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CAPÍTULO II

ASPECTOS HISTÓRICOS Y EPISTEMOLÓGICOS DEL CONCEPTO DE INTEGRAL DEFINIDA

El objetivo de este capítulo tiene dos pretensiones: una destacar los aspectos históricos

más relevantes alrededor del concepto de integral definida y su relación con el concepto

de área de una región, y otra intentar identificar las dificultades epistemológicas que ha

tenido el desarrollo de este par de conceptos; con el objeto de enriquecer una propuesta

didáctica al rededor del aprendizaje de la noción de efecto acumulado en la integral

definida, idea introducida en el capítulo precedente.

Esta intención es coherente con lo mencionado por Turégano (1993), la cual indica que el

reencuentro entre historia y epistemología ha sido aprovechado por la didáctica de la

matemática, dado que los productos del método histórico-crítico1, han permitido analizar

algunos fenómenos de los procesos enseñanza y aprendizaje relacionados con la

reconstrucción deliberada de un saber o concepto específico; que naturalmente conlleva

la generación, puesta en marcha e interpretación del impacto producido, por propuestas

de acciones pedagógicas y didácticas en el aula2.

Además, Turégano (1993) en la introducción de su investigación histórica sobre algunas

técnicas, métodos y conceptos que fueron la génesis de la actual teoría de la medida, cita

a Morris Kline, quien afirma: “No se puede dudar de que las dificultades que los grandes

matemáticos encontraron son también los obstáculos en los que tropiezan los estudiantes,

y no puede tener éxito ningún intento de acabar con estas dificultades a base [sic ] de

palabrería lógica” (p.11).

1 Según Chamay (2009) “se acostumbra llamar método histórico-crítico a un conjunto de metodologías exegéticas que han sido desarrolladas de modo consistente desde el s. XVIII…”, con el fin de extraer el significado de un texto dado, de manera objetiva. Recuperable en http://teologia.umg.edu.gt/wp-content/plugins/downloads- nager/upload/metodo_historico_critico.pdf2 Esto no quiere decir, que las siguientes disertaciones se direccionen estrictamente por medio del uso de este método histórico en cuestión.

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Para el desarrollo de este capítulo, se siguen esencialmente los planteamientos de

Turégano (1993) y Boyer (1987) sintetizando las principales ideas que transformaron las

nociones de área, desde las relacionadas con actividades específicas del hombre antiguo

prehelénico3, pasando por los conceptos del método de exhausción griego, los elementos

de Euclides, el método de Arquímedes, los aportes árabes, la tendencia escolástica de la

Europa medieval, los aportes a finales del renacimiento y edad moderna, hasta la

definición de área en la teoría de la medida y las aplicaciones al cálculo de

probabilidades. De manera simultánea, por una parte; se intenta descubrir algunos

conceptos previos, tanto teóricos como prácticos, que deben tenerse en cuenta para que

un estudiante aborde con éxito su primer curso de cálculo integral4; y por otra parte, se

lanzan algunos cuestionamientos sobre la posible intencionalidad didáctica de futuras

tareas en el aula; todo esto para motivar la propuesta que se desarrollará en el capítulo

tres.

Para organizar y concretar las ideas que guían la discusión de este capítulo, se presentan

las siguientes interrogantes:

¿Qué actividades del hombre prehelénico generaban o daban lugar a problemas

relacionados con la noción de área?

¿Qué dificultad presentaba la noción de área de los egipcios y babilonios?

¿Qué cambio caracterizó el pensamiento matemático de la época griega y qué elementos

se desarrollaron para motivar el método de exhausción visto como el equivalente al

cálculo integral contemporáneo?

¿Qué dificultad presentaba la noción de área de los griegos?

¿Qué influencia tuvo la matemática árabe en el concepto de área?

¿Qué influencia tuvo la matemática de la Europa Medieval en el concepto de área?

¿Qué dificultad presentaba la noción de área en la Europa Medieval?

¿Qué influencia tuvo la matemática a finales del Renacimiento y principios del mundo

moderno, en el concepto de área?

Newton dijo: “Si he logrado ver más lejos, ha sido porque he subido en hombros de

gigantes”. ¿De Quiénes posiblemente son esos aportes fundamentales que alimentaron la

reflexión y la creación de su obra?

¿Por qué a Newton y Leibniz se les considera los inventores del cálculo infinitesimal?3 Principalmente egipcios y babilonios.4 Sin pretender hacer una propuesta didáctica de tales preconceptos, pero que se podrán tener en cuenta en el próximo capítulo.

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¿Qué otros aportes sucedieron a la invención del cálculo después de Leibniz y Newton?

¿Cómo se define hoy por hoy la integral definida y qué alcances tiene?

¿Qué originó la necesidad de definir la integral vía Riemann, vía Darboux, vía Lebesgue?

¿Cómo se construyó el puente que une la integral definida con el cálculo de

probabilidades?

Primera pregunta: ¿Qué actividades del hombre prehelénico generaban o daban lugar a

problemas relacionados con la noción de área? (¿Qué intencionalidad teórica-por ejemplo

de congruencia-, qué intencionalidad práctica-por ejemplo la solución de problemas sobre

área y perímetro de parcelas-y qué intencionalidad didáctica-por ejemplo la

descomposición y recomposición de figuras complejas en figuras más simples-; se puede

entrever en este periodo de tiempo?)

Según Turégano (1993) hace aproximadamente 15.000 años desde la prehistoria en la

época de los cazadores y recolectores, se puede distinguir que, en las actividades

comunicativas por medio del registro pictográfico; se hace buen uso del área, con lo cual

puede conjeturarse que el problema de la distribución del espacio en el plano era

eficiente5. Con base en la misma autora, en los primeros años de la agricultura y

ganadería, acciones como el almacenamiento de cosechas y líquidos dieron lugar a

situaciones problema relacionadas con el cálculo de áreas, volúmenes y capacidades de

los recipientes6.

Según Boyer (1987), citando a Heródoto (485-424 a.C.); en las cercanías del Nilo, a

causa de las fluctuantes inundaciones se hacían irreconocibles los linderos de las

parcelas y se originó la necesidad de resolver problemas de áreas, los cuales fueron

resueltos con buena precisión por parte de los agrimensores7, de acuerdo con los

registros del papiro de Rhid (S. XVI a.C,) o de Ahmes (1660-1620 a.C.). Según este

5 Aquí podemos notar una primera acción básica y práctica relacionada con el concepto de área realizable en el aula, que corresponde a la distribución proporcional del espacio disponible en el plano. Puede proponerse pegar o dibujar un conjunto de figuras en una porción de un plano-en una hoja o en el tablero-, de tal manera que quede bien distribuido el espacio dado. Esta actividad se puede acompañar con la estrategia de dividir homogéneamente la porción del plano dado, utilizando una unidad de medida predeterminada. 6 Un segundo preconcepto teórico puede relacionarse con el cálculo de áreas de figuras elementales como cuadrados, triángulos, rectángulos, trapecios y cuadriláteros en general. Puede proponerse alguna actividad relacionada con teselaciones para cubir porciones del plano cuya frontera sea un polígono, con el objeto de recordar la composición y descomposición de figuras planas y la relación entre sus áreas.

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mismo autor, en el papiro citado se visualizan algunas nociones egipcias de

descomposición y recomposición de áreas, lo cual implica una noción de congruencia y

primeras versiones del método demostrativo utilizado en la geometría euclidiana

elemental. Sin embargo, anota el autor, en sus razonamientos no había diferencia clara

entre métodos exactos y aproximados, teniendo en cuenta la presunta evidencia de un

bajo nivel, o quizás la indiferencia, por generalizar la resolución de algunos tipos de

problemas y también la ausencia aún de un sistema lógico formal8.

