APUNTESDEMETEOROLOGA DINMICAJOS AGUSTN GARCADepartamento de Fsicamarzo, 20071IIndice general1. Introduccin a la Mecnica de Fluidos 11.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Nocin del continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Concepto de ujo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4. Imgenes euleriana y lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5. Derivada msica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6. Lneas de corriente, trayectorias y lneas de emisin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6.1. Lneas de corriente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6.2. Trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6.3. Lneas de emisin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7. Estudio de la deformabilidad del continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7.1. Deformacin del vector desplazamiento, vector supercie y volumen. . . . . . . 161.8. Velocidad de deformacin de los elementos de longitud, supercie y volumen . . . . . . 181.9. Teorema de conservacin de la masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.10.Tensor velocidad de deformacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.10.1. Tensor de Cauchy y GreenVenant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.11.Teorema de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.12.Teorema de Helmholtz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.13.Dinmica de uidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.14.Tensor de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.14.1. Condicin de la situacin de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.15.Fluidos newtonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.16.Principio de conservacin de la energa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.16.1. Condiciones frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.16.2. Ecuacin de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631.16.3. Teorema de Crocco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652. Ecuaciones meteorolgicas del movimiento 692.1. Ecuaciones del movimiento en una Tierra en rotacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.1.1. Efecto de la fuerza de Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.1.2. Efecto de la fuerza centrfuga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70IV NDICE GENERAL2.2. Ecuaciones del movimiento en coordenadas esfricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.3. Ecuacin de conservacin del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.4. Coordenadas verticales alternativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.4.1. La presin como coordenada vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.4.2. La temperatura potencial como coordenada vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . 932.5. El sistema de coordenadas naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942.5.1. El viento geostrco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962.5.2. Viento del gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.5.3. Otros tipos de vientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.6. Efecto del rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032.6.1. El bombeo Ekman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082.7. El viento trmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092.7.1. El teorema de TaylorProudman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092.7.2. Efecto de la baroclinicidad:El viento trmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122.7.3. Algunas consecuencias del concepto del viento trmico. . . . . . . . . . . . . . . 1142.7.4. Adveccin de temperatura y estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1142.8. Determinacin de la velocidad vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1232.8.1. El mtodo cinemtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.8.2. El mtodo adiabtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.9. La ecuacin de tendencia baromtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1252.10.Fuerzas de marea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1262.10.1. Mareas en equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1333. Vorticidad y Circulacin 1353.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.2. Expresin de la vorticidad en otros sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.2.1. Coordenadas naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.2.2. Coordenadas esfricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1393.3. Circulacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1393.3.1. Efecto de la baroclinicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443.4. Ecuacin de conservacion de la vorticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1483.5. Vorticidad y circulacin en sistemas de referencia no inerciales . . . . . . . . . . . . . . . 1503.5.1. Ecuaciones aproximadas para ujo a gran escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1543.5.2. La ecuacin de conservacion de vorticidad en coordenadas isobaricas . . . . . . 1573.5.3. Cordenadas isentrpicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1583.6. Ondas largas (teora de Rossby) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1644. Ondas en la atmsfera 1694.1. Importancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694.2. Concepto de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704.3. La ecuacin de ondas: soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714.3.1. El problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172NDICE GENERAL V4.3.2. Algunas caractersticas de las ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.4. Ondas dispersivas: Velocidad de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1764.4.1. El mtodo de la fase estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784.5. Ondas en medios no homogneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1834.6. Ondas sonoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1854.7. Ondas gravitatorias externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1884.7.1. Energas cintica y potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1944.8. Ondas inerciagravedad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004.8.1. Ajuste Geostrco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2024.8.2. Transitorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2054.9. Ondas de Kelvin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2074.10.Ondas Planetarias de Rossby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2094.10.1. Ondas Rossby topogrcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2144.11.Efectos de la estraticacin. Ondas gravitacionales internas . . . . . . . . . . . . . . . . . 2164.11.1. Importancia de la estraticacin. El nmero de Froude . . . . . . . . . . . . . . . 2174.11.2. Ondas gravitatorias internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2184.11.3. Ondas de montaa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2244.11.4. Obstaculo Aislado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228Captulo 1Introduccin a la Mecnica de Fluidos1.1. IntroduccinAunque la mecnica de medios continuos no tiene porque ceirse a la mecnica de uidos, sique podemos considerar a la mecnica de uidos como un ejemplo tpico de mecnica de medioscontinuos. Por esta razn vamos a utilizar la mecnica de uidos como un medio para estudiar lamecnica de medios continuos.1.2. Nocin del continuoEsta hoy en da perfectamente asumido que la materia es discreta, esto es, est formada por to-mos los cuales a su vez estn compuestos por ncleos y electrones "girando.entorno a sus ncleos.Estos a su vez estn compuesto por otras partculas los cuales a su vez estn compuesto por otraspartculas, etc. No obstante podemos todava en ciertos problemas considerar a la materia como con-tinua esto es con propiedades macroscpicas que son funcin continua de la posicin en el seno dela materia. Para analizar en que condiciones podemos considerar a la materia como un continuo,considerar el concepto de densidad . Para denir la densidad en un punto, debemos de tomar unvolumen muy pequeo en torno a dicho punto y calcular la densidad como la suma de las masas delas partculas contenidas en dicho volumen y lo dividiremos por el volumen(Vx) =

