ÁRBOLES BINARIOS

Estructura de Archivos

Árboles Binarios

Un árbol binario es un árbol en el que ningún nodo puede tener más de dos subárboles. En un árbol binario, cada nodo puede tener cero, uno o dos hijos (subárboles). Se conoce el nodo de la izquierda como hijo izquierdo y el nodo de la derecha como hijo derecho.

Árboles Binarios

Árboles Binarios

Un árbol binario es una estructura recursiva. Cada nos es la raíz de su propio subárbol y tiene hijos, que son raíces de árboles llamados subárboles derecho e izquierdo del nodo, respectivamente. Un árbol binario se divide en tres subconjuntos:

{R} Nodo raíz {I1,I2,…,In} Subárbol izquierdo de R {D1,D2,…,Dn} Subárbol derecho de R.

Árboles Binarios

Árboles Binarios

Características

Estructuras de control de informaciónNo más de 2 subárboles por nodo

Puede contener de 1 a 2n

cada nodos puede ser la raíz de unsubárbol

Recursivos

Cada nodo puede tener 0,1 ó 2 hijos

Árboles Binarios

Equilibrio

La distancia de un nodo al nodo raíz determina la eficiencia con la que puede ser localizado. Por ejemplo, dado cualquier nodo de un árbol, a sus hijos se puede acceder siguiendo sólo un camino de bifurcación o de ramas, el que conduce al nodo deseado. De modo similar, los nodos a nivel 2 un árbol sólo pueden ser accedidos siguiendo sólo dos ramas del árbol.

Equilibrio

La característica anterior nos conduce a una característica muy importante de un árbol binario, su balance equilibrio. Para determinar si un árbol está equilibrado, se calcula su factor de equilibrio. El factor de equilibrio de un árbol binario es la diferencia en altura entre los subárboles derecho e izquierdo. Si la altura del subárbol izquierdo es h, y la altura del subárbol derecho es hD, entonces el factor de equilibrio del árbol B se determina por la siguiente fórmula.

Equilibrio

B= hD –hI

Un árbol está perfectamente equilibrado si su equilibrio o balance es cero, y sus subárboles son también perfectamente equilibrados. Dado que esta definición ocurre raramente se aplica una definición alternativa. Un árbol binario está equilibrado si la altura de sus subárboles difiere en no más de uno (su factor de equilibrio es -1, 01, +1) y sus subárboles son también equilibrados.

Árboles Binarios Completos

Un árbol binario completo de profundidad n es un árbol en el que para cada nivel, del 0 al nivel n-1 tiene un conjunto lleno de nodos y todos los nodos hoja a nivel n ocupan las posiciones más a la izquierda del árbol.

Un árbol binario completo que contiene 2n nodos a nivel n es un árbol lleno. Un árbol lleno es un árbol binario que tiene el máximo número de entradas para su altura. Esto sucede cuando el último nivel está lleno.

Árboles Binarios Completos

Especificación del Árbol Binario

Crear

ArbolConstru

ir

Es vacío

Raíz

Inicia el árbol como vacío

Crea un árbol con un

elemento raíz y dos

ramas, izquierda y

derecha que son, a su

vez, árboles

Comprueba si el árbol no tiene nodos

Devuelve el nodo

raíz

Especificación del Árbol Binario

Izquierdo

Derecho

Borrar

Pertenece

Obtiene la rama subárbol izquierdo

de un árbol dado

Obtiene la rama

subárbol Derecho de

un árbol dado

Elimina del árbol el nodo

con un elemento

determinado

Determina si un

elemento se encuentra en el árbol

Estructura de un Árbol Binario

La estructura de un árbol binario se construye con nodos. Cada nodo debe contener el campo dato (datos a almacenar) y dos campos de tipo puntero, uno al subárbol izquierdo y otro al subárbol derecho, que se conocen como puntero izquierdo y puntero derecho respectivamente, Un valor NULL indica un árbol o un subárbol vacío.

Estructura de un Árbol Binario

Representación gráfica de los campos de un nodo.

