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Nombre de la asignatura Lgica de Programacin

Crditos Acadmicos 3 Crditos

Nmero y Nombre del Modulo Mdulo 1 Pensamiento lgico y Pensamiento Lateral

Autor Mauricio Vergara Vergara

Introduccin

La programacin de computadores como base para el desarrollo de sistemas de informacin exige de parte del profesional o desarrollador un conjunto de competencias y habilidades especiales. Algunas de ellas, probablemente vienen con l, pero otras pueden ser desarrolladas y aprendidas a travs de la prctica y la escritura de programas. Ahora bien, todo programador debe tener entre su arsenal ciertos elementos lgicos que le permitan abstraer, analizar, definir y documentar las diferentes soluciones a los problemas que a diario enfrenta. Por ello es necesario revisar con detenimiento esos elementos que comprenden aspectos de lgica y ciertos conocimientos acerca de algortmica y diagramacin. En este primer mdulo del curso revisaremos inicialmente algunas teoras no tradicionales sobre el pensamiento humano como elemento bsico para encontrar otras formas de solucin a los problemas cotidianos. La forma de pensar en el terreno de las ciencias exactas y de la ingeniera tradicionalmente entraa el uso del razonamiento lgico. Sin embargo, lo que normalmente se ensea como mecanismo lgico de pensamiento: reconocimiento de patrones, extraccin de caractersticas generales (abstraccin), agrupamiento de conceptos y anlisis de situaciones puede no ser un esquema completo y eficaz para todo tipo de situaciones. Para Edward de Bono, El pensamiento es mucho ms que la operacin visible de una inteligencia innata; es una habilidad que se aprende y, en definitiva, que puede ser desarrollada. Adems seala que algunas veces es necesario un cambio de esquemas mediante el error, el accidente y el humor. Es por ello que en la primera seccin de este modulo introduciremos los elementos esenciales de la propuesta del Profesor Bono denominada comnmente pensamiento lateral. El pensamiento lateral es una habilidad que todos poseemos y que puede ser desarrollada a travs del entrenamiento y utilizando un enfoque abierto a la solucin de problemas.

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Competencias de la asignatura

Comprende otras alternativas tales como el pensamiento lateral como herramientas para definir soluciones a problemas concretos Desarrolla habilidades mentales para la comprensin y solucin de problemas en un entorno real con un enfoque lgico. Comprende las diferencias entre el pensamiento lgico (Vertical) y el pensamiento lateral como mecanismos validos del ser humano para generar soluciones a problemas complejos y no complejos Comprende algunas estructuras lgicas y nociones bsicas de matemticas discretas que sean la base para el desarrollo de soluciones algortmicas

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Estructura Temtica

1. Pensamiento Lateral ........................................................................................... 5

1.1 Descripcin general ........................................................................................... 5

1.2 Objetivos ........................................................................................................... 6

1.3 Tcnicas sugeridas por el pensamiento lateral ................................................. 7

1.3.1 Tcnica de bsqueda y seleccin de alternativas .......................................... 7

1.3.2 Tcnica de revisin de supuestos ................................................................ 11

1.3.3 Tcnica de aplazamiento de juicios y opiniones ........................................... 14

2. Pensamiento lgico vertical ............................................................................... 15

2.1 Estructura Lgica del proceso de pensamiento ............................................... 15

2.2 Objetivos ......................................................................................................... 16

2.3 Procesos Lgicos ............................................................................................ 17

3. Pensamiento Lateral vs Pensamiento Vertical .................................................. 17

3.1 Comparativo .................................................................................................... 17

3.2 Relacin de Pensamiento Lateral y el Pensamiento Vertical con la programacin ........................................................................................................ 18

4. Introduccin a la Matemtica discreta ............................................................... 18

4.1 Nociones bsicas ............................................................................................ 18

4.2 Proposiciones simples y complejas ................................................................. 19

4.3 Calculo Proposicional ...................................................................................... 20

4.4 Introduccin a conjuntos.................................................................................. 24

4.5 Algebras de Boole ........................................................................................... 28

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Ideograma

Logica de Programacion

(modulo 1 )