Turégano (1993) explica que en lo referente a los babilonios, sus reflexiones sobre el

concepto de área estaban más ligadas a cuestiones prácticas de figuras planas, basada

en la evidencia de sus tablillas. Sin embargo ambos autores Boyer (1987) y Turégano

(1993), reconocen que aunque es insuficiente el conjunto de pruebas que permitan

afirmar que ambas culturas no habían desarrollado un nivel de abstracción como lo

demuestran los resultados de la matemática griega, si prepararon los fundamentos para la

construcción de esta última.

Segunda pregunta: ¿Qué dificultad presentaba la noción de área de los egipcios y

babilonios?

Con las reflexiones alrededor de la primera pregunta a la luz de los autores mencionados,

se divisa con claridad un aspecto epistemológico, que puede llevar a pensar que las

matemáticas prehelénicas tendían a un pensamiento pragmático y de muy bajo nivel de

rigurosidad, además de la imposibilidad de reconocer una respuesta exacta de una

respuesta aproximada9.

7 En Boyer (1987), se cita textualmente “tensadores de cuerda”, posiblemente refiriéndose a los agrimensores egipcios. Aquí se puede identificar un preconcepto práctico o actividad previa en un terreno casi plano, referente al cálculo aproximado de su área. Una manera puede ser, emulando el uso de métodos topográficos sencillos, basados en el cálculo de las coordenadas polares de los vértices de una familia de polígonos cuyas áreas se aproximen cada vez más a la del terreno en cuestión. Estas coordenadas dispuestas en ciertas matrices, por medio del cálculo de sus respectivos determinantes, dan como resultado los valores aproximados del área pedida. 8 En Boyer (1987), p.(39), se encuentra un hallazgo de este tipo.9 Aquí se presenta intuitivamente una analogía con el proceso de aprendizaje de algunos grupos de estudiantes que, sin desconocer la complejidad de la fenomenología sociocultural, neurosicológica y cognitiva que se observa en la experiencia diaria de las aulas; en estos casos, en palabras de Luis Delfín Insuasty, las características del desarrollo de sus habilidades básicas de aprendizaje afectan negativamente sus procesos de conceptualización.

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Tercera pregunta: ¿Qué cambio caracterizó el pensamiento matemático de la época

griega y qué elementos se desarrollaron para motivar el método de exhausción o

agotamiento visto como el equivalente al cálculo integral contemporáneo?

En todo el capítulo V del trabajo de Boyer (1987) denominado la época heroica10 se

mencionan los principales aportes del inicio del pensamiento matemático griego11 (≈ 600

a.C.- 300 a.C.), entre los cuales cabe destacar, a grandes rasgos:

Su interés se centra en las disertaciones filosóficas, teóricas, la exactitud del

pensamiento y el deseo de conocer; sin embargo la aplicación de la aritmética y la

geometría a la vida cotidiana siguió vigente, aunque su nivel de prioridad pasó a

un segundo plano.

Se abre paso al intento por solucionar formalmente seis problemas fundamentales

para la matemática: La cuadratura del círculo, la duplicación del cubo, la trisección

del ángulo, la razón entre magnitudes inconmensurables12, las paradojas sobre el

movimiento y la validez de los métodos infinitesimales13.

Las restricciones iniciales a la validez de sus razonamientos se sujetan a las

construcciones con regla y compás, pero en el transcurrir de los intentos por

solucionar los problemas precedentes; aparecen la construcción de curvas

mecánicas como la cuadratriz, la aceptación progresiva de argumentos con base

en razones entre magnitudes inconmensurables14 que terminan dándole prelación

a la geometría sobre aritmética15 y el uso de las nociones sobre cantidades

infinitesimales.

10 Llamada así por él, porque se enfrentaron problemas fundamentales con bastas herramientas.11 El mismo autor recuerda que entre los siglos V y IV a.C. se produjeron cambios significativos en la civilización del mundo occidental y los sitúa aproximadamente entre las guerras persas vs. griegos y Esparta vs. Atenas.12 Para Szabo (1977), citado en Turégano (1993); el desarrollo de la inconmensurabilidad lineal está relacionada con el problema de la media proporcional de dos magnitudes.13 Que según Boyer (1987) están relacionados con los pensamientos y aportes de hombres como: Hipócrates de Chios, Arquitas de Tarento, Hipias de Ellis, Hipaso de Metaponto o de Crotona, Zenón de Elea y Demócrito de Abdera.14 Las cuales no se consideraban números, sino cantidades geométricas continuas.15 Por ejemplo, dado que la noción de número disponible en el momento, vista como lo que hoy se conoce con el nombre de cantidades discretas, no se podía concebir la solución en este dominio numérico de la ecuación, escrita de manera contemporánea como x2=2; no obstante, ésta si tenía solución geométrica, como es el caso de la diagonal del cuadrado de lado uno, donde las magnitudes si se concebían continuas.

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Una situación problema de capital importancia está relacionada con las áreas de

figuras con frontera curva y que incide en los intentos por solucionar la cuadratura

del círculo. Se trata del teorema de Hipócrates de Chios o de Quios (≈470-410

a.C.) sobre los círculos y los cuadrados circunscritos, pertinente a la cuadratura de

lúnulas. Al parecer, según Boyer, Hipócrates de Chios logró la primera cuadratura

rigurosa de figuras curvas, haciendo referencia a la cuadratura de algunas lúnulas

en cuya demostración se utiliza una extrapolación del teorema de Pitágoras. En

palabras de Boyer, el teorema de Hipócrates de Chios es “…la primera afirmación

precisa sobre la medida de figuras curvilíneas en el mundo griego…y si Hipócrates

consiguió… una demostración… puede haber sido el responsable de la

introducción del método indirecto…”. Sin embargo sus resultados solo mostraron

un acercamiento a la solución del problema en cuestión. Por comentarios de

Boyer, se puede suponer que el mejor acercamiento a la solución de este

problema, era inscribir y circunscribir figuras rectilíneas a la curva y aproximar su

longitud y área elevando el número de lados de manera indefinida. El obstáculo,

comenta el autor precedente, es que no tenían las herramientas para cerrar el

razonamiento16

Otro problema que marca la diferencia en este tiempo corresponde a las paradojas

de Zenón (490-430 a.C.), que se conjetura, fueron expuestas para contradecir los

principios pitagóricos. Estas paradojas basadas en la dialéctica17 pudieron ser

parte de los motivos para el desarrollo del razonamiento deductivo, en un intento

por “convencer a un oponente de una conclusión determinada, buscando premisas

que esté dispuesto a admitir y de las que se siga necesariamente tal conclusión”

Boyer (1987).

A parte de la época Heroica, Turégano (1993) hace mención a los aportes de Heudoxo de

Cnido (390-337 a.C.) no solamente en lo referente a la formulación sobre la definición de

las proporciones18; sino también de interés para este trabajo en particular, lo relacionado

con el método de exhausción para comparar figuras rectas y curvas. Este razonamiento

16 Estas herramientas corresponden a la noción de límite de una función, herramienta matemática que se desarrolla hasta los siglos XVII y XVIII.17 Según Boyer (1987), método de razonamiento indirecto que consiste en partir de las premisas que defiende el oponente para terminar reduciéndolas a un absurdo.18 Como lo comenta Boyer (1987), muy relacionado con las definiciones de los números reales vía cortaduras de Dedekind.

