Paper de Logica y Conjuntos

7/24/2019 Paper de Logica y Conjuntos

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LGICA MATEMTICACarolina E. Toapanta

Resumen--- La lgica est ligada a la evolucin intelectual del ser humano, yaque como ciencia del razonamiento se puede afirmar que su historia representa la

historia misma del hombre. La lgica surge desde el momento en que el hombre

al enfrentarse a la naturaleza empieza a observar, eperimentar, deduce y razona.

!urante el periodo "## $C hasta %## $C se desarrollaron en&recialos

principios formales de las matemticas donde sus principales representantes

son' (latn que el introdu)o sus ideas y abstracciones*$ristteles que present el

razonamiento ductivo y sistemtico yEuclidesque fue el que tuvo mayor

influencia ya que este estableci el m+todo aiomtico.

Las relaciones lgico matemtico constituyen en la base indispensable para la

adquisicin de los conocimientos, la lgica matemtica es la disciplina que trata

m+todos de razonamiento. Elementalmente, la lgica proporciona reglas yt+cnicas para determinar si es o no valido un argumento dado, se emplea en

matemticas para demostrar teoremas.

Trminos para indexacin----Enunciado, -eos, peradores, Con)uncin,!isyuncin, (roposicin, Contingencia, Tautolog/a, Contradiccin.

1. INTRODUCCION

La lgica matemtica consiste en el estudio de la validez de preposiciones que

por medio de reglas y t+cnicas se llega a verificar si un argumento o proposicin

es verdadero o falso. El razonamiento lgico se emplea en matemticas parademostrar teoremas que las podemos encontrar en algunas aplicaciones y en la

vida diaria misma, por e)emplo en la f/sica se utiliza para validar conclusiones de

eperimentos, en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una

multitud de problemas, ciertamente se usa en forma constante el razonamiento

lgico para realizar cualquier actividad.

En este documento se detalla una parte de la lgica matemtica definiendo

primeramente t+rminos que utilizaremos como lo son' enunciado, proposicin,

operadores lgicos, negacin, disyunciones, condicionales y bicondicionales*

cada uno de estos con sus respectivas reglas y tablas de verdad, tambi+n

conoceremos

las leyes del algebra de proposiciones, las leyes de inferencia lgica, y por 0ltimo

los circuitos lgicos.

Lgica matemtica

nunciado.Es una frase u oracin que epresa alguna idea por e)emplo' cierra la puerta,

grande, 1uito est en la costa, 1+1 es igual a 2,x 3.

!roposicin

2na proposicin es un enunciado que puede ser verdaderas o falsas pero no

ambas. E)emplo' 34# es un numero par5, 3 2


2/29

Operadores "gicos

:on conectores o neos que enlazan ; o ms proposiciones formando una nueva

proposicin.

Negacin

Es aquel que cambia el valor de verdad de la proposicin original.

E)emplo' :i p es una proposicin*

> ?

> ? >

? > >

? ? ?

Condiciona" o imp"icacin

Es una proposicin compuesta que se obtiene relacionando dos proposiciones

simples mediante el conectivo lgico si 3p5, entonces 3q5, su s/mbolo es el

siguiente y se denota por 3p B q5.

$ntecedente p q Consecuente

tesis o conclusin

Ta*"as de (erdad

-umero de combinaciones posibles 7

2n

p ) p) )p> > > >

> ? ? ?

? > ? ?

? ? ? ?


3/29

El condicional es falso solo si el antecedente es verdadero y el consecuente es

falso.

+icondiciona"

Es una proposicin compuesta que se obtiene relacionando dos proposiciones

simples mediante el conectivo lgico 3p si y solo si q5, simblicamente el

bicondicional de dos proposiciones es p q .

2n bicondicional es verdadero si y solo si ambas proposiciones tienen el mismo

valor de verdad.

! ) p q

> > >> ? ?

? > ?

? ? >

Contra-e&emp"o

El contrae)emplo es una ecepcin a una regla general propuesta, es decir, un

caso espec/fico de la falsedad de una cuantificacin universal.

E)emplo' 3todos los escritores son inteligentes5, con esta proposicin dice que

una cierta propiedad es vlida para todos los escritores incluso un solo escritor

tonto probar su falsedad, un escritor tonto es un contrae)emplo a la proposicin.

,erar)ua

@ -egacin

@ Con)uncin

@ !isyuncin

@ Condicional

@ icondicional

E)emplos

4. [( pq ) r

](s q)

p ) r s [( pq ) r ] (s q)

> > > > ? ? > ? ? ?

> > > ? ? ? > ? ? ?

> > ? > ? ? > ? ? ?

