as - Capitulo 01 - Logica y Conjuntos

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION

Facultad de Ciencias Fısicas y Matem aticas

Introducci on a la Matem atica Universitaria.

520145

Capıtulo 1. L ogica y Conjuntos.

Prof. Antonio Contreras Quilodran.

Logica y Conjuntos 1 . FCFM.UdeC.

Logica

Conceptos primitivos

Los valores de verdad VERDADERO (V ) y FALSO (F ) son los

conceptos primitivos de la logica.

Proposicion

Una proposici on es una sentencia declarativa (que afirma o niega

algo de algun sujeto) que posee un unico valor de verdad, pudiendo

ser verdadera (V) o bien ser falsa (F).

Usualmente se denotan por letras minusculas p, q, r, s, etc.


Logica

Conectivos logicos

Un conectivo l ogico es un operador que nos permite obtener

nuevas proposiciones a partir de otras dadas. Los conectivos

basicos son:

• negacion (∼) (“no”)

• conjuncion (∧) (“y”)

• disyuncion (∨) (“o”)

• condicional (→) (“si. . . , entonces”)

• bicondicional (↔) (“si y solo si”)


Logica

Tipos de proposiciones

Las proposiciones se clasifican en simples y compuestas , vale

decir, las que no incluyen conectivos logicos, y las que sı los

incluyen.

Valores posibles de dos proposiciones dadas

p q

V V

V F

F V

F F


Logica

Negacion (∼)

Dada una proposicion p, se llama negaci on de p, y se escribe

∼ p, a la proposicion “no p”. Esto significa que∼ p es V si p es

F , y∼ p es F si p es V .

TABLA DE VERDAD

p ∼ p

V F

F V


Logica

Conjuncion (∧)

Dadas dos proposiciones p y q, la conjunci on de ellas es la

proposicion “p y q”, la cual se escribe p ∧ q. Ası, p ∧ q es V si

ambas lo son, y p ∧ q es F si al menos una de ellas lo es.

TABLA DE VERDAD.

p q p ∧ q

V V V

V F F

F V F

F F F


Logica

Disyuncion (∨)

Dadas dos proposiciones p y q, la disyunci on de ellas es la

proposicion “p o q”, la cual se escribe p ∨ q. Ası, p ∨ q es V si al

menos una de ellas lo es, y p ∨ q es F si ambas lo son.

TABLA DE VERDAD

p q p ∨ q

V V V

V F V

F V V

F F F


Logica

Condicional (→)

Dadas dos proposiciones p y q, la condicional de ellas es la

proposicion “si p entonces q”, la cual se escribe p→ q. Aquı, p se

llama antecedente y q consecuente. Tambien, p→ q se lee “p es

condicion suficiente para q”, o bien “q es condicion necesaria para

p”. Ası, p→ q es F solo si p es V y q es F .


Logica

Condicional (→)

TABLA DE VERDAD

p q p→ q

V V V

V F F

F V V

F F V

p q p↔ q

V V V

V F F

F V F

F F V


Logica

Bicondicional (↔)

Dadas dos proposiciones p y q, la bicondicional de ellas es la

proposicion “p sı y solo sı q”, la cual se escribe p↔ q. Tambien,

p↔ q se lee “p es condicion necesaria y suficiente para q”. Ası,

p↔ q es V solo si ambas proposiciones tienen el mismo valor de

verdad.


Logica

Definiciones varias

Una proposicion compuesta se dice una:

• TAUTOLOGIA (o TEOREMA LOGICO ), si ella es siempre V ,

cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones

simples que la componen, es decir, si su tabla de verdad solo

contiene valores V .

• CONTRADICCION, si ella es siempre F .

• CONTINGENCIA, si no es tautologıa ni contradiccion.


Logica

Implicacion logica

Dadas dos proposiciones p y q, se dice que p implica

logicamente q, si la proposicion p→ q es una tautologıa. En tal

caso se escribe p⇒ q y se lee “p implica q”.

Equivalencia logica

Dadas dos proposiciones p y q, se dice que ellas son logicamente

equivalentes , si la proposicion p↔ q es verdadera. En tal caso

se escribe p⇔ q y se lee “p es equivalente a q”.


