Captulo I: LGICA Teora de Lgica ProposicionalLa Lgica Matemtica surge como una necesidad de expresar las frases del lenguaje comn en trminos o ecuaciones matemticas, de modo que pudiera evitarse la ambigedad del lenguaje natural y transformar el pensamiento en clculo. Este lenguaje en frmulas es lo que se conoce como Lenguaje Formal, el cual consiste en abreviar o simbolizar las oraciones o juicios, que en la lgica matemtica se llaman proposiciones. Las proposiciones son expresiones del lenguaje natural, y se diferencian del resto de las expresiones en que su planteamiento conlleva a un anlisis de la misma, para determinar si es cierto o no el juicio emitido. Ms claramente, una proposicin es un enunciado a travs del cual se emite un juicio o condicin, el cual puede ser verdadero o falso; mientras ninguna expresin interrogativa, exclamativa, o imperativa de nuestro lenguaje cotidiano puede considerarse una proposicin, pues las mismas no pretenden esclarecer la veracidad o falsedad de un supuesto, sino obtener una respuesta, afirmar u ordenar respectivamente. Ejemplo: Diga cules de las siguientes frases son proposiciones. p: T eres menor que yo. q: Las pirmides egipcias estn en la ciudad de El Cairo. r: Vamos a cenar juntos? s: Tmate todo el jugo. t: Qu gusto verte!

Solucin: Son proposiciones las frases p y q, pues las mismas enuncian una idea, la cual puede ser verdadera o falsa. En el caso de los incisos r, s, y t no se pretende demostrar si las frases son verdaderas o falsas, sino obtener una respuesta (s o no), dar una orden y expresar un estado de nimo, respectivamente.

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Captulo I: LGICALas proposiciones se reducen en el

lenguaje formal a una sola letra, la cual llamamos variable, y la simbolizamos con las letras minsculas del alfabeto que van de la p hasta el final del abecedario. En el ejemplo podemos ver que cada inciso del mismo fue identificado con una letra minscula, y teniendo en cuenta la respuesta del mismo podemos decir que lasA mediados del siglo XIX, George Boole (1815-1864), en sus libros: "The Mathematical Analysis of Logic" (1847) y "An Investigation of te Laws of Thought" (1854), desarroll la idea de que las proposiciones lgicas podan ser tratadas mediante herramientas matemticas. Las proposiciones lgicas (asertos, frases o predicados de la lgica clsica) son aquellas que nicamente pueden tomar valores Verdadero/Falso, o preguntas cuyas nicas respuestas posibles sean S/No. Segn Boole, estas proposiciones pueden ser representadas mediante smbolos y la teora que permite trabajar con estos smbolos, sus entradas (variables) y sus salidas (respuestas) es la Lgica Simblica desarrollada por l. Dicha lgica simblica cuenta con operaciones lgicas que siguen el comportamiento de reglas algebraicas. Por ello, al conjunto de reglas de la Lgica Simblica se le denomina LGEBRA DE BOOLE. A mediados del siglo XX el lgebra Booleana result de una gran importancia prctica, importancia que se ha ido incrementando hasta nuestros das, en el manejo de informacin digital (por eso hablamos de Lgica Digital). Gracias a ella, Shannon (1930) pudo formular su teora de la codificacin y John Von Neumann pudo enunciar el modelo de arquitectura que define la estructura interna de los ordenadores desde la primera generacin. Fuente: http://descartes.cnice.mec.es/

proposiciones presentes en el ejercicio son p y q, las cuales pueden plantearse como: p: T eres menor que yo q: Las pirmides egipcias estn en la Ciudad de El Cairo Proposicin simple y proposicin compuesta Una proposicin simple es aquella que no contiene elementos de enlace, es decir que solamente se enuncia un juicio independiente. Digamos por ejemplo que: T eres menor que yo es una proposicin simple, mientras que En invierno hace fro y llueve es una proposicin compuesta, pues est

compuesta por 2 proposiciones simples (En invierno hace fro y en invierno llueve) conectadas a travs de un elemento de enlace o conector (y) que reduce los

componentes de la frase final al no tener que repetir la frase En invierno 2 veces.