El tipo de datos correspondiente a la estructura de un nodo de un árbol binario es el siguiente: Nodo

Subarbolzquierdo < puntero a Nodo >Datos < Tipodato >subarbolDerecho < puntero a Nodo >

Fin nodo

Estructura de un Árbol Binario

Representación enlazada de dos árboles binarios

Estructura de un Árbol Binario

Árbol binario y su estructura en nodos

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Representación de un Nodo

El nodo se representa mediante una estructura (struct) para así agrupar a todos los campos de que consta. Se supone que el nodo tiene los campos dato, izquierdo y derecho. El tipo de dado de los elemento se generaliza como tipo Elemento.

Creación de un Árbol Binario

A partir del nodo raíz de un árbol se puede acceder a los demás nodos del árbol, por ello el puntero que permite acceder al árbol es el que referencia a la raíz. Las ramas izquierda y Derecha son a su vez árboles binarios que tienen su raíz, y así recursivamente hasta llegar a las hojas del árbol. La formación del árbol para por la creación de cada uno de los nodos y el enlace con el correspondiente nodo padre. Para crear un nodo de un árbol binario, se reserva memoria para el nodo, se asigna el dato al campo correspondiente y se inicializa los punteros izdo, dcho a NULL.

Ejemplo

ArbolBinario crearNodo (TipoElemento x){

ArbolBinario a;a= (ArbolBinario) malloc(sizeof(Nodo));a -> dato = x;a -> decho = a ->izdo = NULL;return a;

}

Creación de un Árbol Binario

La función nuevoArbol( ) crea un árbol cuya raíz es un nodo con el campo dato el que se pasa como tercer argumento, la rama izquierda y derecha del árbol se pasan como segundo y cuarto argumentos.

Ejemplo:

Void nuevoArbol (ArbolBinario* raíz, ArbolBinario ramaIzqda, TipoElemento x,ArbolBinario ramaDrcha){*raíz = CrearNodo(x);(*raíz) -> izdo = ramaIzqda;(raíz) -> dcho = ramaDrcha;}

Creación de un Árbol Binario

Árbol binario de cadena de caracteres.

Operaciones en Árboles Binarios

Una vez que se tiene creado un árbol binario, se pueden realizar diversas operaciones sobre él. El hacer uso de una operación u otra dependerá de la aplicación que se le quiera dar al árbol. Algunas de las operaciones típicas que se realizan en árboles binarios son:

Operaciones en Árboles Binarios

Determinar su altura

Hacer copia

Borrar (Eliminar árbol)

OperacionesTodas las operaciones se

pueden realizar recorriendo el árbol de un modo sistemático. El recorrido de un árbol es la operación de visita al árbol, o lo que es lo mismo, la visita a cada nodo del árbol una vez y sólo una, La visita de un árbol

es necesaria en muchas ocasiones, por ejemplo, si se desea imprimir la información

contenida en cada nodo.

Determinar su número de elementos

Visualizar el árbol en pantalla

Determinar si dos árboles son idénticos

Si es de expresión, evaluarlo

Árbol Binario de Búsqueda.

Estos árboles se denominan árboles binarios de búsqueda, debido a que se pueden buscar en ellos un término utilizando un algoritmo de búsqueda binaria similar al empleado en arrays.

Un árbol binario de búsqueda es aquel que dado un nodo, todos los datos del subárbol izquierdo son menores que los datos de ese nodo, mientras que todos los datos del subárbol derecho son mayores que sus propios datos.

Árbol Binario de búsqueda para nodos con el campo de datos de tipo int.

Árbol Binario de Búsqueda.

Creación de un Árbol de Búsqueda.

Supongamos que se desean almacenar los números 8, 3, 1, 20, 10, 5, 4 en un árbol binario de búsqueda. Siguiendo la regla, dado un nodo en el árbol todos los datos a su izquierda deben ser menores que todos los datos del nodo actual, mientras que todos los datos a la derecha deben ser mayores que los datos. Inicialmente el árbol está vacío y se desea insertar el 8. La única elección es almacenar el 8 en la raíz.

Creación de un Árbol de Búsqueda.

