∂t =4,67

Para a! alternat$;a! e1 Bue 7o%e!e a#$r1arLa3 I3 e II3 !'o ;er%a%e$ra!

<3 I3 - #al!a e II3 - ;er%a%e$rac3 I3 - ;er%a%e$ra e II3 - #al!a%3 I3 e II3 !'o #al!a!

Da Igual%a%e I> to1a1o! a $ntegra&'o 7elo 1-to%o %e !u<!t$tu$&'o> on%e co17reen%e1o!> 7ara!$17l$#$ca&'o %e cálculo> Bue f ( x )= (3−t ) e g ( x )=(t 2−6 t )4 > e a!!$1> !u<!t$tu01o! no!!aeBua&'o %e 1a$or co17le/$%a%e> no ca!o o argu1ento g( x) > 7or u > ou !ea> u=t

2−6 t .F$can%o>

∫ (3−t ) .(u)4 ∂ t

Ent'o> co1o %e;e1o! $ntegrar u > to1a1o! ta1<-1 ∂ t e1 ter1o! %e u > tornan%oa∂ u con!$%eran%o Bue> !e u=t

2−6 t > ent'o !ua %er$;a%a e1 ter1o! %e t -∂ u=(2 t −6)∂ t . )nal$!an%o> 7o%e1o! !$17l$#$car du > <a!tano! %$;$r du 7or 2 > on%e

#$ca∂u

2 =(t −3)∂t . )!!$1> ∂ t e1 ter1o! %e ∂ u

∂u

2( t −3)-. Ent'o> !u<!t$tu$n%o na

eBua&'o> te1o!L

∫(3−t ) .(u)4

∂u

2(t −3)

Se o<!er;ar1o! o re!ulta%o o<t$%o (t −3) e co17arar1o! co1 f ( x) > nota1o! Bue e!te - o$n;er!o %e f ( x) . )!!$1> co1o to%a a $ntegral - u1a 1ult$7l$ca&'o %o! ter1o!> e Bue> co1o

e!ta1o! $ntegran%o e1 u > 7o%e1o! !$17l$#$car no!!o! cálculo! to1an%o a %$;$!'o(3−t )

2( t −3)>

e> calculan%oa> c=ega1o! ao re!ulta%o %e−1

2> ;$!to Bue %a %$;$!'o %e (3−t ) 7or !ua $n;er!a

(t −3) o<tK1!e u1 re!ulta%o negat$;o. Te1o! ent'oL

∫−1

2 .(u)4 ∂u



)!!$1> co1o te1o! u1a 1ult$7l$ca&'o %o $ntegran%o 7or u1a con!tante> a7ena! te1o! %e 7a!!ar tal con!tante 7ara #ora %a $ntegral.

−1

2 ∫(u)4 ∂u

)gora> %a $ntegra&'o e1 u > te1o! a !olu&'o e1L

−1

2 .(u)5+C

5

E a!!$1> !u<!t$tu$n%o u 7or !eu ;alor or$g$nal e1 (t 2−6 t ) > e agora calculan%o to%a a

e/7re!!'o> te1o! ent'o>

−(t 2−6 t )5+C

10

De!te 1o%o> conclu01o! Bue a !olu&'o %a%a 7ara a Igual%a%e I - ;er%a%e$ra> <a!tan%ono!con#$r1ar a ;erac$%a%e %a Igual%a%e II 7ara %ar1o! cont$nu$%a%e ao Pa!!o.

Para a Igual%a%e II ut$l$Aa1o! o 1-to%o %e !u<!t$tu$&'o e o %e $ntegra&'o %e #un&e! 7arc$a$!>Bue #o$ ;$!to %e gran%e au%a 7ara a re!olu&'o %e!ta.

