Arboles binarios, colas, filas

Algoritmos y Estructuras de Datos

ACI600

Escuela de Ingeniera

Unidad V: Tipos de datos abstractosClase 9: Introduccin a las estructuras dinmicas y diccionario

MATERIAL PROPIEDAD DE UDLA.AUTORIZADA SU UTILIZACIN SLO PARA FINES ACADMICOS.

Introduccin a las estructuras dinmicas

La estructuras dinmicas son estructuras cuya dimensin puede crecer o disminuir durante la ejecucin del programa.

Una estructura dinmica de datos es una coleccin de nodos.

Nulo

Informacin2 Informacin3

siguiente

lista

Informacin2.5

Introduccin a las estructuras dinmicas

Las estructuras dinmicas son de gran utilidad para almacenar datos del mundo real.

La insercin de elementos en estructuras dinmicas suele ser ms rpida.

0 1 k-1 k k+1 n-2 n-1

arreglo[n] =

x

mover cada valor

Tipo de dato abstracto

Un Tipo de dato abstracto (TDA) es un conjunto de datos u objetos al cual se le asocian operaciones.

El TDA provee de una interfaz pblica con la cual es posible realizar las operaciones permitidas, abstrayndose de la manera en como estn implementadas dichas operaciones.

Ejemplos: Listas, rboles y colas


Un mismo TDA puede ser implementado utilizando distintas estructuras de datos y proveer la misma funcionalidad.

Al poseer caracterstica de caja negra, el usuario del TDA ignora su estructura, no la necesita.

TDA

Necesito administrar la cola del banco

Entra alguien a la colaSale alguien de la cola


La diferencia entre un TDA y una estructura de dato es que la primera tiene operaciones bien definidas, mientras la segunda es slo una estructura, usualmente para ser utilizada como representacin de un TDA.

TDA

Estructura Interfaz

TDA Diccionario

Un TDA Diccionario es una coleccin de pares llave/valor.

Se puede acceder a un elemento del diccionario, o establecer ste, mediante su llave y operador de subndice.

a d(a)

Dominio Imagen

Diccionario d

llave valor

TDA Diccionario

Un TDA Diccionario posee las siguientes operaciones:

bsqueda(X): dado un elemento X, conocido como llave de bsqueda, encontrarlo dentro del conjunto o decir que no est

insercin(X): agregar un nuevo elemento X al conjunto

eliminacin(X): eliminar el elemento X del conjunto

Cambiar(X): actualizar el valor X del conjunto (opcional)

TDA Diccionario

Necesito un directorio de personas

Busca elementosInserta elementosElimina elementos

TDA Diccionario

Las reglas de un Diccionario son las siguientes:

No se admiten dos valores tengan la misma clave

Si se adiciona una valor a una clave que ya existe, entonces se modifica el valor que antes se almacenaba.

Ingreso a Juan Perez

Juan Perez

Jos Gonzlez

Ingreso a Jos Gonzlez

Ingreso o modifico a Juan Perez

TDA Diccionario

Si dos valores tienen la misma clave, entonces el tamao del diccionario aumenta.

Ingreso a RUT 1 Juan Perez1 Juan Perez

Ingreso a RUT 1 Fono 123456781 Juan Perez 12345678

TDA Diccionario: Implementacin

Para la implementacin se utilizar un objeto del tipo llave/valor.

interface Comparable{

int compareTo(Object x);

}

class Registro{

public Comparable palabra;

public Object significado;

public Registro(Object x,Object y){

palabra=x; significado=y;

}

}

Ejemplo


El diccionario debe facilitar la bsqueda, por lo que debe ser eficiente en encontrar las llaves.

class Diccionario{

protected static final int N=100;

protected int n;

protected Registro[] reg;

public Diccionario(){

reg=new Registro[N]; n=0;

}

public Object buscar(Comparable x){

int i=indice(x);

return i


La funcin ndice encuentra el valor a travs de bqueda binaria O(log n) .

protected int indice(Comparable x){

//repetir mientras queden elementos

int ip=0,iu=n-1;

while(ip


Al utilizar un arreglo en el ejemplo se debe realizar la funcin borrar en O(n).

public boolean borrar(Comparable x)

{

//buscar palabra: O(log2n)

int i=indice(x);

if(i


El mismo caso anterior para la funcin agregar.

