Tema 1: Teoría de Conjuntos. Logica proposicional y Algebras de Boole.

• Objetivo específico: Operar con conjuntos y aplicar sus propiedades para resolver problemas reales.

1.1 Teoria de conjuntos

Piensa

Elabora una lista de amigos, y asigna las personas a los conjuntos cuando cumplen con el requisito dado.

A={personas que me hacen reír}

B={personas que siempre han estado dispuestas a ayudar}

C={personas con las que me gustaría salir}

• A una reunión asisten 50 personas, de las cuales 30 cantan, 20 bailan y 10 no cantan ni bailan. ¿Cuántas personas cantan y bailan?

• ¿Y si las que bailan son 25?

• ¿Cuántos enteros positivos menores que 60, no son divisibles entre 2, ni entre 3, ni entre 5?

Ejemplos Motivadores

• En una encuesta realizada a un grupo de 100 estudiantes del Instituto de idiomas se obtuvo el siguiente resultado:

28 estudian español, 30 estudian alemán, 42 estudian francés, 8 español y alemán, 10 estudian español y francés, 5 alemán y francés, 3 estudian los tres idiomas.

¿Cuántos estudiantes tienen el francés como único idioma de estudio?

Ejemplos

Teoría de Conjuntos

• Definición, elementos. • Cardinal de un conjunto, conjunto finito, conjunto

vacio. • Subconjunto. • Igualdad de conjuntos. • Operaciones con conjuntos:

• Unión • Intersección • Complementación • Diferencia

Contenidos

Teoría de Conjuntos

• Por extensión

Cuando se da una lista que comprende a todos los elementos del conjunto y sólo a ellos

• Por comprensión

Cuando se da una propiedad que la cumplan todos los elementos del conjunto y sólo ellos.

Definición de conjunto: Es una colección de objetos bien definida de cualquier clase.

Teoría de Conjuntos

• Por extensión

A={7}

B={2, -2}

C={c,o,r,e,t}

• Por comprensión

A={x/x-5=2}

B={x/x2 =4}

C={x/x es letra de la palabra “correcto”}

Ejemplos: Definir por extensión los siguientes conjuntos.

2 no pertenece A r pertenece a C m no pertenece C

Teoría de Conjuntos

• Por extensión

D={a, b, c, d, e}

E={2, 4, 6, 8, 10,…}

F={1, 3, 5, 7, 9}

• Por comprensión

D={x/x es una de las 5 primeras letras del alfabeto}

E={x/x es múltiplo de 2}

F={x/x es un número entero positivo, impar menor que 10}

Ejemplos: Definir por comprensión los siguientes conjuntos.

Teoría de Conjuntos

• Ø , conjunto vacio, |Ø| =0

A={7} | A | =1

B={2, -2} | B | =2

C={c,o,r,e,t} | C | =5

E={x/x es múltiplo de 2} | E | = ∞

N={n/n es un número natural} | N | = ∞

Z= {n/n es un número entero} | Z | = ∞

Cardinal de el conjunto A, es el número de sus elementos, y se denota |A|

Teoría de Conjuntos

El conjunto vacio,

Subconjunto,

Igualdad de conjuntos ,

BxAxBA

BxAxBA

/

XX ,

ABBABA ,

ZN

NF

NEE={2, 4, 6, 8, 10,…}

F={1, 3, 5, 7, 9}

Teoría de Conjuntos

Operaciones

Ejemplo

Unión

}:{ BxAxxBA

},,,,,{

},,{,},,,{

iedcbaBA

ieaBdcbaA

Teoría de Conjuntos

Operaciones

Ejemplo

Intersección

}:{ BxAxxBA

}{

},,{,},,,{

aBA

ieaBdcbaA

Teoría de Conjuntos

Operaciones

Ejemplo

Complementación

}:{, Si AxXxxAAXA c

},,,,{

},,,,,,,,{,},,,{

ihgfeA

ihgfedcbaXdcbaA

Teoría de Conjuntos

Operaciones

Ejemplo

Diferencia

}:{ BxAxxBA

},,{

},,{,},,,{

dcbBA

ieaBdcbaA

Teoría de Conjuntos

• Asociativa.

• Conmutativa

• Idempotente

Propiedades

)()(;)()( CBACBACBACBA

ABBAABBA ;

AAAAAA ;

Teoría de Conjuntos

• Elemento Ínfimo

• Elemento universal, U

• Ley de simplificación

• Propiedad distributiva

Propiedades

AUAUUA ;

AAA ;

AABAAABA )(;)(

)()()(;)()()( CABACBACABACBA

Teoría de Conjuntos

Propiedades

Complementario

AAXAA

ABBA

BABA

BABA

AAXX

;

entonces , Si

;;

}:{, Si AxXxxAAXA c

Teoría de Conjuntos

Pero, si los conjuntos A, B y C no son disjuntos

Principio de adición: Si A y B son conjuntos finitos, no

vacíos y disjuntos, (es decir, ) , entonces BA

BABA

B A

CBA

CBCABA

CBACBA

)(

Principio de Inclusión-exclusión

• Conocido también como principio de la criba.

• Establece que si A1, ..., An son conjuntos finitos entonces:

• Cuántos enteros positivos menores que 60, no son divisibles entre 2, ni entre 3, ni entre 5?

Ejemplos

A={divisibles entre 2} B={divisibles entre 3} C={divisibles entre 5}

Problema

De un total de 130 estudiantes, 60 usan lentes, 51 usan zapatos tenis y 30 usan lentes y tenis.

En este conjunto de 130 estudiantes se encuentran 54 estudiante con camisa blanca, de los cuales 26 usan lentes, 21 tenis y 12 lentes y tenis. Todo estudiante que no tiene lentes ni tenis usa pantalón vaquero.

• (a) ¿Cuántos estudiantes usan pantalón vaquero?

• (b) ¿Cuántos estudiantes que no tienen camisa blanca usan lentes pero no tenis?

• (c) ¿Cuántos estudiantes que no usan camisa blanca no tienen lentes ni tenis?