Pensamiento Lateral

Descripcion General

Objetivos

Tecnicas

Ejemplos y ejercicios

Pensamiento Logico o Vertical

Estrcuctura Logica

Objetivos

Procesos logicos

Herramientas y Ejercicios

Pensamiento Lateral Vs Pensamiento Vertical y su

relacion con la programacion

Comparativo

Relacion con la programacion

Introducicion a la matematica discreta

Nociones basicas

Proposiciones simples y compuestas

Calculo proposicional

Introduccion a conjuntos

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1. Pensamiento Lateral

1.1 Descripcin general

Tal como se present en la introduccin, el pensamiento lateral es una fuente adicional que le permite a la persona entender otras maneras de comprensin y anlisis de los problemas y situaciones para su solucin posterior. El pensamiento lateral es el conjunto de procesos destinados al uso de informacin de modo que genere ideas creativas mediante una reestructuracin inteligente de los conceptos ya existentes en la mente (http://www.tideca.net/content/el-pensamiento-lateral-edward-de-bono-resumen) En la construccin de soluciones a problemas simples o complejos, el ser humano debe realizar un esfuerzo de pensamiento para estructurar la informacin, analizarla, sintetizarla y proponer cierto marco de accin enfocado a definir una o varias alternativas de accin. Por ejemplo, para la solucin del siguiente acertijo: Una piscina se llena en 30 das, y cada da se llena el doble que el anterior, qu da estar por la mitad? Normalmente, una persona que ha desarrollado su pensamiento lgico de manera convencional o tradicional tratara este problema tratando de hacer una elaboracin matemtica, algo as como hallar una sucesin y luego comenzar a calcular y hacer otro tipo de operaciones. Sin embargo el pensamiento lateral probablemente le permitir a la persona evitar el pensamiento lgico vertical y rgido e irse sencillamente al final cuando la piscina est llena en el da 30 y utilizar el hecho que cada da se llena el doble que el anterior para sencillamente deducir que el da 29 estara en la mitad. El pensamiento lateral est ntimamente relacionado con los procesos mentales de la perspicacia, la creatividad y el ingenio. Se trata de una forma definida de aplicar la mente a un tema o problema dado, oponiendo nueva informacin con ideas viejas. Se obtendra as una modificacin de la idea antigua como resultado de los nuevos conocimientos. La perspicacia entendida como la capacidad de entender cosas confusas o de ver ms all de lo aparente, es la base del ingenio y de la creatividad. La perspicacia y el ingenio se basan en una reestructuracin de los modelos, al igual que la creatividad, aunque sta exige ante todo la superacin del efecto restrictivo derivado de la rigidez de los modelos .

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1.2 Objetivos

El pensamiento lateral propende por el alejamiento de los modelos restrictivos de pensamiento como forma de aproximacin a la solucin de problemas y el alejamiento de los prejuicios que impiden ver la totalidad de un problema. Entonces, El pensamiento lateral tiene como funcin tambin la liberacin del efecto restrictivo de las ideas anticuadas. Ello conduce a cambios de actitudes y enfoques, a la visin diferente de conceptos inmutables hasta entonces. La liberacin del efecto moralizador de las viejas ideas y el estmulo de nuevas ideas es una doble funcin del pensamiento lateral. El objetivo del pensamiento lateral es desarrollar las capacidades innatas que todo individuo posee para su aplicacin en la vida diaria y evidentemente en actividades tales como el desarrollo de programas de computador. Tal como lo menciona Edward de Bono, se debe hacer esfuerzos por desarrollar actitudes de pensamiento lateral como un hbito mental sin importar la edad de la persona en cuestin. (Bono, Edward. Lateral Thinking: A textbook of creativity. Penguin Books 10). Ahora bien, el nimo en este documento de base para el desarrollo de las competencias de programacin, es llamar la atencin sobre otros enfoques no convencionales que pueden ser utilizados a lo largo de toda la vida profesional de un desarrollador. Una cuestin importante a resaltar es que el pensamiento lateral de ninguna manera quiere afectar o desconoce las virtudes del pensamiento lgico vertical. Aun mas, el pensamiento lateral es un mtodo de hacer este ultimo ms efectivo adicionndole el carcter creativo. Para entender los principios del pensamiento lateral es inevitable discutir un poco acerca de los mecanismos de la formacin de nuestros pensamientos y el funcionamiento de la mente del ser humano. El mecanismo esencial de los proceso de pensamiento tienen que ver con la forma en que sucede la transmisin de mensajes al interior del ser humano. Para facilitar las tareas de transmisin de informacin el ser humano utiliza cdigos que son basados en patrones preestablecidos. Sin embargo, en el cerebro no se trasmite toda la informacin referente al patrn ni el cdigo completo que est relacionado con un patrn especfico sino ciertas piezas (header) del cdigo. Este cdigo acta como un gatillo que dispara el mecanismo que permite identificar y traer el patrn completo. Siguiendo el ejemplo clsico de Edward de Bono en su libro, es como si se utilizara la descripcin de una determinada escena de una pelcula que permite alertar y traer todo el contenido general de la misma.

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1.3 Tcnicas sugeridas por el pensamiento lateral

Entre las mltiples tcnicas sugeridas por el pensamiento lateral para aprovechar las ventajas de los modelos estndar de pensamiento lgico pero evitar los bloqueos naturales del pensamiento vertical encontramos:

Bsqueda y seleccin de alternativas

Revisin de supuestos

Aplazamiento de juicios y opiniones

Aplazamiento del juicio

Fraccionamiento o divisin

Inversin A continuacin haremos una breve explicacin de cada una de ellas

1.3.1 Tcnica de bsqueda y seleccin de alternativas

Tal como lo menciona Edward de Bono el primer principio del pensamiento lateral est basado en el precepto consistente en que: cualquier modo de valorar una situacin es solamente uno de los muchos modos posibles de valorarla (Bono, Edward de Lateral Thinking: A textbook of creativity. Penguin Books. Capitulo 7) Si bien, el proceso de bsqueda de alternativas para la solucin de problemas forma parte tambin del pensamiento lgico p vertical. No obstante en el caso del pensamiento lateral, en lugar de, encontrar la mejor posible, el enfoque consiste en buscar el mayor nmero de alternativas posibles sin necesidad de asignarles un valor intrnseco real, por lo menos en primera instancia. Como lo menciona De Bono, la bsqueda en el enfoque vertical, se detiene cuando se encuentra la alternativa satisfactoria. En el pensamiento lateral se reconoce tambin la calidad de un enfoque satisfactorio, pero se contina la bsqueda de enfoques alternativos. Al final del proceso creador inicial se vuelve la mirada a dicho concepto prometedor para estudiarlo con ms detalle. Si tuvisemos la figura 1, como primer ejemplo, se trata de pensar en dicha forma y encontrar la interpretacin de la figura presentada. .