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se basa en la hoy conocida propiedad Arquimediana de los números racionales19, la cual

expresa que “dadas dos magnitudes que tengan razón (… del mismo tipo y ninguna …

cero) entonces se puede encontrar un múltiplo de cualquiera de ellas que exceda a la

otra” Boyer (1987). Con esta propiedad comentan Boyer (1987) y Turégano (1993) se

puede demostrar la proposición básica del método de exhausción, según los elementos

de Euclides (325-265 a.C.) citado por Boyer (1987):

Si de cualquier magnitud sustraemos una parte no menor que su mitad, y si

del resto sustraemos de nuevo una cantidad no menor que su mitad, y si

continuamos repitiendo este pro que su mitad, y si continuamos repitiendo

este proceso de sustracción, terminaremos por obtener como resto una

magnitud menor que cualquier magnitud del mismo tipo dada de antemano.

Según Turégano (1993), esta propiedad llamada por Boyer propiedad de exhaución;

corresponde al proceso de cierre de los procesos potencialmente infinitos y daba un nivel

de seguridad teórica para abordar problemas donde se calculaban áreas y volúmenes de

pirámides con base en prismas, conos con base en cilindros, entre otros.

Comenta Turégano (1993) que en los elementos de Euclides se tiene en cuenta como

superficie solamente las porciones del plano entre rectas y arcos de circunferencia,

después también son consideradas aquellas con fronteras de arcos elípticos, parabólicos

e hiperbólicos. También que a una superficie le es asociada de manera axiomatizada un

área que posee las propiedades también vistas como axiomas de semigrupo

arquimediano totalmente ordenado y divisible, invariante por desplazamiento, con las

propiedades naturales de monotonía y Aditividad de uniones no solapadas, figuras planas

formadas por partes iguales son equivalentes y obtenidas al quitar partes congruentes son

equivalentes.

Es inevitable tener en cuenta los aportes de Arquímedes de Siracusa (287-212 a.C.) al

concepto de área. Por una parte el procedimiento iterativo y recurrente usado para

calcular los perímetros y las áreas de los polígonos regulares inscritos y circunscritos, que

según Boyer (1987) a veces se le llama algoritmo de Arquímedes, el cual utiliza las

19 Boyer dice que Arquímedes afirma que fue Eudoxo quien expresó esta propiedad.

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medias geométricas y armónicas, donde a2n y A2n son las áreas de los polígonos

precedentes respectivamente20:

a2n=√an An; A2n=2 Ana2nAn+a2n

Otros de sus aportes: la cuadratura de la parábola21, el área de la elipse completa,

volúmenes de segmentos obtenidos al cortar una elipsoide, paraboloide o hiperboloide de

revolución con un plano que es perpendicular al eje principal, la razón de los volúmenes

del cilindro circunscrito a una esfera de diámetro igual a la altura de éste y la razón de sus

áreas, entre otras muchas; son todos ellos hallados, según Boyer por medio de un método

muy similar al cálculo integral en nuestros días: Toma una partición, inscribe y

circunscribe figuras básicas, suma progresiones, verifica algunas desigualdades inferiores

y superiores, toma particiones más finas para adelgazar las figuras inscritas y

circunscritas de tal manera que la diferencia entre las sumas de lo inscrito y circunscrito

se haga, en sus propias palabras (las de Boyer) “menor que cualquier magnitud dada de

antemano, y por lo tanto las desigualdades anteriores conducen a la conclusión” supuesta

con antelación, obviamente sin previa demostración22.

En la época entre los siglos II al VI, vale la pena mencionar el famoso aporte de Herón de

Alejandría (10-70 a.C.) al cálculo del área de un triángulo en general, utilizando el valor de

sus lados y el semiperímetro.

Cuarta Pregunta: ¿Qué dificultad presentaba la noción de área de los griegos?

Con base en lo escrito por Turégano (1993) se pueden identificar algunas dificultades

como: en los elementos de Euclides se excluyen los desarrollos infinitos por ausencia del

conocimiento de los números reales, estrictamente por no considerar las magnitudes

inconmensurables como números que actualmente reconocemos como irracionales23;

También, se toma como principio que el todo es mayor que la parte, para resolver 20 Es posible utilizar este algoritmo para motivar el método de exhausción en el aula y calcular aproximadamente el área del círculo.21 Según Boyer (1987) llamada por Arquímedes y sus antecesores como “Ortotoma o sección de un cono rectángulo”.22 Esto último, consecuente con el pensamiento de Arquímedes, según lo mostrado en el tratado “El Método” y citado por Boyer: “Resulta más fácil dar una demostración de un teorema si tenemos previamente una idea de qué es lo que tratamos de obtener”.

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cuestiones relacionadas con polígonos equidescomponibles, donde se evidencia la

restricción de los análisis a conjuntos finitos y restringidos a los enteros y de nuevo poca o

casi nula atención a lo infinito; por otro lado, especialmente en los razonamientos de

Arquímedes, parece que el concepto de área no es consecuencia de un verdadero

sistema deductivo, esto es, no se aprecia una definición precisa de área, sino más bien

una especie de axioma que asocia una magnitud a una región y utiliza las propiedades

mencionadas con anterioridad, improbables sin una definición formal24.

Quinta pregunta: ¿Qué relación tuvo la matemática árabe en el concepto de área?

En Turégano (1993), se menciona la obra de Ibn al-Haytham Alhazeh (965-1040 d.C.)

sobre la medida del paraboloide, donde según la autora hay evidencia del uso de

infinitesimales para la suma de los primeros n cubos“… el área del rectángulo grande es

igual a la suma de las áreas de los rectángulos que lo componen… se ha utilizado el área

como recurso para obtener relaciones entre números”.

Sexta pregunta: ¿Qué influencia tuvo la matemática de la Europa Medieval en el concepto

de área?

De acuerdo con lo mencionado por Boyer (1987) cabe resaltar al menos dos aspectos

importantes que hacen presencia a finales del siglo XIII y principios del siglo XIV. Se trata

de las contribuciones hechas por Thomas Bradwardine (≈1290-1349 d.C.) y Nicole

Oresme (1323-1382 d.C.).

Dice Boyer que Bradwardine en su escrito “Tractatus de continuo” asevera que las

magnitudes continuas no están formadas por los átomos matemáticos denominados

indivisibles, más bien por una cantidad infinita de continuos de la misma naturaleza. Esta

23 Sin embargo usando razonamientos basados en las ideas de proporcionalidad de Eudoxo y la reducción al absurdo, se llegan a igualdades en sus resultados, saltándose de esta forma “ingeniosa” los procesos infinitos.24 A pesar de la ausencia de la definición axiomática del área de una figura y el desarrollo deductivo de sus propiedades, es indispensable construir su noción a la par con la respectiva al número real, tomando como herencia los razonamientos de Arquímedes para la comparación y equivalencia entre áreas, y de Eudoxo con las mejoras alrededor de la reconciliación entre magnitudes y números para el caso de los reales. Esto es, partir de situaciones problema sobre cuadraturas especiales hacia soluciones más generales en correspondencia con el desarrollo de la competencia cognitiva de los estudiantes.

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discusión aunque más de tipo filosófico de acuerdo con Boyer, acompaña en su momento

la evolución de la noción de área asociada al sistema numérico que apoya su definición,

en otras palabras, el avance conceptual de la noción de área está supeditada a las

dificultades técnicas que arrojan la noción de número que sigue aún en desarrollo, en este

caso la continuidad de los reales, aunque menciona el autor que los matemáticos del

occidente europeo recurrían frecuentemente a las nociones de infinito potencial y actual

con más madurez que los griegos.