Logica

Algunas tautologıas importantes

• ∼ (∼ p) ⇔ p (doble negacion)

• p ∧ q ⇔ q ∧ p (conmutatividad de ∧)

• p ∨ q ⇔ q ∨ p (conmutatividad de ∨)

• p↔ q ⇔ q ↔ p (conmutatividad de↔)

• p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r (asociatividad de ∨)

• p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r (asociatividad de ∧)

• p↔ (q ↔ r) ⇔ (p↔ q)↔ r (asociatividad de↔)


Logica

Algunas tautologıas importantes (continuacion)

• p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

(distributividad de ∧ con respecto a ∨)

• p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

(distributividad de ∨ con respecto a ∧)

• ∼ (p ∧ q) ⇔ ∼ p ∨ ∼ q (Ley de De Morgan para ∧)

• ∼ (p ∨ q) ⇔ ∼ p ∧ ∼ q (Ley de De Morgan para ∨)

• p→ q ⇔ ∼ q →∼ p (contrarecıproca)

• p→ q ⇔ ∼ p ∨ q

• p↔ q ⇔ (p→ q) ∧ (q → p)


Logica

Funcion proposicional

Se llama funci on proposicional (o enunciado abierto ) a una

expresion p que contiene una o mas variables, y tal que ella se

convierte en una proposicion logica cuando se le asignan valores

especıficos a dichas variables.

Conjunto de validez

Se llama Conjunto de validez de una funcion proposicional p, y se

denota por Vp, al conjunto de valores (o n-uplas de valores) para

los cuales dicha funcion es verdadera.


LogicaCuantificadores logicos

• Para indicar que una funcion proposicional es verdadera para

cualquier elemento de un determinado conjunto U se usa el

sımbolo ∀, el cual se llama cuantificador universal .

∀ se lee: “para todo”, “cualquiera sea”, “para cada”.


algun elemento de un determinado conjunto U se usa el

sımbolo ∃, el cual se llama cuantificador existencial y se lee:

“existe (un)”, “existe al menos un”, “existe algun”.


un unico elemento de un determinado conjunto U se usa el

sımbolo ∃! y se lee: “existe un unico”.


Logica

Mas sobre cuantificadores logicos

Sean A un conjunto y p una funcion proposicional que depende de

una variable x (en tal caso se escribe p(x)).

• ∀x ∈ A : p(x) se lee “para todo x en A, p(x) es

verdadera”.

• ∃x ∈ A : p(x) se lee “existe x en A tal que p(x) es

verdadera”.


Logica

Negaciones importantes

• ∼ (∀x ∈ A : p(x) ) ⇔ (∃x ∈ A : ∼ p(x) )

• ∼ (∃x ∈ A : p(x) ) ⇔ (∀x ∈ A : ∼ p(x) )

• ∼ (∃!x ∈ A : p(x) ) ⇔

(∀x ∈ A : ∼ p(x) ) ∨ (∃x ∈ A, ∃ y ∈ A, x 6= y :

p(x) ∧ p(y) )


Logica

Teoremas y demostraciones

Un teorema es una proposicion verdadera de cierta relevancia para

una teorıa y cuya verdad debe ser demostrada.

Algunas estructuras de teoremas

• Implicaci on : Si (hipotesis), entonces (tesis) (H ⇒ T )

Metodos de demostracion:

– Metodo directo.

– Metodos indirectos: contra-recıproca (∼ T ⇒∼ H),

reduccion al absurdo (H∧ ∼ T )⇒ (p∧ ∼ p)

(contradiccion).


Logica

• Equivalencia : (Hipotesis) si y solo si (tesis) (H ⇔ T )

Metodo de demostracion: (H ⇒ T ) ∧ (T ⇒ H)

• Equivalencia de varias proposiciones :

P1 ⇔ P2 ⇔ P3.

Metodos de demostracion

– Directo: P1 ⇔ P2 y P2 ⇔ P3.

– Usando transitividad. Mostrar que:

P1 ⇒ P2, P2 ⇒ P3, y P3 ⇒ P1.

• Discreto : ∀n ∈ N : p(n)

Metodo de demostracion: Induccion Matematica.


Logica

La falsedad de una proposicion con cuanfificadores universales se

puede demostrar usando un contra-ejemplo . Es decir, excibiendo

un valor para el cual la funcion proposicional es falsa.

Ahora, la proposicion (∀x : P (x)) es falsa si la negacion

∼ (∀x : P (x))⇐⇒ (∃x :∼ P (x)) es verdadera. Es decir, si

existe un valor de x para el cual P (x) es falsa.