> > ? ? ? ? > ? ? ?

> ? > > ? ? > > > >

> ? > ? ? ? > ? ? >> ? ? > ? ? > > > >

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? > ? ? > > ? > ? ?

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? ? > ? > ? > ? ? >

? ? ? > > ? > > > >

? ? ? ? > ? > ? ? >

) r p s [( pq) r ](s q)

> > > > ? ? > ? ? ?

> > > ? ? ? > ? ? ?

> > ? > > > > ? ? ?

> > ? ? > > > ? ? ?

> ? > > ? ? > ? ? ?

> ? > ? ? ? > ? ? ?

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? > > ? ? ? > ? ? >

? > ? > > ? > > > >

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? ? > ? ? ? > ? ? >

? ? ? > > ? > > > >

? ? ? ? > ? > ? ? >

s r p ) [( pq) r ](s q)

> > > > ? ? > ? ? ?

p ) p

)

)

p> > > >

> ? > ?

? > ? >

? ? > >


4/29

> > > ? ? ? > > > >

> > ? > > > > ? ? ?

> > ? ? > ? > > > >

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? ? > ? ? ? > ? ? >

? ? ? > > > ? > ? ?

? ? ? ? > ? > ? ? >

r ) s p [( pq ) r ] (s q)

> > > > ? ? > ? ? ?

> > > ? > > > ? ? ?

> > ? > ? ? > ? ? ?

> > ? ? > > > ? ? ?

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? > ? ? > > > > ? ?? ? > > ? ? > > > >

? ? > ? > ? > > > >

? ? ? > ? ? > ? ? >

? ? ? ? > ? > ? ? >

Tauto"oga# cuando na proposicin compuesta es verdadera para todos losvalores de verdad.

p v > ?

? > >

Contradiccin#con una proposicin compuesta es falsa para todos los valoresde verdad.

p D ? ?

? ? >

Contingencia#cuando una proposicin compuesta tiene al menos un verdaderoy un falso.

E)emplo'

:i :p (qv p) es falso determine los valores de p, q.

p(q v p)

> ? ?

?

?

E)emplo de tautolog/a

4.@ [(pq)] t

t p q [(pq)] t

> > > ? > ? > > > > > ? ? > > ? ? ? > ? > ? > > ? ? ? > ? ? ? > > ? ? ? ? > > > ? ? > ? > ? > ? > > > ? ? ? ? ? > > > > ? ? ? ? ? ? > > > ? ? ?


5/29

E)emplo de contradiccin

;.@[(pq)] t}[ (q q)]

{

t ( q [(pq)] t}[ (q q)]{

> > > ? > ? > > > > ? ? > ?

> > ? ? > > ? ? ? > ? ? > >

> ? > ? > > ? ? ? > ? ? > ?

> ? ? ? > > ? ? ? > ? ? > >

? > > > ? ? > ? > > ? ? > ?

? > ? > > > ? ? ? > ? ? > >

? ? > > > > ? ? ? > ? ? > ?

? ? ? > > > ? ? ? > ? ? > >

)ui(a"encia e imp"icacin "gica

:ean $ y dos formas proposicionales, que dice que $ es equivalente

lgicamente a , denotado por $, si y solo si, $ es una tautolog/a.

Cuando se requiere sustituir una estructura por otra que sea equivalente,

alternativamente el s/mbolo se lo remplaza por .

E)emplo'

La forma proposicional (p q ) ( q p) se puede traducir al

lengua)e com0n, 3Cada vez que se tiene p, se tiene q5 y es lgicamenteequivalente a 3Cuando no se tiene q, entonces no se tiene p5.

p ) (p q ) ( q p)

> > > > ? > ?

> ? ? > > ? ?

? > > > ? > >

? ? > > > > >

Esta tabla de verdad resulta tautolgica, pues las dos son equivalentes.

(p q ) ( q p)

$' (ab)

' a b

a * (ab) a b

> > ? > > ? ? ?

> ? ? > > ? ? >

? > ? > > > ? ?

? ? > ? > > > >

Esta tabla de verdad resulta tautolgica, pues las dos son equivalentes.

(ab) a b

Imp"icacin "gica

:ean $ y dos formas proposicionales, se dice que $ implica lgicamente a ,

es denotado por' $B, si y solo si $B es una tautolog/a.