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Figura 1. Definiendo figuras (Tomado de Edward de Bono)

En esta caso particular, aplicando el pensamiento lateral no podemos creer que existe una sola alternativa para la apreciacin de la figura y se pueden tener diversas hiptesis sobre la interpretacin de la figura. Para algunos se puede tratar de la figura de una casa (opcin b) o por lo menos del frente de una casa, mientras que para otros puede tratarse de un tringulo y un cuadrado organizados el uno encima del otro (opcin a). O tambin podra pensarse que se trata de un rectngulo con las puntas recortadas (opcin c). Estas tres alternativas se ilustran en la siguiente ilustracin

Figura 2. Alternativas de solucin a la interpretacin de la figura geomtrica

Se trata, tal como se defini al comienzo, encontrar las posibles alternativas para interpretar la figura en este caso. Ms aun, cuando en programacin formulamos problemas especficos, existirn mltiples opciones para encontrar las soluciones y el desarrollador deber formular diversas alternativas.

Opcin a Opcin b Opcin c

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En la figura 3, se plantea como ejercicio la pregunta: Como puede definirse la figura de la parte superior. En el transcurso del curso se implementara un foro con la participacin de cada uno de los alumnos del curso, con el fin de promover y encontrar las diferencias en cuanto a la aplicacin del pensamiento lateral y el pensamiento vertical. El docente iniciara la discusin y proveer diferentes explicaciones en caso de que los estudiosos no se atrevan a dar el primer caso. Una vez se encuentren los primeros aportes se continuara hasta encontrar un consenso si lo puede haber o sencillamente hasta haber recorrido diferentes etapas del pensamiento y haber reflexionado sobre cmo han sido cada una de ellas.

Figura 3. Definiciones alternativas para una figura. (Tomado de Edward de Bono Lateral Thinking: A textbook of creativity. Penguin Books. Pag. 80)

A continuacin, encontraremos un segundo ejercicio de interpretacin sobre la Figura No.4. Al igual que en el ejercicio anterior se trata de encontrar a travs de un dialogo o discusin virtual, una posible definicin y/o explicacin sobre la figura No. 4. Los estudiosos conjuntamente con el docente trabajaran sobre las posibles definiciones de esta figura haciendo uso de alguna de las herramientas de discusin virtual existentes en la plataforma.

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Figura 4. Definiendo la figura (Tomado de Edward de Bono)

El tercer ejercicio propuesto, es referente a la definicin de la Figura No. 5. En forma similar se trata de un ejercicio en grupo para definir la forma en cuestin.

Figura 5. Definicin de Formas Tomado de Edward De Bono

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Como forma alternativa pero simtrica, podremos en vez de definir algo que estamos viendo, disear o hacer algo a partir de una definicin. Los siguientes ejercicios facilitaran mejor la comprensin de la alternativa anterior. El primer ejercicio ser como dividir un cuadrado en cuatro partes iguales. El Segundo ejercicio ser con respecto a la Figura No.6, formular hiptesis posible sobre lo que ocurre en esta figura. El objetivo es encontrar opciones posibles para explicar lo que se aprecia en la figura.

Figura 6. Situacin a describir (Fuente de la imagen: http://imageshack.us/)

1.3.2 Tcnica de revisin de supuestos

El segundo tema subyacente en cuanto a las tcnicas del pensamiento lateral lo constituye la revisin de supuestos. Es normal, por lo menos en el pensamiento lgico o vertical, que en la solucin de problemas se utilicen modelos preestablecidos o estereotipos. Tal como lo menciona Edward De Bono, Los estereotipos constituyen un modo clsico de analizar las cosas y de describirlas. Ellos, los estereotipos, son supuestos lgicos que se aceptan como vlidos en s mismos. No obstante el pensamiento lateral hace un lado este modo de percibir y construir los modelos y permite poner en tela de juicio la validez de los supuestos e invita a su reestructuracin. Podemos ilustra esto con un ejemplo-ejercicio, tal vez muy trillado y conocido pero que conduce a reconocer como en nuestras alternativas y en la construccin de soluciones tendemos a utilizar nuestros juicios y de alguna

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manera establecer lmites que nos impiden llegar a soluciones de manera ms fcil y expedita. En el siguiente ejercicio se pretende poder conectar los nueves puntos, ilustrados en la figura No. 5, utilizando cuatro rectas pero sin levantar el lpiz del papel.

Figura 7. Ejercicio de Revision de Supuestos Conexin de 9 puntos con 4 lineas

sin levantar el lapiz. Tomado de Edward de Bono

El estudioso podr comenzar a ensayar utilizando lpiz y papel. Sin embargo en la construccin de la solucin lo normal es que cada persona considere nicamente la conexin de los puntos alcanzando exactamente cada uno de ellos, es decir, respetando los lmites impuestos por ellos mismos. Una vez nuestro cerebro prescinde de pensar en que cada punto puede o es en s mismo el final de una de las rectas y que ellas pueden trascender y llegar ms all de ellos la solucin resulta evidente y alguien dira trivial. Son estos lmites impuestos por nuestro cerebro los que muchas veces impiden vislumbrar otras alternativas de solucin a los problemas y la escogencia eficiente de soluciones a nuestros problemas. El pensamiento lateral hace una clara invitacin a eliminar este tipo de barreras y considerar la reestructuracin de los mismos como elemento esencial en la bsqueda y el diseo de nuevas alternativas.