Ejemplo (de contraejemplo). Dada la proposicion

∀x ∈ R : x2 − 4 = 0.

Si x = 1, entonces 12 − 4 6= 0. En consecuencia, hay un valor

para el cual la funcion proposicional x2 − 4 = 0 es falsa. Luego,

x = 1 es un contraejemplo y la proposicion es falsa.


Logica

Ejemplos de demostracion:

Proposicion 1:

Sea a ∈ N. Si a es par, entonces a2 es par.

Demostracion (directa ). La hipotesis es H : a es par y la tesis es

T : a2 es par.

Ahora, si a es par, entonces por definicion a = 2n para algun

n ∈ N. Ası a2 = (2n)2 = 4n2 = 2(2n2) tambien es par, pues

2n2 ∈ N. En consecuencia, se obtuvo la tesis T .


Logica

Proposicion 2: Sea a ∈ N. Si a2 es par, entonces a es par.

Demostracion (por contradicci on ). Sea H : a2 es par y sea

∼ T : a impar. Es decir, supongamos H∧ ∼ T .

Ahora, si a impar, entonces por definicion a = 2n + 1 para algun

n ∈ N. Luego,

a2 = (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 = 2(2n2 + 2n) + 1.

Es decir, a2 es impar. Se obtuvo H∧ ∼ H , lo que es una

CONTRADICCION (→←).


Conjuntos

Idea de Conjunto

Llamaremos conjunto a cualquier coleccion bien determinada de

objetos. Se denotan por A,B, ....

Los objetos los llamaremos elementos del conjunto, se denotan por

a, b, c, .... Un objeto a de A se dice que pertenece al conjunto y

se escribe a ∈ A. En caso contrario se escribe a /∈ A

Dos conjuntos importantes son el conjunto vacıo, que no contiene

elementos y se denota por φ, y el conjunto universo, que contiene a

todos los elementos y se denota por U .


Conjuntos

Definicion de Conjunto.

Dado x ∈ U y un conjunto A, subconjunto de U , se tiene la

pregunta: ¿ x ∈ A ∨ x /∈ A?.

Si esta pregunta se puede responder siempre, entonces se dice

que A esta bien definido .

Los elementos x de A se pueden caracterizar por una propiedad

P (x) y definir el conjunto como A = {x ∈ U : P (x)}, llamada

definicion por comprensi on .

Tambien se puede enumerar los elementos del conjunto

A = {a, b, c, ...}, llamada definicion por extensi on .


Conjuntos

Ejemplos. Un conjunto esta bien definido por extension o por

comprension si dado x ∈ U es claro que ¿ x ∈ A ∨ x /∈ A?.

• Por extension, vale decir mostrando los elementos de A.

N := { 1, 2, 3, · · · } (Numeros naturales)

• Por comprension, esto es dando una propiedad (o proposicion)

que caracterice a los elementos del conjunto.

Q :={ a

b: a, b ∈ Z, b 6= 0

}

(Numeros racionales).


Conjuntos

Inclusion de conjuntos

Dados dos conjuntos A y B, se dice que A es subconjunto de B

o que A esta incluido en B, y se escribe A ⊆ B, si todos los

elementos de A estan tambien en B, esto es:

A ⊆ B ⇐⇒ (∀x ∈ U : x ∈ A ⇒ x ∈ B)

Propiedades de la inclusion. Dados A, B, C conjuntos, se tiene

• φ ⊆ A ⊆ U

• A ⊆ A

• (A ⊆ B ∧ B ⊆ C)⇒ A ⊆ C


Conjuntos

Igualdad de conjuntos

Dados dos conjuntos A y B, se dice que A y B son iguales , y se

escribe A = B, si los elementos de A y B coinciden, esto es:

A = B ⇐⇒ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A).

Esto es, para un elemento x, se tiene:

(∀x ∈ U : x ∈ A ⇒ x ∈ B)∧(∀x ∈ U : x ∈ B ⇒ x ∈ A).


Conjuntos

Conjunto de las partes de un conjunto dado

Dado un conjunto A, se define el conjunto de las partes de A, y

se denota P(A), como el conjunto de todos los subconjuntos de

A, esto es:

P(A) := {X : X ⊆ A }

Notar que:

1. Los elementos de P(A) son conjuntos.

B ∈ P(A)⇐⇒ B ⊆ A.