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Captulo I: LGICADicho conector en trminos matemticos es un conectivo lgico, que es representado por un smbolo y su significado siempre es el mismo, por lo que tambin se le conoce como constante. La siguiente tabla muestra los

conectivos lgicos ms usados y su simbologa para su utilizacin matemtica.Conectivo Lgico Smbolo

y o si, entonces, s y solo si No o

Veamos algunos ejemplos de proposiciones compuestas, donde hemos resaltado cada uno de los conectores lgicos utilizados. a. Tienes fro o miedo. b. Si sigo este camino, entonces, llegar al cine. c. Ese dulce no es para ti. d. El 5 es un nmero natural y primo. e. Tendrs ese libro, s y solo si me dejas regalrtelo. f. Ni tengo fiebre, ni estoy enfermo. g. Ese vestido o bien est mojado, o bien est seco. Valor de verdad de las proposiciones

Toda proposicin simple tiene 2 posibilidades de Valor de Verdad, es decir, puede ser verdadera o falsa. Ejemplo: Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: p: Todos los nmeros naturales son enteros. (Verdadero) q: Todos los nmeros racionales son naturales. (Falso) Solucin: La proposicin p es verdadera, mientras q es una proposicin falsa.

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Captulo I: LGICARecuerda que: Nmeros naturales son: 0; 1; 2; 3; Nmeros enteros son: -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; Nmeros racionales son: todos los quebrados (ejemplo: )

Nmeros irracionales son: todos los nmeros

decimales no peridicos, ejemplo:

La

NEGACIN DE UNA PROPOSICIN se obtiene con la utilizacin del

conectivo lgico no delante de la letra que identifica la proposicin. Por lo tanto, si la proposicin p tiene valor de verdad verdadero, entonces la proposicin tiene valor de verdad falso. p V F Ejemplo: Partiendo de las proposiciones del ejemplo anterior, niegue ambas F V

proposiciones, y diga cul es el valor de verdad de los mismos entonces. Solucin: p: Algn nmero natural no es entero. Su valor de verdad es falso. q: Algn nmero racional es natural. Su valor de verdad es verdadero. Los conectivos lgicos, su implicacin en la interrelacin de proposiciones El significado de los conectivos lgicos no es nada ms que su comportamiento como funciones de verdad. Cada conectivo lgico se distingue del otro por los valores de verdad que devuelve frente a las distintas combinaciones de valores de verdad que puede recibir. Los ms importantes son los siguientes:

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Captulo I: LGICACONJUNCIN: Proposicin compuesta que se obtiene al entrelazar 2 o ms proposiciones simples con el conectivo y. Ejemplo: Forme conjunciones con las siguientes proposiciones a) p: 17 es un nmero primo. q: 17 es un nmero natural. b) r: El Sol es una estrella. s: El Sol gira alrededor de la Tierra. c) t: 36 es mltiplo de 6. v: 6 es un nmero par. Solucin: a) b) c) 17 es un nmero primo y es natural. El Sol es una estrella y gira alrededor de la Tierra 36 es mltiplo de 6 y 6 es un nmero par.

En la Conjuncin el Valor de Verdad verdadero se obtiene solamente si cada una de las proposiciones simples que la conforman tiene Valor de Verdad verdadero. En cualquier otro caso, el Valor de verdad verdadero de la Conjuncin ser falso. Segn el ejemplo: a) Valor de verdad verdadero, porque la proposicin simple 17 es un nmero par tiene valor de verdad verdadero, al igual que la proposicin simple 17 es natural. b) Valor de verdad falso, porque la proposicin simple El Sol es una estrella tiene valor de verdad verdadero, pero la proposicin simple el Sol gira alrededor de la Tierra tiene valor de verdad falso, lo que hace que la conjuncin tenga valor de verdad falso.5

Captulo I: LGICAc) Valor de verdad verdadero, pues tanto la proposicin simple 36 es mltiplo de 6 como 6 es un nmero par tienen valor de verdad verdadero.

DISYUNCIN: Proposicin compuesta formada por 2 o ms proposiciones simples relacionadas a travs del conectivo o. Ejemplo: Forme las disyunciones de los incisos del ejemplo anterior Solucin: a) b) c) 17 es un nmero primo o es natural. El Sol es una estrella o gira alrededor de la Tierra. 36 es mltiplo de 6 o 6 es nmero par.

El Valor de Verdad de una Disyuncin es verdadero siempre que al menos una de las proposiciones simples que la conformen tenga valor de verdad verdadero, o si todas las proposiciones simples que la componen tienen valor de verdad verdadero. La Disyuncin tiene valor de verdad falso cuando las dos proposiciones simples que la conforman tienen valor de verdad falso. Segn el ejemplo: a) Valor de verdad verdadero, porque las 2 proposiciones simples que componen esta disyuncin tienen valor de verdad verdadero. b) Valor de verdad verdadero, porque la proposicin simple El Sol es una estrella tiene valor de verdad verdadero, por lo que no importa que la otra proposicin simple El Sol gira alrededor de la Tierra tenga valor de verdad falso. c) Valor de verdad verdadero, porque las 2 proposiciones simples que componen esta disyuncin tienen valor de verdad verdadero.

