ELEMENTOS DE LOGICA Y TEORIA DE CONJUNTOS Dra. Patricia Kisbye Dr. Alejandro L. Tiraboschi

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INTRODUCCION Estas notas han sido elaboradas con el objetivo de ofrecer al ingresante a las carreras de la FaMAF un curso introductorio a la l gica elemental y teora de conjuntos. Los temas abarcados o son, a grandes rasgos, nociones b sicas de conjuntos, operaciones entre conjuntos y producto a cartesiano; proposiciones, conectivos l gicos y cuanticadores. Gran parte de los contenidos y o ejercicios han sido extrados de los primeros captulos de nuestras notas Elementos de L gica y o Computaci n, Trabajos de Inform tica, No. 1/99. o a Cada captulo contiene un desarrollo te rico, variados ejemplos y una completa lista de o ejercicios de aplicaci n. o Alejandro Tiraboschi Patricia Kisbye

Indice general Captulo 1. TEORIA BASICA DE CONJUNTOS 1. Conjuntos y pertenencia 2. Subconjuntos 3. Ejercicios Captulo 2. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS 1. La uni n de conjuntos o 2. La intersecci n o 3. Complemento de un conjunto 4. Diferencia 5. Ejercicios Captulo 3. PRODUCTO CARTESIANO 1. Pares ordenados y producto cartesiano 2. Representaci n en ejes cartesianos o 3. Ejercicios Captulo 4. LOGICA 1. Proposiciones 2. Conectivos l gicos o 3. Negaci n o 4. Conjunci n o 5. Disyunci n o 6. Los conectivos y las operaciones entre conjuntos 7. Propiedades de la conjunci n y la disyunci n o o 8. Ejercicios Captulo 5. CUANTIFICADORES 1. Funciones proposicionales 2. Cuanticadores 3. Negaci n de cuanticadores o 4. Ejercicios5

7 7 9 15 19 19 20 21 22 24 27 27 28 31 35 35 36 36 37 38 39 39 40 43 43 44 45 46

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INDICE GENERAL

Captulo 6. OTROS CONECTIVOS 1. 2. 3. 4. 5. Condicional o implicaci n o Bicondicional o doble implicaci n o Argumentos y demostraciones Combinaci n de proposiciones con conectivos l gicos o o Ejercicios

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CAPTULO 1

TEORIA BASICA DE CONJUNTOSCualquier colecci n de objetos o individuos se denomina conjunto. En el contexto de la o matem tica, el t rmino conjunto no tiene una denici n sino que es un concepto primitivo. a e o Ejemplos de conjuntos son el conjunto de los n meros naturales, de los televisores de la ciudad u de C rdoba y de los peces en los oc anos. Nuestro objetivo ser estudiar aquellos conjuntos que o e a est n relacionados con el campo de la matem tica, especialmente los conjuntos num ricos. La a a e teora de conjuntos es fundamental en matem tica y de suma importancia en inform tica, donde a a encuentra aplicaciones en areas tales como inteligencia articial, bases de datos y lenguajes de programaci n. o

1.

Conjuntos y pertenencia

Un conjunto est integrado por objetos y los objetos que integran el conjunto se llaman a elementos de ese conjunto. Ejemplos de conjuntos son los siguientes: El conjunto de los n meros enteros. u El conjunto de los n meros naturales mayores que 5 y menores que 9. u El conjunto formado por los estudiantes de primer a o de la Fa.M.A.F. n El conjunto formado por un punto P en el plano y las rectas que pasan por el. Un conjunto sin elementos se denomina conjunto vaco. En general usaremos letras may sculas para designar a los conjuntos y letras min sculas u u pertenece a A o a es un elemento de A. Si a no es un elemento del conjunto A se escribe a A y se lee a no pertenece a A o a no es elemento de A. Los smbolos N, Z, Q y R servir n para a denotar a los siguientes conjuntos: N: el conjunto de los n meros naturales. u Z: el conjunto de los n meros enteros. u Q: el conjunto de los n meros racionales. u R: el conjunto de los n meros reales. u Denir un conjunto es describir de una manera precisa, sin ambig edades, cu les son los u a elementos de dicho conjunto. Existen distintas maneras de denir un conjunto. La forma m s a7

para designar a sus elementos. Si a es un elemento de un conjunto A se escribe a A y se lee a