El diccionario realiza en menor tiempo la bsqueda.

public boolean agregar(Comparable x,Object y) throws DiccLleno{

//buscar palabra x: O(log2n)

if(indice(x)>=0) return false; //O(log2n)

if(n>=N) throw new DiccLleno();

//bajar elementos: O(n)

int i;

for(i=n-1; i>=0 ;--i){

if(reg[i].palabra.compareTo(x)


ACI600


Unidad V: Tipos de datos abstractosClase 10: Listas

Definicin

Una lista se define como una serie de N elementos E1, E2, ..., EN, ordenados de manera consecutiva.

Si la lista contiene 0 elementos se denomina como lista vaca.

Pueden existir

elementos repetidos.

Puede accederse,

insertarse y borrarse

en cualquier posicin.

Definicin

La interfaz del TDA Lista es el siguiente:

vacia(): devuelve verdadero si la lista esta vaca

insertar(x, i): inserta el elemento x en la posicin i

buscar(x): devuelve la posicin en la lista del elemento x

buscar(i): devuelve el i-simo elemento de la lista

eliminar(x): elimina de la lista el elemento x

Aplicaciones

Recuperacin de informacin, traduccin de lenguajes de programacin o simulacin.

Listado To Do

Explorador de directorios

Listados ordenados con

bsqueda de cualquier

elemento

Comparacin implementaciones

Las principales diferencias entre usar arreglo y lista enlazada son:

buscar(i) es ms rpido usando arreglos: O(1)

Al utilizar arreglos insertar(x,i) debe crear nuevo listado si se llena el arreglo.

eliminar(x) debe mover elementos delante de x si se utiliza arreglos.

El tamao de la lista enlazada es variable, nunca se llena y utiliza espacio en memoria dinmica.

Representacin

La representacin en este caso se realiza mediante una lista enlazada de nodos.

class Nodo{

public Object valor;

public Nodo sgte;

public Nodo(Object x,Nodo y){

valor=x; sgte=y;

}

}

class Lista

{

protected Nodo primero;

public Lista(){

primero=null;

}

public boolean vacia(){

return primero==null;

}

Ejemplo

Representacin

Se soluciona el inconveniente de perder referencia al primer elemento al eliminar/agregar elementos con una referencia fija al primer elemento llamado primero.

Nulo

valor1 valor2 valor3

sgte sgte

lista

sgte

primero

Operaciones

La funcin buscar recorre la lista hasta encontrar el elemento.

Realiza la operacin en O(n).

public int buscar(Object x)

{

int i=0;

//repetir hasta fin de lista enlazada

Nodo r=primero;

while(r!=null)

{

//si se encuentra devolver ndice

if(r.valor.equals(x)) return i;

//pasar a siguiente nodo

++i;

r=r.sgte;

}

return -1;

}

Ejemplo

Operaciones

La bsqueda por ndice recorre la lista enlazada x veces.

La operacin demora O(n).

public Object buscar(int x)

{

int i=0;

//recorrer lista enlazada

for(Nodo r=primero; r!=null; r=r.sgte)

{

//devolver valor en ndice x

if(i==x) return r.valor;

++i;

}

return null;

}

Ejemplo

Operaciones

Para eliminar un nodo, se ubica y luego se elimina su referencia.

Nulo

valor1 valor i-1 valor i

r r

primero

sgte sgtesgte .

ndice i con valor x

valor i+1

Operaciones

La operacin demora O(n).

public void eliminar(Object x)

{

if(vacia()) return;

if(primero.valor.equals(x)){

primero=primero.sgte; return;

}

//caso general

for(Nodo r=primero; r.sgte!=null; r=r.sgte)

if(r.sgte.valor.equals(x)){

r.sgte=r.sgte.sgte;//borrar

return;

}

}

Ejemplo

Operaciones

En la insercin se crea el nodo en la posicin i.