)Bu$> to1a1o! a eBua&'o

∫0

5t

√ t +4∂t > on%e> 7ela !u<!t$tu$&'o> to1a1o! √

t +4 co1o u

. De!te 1o%o> %e;e1o! el$1$nar a ra$A no ;alor> on%e #aAe1o! u2=(√ t +4)² > ent'o> u

2=t +4 .)!!$1> $!olan%o!e t > a ;ar$á;el cuo ;alor Buere1o! !u<!t$tu$r> te1o! Bue t =u

2−4 . Ent'o>co1o ta1<-1 Buere1o! !u<!t$tu$r ta1<-1 o $ntegra%or ∂ t 7elo $ntegra%or e1 #un&'o %e u >#aAe1o! a %er$;a%a %e t =u

2−4 > a!!$1 te1o! ∂ t =2u ∂ u . )gora> !u<!t$tu$n%o tu%o naeBua&'o> te1o!L

∫0

5(u

2−4)u

2u ∂ u

)!!$1> %$;$%$n%o 2u 7or u > e 7a!!an%o 7ara #ora a con!tante 2 re!tante %a %$;$!'o>te1o! a $ntegralL

2∫0

5

(u2−4)∂u

)gora> #aAen%o a $ntegra&'o e1 ter1o! %e u > o<te1o! 2.(u3

3 −4.u)∨5

0.

Su<!t$tu$n%o a!!$1 u 7or √ t +4 > e re!ol;en%o> te1o!L

2.( (√ t +4 )3

3 −4.(√ t +4 ))∨

5

0



11

2.( (√ 5+4 )3

3 −4. (√ 5+4 ))−2.( (√ 0+4 )3

3 −4. (√ 0+4 ))

2.

( (3 )3

3 −4. (3))−2.

( (2 )3

3 −4. (2 ))2. (9−12 )−2.(83−8)

2.(9−12− 8

3−8)≅4,67

)!!$1> ;er$#$ca!e a ;erac$%a%e %a Igual%a%e II> on%e agora 7o%e1o! ter a conclu!'o %o Pa!!o.

De!ta!> %eter1$na1o! Bue a alternat$;a Bue %e1o!tra a ;erac$%a%e %a! $gual%a%e! %a%a! - a

alternat$;a a> 7o$! a! %ua! eBua&e!> cua! !olu&e! !'o −(t 2−6 t )5+C

10 e 4,67 > !'o

;er%a%e$ra!. )!!$1> 7elo Pa!!o (> re7re!enta1o! a a#$r1a&'o co1 o n1ero +> Bue logo !eráa!!oc$a%o no!!a !eBuKnc$a nu1-r$ca> on%e o<tere1o! o !egu$nteL 301%4.

Eta7a (Cálculo de (rea pela &eoria de Integrai – Pao 1

Do Teore1a Fun%a1ental %o Cálculo> Bue relac$ona o u!o %e %er$;a%a! e $ntegra$!> encontra1o!o conce$to geral 7ara a a7l$ca&'o %e a1<a! no cálculo %e área> 1o!tran%o!e !ua $17ortnc$a na

7e!Bu$!a e %e!en;ol;$1ento c$ent0#$co. Tal conce$to %e!cre;e a rela&'o $ntr0n!eca entre a $ntegra&'oe %er$;a&'o> !en%o ela! o7era&e! $n;er!a! entre a! 1e!1a!> !en%o %$!to no!!a co17reen!'o %a!;ar$a%a! t-cn$ca! %e cálculo> !ea %e %$#erenc$a&'o> !ea %e $ntegra&'o.

O cálculo %e área !e %á atra;-! %a $ntegra&'o %e u1a #un&'o re7re!entat$;a cur;a3 %a Bual !e