Por otro lado, menciona Boyer que Oresme usa un sistema de coordenadas

correspondientes a las abcisas y ordenadas, llamándoles longitud y latitud, para la

representación gráfica de las “formas variables” o “Latitud de las formas”, una noción del

concepto de función en una y hasta en dos variables. Pero Boyer (1987) dice sobre el

trabajo de Oresme relacionado con la gráfica de velocidad-tiempo con aceleración

constante: “… interesado en… 1- la manera en que varía la función (… la ecuación

diferencial de la curva), 2- la manera en que varía el área bajo la curva (… la integral de la

función)” 25. En palabras de Boyer (1987), “Oresme se encuentra evidentemente

calculando una simple integral que da como resultado la regla obtenida retóricamente por

los físicos de Merton College”. Para Boyer no es claro si Oresme considera el área como

la suma de segmentos verticales o como la suma de rectángulos muy estrechos; pero se

puede percibir nuevas maneras de ver el “axioma de exhausción” griego y la noción de un

método para calcular, lo que en términos de hoy corresponde a la convergencia de

algunas series al infinito.

Séptima pregunta: ¿Qué dificultad presentaba la noción de área en la Europa Medieval?

Consecuente con Boyer, faltaba más desarrollo del álgebra o la representación algebraica

de las ideas, y la combinación entre álgebra y geometría para avanzar en sus

intervenciones y extenderse mucho más allá de los avances de sus predecesores26.

25 De esto se desprende la idea de una actividad en el aula, donde por medio de una gráfica velocidad vs tiempo con aceleración constante, se pueda explicar que el área bajo la curva de esta función lineal corresponde al efecto acumulado de este cambio en la medida que cambia el tiempo, cuya ecuación dimensional sugiere que se trata del desplazamiento obtenido en el intervalo de tiempo observado.26 Esto puede tomarse como una sugerencia sobre la introducción de nociones sobre la representación de cantidades que varían utilizando las ideas de Oresme en los cursos de pre-álgebra.

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¿Qué influencia tuvo la matemática a finales del Renacimiento y principios del mundo

moderno, en el concepto de área?

Este período parece ser de suma importancia a nivel científico, pues en palábras de

Turégano (1993), una “…característica de la época es el deslumbrante desarrollo del

álgebra y, por lo tanto, de la geometría analítica, sin la que hubiera sido posible el

nacimiento del cálculo infinitesimal”. También vale la pena mencionar sobre esta etapa

histórica, lo que Menna (2004) expresa sobre lo expuesto por el filósofo e historiador

científico Alexandre Koyré; sugiriendo que corresponde a la génesis de la ciencia

moderna donde se presentó “… una revolución teórica… [sintetizada por] la disolución del

cosmos y la geometrización del espacio.”

Llama la atención Turégano (1993) sobre el uso que hace del concepto de infinitesimal

Johannes Kepler (1571-1630 d.C.) para calcular áreas y volúmenes de figuras curvas sin

lograr encontrar un método general para todos los elementos geométricos, puesto que se

carecía de una potente herramienta que diera lugar a su representación analítica, es

decir, hacía falta el desarrollo del álgebra. No obstante, Turégano resalta una

característica de los infinitesimales que concebía Kepler, como componentes muy

diminutos de la figura que conservan las dimensiones de la misma, en otras palabras, un

infinitesimal de un figura de n dimensiones, tiene n dimensiones. También hace énfasis en

la forma un tanto más práctica para hallar las áreas, alejándose de hábitos arquimedianos

como la doble reducción al absurdo y los supuestos “colosales” detalles del método de

exhausción.

La misma autora hace referencia a los aportes de Bonaventura Cavalieri (1598-1647) un

discípulo de Galileo, que según Boyer (1987) recibió ánimo por parte de su mentor a

organizar sus reflexiones alrededor de los infinitesimales en un libro. Para la importancia

de este tema, se menciona su obra “Geometria indivisibilibus continuorum” en la cual se

muestra que disiente de Kepler27 en la concepción de infinitesimal, en terminología actual

con respecto a la dimensionalidad de éstos. Para Cavalieri, según los autores

mencionados, el infinitésimo de un elemento geométrico como un plano o un sólido, tiene

27 Según Boyer (1987) también discrepa de las ideas de Oresme y Galileo que compartían la noción de infinitesimal tal como la concebía Kepler.

81

una dimensión menos; por lo tanto, “…un área se puede considerar formada por

segmentos rectilíneos o “indivisibles”,… un volumen sólido se puede considerar

análogamente como compuesto de secciones o áreas que son indivisibles o volúmenes

“quasi-atómicos”” (Boyer 1987), coincidiendo así y sin saberlo (Boyer) con las

consideraciones de Arquímedes y dando a conocer su idea de manera especulativa sin

prejucio del sustento lógico que la sostiene.

La idea fundamental de Cavalieri es la existencia de una correspondencia proporcional

entre los elementos constitutivos de un objeto geométrico, con la cual se puede establecer

otra correspondencia también proporcional entre sus respectivas cualidades de área o

volumen. Boyer aclara que Cavalieri en una ecuación no despreciaba los infinitésimos por

ser de dimensión inferior, tal como sucedía en algunos de los argumentos de su maestro

Galileo; sencillamente hacía énfasis en la existencia de la proporcionalidad entre los

mismos28. El trabajo de Cavalieri toma distancia del uso de los infinitamente pequeño o

grande y lo reemplaza por una intuición geométrica que podría tener una analogía con el

proceso que hace un escáner al tomar una copia de una hoja plana, acompañada

evidentemente de un raciocinio basado en el uso de proporciones entre los elementos

“homólogos” Turégano (1993)29 de las figuras que compara para encontrar equivalencia

entre sus medidas. Las nociones que sostienen sus argumentos se pueden apreciar en

Boyer (1987) o en Turégano (1993), aunque vale la pena mencionar en términos

generales que con todo su estudio llega a bosquejar vagamente (Boyer) un resultado

equivalente a la integral definida de un monomio de grado n natural, en un intervalo

cerrado30 que fue por primera vez publicado por él. Importante también citar las palabras

de ésta autora al mencionar “… sus “indivisibles” son especies de derivadas con cuya

comparación pretende establecer las relaciones sus funciones primitivas, e incluso,

determinar estas funciones” (Turégano, 1993, p. 40).

28 “Si dos cuerpos sólidos tienen la misma altura y si las secciones que determinan planos paralelos a las bases y a distancia de ellas están siempre en una razón dada, entonces los volúmenes de los dos sólidos están también en esa misma razón” Smith D, citado por Boyer (1987), para presentar el teorema de Cavalieri.29 Homólogos más allá de la correspondencia biunívoca entre los elementos, teniendo en cuenta su función estructural en los objetos de comparación. Turégano (1993).

30 ∫o

α

xndx= αn+1

n+1, n∈N . Aquí se puede apreciar un problema aún abierto correspondiente a la

extensión del domino del exponente n, restringido a los naturales.

82

Con el trabajo de Cavalieri, pueden insinuarse muchas inquietudes en el contexto

pedagógico, entre las cuales sigue prevaleciendo el uso de la geometría para argumentar

algunos resultados sobre el cálculo del área limitada por fronteras curvas, sin embargo

puede entreverse lo que arrojan los procesos históricos y su analogía con el pensamiento

inductivo incompleto, donde se “sospeche” que los resultados se pueden ir generalizando

de un sistema numérico como los naturales a otro sistema numérico que contenga un

subconjunto isomorfo, como es el caso de los enteros, los racionales, entre otros.

Newton dijo: “Si he logrado ver más allá que otros hombres, ha sido porque estuve de pie

sobre hombros de gigantes”. ¿De quienes posiblemente son esos aportes fundamentales

que alimentaron la reflexión y la creación de su obra, principalmente lo concerniente al

cálculo integral?