E)emplo'

La forma proposicional' p (q p ) se puede traducir al lengua)e com0n

como' 3si se tiene p, de cualquier manera q seguir teniendo p5.

ariantes de" condiciona"

p q q p

p ) p (q p )

> > > >

> ? > ?? > > >

? ? > >


6/29

FContra rec/procaG

p q q p

F9eciprocaG

p q p q

FHnversaG

p q

Hnversa p q

9ec/proca q p

Contra rec/proca q p

Le'es de" a"ge*ra de "as proposiciones

Las operaciones definidas entre las formas proposicionales y algunas de sus

importantes propiedades se incluyen en las denominadas leyes del algebra de

proposiciones o leyes lgicas.

dis'uncin "e' con&uncinpq q p Conmutativa pq q p

p( qr ) p $sociativa p(qr ) p

p p p Hdempotencia p p p

pF p Hdentidad pV p

pV V $bsorcin pF F

Le' de "a negacin

I?>

I>?

Le' de "a do*"e negacin /DN0

( p ) p

Le' distri*uti(a

p (q r )(pq) (pr )

p (q r )(pq) (pr )

Le' De organ

(pq ) p q

(pq ) p q

Le' de" tercio exc"uido

p p V

Le' de "a contradiccin

p p F

Le' de "a contra recproca

p q q p

Imp"icacin materia" /I0

p q p q


7/29

Le' de "a a*sorcin

p (pq) p

p (pq) p

p( pq) pq

p ( pq) pq

Le' *icondiciona"

p q=(p q)(q p)

E)emplos'

1.-

p (pq ) (pp ) (pq ) !istributiva

p (pq ) Hdempotencia

p $bsorcin

2.- p ( pq ) (p p ) (pq ) !istributiva

F (pq ) Contradiccin

pq Hdentidad

3.- p ( pq ) (p p ) (pq ) !istributiva

V (pq ) Tercio ecluido

pq Hdentidad

4.- p (pq ) p (pV) (pq ) Hdentidad p (Vp )

!istributiva pV $bsorcion p

Hdentidad

5.- ( pq ) ( q p ) (p q ) ( pq ) (q p ) (p q )

Hmplicacin (q p ) (q p ) (p q ) conmutativa

q ( p p ) (p q ) distributiva

q (p q ) contradiccin

q ( q p ) Hdentidad q p

$bsorcin

6.- (q p ) [(pq ) (q p )]

( qp ) [ (pq ) (q p )] Hmplicacin material

( qp ) [ (pq) (q p )] Hmplicacin material

(q p ) ( p q ) (q p ) !e Jorgan

(q p ) ( p q ) Hdempotencia p (q q )

!istributiva pV Tercio ecluido p

Hdentidad

7.-

[ (p q ) (r p )] (p q ) (r p )[( p q ) ( r p )] (p q ) ( r p )

H.J (p q ) ( r p ) pq ( r p ) !e Jorgan

q [p (p r )] [p ( pq )] r Conmutativa

qp (pq ) r $bsorcin

( qp ) (pq r ) (pq r ) ( qp ) icondicional

( qp ) (pqr ) (pq r ) ( q p ) H.J

$bsorcin total.@ !istributiva

$bsorcin parcial


8/29

q p pq r ( p qr ) ( q p ) !e Jorgan

V ( p qr ) ( q p ) Tercio ecluido

( p qr ) ( q p ) Hdentidad

[ q ( p r )] [ q (p ) ] $sociativa

q [ ( p r ) p] $bsorcin

q (p r ) $bsorcion

p ) r q(pr )

> > > ? 8 >> > ? ? 8 >> ? > > >> ? ? > >? > > ? 8 >? > ? ? 8 ?? ? > > >? ? ? > 8 ?

Le'es de in9erencia "gica

odus !onendo !onems /! !0

2na premisa es una forma proposicional que siempre es verdadera.

K $firmando el antecedente afirmo el consecuente

4. @ p

;. @ p q

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

%. @ q

odus To""endo To""ens /T T0

: :i niego el antecedente niego el consecuente

4.@ p q

;. @ Iq

@@@@@@@@@@@@@

%. @ Ip

$i"ogismo dis'unti(o /$ D0

4.@ pq 4.@ pq

;.@Ip ;.@ Iq

@@@@@@@@@ @@@@@@@@@@

%.@q %.@p

$i"ogismo ;ipottico

K El consecuente del uno es antecedente del otro.

4.@ p q

;.@ q r

@@@@@@@@@@@@%.@ p r


9/29

4.@ acj

@@@@@@@@@@@@@

;.@a

%.@c

.@)

E)emplos aplicando leyes de inferencia lgica

1.- p(q r )

2.- p t == r

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

%.@ p simplificacin ;

.@ qr (( 4.%

8.@r simplificacin

1.- (a b) 1.- (a b)

2.- b c 2.- b c == c

--------------- -------------------

%.@ ( ab ) H.J %.@ a b HJ !e

Jorgan ;

.@ a b !e Jorgan .@ b :implifica. %

8. b :implifica. 8.@ c (( ;,

".@ c (( ;,8

1.- ab

2.- bc == a c

-----------------

%.@ a b H.J. 4

.@ b c H.J. ;

8.@aBc :ilogismo M.