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1. TEOR BASICA DE CONJUNTOS IA

simple, pero que no siempre es posible, es por extensi n, es decir listando todos los elementos o del conjunto separados por comas y encerrando todo entre llaves:

A = {1, 2, 3, 5, }, consideran una sola vez.

U = {a, e, i, o, u},

M = {Talleres, Instituto, Belgrano}.

El orden en el cual se enumeran los elementos del conjunto es irrelevante, y los elementos se

E JEMPLO 1.1. {1, 2, 3}, {3, 2, 1} y {1, 1, 2, 2, 2, 3} describen al mismo conjunto. En algunos casos no se listan todos los elementos, pero se nombran los sucientes y se usan los puntos suspensivos . . . para sugerir los elementos faltantes: E JEMPLO 1.2. B = {3, 5, 7, . . . }, C = {2, 4, . . . , 25 }. Sin embargo esta forma de nombrarlos es siempre ambigua, no puede saberse de antemano qu elementos son los que se han omitido. Por ejemplo, B podra ser el conjunto de los n meros e u impares, o podra ser el conjunto de los n meros primos mayores que 2. Del mismo modo, C u podran ser todos los pares entre 2 y 25 o bien todas las potencias de 2 comprendidas en el intervalo natural [2, 25 ]. Otra forma de describir un conjunto es por comprensi n, es decir enunciando una propiedad o de los elementos que lo integran: A = {x | x cumple la propiedad P }. Esto se lee: el conjunto de los x tales que x cumple la propiedad P . E JEMPLO 1.3. El conjunto B = {x | x es natural e impar y x 3} est formado por todos los n meros naturales impares mayores o iguales a 3. En este caso se a u trata de un conjunto con un n mero innito de elementos, y por lo tanto no podemos denirlo u por extensi n. o E JEMPLO 1.4. El conjunto C = {x | x es natural y 2 x 26 y x es potencia de 2} es el conjunto formado por los elementos 2, 4, 8, 16, 32 y 64. El conjunto C se dene tambi n e por extensi n como o C = {2, 4, 8, 16, 32, 64}.

2. SUBCONJUNTOS

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Al conjunto vaco se lo denota con el smbolo o { }. n mero es positivo y adem s negativo. Por lo tanto A es un conjunto vaco, y lo denotamos u a A= o A = { }. E JEMPLO 1.5. El conjunto A = {x | x > 0 y x < 0} no tiene elementos, ya que ning n u

1.1.

Diagramas de Venn. Es frecuente utilizar ciertos diagramas, llamados diagramas de

Venn, para representar a los conjuntos. Un conjunto se representa con una lnea curva cerrada, y sus elementos con puntos en el interior. Por ejemplo, el diagrama de Venn para el conjunto A = {a, b, c, d} es a A b c d

F IGURA 1. Representaci n del conjunto A mediante un diagrama de Venn. o

2. Subconjuntos Consideremos los conjuntos A = {1, 3, 5}, y B = {1, 2, 3, 4, 5}.

Como podemos ver, los elementos de A: 1, 2 y 3, tambi n son elementos de B. Decimos entone ces que A es un subconjunto de B, o que A est incluido en B. a Un conjunto A es un subconjunto del conjunto B si todo elemento de A es tambi n elemento de B. e Se denota A B y se dice que A est incluido o contenido en B. a En particular, todo conjunto est includo en s mismo. a E JEMPLO 1.6. A = {1, 3, 5} est incluido en A, y lo escribimos A A. a

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1. TEOR BASICA DE CONJUNTOS IA

Dos conjuntos A y B son iguales si los elementos de A son elementos de B, y viceversa. Es decir, si A B y tambi n B A. e Dos conjuntos A y B son distintos si no son iguales. Es posible que la denici n de conjuntos iguales y distintos resulta un tanto obvia, sin o embargo es necesaria y no siempre es tan sencillo detectar la igualdad de dos conjuntos. E JEMPLO 1.7. Consideremos los conjuntos A = {1, 3} y B = {n | n2 4n = 3}.

