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LOGICA DIFUSA

Dámaso López Aragón

Introducción La lógica difusa tiene su origen en la década de los 60, en la Universidad de Berkeley - California, la cual fue desarrollada por Lofti Zadeth a través de la teoría de conjuntos difusos. La lógica difusa surgió, como una generalización de la lógica clásica, por el deseo de representar de manera más fiel la realidad.

Introducción En esta presentación haremos explicaremos el concepto de la lógica multivaluada de la lógica difusa. Primero haremos una introducción acerca de los conjuntos difusos, y las operaciones en ese tipo de conjuntos. A continuación, hablaremos sobre los conjuntos disjuntos y finalizaremos con el tema de inferencia y reglas difusas

Agenda

1. Logica Difusa i. Concepto ii. Características iii. Ejemplo iv. Lógica Clásica vs lógica difusa

2. Conjuntos difusos 3. Inferencia difusa

Lógica Difusa: Concepto

• Lógica basada en la teoría de conjuntos que trata de imitar el comportamiento de la lógica humana.

• Se utiliza para representar la información imprecisa, ambigua o vaga, para tomar decisiones razonables en un entorno de incertidumbre.

Lógica Difusa: Características

• Representación de la imprecisión en lenguaje natural.

• Utiliza conjuntos disjuntos, relaciones difusas, variables difusas.

• Estos elementos se combinan en el proceso de inferencia. Este proceso es un conjunto de pasos que pasa la información precisa a difusa o viceversa.

Lógica Difusa: Concepto

Lógica Difusa: Características

• Es una extensión de la lógica clásica; es una lógica multivaluada.

• Hace uso de aproximaciones matemáticas en la resolución de ciertos problemas

• Trata de producir resultados exactos a partir de datos imprecisos

Lógica Difusa: Ejemplo

En la lógica clásica, el estado de una puerta es abierta o falsa.

• Puerta Abierta: true • Puerta Cerrada: false

Lógica Difusa: Ejemplo

Para la lógica Difusa establece que una puerta no tiene que estar solo abierta o cerrada, podemos encontrar otros estados: • Puerta abierta (1) • Puerta bastante abierta (0.8) • Puerta abierta a medias (0.5) • Puerta casi cerrada (0.1) • Una puerta está cerrada (0)

Lógica Difusa: Otros Ejemplos

• Juan es más alto que Pedro. El cuantificador “más” es difuso. El enfoque concreto: Juan mide 1.80 m y Pedro mide 1.65 m

• El porshe va mucho más rápido que el

volskwagen. El cuantificador “mucho más” es difuso. El enfoque concreto: El porshe va a 150 km/h y el volkwagen va a 80 km/h.

Lógica Clásica vs Lógica Difusa

Lógica Clásica Lógica Difusa

Tiene dos valores: verdadero o falso

Tiene otros valores que puede ser finitos o infinitos

Predicados que forman parte del Universo que no son difusos: abierto o cerrado

Predicados difusos: casi, parcialmente, semi y no difusos: abierto o cerrado


Lógica Clásica Lógica Difusa

Manejo de sólo dos cuantificadores: todos y algunos

Cuantificadores como “pocos”, “muchos”, “frecuentemente”, etc.

Uso de variables lingüísticas: “viejo” o “joven” utilizando la variable edad.

Agenda 1. Logica Difusa

2. Conjuntos difusos i. Definición ii. Función de pertenencia y membresía iii. Variable difusa y lingüística iv. Operaciones de conjuntos difusos v. Relaciones difusas

3. Inferencia difusa

Conjuntos: Definición

Es una reunión o agrupación de elementos que cumplen con una determinada condición

𝐴 = { 𝑥 𝜖 𝑅 /𝑥 ≤ 5} 1 2 3 4 5

B

Conjuntos: Definición

El conjunto clásico suele definirse: • Lista enumerada de números • Definición que determina si un elemento

pertenece o no. • Función de pertenencia.