Le' di"ema constructi(o

4.@ p q

;.@ r s

@@@@@@@@@@@@@@@@

%.@ (pr )(qs)

todos de reso"ucin

4.@ p q

;.@ r s

%.@ p r

@@@@@@@@@@@@@@@

.@ q s

Le' de exportacin

4.@ (pq ) r

@@@@@@@@@@@@@@@@@@

;.@ p (q r )

Le' de "a a*sorcin


10/29

4.@ p q

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

;.@ p(pq)

E)emplo 4

1.- c r

2.- (cr ) p

3.- (c p )

4.- s e >> e@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

8.@ (c r )p Hmplicacin Jaterial ;

".@ c r p !e Jorgan 8

N.@ r ( c p ) Conmutativa, $sociativa "

O.@ r (c p ) Hmplicacin Jaterial ;

P.@ c (c p) :ilogismo hipot+tico 4,O

4#.@ c( cp) Hmplicacin material P

44.@ c p Hdempotencia 4#

4;.@ c p Hmplicacin material 44

4%.@ s (onendo (onens %,4;

4.@ e :ilogismo disyuntivo ,4%

E)emplo ;

1.- c r

2.- (c r ) p

3.- (c p ) s

4.- s e >> e

--------------------------------

8.@ c (c r ) Ley de eportacin ;

".@ c p !ilema constructivo ;,8

N.@ s Tollendo Tollens %,"

O.@ e :ilogismo disyuntivo ,O

Circuitos "gicos

Circuito en serie /


11/29

?oco encendido 3v 3, 345.

?oco apagado 3?5,5#5.

3#5 abierto el interruptor.

p q pDq

# # #

# 4 #

4 # #

4 4 4

Circuito cuando todos los valores de verdad son 345

Circuito en para"e"o /OR0

Toda proposicin que contenga una disyuncin FvG es un circuito en paralelo.

p v q

Tabla de verdad para un circuito en paralelo.

-o se enciende si los dos estn abiertos.

p ) p?)# # #

# 4 #

4 # #4 4 4

p 7 # q 7 4 p v q 74

E)emplos'

1.- p v p v

2.- (pq ) (p q )r

[ (pq )] ( pq )r Hmplicacin material

[ pv q ] ( pq ) r !e Jorgan


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(pq ) ( p r ) (qr ) !e Jorgan, !istributiva

[p ( q r )] [q (qr )] Conmutativa, $sociativa

pqr $bsorcion

p ) r pqr

# # # # #

# # 4 # 4

# 4 # 4 4

# 4 4 4 4

4 # # 4 4

4 # 4 4 4

4 4 # 4 4

4 4 4 4 4


13/29


14/29

3.- pq ( pq )r

4.- [(pq )r ]( q r )

5.- {[(p q) r ] ( r s)} [ (ps)q]

{[(p q ) r ] ( r s)} [ (ps)q]

{[( pq ) r ]( r s) }[ (p s)q] Hmplicacin

material {[ ( pq) r ] ( r s)} [ (ps)q]

Hmplicacion material {[(p q )r ]( r s)}[ ( p s) q]

!e Jorgan

&ercicios de tutora

4.@ (p q ) (p q ) (q p ) icondicional

( pq ) ( qp ) Hmplicacin J.

[( pq ) ( qp )] !oble negacin

[ ( pq ) ( qp )] Conmutativa

[(p q ) ( pq)] !e Jorgan, Conmutativa

1.- Dadas "as siguientes proposiciones

aG Elizabeth cumple con sus obligaciones

bG Elizabeth aprueba el eamen

cG Elizabeth se va de vacaciones


15/29

dG Elizabeth traba)a

eG Elizabeth come

Traduzca literalmente las siguientes proposiciones'

1.1 a [b ( cd )]

:i Elizabeth cumple con sus obligaciones no sucede que aprueba el eamen

entonces no se va de vacaciones o traba)a.

1.2 [b (d a)] [(cd )(de)]

Elizabeth aprueba el eamen pero no traba)a si y solo si no cumple con sus

obligaciones o se va de vacaciones o traba)a entonces traba)a y come.

1.3 c [(a d)(b e)]

:i Elizabeth se va de vacaciones entonces cumple con sus obligaciones si y solo

si traba)a, pero aprueba el eamen si y solo si no come.

