Guía de Logica y Conjuntos Para Administración de Empresas Agropecuarias

7/24/2019 Gua de Logica y Conjuntos Para Administracin de Empresas Agropecuarias

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GuaDel estudiante

Modalidad a distancia

Modulo

FUNDAMETOS MATEMTICOS PARA ADMINISTRACIN DE EMPRESEASAGROPECUARIAS

I SEMESTRE

BIENVENIDA

DATOS DE IDENTIFICACION

TUTOR uis En!i"ue Al#a!ado Va!$as

Tel%&ono '() *+ )* , CE- (./ 012 +/ 10

E34ail lea#0/5$4ail-co4

u$a! Mad!id Cundina4a!ca

Co!6o!aci7n Uni#e!sita!ia Minuto de Dios , Recto!8aCundina4a!ca


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EL curso de Fundamentos Matemticos permite indicar un proceso de

formacin de administradores de Agropecuarios que apropien competencias

interpretativas, argumentativas y propositivas y competencias ciudadanas

como lderes integrales en sus desempeos el curso pretende fortalecer

procesos!

Fundamentos del "ensamiento #umano$ %ue le permiten apropiarse del

lengua&e y 'erramientas lgicas para la conte(tuali)acin de su entorno!

"ensamiento y sistemas num*ricos$ +olucin de prolemas e induccin

investiguen en la seleccin de 'erramientas matemticas!

Autoformacin$ A partir del estudio auto programado del dialogo de saeres

como resultado del traa&o en equipo para la construccin y sociali)acin del

conocimiento de la investigacin y accin de las prcticas!

Trabajo Cooperativo$ El curso propende por el traa&o en equipo con toda la

comunidad para el desarrollo del proyecto de investigacin!

El propsito de formacin de este curso es facilitar al estudiante de

administracin Agropecuaria es vivenciar por conte(to y las dems reas del

programa el desarrollo de las competencias que le permitan utili)ar el lengua&e

y 'erramientas necesarias en las acciones propias del traa&o en equipo!

El curso esta propuesto acorde a los principios e(puestos por la universidad del

-olima, el .DEAD y el programa de Administracin Agropecuaria, los cules dan

preeminencia a los procesos de auto formacin del ser 'umano y el


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administrador ya que la implementacin de 'erramientas didcticas y m*todos

mentales de la modalidad a distancia, que deen esfor)arse a muc'as 'oras de

estudio individual y grupal sin la presencia fsica del tutor!

INTRODUCCION

El considerale progreso 'aido en la ciencia y en la tecnologa durante los/ltimos 012 aos procede en gran parte del desarrollo de las Matemticas!

En el estudio de cualquier rama de la Matemtica, sea anlisis, Algera, oGeometra, resulta /til emplear la terminologa de la -eora de con&untos! Estateora fue desarrollada por 3oole y 4antor a 5nes del siglo 6.6, 'a tenido una

profunda in7uencia en el desarrollo de las Matemticas en el siglo 66! 'auni5cado muc'as ideas aparentemente incone(as y 'a contriuido a reducirgran n/mero de conceptos matemticos a sus fundamentos lgicos por unm*todo elegante y sistemtico!

OGICA MATEMTICA

Int!oducci7n-

La lgica estudia la forma del ra)onamiento, es una disciplina que pormedio de reglas y t*cnicas determina si un argumento es vlido! La lgica esampliamente aplicada en la 5losofa, matemticas, computacin, fsica! En la5losofa para determinar si un ra)onamiento es vlido o no, ya que una frase

puede tener diferentes interpretaciones, sin emargo la lgica permite saer elsigni5cado correcto! En las matemticos para demostrar teoremas e inferirresultados matemticos que puedan ser aplicados en investigaciones! En lacomputacin para revisar programas! En general la lgica se aplica en la tareadiaria, ya que cualquier traa&o que se reali)a tiene un procedimiento lgico, porel e&emplo8 para ir de compras al supermercado una ama de casa tiene quereali)ar cierto procedimiento lgico que permita reali)ar dic'a tarea! +i unapersona desea pintar una pared, este traa&o tiene un procedimiento lgico, yaque no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no dee pintar la parte a&a


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de la pared si antes no pint la parte alta porque se manc'ara lo que ya tienepintado, tami*n dependiendo si es )urdo o derec'o, *l puede pintar de i)quierdaa derec'a o de derec'a a i)quierda seg/n el caso, todo esto es la aplicacin de lalgica!

La lgica es pues muy importante8 ya que permite resolver incluso prolemas alos que nunca se 'a enfrentado el ser 'umano utili)ando solamente suinteligencia y apoyndose de algunos conocimientos acumulados, se puedenotener nuevos inventos innovaciones a los ya e(istentes o simplementeutili)acin de los mismos!

El orden en que se presenta el documento es el siguiente$ "rimeramente seestalece la importancia de la lgica matemtica, despu*s de5nimos elconcepto de proposicin! +e estalece el signi5cado y utilidad de conectivoslgicos para formar proposiciones compuestas! Ms tarde aordamos lasproposiciones condicionales y icondicionales! De5nimos tautologa,contradiccin y contingente, y proporcionamos una lista de las tautologas msimportantes, as mismo e(plicamos a que se le llama proposicioneslgicamente equivalente apoyndonos de talas de verdad! "ara 5nali)ar8

aordamos los m*todos de demostracin$ directo y por contradiccin, en dondeincluye reglas de inferencia!

En este traa&o se trata adems de presentar las e(plicaciones con e&emplosque le sean familiares! 9uestro o&etivo es que el alumno aprenda a reali)ardemostraciones formales por el m*todo directo y el m*todo por contradiccin!

:a que la mayora de los liros comerciales /nicamente se quedan ene(plicacin y demostracin de reglas de inferencia! 4onsideramos que s elalumno aprende lgica matemtica no tendr prolemas para aprenderciencias e(acta y ser capa) de programar computadoras, ya que un programade computadora no es otra cosa que una secuencia de pasos lgicos, que lapersona estalece para resolver n prolema determinado!