De acuerdo a lo escrito por Boyer, Collette y Turégano se puede conjeturar que la

incidencia de los aportes precedentes y otros que se mencionan a continuación,

principalmente Wallis y Barrow, hacen parte de las bases y pre-descubrimientos utilizados

por Newton para la creación de su obra, en lo referente a la integral definida31.

En primer lugar no se debe dejar de lado las contribuciones filosóficas y de carácter

matemático en general hechas respectivamente por Descartes (1596-1650) y Fermat

(1601-1661) por medio de sus obras “Discours de la méthode” y “Ad locos planos et

solidos isagoge”; donde se interpretan las operaciones algebraicas como

transformaciones geométricas y los lugares geométricos como ecuaciones algebraicas;

resultados fundamentales, pero no únicos, para el desarrollo del cálculo.

En Boyer (1987) se menciona el trabajo de Fermat “Methodus ad disquierendam maximan

et miniman” que aunque hizo parte del conjunto de aportes que fueron germen del análisis

infinitesimal, no debe malinterpretarse su alcance, puesto que en esta época los

razonamientos que sustentaban lo infinitamente pequeño y grande eran aún una zona

virgen de estudio con respecto a sus fundamentos. Sin embargo, comenta Boyer (1987)

que Fermat alrededor de 1629 halló un resultado análogo al encontrado y publicado más

tarde por Cavalieri mencionado anteriormente, con respecto a la integral definida de un

31 En lo concerniente al estudio del movimiento de los cuerpos, según los historiadores citados, pudo estarse refiriendo a Copernico, Galileo y Kepler.

83

monomio de grado n natural, en un intervalo cerrado. Lo sorprendente aquí, si se permite

la expresión, es que el método utilizado por Fermat que no es otro que el de exhausción

griego basado en progresiones geométricas, permite extender el exponente n a fracciones

y ofrece una interpretación para el caso con exponente negativo n≠−1.

Boyer (1987) también hace memoria de la participación hecha por Grégoire de Saint

Vincent (1584 - 1667) para resolver la integral definida precedente para el caso de n=−1

mostrado, según el historiador, en su escrito “Opus geometricum quadraturae” en el cual

se expone de una manera más intuitiva que formal el resultado: “… [si] crece la abscisa

geométricamente, el área bajo la curva [de xy=1] crece aritméticamente” (Boyer, 1987,

p.443), lo cual equivale a ∫a

b 1xdx=lnb−lna.

Boyer también hace alusión de los resultados encontrados por Gilles Persone de Roberval

(1602 - 1675) con respecto a la cuadratura de la cicloide y la integral definida de la función

seno en un intervalo cerrado, utilizando el método de los indivisibles de Cavalieri.

También comenta la polémica sostenida de éste con Evagelista Torricelli (1608 - 1647)

por la autoría del método para cuadrar la cicloide, pero de interés especial vale la pena

resaltar que en la publicación de Torricelli se presenta otro proceso utilizando el método

de exhausción griego, además del método basado en los indivisibles de Cavalieri; como

también el descubrimiento de la relación inversa que se muestra entre los problemas de

cuadraturas y del cálculo de tangentes32, situación que señala algunos inicios del teorema

fundamental del cálculo.

Ahora, siguiendo el trabajo de Turéngano, se encuentran las contribuciones hechas a la

evolución del concepto de integral definida, por parte de Pascal (1623-1662), Wallis

(1616-1703) y Barrow (1630-1677).

De Blaise Pascal, se enfatiza las ideas relacionadas con el génesis de la diferencial que

más adelante aprovechó Leibniz, la cancelación o eliminación de términos cuya

representación geométrica corresponden a elementos con menor dimensión, por decir

algo la suma de líneas le aporta en nada a la suma de superficies, y en el afán por dar

32 Va más allá que Cavalieri cuyo trabajo se basa en exponentes enteros del 1 al 9, según Boyer (1987).

84

una respuesta general al problema de la suma de las primeras j-potencias de los

primeros i-números naturales que aportó a la demostración de:

∫o

α

xndx= αn+1

n+1, n∈N

También se hace alusión al área bajo la curva de la función seno, a propósito de

encontrar la solución general de hallar el área bajo cualquier curva entre algunas rectas.

A su vez, con respecto al trabajo de Wallis se hace referencia a su publicación

“Arithmetica Infinitourum” donde se percibe un volcamiento hacia la integración por medio

de resultados de series numéricas, que parte de la enumeración de los indivisibles y sus

longitudes, utilizando métodos de inducción incompleta e interpolación miopemente

fundamentados. Según el autor, es el primero que se lanza a proponer la extensión del

dominio de la integral inmediatamente precedente a exponentes irracionales, claro está,

sin acompañamiento de una demostración rigurosa. También se menciona que sus

razonamientos lo llevaron a anticiparse intuitivamente a un caso especial de la función

beta de Euler.

De Isacc Barrow contemporáneo y antecesor de Newton en la cátedra de “Lucasian

professor” de geometría en la universidad de Cambrige, los historiadores destacan la

anticipación más cercana a la noción que relaciona las dos definiciones fundamentales del

cálculo diferencial e integral, desde un enfoque relacionado con el cálculo de tangentes y

áreas bajo las curvas. Esto implica que los razonamientos de Barrow son los más claros

hasta este momento histórico sobre lo que hoy se conoce como teorema fundamental del

cálculo. En contrasentido de sus preferencias por los estilos geométricos y crítico de los

métodos algebraicos, las reflexiones que lo llevaron a esta aproximación en su obra

“Lectiones geometricae”, tuvieron un fundamental contendio de tipo algebraico.

Por ejemplo, describiendo lo mostrado por Boyer (1987) en las páginas 488 y 489, Barrow

calcula la tangente de una curva monómica en un punto, basado en su representación

gráfica en la cual establece algunas proporciones entre abscisas y ordenadas conocidas e

incrementos de las mismas, formando triángulos rectángulos proporcionales con

segmentos que contienen entre otras, la subtangente de la tangente desconocida. Con

base en éstas relaciones y en términos actuales, toma la relación f ( x , y )=0, reemplaza x

85

por ( x+e ), y por ( y+a ), desarrolla las potencias del binomio al cual hubiere lugar, suprime

los términos que cumplen, por un lado que f ( x , y )=0, y por otro lado los términos de a y

de e que tengan grado mayor uno33, utiliza las proporciones para trasladar esta última

relación simplificada a la subtangente y finalmente calcula la tangente. Como se podrá

verse después de remitirse a la cita precedente, Barrow en este análisis hace uso de

métodos necesariamente algebraicos para cumplir su cometido.

Ahora, Barrow encuentra relación entre lo que hoy puede denominarse función área bajo

la curva de una función dada y la función pendiente de tal función área, para descubrir

que esta última es la función dada. Por la importancia de este resultado se presenta un

ejemplo para describir este razonamiento utilizando terminología, conceptos y tecnología

de la actualidad.

Sea f ( x )=3 x2. En la representación gráfica se muestran las áreas bajo la curva de f (x)

entre el origen y las rectas x=0.5 , x=1 , x=1.5 y x=2, con sus respectivos valores, los

cuales se disponen en la hoja de cálculo y con éstos se calcula la regresión de modelo

polinomial de grado 3. Lo anterior da como resultado que la función área bajo la curva de

f (x) entre el eje de las abscisas y las rectas con valores en las ordenadas de los puntos,

la cual se notará en este ejemplo como A ( f (x)), corresponde a A ( f (x))=x3.