1.4 (ab)[c (d e)]

:i Elizabeth cumple con sus obligaciones y aprueba el eamen, es lo mismo que

se va de vacaciones o no sucede que come pro que traba)a.

2.- mp"eando ta*"as de (erdad@ identi9i)ue una contra reciproca de "aproposicin A$iempre )ue tengo ;am*re ' no tengo tiempo para comer@ nome siento *ien ' no puedo estudiarB.

a.@ :i no tengo tiempo para comer tengo hambre, me siento bien y puedo estudiar

P q r s ( q p) ( r s)

> > > > ? ? > >

> > > ? ? ? > ?

> > ? > ? ? > ?

> > ? ? ? ? > ?

> ? > > > > > >

> ? > ? > > ? ?

> ? ? > > > ? ?

> ? ? ? > > ? ?

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? > ? ? ? ? > ?

? ? > > > ? > >

? ? > ? > ? > ?

? ? ? > > ? > ?

? ? ? ? > ? > ?

b.@ :i no me siento bien no puedo estudiar, tengo hambre o no tengo tiempo para

comer.

! ) r s / r ? s 0 / p ( )0> > > > F F F V V F> > > ? F F V V V F> > ? > V F F V V F> > ? ? V V V V V F> ? > > F F F V V V> ? > ? F F V V V V

> ? ? > V F F V V V> ? ? ? V V V V V V? > > > F F F V F F? > > ? F F V V F F? > ? > V F F V F F? > ? ? V V V F F F? ? > > F F F V V V? ? > ? F F V V V V? ? ? > V F F V V V? ? ? ? V V V V V V

c.@ :i me siento bien y puedo estudiar, tengo hambre o no tengo tiempo para

comer.

! ) r s / r ? s0 / p ( ) 0> > > > > > > ?

> > > ? ? > > ?

> > ? > ? > > ?

> > ? ? ? > > ?

> ? > > > > > >

> ? > ? ? > > >

> ? ? > ? > > >

> ? ? ? ? > > >


16/29

? > > > > ? ? ?

? > > ? ? > ? ?

? > ? > ? > ? ?

? > ? ? ? > ? ?

? ? > > > > > >

? ? > ? ? > > >

? ? ? > ? > > >

? ? ? ? ? > > >

dG :i no tengo hambre ni tengo tiempo para comer, me siento bien o puedo

estudiar.

p E r s / p ? ) 0 / r ( s 0> > > > F F F V V F> > > ? F F F V V V> > ? > F F F V F F> > ? ? F F F V V V> ? > > F F V V V F> ? > ? F F V V V V> ? ? > F F V V F F> ? ? ? F F V V V V? > > > V F F V V F? > > ? V F F V V V? > ? > V F F V F F? > ? ? V F F V V V? ? > > V V V V V F? ? > ? V V V V V V? ? ? > V V V F F F? ? ? ? V V V V V V

eG :i me siento bien o puedo estudiar, no tengo hambre o tengo tiempo para

comer.

p ) r s / r ( s0 / p ( )0> > > > V V F V> > > ? V V F V> > ? > V V F V> > ? ? F V F V> ? > > V F F F> ? > ? V F F F> ? ? > V F F F

> ? ? ? F V F F

? > > > V V V V? > > ? V V V V? > ? > V V V V? > ? ? F V V V? ? > > V V V V? ? > ? V V V V? ? ? > V V V V

? ? ? ? F V V V

La respuesta es el literal e corresponde a la contra reciproca de la proposicin

dada

3.- $i "a proposicin' [(p q) (r s ) ] [p ( rs)] es

(erdadera@ entonces es cierto )ue#

[(p q ) (r s )] [p( r s)]

> ? ? ? > > > ? ? > >

> >

p >

r ? s >


17/29

(q s)

> >

>

c.- [(rs) q ] es 9a"sa [(rs) q ]

? > >

>

d.- ) es 9a"sa

q

>

e.- (p r ) es 9a"sa

(p r ) > >

>

4.- $i "a 9orma proposiciona" 8F /p@ )@ r@ s0 es una contradiccin entonces

[ f(1,0,1,1 ) f(0,1,0,0 )]=0

Es una contradiccin, van hacer falsos todo los casos proposiciones.

[ f(1,0,1,1 ) f(0,1,0,0 )]=0 -o es igual

? ?

5.- Dado e" raGonamiento (H1 H2) c @ donde#

M47:i lo intento con ah/nco y tengo talento, entonces me convierto en m0sico.

M;7:i me convierto en m0sico, ser+ feliz

2na conclusin C que hace valido este razonamiento es'

a.@ >oy a ser feliz

b.@ :i me convierto en m0sico, entonces lo intento con ah/nco.

c.@ -o me convierto en m0sico.

d.@ -o tengo talento.

e.@ :i no voy a ser feliz, entonces no lo intento con ah/nco o no tengo talento.