Conjuntos: Ejemplo

𝐴 = { 𝑥 𝜖 𝑁/𝑥 ≥ 5}

El conjunto de números reales mayor o igual a 5

µ(4) =0 µ(7) =1

Conjunto Difuso: Concepto

Un conjunto difuso se caracteriza por una

función de pertenencia µ(x) que puede tomar

cualquier valor en el intervalo cerrado [0,1], es decir, valores comprendidos entre 0 y 1

Conjunto Difuso: Ejemplo

Sea el conjunto de temperaturas calientes registradas en una caldera, podría definirse como:

0, si T ≤ 20; T-20 10 1, si T > 30;

µc(T) =

Conjunto Difuso

Los conjuntos disjuntos definidos sobre universos discretos, se definen como un conjunto de tuplas de la forma (elemento, función)

F = {(x, µF(x)) | x ε U}

En el ejemplo anterior, las temperaturas calientes se encuentran entre 19 a 31, tenemos: C = {(19,0), (20,0), (21,0.1), (22,0.2), (23,0.3), (24,0.4), (25,0.5), (26,0.6), (27,0.7), (28,0.8), (29,0.9), (30,1), (31,1)}

Notación de Zadeh: Notación difusa

Propone una notación sobre universos discretos

F = µF (x1)/x1 + µF (x2)/x2 + µF (x3)/x3 + … + µF (xn)/xn

Esta notación se puede resumir de esta manera:

µF (x)/x

𝑥 ε 𝑈

Para conjuntos continuos, la notación sería:

µF (x)/x

𝑈

Función de Pertenencia

Un conjunto difuso se define como una función de pertenencia que empareja elementos del Universo con elementos del intervalo [0, 1].

Función Singleton

Función Trapezoidal

Función Triangular

Función S

Función Gaussiana

Donde: m es el valor medio de la campana de gauss k es una constante dada mayor a 0 (k>0)

Función Pseudo-Exponencial

Donde: m es el valor medio de la campana de gauss k es una constante dada mayor a 0 (k>0)

Función de Membresía

Una función de membresía se define sobre universos continuos, generalizando la notación de sumatoria con el símbolo

Función de membresía

Notación de Zadeh

Variables Difusas

Universo de Discurso. Es el conjunto de valores que puede tomar una variable. Por ejemplo, consideremos al conjunto de personas de una comunidad; donde la comunidad será nuestro Universo. Este Universo estará formado por personas jóvenes, adultas, altas, bajas, etc.

Variables Difusas

Una variable difusa es cualquier valor que está basado en la percepción humana, más que en valores precisos que se pueden medir. Por ejemplo: si la persona es muy alta, si el vehículo corre a excesiva velocidad.

Variables Difusas

Valores para la variable difusa “velocidad

Variables Lingüísticas

Un conjunto difuso se puede utilizar para describir el valor de una variable. Por ejemplo: “Juan es una persona baja” utiliza el conjunto difuso “bajo” para describir el tamaño de la persona. La variable tamaño demuestra un concepto

importante en la lógica difusa: variable lingüística.


Existen muchos descriptores lingüísticos como son: moderado, normal, alto, algo caliente, muy bajo, medio normal, mas o menos alto, etc. Uno de los conceptos importantes en la Lógica Difusa es generar de un conjunto esencial de términos lingüísticos (Conjunto Término) utilizando modificadores (muy, mas o menos) y conectivas (“y”, “o”). En Lógica Difusa a dichos modificadores se les

denomina: Hedges


Si edad es una variable lingüística, entonces su conjunto término R(edad) puede ser:

joven, no joven, muy joven, no muy joven,… medio viejo, no medio viejo,… viejo, no viejo, muy viejo, mas o menos viejo,.. no muy joven y no muy viejo, …

R (edad) =

Operaciones entre conjuntos difusos

La SUMA ALGEBRAICA de dos conjuntos difusos A y B es un conjunto difuso A+B. Su función de pertenencia es:

µ(A+B) = µ(A) + µ(B) - µ(A)µ(B)


El PRODUCTO ALGEBRAICO de dos conjuntos difusos A y B es otro conjunto difuso A.B. Su función de pertenencia es:

µ(A+B) = µ(A).µ(B)


La POTENCIA de orden “m” de un conjunto difuso A, es un conjunto difuso cuya función de pertenencia es:

µ(Am) =[µ(A)]m


La UNION de conjuntos difusos A y B es un conjunto difuso AUB en U cuya función de pertenencia es:

µAUB(x) ={x / max[µA(x), µB(x)]}


La INTERSECCION de conjuntos difusos A y B es un conjunto difuso A∩B en U cuya función de pertenencia es:

µA∩B(x) = {x / min[µA(x), µB(x)]}


El COMPLEMENTO del conjunto difuso de A es un conjunto difuso A en U cuya función de pertenencia es:

µA(x) = { x / [1 - µA(x) ]}


Sea:

Donde A y B son conjuntos


AUB

A∩B

A’

Relaciones difusas

Una relación difusa es un conjunto difuso de tuplas, donde cada tupla tiene un grado de pertenencia entre 0 y 1. La relación difusa R(U,V) es un conjunto difuso en el espacio producto UxV, se caracteriza porla función de pertenencia µr(x,y) donde x pertenece a U e y pertenece a V.

R(U,V) ={((x,y), µR(x,y))| (x,y) ε UxV}

Relaciones difusas

La función µR de la relación puede ser descrita por:

1, si x = y; 0.8, si | x – y | = 1; 0.3, si | x – y | = 2

La tabla matricial sería

Agenda

1. Logica Difusa 2. Conjuntos difusos

3. Inferencia difusa i. Reglas Difusas ii. Estructura iii. Inferencia utilizando lógica difusa iv. Ventajas y desventajas de los sistemas

de inferencias

Inferencia Difusa

Se llama REGLAS DIFUSAS al conjunto de proposiciones IF – THEN que modelan un problema al que se quiere resolver. Una regla difusa simple: “Si x es A entonces y es B” A y B son conjuntos disjuntos definidos en los rangos de “x” e “y”

Estructura de las Reglas Difusas

IF <antecedentes> THEN <consecuente> El antecedente o premisa describe una condición, y el consecuente o conclusión describe la conclusión Ejemplo: IF carretera está seca THEN manejar es seguro


1. Varios antecedentes (condición: rápido, lento).

IF x is A AND y is B AND THEN z is C 2. Se clasifica en tres categorías el consecuente

de la regla difusa: a) Consecuente Crisp: IF … THEN y=a donde a es valor numérico simbólico


2. Se clasifica en tres categorías el consecuente de la regla difusa: b) Consecuente Difuso: IF … THEN y is A donde A es conjunto difuso c) Consecuente Funcional: IF x1 es A1 AND x2 es A2 AND x3 es A3 THEN y=a0 + 𝑎𝑖 x 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1

Donde a0, a1, a2, … an son constantes

Inferencia utilizando lógica difusa

La computación usando inferencia basada en lógica difusa se aplica en: sistemas expertos, robótica y reconocimiento de patrones. El sistema de inferencia difuso se le conoce como: sistema difuso de reglas, sistema experto difuso, controlador difuso, modelo difuso.


El sistema de inferencia difuso está conformado por tres componentes:

• Reglas difusas • Base de datos o Diccionario (funciones de

pertenencia) • Mecanismo de razonamiento: inferencias

Reglas Input Output


Los controladores manejan valores exactos

Controlador Velocidad Cantidad gasolina

Si el controlador usa lógica difusa, será necesario realizar alguna conversión


Al proceso de conversión a la lógica difusa y viceversa, se le denomina fuzzuficacion y defuzzificacion

fuzzificador Entrada exacta

Controlador difuso

defuzzificador Salida exacta


El controlador de lógica difuso (Fuzzy Logic Controller) utiliza reglas IF – THEN en conjunto con funciones de pertenencias difusas para controlar el proceso y minimizar el error del resultado. Existen modelos de controlador difuso: • Mamdani • Sugeno o Takagi • Tsukamoto


El controlador de lógica difuso (DeFuzzy Logic Controller) halla un único valor para la salida del sistema. • Aplica el método de defuzzificación

disponible • Lleva este valor de la salida de control a su

valor físico real.

Ventajas de los Sistemas de Inferencias

• La principal ventaja es su facilidad de implementación

• Su modo de funcionamiento es similar al del comportamiento humano

• Forma rápida y económica de resolver un problema.

• No se requiere conocer el modelo matemático que rige el funcionamiento del sistema

Desventajas de los sistemas de inferencias

• Se requiere un tiempo de aprendizaje para obtener mejores resultados en redes neuronales.

• Ante modelos matemáticos, no obtener buenos resultados aplicando lógica difusa

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