33 Según Boyer (1987) al transformar recíprocamente las ecuación distancia en función del tiempo y velocidad en función del tiempo.

86

Ahora, calculando el valor de las pendientes de las tangentes a la función A ( f (x))=x3 en

cada punto precedente y siguiendo la misma lógica de regresión con modelo polinomial

de grado 2 se obtiene que la función pendiente de las tangentes a la curva A ( f (x)),

notada aquí34 como (A ( f (x )) )´ en los puntos mencionados es (A ( f (x )) )´=3 x2 que

corresponde a la función f (x) original.

34 Considerándolos como infinitesimales

87

Obviamente lo descrito anteriormente se basa en las ideas de Barrow, más no en sus

procedimientos y simbología original, puesto que el razonamiento más o menos parecido

a lo que él expuso se encentra en Turégano (1993), páginas 47 y 48. De este

razonamiento se desprende la bien conocida regla de Barrow o segundo teorema

fundamental del cálculo.

Antes de hacer referencia a los trabajos realizados por Newton y Leibniz no se debe

olvidar, tal como lo mencionan Collete (1993) y Boyer (1987) que personajes como James

Gregory (1638-1675), Nicolaus Mercator (1620-1687) que aunque no fueron fuente de

inspiración directa para Newton descubrieron resultados importantes para el desarrollo del

cálculo integral.

Según los historiadores precedentes a Gregory en una de sus obras “Vera circuli et

hyperbolae quadratura” se le debe la intención de teorizar sobre la convergencia de

sucesiones basadas en las medias geométricas y armónicas de áreas de polígonales

inscritas y circunscritas que se aproximan a las áreas de circunferencias, elipses e

hipérbolas en la medida en que se aumenta su número de lados. También de Gregory se

escribe que en sus obras “Geometriae pars universalis” y “Exercitationes geometricae”

descubre independientemente desarrollos de series infinitas de Taylor por procesos

88

geométricos similares a las diferenciaciones sucesivas que utilizó para expresar la función

binomial para exponentes al menos racionales y también algunas series de Maclaurin.

Por otro lado, estos historiadores refieren los aportes de Nicolaus Mercator (Kaufmann)

relacionados con series infinitas para los logaritmos naturales y por tanto que incumben

con la integral ∫0

x dx1+x

.

¿Por qué a Newton y Leibniz se les considera los inventores del cálculo infinitesimal?

A pesar de la fuerte disputa en su tiempo sobre el posible plagio de parte de Leibniz en lo

referente al descubrimiento del cálculo diferencial e integral, hallado con antelación por

Newton; según Boyer (1987) se sabe que esto no pudo ser posible pues Leibniz no

conoció o pudo no haber estado totalmente preparado alrededor de 1672 para interpretar

de manera correcta, el trabajo “De analysi per aequationes numero termiorun infintitas”

escrito en 1669 ni otros documentos de Newton, donde se generaliza el uso del álgebra

disponible, también denominada “análisis ordinario” a la solución de algunas “Ecuaciones

infinitas” cuyo uso ayuda al estudio de las curvas: longitudes, áreas, pendientes de rectas

tangentes, entre otras. A tal método Newton lo denominó “Análisis”. Hoy en día, se sabe

que Newton y Leibniz hicieron sus descubrimientos de manera independiente, aunque

Newton los construyó cronológicamente primero; Leibniz se anticipó a éste en publicarlos,

esto según Boyer, cuando cita el informe de 1972 titulado “Commercium epistolicum”

emitido por un comité árbitro de la Royal Society para investigar a fondo este conflicto.

A ellos se les asocia haber inventado el cálculo diferencial e integral porque, según Boyer

(1987), por un lado el conjunto de reflexiones y aportes referentes al cálculo infinitesimal

permitió en esa época a los interesados en el tema, evolucionar, legitimar y prácticamente

perder el miedo al uso sistemático del infinito en sus razonamientos para analizar

problemas alrededor del concepto de función existente, cuestión que anteriormente no

había madurado con tanta fuerza como en el caso de ellos. Por otro lado, porque

demostraron tener mucha claridad y aportaron significativamente a la generalización en

una sola teoría con sus respectivas notaciones y aplicaciones, sobre la relación inversa

entre la derivada y la integral, movidos por causas aparentemente distintas y de manera

independiente, no obstante, sin olvidar los aportes al respecto hechos con anterioridad por

89

Barrow, Wallis y Gregory quienes abordaron los problemas de cuadratura y rectificación

de curvas, cálculo de tangentes, entre otras, como problemas aislados o particulares de

funciones específicas. Es importante mencionar que la “tendencia” en el pensamiento

preponderante de la época, los limitó de cara a la rigurosidad para fundamentar sus

descubrimientos, mucho más a Newton que a Leibniz, pues este último prefería la

evidencia formal sobre la geométrica que consideraba un elemento auxiliar para la

comprensión del fenómeno. Sin embargo Leibniz no pudo soportar las críticas hechas a

la existencia de sus infinitesimales y en parte titubeó sobre la existencia de los mismos,

precisamente por la deficiente rigurosidad en sus fundamentos.

El aporte de Newton se puede describir resumidamente de la siguiente manera.

Los historiadores, entre ellos Boyer (1987) hacen referencia a los años 1665 y 1666,

donde Isaac Newton (1642-1727 d.C.) debió regresar a su casa en Lincolnshire, dada la

peste de cólera que obligó a cerrar el Trinity College, de donde se había graduado

recientemente. Este hecho le da tiempo a Newton para reflexionar y dar fruto a cuatro

descubrimientos importantes para la matemática y la física: El teorema binomial para

potencias racionales, la ley de la gravitación, la naturaleza de los colores y el cálculo

diferencial e integral.

Según Boyer (1987) y Turégano (1993) en su obra “Philosophie naturalis principia

mathematica” (1687), Newton utiliza como herramienta el cálculo infinitesimal para

mostrar su paradigma, entre otras, sobre el cambio en el movimiento y en el flujo de

fluidos rotantes35. Pero, según estos historiadores, la construcción de las ideas que dieron

origen a este objeto matemático se da lugar en los años donde Newton estuvo en su

residencia. La cuestión es que las ideas de Newton no se publican en el orden

cronológico de sus descubrimientos, puesto que él solo los hace circular entre sus más

cercanos, los cuales reconocían en sus propias publicaciones la autoría de sus hallazgos.

En las siguientes líneas se procura dar un orden gradual a la concepción de su cálculo

infinitesimal, claro está basadas principalmente en las referencias de Boyer y Turégano:

La primera idea sobre lo que denominó “Análisis” la expone en 1669 en su escrito

“De analysi per aequationes numero terminorum infinitas” publicado hasta 1711,

35 Adelantando la notación utilizada por Cauchy.

90

que contenía métodos de series infinitas y de diferenciación para la determinación

de manera exacta y geométrica de elementos relacionados con las curvas, como

áreas, longitudes, entre otras. Introduce los infinitesimales notados con la letra

griega ómicron ο la cual se comporta como cero para ciertas cosas y para otras

no! Esta debilidad fue criticada después por muchos matemáticos como es el caso

del obispo Berkley en su obra “El analista”. De especial interés cabe resaltar que

sus ideas llevan de la mano la claridad de los procesos inversos entre el cálculo de

áreas y su proceso de diferenciación basado en la pendiente de la recta tangente

a la curva.