Es importante mencionar que en las demostraciones no 'ay un solo caminopara llegar al resultado! El camino puede ser mas largo o ms cortodependiendo de las reglas de inferencia y tautologas que el alumnoseleccione, pero de5nitivamente deer llegar al resultado! "uede 'aer tantassoluciones como alumnos se tenga en clase y todas estar ien! Esto permiteque el estudiante tenga con5an)a en la aplicacin de reglas y frmulas! De talmanera que cuando llegue a poner en practica esto, el sea capa) de inventarsu propia solucin, porque en la vida cada quien resuelve sus prolemasaplicando las reglas de inferencia para relacionar los conocimientos y otenerel resultado!


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UNIDAD DE TRABA9O No-.

INDICADORES

Cmo aplicar la lgica proposicional y la teora de conjuntos en la

administracin Agropecuaria?


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INTERPRETATIVAS

- 4onocer y comprender conceptos de lgica deductiva, proposicional y

para la determinacin de un sistema de produccin!

- 4aracteri)ar algunas formas de investigacin del sistema produccin y

su infraestructura, estructura y s/per estructura!

ARGUMENTATIVAS

- Diferenciar los m*todos cualitativos y cuantitativos utili)ados en la

investigacin!

PROPOSITIVAS

- 4aracteri)ar los elementos de produccin de la )ona de estudio a trav*sdel pensamiento lgico y la encuesta, para asumir el compromiso de

iniciar el traa&o investigativo!

- "roponer un modelo asociativo a trav*s de las propiedades de las

operaciones entre con&untos!


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TEMAS A DESARROAR EN A UNIDAD

7$ica : Con;untos- 7$ica

o Proposiciones y operaciones lgicas.

o Conectivos lgicos y proposiciones compuestas

Operador and (y)

Operador Or (o)

Proposiciones condicionales

Proposicin bicondicional.

o Tablas de verdad.

o Tautologa y contradiccin.

o Equivalencia lgica.

o Reglas de inferencia

o Mtodos de demostracin.

o Mtodo de demostracin Directo

o Demostracin por contradiccin

Teora de Conjuntos

o definicin

o otacin

o Conjunto !ni"ersal

o Conjunto Potencia

o Conjunto #acio

o Dia$ramas de #enn

o Conjuntos finitos e infinitoso Conjuntos disjuntos

o Operaciones Con Conjuntos

o %nterseccin

o !nin

o Complemento

o Diferencia &ntre Conjuntos

o Diferencia 'imtrica

o Producto Cartesiano

o e:es del al$e


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MARCO TEORICO DE FORMACION

Desa!!ollo-

La lgica matemtica es la disciplina que trata de m*todos de ra)onamiento!En un nivel elemental, la lgica proporciona reglas y t*cnicas para determinarsi es o no valido un argumento dado! El ra)onamiento lgico se emplea enmatemticas para demostrar teoremas8 en ciencias de la computacin paraveri5car si son o no correctos los programas8 en las ciencias fsica ynaturales, para sacar conclusiones de e(perimentos8 y en las ciencias socialesy en la vida cotidiana, para resolver una multitud de prolemas! 4iertamentese usa en forma constante el ra)onamiento lgico para reali)ar cualquieractividad!

P!o6osiciones : o6e!aciones l7$icas-

;na proposicin o enunciado es una oracin que puede ser falsa o verdaderapero no amas a la ve)! La proposicin es un elemento fundamental de lalgica matemtica!

A continuacin se tienen algunos e&emplos de proposiciones vlidas y novlidas, y se e(plica el porqu* algunos enunciados no son proposiciones! Lasproposiciones se indican por medio de una letra min/scula, dos puntos y laproposicin propiamente dic'a! E&emplo!

p$ La tierra es plana!

q$ ?@ B0

r$ ( C y


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+e utili)a para conectar dos proposiciones que se deen cumplir para que sepueda otener un resultado verdadero! +i smolo es$ K, un punto H!I, unpar*ntesis! +e le conoce como la multiplicacin lgica$

E&emplo +ea el siguiente enunciado El coc'e enciende cuando tiene gasolinaen el tanque y tiene corriente la ateraN

+ean$

p$ El coc'e enciende

q$ -iene gasolina el tanque!

r$ -iene corriente la atera!

De tal manera que la representacin del enunciado anterior usando simologalgica es como sigue$

p q r

+u tala de verdad es como sigue$

" ! 6 ? " !

0 0 0

0 2 2

2 0 2

2 2 2

Donde!

0 verdadero

2 falso

En la tala anterior el valor de q0 signi5ca que el tanque tiene gasolina, r0signi5ca que la atera tiene corriente y p q r0 signi5ca que el coc'epuede encender! +e puede notar que si q o r valen cero implica que el auto notiene gasolina y que por lo tanto no puede encender!

Jperador Jr HoI

4on este operador se otiene un resultado verdadero cuando alguna de lasproposiciones es verdadera! +e indica por medio de los siguientes smolos$ K@@! +e conoce como las sumas lgicas! E&emplo!

+ea el siguiente enunciado ;na persona puede entrar al cine si compra su

oleto u otiene un paseN! Donde!p$ Entra al cine!

q$ 4ompra su oleto!

r$ Jtiene un pase!

" ! 6 ? " !


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0 0 0

0 2 2

2 0 2

2 2 2

Jperador 9ot HnoI

+u funcin es negar la proposicin! Esto signi5ca que s alguna proposicin esverdadera y se le aplica el operador not se otendr su complemento onegacin HfalsoI! Este operador se indica por medio de los siguientes smolos$KO, ,! E&emplo!

La negacin de est lloviendo en este momento Hp0I, es no est lloviendo eneste momento HpP2I

p pP

0 2

2 0

Adems de los operadores sicos Hand, or y notI e(iste el operador (or, cuyofuncionamiento es seme&ante al operador or con la diferencia en que suresultado es verdadero solamente si una de las proposiciones es cierta, cuandoamas con verdad el resultado es falso!

En este momento ya se pueden representar con notacin lgica enunciadosms comple&os! E&emplo

+ean las proposiciones$

p$ #oy es domingo!

q$ -engo que estudiar teoras del aprendi)a&e!

r$ Aproar* el curso!