Buer %e!co<r$r a área !o< a 1e!1a e1 7onto! Bua$!Buer ou e1 to%a a cont$nu$%a%e %a #un&'o.)!!$1> !ea u1a #un&'o f ( x) Bue re7re!enta u1a cur;a no grá#$co e !e Buer %e!co<r$r a área !o<a 1e!1a e1 %a%o! 7onto! a e b > to1a1o! f ( x) e1 ca%a 7onto %a re7re!enta&'o co1o aaltura e1 ca%a 7onto %e x ao longo %o ca17o %e cálculo. D$!to> ut$l$Aan%o!e %o conce$to %el$1$te> e re7re!entan%o o cálculo con=ec$%o %a área %e u1 retngulo cua altura - f ( x) e Buecua largura - ∆ x co17reen%e1o! a área total !o< u1a cur;a co1o !en%o a área %e!con=ec$%a%a 1e!1a 1a$! a área %a%a 7elo erro na a7ro/$1a&'o %o cálculo 7ela área %o retngulo. )!!$1> !eau1entar1o! o n1ero %e retngulo!> con!eBuente1ente o ;alor %e ∆ x !erá t'o 7r:/$1o %e0 Bue re7re!entará u1a 7orcentage1 10n$1a %o erro %e a7ro/$1a&'o e co1o a área total - a

!o1a %e to%a! a! área! %o! retngulo! Bue co17e o cálculo> ent'o <a!tano! ten%er o n1ero %eretngulo! ao $n#$n$to 7ara Bue to1e1o! a e/at$%'o %o cálculo %a área !o< a cur;a %a !o1at:r$a %eto%a! a! área! %o! retngulo! Bue a $r'o co17or.



Do cálculo %a área 7ara $nter;alor %e#$n$%o! entre a e b > encontra1o! !ua !olu&'o na%$#eren&a entre a área encontra%o %o! e/tre1o! %a Bue!t'o> $!!o !$gn$#$ca Bue %a o<ten&'o %e u1a#un&'o 7r$1$t$;a F ( x ) > re!ulta%o %a $ntegra&'o %e f ( x) e1 ∂ x > no! e/tre1o! a e b

> encontra1o! a %$#eren&a F (b )− F (a) na cont$nu$%a%e e 7rece%Knc$a %o! e/tre1o! na #un&'o.

!ea"io de Cálculo de (rea – Pao 2 e 3

De!te Pa!!o con!$%era1o! a anál$!e %e %ua! !$tua&e! %e cálculo %e área !o< cur;a!> on%e%e;e1o! %eter1$nar a! !olu&e! 7ara ta$! área! e co17arar> !egun%o a! a#$r1a&e!> !e o! re!ulta%o!

á a7re!enta%o! e o! encontra%o! co1 a !olu&'o %e no!!a! e/7er$Knc$a! !'o ;er%a%e$ro! ou #al!o!>on%e te1o! a! a#$r1a&e! %e Bue a área %a F$gura " - 0,6931u . a . e a área %a F$gura 2 -6,3863u . a . )! !$tua&e! !'o %e!cr$ta! 7ela! #$gura! " e 2> re!7ect$;a1ente.

F$gura " F$gura 2

Para a! alternat$;a! e1 Bue 7o%e!e a#$r1arL

a3 I3 e II3 !'o ;er%a%e$ra! <3 I3 - #al!a e II3 - ;er%a%e$rac3 I3 - ;er%a%e$ra e II3 - #al!a%3 I3 e II3 !'o #al!a!

Da F$gura "> 7o%e1o! calcular a área !o< o grá#$co calculan%o 7r$1e$ra a área %e#$n$%a entre %o$!

7onto!> !en%o ele! P1=(1;1) e P2

=

(2;

1

2

) na $ntegral

∫1

21

x ∂ x > on%e o<te1o! n'o a área

%e#$n$%a 7ela #$gura> 1a! 7arte %ela> o<te1o!> no entanto> a área !o< o grá#$co no! 7onto! e1 Bue x=1 a x=2 . Tra<al=an%o a $ntegral>

∫1

21

x ∂ x

ln| x|∨2

1=ln|2|−ln|1|

ln|2|−ln|1|=0,6931u . a .



13

)gora> %e;e1o! calcular a área #or1a%a 7elo Bua%ra%o %a #$gura %e 7onto! P1=(0 ;1) > P2=(0 ;0) > P3=(1;1) e P4=(1 ;0) . )!!$1> %eter1$na1o! a área 7ela 1ult$7l$ca&'o %o!

la%o! %o Bua%ra%o> !en%o a!!$1 l . l=1.1=1u . a . Ent'o> a área total !o< o grá#$co %e#$n$%a entre

o! 7onto! P1=(0 ;1) > P2=(1;1) e P3=(2; 1

2 ) - %e 1+0,6931=1,6931 u . a .