4.@ IT M ;.@ M F

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ %.@ IT F .@ F (I F) 8.@

F ( I F)

>E9!$!E9

-o es igual

a.@ >erdadero b.@


18/29

CONJUNTOSCarolina E. Toapanta

Resumen----Los con)untos son una parte de las matemticas a las que &eorg?erdinand LudQig (hilip Cantor es el padre de la Teor/a de Con)untos, dio su

primer tratamiento formal en 4ON#. En el aRo 4ON, apareci el primer traba)o

revolucionario de Cantor sobre la Teor/a de con)untos.

El concepto de con)unto es uno de los ms fundamentales en matemticas,

incluso ms que la operacin de contar, pues se puede encontrar impl/cita o

epl/citamente, en todas las ramas de las matemticas puras y aplicadas. En suforma epl/cita, los principios y terminolog/a de los con)untos se utilizan para

construir proposiciones matemticas ms claras y precisas y para eplicar

conceptos abstractos como el infinito.

Trminos para indexacin------Cuanti9icador existencia"@ cuanti9icadoruni(ersa"@ di9erencia cintica@ intersecantes@ su*con&unto@ su*con&untopropio@ ta*u"acin.

1.- INTRODUCCIHN

2n con)unto puede definirse como una agrupacin bien definida de ob)etos no

repetidos y no ordenados o como agrupacin de ob)etos simples, un con)unto es

una coleccin con caracter/sticas comunes y son llamados elementos del

con)unto por &eorge Cantor.

$ los con)untos se les dota de diversas estructuras, y tipos como los unitarios, los

con)untos potencia, los con)untos finitos, los con)untos infinitos entre otros que

consideran las relaciones y las funciones de cada uno* usaremos para establecer

los conceptos de producto de una familia de con)untos, los conceptos de los

diferentes tipos de con)untos y sus aplicaciones tambi+n conoceremos las reglas

de los cuantificadores universales y eistenciales tambi+n demostramos la

eistencia del eponencial de con)untos, caracterizado por una cierta propiedad

universal, entre otras cosas, (or otra parte, demostramos y clasificaremos los

subcon)untos y subcon)untos propios * su)eto a cumplir una cierta propiedad

universal. La eistencia de los con)untos infinitos, por ser fundamental para la

teor/a de con)untos y teor/as afines.

Tambi+n veremos e)emplos en donde intervengan las reglas y los elementos de

un con)unto su cardinalidad, su universo, su complemento, diferencia, entre

otros, que tambi+n lo representare en diagramas de ven para la me)or

observacin.

Con&untosCuanti9icador existencia" ' uni(ersa"

Cuantificador universal' se utiliza para indicar que todos los elementos de un

con)unto verifican una determinada propiedad. Es decir, que la veracidad de la

proposicin se produce si se verifican para todos los elementos. :e simboliza con

este signo .

:i el con)unto o dominio en el que se traba)a es $ y pFG es la propiedad

enunciada, la epresin' x /p (x) se lee' para todo que pertenece al

con)unto $ tal que se verifica la propiedad p FG.

Cuando escribamos x estamos indicando que es un elemento de $.

ELEJE-T S $ C-2-T

3(E9TE-ECE5

$7 U;, , ", O,4#V

x 2n 10,n!


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Cuantificador eistencial' :e utiliza para epresar la eistencia de elementos que

verifiquen o no una determinada propiedad en un dominio que es necesario

indicar. En este caso la veracidad de la proposicin se produce con tal de que

eista al menos un elemento del con)unto para que sea verdad.

$7{;, , ", 4;,4}

x 2n 10,n!

E)emplo

xT xF

7 U4, ;,%Vx"

x

2=1

-egacin del cuantificador eistencial

En el lengua)e cotidiano se representa en ocasiones la negacin de un

cuantificador universal en situaciones como esta'

Todos los calcetines del ca)n son negros. WCmo se niegaX !esde luego no es

ning0n calcet/n del ca)n, negro si no eiste al menos un calcet/n del ca)n que

no es negro.

(x!)x x!

-egacin del cuantificador universal

Es decir que, si no eiste un elemento que pertenezca a (, entonces cualquier

elemento que se tome, no pertenece a (.

(x# )x#

$7{;, ,"}

7{xx es impar}

(x x")

x x "

Con&untos de "os nmeros

&rafico -Y 4' con)untos de los n0meros

Con&untos

2n con)unto es una coleccin, reunin o agrupacin de ob)etos que poseen una

caracter/stica o propiedad com0n bien definida.