El enunciado$ #oy es domingo y tengo que estudiar teoras de aprendi)a&e ono aproar* el cursoN! +e puede representar simlicamente de la siguientemanera$

p q r

"or otro lado con ayuda de estos operadores sicos se pueden formar losoperadores compuestos 9and Hcominacin de los operadores 9ot y AndI, 9orHcomina operadores 9ot y JrI y 6nor Hresultado de 6or y 9otI!

P!o6osiciones condicionales-


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;na proposicin condicional, es aquella que est formada por dosproposiciones simples Ho compuestaI p y q! La cual se indica de la siguientemanera$

p q +e lee +i p entonces qN

E&emplo!

El candidato del "Q. dice +i salgo electo presidente de la Qep/lica reciirnun 12R de aumento en su sueldo el pr(imo aoN! ;na declaracin como estase conoce como condicional! +u tala de verdad es la siguiente$

+ean

p$ +ali electo "residente de la Qep/lica!

q$ Qeciirn un 12R de aumento en su sueldo el pr(imo ao!

De tal manera que el enunciado se puede e(presar de las siguiente manera!

p q

+u tala de verdad queda de la siguiente manera$

6 " 6 "

0 0 0

0 2 2

2 0 0

2 2 0

La interpretacin de los resultados de la tala es la siguiente$

4onsidere que se desea anali)ar si el candidato presidencial minti con laa5rmacin del enunciado anterior! 4uando p08 signi5ca que sali electo, q0y reciieron un aumento de 12R en su sueldo, por lo tanto p q 08 signi5caque el candidato di&o la verdad en su campaa! 4uando p0 y q2 signi5caque p q 28 el candidato minti, ya que sali electo y no se incrementaron lossalarios! 4uando p2 y q0 signi5ca que aunque no sali electo 'uo unaumento del 12R en su salario, que posilemente fue a&eno al candidatopresidencial y por lo tanto8 tampoco minti de tal forma que p q 0!

P!o6osici7n


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Es uen estudiante, si y solo si8 tiene promedio de die)N

Donde$

p$ Es uen estudiante!

q$ -iene promedio de die)!

por lo tanto su tala de verdad es!

6 " 6 "

0 0 0

0 2 2

2 0 2

2 2 0

La proposicin condicional solamente es verdadera si tanto p como q son falsaso ien amas verdaderas

A partir de este momento, ya se est en condiciones de representarcualquier enunciado con conectores lgicos!

E&emplo!

+ea el siguiente enunciado +i no pago la lu), entonces me cortarn lacorriente el*ctrica! : +i pago la lu), entonces me quedar* sin dinero o pedir*prestado! : +i me quedo sin dinero y pido prestado, entonces no podr* pagarla deuda, si solo si soy desorgani)adoN

Donde$

p$ "ago la lu)!

q$ Me cortarn la corriente el*ctrica!

r$ Me quedar* sin dinero!

s$ "edir* prestado!

t$ "agar la deuda!

$ soy desorgani)ado!

HpP qI p HrsI Hr sI tP Ta


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2 2 2 0 0 2 0 0 0

2 2 0 0 0 0 0 2 2

2 0 2 2 0 2 0 0 0

2 0 0 2 0 2 0 0 0

0 2 2 0 2 2 2 0 2

0 2 0 0 2 0 0 2 2

0 0 2 2 0 2 0 0 0

0 0 0 2 0 2 0 0 0

El n/mero de lneas de la tala de verdad depende del n/mero de varialesde la e(presin y se puede calcular por medio de la siguiente formula!

9o de lneas Bn

Donde n n/mero de variales distintas!Es importante destacar a medida que se avan)a en el contenido del material

el alumno deer participar activamente! Estos signi5ca que cuando se estade5niendo proposiciones y caractersticas propias de ellas, adems de lose&emplos que el maestro e(plique, el alumno deer citar proposicionesdiferentes, deer entender el porque un enunciado no es vlido! 4uando seven conectores lgicos, los alumnos deern saer emplearlos en larepresentacin de proposiciones ms comple&as! "ero algo muy importante, esque los e&emplo que el maestro y los alumnos encuentren en la clase, deenser de inter*s para el estudiante! 4uando se ven talas de verdad el alumnodeer saer perfectamente ien el porque de cada uno de los resultados! Enpocas palaras el conocimiento deer ser signi5cativo!

Tautolo$8a : cont!adicci7n-

-autologa, es aquella proposicin HcompuestaI que es cierta para todos losvalores de verdad de sus variales! ;n e&emplo tpico es la contrapositiva cuyatala de verdad se indica a continuacin!

p q pP qP pq qPpP HpqIHqPpPI

2 2 0 0 0 0 0

2 0 0 2 0 0 0

0 2 2 0 2 2 0

0 0 2 2 0 0 0

9ote que en las tautologas para todos los valores de verdad el resultado de laproposicin es siempre 0! Las tautologas son muy importantes en lgicamatemtica ya que se consideran leyes en las cuales nos podemos apoyarpara reali)ar demostraciones!


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A continuacin me permito citar una lista de las tautologas ms conocidas yreglas de inferencia de mayor uso en las demostraciones formales queoviamente el autor no consider!!

0!< Dole negacin!

aI! pTTUp

B!< Leyes conmutativas!aI! HpVqIUHqVpI

I! HpWqIUHqWpI

cI! HpXqIUHqXpI

?!< Leyes asociativas!

aI! SHpVqIVrYUSpVHqVrIY

! SHpWqIWrYUSpWHqWrIY

Z!< Leyes distriutivas!

aI! SpVHqWrIYUSHpVqIWHpVrIY

! SpWHqVrIYUSHpWqIVHpWrIY

1!< Leyes de idempotencia!

aI! HpVpIUp

I! HpWpIUp

[!< Leyes de Morgan

aI! HpVqITUHpTWqTI

I! HpWqITUHpTVqTI

cI! HpVqIUHpTWqTITI! HpWqIUHpTVqTIT

=!< 4ontrapositiva!

aI! Hp\qIUHqT\pTI

@!< .mplicacin!

aI! Hp\qIUHpTVqI

I! Hp\qIUHpWqTIT

cI! HpVqIUHpT\qI

dI! HpWqIUHp\qTIT

eI! SHp\rIWHq\rIYUSHpWqI\rY

fI! SHp\qIWHp\rIYUSp\HqWrIY

!< Equivalencia

aI! HpXqIUSHp\qIWHq\pIY

02!< Adicin!