i m(i )VxSi el volumen es muy pequeo, el anterior valor uctuar fuermente cuando vayamos de un punto aotro, aunque sea prximo, pues el valor de la densidaddepender de si hemos cogido alguna partcula2 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidoso no dentro de nuestro volumen elemental, con lo que, la idea de un valor de la densidad funcincontinua de la posicin no es posible. As mismo si cambiamos el tamao de nuestro volumen ladensidad cambiar fuertemente, pues como antes, es posible que el nmero de partculas contenidasen el interior del volumen vare fuertemente y por tanto nuestra denicin de densidad dependerenormemente del volumen elegido para denirla. Si vamos aumentando nuestro volumen, poco apoco se ir estabilizando el valor de la densidad hasta que este apenas vare, pues la inclusin denuevas partculas va a alterar muy poco el valor de la densidad. Sea V0 el valor para el cual esto ocurre.Si dicho valor es muy pequeo frente al tamao macroscpico del problema que nos ocupa, podemosconsiderar a la densidad denida en ese volumen como un valor local, en realidad la vamos a tomarcomo la densidad en el punto origen de dicho volumen, esto es(x) =(V0)El problema surge cuando dicho volumen es grande comparado con el tamao del problema de talforma que no lo podemos considerar como local. En estas condiciones debemos acudir a otra teoracomo puede ser la teora cintica de gases. Lo mismo que hemos hecho para la densidad se puedehacer para otras propiedades microscpicas como son la velocidad, la temperatura, la presin etc. Encualquier caso vamos a suponer que todas estas propiedades son funcin continua de la posicin,salvo en un conjunto de medida nula.1.3. Concepto de ujoEn los problemas de sistemas de partculas, se supone que tenemos resuelto nuestro problemacuando conocemos la trayectoria de cada una de las partculas, esto es, cuando tenemos funcionesde la forma xi =xi(xi 0, t ) que nos permiten conocer la posicin de la partcula en cada instante comofuncin de la posicin inicial. En el caso de mecnica de medios continuos vamos a tener una inni-tud no numerable de partculas y en vez de tener un ndice que nos las cuente tendremos un nmero(o nmeros) real (reales). Sea el parmetro que nos designa las partculas del medio continuo, Esteparmetro puede ser por ejemplo la posicin en un instante inicial. Como antes, supondremos queexiste un mapa o aplicacin que nos lleva a cada partcula en un instante dado a su posicin en uninstante posterior. Esto es supondremos que existe una funcin tal quex =t() =x(, t )Vamos a suponer que se verican las siguientes propiedades1.4 Imgenes euleriana y lagrangiana 31. La aplicacint() es una aplicacinuno a uno y la inversa es tambinuno a uno. Esto signicaque una partcula no se puede dividir en dos y que dos partculas no se pueden juntar y darlugar a una nueva partcula.2. La aplicacin t() es una funcin continua y con derivada continua de la posicin , de tal for-ma que el uido se puede deformar todo cuanto queramos sin llegar a romperse. La aplicacininversa verica tambin estas propiedades. En estas condiciones diremos que la aplicacin es un difeomorsmo.3. La aplicacinttiene las propiedades de un grupo, de tal forma quet +s = ts,0es laidentidad y tes el elemento inverso de t. Este grupo recibe el nombre de grupo unipara-mtrico.1.4. Imgenes euleriana y lagrangianaEl estudio de los uidos se puede abordar desde dos imgenes o visiones diferentes. En primerlugar podemos jarnos en cada una de las partculas que componen el uido1y analizar que ocurrecon cada una de ellas en el curso del tiempo. Esto constituye lo que se ha venido en llamar la imagenlagrangiana del uido. O bien, en vez de ver que le ocurre a cada partcula podemos ver que pasa encada punto del espacio en cada instante de tiempo, en este caso hablaremos de imagen euleriana.La imagen euleriana equivale a una teora de campos. >Que relacin existe entre una y la otra ?. Paraello imaginemos una propiedad de una partcula que en el instante tse encuentra en el punto x.Obviamente dicha propiedad coincidir con la propiedad del punto x en dicho instante. As puesP(, t ) =P(x(, t ), t ) (1.1)La anterior ecuacin nos dice, que la propiedad Pque tiene la partcula en el instante t , coincidecon el valor de la propiedad Pen el punto x en el cual est la partcula en el instante t . As mismola propiedad Pen el punto x en el instante tcoincidir con la propiedad de la partcula que este enese instante en dicho puntoP(x, t ) =P((x, t ), t ) (1.2)1La idea de partcula aqu no signica lo mismo que en la mecnica de sistemas, pues estamos suponiendo que el medioes continuo. Una partcula aqu es un pequeo volumen en torno a un punto dado.4 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidos1.5. Derivada msicaEs interesante poder relacionar las variaciones temporales que tiene una propiedad Pen las dosimgenes de Lagrange y Euler. Esta cuestin es fundamental pues las leyes de la mecnica y la ter-modinmica son leyes que se aplican a un sistema mecnico o trmico jado de antemano. Cuandoaplicamos la leyes de Newton, lo primero que hacemos es jar el sistema mecnico y luego analiza-mos cual es su evolucin en el tiempo. Esto signica que cuando apliquemos estas mismas leyes enmecnica de uidos debemos jar a que partculas se las vamos aplicar, esto es, debemos utilizar laimagen lagrangiana para poder aplicar las leyes de Newton. Lo mismo sucede con las leyes termodi-nmicas. Ahora bien es normal que conozcamos las propiedades espaciales y por tanto tengamos unconocimiento euleriano del sistema. >Cmo relacionar las variaciones temporales en una imagen yotra ?. La respuesta est en las ecuaciones dadas en la seccin anterior. Partiendo de la expresin (1.2)y derivando respecto del tiempo, manteniendo constante,DPDt=P(, t )t=P(x(, t ), t )tx+P(x(, t ), t )xx(, t )tAhora bienx(, t )tno es otra cosa que la velocidad de la partcula en el instante t , que por la misma ecuacin (1.2) esla velocidad en el punto x ocupado en ese instante por la partcula , por lo tanto tenemosDPDt=P(x(, t ), t )tx+v(x, t ) P(x(, t ), t )x(1.3)La cantidadP(x(, t ), t )txrecibe el nombre de variacin local de la propiedad PyvP(x(, t ), t )x=v GRADPrecibe el nombre de adveccin de la propiedad P. Podemos poner por tantoDPDt=Ptx+v GRADP. (1.4)Podemos aplicar la anterior ecuacin para calcular la aceleracin de una partcula del uido a partir1.5 Derivada msica 5del campo de velocidades. En este caso P =v y por tantoa = DvDt =vtx+v GRADv (1.5)Respecto de la anterior ecuacindebemos de decir que mientras Dv/Dt es una verdadera aceleracinla cantidad v/tno es una aceleracin si no la variacin local de la velocidad. Mientras que Dv/Dtes la propiedad de una burbuja determinada,v/t afecta a burbujas diferentes y por tanto no sepuede considerar como propiedad de una partcula determinada. Vamos a ver un ejemplo que nospermita ver la diferencia entre ambos trminos. Para ello considerar que estis en una plcida tardede verano bajo la sombra de una magnca encina observando la marcha de un rio en la cercana deunos rpidos del mismo. Supuesto que el ujo es estacionario, observis que los pequeos troncosy ramas que transporta el rio, al pasar por delante de vosotros, mantienen la misma velocidad, peroque, segn se acercan a los rpidos, estos van aumentando de velocidad. >Qu sucede ? Pues que,cuando nosotros observamos que todos los troncos que pasan delante de nuestros ojos tienen lamisma velocidad, estamos evaluando la variacin local de velocidad, como todos los troncos tienenla misma, este trmino es nulo. Ahora bien, cuando nos jamos en uno de ellos, vemos que se aceleracuando se acerca a los rpidos. >Cual es la aceleracin de uno de estos troncos? Pues obviamente ladiferencia de velocidades dividido por la diferencia de tiemposvtahora bien t =x/ v, por lo que la aceleracin vale vvxen el lmite cuando x tiende a cero obtenemosvvxLa cantidad v GRADv recibe el nombre de adveccin de velocidad. Desde un punto de vista pu-ramente matemtico esta cantidad constituye la derivada de Lie del campo vectorial v a lo largo delcampo integral del propio campo v. En el caso que tengamos una propiedad Pque es un escalar, porejemplo la temperatura, el operador GRAD, es el gradiente usual del campo P(x, y, z). Si la propiedadPes un vector, como sucede si estudiamos el campo de velocidades, el operador GRAD es la derivada6 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidoscovariante. Donde, como es sabido, la derivada covariente del campo v viene dada por la expresinvi, j =vixj +ij ,kvksiendo ij ,klos coecientes de la conexin afn o simbolos de Christoffel de segunda especie, de talforma que la derivada msica resulta,_DvDt_i= vit+vjvij = vit+vj_vixj +ij ,kvk_== vit+vj vixj +ij ,kvjvkEmpleando el smbolo en vez del GRAD para designar al gradiente del campo de velocidades, eltrmino adventivo lo podemos poner comovvEnunlenguajedediadaspodemosconsideraralgradientedevelocidadescomoladiada vylaanterior expresin como la aplicacin a la izquierda de la diada v, por tanto tenemos(v )vtrmino que, en coordenadas cartesianas eulerianas, toma la forma[(v )v]i =_vx_vidonde con el subndice repetido queremos indicar una suma en . Podemos evaluar a partir de lasanteriores expresiones la variacin local de la propiedad P. Supongamos que nos estamos reriendoa la temperatura de la burbuja, P =T, de la expresin 1.4, tenemosTt =v T +DTDtSupongamos que la temperatura de la burbuja no ha variado en el curso del tiempo. Esto signicaque DT/dt =0, por lo queTt =v Testo signica que la variacin local de la temperatura es igual a la adveccin de temperatura, estoes, el viento advecta las isotermas con l, a una velocidad v cos siendo el ngulo formado por1.5 Derivada msica 7el vector gradiente de temperatura y el vector velocidad. Para ver esto jmonos en la gura 1.1 enT0T1T2T3T4sy21Figura 1.1:donde un cierta masa de aire se mueve en la direccin de la echa. Al moverse en esa dirreccin, y nocambiar la temperatura de la burbuja, arrastra consigo las isotermas, esto es si la burbuja en un ciertoinstante se localiza en el punto 2, tiene la temperatura T2 cuando se haya desplazado a la posicin 1tendr es ese punto la temperatura T2 (hemos supuesto que el desplazamiento es isotermo). As puesla temperatua en la posicin 1 habra cambiado de T1 a T2 en el tiempo transcurrido