Nulo

Informacin 1 Informacin i-1 Informacin i

r r

Informacin i

primero

sgte sgte

sgte sgte

sgte .

ndice i-1 ndice nuevo i+1

Operaciones

Se debe recorrer el listado con un tiempo de O(n).

public void insertar(Object x,int i) throws ListaLlena

{

if(i==0){

primero=new Nodo(x,primero); return;

}

int j=0;

for(Nodo r=primero; r!=null; r=r.sgte){

if(j==i-1){

r.sgte=new Nodo(x,r.sgte); return;

}

++j;

}

}

}

Ejemplo

Eliminacin de recursividad

Cuando el llamado recursivo se realiza al final de una funcin (tail recursion), la recursin se puede eliminar utilizando un ciclo.

void imprimir(int[] a, int j) // versin recursiva {

if (j


Cuando el llamado recursivo se realiza en medio de una funcin, la recursin se puede eliminar utilizando una pila.

static void inverso( NodoLista n ) //version recursiva

{

if( n!=null )

{

inverso(n.siguiente);

System.out.print(n.elemento+"->");

}

}

Ejemplo

Un mtodo recursivo es menos eficiente que uno no recursivo, pero slo en pocas oportunidades vale la pena eliminar la recursin.


Los programas no recursivos son ms eficientes.

La eliminacin de recursividad puede quitar claridad.

static void inverso( NodoLista n ) //version con Pila

{

PilaLista p = new PilaLista();

for(NodoLista r=n; r!=null; r=r.siguiente) {

p.apilar(r);

}

while(!p.estaVacia()){

System.out.print( ((NodoLista)p.desapilar()).elemento+"->");

}

}

Ejemplo


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Unidad V: Tipos de datos abstractosClase 11: Pilas

Definicin

Una pila o stack es una lista de elementos de la cual slo se puede extraer el ltimo elemento insertado.

La posicin en donde se

encuentra dicho elemento

se denomina tope de la pila.

Tambin se conoce a

las pilas como listas LIFO

El trmino LIFO es el acrnimo ingls de Last In First Out (ltimo en entrar, primero en salir).

Definicin

La interfaz del TDA Pila es el siguiente:

apilar(x) o push: inserta el elemento x en el tope de la pila

desapilar() o pop: retorna y elimina el elemento que se encuentre en el tope de la pila

tope() o top: retorna el

elemento que se encuentre

en el tope de la pila

estaVacia() o isEmpty: retorna

verdadero si la pila no

contiene elementos 5

3

9

4

1

apilar desapilar

tope

Aplicaciones

Estructuras auxiliares en numerosos algoritmos:

recorridos de rboles y grafos

evaluacin de expresiones

conversin entre notaciones de expresiones

Botn Deshacer de

los editores de texto.

Botn Atrs

de navegadores.

Undo1

Undo2

Redo1

Redo2

Redo3


Al igual que en el TDA Lista, el arreglo tiene un tamao fijo que en caso de llenarse se debe reinicializar con un tamao mayor.

El tamao de la lista enlazada es variable, nunca se llena y utiliza espacio en memoria dinmica.

a0

0

a1

1

a n-2

n-2

a n-1

n-1

arreglo[n] =

a*

apilar

arreglo = arreglo2[2*n] = a0

0

a1

1

a n-2

n-2

a n-1

n-1

a*

n 2*n-2

2*n-1

Representacin

En la implementacin con nodos, el primer elemento es el tope de la pila.

class NodoLista

{

Object elemento;

NodoLista siguiente;

NodoLista(Object o, NodoLista n)

{

this.elemento=o;

this.siguiente=n;

}

}

class PilaLista

{

private NodoLista lista;

public PilaLista() {

lista=null;

}

Ejemplo

Operaciones

Para apilar se debe agregar un nuevo primer elemento.

Para desapilar simplemente se elimina el primer elemento.

Nulo

valor nuevo valor1 valor2

sgte sgte

lista

sgte

lista

Nulo

valor2 valor3

sgte

lista

sgte

valor1

sgte

lista

Operaciones

Ambas operaciones son O(1).

public void apilar(Object x)

{

lista=new NodoLista(x, lista);

}

public Object desapilar() // si esta vacia se produce UNDERFLOW

{

if (!estaVacia()) {

Object x=lista.elemento;

lista=lista.siguiente;

return x;

}

}

Ejemplo

Operaciones

Las funciones tope y estaVacia tambin son O(1).

public Object tope() {

if (!estaVacia()) // si esta vacia es un error

{

Object x=lista.elemento;

return x;

}

}

public boolean estaVacia()

{

return lista==null;

}

}

Ejemplo


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Unidad V: Tipos de datos abstractosClase 12: Colas

Definicin

Una cola es una lista en donde se insertan elementos al final de la lista y se extraen desde el inicio.

El nico elemento observable es el

primero que fue insertado.

Tambin se conoce a las

colas como listas FIFO.

El trmino FIFO es el acrnimo ingls de First In First Out (primero en entrar, primero en salir).