A continuación viene el 3, ya que el 3 es menor que el 8, el 3 debe ir en el subárbol izquierdo.

8

3

8

Creación de un Árbol de Búsqueda.

A continuación se ha de insertar 1 que se menor que 8 y que 3, por consiguiente irá a la izquierda y debajo de 3:

1

3

8

Creación de un Árbol de Búsqueda.

Cada nuevo elemento se inserta como una hoja del árbol. Los restantes elementos se pueden situar fácilmente:

8

320

5

110

4

Una propiedad de los árboles binarios de búsqueda es que no son únicos para los mismos datos.

Nodo de un Árbol Binario de Búsqueda.

Un nodo de un árbol binario de búsqueda no difiere en nada de los nodos de un árbol binario, tiene un campo de datos y dos punteros a los subárboles izquierdo y derecho respectivamente.

Un árbol de búsqueda se puede utilizar cuando se necesita que la información se encuentre rápidamente. Un ejemplo de árbol binario de búsqueda es el que cada nodo contiene información relativa a una persona. Cada nodo almacena un nombre de un alumno (dato de tipo cadena) y el número de matrícula en su universidad (Dato entero).

Creación de un nodo.

La función tiene como entrada un dato entero, que representa un número de matrícula y el nombre.

Devuelve un puntero al nodo creado.Nodo* crearNodo(int id, const char* n){Nodo* t;t= (Nodo*) malloc(sizeof(Nodo));t-> nummat =id;strcpy(t -> nombre, n);t -> izdo = t > dcho = NULL;return t;}

Recorrido de un Árbol.

Un recorrido de un árbol binario requiere que cada nodo del árbol sea procesado (visitado) una vez y sólo una en una secuencia predeterminada. Existen dos enfoques generales para la secuencia de recorrido, profundidad y anchura.

El recorrido en profundidad, el proceso exige un camino desde la raíz a través de un hijo, al descendiente más lejano del primer hijo antes de proseguir a un segundo hijo. En otras palabras, en el recorrido en profundidad, todos los descendientes de un hijo se procesan antes del siguiente hijo.

Recorrido de un Árbol.

En el recorrido en anchura, el proceso se realiza horizontalmente desde la raíz a todos sus hijos, a continuación a los hijos de sus hijos y así sucesivamente hasta que todos los nodos han sido procesados. En otras palabras, en el recorrido en anchura, cada nivel se procesa totalmente antes de que comience el siguiente nivel.

La designación tradicional de los recorridos utiliza un nombre para el nodo raíz (N), para el subárbol izquierdo (I) y para el subárbol derecho (D).

Recorrido de un Árbol.

Según sea la estrategia a seguir, los recorridos se conocen como enorden (inorder), preorden (peorder) y postorden(postorder):

Preorden (nodo-izquierdo-derecho)(NID)

Enorden (izquierdo-nodo-derecho)(IND)

Postorden (izquierdo-derecho-nodo)(IDN)

Recorridos de árboles binarios.

Recorrido Preorden.

El recorrido preorden(NID) conlleva los siguientes pasos, en los que el nodo raíz va antes que los subárboles:

1.- Visitar el nodo raíz (N)2.- Recorrer el subárbol izquierdo (I) en preorden 3.- Recorrer el sub{árbol derecho (D) en preorden.

Recorrido Preorden.

Dadas las características recursivas de los árboles, el algoritmo de recorrido tiene naturaleza recursiva. Primero se procesa la raíz, a continuación el subárbol izquierdo y después el subárbol derecho. Para procesar el subárbol izquierdo, se hace una llamada recursiva al procedimiento Preorden y luego se hace lo mismo con el subárbol derecho.

Recorrido Preorden de un árbol binario.

Recorrido Preorden de un árbol binario.

En la función preorden( ) se implementa el algoritmo de recorrido en C, la condición que indica que continúe el recorrido es: raíz ¡= NULL, o simplemente, raíz.

 Void preorden (ArbolBinario raiz){

If(raiz){

Visitar(raíz -> dato);Preorden(raíz -> izdo);Preorden(raíz -> dcho);

}}

Recorrido en Orden.