La descripcin de un con)unto se puede realizar de las siguientes maneras'

!or comprensin.-(ara referirnos a alguna caracter/stica de los elementos.

!or extensin o ta*u"acin.-Cuando se enlistan todos los elementos.

!or diagrama de enn.-Cuando se desea representarlo grficamente.

E)emplos

$7 {x x es $na v%ca& }

$7 {a , e , ' , % , $ }

$

a

e i

o u


20/29

7 {x x29=0}

7{%,@%}

C7 x! x


21/29

C7 {xZ x>6x 4 }

C7

N (!)= 0

"= {} # No es u$ %o$&u$'o a%o %o$'ie$e u$ sm*o+o

- F!G7 4

Unitario.-si tiene un 0nico elemento.

E)emplos

E 7 U - ] @%7#V E 7 U%V - FEG7 4

? 7 U 9 ] 8 ^ ^ 8V ? 7 U8V - FEG7 4

& 7 U _ ] 2=0 V & 7 U#V - FEG7 4

8inito.@ si tiene una cantidad finita de elementos.E)emplos

M7 Ua, e, i, o, uV - FMG7 8

$7 {x! x


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Con&unto potencia

!ado un con)unto $, su con)unto potencia es aquel que est formado por todos

los subcon)untos de $.

2=n(p)

E)emplo

$7 U4, ;, %V

(F$G7 {. , (1,2,3 ) , (1 ) , (2 ) , (3 ) , (1,2 ) , (1,3 ) , (2,3 ) }

- U(F$GV7 O

E)emplo aplicando lo aprendido

1.- Dgase cu" de "as a9irmaciones siguientes son correctas si a"guna esincorrecto dgase e" por )u#

FUr, s,tG

a.@ aM ?also porque no hay a en el con)unto J

b.@ rM ?also porque r es un elemento de J

c.@ {r }M ?also un con)unto no puede pertenecer a otro

d.@ {r }M >erdadero

:ubcon)unto " x x"

:ubcon)unto propio " "(=")

2.- Dgase cu" de "as a9irmaciones siguientes son correctas.

:i alguna es incorrecta d/gase el por qu+'

a.@ . ?alsa, no es correcta por no pertenecer al con)unto E

b.@ {0 }/ ?alsa, no es cierto porque U#V no pertenece a E

c.@ 0/ >erdadera

d.@ 0/ ?alsa, porque es un elemento no un subcon)unto de E

e.@ {0 }/ >erdadera

Re"aciones entre con&untos

Igua"dad entre con&untos

!os con)untos $ y son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. Es

decir ambos con)untos se contienen mutuamente simblicamente, este con)unto

se representa por'

=" (")(" )

J U4, ;, %, V

r s t

u vN

r

s tN

u


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- U4, ;, %,V

J

Con&untos dis&untos

Los con)untos $ y son dis)untos si y solo si $ y no tienen elementos en

com0n.

J UO, 8, ", NV

- U4, ;, %,V

$7 U V

J -

Con&untos intersecantesTienen al menos un elemento en com0n.

E)emplo'

c={x!5}

c={1,2,3,4,5 }

0={xZ{29=0 }

0={3,3 }

C! 7 U%V

2nin de con)untos

La unin entre los con)untos $y es un nuevo con)unto formado por los

elementos que pertenecen al con)unto $ o al con)unto .

$ 2 7 unin de $ y , formando un nuevo con)unto.

E)emplo'

$ 7 U;, %, ,8V

7 U, 8, ",NV

$ 2 7 U;, %, , 8, ", NV

$ 7 U _ ] " ^ 4#V

7 U _ ] @; ^ ^ V

$ 2 7 U@; ,@4, #, 4, ;, %, , ", N, O, PV

N

4 ; %

/

1

2 34


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Interseccin

La interseccin entre los con)untos $ y es un nuevo con)unto formado por los

elementos que pertenecen al con)unto $ y al con)unto .

$ 7 U;, %, 8, OV

7 U%, 8, ", NV

$ 7 U%, 8V

Di9erencia entre con&untos

La diferencia entre los con)untos $ y es un nuevo con)unto formado por los

elementos que pertenecen al con)unto $, pero no pertenecen al con)unto .

$ 7 U;, %, O, 8V

7 U%, 8, ", NV

$ 7 U;, OV

={Z 3 }

$ 7 U%, ;, 4, #, @4, @;, @%V

"={Z{24=0 }

7 U;, @;V

$@ 7 U%, 4, #, @4, @%V

Di9erencia cintica

La diferencia cin+tica entre los con)untos $ y es un nuevo con)unto formado

por los elementos que pertenecen al con)unto $ o al con)unto pero no a

ambos.