En 1671 termina un tratado titulado “Methodus fluxionum et serierum infinitorum”

publicado en 1742, donde expone que las cantidades no se forman por partes

infinitamente pequeñas, sino que éstas fluyen o se mueven en la medida que varía

el tiempo de forma continua. A las cantidades las llama “Fluentes” y a sus razones

de cambio “Fluxiones”. Si x representa una fluente, entonces x es su respectiva

fluxión, así se pueden notar fluxiones de fluxiones o fluentes de fluxiones, entre

otras. En Turégano (1993) p.54 a la p.57, se hace una exposición interesante

alrededor de la relación inversa entre la construcción de fluxiones y áreas bajo la

curva. Algunos apartes de esta exposición muestran la idea clara que Newton

tiene sobre del teorema fundamental del cálculo: “Cuando se conoce la fluente, la

fluxión se calcula directamente, incrementándola. Si se tienen las fluxiones, el

problema de encontrar las fluentes es mucho más complicado, pero siempre la

solución es equivalente a la cuadratura de las curvas”. Para Newton, el área es

una cantidad fluente y por tanto se le puede asociar su respectiva fluxión como a

las demás cantidades.

En 1676, como apéndice de su obra sobre óptica, Newton muestra en su trabajo

“De quadratura curvarum” publicado en 1704, un método general para hallar la

cuadratura de curvas, tratando sin éxito de evitar los infinitesimales y las fluentes;

dando paso a la teoría de las “razones primeras y últimas” que corresponde a la

idea de límite hoy en día. En este caso, en una traducción36 sobre el fundamento

de tales razones Newton expresa: “Las razones últimas en las que las cantidades

36 Para Isaac Newton el ritmo de cambio de una función que cambia con el tiempo o fluente, corresponde a la pendiente de su gráfica que es una nueva función que llamó la fluxión.

91

desaparecen…son los límites hacia los cuales se aproximan… las razones de

cantidades, que decrecen sin límite… pero sin sobrepasarlos o alcanzarlos antes

de que las cantidades disminuyan indefinidamente”. En este escrito aparece la

primera tabla de integrales cuyo uso especial está centrado a la descripción de

movimientos, los cuales parten de su posición inicial; por tanto la constante de

integración queda determinada de ipso facto.

En 1687 en los Principia, una obra de Newton no exclusiva sobre el cálculo

diferencial e integral37; perfecciona el método de las “primeras y últimas razones”.

Con su definición referida en el párrafo precedente, en el libro I, se encuentra un

conjunto de lemas, el primero relacionado con la noción de límite y otros referidos

al área bajo el arco de una curva por medio de aproximaciones de paralelogramos

que representan cambios en cuerdas y tangentes. En Turégano (1993) y Boyer

(1987) se encuentran traducciones de algunos de estos lemas. Con base en estas

traducciones se puede decir que Newton llama “momento” a lo que hoy

conocemos como diferencial y en esta obra se muestran las diferenciales de

monomios algebraicos con potencias racionales, de productos entre cantidades

que se representan como funciones algebraicas y trascendentes; hecho que pone

de manifiesto que sus aportes corresponden a un avance en las disertaciones

sobre el cálculo diferencial e integral.

El aporte de Leibniz se puede describir resumidamente de la siguiente manera.

Los historiadores citados de manera precedente comentan que entre los años 1672 y

1676 Gottfriend Wilhelm Leibniz (1646-1716 d.C.) por sus compromisos diplomáticos hizo

dos viajes a Londres, tiempo en el cual se le presentó la oportunidad de acercarse a

interrogantes de carácter matemático que despertaron su interés por las obras de Pascal

en lo referente al análisis infinitesimal. En palabras de Boyer (1987),

…fue al leer la carta de Amos Dettonville sobre el “Traité des sinus du quart

de cercle” [Tratado del sector del seno], cuando… se hizo la luz sobre él.

Se dio cuenta… de que la determinación de la tangente a una curva

37 Recuperable en http://frasesyciencia.blogspot.com/2009/01/isaac-newtonel-mtodo-de-las-primeras-y.html

92

depende de la razón entre las diferencias [sic] de las ordenadas y de las

abscisas, cuando se hacen infinitamente pequeñas estas diferencias, así

como las cuadraturas dependen de la suma de las ordenadas o de los

rectángulos infinitamente estrechos que constituyen el área. p.505.

Los aspectos más importantes de sus razonamientos se pueden resumir de la siguiente

manera:

Se interesó por el desarrollo por medio de series infinitas de la noción de función

que prevalecía en su momento; cuestión que también compartía Newton.

Enfocó parte de su atención al conocimiento del triángulo característico para el

estudio general de las cuadraturas, elemento usado con anterioridad por parte de

Pascal y Barrow. Una buena explicación de este hecho se encuentra en Boyer

(1987) y Turéngano (1993) en las páginas 505 y 60 respectivamente.

La notación que utilizó para las diferenciales dx y las sumas de las ordenadas ∫ ,

eran más naturales que las utilizadas por Newton, lo cual ayudó a que

prevalecieran hasta la actualidad. Otra causa que influyó a que sus notaciones

predominaran por encima de las de Newton, corresponde al hecho de que los

matemáticos británicos se aislaron por un tiempo del resto de matemáticos

europeos por las acusaciones de plagio de Leibniz sobre los trabajos de Newton.

Dicen los historiadores que esto retrasó su avance en matemáticas por un buen

tiempo con respecto a lo desarrollado en el resto de Europa.

Descubrió el método de “Transmutuación” (Turégano, 1993) que es el equivalente

a las estrategias de integración por sustitución y por partes en la actualidad. Este

método se basaba en el principio de correspondencia de Cavalieri y el uso

sistemático del triángulo característico.

Utilizó los infinitesimales como una abreviación del riguroso método de exhausción

griego, pero al igual que Newton, su definición fue imprecisa. Al respecto

argumentó que lo importante de los infinitesimales es que su manipulación

“algebraica” lleva a resultados intuitivamente válidos, al igual que las raíces

imaginarias lo hacen con la solución de algunas ecuaciones algebraicas.

93

Para Leibniz el área y la integral son dos términos que se refieren a una misma

idea y por tanto hallar el área bajo la curva es calcular la integral en un intervalo

determinado38.

Las publicaciones de Leibniz se hicieron principalmente en artículos de revistas

como el “Acta Eruditorum” una revista de carácter científico alemana con periodo

mensual.

El problema abierto que se puede identificar a estas alturas de los descubrimientos

hechos por Newton y Leibniz, que pudo haber pasado como inadvertido para ellos;

corresponde al tipo de funciones para las cuales el teorema fundamental del cálculo es

válido39. También y como es de esperarse, otro problema sin resolver hace referencia a la

fundamentación de los infinitesimales como cantidades fijas infinitamente pequeñas.

¿Qué otros aportes sucedieron a la invención del cálculo después de Leibniz y Newton?

De acuerdo con lo expresado por Turégano (1993), dos hermanos suizos de la familia

más prolífica en matemáticas, los Bernouilli Jacques (1654-1705) y Jean (1667-1784)

reconocieron en los trabajos de Leibniz la potencia de sus descubrimientos y

razonamientos. Para Jean la integral, cuyo término sustituye a las sumas de cantidades

infinitesimales de Leibniz; se define como la relación inversa de la diferencial, esto es en

términos de Turégano sobre las ideas de los Bernouilli, “la expresión ∫Pdx=Q, significa

que d (Q )=Pdx”; abriendo paso a los primeros estudios de ecuaciones diferenciales.