durante el viajede la partcula del punto 2 al punto 1, as pues la velocidad de la variacin local de la temperatura serTt = T2T1t= T2T1s/v=vT2T1s=vT2T1y/cos=v cosT2T1y=vyT2T1yen el lmiteTt =vyTy =v GRADTLa gura 1.2 nos ilustra comoacta la adveccin. Ala izquierda tenemos uncampode temperaturas0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.050.10.150.20.250 0.2 0.4 0.6 0.8 100.050.10.150.20.25Figura 1.2:que cuyas isotermas son paralelas al eje x y que van creciendo a lo largo del y. En el centro tenemos8 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidosun hipottico campo de viento, somplando de arriba para abajo en la parte central y de abajo paraarriba en los extremos. La gura de la derecha nos muestra el campo de temperatura al cabo de uncierto tiempo, donde se puede observar como se deforman las isotermas a cuenta de la adveccin.Ejemplo 1.1Considerar el ujo denido por el conjunto de ecuacionesx = ty = (1+t2)z = (1+t )2Calcular la velocidad y aceleracin del anterior ujo tanto en la imagen lagrangiana como en la ima-gen euleriana.SOLUCCIONDe acuerdo con la denicin, la velocidad lagrangiana viene dada por la expresin v = (x/t ), porlo que derivando las anteriores ecuaciones respecto a t manteniendo constantes , , , tenemosvx(, , , t ) = vy(, , , t ) = 2tvz(, , , t ) = 2(1+t )Para calcular la imagen euleriana debemos de utilizar las ecuaciones del ujo para eliminar, , ,resultandovx(x, y, z, t ) =xtvy(x, y, z, t ) = 2yt1+t2vz(x, y, z, t ) = 2z1(1+t )Para calcular la aceleracin partiendo de la expresin de la velocidad en la imagen lagrangiana, solo1.5 Derivada msica 9debemos de derivar respecto del tiempo, por lo queax(, , , t ) = 0ay(, , , t ) = 2az(, , , t ) = 2que utilizando las ecuaciones del ujo podemos escribir en la imagen eulerianaax(x, y, z, t ) = 0ay(x, y, z, t ) = 2y11+t2az(x, y, z, t ) = 2z1(1+t )2Ahora bien si partimos de la expresin euleriana de la velocidad para calcular la aceleracin debemosde emplear la expresin Dv/Dt ,ax(x, y, z, t ) =vxt+(vx)vx =0ay(x, y, z, t ) =vyt+(vx)vy =2y11+t2ay(x, y, z, t ) =vzt+(vx)vz =2z1(1+t )2siendo_vx_=vxx +vyy +vzzobteniendo los mismos resultados que a travs de la imagen lagrangiana. Obsrvese que cuando cal-culamos la aceleracin a partir de la imagen euleriana obtenemos la aceleracin tambin en la ima-gen euleriana.Ejemplo 1.2Calcular la expresin de la diada (v) en coordenadas cilndricas.SOLUCINEl operador en cilndricas vale=rr +1r+kz10 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidosyv =vrr +v+vzksiendo (vr, v, vz) las componentes fsicas de la velocidad en cilndricas (vr = r, v= r , vz = z). Apli-cando el operador a la velocidad v, obtenemosv =rrvrr+rvr+rkvzr +r1rvr+1rv+k1rvz+krvrz +kvz +kkvzz +vrrr+vrdonde hemos tenido en cuenta que la derivada de los vectores base respecto de r y z vale cero. Dadoquer=y que=robtenemosv =rrvrr+rvr+rkvzr +r(vr+1rvr) +(vrr+1rv) +k1rvz+krvrz +kvz +kkvzzSi aplicamos el anterior operador al vector v por la izquierda, obtenemosv v =vr_rvrr+vr+kvzr_+v_r(vr+1rvr) +(vrr+1rv) +k1rvz_+vz_rvrz +vz +kvzz_1.6 Lneas de corriente, trayectorias y lneas de emisin 11que reordenandov v =r_vrvrr+vrvr+vzvrz v2r_+_vrvr+v(vrr+1rv) +vzvz_+k_vrvzr+v1rvz+vzvzz_La traza del tensor v =v/x constituye la divergencia del campo, por lo que v = vrr+1rv+vzz +vrr1.6. Lneas de corriente, trayectorias y lneas de emisin1.6.1. Lneas de corrienteSe dene una lnea de corriente como aquella curva en el espacio que en un instante determina-do tes tangente al campo de velocidades en cada punto del espacio. Es una imagen instantnea delcampo de velocidades del uido. La ecuacin de la lnea de corriente vendr dada por una expresindel tipo x = x(s) siendo s un cierto parmetro. En coordenadas cartesianas eulerianas, el vector tan-gente a la curva tiene por componentes (dx/ds, dy/ds, dz/ds) Puesto que este campo es tangente alcampo de velocidades, sus componentes han de ser proporcionales, por lo quedx/dsvx(x, y, z, t ) =dy/dsvy(x, y, z, t ) =dz/dsvz(x, y, z, t )que podemos poner de diferentes formas. Eliminando dsdxvx(x, y, z, t ) =dyvy(x, y, z, t ) =dzvz(x, y, z, t )(1.6)12 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidosque nos permite obtener un par de supercies cuya interseccin nos da la lnea buscada. Podemostambin utilizar como ecuacin de las lneas de corriente las expresionesdxds =vx(x, y, z, t )dyds =vy(x, y, z, t ) (1.7)dzds =vx(x, y, z, t )que nos permite obtener las ecuaciones paramtricas. En todas las expresiones anteriores el tiempojuega el papel de parmetro y denota el instante en el que estamos calculando la lnea de corriente.Las ecuaciones y por tanto las lneas de corriente cambian de un instante a otro excepto si el tiempono est presente en la expresin del campo de velocidades. En esta situacin diremos que el ujo esestacionario La gura 1.3 nos muestra un ejemplo de las lneas de corriente en torno a una esferaFigura 1.3: Lneas de corriente en la estela formada por una esfera. (Fuente: G.K. Batchelor. An introduction toFluid Mechanics. Cambridge)1.6.2. TrayectoriasComo en la mecnica de sistemas, la trayectoria es la curva integral del campo de velocidades,esto esdxdt =vx(x, y, z, t )dydt =vy(x, y, z, t ) (1.8)dzdt =vx(x, y, z, t )1.6 Lneas de corriente, trayectorias y lneas de emisin 13Enestecasoeltiempojuegaelpapeldevariableindependienteynodesimpleparmetrocomosuceda en el caso de las lneas de corriente. En el caso en que ujo sea estacionario el tiempo no estpresente en la expresin de campo de velocidades por lo que formalmente las expresiones para laslneas de corriente y las trayectorias son idnticas por lo que ambas curvas coinciden.1.6.3. Lneas de emisinSon las curvas ms fcilmente obtenibles de forma experimental, basta inyectar un colorante,por ejemplo mediante una aguja hipodrmica, en un punto del seno del uido. Todos los puntos de lacurva cumplen la condicin de haber pasado en un instante determinado por el punto de emisin delcolorante. As pues llamaremos curva de emisin a la curva que une aquellos puntos materiales quehan pasado en un cierto instante por una posicin dada en el seno del uido. Para ver las ecuacionesde las curvas de emisin consideremos la denicin de ujox =x(, t )Vamos a evaluar a partir de la anterior expresin que partculas han pasado por un cierto punto y enel instante s tal que 0 s t . Puesto que la anterior expresin es invertible, estas partculas vendrndadas por la expresin =(y, s)una vezqueconocemos laspartculas,vamos aver queposicin ocupan en un ciertoinstantet ,sustituyendo la anterior expresin en la ecuacin del ujox =x((y, s), t ) (1.9)En la anterior expresin, s juega el papel de parmetro que nos describe la curva y tel instante enel que consideramos la curva. La lnea de emisin al igual que la lnea de corriente est formada pordiferentes partculas, mientras que la trayectoria se reere a la curva descrita por una nica partcula.La gura 1.4 nos muestra a unas linas de emisin que surgen de los bordes de una pequea esferasituada en una corriente de aceite. En el caso de ujo estacionario, la lnea de emisin coincide conla lneas de corriente y la trayectoria.Ejemplo 1.3Considerar el campo de velocidades vx =x/(1+t ), vy = y, vz =0. Calcular las expresiones14 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de FluidosFigura 1.4: Lneas de emisin (streak lines) en torno a una esfera.(Fuente: G.K. Batchelor. An introduction toFluid Mechanics. Cambridge).de las lneas de corriente, trayectorias y lneas de emisin.SOLUCINPara el clculo de las lneas de corriente emplearemos la expresindxvx= dyvy= dzvzque en nuestro caso particular toma la formadxx/(1+t ) = dyy=0dzEst claro que las lneas de corriente deben de obtenerse a lo largo de los planos z =constante. Inte-grando la primera igualdad(1+t ) log( xx0) =log( yy0)de dondeyy0=_ xx0_1+tsiendo t un parmetro. Por ejemplo para t =0 sern rectas, mientras que para t =1 sern parbolas.Para el clculo de la trayectoria, tenemosdxdt=x1+tdydt= ydzdt= 01.7 Estudio de la deformabilidad del continuo 15integrando,xx0= 1+tyy0= exp(t )z = constanteeliminando t , obtenemosy = y0exp_ xx01_Para el clculo de las lneas de emisin, transformamos la ecuacin de la trayectoria en una ecua-cin para el ujo, llamando =x0 y = y0, obtenemosy = etx = (1+t )>Que partculas han pasado por el punto (a, b) en un cierto instante s? Basta eliminar de las expre-siones del ujo (, ), =a1+s = bessustituyendo en la expresin del ujo para evaluar en que posicin se encuentran las partculas en elinstante t obtenemosy = be(t s)x =a1+s(1+t )1.7. Estudio de la deformabilidad del continuoUna de las propiedades del continuo es su capacidad de sufrir deformaciones sin romperse, puessegn nuestras hiptesis le uido no se rompe, salvo en un conjunto de medida nula.16 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidos1.7.1. Deformacin del vector desplazamiento, vector supercie y volumenVector desplazamientoVamos a considerar que tenemos dos partculas prximas cuya posicin relativa en un instanteinicial viene dada por el vector . En el curso del tiempo las partculas cambian de posicin de talforma que en un cierto instante tla posicin relativa viene dada por el vector x. Supuesto que nohaya transcurrido un intervalo de tiempo muy grande y dada nuestra hiptesis de que dos partculasmuy prximas van a permanecer prximas, podemos suponer que existe una relacin lineal entreambos vectores, esto es supondremos quexi=xij jExpresada en forma vectorial la anterior relacin, tenemosx =GRADx (1.10)Esta ecuacin nos dice como se deforman los vectores desplazamiento.Vector supercieVamos a ver como se deforman los elementos de supercie. Como sabemos la ecuacin param-trica de una supercie viene dada por una expresin de la formax =x(u, v)estando los parmetros (u, v) denidos en un cierto dominio de R2. El elemento de supercie se pue-de expresar como=xysiendo x y y sendos vectores a lo largo de las lneas coordenadas v = cte y u = cte respectivamente.En coordenadas cartesianas eulerianas las componentes las podemos poner comoi =i j kxjyk1.7 Estudio de la deformabilidad del continuo 17ahora bien, de acuerdo a las expresiones para la deformacin de los desplazamientos (1.10), xi=xi/jj, podemos poneri =i j kxipxkq pqmultiplicando por xi/r, tenemosxir i =i j kxirxipxkq pqde la denicin de Jacobiano,xir i =pqrJpq.Ahora bien, puesto que