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Figura 8. Solucin ejercicio Revisin de Supuestos

A continuacin se formulara un segundo ejemplo-ejercicio para trabajar con los estudiosos con el nimo de practicar la tcnica de revisin de supuestos. Se trata de pensar y desarrollar alternativas para la siguiente situacin. Se tienen cuatro (4) cajas de fsforos y se plantea ejecutar las acciones para:

1. Colocarlas de manera que cada una toque a otras dos 2. Organizarlas de manera que una caja toque a otra, otra toque a dos ms y

una tercera toque a tres de ellas 3. Colocarlas de modo que cada pieza toque a otras tres 4. Colocarlas de modo que cada una toque otra caja

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1.3.3 Tcnica de aplazamiento de juicios y opiniones

A continuacin explicaremos otra tcnica considerada en el portafolio del pensamiento lateral. En el pensamiento lgico vertical se parte de escoger racionalmente la mejor alternativa posible siempre teniendo en cuenta nuestros prejuicios y aplicando un esquema repetitivo de juicio crtico que valora nuestro conocimiento anterior y descarta de facto cualquier otra posibilidad que vaya en contra de dicho mecanismo. En el caso del pensamiento lateral se trata de poder contar con un portafolio suficiente de alternativas sin aplicar de entrada algn juicio crtico para alguna de ellas. Como lo dice Edward de Bono, en el pensamiento lateral se prescinde de valorar la correccin de las ideas en el proceso de su elaboracin; no se valoran ni su utilidad prctica ni su validez lgica. Solo despus de obtenerse un nmero considerable de ideas laterales se procede a formalizar un juicio crtico. El seguimiento de un proceso estricto de seleccin y descarte de ideas a partir del hecho de si se consideran o no correctas puede conducir a no encontrar al menos una idea que nos lleva a la solucin de un problema. Como lo menciona Edward de Bono, los principales peligros del requisito de una correccin constante de las ideas son los siguientes: El convencimiento en la correccin de las ideas propias , como consecuencia

de su encadenamiento lgico, hace que no se preste suficiente atencin a la posibilidad de que la premisa original fuese errnea

Una idea incorrecta que hubiera conducido a una conclusin til es desechada porque careca de base en el estadio primario de su desarrollo.

Se parte del supuesto que una idea solida es adecuada, bloqueando la posible

creacin de una idea ms eficaz

La importancia que se confiere a la correccin lgica se convierte en factor inhibidor ante el temor de cometer errores

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.

2. Pensamiento lgico vertical

Hasta ahora hemos explicado algunos conceptos del pensamiento lateral y en gran medida nos hemos valido de las comparaciones con el pensamiento vertical o lgico. Ahora, ha llegado el momento de concentrar nuestra atencin en alguna caracterizacin formal de los procesos de pensamiento convencional o lgico vertical.

2.1 Estructura Lgica del proceso de pensamiento

El proceso estndar de pensamiento involucra cuatro etapas o fases: abstraccin, generalizacin, juicio y raciocinio. Cada una de ellas representa la aplicacin de nuestra mente en la comprensin de situaciones y la bsqueda de soluciones a problemas abstractos o simples. La primera etapa, la abstraccin, consiste en distinguir y dibujar las propiedades o atributos que caracterizan un objeto, persona o cosa. Por ejemplo, podemos percibir un rbol como un conjunto de ramas o percibir un len con relacin al concepto de fortaleza (strength) si en algn momento este tiene algn significado para la persona. Por tanto, el pensamiento es un acto de abstraccin y la idea pensamiento es una idea abstracta. La segunda etapa, la generalizacin, comprende el proceso de formar el concepto o idea general. Para ello, la persona determina cuales son las cualidades generales que caracterizan un grupo de objetos, personas o cosas. Un concepto general se diferencia de un concepto especifico en que este incluye en s mismo las cualidades no solo de un objeto en particular sino de muchos objetos. La expresin de una generalizacin es llamada concepto. The art of logical thinking Roger L. Cole. La tercera etapa, juicio, involucra todo aquello que permite la comparacin de 2 objetos, personas o cosas, y por consiguiente percibir el acuerdo o desacuerdo. Por ejemplo, en la comparacin de los conceptos caballo y animal y percibiendo cierta similitud, llegamos a formar el juicio expresado por: Un caballo es un animal. La expresin del juicio se denomina proposicin. Finalmente, el raciocinio, consiste en el proceso de comparar dos objetos, personas o cosas, en cuanto a su relacin con un tercero. Por tanto podemos raciocinar de la siguiente manera: a. todos los mamferos son animales b. Un

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caballo es un mamfero y por tanto c. un caballo es un animal. El principio fundamental del raciocinio consiste en la comparacin de dos objetos de pensamiento a travs y por medio de su relacin con un tercer objeto. La forma natural de expresin de este proceso de raciocinio es el silogismo. En cualquiera de estas etapas, es necesario utilizar los procesos de anlisis y sntesis. El anlisis significa aislar del objeto de pensamiento, las partes constituyentes, sus cualidades y sus relaciones. La sntesis, simtricamente, constituye la posibilidad de a partir de las cualidades, atributos y relaciones de un objeto poder llegar a construir el todo. Estos dos procesos se encuentran subyacentes a cualquier proceso de raciocinio. La Abstraccin es principalmente analtica, la generalizacin o concepcin principalmente es sinttica, mientras que el juicio puede a su vez ser o analtico o sinttico. El raciocinio puede ser de dos clases: inductivo o deductivo. El raciocinio inductivo desprende verdades generales a partir de verdades particulares, mientras que el raciocinio deductivo hace lo contrario, encontrando verdades particulares a partir de verdades generales.