En principio A y B est n denidos de manera diferente, por lo cual no podemos asegurar si a son iguales o distintos. En efecto Los elementos de A son 1 y 3. Notemos que 1 y 3 verican la propiedad que dene a B. 12 4 1 = 1 4 = 3 Luego podemos armar que A B. Adem s, los elementos de B son los n meros que satisfacen la ecuaci n a u o n2 4.n + 3 = 0, elemento de B es un elemento de A, es decir y esta ecuaci n tiene exactamente como races a 1 y 3. Por lo tanto tambi n es cierto que todo o e B A. Concluimos entonces que A = B. Notemos que dos conjuntos pueden ser distintos pero tener uno o m s elementos en com n. a u Por ejemplo, A = {2, 4} y B = {1, 4, 6} son distintos pero el 4 es un elemento de ambos conjuntos. Dos conjuntos se dicen disjuntos si no tienen ning n elemento en com n. u u E JEMPLO 1.8. Los conjuntos C = {2, 4, 6} y D = {1, 3, 5, 7} son disjuntos. Si A es un subconjunto de B, pero distinto de B, se dice que A es un subconjunto propio escribimos de B. La notaci n A B es correcta, pero si queremos resaltar que A y B son distintos, o AB o A B. y 32 4 3 = 9 12 = 3.

2. SUBCONJUNTOS

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B = {2, 4, 6, 8, 10}. de B: A B.

E JEMPLO 1.9. Consideremos los conjuntos A = {x | x es un natural par y x < 10}, y

En este caso, todo elemento de A es un elemento de B, y por lo tanto A es un subconjunto

Adem s se cumple que 10 pertenece a B pero no pertenece a A, por lo cual A y B no son a B o A B. E JEMPLO 1.10. El conjunto N de los n meros naturales es un subconjunto del conjunto Z u

los mismos conjuntos. Decimos entonces que A es un subconjunto propio de B y lo escribimos A

existen n meros enteros que no son naturales. Denotamos esto escribiendo N Z o N u se verica que A. 2.1.

de los n meros enteros, y se escribe N Z. Adem s N es un subconjunto propio de Z, ya que u a Z. El conjunto vaco est incluido en todos los conjuntos1. Es decir que para todo conjunto A a Si adem s A no es el conjunto vaco, podemos armar que a A.

Intervalos de numeros reales. Un intervalo de n meros reales es un subconjunto de u

R que tiene la siguiente propiedad: dados dos n meros a y b en el intervalo, todos los n meros u u comprendidos entre a y b tambi n pertenecen al intervalo. e Gr camente, un intervalo se identica en la recta real con un segmento o una semirrecta, a con o sin sus extremos, o con toda la recta real. E JEMPLO 1.11. El conjunto {x | 2 x 8} es un intervalo, que se representa en la recta real como un segmento con extremos 2 y 8. E JEMPLO 1.12. El conjunto {x | x > 5} es un intervalo, que se representa en la recta real como una semirrecta, con origen en -5, sin contar este extremo. Para los intervalos se utiliza una notaci n especca, y se los clasica adem s en intervalos o a cerrados, abiertos y semiabiertos. El intervalo cerrado [a, b], con a y b n meros reales, es el subconjunto de R denido como u [a, b] = {x | a x b}. En particular, a y b son elementos de [a, b].1