aI! p]HpVqI


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00!< +impli5cacin!

aI! HpWqI]p

0B!< Asurdo

aI! Hp\2I]pT

0?!< Modus ponens!

aI! SpWHp\qIY]q

0Z!< Modus tollens!

aI! SHp\qIWqTY]pT

01!< -ransitividad del X

aI! SHpXqIWHqXrIY]HpXrI

0[!< -ransitividad del \aI! SHp\qIWHq\rIY]Hp\rI

0=!< Mas implicaciones lgicas!

aI! Hp\qI]SHpVrI\HqVsIY

I! Hp\qI]SHpWrI\HqWsIY

cI! Hp\qI]SHq\rI\Hp\rIY

0@!< Dilemas constructivos!

aI! SHp\qIWHr\sIY]SHpVrI\HqVsIY

I! SHp\qIWHr\sIY]SHpWrI\HqWsIY

Cont!adicci7nes aquella proposicin que siempre es falsa para todos losvalores de verdad, una de las mas usadas y mas sencilla es ppP ! 4omo lomuestra su correspondiente tala de verdad!

p pP ppP

2 0 2

0 2 2

+i en el e&emplo anteriorp$ La puerta es verde!

La proposicin ppP equivale a decir que La puerta es verde y la puerta no esverdeN! "or lo tanto se esta contradiciendo o se dice que es una &alacia-

;na proposicin compuesta cuyos resultados en sus deferentes lneas de latala de verdad, dan como resultado 0s y 2s se le llama contin$ente-


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E"ui#alencia l7$ica-

+e dice que dos proposiciones son lgicamente equivalentes, o simplementee"ui#alentes! +i coinciden sus resultados para los mismo valores de verdad!+e indican como p q!

4onsidero que un uen e&emplo es el que se estaleci para ilustrar la

tautologa en donde se puede oservar que las columnas de HpqI y HqPpPI paralos mismo valores de verdad, por lo tanto se puede estalecer que HpqI HqPpPI

Re$las de in&e!encia

Los argumentos asados en tautologas representan m*todos de ra)onamientouniversalmente correctos! +u valide) depende solamente de la forma de lasproposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las varialesque contienen! A esos argumentos se les llama !e$las de in&e!encia- Lasreglas de inferencia permiten relacionar dos o ms tautologas o 'iptesis enuna demostracin!

E&emplo 0

Es valido el siguiente argumento!+i usted invierte en el mercado de valores, entonces se 'ar rico!

+i se 'ace usted rico, entonces ser feli)!

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

+i usted invierte en el mercado de valores, entonces ser feli)!

+ea$

p$ ;sted invierte en el mercado de valores!

q$ +e 'ar rico!

r$ +er feli)

De tal manera que el enunciado anterior se puede representar con notacinlgica de la siguiente manera$

p q

q r

^^^^^^

p r

E&emplo B!

Es valido el siguiente argumento!

+i a&an los impuestos, entonces se eleva el ingresoEl ingreso se eleva!

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

Los impuestos a&an

+olucin$


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+ea

p$ Los impuestos a&an!

q$ El ingreso se eleva!

p qq

^^^^^

p

El aplicar la regla de inferencia es lo que le cuesta ms al alumno y se deerponer muc'a atencin para que el alumno aprenda a aplicar dic'a regla!

En una demostracin no solamente 'ay tautologas e 'iptesis, tami*ne(isten reglas de inferencia que permiten otener nuevas lneas vlidas, estaes la parte en donde la mayora de alumnos tienen prolemas y en donde no

sae que regla aplicar para resolver un determinado prolema! A continuacinse cita una lista de las principales reglas de inferencia que se pueden aplicaren una demostracin!

0!< Adicin B?!< 4on&uncin

p p

^^^^^^^ q

pq ^^^^^^^^^

p q

B2!< +impli5cacin BZ!< Modus pones

p q p^^^^^^^^^^^^ pq

p ^^^^^^^^^

q

B0!< +ilogismo disyuntivo B1!< Modus tollens

pq pq

pP qP

^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^

q pP

BB!< +ilogismo 'ipot*tico

pq

qr

^^^^^^^^

pr


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M%todos de de4ost!aci7n!

De4ost!aci7n 6o! el 4%todo di!ecto-

+upngase que pq es una tautologa, en donde p y q pueden ser proposicionescompuestas, en las que intervengan cualquier n/mero de varialespropositvas, se dice que q se desprende lgicamente de p! +upngase unaimplicacin de la forma!

Hp0 pB !!!!!!! pnI q

Es una tautologa! Entonces est implicacin es verdadera sin importar losvalores de verdad de cualquiera de sus componentes! En este caso, se dice queq se desprende lgicamente de p0,pB,!!!!!!,pn! +e escrie!

p0

pB

!

!pn

^^^

q

Qealmente el camino que se dee seguir para llevar a cao una demostracinformal usando el m*todo directo! +igni5ca que s se sae que p0 es verdadera,pB es verdadera,!!!!!! y pn tami*n es verdadera, entonces se sae que q esverdadera!

"rcticamente todos los teoremas matemticos estn compuestos por

implicaciones de este tipo!Hp0 pB !!!!!!! pnI q

Donde la pi son llamadas 'iptesis o premisas, y q es llamada conclusin!Demostrar el teoremaN, es demostrar que la implicacin es una tautologa!9ote que no estamos tratando de demostrar que q Hla conclusinI esverdadera, sino solamente que q es verdadera si todas las pi son verdaderas!

-oda demostracin dee comen)ar con las 'iptesis, seguidas de lastautologas y reglas de inferencia necesarias, 'asta llegar a la conclusin!

A continuacin se pruea un enunciado en donde se puede apreciar el uso

tanto de las tautologas como de las reglas de inferencia!+ean

p$ -raa&o!

q$ A'orro!

r$ 4omprar* una casa!

s$ "odr* guardar el coc'e en mi casa!