pqrpq=r,siendo r el elemento de supercie en el instante inicial, tenemosxir i = Jrque en forma vectorial podemos ponerGRADx (x) = J() (1.11)que no dice como se deforman los elementos de supercie.VolumenMultiplicando la anterior expresin a la izquierda y a la derecha por r, obtenemosr xir i = Jrrahora bien, la cantidadrr=V ()representa el elemento de volumen en el instante inicial, mientras quer xir i =xii =V (x)18 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidosrepresenta el elemento de volumen en el instante t , por lo que podemos escribir,V (x) = JV ()que nos dice como se deforman los elementos de volumen. Podemos invertir las ecuaciones que nosdan las deformaciones y escribir = GRADx xGRADx () = j (x)V () = j V (x)siendo j el inverso del jacobiano J.Nos interesa ahora analizar como se deforman no las componentes de los vectores si no sus valo-res absolutos, para ello consideremos queds2=dxidxi= xijxikjkLLamemos C al tensorC|j k = xijxiktendremosds =_||C||||puesto que /|| =M es un vector unitario, la cantidad= dsxds=

MCMnos da la tasa de extensin o estiramiento.1.8. Velocidad de deformacin de los elementos de longitud, supercie yvolumenEn la seccin anterior nos hemos preocupado de estudiar como se deforman los elementos delongitud, supercie y volumen, vamos a analizar en esta seccin a que velocidad lo hacen. Para ellovamos a considerar en primer lugar la velocidad de deformacin del vector desplazamiento elemen-1.8 Velocidad de deformacin de los elementos de longitud, supercie y volumen 19tal,DDt (xi) =t(xi) =pasando a coordenadas lagrangianas=t_xij j_=t_xij_j=j_xit_j= vij jvolviendo otra vez a las coordenadas eulerianas,DDt (xi) = vij j=vixkxkjj=vixkxk=vi.En forma vectorial podemos escribir la anterior expresin comoDDt (x) =v =GRADv xMultiplicando por x,xDDt (x) =x GRADv xTeniendo en cuenta que s2=x x es por lo quesDsDt=xDDt (x)y por tantosDsDt=x GRADv xdividiendo por s21sDsDt=M GRADv M (1.12)siendo M el vector unitarioM= xs.En cuanto a la variacin temporal del elemento de supercie tenemos,DDt_xij i_=t(Jj) =Jtj20 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidospuesto que el jacobiano J tiene por expresinJ =13!

i j k

pqr xipxjqxkrderivando parcialmente respecto del tiempo a constante,Jt=3 13!

i j k

pqrt_xip_xjqxkr ==3 13!

i j k

pqr_vip_xjqxkr =3 13!

i j k

pqr_vixlxlp_xjqxkr ==3vixl13!

i j k

pqr xlpxjqxkr =3vixl13!