Se sigue de las reglas de la implicaci n l gica, que veremos m s adelante. o o a

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1. TEOR BASICA DE CONJUNTOS IA

El intervalo abierto (a, b), con a y b n meros reales, es el subconjunto de R denido como u (a, b) = {x | a < x < b}. En este caso, a y b no son elementos de (a, b). abiertos, y para estos se utiliza la notaci n (a, ) y (, a), respectivamente. Al smbolo o se lo denomina smbolo de innito. El conjunto R es tambi n un intervalo abierto, que se denota e (, ). Los subconjuntos de la forma {x | x > a} y {x | x < a}, tambi n se llaman intervalos e

siendo a y b n meros reales. Se denen por comprensi n de la siguiente manera: u o [a, b) = {x | a x < b} [a, ) = {x | x a}

Por ultimo, los intervalos semiabiertos se denotan de la forma [a, b), (a, b], [a, ) y (, a],

(a, b] = {x | a < x b}

(, a] = {x | x a} {x | 2 < x 3}. un s lo elemento: o [5, 5] = {x | 5 x 5} = {5}, y este conjunto se representa como un punto en la recta real. E JEMPLO 1.13. Si a = 2, y b = 3, entonces [2, 3) = {x | 2 x < 3}, y (2, 3] =

E JEMPLO 1.14. Si tomamos a = b, por ejemplo a = b = 5, el intervalo cerrado [5, 5] tiene

2.2. El conjunto Universal. No necesariamente los elementos de un conjunto son de la misma naturaleza, por ejemplo, el conjunto C formado por la Torre Eiffel y el n mero u es v lido como conjunto. Sin embargo, es muy poco interesante en la teora. En general nos a referiremos a conjuntos cuyos elementos tienen una propiedad en com n. u E JEMPLO 1.15. A = {x | x es un natural par}, B = {x | x es un natural mayor que 4}

y C = {x | x es un natural menor que 23}, son conjuntos cuyos elementos son n meros naturales. u

2. SUBCONJUNTOS

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E JEMPLO 1.16. Los elementos de los conjuntos X, Y y Z, X = {cuadrado, rect ngulo, rombo}, a tienen la propiedad de ser polgonos. Resulta entonces conveniente considerar un conjunto que contenga a todos los conjuntos que se est n considerando. A dicho conjunto se lo denomina conjunto universal, y lo denotamos con e la letra U. En el Ejemplo 1.15 todos los conjuntos son subconjuntos de N, y podemos considerar a N U = N. Notemos que A, B y C son tambi n subconjuntos del conjunto Z de n meros enteros, por e u lo que tambi n podra jarse U = Z. Por ello siempre debe dejarse expresado explcitamente el e conjunto universal que se desee considerar. E JEMPLO 1.17. Si denotamos con P al conjunto formado por todos los polgonos, entonces en el Ejemplo 1.16 podemos tomar U = P . Pero tambi n podemos considerar e U = {cuadrado, rect ngulo, rombo, tri ngulo, hex gono, dec agono, ene gono, a a a a oct gono, hept gono}. o a En un diagrama de Venn el conjunto universal se representa con un rect ngulo y el conjunto a que nos interesa representar, digamos A, se denota con una curva cerrada dentro del rect ngulo. a La Fig. 2 ejemplica lo explicado. Y = {tri ngulo, hex gono} a a

y Z = { dec gono, ene gono, oct gono, hept gono} a a o a

como conjunto universal:

A

U F IGURA 2. Representaci n del conjunto A mediante un diagrama de Venn. o Una de las propiedades m s utiles de los diagramas de Venn es que dan una forma gr ca a a de visualizar las relaciones entre conjuntos, por ejemplo, en la Figura 3 representamos que todo elemento de B, es tambi n elemento de A. e

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1. TEOR BASICA DE CONJUNTOS IA

A

B

U F IGURA 3. Los elementos de B tambi n pertenecen a A. e Cuando en un diagrama de Venn se desea enfatizar un conjunto es usual sombrear el interior de la curva cerrada que lo denota.