El recorrido enorden (inorder) procesa primero el suárbol izquierdo, después el raíz y a continuación el subárbol derecho. El significado de in- es que la raíz se procesa entre los subárboles.

Si el árbol no está vacío, el método implica los siguientes pasos:

1.- Recorrer el subárbol izquierdo (I) en inorden.

2.- Visitar el nodo raíz (N)3.- Recorrer el subárbol derecho (D) en

inorden.

 

Recorrido enorden de un árbol binario.

Ejemplo:

La siguiente función visita y escribe el contenido de los nodos de un árbol binario de acuerdo al recorrido EnOrden. La función tiene como parámetro un puntero al nodo raíz del árbol.

 Void enorden (ArbolBinario raiz){

If(raiz){

Enroden (raíz -> izdo); /*recorre subárbol izquierdo*/

Visitar(razi ->dato); /*procesa raíz*/Enorden (raíz ->dcho); /*recorre subárbol derecho*/

}}

 

Recorrido Postorden.

El recorrido postorden (IDN) procesa el nodo raíz (post) después de que los subárboles izquierdo y derecho se han procesado. Se comienza situándose en la hoja más a la izquierda y se procesa. A continuación se procesa su subárbol derecho. Por último se procesa el nodo raíz. Las etapas del algoritmo, si el árbol no está vacío son:

 1.- Recorrer el subárbol izquierdo (I) en

postorden.2.- Recorrer el subárbol derecho (D) en

postorden.3.- Visitar el nodo raíz (N).

Recorrido Postorden.

Recorrido Postorden. La función postorden ( ) implementa en C el

algoritmo correspondiente. Void postorden (ArbolBinario raiz){

If(raiz){

Postorden (raíz ->izdo);Postorden(raíz -> dcho);Visitar (raíz -> dato);

}}

Arboles binarios paginados

Estos parten de la premisa de desplazamiento lento y transferencia rápida, en el disco, lo cual lleva a la paginación. La manera en la que se utiliza la paginación es que una vez que se a posicionado en una parte del disco, en vez de extraer unos cuantos bytes, se le una página competa, de este modo se aprovecha el desplazamiento que se hace en el disco, lo cual nos ayuda a resolver la relativa lentitud que existe en estos desplazamientos. Por ejemplo, si se quiere extraer cierta dirección, se carga la pagina, y en caso de que se requiera otra y está en la misma página su extracción es muy rápida, de esta manera se ahorra un desplazamiento en el disco.

Calculo de la eficiencia de un árbol binario paginado

Árbol binario Log2(N+1)

Árbol binario paginado Logk+1(N+1)

Donde; N= Numero de nodos k= Numero de nodos por

pagina

Ejemplos

Log2 (134 217 727+1) = 27

Log511+1 (134 217 727+1) = 3

Log2 (63+1) =7

Log7+1(63+1) = 3

Arboles B*

En el estudio y las aplicaciones de los arboles B, Knuth extiende la idea de la redistribución durante la inserción para incluir nuevas reglas para la división.

Ejemplo; Considérese un sistema en el que se pospone la división, mediante la redistribución.

Esto quiere decir que se insertan los elementos y después se agrupan para dejar la mayor parte de nodos redistribuidos de tal manera que queden lo mas completo que se pueda.

El aspecto mas importante de esta división de dos a tres que produce paginas que se llenan hasta las dos terceras partes, en vez de solo la mitad.

Propiedades de un árbol B*

1. Cada pagina tiene un máximo de m descendientes.

2. Cada pagina excepto la raíz y las hojas tienen al menos (2m-1)/3 descendientes

3. La raíz tiene al menos dos descendientes (a menos que sea hoja)

4. Todas las hojas tienen el mismo nivel5. Una pagina que sea hoja con k

descendientes contiene k-1 llaves6. Una pagina hoja contiene por lo menos (2m-

1)/3 llaves y no mas de m-1  

Ejemplo de redistribución de un árbol B*

M

A C D F H K P R S T V X

F R

A B C D

H K M P

S T V X

Árbol original

División de dos a tres;Después de Insertar la llave B