i j k

l j kJAhora bien, puesto que

i j k

l j k=2litenemosJt=6 13!vixl liJ = vixi J =DIVvJ.As pues hemos obtenido el importante resultado queDJDt = J DIVv (1.13)sustituyendo,t_xij i_= J DIVvjdesarrollando el miembro de la izquierdat_xij i_=t_xij_i+t(i)xijpuesto quet_xij_= vijtenemost_xij i_= vij i+xijt(i) =DIVvJj1.8 Velocidad de deformacin de los elementos de longitud, supercie y volumen 21despejando,xijt(i) =DIVvJjvij i=DIVvJjvixkxkjiintercambiando los ndices i y k en el ltimo trmino del segundo miembro, se obtienexijt(i) =DIVvJjvkxixij kteniendo en cuenta que de la ecuacion 1.11,Jj = xij iobtenemosxijt(i) =DIVvxij ivkxixij ksacando factor comn a (xi/j) y anulando, resultaDDti =DIVvivkxikque en forma vectorial se expresa comoDDt=DIVvGRADv (1.14)multiplicando por DDt=DIVv GRADv teniendo en cuenta queDDt= 12DDt||2obtenemos12DDt||2=DIVv||2N GRADv N||2siendo N el vector unitarioN=||dividiendo por ||2tenemos1||DDt|| =DIVvN GRADv N (1.15)22 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidosque nos da la tasa de expansin del valor absoluto del elemento de supercie.En cuanto a la tasa de expansin del elemento de volumen, tenemosDDtVx =t(JV) =JtV=DIVvJV=DIVvVxdonde hemos tenido en cuenta que Vx = JV y que DJ/Dt =DIVvJ, as pues1VxDDtVx =DIVv (1.16)que nos da la tasa de expansin relativa del elemento de volumen.1.9. Teorema de conservacin de la masaConsideremos una porcin de materia que no pierde su individualidad en el curso del tiempo, osea, est compuesto siempre por las mismas partculas. En el curso del tiempo esta porcin de mate-ria se deformar cuanto quiera pero siempre tendr la misma masa pues esta compuesto siempre delas mismas partculas, as pues M=Mx y por tanto V=xVx. Vimos antes queVx = JVy por tanto= Jx(1.17)de donde se deduce que la densidad no es una magnitud escalar si no una densidad tensorial depeso uno (el exponente del Jacobiano). Tomando la derivada msica (las partculas que componen laporcin del uido son siempre las mismas)DJxDt= DDt=t=0ahora bienDJxDt= JDxDt+xDJDty puesto queDJDt = J DIVv1.10 Tensor velocidad de deformacin 23tenemosJDxDt+xJ DIVv =0y puesto que el jacobiano es distinto de cero, resultaDxDt+xDIVv =0 (1.18)que es la ecuacin de continuidad. Teniendo en cuenta queDxDt=tx+GRADxla ecuacin de continuidad la podemos escribir en coordenadas eulerianas comotx+DIV(xv) =0 (1.19)La cantidad (xv) expresa el ujo de masa a travs de una supercie y la divergencia de esta cantidadexpresa cuanta masa se ha ganado o perdido a travs de una supercie cerrada ja en el espacio y portanto expresa la variacin de la densidad, pues el volumen encerrado por la supercie es el mismo.1.10. Tensor velocidad de deformacinTanto en el estudio de la velocidad de deformacin de los elementos de lnea y supercie apareceel tensor GRADv, vamos a a analizar con mayor profundidad este tensor. En coordenadas cartesianaseulerianas este tensor tiene por expresinvixjque podemos descomponer en su parte simtrica y antisimtrica de la siguiente maneravixj = 12_vixj +vjxi_+12_vixj vjxi_Designemos porei j = 12_vixj +vjxi_a la parte simtrica yi j = 12_vixj vjxi_24 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidosa la parte antisimtrica. Utilizando estos nuevos tensores, la tasa de deformacin del elemento delongitud resulta ser1sDDts = xis(ei j+i j)xjsSe tiene por otra parte que el producto contrado de un tensor simtrico y otro antisimtrico es nulo,por lo que en la anterior expresin resulta quexisi jxjs=i jxisxjs=0pues i jes antisimtrico por construccin yxisxjses simtrico. As pues1sDDts =M E MsiendoE la parte simtrica del tensorGRADv. Este tensor recibe el nombre de tensor velocidad dedeformacin. Vamos a ver el signicado de sus elementos. Para ello consideremos un vector despla-zamiento elemental que tiene como componentes (x1, 0, 0), esto es un vector de longitud s = x1situado a lo largo del eje 1, la tasa de deformacin de este vector vale1sDDts =1x1DDtx1=Miei jMj =i1ei jj1=e11= v1x1As pues e11 representa la tasa de extensin relativa de un vector situado a lo largo del eje 1, lo mismosuceder cono el eje 2 y eje 3. Podemos concluir por tanto que los elementos de la diagonal del tensorvelocidad de deformacin representan la tasa de extensin de sendos vectores situados a lo largo decada eje. La traza del tensor viene dada porv1x1 +v2x2 +v3x3que es la divergencia del campode velocidades y comovimos antes representa la velocidadde cambiodel elemento de volumen. Para ver que representanlos elementos fuera de la diagonal, considerar dosvectores desplazamiento que forman un cierto ngulo entre ellos. El coseno del ngulo formado porambos segmentos lo podemos calcular como el producto escalar entre los dos vectoresx y =ss

cos=xiyi1.10 Tensor velocidad de deformacin 25xyFigura 1.5:siendo s y s

la longitud de los vectores. Derivando en ambos miembros tenemosDDt (ss

cos) =DDt (xiyi)expandiendo las derivadas,DDt (s)s

cos+sDDt (s

) ss

senDDt=vixyi+viyxitomando =/2,ss

DDt|90 =vixyi+viyxi=vixkxkyi+vixkxiykcambiando los ndices repetidos del ltimo trmino del segundo miembro,ss

DDt|90 =vixkxkyi+vkxixkyi=_vixk +vkxi_xkyi=2ei kxkyidividiendo por ss

, tenemosDDt|90 =2Miei kM

ksiendo Mi, M

isendos vectores unitarios en la direccin de los vectores x, y. Suponer ahora quetomamos los vectores anteriores a lo largo de dos vectores base de una base ortogonal, por ejemplouno a lo largo del eje x y el otro el eje y, en este caso Mi=i1 y M

i=i2 por tantoDDt|90 =2i1ei jj2=2e1226 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de FluidosAs pues e12representa la velocidad a la que dos vectores situados a lo largo del los ejes 1,2 se es-tn acercando o alejando. Para ilustrar de forma grca lo que acabamos de demostrar, considerarun punto en un uido cuyas coordenadas son (0,0) respecto de un sistema de referencia ortogonal.Considerar otros dos puntos con coordenadas (x, 0) y (0, y). La velocidad relativa de estos dos pun-[0, (v /x )x ] [(u /y )y , 0]

[0,0]12xyFigura 1.6:tos respecto del origen ser, para el punto 1u =uxx +uy y = uxxv =vxx +vyy = vxxy para el punto 2u =uxx +uy y = uy yv =vxx +vyy = vyyConsideremos nicamente el efecto transversal sobre cada punto, pues los efectos longitudinales (upara el punto 1 y vpara el punto 2) lo que hacen es separar a ambos puntos respecto del origen.Debido a estos efectos transversales, la recta unida al punto 1 barre un ngulo y la recta unida alpunto 2 barre un ngulo . Considerando ngulos muy pequeos en los que podamos aproximar elarco por su seno o su tangente, tenemos= yx =1x_vxxt_= vxt1.10 Tensor velocidad de deformacin 27y= xy =1y_uy yt_= uy ty por tantoddt=vxddt=uyLa velocidad con la que el ngulo de 90 grados va disminuyendo serDDt () =_ddt +ddt_=_vx +uy_=2exyque es el resultado que obtuvimos antes de forma ms rigurosa.Segn hemos visto en las secciones anteriores, e11, e22 y e33 representan la tasa de extensin desendos vectores situados a lo largo de los ejes (1,2,3). Obviamente estas tasas de extensin depende-rn de como hayamos elegido el sistema de referencia. La pregunta que nos hacemos es >Cual es elsistema de referencia, si existe, para el cual e11, e22 y e33 representen las mximas tasas de extensin?. Para contestar a esta pregunta recordemos que la tasa de extensin relativa viene dada por1sDDts =miei jmjsiendo milas componentes del vector unitario que nos marcan la direccin del vector cuya tasa deextensin estamos analizando. Para calcular el mximo debemos derivar respecto de mi, teniendoen cuenta que los vectores son unitarios y por tanto mimi 1 = 0. Utilizando un multiplicador deLagrange , la ecuacin que nos da el mximo toma la formamk(miei jmj+(1mimi)) =0, k =1, 2, 3Derivandoi kei jmj+miei jj k2i kmi =0de dondeek jmj+miei k2mk =028 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidosllamando i al ndice mudo j en el primer trmino y dada la simetra de ei jtenemosmiei kmk =0que en forma de matriz[E][M] =[M]que es una ecuacin en valores propios, cuyos autovalores son los multiplicadores de lagrange y losvectores propios son la direcciones que estamos buscando. Como el tensor E es simtrico esta ecua-cinsiempre tiene soluciones, as pues la base donde el tensor E es diagonal nos marca las direccionesen las que las tasas de expansin son mximas y sus autovalores nos marcan cuales son las tasas deexpansin, pues en esta nueva base[E] =____10 00 200 0 3____Como en esta nueva base los elementos fuera de la diagonal son ceros, slo se estn produciendoestiramientos o contracciones a lo largo de los vectores base.Volvamos a nuestro tensor gradiente de velocidades y analicemos su parte antisimtricai j = 12_uixj ujxi_Este tensor tiene nicamente tres elementos distintos y le podemos asociar un vector de tres compo-nentes2de la siguiente manera. De la denicin de i ji j = 12_uixj ujxi_teniendo en cuenta quei jpqApq= Ai jAj itenemos quei j = 12pqi jvpxq = 12

kpq

ki jvpxq =12

kqp

ki jvpxq2Este proceso de asociar un vector a un tensor antisimtrico de segundo orden solo es posible en R31.10 Tensor velocidad de deformacin 29expresin en la que hemos intercambiado los ndices p y q. Ahora bien