2.3. Cardinalidad: Si un conjunto A tiene una cantidad nita de elementos, diremos que es un conjunto nito y llamaremos cardinal de A al n mero de elementos de A. El cardinal del u conjunto vaco es 0, y si el conjunto tiene una cantidad no nita de elementos diremos que es un conjunto innito y que su cardinal es innito. En todos los casos, el cardinal del conjunto A se denota |A| o tambi n #A. e E JEMPLO 1.18. 2. Si B = {n | n N y n2 = 2}, entonces |B| = 0. 1. Si A = {a, b, c, 5, 4}, entonces |A| = 5.

3. Si C = {a, a, b}, entonces |C| = 2. 4. |Z| es innito.

2.4. El conjunto de partes. El conjunto de partes de un conjunto A es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A. Lo denotamos P(A). E JEMPLO 1.19. A = {1, 2, 3} entonces P(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. E JEMPLO 1.20. B = {a} entonces P(B) = {, B} = {, {a}}. innitos elementos. E JEMPLO 1.21. P(N) = {, {1}, {2}, {3}, . . . , {1, 2}, {1, 3}, . . . , {2, 3}, . . . }, tiene

Si A es un conjunto nito, digamos de n elementos, entonces el cardinal2 del conjunto de partes es 2n . Por ejemplo, para A = {1, 2, 3}, tenemos que |A| = 3 y |P(A)| = 8. Para B = {a}, tenemos |B| = 1 y |P(B)| = 2. Tambi n se cumple que || = 0, y |P()| = |{}| = 1. e2

Esta propiedad se estudiar en la asignatura Algebra I y Matem tica Discreta I. a a

3. EJERCICIOS

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3.

Ejercicios

1. Dene por extensi n cada uno de los siguientes conjuntos, usando la notaci n . . . o o cuando sea necesario: b) {x | x es entero positivo y x es m ltiplo de 3} u d) {x | x es un entero y (3x 1)(x + 2) = 0} e) {x | 2x es entero positivo} c) {x | (3x 1)(x + 2) = 0} a) {x | x es entero y 3 < x < 4}

2. Enumera cinco elementos de cada uno de los siguientes conjuntos:1 b) { n | n es primo }

a) {n | n es natural y n es divisible por 5} c) {2n | n es natural}

d) {r | r es racional y 0 < r < 1} 3. Describe por extensi n cada uno de los siguientes conjuntos o escribe si son vacos: o b) {x | x R y x2 = 9} a) {n | n N y n2 = 9}

d) {x | x R, x < 1 y x 2} e) {x | x Q, x2 = 3} f ) {3n + 1 | n N y n 6}.

c) {n | n Z y 3 < |n| < 7}

4. Sea X = {0, 1, 2}. Lista los elementos de cada uno de los siguientes conjuntos: b) {z | z = x + y donde x e y son elementos de X} d) {z | x = z + y donde x e y son elementos de X} e) {z | z es entero y z 2 X} c) {z | z X o z X} a) {z | z = 2x y x X}

5. Determina la cardinalidad de cada uno de los siguientes conjuntos: a) {x | x es entero y 1/8 < x < 17/2} b) {x | x R y x es entero } d) {a, b, c, {a, b, c}} c) {x | x R, x2 = 1 o 2x2 = 1} e) {a, {b, c}, {a, b, c}}

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1. TEOR BASICA DE CONJUNTOS IA

6. Describe por comprensi n los siguientes conjuntos: o a) El conjunto de todos los enteros que pueden ser escritos como suma de cuadrados de dos enteros. b) El conjunto de todos los enteros menores que 1000 que son cuadrados perfectos. c) El conjunto de todos los n meros que son m ltiplos enteros de 13. u u d) { a, e, i, o, u } 7. Dena por extensi n los siguientes subconjuntos de N: o b) c) a) {x | x + 1 es par y x