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Anali)ar el siguiente argumento$

_+i traa&o o a'orro, entonces comprar* una casa! +i compro una casa, entoncespodr* guardar el coc'e en mi casa! "or consiguiente, si no puedo guardar elcoc'e en mi casa, entonces no a'orro_!

El enunciado anterior se puede representar como$

p V q \ r8 y r \ s8 entonces sT \ qTEquivale tami*n a proar el siguiente teorema$

SHp V qI \ rY W Sr \ sY ] SsT \ qTY

4omo se trata de proar un teorema de la forma general$

p0W pBW!!!!!!W pn] q

+e aplica el procedimiento general para demostracin de enunciadosvlidos! A continuacin se demuestra el teorema respaldando cada uno de suspasos en tautologas o reglas de inferencia ya conocidas!

0!< Hp W qI \ r #iptesisB!< r \ s #iptesis

?!< q \ Hq W pI Adicin tautologa 02

Z!< q \ Hp V qI ?8 ley conmutativa, regla B

1!< q \ r Z,08 silogismo 'ipot*tico, regla BB

[!< q \ s 1,B8 regla BB

=!< sT \ qT [8 contrapositiva, regla =!

El enunciado es vlido aunque la conclusin puede ser falsa o verdadera!

Es recomendale numerar cada uno de los pasos! +e puede notar que lasprimeras lneas son 'iptesis, la lnea ? es una tautologa conocida y de la lnea Za = se otuvieron aplicando reglas de inferencia! +e indica la regla de inferenciaaplicada por medio del n/mero de la derec'a, y las lneas a las cuales se lesaplic dic'a regla de inferencia por medio de los n/meros de la i)quierda!

El e&emplo anterior es una demostracin sencilla, pero puede ser tan complicadacomo sea necesario y el m*todo dee funcionar!

De4ost!aci7n 6o! cont!adicci7n-

El procedimiento de la demostracin por contradiccin es seme&ante a la quese reali) por el m*todo directo con la diferencia de que las lneas iniciales dedic'a demostracin no son /nicamente las 'iptesis, sino adems se incluyeen la demostracin una lnea con la negacin de la conclusin! "or otro lado elo&etivo de la demostracin es llegar a una contradiccin!

La demostracin del siguiente teorema por el m*todo de contradiccin es comose indica

p \ Hp W rI W Hq V sI \ t W Hp V sI t

Demostracin

0!< p \ Hp W rI #iptesis


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B!< Hq V sI \ t #iptesis

?!< p V s #iptesis

Z!< tP 9egacin de la conclusin

1!< HqV sIP B,Z8 Modus tollens, regla B1

[!< qP W sP 18 Ley de Morgan, [`=!< qP [8 +impli5cacin, regla B2

@!< sP W qP [8 Ley conmutativa, B

!< sP @8 +impli5cacin, regla B2

02!< sV p ?8 Ley conmutativa, B`

00!< p 02,8 +ilogismo disyuntivo, regla B0

0B!< q W r 00,08 Modus ponens, regla BZ

0?!< q 0B8 +impli5cacin, regla B

0Z!< q W qP 0?,=8 4on&uncin, regla B?

01!< 4ontradiccin!9ote que &untamente con las premisas se dee incluir la negacin de laconclusin! En este momento el alumno ya tiene los elementos para llevar a caodemostraciones con el apoyo del maestro! Es conveniente plantear variosenunciados, para que el alumno los represente con simologa lgica en forma deteorema! %ue ese mismo teorema lo represente con su tala de verdad y 'aga lacorrespondiente demostracin por los dos m*todos antes mencionadosLa forma en que el aprende a aplicar reglas de inferencia es seme&ante a lamanera en que deer reali)ar una factori)acin o una aplicacin de una frmulaen clculo diferencial o integral o la formula que dee aplicar para resolver unprolema en fsica! Lo que dee aprender es a relacionar los distintos

conocimientos para poder llegar a la solucin! Es importante mencionar que elcamino que dee seguir el alumno no es el mismo que el maestro sigui sino unodistinto pero que amos llegan al resultado!

Conclusiones-

La idea principal de este traa&o es que el alumno aprenda el concepto deproposicin, la forma en que se pueden formar proposiciones compuestasusando los conectores lgicos, representar enunciados por medio desimologa lgica, conocer los conceptos de tautologa, equivalencia lgica,regla de inferencia! Qeali)ar demostraciones de teoremas por medio delm*todo directo y contradiccin! "ero con prolemas que le sean familiares einteresantes! +e trata de que en cada uno de los sutemas participe

proponiendo sus propios e&emplo y que sore todo al 5nal de la unidad *l tengala 'ailidad, con5an)a e iniciativa para inferir posiles soluciones!

-odo enunciado puede ser planteado en t*rminos de teoremas! ;n teoremapor lo general es resultado de un planteamiento de un prolema, esteplanteamiento dee tener el siguiente formato!

Hp0 pB !!!!!!! pnI q

4omo se estalece p0, pB ,!!!!!!,pn son 'iptesis Ho premisasI derivadas delmismo prolema y que se consideran vlidas! "ero adems deern conectarse


21/39

con el operador And HI, lo cual implica que p0 es cierta y HI pB es verdad yHI!!!!!! y pn tami*n es cierta entonces HI la conclusin HqI es cierta! "arareali)ar la demostracin formal del teorema se deer partir de las 'iptesis, ydespu*s otener una serie de pasos que tami*n deen ser vlidos, ya que sonproducto de reglas de inferencia! +in emargo no solamente las 'iptesis yreglas de inferencia pueden aparecer en una demostracin formal, sino

tami*n tautologas conocidas! En el teorema anterior cada uno de los pasosp0, pB,!!!pn son escalones que deern alcan)arse 'asta llegar a la solucin!

Lo mismo ocurre con todo tipo de prolemas que se nos presentan en la vida,antes de llegar a la solucin deemos alcan)ar ciertas metas Hp0,pB,!!!!pnI'asta llegar al o&etivo o conclusin HqI! "ero una ve) que logramos el o&etivodeemos plantearnos nuevos o&etivos que nos permitirn superarnos!