D$!to> 7o%e1o! to1ar a área Bue e!tá #ora %o no!!o cálculo co1o a área %e u1 tr$nguloretngulo. )!!$1> te1o! %ua! área! Bue e!t'o #ora %e cálculo> !en%o ela!L 6rea "> %e 7onto! P1=(0 ;1) > P2=(1;1) e P3=(0 ;0) > e 6rea 2> %e 7onto! P1=(0 ;0) > P2=(2;0) e

P3=(2; 12 ) . Ent'o> 7ara o cálculo %a 6rea " e 2> #aAe1o!b .h

2> ou !ea> a 1eta%e %o re!ulta%o

%a 1ult$7l$ca&'o %a <a!e ;! a altura %o tr$nguloretngulo %e!cr$to.Para a 6rea "L

1.1

2 =

1

2u . a .

Para a 6rea 2L

2. 12

2 = 1

2u .a .

De!te 1o%o> %e!con!$%eran%o a! área! " e 2 %o cálculo %a área total encontra%a co1o1,6931u . a . > 7o%e1o! encontrar a área %e!cr$ta 7ela #$gura. FaAe1o! ent'oL

1,6931− 1

2−1

2=0,6931 u .a .

D$!to> %eter1$na1o! Bue a área %e!cr$ta 7ela F$gura " - %e 0,6931u . a . > con%$Aente co1 o

Bue !e a#$r1a no Pa!!o.

Para a F$gura 2> con!$%era1o! a o cálculo %a! área! !o< a! cur;a!4

x e

−4

x. Co1o !e trata

%a re7re!enta&'o %e área! co1 o! 1e!1o! l$1$te! %e $ntegra&'o e Bue e1 n1ero! re7re!enta1%e!$gual%a%e!> 1a! co1o tra<al=a!e co1 o conce$to %e área> n'o 7o%e1o! %ála! co1o negat$;a!>a!!$1 a! !o1a1o!.

Ent'o conclu01o! Bue a a#$r1a&'o %a%a 7elo Pa!!o - contrár$a a !olu&'o encontra%a> a!!$1> aárea %a%a 7elo Pa!!o na F$gura 2 - #al!a.

Po%e!e !er %e1on!tra%o 1ate1at$ca1ente atra;-! %e 7roce!!o! %e $ntegra&'o !uce!!$;o! 7araca%a Bua%rante %o grá#$co a7re!enta%o.

FaAen%oo 7ara o "º ua%rante> no e!7a&o %el$1$ta%o> e1 y=4 a x=4 .



Co1o te1o! u1a l$1$ta&'o 7ara a área Buan%o y=4 > %e;e1o! calcular a área a !er #or1a%a

7or u1 retngulo no 7onto P1=(0 ;4) e P2=( 4 y ;4) . )!!$1> 7ara o 7onto P2 > co1o

%e;e1o! %eter1$nar o ;alor %e x Buan%o y=4 > atr$<u01o! e!te ;alor e1 y na eBua&'o4

y

> #$can%o x=1 . E1 con!eBuKnc$a> a área %a%a 7or tal retngulo !erá ∆ x . ∆ y > ou !ea>

1.4=4u . a . )gora> <a!tano! calcular a área !o< a cur;a %e y=4

x. Para tal> a $ntegra1o!.

∫1

44

x ∂ x

4∫1

4

1

x ∂ x

4 ln| x|∨41=4ln4−4ln1

4ln4≅5,5452

)!!$1> a área total !o< o grá#$co - 4+5,5452=9,5452u . a .

Para o 2º ua%rante> l$1$ta%o e1 y=4 e x=−4 > on%e 7re;alece a le$ y=−4

x> ent'o a

área !o< a cur;a - −4 ln| x| no $nter;alo x=−4 e x=−1 .