2.2 Objetivos

El pensamiento lgico o vertical pretende encontrar una forma sistemtica y racional para la bsqueda de ideas, la solucin de problemas y en general para poder comprender y entender el mundo que nos rodea. Uno de los objetivos ms importantes que se trazan los mtodos de pensamiento vertical es encontrar una nica solucin a los problemas, utilizando los procesos de pensamiento mencionados anteriormente. Es decir, el pensamiento vertical se caracteriza por utilizar intensivamente los procesos de anlisis y razonamiento. Los objetivos que se traza son encontrar por medio de las 4 etapas mencionadas en la seccin anterior la caracterizacin de los problemas, la delimitacin de una alternativa y haciendo uso de la experiencia y el juicio determinar una solucin vlida y en ocasiones ptima. En todo este proceso tambin se busca integra y utilizar la informacin enmarcndola siempre en modelos preexistentes.

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2.3 Procesos Lgicos

En general podemos dividir el proceso de pensamiento en las siguientes estructuras bsicas (Referencia: www.itescam.edu.mx/principal/.../r61347.DOCX )

1. Generacin de propsitos 2. Planteamiento de preguntas 3. Uso de informacin 4. Uso de conceptos 5. Uso de inferencias 6. Formulacin de supuestos 7. Generacin de implicaciones 8. Incorporacin de puntos de vista

3. Pensamiento Lateral vs Pensamiento Vertical

3.1 Comparativo

A continuacin haremos un breve recuento de las similitudes y diferencias entre pensamiento lateral y pensamiento vertical. Hasta ahora hemos recorrido brevemente los diferentes aspectos esenciales del pensamiento lateral y el pensamiento vertical. Hemos resaltado ciertas semejanzas y puntos de encuentro entre estos dos enfoques de pensamiento. Aprovechando un artculo muy interesante del Doctor Antonio Domingo (Fnix Media. http://www.fenixmedia.com), a continuacin incluimos una tabla de las diferencias ms importantes entre pensamiento lateral y vertical:

Pensamiento Vertical Pensamiento Lateral

El pensamiento vertical se mueve slo si hay una direccin en que moverse.

El pensamiento lateral se mueve para crear una direccin.

El pensamiento vertical sabe lo que est buscando.

El pensador lateral busca pero no sabe lo que busca hasta que lo encuentre.

El pensamiento vertical es analtico. El pensamiento lateral es provocativo

El pensamiento vertical se basa en la secuencia de las ideas.

El pensamiento lateral puede y debe efectuar saltos.

En el pensamiento vertical se usa la negacin para bloquear bifurcaciones

En el pensamiento lateral no se rechaza ningn camino y se exploran todos por absurdos que parezcan

En el pensamiento vertical se excluye lo En el pensamiento lateral se investiga

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que parece no relacionado con el tema. hasta lo que parece totalmente ajeno con el tema

En el pensamiento vertical las categoras, clasificaciones y etiquetas son fijas

En el pensamiento lateral nunca lo son.

En el pensamiento vertical se siguen los caminos ms evidentes.

En el pensamiento lateral se buscan las menos evidentes

El pensamiento vertical es un proceso finito.

El pensamiento lateral es un proceso probabilstico.

3.2 Relacin de Pensamiento Lateral y el Pensamiento Vertical con la programacin

Los procesos de pensamiento son fundamentales en la solucin de problemas sin importar que tipo de enfoque de pensamiento se utilice y cuales tcnicas se aplican para encontrar las alternativas. No obstante una combinacin eficaz de pensamiento lgico o vertical junto con el enfoque creativo ofrecido por el pensamiento lateral permitir a cualquier persona enfrentar con mayor confianza y eficiencia la solucin de diversos tipos de problemas. Evidentemente, la programacin de computadores involucra la comprensin de sistemas y procesos de alta complejidad y por consiguiente contar con un arsenal de elementos y tcnicas tales como los ofrecidos por el pensamiento vertical y el pensamiento lateral sern de valiosa ayuda. La posibilidad de analizar un problema y encontrar las piezas que lo constituyen o lo explican facilitara la tarea subsiguiente de determinar la solucin y poder disear un algoritmo que al final se convierta en un programa de computador.

4. Introduccin a la Matemtica discreta

4.1 Nociones bsicas

En esta seccin introduciremos algunos conceptos claves de matemticas discretas que son elementos clave de xito para la iniciacin en el mundo de la programacin. Las matemticas discretas son una rama de la matemtica encargada de estudiar los conjuntos discretos finitos o infinitos numerables. Las matemticas discretas tienen como objeto el estudio de aquellas estructuras que pueden contarse individualmente. Entre los tpicos ms importantes de la matemtica discreta encontramos:

Teora de conjuntos

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Teora combinatoria Teora de grafos Teora de distribuciones de probabilidad discretas Teora de nmeros Algebra Calculo de diferencias finitas Geometra Topologa Investigacin de Operaciones Teora de juegos Discretizacion Informtica Terica Teora de la Informacin lgica