Dependiendo del rea de inter*s al estudiante puede transportad dic'osconocimientos, de tal manera que le au(ilien para entender y resolver otro tipode prolemas! En el caso de computacin cada lnea de un programa seotiene inconcientemente aplicando una regla de inferencia y por lo tanto cadainstruccin tiene su orden en que dee de ir colocada, si se camia esa lnea

seguramente el resultado ya no ser igual! "ero 'ay tantas formas de resolverun prolema por medio de un programa como alumnos distintos tenga unmaestro!

;na demostracin formal equivale a relacionar esquemas para formarestructuras cognitivas! + el alumno sae inferir soluciones lgicas, estar encondiciones de resolver todo tipo de prolemas!

;no de los o&etivos principales del constructivismo, es la construccin delconocimiento! El tema de lgica matemticaN, se presta para que el alumnopueda reali)ar los relacionamientos entre las distintas proposiciones, estopermite crear nuevas formas de resolver prolemas en distintas ramas$matemticas, fsica, qumica pero tami*n en las ciencias sociales y por su

puesto cualquier prolema de la vida real! "orque cada ve) que nosenfrentamos a un prolema, manipulamos la informacin por medio de reglasde inferencia que aunque no est*n escritas deemos respetar! 4ada ve) quereali)amos una actividad empleamos la lgica para reali)arla, qui) algunosrealicen dic'a actividad por caminos ms corto, otros reali)an recorridos mslargos, pero al 5n de cuentas lo que importa es llegar al resultado! +i se le da lacon5an)a al alumno para que cree e innove, su estructura cognitivaseguramente va a crecer!


22/39

TEORIA DE CON9UNTOS

De5niciones$


23/39

0!< Con;unto$ es una lista, clase o coleccin de o&etos ien de5nidos, o&etosque, pueden ser cualesquiera$ n/meros, personas, letras, etc! Estos o&etos sellaman elementos o miemros del con&unto!

E&emplos$ K 0, ?, =, 02

K((B


24/39

4! Conjunto Potencia:se denom"na conjunto potenc"a de ), 0), a la am"l"a de todos los

subconjuntos del conjunto ) el conjunto ) t"ene n elementos, el conjunto potenc"a de ) tendr6 2n

elementos

'otac"(n:

Ejemplo:

) = {3,4,5}

0)= 23 = , lo que s"7n""ca que pueden ormarse subconjunto de )

0)= { {3}, {4}, {5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}, {3,4,5}, }

5! Conjunto Vaco: es aquel que no posee elementos y es subconjunto de cualqu"er otro conjunto

'otac"(n: = { # 8 # # }

Ejemplo:

*= {#8#2= 4, # es "mpar} * es entonces un conjunto &aco

+!Diagrama de Venn: 9os d"a7ramas de &enn perm"ten &"sual"ar 7r6"camente las noc"ones

conjunt"stas y se representan med"ante crculos "nscr"tos en un rect6n7ulo 9os crculos

corresponden a los conjuntos dados y el rect6n7ulo al conjunto un"&ersal

Ejemplo:

) *

.!Conjuntos Finitos o Infinitos: 9os conjuntos ser6n "n"tos o "n"n"tos, s" sus elementos son o no

act"bles de contar

Ejemplo:

% *

)


25/39

;= {a,e,",o,u}, ; es "n"to

'={1,3,5,.}, ' es "n"n"to

! Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos son d"sjuntos s" no t"enen elementos comunes


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2! Interseccin de conjuntos: 9a "ntersecc"(n de dos conjuntos ) y *, es un conjuntos cuyos

elementos son comunes a ) y *

Notacin: ) *= {# 8 # ) # *}


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4!Diferencia de conjuntos: 9a d"erenc"a de dos conjuntos ) y *, es un conjunto cuyos

elementos son aquellos que est6n en el conjunto ), pero no en el conjunto *

'otac"(n: ) ! * ={# 8 # ) # *}

tr"ca de dos conjuntos ) y * es un conjunto cuyos

elementos son aquellos que est6n en ), pero no en *, un"dos con aquellos que est6n en *, pero no

en )

'otac"(n: ) *= {# 8 # ) # } {# 8 # # }

) *= ) ! * * !)


28/39

+!Producto cartesiano: El producto cartes"ano entre dos conjuntos ) y * es el conjunto de todos

los pares ordenados que t"enen como pr"mera componente un elemento de ) y como se7undo

componente un elemento de *

'otac"(n: ) # * = {a, b 8 a b }

Ejemplo:

)= {1,2} *={3,4,5}

) # * = {1,3, 1,4, 1,5, 2,3, 2,4, 2,5}

?bser&ac"ones:

1! n = n n s n) # * = n @ s

2!" ) = # * =

3! ) # * # ) s"empre que se cumpla que )

.! Cardinalidad:

n) = n) A n* B n )

n)C = n) A n* A nC ! n) ! nC B n*C A n)C

!"#"S D" $!%"&'$ D" C(N)UN*(

1! $sociatividad:

C C

)C = )C

2! Conmutatividad:

)* = *)

3! Distri+utividad:

)CC

)C = C

4! $+sorcin:

)

))

5! Idempotencia:

)


29/39

*

+! Identidad:

% )

)%% ) =

.!Complemento:

)c% )c=

)cc= ) %= , = %

! !e, de -organ:

)*c= )cc )c= )cc

) B * = )c

")"'CICI(S '"SU"!*(S

Demuestre:

1! ! *

) *c * =

)*c * =

=

2! ) B * ! C = ) B * C

) c Cc= ) B * C


30/39

) *c Cc= ) B * C

) c Cc = ) B * C

) Cc = ) B * C

) B * C = ) B * C

3! n) * C n A n A nC ! n) * ! n)C ! n*C A n)C

n) * C = n) A n*C ! n)*C

= n) A n* A nC ! n*C ! n)*)C

= n) A n* A nC ! n* C ! n) * ! n) C A n) * )C

= n A n A nC ! n) * ! n)C ! n*C A n)C

4! ) ) ) *c = )

) ) *c = )

) = )

) = )

5! * C ) = * ) C )

) * C = * ) C )

) * ) C = * ) C )

*)C) = *)C)

"mpl""car:

1! ) * ) * ) ) *

) * ) * * ) ) )*


31/39

) * ) * * ) ) *

) * ) *= *

) * ) )