Otros aportes a las ecuaciones diferenciales corresponden a Brook Taylor (1685-1731) y

la ecuación unidimensional de ondas, Colin Maclaurin (1698-1746) y la representación de

funciones centradas en cero por medio de la serie que lleva su apellido, Jean Le Rond d

´Alembert (1717-1783) y su estudio de ecuaciones diferenciales con derivadas parciales y

su definición de cantidad límite de otra cantidad, Joseph Louis Lagrange (1736-1813) que

lleva a las ecuaciones diferenciales más allá de la colección de trucos para la solución de

problemas asociados y según Turégano (1993) expuso un desarrollo del cálculo que

intenta evadir las diferenciales, los infinitesimales y la noción de límite.

38 En este tratado se exponen las leyes del movimiento, la ley de gravitación universal, la naturaleza absoluta del espacio y el tiempo y otros temas de mecánica clásica y astronomía. 39 El cálculo de las áreas corresponde a un conjunto de pequeños rectángulos con tamaño infinitesimal. La suma de sus áreas llegará a un límite que corresponde al área pedida.

94

Pero el aspecto clave a resaltar es el trabajo de Euler en lo referente a la definición de

función que extendía a la integral más allá del área bajo curvas. Turégano comenta que

el modelo funcional de Euler separa esta noción de la geometría, empezando así la

“aritmetización del análisis”. Según los historiadores esto va de la mano con el origen de

la teorización de la integración, donde integrar una función f ( x ) vía Euler, se transforma

en encontrar una función F ( x ) que satisfaga la ecuación diferencial d F (x )dx

=f ( x ), es decir,

encontrar una primitiva.

El problema abierto aún en este siglo XVIII es la ausencia de la fundamentación del

cálculo, dado que el avance en la noción de las diferenciales aún no soportan las

contradicciones y falencias heredadas de sus concepciones originales dadas por Newton

y Leibniz.

¿Cómo se desarrolla el debate frente a la fundamentación sólida del cálculo infinitesimal?

Según Turégano (1993) las implicaciones de aceptar la definición arbitraria de función vía

Euler, lleva a preguntas como, Si una función no tiene necesariamente una

representación algebraica, ¿qué significa la integral de esa función?

Los historiadores mencionados, hacen alusión al trabajo de Jean Baptiste Joseph Fourier

(1768-1830) con respecto a la representación de funciones periódicas por medio de series

compuestas por combinaciones de funciones senoidales, denominadas series de Fourier.

Para este caso, los coeficientes se calculan por medio de integrales, donde la función a

integrar no es necesariamente continua.

Boyer (1987) referencia a Augustin Louis Cauchy (1789-1857) y su definición clara de

límite muy semejante a la que conocemos hoy día y su definición de función continua,

donde los infinitesimales dejan de ser números fijos y pasan a ser variables cuyos valores

tienden a cero.

95

Con estas definiciones logra mostrar una sutil diferencia entre primitivas40 y la integral

definida; siendo esta última mucho más amplia en alcance a las diversas funciones

consideradas en el momento en el sentido Euler41, como son los casos de funciones cuya

representación gráfica contiene puntas en ángulo o poseen un conjunto de

discontinuidades finito, v.g. las funciones continuas a trozos. Con relación a esto último

Boyer hace alusión a la definición amplia y general de función dada por Peter Gustav

Lejeune Dirichlet (1805-1859 d.C.) donde la regla de correspondencia entre variables42

podía ser lo más arbitraria posible y por tanto el ejemplo típico de la función que toma

valores distintos de la variable dependiente si la variable independiente es o no racional,

merece un análisis más profundo con respecto al valor de su integral.

Escribe Turégano (1993) que Cauchy en su obra de 1822 “Resumé des leçons lonnées à l

´Ecole Royale Polytechnique sur le calcul infinitesimal” definió la integral de manera muy

semejante a la definición actual, es decir, la integral como un límite rescatando la

interpretación geométrica de la integral como área bajo la curva de una función y

preocupándose por demostrar la existencia de la integral. No obstante, Cauchy formula

rigurosamente por medio de su definición al estilo artimético el teorema fundamental del

cálculo sin necesidad de recurrir a la interpretación geométrica de la integral43, pero si la

compleción de los números reales. Queda entre el tintero el problema de ¿cómo calcular

la integral de funciones cuyo conjunto de discontinuidades es infinito numerable o infinito

no numerable?

Integral de Riemann

Bernhard Riemann (1826-1866 d.C.) va un paso más allá de Cauchy, pues perfecciona la

definición de integral despojándola definitivamente de cualquier interpretación geométrica

relacionada con el área bajo la curva. Boyer (1987) escribe que Riemann dio las

condiciones necesarias y suficientes para que una función acotada sea integrable

40 En la actualidad se sabe que tales funciones deben ser absolutamente continuas. También el teorema es válido para algunas funciones de variación acotada.41 Integrales calculadas por la regla de Barrow o como se llama actualmente el segundo teorema fundamental del cálculo, en el cual se tiene como hipótesis la existencia de la antiderivada.42 Expresadas o representadas explícitamente por una sola expresión analítica.43 Por comentarios que hace Boyer (1987) al respecto, se puede deducir que la variable se encuentra en un nivel muy intuitivo, dado que la definición de conjunto y número real en el momento no se habían perfeccionado.

96

teniendo en cuenta los criterios de convergencia de Dirichlet. Sin embargo, la definición

que más se conoce y utiliza actualmente para definir la integral en los primeros cursos de

análisis basada en sumas superiores e inferiores varía levemente con la definición original

de Riemman en aspectos tratados en el capítulo anterior y relacionados con la definición

dada por Jean Gaston Darboux (1842-1917 d.C.): Por ejemplo, se puede recordar que

Darboux considera en su definición una sola suma inferior y una sola suma superior para

cada partición, mientras que Riemann contempla más de una suma en ambos casos por

cada partición.

En este momento histórico se puede afirmar que los estudiosos de la matemática cuentan

con una definición de la integral definida para funciones que sean continuas, con

discontinuidades finitas y con un conjunto de discontinuidades infinito a lo más numerable,

basada lógicamente en la existencia o no de un límite. En palabras de Turéngano (1993,

p.72), “Con este límite resultan ser integrables funciones que no son la derivada de alguna

otra función e, inclusive, funciones para cualquier intervalo que se considere no tiene

primitiva”.

¿Cómo se define hoy por hoy la integral definida y qué alcances tiene?

A Henri León Lebesgue (1875-1941 d.C.) se le debe un paso más allá en el

perfeccionamiento de la integral de Riemann. Boyer (1987) menciona que Lebesgue basa

su definición de integral en los trabajos adelantados por Georg Cantor (1845-1918 d.C.) y

Émile Borel (1871-1956 d.C.) sobre conjuntos medibles, cuyo resumen de las ideas más

importantes se encuentra en el capítulo anterior. La definición de la integral de Lebesgue,

por ejemplo permite la existencia de la integral de la función de Dirichlet mencionada de

manera precedente, es decir, permite el cálculo de algunas funciones que cumplen

algunas condiciones relacionadas con la definición de medida.

A partir de los estudios sobre la teoría de la medida, en estudios más avanzados sobre

análisis matemático se encuentran otras definiciones alternativas de la integral en

búsqueda de poder hallar un algoritmo para la misma y reemplazar el total del conjunto de

estrategias para calcular la integral definida de funciones que los matemáticos actuales

llaman “Patológicas”. Entre estos intentos se pueden mencionar las definiciones de las

97

integrales de Riemann-Stieltjes, Lebesgue-Stieltjes de Thomas Stieltjes (1856-1894 d.C.),

de Arnaud Denjoy (1884-1974 d.C.), Alfred Haar (1885-1933 d.C.). En palabras de Carl

Boyer “…aunque la integración es tan antigua como la época de Arquímedes, la teoría

[sic] de la integral ha sido una creación del siglo XX.”