:e representa por $

1 "=(" )2(")


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$7 U _ ]@% ^ %V

"={x 3 {x 24=0 }

$ 7 U%, ;, 4, #, @4, @;, @%V

7 U;, @;V

C 7 U;, , ", O, 4#V

! 7 U@4, #, 4, %, 8, ", OV

$ 7 U%, 4, #,@4,@%V

C! 7 U;, , 4#,@4#, @4, #, 4, %,8V

$C 7 U%, 4, #,@4,@;,@%, , ", O,4#V

$! 7 U8, ", O, ;,@;,@%V

C 7 U@;, , ", O,4#V

Comp"emento

El complemento de un con)unto $ es un nuevo con)unto formado por los

elementos del referencial o universo que no pertenecen al con)unto $.

C={x 2()

:e puede represental como C

o como $.

2={x ! 20 }

= {x ! x 13 }

$ 7 U", N, O, P, 4#, 44, 4;, 4%V

7 U4, %, 8, N, P, 44, 48, 4N, 4PV

C 7 U%, N, 48, 4O, ;#V

C

7 U4, ;, %, , 8, 4, 48, 4", 4N, 4O, 4P, ;#V

"C

7 U;, , ", O, 4#, 4;, 4%, 4, 4", 4O, ;#V

CC

7 U4, ;, , 8, ", O, P, 4#, 44, 4;, 4%, 4, 4", 4N, 4PV

(2")C 7 U;, , 4, 4", 4O, ;#V

(2C)C 7 U4, ;, , 8, 4, 4", 4N, 4PV

("2C)C 7 U;, , ", O, 4#, 4;, 4%, 4, 4"V


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Le'es de" a"ge*ra de con&untos

UNION LJ INTR$CCION$2 7 2$ Conmutativa $ 7 $

$2F2CG 7 F$2G 2C $sociativa F$GC 7 $FCG

$2$7 $ Hdempotencia $$ 7 $

$2 Hdentidad $9e 7 $

$2 9e 7 9e $bsorcin $ 7

c

7 9e

Complemento

c=

2( "4 C)= (2" )4(2C)

!istributiva

4 ("2C)=( 4 " )2( 4C)

!e Jorgan

Cardina"idad de con&untos

- F$G 7 8

- FG 7 - F$2G 7 - F$G 6 - FG - F$G

- F$G 7 ;

E)emplos

Encontrar' - F$ 2 2 CG

- F$G 7 4

- FG 7 4

- FCG 7 4

- F2G 7 %;

- F$@G 7 867P

- F@CG 7 N6%74#

- F$CG 7 ;

- F$CG 7

-F$ G 7 P $ 7 P - F CG 7 4# 7 4#

- FCG - F$CG@

4 "

C

2 "C=

2 "


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- F$ 2 2 CG 7 ;P

E)ercicios de aplicacin

1.- Determinar e" porcenta&e de a"umnos )ue practican 9ut*o" ' *s)uet si a"entre(istar a 1KKK estudiantes se o*tu(ieron "os siguientes resu"tados#

@ "## practican futbol.

@ 8## practican bsquet.

@ 48# no practican ni futbol ni bsquet.

N /U0 F 1KKK

N /80 F 6KK

N /+0 F 5KK

N /8U+0 F 15K

- F?2G7 4### 48# 7 O8#

- F?2G 7 - F?G 6 - FG - F?G

- F?G 7 - F?G 6 - FG - F?2G

- F?G 7 "## 6 8## O8#

- F?G 7 ;8#

- F?G 7 ;8

2.- De 55 a"umnos de una uni(ersidad se o*tu(o "a siguiente in9ormacin#

@ %; alumnos estudian en el curso $

@ ;; alumnos estudian en el curso

@ 8 alumnos estudian en el curso C

@ 4# alumnos estudian en los tres cursos.

!eterminar el n0mero de alumnos que estudian simultneamente dos cursos.

N /


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6 y 6 z 7 ;

- F$G 7 a66z64# a 6 6 z 7 ;;

- FG 7 b664#6y b 6 6 y 7 4;

- FCG 7 z64#6y6c y 6 z 6 c 7 %8

a6b6c66y6z64#788

a 6 b 6 c 6 6 y 6 z 7 8 a 6 b 6 c 6 ; 6 ;y 6 ;z 7 "P

a 6 b 6 c6 ; 6 ;y 6 ;z a b c @ y z 7 "P 8

6 y6 z 7;

3.- n una encuesta rea"iGada a 15K personas@ so*re sus pre9erencias de tresproductos


29/29

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Paper de Logica y Conjuntos

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