) * )

)

+ %na encuesta apl"cada a un 7rupo de j(&enes, acerca de las preerenc"as por al7una rad"o F;

de la re7"(n, seGal( que:

2.. preeran Carol"na

233 preeran ;anqueHue

4-5 preeran $"empo

1+5 preeran ;anqueHue y $"empo

12- preeran ;anqueHue y Carol"na

1/- preeran Carol"na y $"empo

1-5 preeran las tres estac"ones de rad"o menc"onadas

Determ"ne:

a) ICu6ntos j(&enes ueron encuestadosJ

b) ICu6ntos j(&enes pre"eren s(lo Carol"naJ

c) ICu6ntos j(&enes pre"eren s(lo Carol"na y $"empoJ

olo C= 2..!12-A1-5!1/-A1-5!1-5 olo ;= 233!12-A1-5!1-5!1+5A1-5

olo C= .2 j(&enes olo ;= 53 j(&enes

olo C y ;= 12-!1-5= 15 K(&enes olo C y $= 1/-!1-5= 5 j(&enes

olo ; y $= 1+5!1-5= +- j(&enes

(lo $= 4-5!1/-A1-5!1+5A1-5!1-5= 545 j(&enes

$otal j(&enes encuestados= .2A53A15A5A+-A155A1-5= 545 j(&enes

a) Fueron encuestados 545 j(&enes

b) (lo Carol"na pre"eren .2 j(&enes


32/39

c) olo Carol"na y $"empo pre"eren 5 j(&enes

")"'CICI(S P'(PU"S*(S

Demostrar:

1! ) )c =) *

2! ))c *=) *

3! ) ! * *=

4! )!*C=)!*)!C

5! ) B * )= ) B *

+! )c ! *c = * B )

"mpl""car:

1! " )* )*!)=

2! ) ) *c )c *=

3! ))*c *

4! )!**!CC!)

Ejerc"c"os

1! %na encuesta real"ada a 2--- Hombres re&el( lo s"7u"ente respecto a sus 7ustos por d"st"ntost"pos de mujeres:

-- preeran las rub"as

/5- preeran las morenas

.5- preeran las color"nas

15- preeran las rub"as y morenas

3-- preeran las morenas y color"nas

25- preeran las rub"as y color"nas

200 (lo morenas y color"nas

Determ"ne el nLmero de Hombres que :

a) 0reeran los tres t"pos de mujeres encuestados

b) 'o preeran estos t"pos de mujeres


33/39

2! En una reun"(n se determ"na que 4- personas son a"c"onadas al jue7o, 3/ son a"c"onadas al

&"no y 4 a las "estas, adem6s Hay 1- personas que son a"c"onadas al &"no, jue7o y "estas, e#"sten

/ personas a"c"onadas al jue7o y &"no solamente, Hay 11 personas que son a"c"onadas al jue7o

solamente y por Llt"mo nue&e a las "estas y el &"no

Determ"nar:

a) El nLmero de personas que es a"c"onada al &"no solamente

b) El nLmero de personas que es a"c"onada a las "estas solamente

3! En una encuesta real"ada a 32- alumnos de Mn7en"era Comerc"al de la %n"&ers"dad de

Nalparaso, se descubr"( que estos pre"eren tres lu7ares para sus OcarretesP de "n de semana:

/5 pre"eren "r al OQam"RaeP

/- pre"eren "r al O0layaP

12- pre"eren "r al O*ar de los Cuatro N"entosP

3- pre"eren "r al OQam"RaeP y al O0layaP

1- pre"eren "r al OQam"RaeP y al O*ar de los Cuatro N"entosP

4- pre"eren "r al O0layaP solamente

+- pre"eren "r al OQam"RaeP solamente

Determ"ne el nLmero de estud"antes que pre"eren:

a) (lo "r al O*ar de los Cuatro N"entosP

b) Mr a los tres lu7ares

c) 'o sal"r y quedarse estud"ando el "n de semana

C$!"ND$'I( D"! -(DU!(

.Se de+e definir en semanas/ de forma 0ue ajuste con el modelo pedaggico uniminuto 1 en l

modalidad de distancia2

%'MD)D DE

)0SE'DMT)KE

)C$MNMD)DE DE )0SE'DMT)KE E;)')

$cuerdo Pedaggico Presentacin del modulo/ firma de acuerdos/ entrega del

PIC , asignacin de actividades , consultas para ser

3

34 de


34/39

discutidas el 56 de fe+rero fe+rero de

5636

!gica , Conjuntos *ra+ajo en pe0ue7os grupos para la preparacin de la

sociali8acin de la tem9tica/ , resolucin de la gua del

modulo 3/ "valuacin , control de actividades

5

56 de

fe+rero de

5636

$signacinde tareas ,

actividades

para el 5; de

fe+rero

4

;

?

-"*(D(!(%I$

En la educac"(n a d"stanc"a es "mportante que el estud"ante asuma una estr"cta responsab"l"dad con

sus procesos, cond"c"(n que lo lle&a a adqu"r"r autoe#"7enc"a con su aprend"aje Deb"do a que ese

proceso es b6s"camente "nd"&"dual y por lo tanto no d"spone de la presenc"a constante del tutor, el

estud"ante debe cons"derar la capac"dad para or7an"ar el t"empo de su estud"o por s" m"smo

autod"sc"pl"na, ten"endo en cuenta que esta modal"dad presenta le#"b"l"dad en los Horar"os

9a palabra m>todo s"7n""ca cam"no odos, para lle7ar a un "n meta, en este sent"do el concepto

de metodolo7a "nte7ra los m>todos y las t>cn"cas para desarrollar Hab"l"dades conducentes a

adqu"r"r una competenc"a

%sted cuenta con Nar"os recursos a su d"spos"c"(n los cuales le ayudaran a alcanar la competenc"a

al "nal de este modulo Ellos son:

$e#to de Estud"o Secuerde es "mportante ac"l"tar al estud"ante, el acceso a los recursos