4.2 Proposiciones simples y complejas

En el presente modulo introduciremos brevemente algunos elementos puntuales referentes a los siguientes temas: lgica, conjuntos y algebras de Boole. En primer trmino tocaremos algunos aspectos de la lgica proposicional: Una proposicin matemtica consiste en una frase simple o compuesta (conjuncin o disyuncin) a la cual podemos asignar un valor de verdad: Verdadero o Falso. Por ejemplo:

1. Carlos es alto 2. Colombia es un pas con dos costas 3. El numero uno es el primer nmero natural 4. Si y = 3 entonces y2 = 9

Por el contrario las siguientes frases no constituyen una proposicin:

1. Ojal que llueva hoy 2. x > 2 y x < 1

El ejemplo anterior incluye una variable y por tanto como no tiene un valor asignado no podemos determinar el valor de verdad para la frase. Como se ha utilizado en el prrafo anterior, el valor de verdad de una proposicin puede ser verdadero o falso. En el siguiente grupo de ejercicios se pretende determinar si son proposiciones o no:

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1. Bolvar fue el libertador de cinco naciones 2. 3 + 3 = 7 3. Abre la ventana 4. x 5

Evidentemente la primera frase es una proposicin pues podemos asignar un valor de verdad Verdadero. Igualmente la segunda frase asume un valor de verdad Falso. Sin embargo, la tercera frase no es posible asignarle un valor de verdad. Similarmente la cuarta frase incluye una variable a la cual no se le asigna un valor y por consiguiente la frase no puede asignar un valor de verdad determinado. Existen dos tipos de proposiciones: simples y complejas. Hasta el momento, hemos utilizado solamente ejemplos de proposiciones simples. Ahora introduciremos la nocin de una proposicin compleja y los llamados conectores lgicos. La siguiente frase:

Hoy es domingo y llueve Es una proposicin compleja compuesta de dos frases:

hoy es domingo y llueve

Adems, posee un conector lgico: y.

4.3 Calculo Proposicional

Para muchos temas importantes de la Ingeniera de software tales como: programacin , bases de datos, lgica digital ser fundamental el conocimiento de las leyes que rigen el clculo proposicional y el manejo de la simbologa utilizada. Existen varios conectores lgicos utilizados intensivamente en la lgica matemtica y constituyen la base del diseo de la lgica de diferentes componentes de computador. A continuacin introduciremos los principales y agregaremos las tablas de verdad correspondientes, es decir las reglas que permiten determinar si una proposicin compleja que contiene dos frases y alguno de estos conectores lgicos asume un valor verdadero o falso. Inicialmente, miraremos la disyuncin, que est asociada con el conector lgico o (simbolizada por o ||). Su tabla de verdad es la siguiente:

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p q p q V V V

V F V

F V V

F F F

Como se puede apreciar en la tabla de verdad de la disyuncin, hay cuatro valores de verdad de p y de q que corresponden a las cuatro filas de la tabla. La segunda fila indica que si p es verdadera (V) y q es falsa (F) entonces p o q es verdadera (V). As mismo, la cuarta fila indica que cuando p es Falsa y q es Falsa la disyuncin p o q asume el valor de verdad Falso (F). En seguida, tenemos la tabla de verdad de la conjuncin

p q p q V V V

V F F

F V F

F F F

En este caso, teniendo como base la proposicin p y la proposicin q, se define una proposicin compuesta utilizando el conector lgico y. Decimos que la proposicin p y q asume el valor verdadero (V) si ambas proposiciones son verdaderas (V) y es falsa (F) en caso contrario. Por otra parte tenemos dos conectores lgicos extremadamente importantes. Uno de ellos es el de equivalencia o bicondicional (si y solo s), cuya tabla de verdad es

p Q p es equivalente a

q V V V

V F F

F V F

F F V

Al igual que en el caso anterior utilizando dos proposiciones simples construimos una proposicin compuesta del tipo: p es equivalente a q o p si y solo si q. Este tipo de proposicin asume un valor Verdadero solamente en el caso en que las dos proposiciones simples tengan el mismo valor de verdad ya sea falso (F) o verdadero (V), es decir en otras palabras, la proposicin p es equivalente a q es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad y falsa en caso contrario.

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El otro conector lgico fundamental en la lgica matemtica es la implicacin. A partir de las proposiciones p y q formamos la proposicin compuesta p implica q. El valor de verdad e la implicacin se define como: la implicacin es falsa solamente cuando la hiptesis p es verdadera mientras que la conclusin q es falsa. La siguiente es la tabla de verdad de la implicacin:

p q p implica q V V V

V F F

F V V

F F V

Adicional a estos cuatro conectores lgicos, existe el conector lgico negacin. A partir de una proposicin p se forma una nueva proposicin no p. La proposicin no p es verdadera cuando p es falsa, y falsa cuando p es verdadera La tabla de verdad de la negacin es:

P No p

V F

F V

Adems de la formulacin de proposiciones y el uso de conectores, es comn usar los parntesis para poder agrupar las expresiones. El uso de estos smbolos permite diferenciar las expresiones. Si tenemos las siguientes proposiciones: p: hoy es lunes q: el cielo est despejado r: hoy hay luna llena Entonces, no es lo mismo la proposicin p (q r) que la proposicin (p q) r. La primera se lee hoy es lunes o si el cielo est despejado entonces hoy no hay luna llena, mientras que la segunda se leera si hoy es lunes o el cielo est despejado entonces hoy no hay luna llena. (Fuente: Briand, Emmanuel J. Introduccin a la matemtica discreta. Universidad de Sevilla. 2011). Ahora bien, para cualquier proposicin compleja se puede construir una representacin utilizando un rbol. En las hojas del rbol se colocan las proposiciones simples y cada nodo (donde convergen las ramas) constituir una expresin compuesta. Para el caso del ejemplo mencionado anteriormente tendremos:

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En lgica matemtica se tienen una serie de leyes que facilitan el tratamiento de proposiciones complejas y permiten acortar el camino cuando se quiere dar un valor de verdad. Ellas son:

Nombre Definicin

Ley de la doble negacin

p p

Leyes de Morgan (pq) p q (p q) p q

Conmutatividad de la conjuncin y la

disyuncin

pq q p p q q q

Asociatividad de la disyuncin y la

conjuncin

(pq) r p (qr) (pq) r p (qr)

Distributividad de las operaciones

p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r)

Leyes de Idempotencia

p p p p p p

v y f son neutros

para y p f p p v p

Leyes de dominacin p v v p f f

Leyes de los inversos

p v p p f p

Leyes de absorcin p (p q) p p (p q) p

p (q r )

p q

r

r

q r

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En la seccin correspondiente encontrara una serie de ejercicios que le permitirn adquirir una familiaridad con el tratamiento de proposiciones y el uso de las leyes de lgica proposicional

4.4 Introduccin a conjuntos

A continuacin haremos una presentacin de las nociones bsicas de conjuntos, las cuales permitirn al estudiante una comprensin general de las relaciones que pueden existir entre ellos y posteriormente poder entender algunos problemas de programacin directamente ligados a dichas nociones. Inicialmente, diremos que un conjunto es una coleccin de elementos, los cuales puede ser similares o distintos. Un conjunto se puede definir por comprensin o por extensin. Cuando definimos un conjunto por extensin lo hacemos enumerando uno a uno sus elementos. Por ejemplo podemos definir el conjunto de elementos 2, 4, 6, 8,10. Para hacerlo matemticamente entenderemos que le demos asignar una letra en general Mayscula para designarlo, seguida de un corchete que contendr cada uno de los elementos. Para el caso del conjunto que nos ocupa tendremos: A = {2, 4, 6, 9, 10} Los elementos que forman parte del conjunto se dice que pertenecen a l y se denota por el smbolo de pertenencia . Entonces, diremos que el elemento 2

A pertenece al conjunto A y el elemento 12 A no pertenece al conjunto A. Ahora bien en trminos de notacin es diferente mencionar 1 que {1}. En el primer caso nos referimos al elemento 1, mientras que en segundo caso estamos identificando un conjunto cuyo nico elemento es el 1. Ejemplo de conjuntos pueden ser los siguientes: {(1,4), (3,2),(1,1)} Un conjunto de parejas de nmeros { t, w, z } Un conjunto de variables {cos, tan, cot } Un conjunto de funciones trigonomtricas La segunda forma de enunciar un conjunto es por comprensin, es decir mencionando una caracterstica de cada uno de los elementos. Por ejemplo: el conjunto de los nmeros primos, el conjunto de mares del mundo, el conjunto de cardenales de la iglesia catlica etc. Otra manera de expresar un conjunto por comprensin es la siguiente:

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C = {n | n es un numero entero y n > 2 y n < 9} Con este tipo de notacin queremos decir {n} el conjunto de los n tal que y luego se menciona la caracterstica de los elementos. Ahora bien, un conjunto puede ser finito infinito. El nmero de elementos de un conjunto finito se le llama cardinalidad del conjunto. Por ejemplo, para cualquiera de los conjuntos mencionados anteriormente (por extensin) su cardinalidad es 3. Tambin existen dos conjuntos muy importantes, el conjunto vacio denotado por y el conjunto universal denotado comnmente por . El primero de ellos lo constituye un conjunto sin elementos, mientras que el segundo es un concepto que permite denotar la unin de todos los subconjuntos de un conjunto o un conjunto referencial. Algunas operaciones que podemos tener para conjuntos son la interseccin, la unin, la diferencia, la diferencia simtrica y el complemento. Antes de explicar cada una de ellas debemos definir la nocin de subconjuntos. Si tenemos dos conjuntos A y B, se dice que A es un subconjunto de B si todo elemento de A es

tambin elemento de B y se utiliza la notacin A B (A est contenido en B o B contiene a A). Ejemplo: Sean los conjuntos A, B, C como a continuacin se definen por extensin: A = {a,e,i,o,u} B = {i,u} C = { a,e,o} Definidos por comprensin tendramos: A = {x | x es una vocal} o el conjunto de las vocales (teniendo como referencia el Espaol como lengua) B = {x | x es una vocal cerrada} o el conjunto de las vocales (teniendo como referencia el Espaol como lengua) C = {x | x es una vocal abierta} o el conjunto de las vocales (teniendo como referencia el Espaol como lengua)

Para estos conjuntos podemos afirmar que: B A y tambin que C A. Tambin podemos decir que los subconjuntos de B son , {i}, {u} y {i,u}. As mismo, para el conjunto C podemos afirmar que tiene los siguientes subconjuntos , {a}, {e} y {o} {i}, {a,e} y {a,o},{e,o} y {a,e,o}. Ahora, utilizando el ejemplo anterior podemos definir las operaciones entre conjuntos mencionadas anteriormente:

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La unin de dos conjuntos A y B, se define como el conjunto de todos aquellos elementos que pertenecen a A o que pertenecen a B. Para el caso anterior B U C = {a,e,i,o,u} Por otra parte, la interseccin entre dos conjuntos A y B se define como el conjunto de elementos tal que pertenecen a A y tambin pertenecen a B. para el caso que venimos utilizando, B C = , puesto que no existe ninguna vocal que sea abierta y cerrada al mismo tiempo. Sean los siguientes conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={3,4,7,8,9} Entonces, tenemos que: La unin de A y B es el conjunto de los elementos que pertenecen a A o a B, para nuestro caso: AUB = {1,2,3,4,5,7,8,9} Y la interseccin entre A y B son los elementos que pertenecen a A y que Pertenecen a B tambin. Para el caso: A B = {3,4} Adems, se puede definir la operacin diferencia (A B) como aquellos elementos que pertenecen a A pero no a B, En nuestro caso: A B = {1,2,5} Grficamente podemos representar, utilizando los diagramas de VENN, las tres principales operaciones de la siguiente manera

A U B

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A B

A - B

As mismo, el producto cartesiano de dos conjuntos A y B se define como el conjunto de parejas ordenadas (a,b) tal que a pertenecer al conjunto A y b pertenece a B. Este conjunto se denota como A x B En el caso del conjunto de vocales abiertas y vocales cerradas, el producto cartesiano estara conformado por C x B = {(a,i),(a,u),(e,i),(e,u),(o,i)(o,u)} As como tenemos un conjunto de leyes en el lgebra proposicional, correspondientemente existen un conjunto de leyes de conjuntos. Si tenemos que X es un conjunto y A, B, C son subconjuntos de X, en la siguiente tabla consignamos estas leyes:

Ley del doble complemento

Leyes de Morgan

Conmutatividad de la Unin (U) y la

Intercepcin ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Asociatividad de U y

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Distributividad de cada una de las operaciones con respecto a la otra

A es idempotente para ambas operaciones

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X y so neutros para respectivamente

X y son absorbentes para U y

es inversa de A para U y

( ) ( )

Leyes de Absorcin

4.5 Algebras de Boole

A continuacin presentaremos el concepto de algebra de Boole. Un algebra de Boole es un conjunto B con:

Dos operaciones, llamadas suma y producto, que notaremos como + y x respectivamente.

Una transformacin que relaciona a cada elemento de x un elemento x de B que se suele llamar su complementario.

Elementos distinguidos como 0 y 1.

Adems, cumplen las siguientes leyes

(x) = x Ley del doble complementario (x + y) = x x y (x x y) = x + y

Leyes de Morgan

x + y = y + x y x x = x x y

Conmutatividad de + y x

(x + y) + z = x + (y + z) (x x y) x z = x x (y x z)

Asociatividad de + y x

x x ( y + z) = (x x y) + (x x z) x + (y x z) = (x + y) x (x + z)

Distributividad de cada una de las operaciones con respecto a la otra

x + x = x x x x = x

Cada elemento x es idempotente para ambas operaciones

x + 0 = x x x 1 = x

1 y 0 son neutros para x y + respectivamente

x + 1 = 1 x x 0 = 0

Leyes de dominacin

x x x= 1 x + x= 0

Leyes de los inversos

x + (x x y) = x x x (x + y) = x

Leyes de Absorcin

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Algunos ejemplos de algebras de Boole. Sea X un conjunto. Entonces, el conjunto de todos los subconjuntos de X, con U y

como las operaciones + y x, y A = para el complementario es un algebra de Boole. As mismo, el conjunto {V,F} {conjunto de los dos valores de verdad) es un

algebra de Boole, con y como operaciones + u x , y p = p para el complementario, tambin es un algebra de Boole. Todas las demostraciones, teoremas y dems relacionados con el lgebra proposicional y el lgebra de conjuntos ser materia de un curso ms profundo de matemticas discretas. En este mdulo de lgica de programacin solamente se ha querido introducir algunos de los grandes temas para facilitar la tarea de comprensin de algunos apartes de los mdulos 2 y 3 de este curso.

Glosario Bsqueda de Alternativas: es el primer principio del pensamiento lateral basado en que cualquier modo de valorar una situacin es solamente uno de los muchos modos posibles de valorarla Conjunto: Coleccin de elementos, que pueden ser similares o distintos. Un conjunto se puede definir por comprensin o por extensin.

Conjunto Vacio: Es un conjunto sin elementos, y se denota por la letra Pensamiento lateral: conjunto de procesos destinados al uso de informacin de modo que genere ideas creativas mediante una reestructuracin inteligente de los conceptos ya existentes en la mente Pensamiento Vertical: Es el proceso de pensamiento estndar que consiste de 4 etapas bsicas: abstraccin, generalizacin, raciocinio y juicio. Revisin de supuestos: Es una tcnica del pensamiento lateral consistente en: hacer de lado el modo estndar de percepcin y construccin de modelos y poner en tela de juicio su validez para as poder llegar a una reestructuracin de conceptos mucho ms rica y valorizante.

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Bibliografa Walker A. William. The Art of Logical Thinking . YogeBooks 2011. Edward de Bono. Lateral Thinking. A Textbook of Creativity Sandrini, Carolina E. Que es el pensamiento Lateral. Colegio Belgrano. Briand, Emmanuel J. Introduccin a la matemtica discreta. Universidad de Sevilla. 2011

Webgrafa

http://www.tideca.net/content/el-pensamiento-lateral-edward-de-bono-resumen) www.itescam.edu.mx principal ... r 1 .D C