Definicin

La interfaz del TDA Cola es el siguiente:

encolar(x) o enqueue: inserta el elemento x al final de la cola

sacar() dequeue: retorna el elemento que se ubica al inicio de la cola

estaVacia(): retorna verdadero si la cola esta vaca, falso en caso contrario

Cola

8 7 6 5 4 3 2 1encolar sacar

Aplicaciones

Colas de trabajos a realizar por una impresora.

Asignacin de tiempo de procesador a los procesos en un sistema multiusuario (sin prioridad).

Simular situaciones reales:

Cajero automtico

Llamadas en espera


Al igual que en el TDA Pila, se puede implementar a travs de arreglos y listas enlazadas.

El arreglo tiene un tamao fijo que en caso de llenarse se puede reinicializar con un tamao mayor.

Para optimizar el uso del arreglo se utiliza una variable que indica el primer elemento.

0

34

1

3

k-1

2

k k+1 n-2 n-1

cola=

primero ltimo

numElem

Implementacin arreglo

El caso ms general es utilizando arreglo circular.

El arreglo circular funciona igual que un lista circular, pero sin referencias.

15

0

10

1

3

k-1

2

k k+1

34

n-2

22

n-1

cola=

primeroltimo

numElem2 numElem1

numElem = numElem1 + numElem2

Representacin

Al utilizar arreglo se inicializa el nmero mximo de datos a utilizar.

class ColaArreglo

{

private Object[] arreglo;

private int primero, ultimo, numElem;

private int MAX_ELEM=100; // maximo numero de elementos en la

cola

public ColaArreglo()

{

arreglo=new Object[MAX_ELEM];

primero=0;

ultimo=-1;

numElem=0;

}

Ejemplo

Operaciones

Al agregar un elemento se verifica que no est lleno el arreglo.

La operacin demora O(1).

public void encolar(Object x) {

if (numElem

Operaciones

Al eliminar un elemento se verifica que no est vaco el arreglo.

Las operaciones demoran O(1).

public Object sacar()

{

if (!estaVacia()) // si esta vacia se produce UNDERFLOW

{

Object x=arreglo[primero];

primero=(primero+1)%MAX_ELEM;

numElem--;

return x;

}

}

public boolean estaVacia() {

return num_elem==0;

}

}

Ejemplo

TDA Cola de Prioridad

Una cola de prioridad es una cola en la que cada elemento tiene asociada una prioridad.

La operacin de extraccin siempre elige el elemento de menor prioridad.

6

0

4

1

3

3

2

4

5

5 6

9

7

7

82

prioridades 8 1

sacar

TDA Cola de Prioridad

La interfaz del TDA Cola de Prioridad es el siguiente:

encolar(x, p) o enqueue: inserta el elemento x con la prioridad p

sacar() dequeue: retorna el elemento con mayor prioridad

estaVacia(): retorna verdadero si la cola esta vaca, falso en caso contrario

TDA Cola de Prioridad: Aplicaciones

La cola de las ciudades ordenadas por su distancia al destino final.

Las colas de las tareas pendientes ordenadas por su fecha de terminacin.

Las colas de personas con personas de movilidad reducida.

TDA Cola de Prioridad: Implementaciones

Tres formas de implementar colas de prioridad son:

Una lista ordenada: Insercin: O(n)

Extraccin de mximo: O(1)

Una lista desordenada: Insercin: O(1)

Extraccin de mximo: O(n)

Un rbol binario: Insercin: O(log(n))

Extraccin de mximo: O(log(n))

1

2 3

4 5 6 7

8 9


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Unidad VI: Estructuras de datos NO linealesClase 13: rboles generales

rboles Generales

Un rbol se define como una coleccin de nodos organizados en forma recursiva.

El rbol consiste en un nodo denominado raz, el cual tiene 0 o ms referencias a otros rboles, conocidos como subrboles.

Cuando hay 0 nodos

se dice que el rbol

esta vaco.

Informacin

Referencias

subrbol1

subrbolN

subrbol2

rboles Generales

1

2 4

5 6 8 9

11 12

3

7 10

15

13 14

Hojas

Raz

Hermanos

Padre de 8, 9 y 10

Hijo de 2

rboles Generales

El largo del camino entre un nodo a otro es el nmero de referencias que componen el camino.

Existe un nico camino desde la raz hasta cualquier otro nodo del rbol.