)!!$1> a área !o< a cur;a - %a%a e1L

−4 ln| x|∨−1

−4=−4ln1+4ln4

−4ln1+4ln4≅5,5452u. a

E a área total !o< a cur;a - 5,5452+4=9,5452u . a .)gora> 7ara o (º ua%rante> l$1$ta%o e1 y=−4 e x=−4 > te1o! a le$ %e #or1a&'o

y=4

x.



15

D$!to> a área !o< a cur;a no $nter;alo x=−4 e x=−1 - 4 ln| x| .

4 ln| x|∨−1

−4=4 ln|1|−4 ln|4|

4 ln|1|−4ln|4|=5,5452u . a .

)!!$1> a área total %e!cr$ta - $gual a área !o< a cur;a 1a$! a área %o retngulo #or1a%o> cuo

;alor - %e4

u . a . > %e!te 1o%o4+5,5452

=9,5452

u . a .

Para o +º Bua%rante> %el$1$ta%o e1 y=−4 e x=4 > te1o!L

) área !o< a cur;a o<e%ece a le$ −4 ln| x| > on%e a7arenta to%o! o! ;alore! nu1er$ca1ente$gua$!> 1a! negat$;o!> 1a! %o cálculo %e área> %á!e o ;alo 7o!$t$;o e $gual %a área ".

)!!$1 !en%o> o 1e!1o ;ale 7ara o 2º e (º Bua%rante> Bue %e!cre;e1 a 1e!1a !$tua&'o 7ara co1a !olu&'o.

)o #$1 %$!to> conclu01o! Bue a a#$r1a&'o %a%a 7ara a F$gura " - ;er%a%e$ra e 7ara a F$gura 2 -#al!a> con#$r1an%o a ;erac$%a%e alternat$;a c. )gora> a!!oc$a1o! a e!!a alternat$;a o )> Bue %arácont$nu$%a%e !eBuKnc$a nu1-r$ca %o %e!a#$o %e!te )TPS.

Eta7a +

Cálculo de (rea e *olume de S+lido de ,e-olução – Pao 1

O %e!en;ol;$1ento 1ate1át$co %a ant$gu$%a%e le;ouno! 7e!Bu$!a %e no;o! 1e$o! %ere!7on%er Bue!te! %e $ntere!!e 7ara o %e!en;ol;$1ento =u1ano> %entre ela!> co1o 7r$1or%$al>tentar re!7on%er a área %e 7lano! 7ara o %e!en;ol;$1ento %a agr$cultura> e at- 1e!1o> %a



engen=ar$a ant$ga> %a%o! e!te! e/e17lo! 7ara o e/ten!o e!tu%o %e 1ane$ra! %e re!ol;er 7ro<le1a!1ate1át$co! %e natureAa e!7ec0#$ca.

)!!$1> %o %e!en;ol;$1ento 1ate1át$co cont$nuo atra;-! %o! !-culo! !egu$nte!> e1 e!7ec$al na$%a%e 1o%erna> e co1 o !urg$1ento %a 1ate1át$ca a7l$ca%a> #o$ co1 I!aac Ne?ton ",+("23 eGott#r$e% H$l=el1 @e$<n$A ",+,"",3 Bue 7ro<le1a! ante! !e1 !olu&'o e/ata e %e cálculo!e/ten!$;o! #ora1 re!7on%$%o! e1 tra<al=o! $gua$!> 1a! $n%e7en%ente!> 7elo! %o$! 1ate1át$co!> Bue%$!!ertara1 re!7e$to %o %e!en;ol;$1ento %o cálculo %$#erenc$al e $ntegral.

O! conce$to! a7re!enta%o! 7ela no;a #erra1enta %e #aAer 1ate1át$ca 1o!trara1!e ute$! no!%$;er!o! ca17o! %e e!tu%o!> tanto 7ara o e!tu%o %a! 1at-r$a! e/ata!> tanta 7ara o %e!en;ol;$1ento%a! 1at-r$a! =u1ana! e <$ol:g$ca!> !en%o $17ortante notar o $17acto %$reto %o %e!en;ol;$1ento%e!ta! %ua! lt$1a! na !oc$e%a%e.