kqpvpxq =(v)k =ky por tantoi j =12

ki jk =12

ki j(v)kMultiplicando en ambos miembros por l i jtenemos

l i ji j =12

l i j

ki jk =kl k =l =(v)lAs pues vemos que la parte antisimtrica del tensor gradiente de velocidades coincide con el rota-cional de dicho campo. >Que signicado fsico podemos asociar al tensor i j?. Para ello jmonosen la gura 1.6. La velocidad rotacional media vendr dada por = 12_ddt ddt_pues las variaciones de los ngulos y son de signo contrario, pero segn vimos antesddt=vxddt=uyde donde = 12_vx uy_= 12(v)zas pues, un medio del rotor nos da la velocidad angular de rotacin media. Hay que tener en cuentaque el uido no es un slido rgido y por tanto slo podemos hablar de una velocidad angular media.Resumiendo, hemos visto que la deformacin relativa en el entorno de un punto viene dada por ladiferencia de velocidades entre dicho punto, que tomamos como origen, y un punto cualquiera de suentorno, esto es porvi=vixj xjseparando en las partes simtrica y antisimtrica tenemosvi=ei jxj+i jxj=ei jxj12

ki jkxj=ei jxj+12

i k jkxj=ei jxj+( x)i30 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidosla primera parte mide la deformacin mientras que la segunda parte mide la rotacin.Ejemplo 1.4Analizar el ujo bidimensional cuyo campo de velocidades viene dado por la expresinv =u(y)iEste tipo de ujo recibe el nombre de cizalla.SOLUCINEl tensor gradiente de velocidades viene dada por la expresinGRADv =____uxuyuzvxvyvzwxwywz____=____0 2 00 0 00 0 0____siendo 2=u/y. Puesto que la traza del tensor es cero, la divergencia es cero y por tanto el ujo esiscoro. La partes simtrica y antisimtrica valenE =____0 0 0 00 0 0____, =____0 0 0 00 0 0____Puesto que los elementos de la diagonal del tensor E valen cero, no existen estiramientos ni contrac-ciones en las direcciones (i, j, k). As mismo los ejes (x, y) se estn acercando con una velocidad dadapor . Para ver en que direccin se producen los mximos estiramientos diagonalizamos la matrizanterior. Como en el eje zno existe ujo, vamos a preocuparnos nicamente de lo que pasa en elplano (x, y). La diagonalizacin de la matriz_0 0_conduce a un par de autovalores, = y dos autovectoresv1=1

2(i +j)v2=1

2(i +j)1.10 Tensor velocidad de deformacin 31De acuerdo con lo dicho anteriormente el ujo produce un estiramiento en las direcciones dadas porlos dos vectores anteriores. Supongamos que >0, como = una de las direcciones marcar unestiramiento y la otra una contraccin. Supongamos que el estiramiento se produce en la direccinv1 y la contraccin en la direccin v2. >Cmo son las lneas de corriente en torno a un punto dadoque tomamos como origen y con velocidad cero, supuesto que el ujo nicamente tenga en cuentaal tensor E ?. El campo de velocidades en torno a dicho punto serv =ExEn la base (v1, v2)v =_ 00 _xUn punto situado en el eje 1 tendr como velocidad relativav =_ 00 __x10_=_x10_y por tanto se estar alejando del origen tanto para puntos tomados en el semieje positivo x1 > 0como el semieje negativo. Lo contrario sucede para un punto situado a lo largo del eje 2v =_ 00 __0x2_=_0x2_Ahora los puntos situados en la parte positiva del eje se estn acercando al origen y los de la partenegativa tambin. >Que pasa para puntos situados en los antiguos ejes coordenados (x, y)El punto de coordenadasx(

2, 0) en la base antigua, tiene como coordenadasx(1, 1) en labase nueva y por tanto su velocidad serv =_ 00 __xx_=_xx_que es un vector dirigido en la direccin del eje +yoriginal. Si consideramos que el punto esta enx(1, 1), esto es en la parte negativa del eje x de la base antigua, ahorav =_ 00 __ xx_=_ xx_32 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidosque es un vector dirigido hacia el eje yde la base original. Si tomamos nuestro punto en el eje +yde la base original, en la base nueva tiene por coordenadas y(1, 1) y por tantov =_ 00 __yy_=_yy_que es un vector dirigido a lo largo del eje +x de la base original. Por el contrario si el punto esta en eleje y, en la base nueva tiene por coordenadas y(1, 1) y su velocidad relativa serv =_ 00 __ yy_=_ y+y_que es un vector dirigido a lo largo del eje x de la base original. Podemos expresar mediante la gura1.7 todo lo dicho anteriormente. que constituye un movimiento de deformacin pura sin cambio dev v1 2Figura 1.7:volumen, pues su divergencia es cero.>Que pasa con la parte antisimtrica ?. En este caso segn vimos antesv = xsiendo =12v. Teniendo en cuenta que en el caso que nos ocupa v =u/y k =2k, tene-1.10 Tensor velocidad de deformacin 33mos, =k, por lo quev =kx =_yx_Si representamos este movimiento obtendremos una rotacin en torno al origen, ver gura 1.8. Sivv1 2Figura 1.8:vv1 2Figura 1.9:superponemos los dos movimientos, vemos que en los puntos a lo largo del eje x se anulan ambosujos resultando una cizalla a lo largo del eje y, ver la gura 1.9. Vemos pues que una cizalla es enrealidad suma de una rotacin y una deformacin pura sin cambio de volumen. Este resultado esimportante pues cerca de supercies slidas donde se producen las cizallas ms importantes el ujova a ser rotacional. Que una cizalla da lugar a un ujo rotacional lo podemos visualizar poniendo enel seno de la cizalla un molinete y ver que efectivamente este molinete gira. Otro punto a destacar esel hecho que no tenemos que tener un giros para que el rotor del campo sea distinto de cero.1.10.1. Tensor de Cauchy y GreenVenantEn la teora de la elasticidad no importa tanto la velocidad con la que se deforma el continuo si nocuanto lo hace. Suponer que tenemos un par de puntos (A, B) separados por un vector . Suponerque a cuenta de la deformacin el puntoA ha pasado a ocupar la posicinA

y el Bla posicin B

34 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidosformando con los puntos originales dos vectores u y u

. El segmento original AB tiene una longitudal cuadrado dada por la cantidads20 =j kjky el segmento A

B

resultante de la deformacin tiene como cuadrado de la longitud la cantidads2=xixi= xijxikjkla variacin sufrida vendr dada pors2s20 =_xijxik j k_jkLa cantidad entre corchetes recibe el nombre de tensor de GreenVenant. En imagen euleriana la an-terior expresin toma la formas2s20 =_j kixjixk_xjxkLa cantidad entre corchetes recibe el nombre de tensor de CauchyNos interesa poner los anteriores tensores en trminos del desplazamiento u sufrido por cadapartcula. Llamando ui=xii, tenemosixj =xixj uixj =ijuixjCalculando a partir de esta expresin el tensor de Cauchy, tenemoss2s20 =_j k_ijuixj__ikuixk__xjxk=_uixj +uixk uixjuixk_xjxk.Despreciando trminos de segundo orden,s2s20 =(s s0)(s +s0) =_uixj +uixk_xjxksupuesto que s s0, tenemos s +s02s, por lo que1s(s s0) = 12_uixj +uixk_xjsxks1.11 Teorema de Reynolds 35expresin anloga a la encontrada para uidos en las que se ha sustituido el vector velocidad por elvector desplazamiento en la denicin del tensor de deformacin.1.11. Teorema de ReynoldsDiremos que un volumen del uido es un volumen del sistema, si este volumen esta siemprecompuesto por las mismas partculas. Considerar un volumen del sistema V (t ), se verica queDDt_V (t )(x, y, z, t )V =_V (t )_DDt +(DIVv)_V (1.20)Para su demostracin, pasemos a hacer la integral en trminos de la imagen lagrangiana ,DDt_V (t )(x, y, z, t )V =t_VJVpuesto que las partculas son siempre las mismas, podemos introducir el tiempo dentro de la integralpor lo quet_VJV=_Vt(J)V=_V_Jt+tJ_Vteniendo en cuenta la expresin obtenida previamente para la variacin del jacobiano con el tiempotenemos,t_VJV=_V_t+DIVv_JVvolviendo otra vez a la imagen eulerianaDDt_VV=_V_DDt+DIVv_Vcomo queramos demostrar.Resulta especialmente interesante el caso en el que se puede poner como f siendo la densi-dad y f una propiedad cualquiera del uido. En este casoDDt_V (t )f V =_V (t )_D(f )Dt+fDIVv_V =_V (t )_DfDt + f_DIVv+DDt__VAhora bien habida cuenta de la ecuacin de continuidad el trmino entre corchetes se anula, por loque resultaDDt_V (t )f V =_V (t )DfDtV36 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de FluidosSe puede reformular la forma del teorema de Reynolds en trminos del llamado volumen de con-trol. Contrariamente al volumen del sistema que se mueve con el uido de tal forma que siempreest compuesto de las mismas partculas, el volumen de control est jo en el espacio y las partculasde uido entran y salen de l. Para deducir esta nueva forma del teorema de Reynolds volvamos a laexpresin generalDDt_V (t )(x, y, z, t )V =_V (t )_Ddt +(DIVv)_Vdesarrollando la derivada msica del interior de la integral, tenemosDDt_V (t )(x, y, z, t )V =_V (t )_tx+v GRAD+(DIVv)_Vahora bienv GRAD+(DIVv) =DIV(v)por lo queDDt_V (t )(x, y, z, t )V =_V (t )txV +_V (t )DIV(v)Vy empleando el teorema de OstrogradskyGaussDDt_V (t )(x, y, z, t )V =_V (t )txV +_Vv siendo Vla supercie cerrada que rodea al volumen. Como enla integral de volumendel trmino dela derecha aparece la derivada local, podemos considerar a dicho volumen como un volumen jo queen un instante dado coincide con el volumen del sistema que en ese instante ocupa dicha posicin,as puesDDt_V (t )(x, y, z, t )V =_V (x)txV +_V (x)v (1.21)Podemos analizar varios ejemplos. Suponiendo que sea la densidad ,DDt_V (t )(x, y, z, t )V =_V (x)txV +_V (x)v ahora bien el trmino de la izquierda es cero, pues representa la derivada msica de la masa del volu-men del sistema, por lo que_V (x)txV +_V (x)v =01.11 Teorema de Reynolds 37o lo que es lo mismotx_V (x)V +_V (x)v =0que es otra expresin de la ecuacin de continuidad. La cantidad_V (x)v =_V (x)(v n)donde hemos puesto que el elemento de supercie =n, representa el ujo de masa a travs dela supercie, mientras quetx_V (x)Vrepresenta la variacin local de la masa. Podemos por tanto decir, a la luz de las anteriores expre-siones, que la variacin de masa en un volumen de control es igual al ujo de masa a travs de susupercie.Otro caso interesante es aquel en el que =v, por lo queDDt_V (t )vV =_V (x)(v)txV +_Vv(v n)=_V (x)(v)txV +_V(vv)nComo antes, la integral de supercie representa el ujo de momento mientras que la variacin tem-poral de la integral extendida al volumen de control representa la variacin local del momento. Aligual que el ujo local de masa lo podemos poner como el vector v, el ujo local de momento lopodemos expresar como el tensor vv.Ejercicio 1.1Calcular cuanto vale la variacin temporal de la integral de lnea_C(t )rsiendoC(t ) un circuito compuesto siempre por las mismas partculas.SOLUCINDebemos de evaluarla expresinDDt_C(t )rPara poder introducir dentro del signo integral la derivada temporal, al igual que en el caso del teore-ma de Reynolds, vamos a pasar a la imagen lagrangianaDDt_C(t )r =t_C()(, t )x38 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidosdonde conxqueremos denotar al tensor xi/j. Introduciendo ahora la derivada temporal dentro de la integraltenemosDDt_C(t )r =_C()(, t )tx+_C()(, t )t(x)puesto que la derivada respecto de t y conmutant(x) = vsustituyendo, tenemosDDt_C(t )r =_C()(, t )tx+_C()(, t )(v) ==_C()(, t )tr +_C()(, t )vpasando de nuevo a la imagen eulerianaDDt_C(t )r =_C(t )D(x, t )Dtr +_C(t )(x, t )GRADvrque es la expresin que andbamos buscando. Se propone al lector que calcule cual es la variacintemporal de la integral de supercie cuando sta est compuesta siempre por las mismas partculas.1.12. Teorema de HelmholtzTeorema 1.12.1 (Helmholtz) Dado un campo vectorial v sucientemente liso (derivable y con deri-vada continua hasta el grado que sea necesario), es posible expresarlo comov =vD+vRsiendo vD un campo vectorial irrotacional y vR un campo vectorial solenoidal puro. Estos campos sepueden expresar como, vD = y vR = siendo el potencial escalar y el potencial vector1.12 Teorema de Helmholtz 39denidos por la expresiones=14_ vrdV (x