1

2 4

5 6 8 9

11 12

3

7 10

15

13 14

2

3

1 Ancestro de 10

Descendiente de 1 y 4

rboles Generales

La profundidad de un nodo es el largo del camino entre la raz del rbol y el nodo.

La altura de un nodo es el mximo largo de camino desde ese nodo hasta alguna hoja.

1

2 4

5 6 8 9

11 12

3

7 10

15

13 14

2

3

4

1

Profundidad del rbol = 4

1

2 Altura de 4 = 2

Representacin

Como no se sabe de antemano cuantos hijos tiene un nodo en particular se utilizan dos referencias, una a su primer hijo y otra a su hermano ms cercano.

1

2 3 4

5 6 7 8 9 10

11 12

15

13 14

Hijo

Hermano

Representacin

La representacin de un rbol general contiene las dos referencias.

class NodoArbolGeneral {

Object elemento;

NodoArbolGeneral hijo;

NodoArbolGeneral hermano;

}

Ejemplo

Si se permite que la raz del rbol tenga hermanos, lo que se conoce como bosque

rboles Binarios

Un rbol binario es un rbol en donde cada nodo posee 2 referencias a subrboles.

Informacin

Izq

subrbolizquierdo

subrbolderecho

Der

rboles Binarios: Propiedades

Los nodos en s que conforman un rbol binario se denominan nodos internos.

1

2 3

4

Nodo interno

Nodo externo

Nmero nodos externos = nmero nodos internos + 1

rboles Binarios: Propiedades

1

2 3

4

X

(largo caminos raz-interno)=

(largo caminos raz-externo) + 2* nmero nodos internos

1

2

3

Largo camino entre 1 y 2 = 2

Largo camino entre 1 y X = 3

Representacin

Al conocer la cantidad de hijos, se representan directamente.

class NodoArbolBinario

{

Object elemento;

NodoArbolBinario izq;

NodoArbolBinario der;

}

Ejemplo

rboles Binarios: Recorridos

Preorden: raz - subrbol izquierdo - subrbol derecho.

1

2 3

4 5 6 7

1 2 4 5 3 6 7

static String preorden(NodoArbolBinario r){

if(r==null) return "";

return r.elemento + preorden(r.izq) + preorden(r.der);

}

Ejemplo


Inorden: subrbol izquierdo - raz - subrbol derecho.

4 2 5 1 6 3 7

1

2 3

4 5 6 7

static String inorden(NodoArbolBinario r){


return inorden(r.izq) + r.elemento + inorden(r.der);

}

Ejemplo


Postorden: subrbol izquierdo - subrbol derecho - raz.

4 5 2 6 7 3 1

1

2 3

4 5 6 7

static String postorden(NodoArbolBinario r){


return postorden(r.izq) + postorden(r.der) + r.elemento;

}

Ejemplo

rboles de expresiones matemticas

Un rbol de expresiones es un rbol binario que contiene: Hojas: corresponden a los operandos de la expresin (variables

o constantes)

Nodos: se encuentran los operadores

*

+ -

1 2 4 3

rboles de expresiones matemticas

Si la raz resulta ser operador se retorna el valor al operar los valores obtenidos de las evaluaciones recursivas de los subrboles con el operador respectivo.

*

+ -

1 2 4 3

1 + 2 4 - 3

Preorden y Pilas

*

+ -

1 2 4 3

* + 1 2 4 3

3

4

-

2

1

+

* Como sacarlospara calcular?

Notacin polaca!


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Unidad VI: Estructuras de datos NO linealesClase 14: rboles de bsqueda binaria

Definicin

Un rbol de bsqueda binaria (ABB) es un rbol binario en el cual todos los valores del subrbol izquierdo son menores a un nodo padre y todos los valores del subrbol derecho son mayores.

X

X

izq der

Definicin

Los ABB son un TDA Diccionario que permite realizar de manera eficiente las operaciones.

X

Llave ValorIzq Der

raz

Aplicaciones

Implementacin de TDA Diccionario.

Localizacin de elementos en base de datos relacionales con ndices.

Analizadores lxicos,

sintcticos y semnticos

en compiladores.

Existe una variacin de los ABB llamado rbol AVL que, mediante el balanceo del rbol, mejora el peor caso de las operaciones de un ABB de O(n) a O(log n).