35/39

2. Ka7d"sH C )rya8 Sob"n W 9ardner, ;atem6t"cas )pl"cadas a la )dm"n"strac"(n y a la

Economa Ed"tor"al 0rent"ce B Vall $ercera ed"c"(n ;>#"co 1//

3. Aga))i, EvandroH0@[I! Lgica simblica! Editorial #erder! .+39 =@


36/39

e!ma"l: aleida'ySarroaYya'oo!com)lumnos del Centro Mnterd"sc"pl"nar"o

De Mn&est"7ac"(n y Docenc"a en

Educac"(n $>cn"ca CMMDE$

Yuer>taro Yro ;>#"co

e recom"enda leer >l cap"tulo 3 del te#to, ;atem6t"ca para el )n6l"s"s Econ(m"co, de Qnut

ydsaeter, y, 0eter K Vammond, de Ed"tor"al 0rent"ce Vall 1//+

e recom"enda leer los captulos 1 y 2 del te#to, ;atem6t"cas )pl"cadas a la )dm"n"strac"(n y a la

Economa Ka7d"sH C )rya8 Sob"n W 9ardner Ed"tor"al 0rent"ce B Vall $ercera ed"c"(n ;>#"co

1//

"V$!U$CI(N

dentro de la gua se encontraran ejercicios , pro+lemas resueltos 0ue el estudiante resolver9 ,

presentara en un portafolio para ser revisados por el tutor/ se @ar9 una sociali8acin ,

correccin de algunos pro+lemas propuestos al a8ar/ se tendr9 en cuenta una autoevaluacin

0ue cada estudiante @ar9/ una cooevaluacin 0ue le @ar9n los estudiantes del grupo , una

@eteroAevaluacin 0ue ser9 reali8ada por el tutor teniendo en cuenta los aspectos cognitivos/

actitudinales , comportaAmentales del estudiante/ al igual 0ue las competencias interpretativa/

argumentativa , proposicional

P(!I*IC$S

El estud"ante debe consultar y real"ar las consultas y lecturas recomendadas, s"ntet"ar los

conceptos en un portaol"o, resol&er los ejerc"c"os y problemas propuestos en la 7ua, as"st"r

puntualmente a las ses"ones presenc"ales y a los c"pas pro7ramados en los acuerdos del 13 de

ebrero, part"c"par act"&amente de las act"&"dades de soc"al"ac"(n y trabajo colaborat"&o
mailto:[email protected]:[email protected]


37/39

'ol del *utor:

El prop(s"to undamental del tutor es el de dar un ser&"c"o a los estud"antes, ac"l"tando su proceso

de aprend"aje y el lo7ro de sus competenc"as 9a super&"s"(n que Ha7an los tutores se enocar6

tanto a los procesos, como a los productos de aprend"aje que e&"denc"en desarrollo de Hab"l"dades

que conlle&en a alcanar la competenc"a, para ello el tutor asume entre otros los comprom"sos de:

)tender d"rectamente a los estud"antes a >l as"7nados ut"l"ando d"&ersos med"os: encuentro

tutor"al, tel>ono, celular, a#, e!ma"l, s"stemas de mensajera y8o cualqu"er otro med"oacordado pre&"amente con el estud"ante , de manera que pueda ayudarle a aclarar sus dudas

a part"r del uso de d"&ersas estrate7"as d"d6ct"cas

)s"st"r al lu7ar de tutora as"7nado, en la Hora y el d"a "nd"cados pre&"amente para tal "n:

Sespetar el calendar"o acad>m"co y cada una de las act"&"dades propuestas en el

m"cas ser6n atend"das por tel>ono, a#, e!ma"l y med"os como oros en

aulas &"rtuales

'ol del estudiante

)sumamos que los estud"antes son part"c"pantes, Honestos y compromet"dos que Como tales, son

los pr"nc"pales responsables de "n"c"ar, d"r"7"r y sostener sus prop"os procesos de aprend"aje Cadaestud"ante se compromete a prop"c"ar las cond"c"ones que est>n a su alcance para ma#"m"ar las

oportun"dades de aprend"aje de acuerdo a su conte#to y pos"b"l"dades De "7ual orma se asume

que nuestros estud"antes no "ncurr"r6n en actos desHonestos y de pla7"o "ntelectual de "deas en las

d"&ersas ormas de "nteracc"(n, act"&"dades term"nales e "ntermed"as e espera que los estud"antes

part"c"pen act"&amente en cada una de las act"&"dades descr"tas en la 7ua de estud"o, para ello es

necesar"o tener en cuenta que:

El estud"ante es el prota7on"sta del proceso de aprend"aje, que lo lle&a a ser mas act"&o y

propos"t"&o, por cons"7u"ente a desarrollar el auto B estud"o

Debe estar preparado para part"c"par act"&amente de las act"&"dades de aprend"aje,

Hab"endo ledo los conten"dos de su te#to de estud"o y mater"ales ad"c"onales relac"onadosen la 7ua de estud"o

Debe real"ar las act"&"dades planteadas en la 7ua de estud"o, entre7ando las e&"denc"as de

manera acorde a los planteado en los cr"ter"os de e&aluac"(n, dentro de los t"empos

establec"dos en le calendar"o y bajo las "nstrucc"ones descr"tas en cada act"&"dadEn las e&"denc"as escr"tas, deber6 saber c"tar las uentes, es dec"r usar deb"damente la

b"bl"o7raa a "n de e&"tar el pla7"o


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T!ataro Yro ;>#"co

e recom"enda leer >l cap"tulo 3 del te#to, ;atem6t"ca para el )n6l"s"s Econ(m"co, de Qnut

ydsaeter, y, 0eter K Vammond, de Ed"tor"al 0rent"ce Vall 1//+

e recom"enda leer los captulos 1 y 2 del te#to, ;atem6t"cas )pl"cadas a la )dm"n"strac"(n y a la

Economa Ka7d"sH C )rya8 Sob"n W 9ardner Ed"tor"al 0rent"ce B Vall $ercera ed"c"(n ;>#"co

1//

Bi


39/39

7. 4liment 4oloma, boan bosep H02 de B22?I!lgebra: teora de conjuntos yestructuras algebraicas, B edicin Hen espaolI, Editorial 4lu;niversitario, pp! 10B! .+39 =@

Guía de Logica y Conjuntos Para Administración de Empresas Agropecuarias

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