) +14_Vv nrd(x

) (1.22)=14_(x

)rdV (x

) +14_Vvnrd(x

) (1.23)siendo la vorticidad del campo v.Sea P(x) el vectorP(x) =14_vr dV (x

)siendo r =|xx

| la distancia entre el punto donde est denido el campo Py un punto cualquiera delvolumen al cual se extiende la integral. Supongamos que v tiende a cero con la suciente velocidadde tal forma que exista la anterior integral. Es posible demostrar que el campo P es diferencialble yque verica la ecuacin de Poisson,2P =vDada la expresin vectorial2P=( P) (P)deniendo P= y P=, tenemosv =+=vD+vRDe la denicin de ,= P=x_14_vr dV (x

)_=14_v(x

) x1r dV (x

)Ahora bien, x =xpor lo que=14_v(x

) x1r dV (x

) =+14_v(x

) x

1r dV (x

) ==14_x

_v(x

)1r_dV (x

) 14_1rx v(x

)dV (x

)aplicando el teorema de la divergencia,=14_1rx v(x

)dV (x

) +14_Vv nrd(x

)40 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de FluidosDe la misma manera es posible demostrar que=14_(x

)rdV (x

) 14_Vnvrd(x

)Este teorema tiene bastante importancia en la atmosfera pues veremos que el camo de velocidadesse puede separar en un campo irrotacional (muy pequeo a gran escala) y un campo solenoidal.1.13. Dinmica de uidosEn las anteriores secciones hemos hablado del movimiento del uido sin tener en cuenta las cau-sas que lo producen, vamos a introducir en esta seccin el tipo de fuerzas a las que esta sometido eluido para acabar con las ecuaciones del movimiento que nos permite estudiar de forma completael movimiento del uido.Consideremos una porcin del uido que tomaremos como nuestro sistema mecnico, las fuer-zas que afectan a esta porcin del uido las podemos dividir en dos clasesFuerzas de VolumenSonaquellas que afectana todas las partculas que formanel sistema por igual.Ejemplo de este tipo de fuerzas son el campo gravitatorio, el campo electromagntico, fuerzasinerciales, etc.Fuerzas de Supercie Son fuerzas de corto alcance afectando nicamente a la supercie que sepa-ra a nuestro sistema del resto del uido. Obviamente las fuerzas no afectan a supercies si noa volmenes, ahora bien el espesor de la capa afectada por las fuerzas superciales es mu-cho menor que la extensin de la supercie y desde luego mucho menor que el tamao tpicodel sistema mecnico que estamos considerando. El origen de estas fuerzas es molecular. Unejemplo clsico para comprender este tipo de fuerzas es el siguiente. Considerad una supercieimaginaria que separa nuestro sistema mecnico del resto del uido. Suponed que las veloci-dades de las molculas son diferentes a un lado y otro de la supercie. Al atravesar la supercielas molculas llevan consigo el momento de la regin origen, este momento es entregado a laregin destino haciendo que las regiones se aceleren o se frenen apareciendo por tanto unafuerza. Podemos imaginar este proceso como un par de trenes que viajan por dos va paralelascon velocidades diferentes que representan el estado del uido a un lado y otro de la supercieque los separa. Imaginar que unos obreros lanzan sacos terreros de un tren a otro (las molcu-las que atraviesan la supercie). Los sacos terreros que salen del tren rpido cuando lleguen altren lento le comunicaran su momento y este tender a acelerarse, por el contrario, los sacosque salgan del tren lento cuando lleguen al tren rpido adquirirn momento en la direccin de1.13 Dinmica de uidos 41marcha del tren tendiendo este a frenarse. Como resultado de este intercambio un tren se ace-lera y otro se frena, se produce por tanto una fuerza. Este fuerza tiene un alcance muy limitado,el del recorrido libre medio. Como en mecnica del continuo no sabemos nada de molculasni de sacos terreros, vamos a parametrizar estas fuerzas superciales mediante un vector t(x, n)que depende de la posicin x y de la orientacin de la supercie n de tal forma que t(x, n) re-presenta la fuerza que ejerce la regin hacia donde apunta n sobre la regin desde donde emergent(x,n)dFigura 1.10:Considerando por tanto ambos tipos de fuerzas la fuerza total ejercida sobre nuestro sistema mec-nico vale,F =_VfV +_Vt(x, n) (1.24)siendo f la fuerza volmica por unidad de masa.Teorema 1.13.1Las fuerzas de supercie estn localmente en equilibrio.Consideremos un sistema mecnico que consiste en una porcin del uido, de acuerdo con lasleyes de Newton se debe de vericar que la variacin temporal de la cantidad de momento ha de serigual a la suma de las fuerzas exteriores ejercidas sobre el sistema,DDt_VvV =_VfV +_Vt(x, n)siendo Vun volumen del sistema. De acuerdo con el teorema de Reynolds resulta queDDt_VvV =_VDDt vV =_VaVpor lo que_VaV =_VfV +_Vt(x, n)42 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de FluidosSi hacemos tender el volumen a cero, la anterior expresin toma la formaaV =fV +t(x, n)Si nos jamos en esta expresin vemos que el trmino de la izquierda tiende a cero como r3, siendorel radio del pequeo elemento de volumen. De los dos trminos que aparecen a la derecha de laigualdad, el primero tiende a cero tambin como r3, mientras que el segundo tiende a cero como r2,por lo que, para que se mantenga la igualdad hemos de anular idnticamente este trmino, esto escuando Vtiende acero necesariamente_Vt(x, n)ha de hacerse cero. Esto signica que las fuerzas superciales han de estar localmente en equilibriomecnico.1.14. Tensor de esfuerzosVamos a aprovechar el teorema anterior para poner de forma explcita la dependencia del vec-tor de fuerzas superciales t(x, n) respecto de la normal n. Para ello considerad el tetraedro que semuestra en la gura 1.11. De acuerdo con el teorema anterior se debe de vericar queabcd(n)d(-c)d(- b)d(- a)Figura 1.11:t(x, n)(n) +t(x, a)(a) +t(x, b)(b) +t(x, c)(c) =0cuando el volumen del sistema tiende a cero. Segn el principio de accin y reaccint(x, c) =t(x, c)1.14 Tensor de esfuerzos 43por lo quet(x, n)(n) t(x, a)(a) t(x, b)(b) t(x, c)(c) =0Ahora bien resulta que las reas laterales son la proyeccin del area transversal esto es(a) =(n)a nsustituyendo, tenemost(x, n)(n) (t(x, a)at(x, b)bt(x, c)c) n(n) =0por lo quet(x, n) =(t(x, a)at(x, b)bt(x, c)c) nLa cantidad entre parntesis no depende de n, lo llamaremos tensor de esfuerzos y lo representaremospor T por lo quet(x, n) =Tn (1.25)donde vemos que hemos separado la dependencia de n. Dado que hemos empleado una base genri-ca la anterior ecuacin es una ecuacin tensorial, esto es, es vlida cualquiera que sea la base elegida.En trminos de componentes, la ecuacin anterior se escribeti(x, n) =Ti j(x)njPara ver el signicado de cada elemento del tensor Ti j, consideremos un paraleleppedo. Sea n =(1, 0, 0) un vector unitario en la direccin del eje 1 (ejex), o sea es un vector unitario normal a lasupercie (zy). La fuerza supercial aplicada a esta cara tendr como componentes (T11, T21, T31).Por tanto vemos que T11es la componente normal a la cara 1, T21representa la componente a lolargo del eje 2 (y) de la fuerza ejercida sobra la cara 1 y T31 representa la componente 3(z) de la fuerzaejercida sobra la cara 1. Idntico signicado tendrn para el resto de las caras. As pues el primerndice representa la componente y el segundo la cara sobre la que se ejerce la fuerza.Ejercicio 1.2Demostrarbasndoseenelhechoquelasfuerzassupercialesestnlocalmenteenequilibrio el principio de accin y reaccinSOLUCIN44 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de FluidosConsiderar una esfera de volumen tan pequeo como queramos, de acuerdo con el teorema anterior,los esfuerzos superciales aplicados a la esfera se anulan idnticamente cuando hacemos tender elvolumena cero. Suponer ahora que dividimos mentalmente a la esfera endos semiesferas, de acuerdocon el anterior teorema la distribucin de esfuerzos sobre cada semiesfera es nula,t(n)d(c11) +t(n)d(c12) = 0t(n)d(c21) +t(n)d(c22) = 0siendo c11, c12 la cara externa e interna de la semiesfera uno y c21, c22 la cara externa e interna de lasemiesfera dos. Sumando ambas ecuacionest(n)d(c11) +t(n)d(c21) +t(n)d(c12) +t(n)d(c22) =0Ahora bien las caras c11, c21 reproducen la supercie exterior de la esfera y por tanto segn dijimosal principio estn en equilibrio por lo quet(n)d(c12) +t(n)d(c22) =0ahora bien las normales a las dos caras son iguales salvo el signo, de donde resulta que,t(n)d(c12) t(n)d(c12) =0y por tantot(n) =t(n)como queramos demostrar. Podamos haber pensado el teorema de forma inversa, esto es para quese siga vericando el principio de accin y reaccin es necesario que se verique que las fuerzassuperciales estn localmente en equilibrio.Teorema 1.14.1El tensor de esfuerzos es simtricoDEMOSTRACINPara la demostracin del anterior teorema vamos a partir del teorema de conservacin del momentoangularDLDt =N1.14 Tensor de esfuerzos 45siendo L el momento angular y N el momento de las fuerza exteriores. Teniendo en cuenta queL =_V (t )(r v)VtenemosDDt_V (t )(r v)V =Naplicando el teorema del transporte de Reynolds_V (t )DDt (r v)V =Nahora bienDDt (r v) = DrDt v+r DvDt =vv+r DvDt =r apor lo que_V (t )r a =NEl momento de las fuerzas exteriores procede tanto de las fuerzas de volumen como de supercie,tendremosN=_V (t )(r f)V +_V[r t(x, n)]sustituyendo tenemos_V (t )r aV =_V (t )(r f)V +_V[r t(x, n)]utilizando el teorema de la divergencia podemos pasar de la integral de supercie a una de volumenresultando que la anterior expresin la podemos poner como_V (t )r aV =_V (t )(r f)V +_V (t )DIV[r t(x, n)]V .En forma de componentes, teniendo en cuenta quet(x, n) =Tn,obtenemos_V (t )i j krjakV =_V (t )i j krj fkV +_V (t )xl (i j krjTkl)V46 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de FluidosDerivando en el segundo trmino del miembro de la derecha,xl (i j krjTkl) =i j krjxl Tkl+i j krjTklxl=i j kj lTkl+i j krjTklxl=i j kTk j+i j krjTklxlsustituyendo_V (t )i j krjakV =_V (t )i j krj fkV +_V (t )