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Captulo I: LGICAExiste un caso especial de disyuncin llamado disyuncin exclusiva, en la cual para determinar el valor de verdad de la misma basta con comprobar el valor de verdad una de las 2 proposiciones. Por ejemplo El hombre es un mamfero o es un ave Basta con verificar una de las 2, porque no puede cumplir con las 2 proposiciones a la vez, o es mamfero, o es un ave.

Dicha proposicin se representa por

y se lee o p q, o bien p o bien q,

p a menos que q, a menos que q, p, etc.

INCGNITA:

CUL ES EL ?

VALOR DE VERDAD DE LA DISYUNCIN EXCLUSIVA

IMPLICACIN O CONDICIONAL: Proposicin compuesta formada por 2 o ms proposiciones simples relacionadas a travs del conectivo si, entonces. En este caso la primera proposicin se llama antecedente, y la segunda consecuente. Formemos las implicaciones del ejemplo anterior: a) Si 17 es un nmero primo, entonces es natural. Se lee si p entonces q b) Si el Sol es una estrella, entonces gira alrededor de la Tierra. Se lee si r entonces s c) Si 36 es mltiplo de 6, entonces 6 es par. Se lee si t entonces v El Valor de Verdad de una Implicacin es falso cuando el antecedente (o primera proposicin simple) es verdadero, y el consecuente (o segunda proposicin simple) es falso; en el resto de los casos siempre es verdadero. Continuemos el ejemplo anterior

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Captulo I: LGICAa) Valor de verdad verdadero, pues tanto el antecedente como el consecuente tiene valor de verdad verdadero. b) Valor de verdad falso, porque el valor de verdad del antecedente (El Sol es una estrella) es verdadero, pero el valor de verdad del consecuente (El Sol gira alrededor de la Tierra) es falso. a) Valor de verdad verdadero, pues tanto el antecedente como el consecuente tiene valor de verdad verdadero.

EQUIVALENCIA O BICONDICIONAL: Proposicin compuesta por 2 proposiciones simples, donde cada proposicin simple que la conforma implica a la otra. Se forma con el conectivo s y solo si Formemos las equivalencias del ejemplo: a) 17 es un nmero primo, s y solo si es natural. Se lee p s y solo si q b) El Sol es una estrella, s y solo si gira alrededor de la Tierra. Se lee r s y solo si s c) 36 es mltiplo de 6, s y solo si 6 es par. Se lee t s y solo si v El Valor de Verdad de una Equivalencia es falso cuando cualquiera de las proposiciones simples que la conforman es falsa. Solo se obtiene un valor de verdad verdadero en una equivalencia cuando el valor de verdad de las dos proposiciones simples que la componen es verdadero, o falso a la vez Continuando con el ejemplo: a) Valor de verdad verdadero, porque ambas proposiciones simples tienen valor de verdad verdadero. b) Valor de verdad falso, porque la primera proposicin simple tiene valor de verdad verdadero, pero la segunda tiene valor de verdad falso.

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Captulo I: LGICAc) a) Valor de verdad verdadero, porque ambas proposiciones simples tienen valor de verdad verdadero.

A continuacin resumiremos todos los valores de verdad que hemos ido desarrollando de acuerdo al tipo de proposicin compuesta que hemos estudiado. La forma simplificada de hacerlo es a travs de una tabla de verdad, en la que se toman en cuenta todas las posibilidades de combinacin de las proposiciones, as:

V V F F

V F V F

V F F F

V V V F

V F V V

V F F V

F V V F

Entonces, esta Tabla de Verdad es muy til para encontrar el valor de verdad de las proposiciones compuestas. Ejemplo: Halle el valor de verdad de verdad de la siguiente proposicin compuesta:

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Captulo I: LGICASolucin: Para determinar el valor de verdad de la proposicin compuesta anterior, se construye la siguiente Tabla de Verdad. En cada columna de la tabla se escribe el valor de verdad de cada una de las proposiciones respectivamente, como sigue: Primera forma:

V V F F

V F V F

V F F F

V F V V

F V F F

F F V V

Tambin se puede hacer as: ) V V F F V F F F V F V F F F V V F V F F ( V V F F V F V V V F V F

La respuesta de esta operacin es la columna en amarillo Fjate que en la primera forma de hacer la tabla, se la hace como las operaciones aritmticas, paso a paso, resolviendo primero los parntesis y luego uniendo todas proposiciones al final, donde la respuesta corresponde a la construccin de TODA la proposicin En cambio, en la segunda forma, se hace directo, poniendo los valores de verdad debajo de cada conectiva, tomando en cuenta las operaciones en los parntesis, de tal manera que la columna de la respuesta queda debajo de la10

Captulo I: LGICAconectiva principal. En todo caso, el resultado es el mismo, as que tienes que escoger la manera que mejor te parezca. Estas y otras proposiciones compuestas se llaman frmulas lgicas, y pueden ser tautologas, cuando todos los resultados son verdaderos, y

contradicciones, cuando todas sus resultados son falsos. En el ejemplo anterior no es ninguna de las dos, puesto que NO TODOS LOS VALORES SON VERDADEROS O FALSOS. Como ejercicio prueba que la proposicin compuesta: es una tautologa Para finalizar, y de acuerdo a los resultados obtenidos en la Tabla de Verdad se puede resumir que: Reglas para decidir el valor de verdad de una proposicin compuesta.1. Si las proposiciones simples estn unidas por la conjuncin, entonces la proposicin compuesta es verdadera solamente cuando ambas proposiciones simples son verdaderas. 2. Si las proposiciones simples estn unidas por la disyuncin, entonces la proposicin compuesta es falsa nicamente cuando ambas proposiciones simples son falsas. 3. Si las proposiciones simples estn unidas por implicacin, entonces la proposicin compuesta es falsa solamente cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. 4. Si las proposiciones simples estn unidas por equivalencia, entonces la proposicin compuesta es verdadera cuando ambas proposiciones simples tienen el mismo valor de verdad, es decir, son ambas verdaderas o ambas falsas.

Despus de este resumen, estamos listos para comenzar a resolver ejercicios.

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Captulo I: LGICA

EJERCICIOS RESUELTOS1. Dadas las siguientes expresiones selecciona las que sean

proposiciones. a. Incorprate b. c. Las frutas son dainas para el consumo humano. d. Todos los mamferos vuelan s y solo si 3 + 2 = 5. e. f. Espaa es la capital de Europa. g. Si 4 es mltiplo de 2 entonces el nmero 1 es primo Respuesta: Son proposiciones los incisos: b, c, d, e, f, g. 1.1 Clasifcalas de acuerdo a su composicin. Indica en cules se

utilizaron conectivos lgicos, y cules fueron los utilizados. Son proposiciones simples: b, c, f. Son proposiciones compuestas: d, e, g (en estas se utilizaron los conectivos lgicos s y solo si, o y si, entonces respectivamente). 1.2 Establece el valor de verdad de cada proposicin simple. Despus indique el valor de verdad de las proposiciones compuestas. Respuesta:Proposiciones simples Proposiciones compuestas b. Valor de verdad verdadero c. Valor de verdad falso d. Proposicin simple: Todos los mamferos vuelan. Valor de d. Valor de verdad verdad falso. falso 12

Captulo I: LGICAProposicin simple: 3 + 2 = 5 Valor de verdad verdadero.

e. Proposicin simple: 1/3 = 0.3 Valor de verdad falso Proposicin simple: 1/3 f. Valor de verdad falso g. Proposicin simple: 4 es mltiplo de 2. Valor de verdad verdadero Proposicin simple: el nmero 1 es primo. Valor de verdad falso Valor de verdad verdadero.

e. Valor de verdad verdadero

g. Valor de verdad falso

2. Resolver el siguiente problema: Cuatro nios jugaban en el parque, cuando uno de ellos tir una pelota que rompi un vidrio de un auto. El dueo del auto les reclam a los nios quin haba sido el autor de tal fechora. Juan contest: yo no fui. Pedro contest: fue Luis. Luis contest: fue Alfonso Alfonso contest: fui yo. Quin tuvo la culpa, si se sabe que solo Juan dijo la verdad. Respuesta: A cada proposicin que hace cada nio la identificaremos con la letra inicial de cada nombre. Proposicin Valor de verdad J P L A V F F F Resultado No fue Juan No fue Luis No fue Alfonso No fue Alfonso

Conclusiones: Quien rompi el vidrio con la pelota fue Pedro.