Representacin

La definicin de nodo considera la estructura llave/valor de un TDA Diccionario.

class Nodo{

public Comparable palabra;

public Object significado;

public Nodo izq, der;

public Nodo(

Comparable x,Object y,Nodo z,Nodo w){

palabra=x; significado=y; izq=z; der=w;

}

}

class Diccionario

{

protected Nodo raiz;

public Diccionario(){

raiz=null;

}

Ejemplo

Bsqueda

Si el valor es menor que el elemento en la raz se busca recursivamente en el subrbol izquierdo, si el valor es mayor que el elemento en la raz se sigue buscando recursivamente en el subrbol derecho.

5

3 16

1 4 10 20

7 12

12?

12>5

1210

encontrado

Bsqueda

La funcin retorna la referencia al nodo.

Existe la posibilidad que el valor no sea encontrado.

public Object buscar(Comparable x){

Nodo r=referencia(x,raiz);

return r==null ? null : r.significado;

}

Ejemplo

Bsqueda

La funcin referencia realizar la comparacin en s.

//bsqueda iterativa en un ABB

protected Nodo referencia(Comparable x,Nodo r){

while(r!=null){

int c=x.compareTo(r.palabra);

if(c==0) return r;

r = c

Bsqueda

El costo promedio de bsqueda es O(log n)

Peor caso O(n)

5

16

10

12

12?

12>5

1210

encontrado

Bsqueda y cambio

La misma funcin que encuentra la referencia al nodo puede utilizarse para cambiar un valor del ABB.

El cambio de valor tiene O(log n)

public boolean cambiar(Comparable x,Object y){

Nodo r=referencia(x,raiz);

if(r==null) return false;

r.significado = y;

return true;

}

Ejemplo

Insercin

Para agregar un elemento al ABB, se debe realizar una bsqueda infructuosa.

Insertar elemento en el lugar de referencia de bsqueda.

5

3 16

1 4 10 20

7 12

6?

6>5

6

Insercin

El orden de insercin es O(log n)

public boolean agregar(Comparable x,Object y) throws DiccLleno{

if(referencia(x,raiz)!=null)

return false;

raiz=agregar(x,y,raiz);

return true;

}

protected Nodo agregar (Comparable x,Object y,Nodo r) throws

DiccLleno{

if(r==null)

return new Nodo(x,y,null,null);

if(x.compareTo(r.palabra) < 0)

r.izq=agregar(x,y,r.izq);

else

r.der=agregar(x,y,r.der);

return r;

}

Ejemplo

Eliminacin

Para eliminar un elemento al ABB, se debe realizar una bsqueda exitosa del valor en un nodo.

Existen 3 casos:

Si el nodo no tiene hijos se puede eliminar.

5

3 16

1 4 10 20

7 12

Eliminar 7

7>5

7

Eliminacin

Si el nodo tiene un solo hijo, se cambia la referencia del padre para que referencia al hijo.

5

3 16

1 4 10 20

12

Eliminar 10

10>5

10

Eliminacin

Si el nodo tiene dos hijos: Se elimina el nodo con menor valor del subrbol derecho del nodo

Se reemplaza el valor de dicho nodo por el del nodo que se quera eliminar.

5

3 16

1 4 10 20

22

Eliminar 16

16>5

17

5

3 17

1 4 10 20

22

Eliminacin

El algoritmo toma O(log n) en eliminar un nodo.

public boolean borrar(Comparable x){

Nodo r=referencia(x, raiz);

if(r==null) return false;

raiz=borrar(x,raiz);

return true;

}

//devolver ABB sin x

protected Nodo borrar(Comparable x,Nodo r){

if(r==null) return null;

int c=x.compareTo(r.palabra);

if(c==0) return borrar(r);//borra x

if(c

Ejemplo

Eliminacin

protected Nodo borrar(Nodo r){

if(r.izq==null) return r.der;

if(r.der==null) return r.izq;

//reemplazar por mayor de arbol izq

if(r.izq.der==null){

r.palabra = r.izq.palabra;

r.significado = r.izq.significado;

r.izq = r.izq.izq; //enlazar hijos menores

}

else{

Nodo rAnt=r.izq;

while(rAnt.der.der!=null)

rAnt=rAnt.der;

r.palabra = rAnt.der.palabra;

r.significado = rAnt.der.significado;

rAnt.der = rAnt.der.izq;//enlazar menores

}

return r;

}

Ejemplo

Arboles binarios, colas, filas

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