No %e!en;ol;$1ento %a !oc$e%a%e conte17ornea o cálculo a!!u1$u caráter r$goro!o> tornan%o!e %e gran%e $17ortnc$a 7ara co1 o %e!en;ol;$1ento t-cn$coc$ent0#$co atual. Ne!te 7er0o%o #o1o!ca7aAe! %e e/7an%$r a! $%e$a! %o cálculo $ntegral 7ara o e!7a&o eucl$%$ano> Bue - u1 e!7a&o ;etor$alreal %e %$1en!'o #$n$ta 1un$%o %e u1 7ro%uto $nterno> e 7ara o 7lano co17le/o.

)!!$1> %a co17reen!'o %a ca7ac$%a%e %e re!ol;er 7ro<le1a!> a %eter1$na&'o %e u1a no;a

#erra1enta 1o!trou!e o 1e$o %e#$n$t$;o 7ara o encontro %e !olu&e!> 1o!tran%o o! 1e$o! et-cn$ca! %e cálculo 7ara o! ;ár$o! 7ro<le1a! 1ate1át$co! %a! 1a$! %$;er!a! área! %o con=ec$1ento.

(rea e *olume de S+lido de ,e-olução – Pao 2 e 3

Do Pa!!o 2> %e;e1o! encontrar a! !olu&e! 7ara o! De!a#$o! ) e *> %o! Bua$!> e1 )> en;ol;e ocálculo %a área %e u1a !u7er#0c$e %e re;olu&'o e1 torno %o e$/o / e> e1 *> o cálculo %o ;olu1e %eu1 !:l$%o %e re;olu&'o e1 torno %o e$/o Q> %a%a! a! #un&e! e l$1$te! e1 / Bue co17e ta$! cur;a!

%o! cálculo!.

!ea"io #

Ne!te %e!a#$o %e;e1o! encontrar a !olu&'o 7ara a área %e u1a !u7er#0c$e %e re;olu&'o e1 torno%o e$/o / %a%a a #un&'o Bue %e!cre;e a cur;a %a !u7er#0c$e co1o y=4√ x > !en%o Bue a 1e!1al$1$ta!e e1 ;alore! corre!7on%ente! %e x e1 x=1/4 e x=4 . De!te> no! - Bue!t$ona%a a

;erac$%a%e %a a#$r1a&'o á %a%a 7elo tra<al=o e1 Bue!t'o co1o2 π

3 (128√ 2−17√ 17) . E> %o

Pa!!o (> %eclarar u1 n1ero ;erac$%a%e %a $n#or1a&'o.

Co1o ;$!to> a eBua&'o Bue %e!cre;e a área %e u1a !u7er#0c$e %e re;olu&'o -2π ∫ f ( x)√ 1+ f ' ( x )2 ∂ x . )!!$1> to1an%o f ( x) co1o y=4√ x > e %an%o o! l$1$te! %o

e/tre1o %e $ntegra&'o na $ntegral e f ' ( x )= 2

√ x> te1o!L

4√ x

(¿)√1+( 2

√ x )2

∂ x

A ( x)=2π ∫1/4

4

¿

)!!$1> o<te1o! a !egu$nte !u7er#0c$e %e re;olu&'oL



17

I1agen! %o !:l$%o 7ara o cálculo %a área %e !u7er#0c$e %e re;olu&'o %e!en;ol;$%a! e1 a7le "4.

)!!$1> %o cálculo> #aAe1o! ( 2√ x )2

= 4

x> on%e o !u<!t$tu01o! e calcula1o! o ;alor %e %entro %a

ra$A> rearranan%oo> tornan%oo √ x+4 x

. )!!$1> !u<!t$tu01o! o ;alor %e %entro %a ra$A 7or u >

e #aAe1o! a $ntegral e1 #un&'o %e u . De!te 1o%o> a %er$;a%a %e u - ∂ u= 4

x ³ ∂ x > e ∂ x

> log$ca1ente %a !u<!t$tu$&'o> - ∂ u . x ³

4. )!!$1> !u<!t$tu01o! na eBua&'o.