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Captulo I: LGICA

3. Encuentra la tabla de verdad de la siguiente proposicin compuesta:

Respuesta:

V V F F

F V F F

F V F V

F F F F

F F V V

V F V V

V F V F

EJERCICIOS PROPUESTOS1. Determina EL VALOR DE VERDAD de las siguientes proposiciones: 1. La luna es un satlite y pertenece al sistema solar. 2. Si entonces

3. Todos los nmeros racionales son enteros y reales. 4. El rea de un tringulo regular es la mitad de la de un rectngulo, s y solo si el rectngulo y el tringulo tienen igual base. 5. 6. La Biblia es el libro ms antiguo que se conoce. 7. Ro de Janeiro ser la sede de las Olimpiadas del 2016 y Australia es una regin de frica. 8. Si el chimpanc es un mamfero, entonces sabe trepar rboles. 9. 10. 11. 12. 13. 14. El ltimo terremoto en Japn tuvo una escala de 7.9 en la escala Richter o Plutn es un planeta 15. Todo nmero entero elevado al cuadrado es positivo14

s, y solo si

es mltiplo de

Captulo I: LGICA2. Escribe (invntate) una proposicin para cada caso que forme: a. Una conjuncin con valor de verdad verdadero. b. Una disyuncin con valor de verdad falso. c. Una implicacin con valor de verdad verdadero. d. Una equivalencia con valor de verdad falso.

3. Construir las tablas de verdad de las siguientes proposiciones. 1. 2. 3. 4. Resolver el siguiente problema. La profesora detuvo a Jos, Aldo, Juana y Emma, pues estaban seguros de que uno de ellos haba roto el jarrn del saln de clases. Al ser interrogados estas fueron sus declaraciones: Jos: - Fue Aldo. Aldo: - Fue Emma. Juana: - Fui yo. Emma: - Yo no fui. Si se sabe que slo Emma dice la verdad. Quin rompi el jarrn? 5. Un pastor tiene que pasar un lobo, una cabra y una lechuga a la otra orilla de un ro, dispone de una barca en la que solo caben l y una de las otras tres cosas. Si el lobo se queda solo con la cabra se la come, si la cabra se queda sola con la lechuga se la come, cmo debe hacerlo?

6. Un hombre esta al principio de un largo pasillo que tiene tres interruptores, al final hay una habitacin con la puerta cerrada. Uno de estos tres interruptores enciende la luz de esa habitacin, que esta inicialmente apagada. Cmo hizo para conocer que interruptor enciende la luz recorriendo una sola vez el trayecto del pasillo? Pista: El hombre tiene una linterna.15

Captulo I: LGICA

7. Un prisionero est encerrado en una celda que tiene dos puertas, una conduce a la muerte y la otra a la libertad. Cada puerta est custodiada por un vigilante, el prisionero sabe que uno de ellos siempre dice la verdad, y el otro siempre miente. Para elegir la puerta por la que pasara solo puede hacer una pregunta a uno solo de los vigilantes Cmo puede salvarse? NOTA: PARA LAS PREGUNTAS 5, 6 Y 7, es preferible que NO CONSULTEN EN INTERNET, y si lo hacen cuiden de no copiar y pegar porque la nota ser CERO en ese caso.

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Captulo I: LGICA BIBLIOGRAFA Bosch, Carlos, Gmez Claudia lgebra Ed. Santillana S.A. Mxico, 2006. Cuenca, Irene Qu puedes concluir? Historias con el Clculo de Proposiciones Escuela Politcnica Nacional, Quito 1998. Chvez, Hugo; Salgado, Diana; y otros Introduccin al Clculo. Edicin para el Docente. Ed. Santillana S.A., Bogot, 2004. http://eduardoochoa.com/joomla/content/blogcategory/32/96/ http://es.wikipedia.org/wiki/Lgica_matemtica http://recursostic.educacion.es/descartes/web/ http://www.mister-wong.es/groups/+Galois/

http://www.pdf-search-engine.com/ejercicios-de-logica-pdf.html http://www.terra.es/personal8/rafaelvm/uned/lomat/logica%20matematica.p df Kstikova, Margarita; Trujillo, Juan Carlos Quin pagar al cuclillo? El Tercero-no-excluido Escuela Politcnica Nacional, Quito 2002. Kstikova, Margarita; Trujillo, Juan Carlos El error de Prometeo. El Cuarto Indemostrable de Crisipo Escuela Politcnica Nacional, Quito 2001.

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