2. P(A) 6= φ ya que φ ∈ P(A) y A ∈ P(A).

3. El conjunto de las partes de A, tambien se denota por 2A.


ConjuntosOperaciones entre conjuntos

Sea U el conjunto universo, y sean A, B subconjuntos de U . Es

decir, A,B ∈ P(U)).

a) La diferencia de A y B es el conjunto

A−B := {x ∈ U : x ∈ A ∧ x 6∈ B }

(Tambien se escribe A \B).

b) El complemento de A con respecto a U , el cual se denota Ac

(o bien A′,−A), es el conjunto U −A, vale decir:

Ac := U −A = {x ∈ U : x 6∈ A }


Conjuntos

Algunas propiedades

• ∀x ∈ U : x ∈ A ∨ x ∈ Ac

• φc = U ∧ Uc = φ • A ∪Ac = U

• (Ac)c = A • A ∩Ac = φ


Conjuntos

Otras operaciones entre conjuntos

Sea U el conjunto universo, y sean A, B subconjuntos de U .

c) La intersecci on de A y B, la cual se denota A ∩B, es el

conjunto de todos los elementos comunes a A y B, esto es

A ∩B := {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∈ B }

d) La uni on de A y B, la cual se denota A ∪B, es el conjunto

de todos los elementos que estan en A o en B, esto es

A ∪B := {x ∈ U : x ∈ A ∨ x ∈ B }


Conjuntos

Propiedades de ∩ y ∪

• A ∪A = A , A ∩A = A (idempotencia)

• A ∪B = B ∪A , A ∩B = B ∩A (conmutatividad )

• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C (asociatividad de ∪)

• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C (asociatividad de ∩)

• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) (distributividad )

• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) (distributividad )

• (A ∪B)c = Ac ∩Bc (Ley de De Morgan)

• (A ∩B)c = Ac ∪Bc. (Ley de De Morgan)


Conjuntos

Mas definiciones

• Dos conjuntos A y B se dicen disjuntos si y solo si

A ∩B = φ.

Por ejemplo, para A ∈ U , A y Ac son disjuntos pues

A ∩Ac = φ.

• Dados dos conjuntos no vacıos A y B, se define el Producto

Cartesiano entre ellos, el cual se denota por A×B, como el

conjunto de todos los pares ordenados (a, b) tales que a

pertenece a A y b pertenece a B, esto es

A×B := { (a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B }.


Conjuntos

• Dados n conjuntos no vacıos A1, A2, ..., An, se define el

Producto Cartesiano entre ellos, el cual se denota por

A1 ×A2 × · · · ×An, como el conjunto de todas las n-uplas

ordenadas (a1, a2, ..., an) tales que ai pertenece a Ai para

cada i ∈ {1, ..., n}, esto es

A1×A2×· · ·×An := { (a1, a2, ..., an) : ai ∈ Ai , i ∈ {1, ..., n} }

Por ejemplo,

R×R×R = { (x, y, z) : x ∈ R ∧ y ∈ R∧ z ∈ R},

es el producto cartesiano entre A1, A2 y A3, con A = R, se

denota por R3.


Conjuntos

Partici on de un conjunto . Sean A1, A2, ..., An subconjuntos de

un conjunto B. Se dice que {A1, A2, ..., An } es una partici on

de B si estos conjuntos son no vacıos, disjuntos dos a dos y su

union es el conjunto B, vale decir si, y solo si:

• Ai 6= φ, para cada i ∈ {1, ..., n}.

• Ai ∩Aj = φ para cada i 6= j.

•n⋃

i=1

Ai = B.


Conjuntos

Cardinalidad. El numero de elementos de un conjunto finito A se

llama cardinalidad de A y se denota por |A| o por Card(A) o

por #(A).

En particular, Si Card(A) = n, entonces Card(2A) = 2n.

Ejemplo. Si A = {x ∈ N : n es par y n < 10}, entonces su

cardinalidad es

Card(A) = Card({2, 4, 6, 8} = 4.

Ademas,

Card(2A) = Card(P(A)) = 24 = 16.


Conjuntos

Propiedades

• Si A y B son conjuntos disjuntos, entonces

|A ∪B| = |A|+ |B|.

• Si A y B son conjuntos arbitrarios, entonces

|A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|.

• Si A, B y C son conjuntos arbitrarios, entonces

|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C|−|A∩B|−|A∩C|−|B∩C|+|A∩B∩C| .


as - Capitulo 01 - Logica y Conjuntos

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