4√ x

(¿)√ u∂u . x ³

4

A ( x)=2π ∫1/4

4

¿

Re!ol;en%o e1 ter1o! %e x > te1o!L

A ( x)=2π ( x2

√ x )∫1 /4

4

√ u ∂u

E> re!ol;en%o e1 ter1o! %e u >

A ( x )=2π ( x2√ x )(

2u√ u

3 )

)!!$1> to1an%o u= x+4 x

> ou a$n%a> u=1+4

x> te1o!L

A ( x )=2 π 3 ( x2

√ x )(2(1+ 4

x)√1+

4

x)



E> rearranan%o o! ter1o!> o<te1o! a !egu$nte eBua&'oL

A ( x)=2 π

3 {(2 x

2√ x√1+

4

x )+(8 x √ x √1+4

x )}

E> calculan%o a %$#eren&a entre o! ;alore! %e $ntegra&'o %a%o! e1 x=4 e x= 1

4> o<te1o!

o re!ulta%o %e2 π

3 (128√ 2−17√ 17) u . a . 9alor $gual ao a7re!enta%o no tra<al=o> o Bue no!

1o!tra a coerKnc$a %a a#$r1a&'o %a%a> $!to -> a re!7o!ta a7re!enta%a - correta.

D$!to> agora> a!!oc$a1o! o n1ero 4> %e acor%o co1 o Pa!!o ( %e!ta Eta7a.

!ea"io $Do %e!a#$o> co17reen%e1o! o cálculo %o ;olu1e %e u1 !:l$%o %a re;olu&'o %o 1e!1o e1 torno

%a reta y=2 . Tal !:l$%o - %e!cr$to 7ela! cur;a! f ( x )=sen( x ) e g ( x )=sen ³( x) no 7er0o%o%e 0 e π /2 . )7re!enta1o! a<a$/o o grá#$co %a! #un&e! 7ara o $nter;alo %e −2 π e 2π .

Grá#$co %a! #un&e! !en/3 e !en/3> %e!en;ol;$%o e1 atla<.

Do cálculo> ut$l$Aan%o!e %o 1-to%o %o anel> on%e %$!7o1o! %a! #un&e! Bue %e!cre;e1 o !:l$%o

na ca!ca e/terna e $nterna> to1a1o! o ;olu1e %o 1e!1o co1o !en%o V =∫a

b

A ( x)∂ x > on%e

A ( x ) - a área %o anel #or1a%o %a #$gura e A ( x)=π ([ R ( x ) ]2−[r ( x ) ]2) > on%e R( x) er ( x ) !'o> re!7ect$;a1ente> a cur;a Bue %e!cre;e a ca!ca e/terna %o anel e a cur;a $nterna %o

1e!1o. )!!$1> con!$%eran%o Bue o! 1e!1o! ter'o re;olu&'o e1 ;olta %a reta y=2 > a7ena!a!!u1$1o! a $1age1 %o grá#$co no $nter;alo 0 e π /2 !o< a reta. D$!to> con!$%eran%o Bue ográ#$co e/terno - R( x) e o $nterno - r ( x ) > a!!u1$1o! Bue e!te! !'o re!7ect$;a1ente

R ( x )=senx e r ( x )=sen ³ x > te1o! o ;olu1e %e#$n$%o e1 V =∫0

π

2

π ([ senx ]2−[ sen³ x ]2)∂ x .

Re!ol;en%o> te1o! BueL



19

V =π ∫0

π

2

(sen ² x−sen6 x)∂ x

1

2sen

6 x ∂x

∫0

π

2

(¿−1

2 cos (2 x ))∂ x−∫

0

π

2

¿

V =π ¿

V =4

3 π −

3

32 π

2

V =3,26u . v .

I1age1 %o !:l$%o %e re;olu&'o> %e!en;ol;$%a e1 a7le "4.

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