i j krjTklxlV +_V (t )

i j kTk jVHaciendoahoraqueelvolumen delsistematiendaacero,vemosquelostresprimerostrminostienden a cero como r4mientras que el ltimo trmino tiende a cero como r3por lo tanto para quela igualdad se mantenga es necesario que

i j kTk j =0y por tanto, dado que

123T32+132T23= 0

312T21+321T12= 0

231T13+213T31= 0teniendo en cuenta quei j kvale uno si (i j k) es una permutacin par de (123) y menos uno si esimpar tendremosT32T23= 0T21T12= 0T13T31= 0y por tanto el tensor Tes simtrico3. Debido a esta simetra siempre es posible encontrar una base enla que el tensor es diagonal. En esta base dado un paraleleppedo con aristas paralelas a los ejes coor-denados, los esfuerzo ejercidos sobre sus caras son ortogonales a ellas, esto es solo tenemos esfuerzosnormales no tangenciales. Es fcil ver que la componente normal del esfuerzo valetn=n t =n T n=niTi jnj3Aunque no lo hemos dicho explcitamente se ha supuesto que el uido no es polar y por tanto no existe momentosintrnsecos internos1.14 Tensor de esfuerzos 47si el tensor es diagonaltn=T11n21+T12n22+T13n23sobre la cara 1 del paraleleppedo (n1=1, n2=0, n3=0) por lo quetn(1) =T11y lo mismo sucede con el resto de las caras. La componente tangencial viene dada por la expresin(teorema de Pitgoras)tt =_titit2n=_(Ti jnj)2(niTi jnj)2El tensor de esfuerzos lo vamos a separar en dos partes, una de ellas istropa y el resto, que lla-maremos desviatoriaTi j = 13Ti ii j+Di jsiendo Ti i =T11+T22+T33 y por tanto13Ti irepresenta el valor medio de los esfuerzos normales. En forma matricial la anterior separacin lapodemos representar mediante la ecuacin____T11T12T13T21T22T23T31T32T33____= 13____Ti i0 00 Ti i00 0 Ti i____+____T1113Ti iT12T13T21T2213Ti iT23T31T32T3313Ti i____Teorema 1.14.2La parte desviatoria del tensor de esfuerzos es nula cuando el uido est en reposoDEMOSTRACINPor hiptesis un uido es incapaz de soportar aquellos esfuerzos que tiendan a deformarlo sin cam-biar de volumen. Llamemos presin p a la cantidad (1/3)Ti ide tal forma que p en general es unacantidad positiva. La fuerza ejercida por la parte istropa vale,ti =pi jnj =pniesto est(n) =pnla fuerza solo tiene componente normal y puesto que p > 0 esta fuerza representa una compresin48 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidosistropa. Supuesto que nuestro pequeo volumen es una esfera, la fuerza va a ser igual en todas ladirecciones y la esfera va a tender a disminuir de tamao, y por denicin, por tanto, el uido se vaa oponer a nuestra tensin exterior, esto es, si queremos seguir deformando la esfera debemos decontinuar aumentando nuestra fuerza. En cuanto a la fuerza ejercida por la parte desviatoria, serti =Ti jnjtal que la suma de las fuerzas (en trminos escalares) a lo largo de los ejes coordenados es cero. Estosignica que habr compresiones y expansiones, estas compresiones y expansiones deforman a laesferasinqueestatengaquecambiarnecesariamentedevolumen,comoeluidoesincapazdesoportar esfuerzos externos que no cambien el volumen, la esfera se deformar continuamente ypor tanto su estado de movimiento se hace incompatible con el reposo. Se tiene por tanto que ensituacin de equilibrio mecnico, nicamente es distinto de cero la parte istropa y por tanto,t(x, n) =p(x)n (1.26)Puesto que estamos en equilibrio la suma de las fuerzas exteriores ser nula y por tanto0 =_VfV _Vpnaplicando el teorema de la divergencia0 =_V(f GRADp)Vy como la anterior ecuacin es vlida para cualquier volumen0 =f GRADp (1.27)que es la ecuacin general de la hidrosttica. Si las fuerzas de volumen dependen de un potencialf =GRADy por tantoGRADp =GRADque es otra forma de la ecuacin general de la hidrosttica para el caso de fuerzas de volumen quedependan de un potencial. La anterior expresin nos muestra que los vectores gradientes de p y son paralelos y por tanto las supercies de p constante coinciden con las supercies de constante.1.14 Tensor de esfuerzos 49Tomando el rotacional en la anterior expresin nos lleva a la ecuacin0 =GRADGRADy por tanto, vemos que las supercies equipotenciales son paralelas a las supercies de densidadconstante y por tanto que las supercies de densidad constante son tambin supercies de presinconstante. Si tenemos en cuenta la ecuacin de estado, vemos tambin que estas supercies coinci-den con las supercies de temperatura constante.Teorema 1.14.3Un slido sumergido en un uido sufre un empuje igual al volumen del uido quedesaloja (Arqumedes)Considerar un slido sumergido en el seno de un uido en equilibrio hidrosttico. La fuerza de pre-sin ejercida por el uido sobre el slido ser_Vpnsiendo n la normal exterior al slido. Nuestra idea es sustituir la anterior expresin por una integralde volumen. Para ello suponer que se sustituye nuestro slido por una porcin de uido con tal queesta porcin de uido est en equilibrio hidrosttico con el uido que rodea al slido. Como el reaque rodea al slido no varia cuando lo sustituimos por el uido, la anterior integral no cambia. Ahorabien, como estamos suponiendo que el uido que introduzco est en equilibrio con el uido exteriorpodemos aplicar la ecuacin hidrosttica y por tanto_Vpn=_VfV .Suponiendo que la fuerza exterior sea el campo gravitatorio, tenemos que f =g y por tanto las fuer-zas de supercie valen_Vpn=_VgVesto es, coinciden con el peso del volumen del uido desalojado, como queramos demostrar.1.14.1. Condicin de la situacin de equilibrioSegn hemos visto, para que se de la condicin de equilibrio mecnico, las fuerzas de presin sedeben de equilibrar con las fuerzas de volumen, que si estamos en un campo gravitatorio se reducen50 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidosal peso,pz =gla pregunta es, >bajo qu condiciones es esta condicin de equilibrio estable ?. Para ello pensemosen el siguiente experimento. Suponer que tenemos una pequea burbuja del uido que est en uncierto nivelzy que llevamos a esta burbuja a otra posicin en un nivelz +z. Supondremos queeste proceso se hace de forma isentrpica y que durante el proceso el entorno de la burbuja no semodica, esto es, no se modica la condicin equilibrio hidrosttico, y que la presin de la burbujacuando sta llega al nal se iguala rpidamente a la de su entorno. El equilibrio mecnico ser establesi la burbuja tiende a volver a su localizacin original y ser inestable si por el contrario sta burbujatiende a seguir separndose de su situacinde equilibrio. Para que suceda lo primero basta conque laburbuja pese ms que su entorno y para que suceda lo segundo esta debe de pesar menos, as pues loque debemos de comparar son las densidades de la burbuja y la de su entorno una vez que la hemosseparado de su posicin de equilibrio. Sea (p(z +z), s(z +z)) la densidad del ambiente en el nivelz +z y (p(z +z), s(z)) la densidad de la burbuja cuando llega a ese nivel, siendo s(z) la entropa delnivel z que ser la que tenga la burbuja cuando llegue al nivel z +z pues estamos suponiendo que elmovimiento es isentrpico. El equilibrio ser estable si(p(z +z), s(z +z)) (p(z +z), s(z)) 0la anterior ecuacin nos dice que necesariamente los coecientes de viscosidad y segunda viscosi-dad k han de ser positivos.1.16 Principio de conservacin de la energa 59Por otra parte, la termodinmica nos dice queT DsDt =cpDTDt T DpTDtsiendo=1_T_pel coeciente de expansin trmica del uido, que en el caso de un gas perfecto vale 1/T. Sustituyen-do en la expresin del segundo principio, obtenemoscpDTDt =TDpTDt+k(DIVv)2+2(ei j13DIVvi j)2+xj_kTxj_que constituye la ecuacin de evolucin de la temperatura. Es la sexta ecuacin que andbamos bus-cando y que cierra el sistema de ecuaciones.Si el ujo es adiabtico y no viscoso, los tres ltimos trminos del segundo miembro de la ecua-cin anterior son nulos, por lo quecpDTDt =T DpDtsi el uido se comporta como un gas perfecto, =1/T, por lo quecp1TDTDt =R 1pDpDtde donde,cpdTT=Rdppintegrando,Tf =Ti_pfpi_R/cpSi tomamos como presin nal pfla presin de 1000 mb, la temperatura nal obtenida es la llamadatemperatura potencial que denotaremos por , as pues tenemos =T_1000p_R/cpTomando logaritmos en la anterior ecuacin y derivando, obtenemoscpd(log) =cpdTTRdpp=ds60 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidospor lo ques s0=cplog(0)as pues la temperatura potencial mide el contenido entrpico del gas. La ecuacin (1.33), expresinmatemtica del segundo principio, la podemos poner en trminos de la temperatura potencial, comoT DsDt =cpTDDt =dondeenhemosenglobadotodoslosujosdecalor.Siestosltimossoncero,latemperaturapotencial se mantiene constante.1.16.1. Condiciones fronteraSegn acabamos de ver la evolucin temporal de un uido viene regida por un conjunto de 6ecuaciones diferenciales en derivadas parciales a partir de las cuales y mediante un proceso de inte-gracin podemos encontrar como varan en el espacio y en el tiempo las variables fundamentales quedenen el comportamiento del uido. Ahora bien para poder integrar este conjunto de ecuacionesnecesitamos conocer las condiciones iniciales y las condiciones en la frontera del uido. La fronterade un uido separa a ste de otro uido en la misma fase (por ejemplo agua y aceite) u otra fase (porejemplo agua y aire ) o bien separa a el uido de un slido.A lo largo de la supercie que separa ambos medios se produce una serie de intercambios, masa,calor, momento, etc y bajo la hiptesis de que no nos separamos demasiado de las condiciones deequilibrio hemos supuesto que los ujos de estas propiedades son proporcionales a los gradientesde ciertas magnitudes como son la temperatura, la velocidad. Esta hiptesis implica necesariamenteque estas magnitudes son continuas. Vamos a suponer que esta hiptesis es vlida hasta la fronteray a un lado y otro de la misma de tal forma que supondremos continuidad de estos campos (tem-peratura y velocidad a un lado y otro de la frontera). Podamos razonar tambin que la aparicin dediscontinuidades a un lado u otro de la frontera de estas magnitudes necesariamente da lugar a laaparicin de ujos de momento y calor que tendera a anular estas discontinuidades. Sin embargopueden darse condiciones en las que los ujos no son lo sucientemente ecaces en anular rpida-mente las discontinuidades y estas pueden persistir durante tiempo. En los problemas que nosotrostrataremos supondremos continuidad de estos campos.La continuidad del campo de velocidades nos lleva a que la componente tangencial y normal aun lado y otro de la frontera son iguales. Independientemente de otras consideraciones, parece lgicosuponer la condicin de igualdad de las velocidades normales a lo largo de la frontera si no queremosque nos aparezcan el vaco entre ambos medios. La continuidad de la componente tangencial ( o1.16 Principio de conservacin de la energa 61condicin de no deslizamiento) es algo ms articial y hemos de suponer, como hemos dicho antes,que los uidos son lo sucientemente viscosos como para que la aparicin de discontinuidades seaanulada rpidamente mediante transporte de momento. En el caso de que la frontera sea slida y enreposo la condicin de no deslizamiento presupone que la velocidad tangencial es nula.Resulta obvio el suponer que los ujos de calor a un lado y otro de la frontera han de ser iguales.As tenemos que, si tomamos un cilindro que vaya de un lado a otro de la frontera y con la genera-triz paralela al vector normal a la misma y planteamos la ecuacin de balance de calor a la vez quehacemos tender a cero la longitud de la generatriz (de tal forma que el ujo de calor a lo largo de lasupercie lateral sea idnticamente cero) llegamos a que se debe de vericar:(khn T)1=(khn T)2As mismo se debe de vericar que los ujos de momento han de ser iguales por lo que la tensioneshan de ser igual a un lado y otro de la supercie (principio de accin y reaccin), de donde igualandolas componentes tangencial y normal(tiTi j nj)1=(tiTi j nj)2siendotilas componentes del vector unitario tangente a la su supercie,nilas componentes delvector normal a ella. As mismo para la componente normal(niTi jnj)1=(niTi jnj)2y si se consideran efectos de la tensin supercial se puede demostrar que(niTi jnj)2(niTi jnj)1=_1R1+1R2_siendo el coeciente de tensin supercial y R1, R2 los radios principales de curvatura de la super-cie que une los dos medios, que se suponen positivos si los centros de curvatura estn en la regin deluido hacia donde apunta n (que en este caso hemos supuesto que apunta hacia el medio 2). PuestoqueTi j =pi j+2(ei j13i j)teniendo en cuenta que tii jnj =tini =t n=0, tendremos para la componente tangencial(2tiei jnj)2=(2tiei jnj)162 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidosy para la componente normalp1_2(ei jninj13)_1=p2_2(ei jninj13)_2+_1R1+1R2_Si el uido est en reposo, la anterior ecuacin se simplica, resultandop2p1=_1R1+1R2_que es la ecuacinde Laplace. Si se puedenconsiderar despreciables los efectos de tensinsupercial(por ejemplo fronteras planas) tendremosp1=p2Existen dos casos extremos y del mayor inters. Uno de ellos se da cuando la frontera se estable-ce entre un slido y un uido y el otro en un lquido y un gas. En el primer caso no se conocen losesfuerzos en el seno del slido con lo que debemos de conformarnos con establecer la continuidaddel campo de velocidades y suponer que la velocidad del uido en la frontera coincide con la veloci-dad del slido. En el caso de una frontera lquidogas dada la diferencia de densidades y viscosidadespodemos considerar que esta ltima es cero en el gas. As mismo, supondiendo que las velocidades ylas variaciones de velocidad son comparables en el lquido y en el gas, la menor densidad y viscosi-dad en este implica que las variaciones de presin han de ser menores a lo largo del gas y podemossuponer que la presin se mantiene constante (salvo efectos de la gravedad como puede sucede enla atmsfera) a lo largo del seno del gas. Teniendo en cuenta estas condiciones se puede poner comocondicin frontera lquidogas(tiei jnj)l =0ypl_2(ei jninj13)_l=pg_1R1+1R2_en la que normalmente se toma =0 habida cuenta de la incompresibilidad del lquido. En este casola continuidad del campo de velocidades resulta de poco inters pues el problema suele ser el estudiodel movimiento del uido sin tener inters en lo que suceda en el gas.1.16 Principio de conservacin de la energa 631.16.2. Ecuacin de BernoulliNecesitamos en primer lugar encontrar cual es la ecuacin de evolucin de la energa cintica.Para ello partiremos de la ecuacin de conservacin del momento,DvDt =GRADp +f +DIVDsiendo D la parte desviatoria del tensor de esfuerzos,Di j =2(ei j13ei ii j)Multiplicando la ecuacin del conservacin del momento escalarmente por v, obtenemos la expre-sinvDvDt =v GRADp +v f +v DIVDteniendo en cuenta quevDvDt = 12Dv2Dt= DEcDtsiendo Ec la energa cintica por unidad de masa, llegamos aDEcDt=v GRADp +v f +v DIVD (1.34)Combinando la anterior ecuacin junto con la ecuacin del primer principio (1.31) obtenemos laexpresinDEcDt+DuDt =v GRADp +v f pDIVv+2(ei j13DIVvi j)2+xj_kTxj_Suponerquelasfuerzasdevolumenprocedandeunpotencialindependienteexplcitamentedeltiempo, en estas condicionesv f =v GRAD=DDtsiendo el potencial del cual derivan las fuerza de volumen, en estas condiciones la expresin deconservacin de la energa cintica e interna toma la formaDEcDt+DuDt +DDt=v GRADp pDIVv+2(ei j13DIVvi j)2+xj_kTxj_64 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de FluidosTeniendo en cuenta la ecuacin de continuidad y quev GRADp =DpDt +pty tras algunas manipulaciones se obtiene quev GRADp pDIVv =DDt_p_+ptsustituyendo obtenemos,DEcDt+DuDt +DDt +DDt_p_= pt +2(ei j13DIVvi j)2+xj_kTxj_Vamos a considerar ahora un ujo estacionario, en estas condiciones v no depende explcitamentedel tiempo, podemos considerar tambin que la presin no depende explcitamente del tiempo, porlo que p/t =0. Supondremos as mismo que el uido es trmicamente no conductor y no viscoso,o que se puede considerar que no existe disipacin viscosa de energa, en estas condicionesDEcDt+DuDt +DDt +DDt_p_=0Esto es la derivada msica de la cantidadEc+u ++_p_es nula, o lo que es lo mismo, la cantidadB =Ec+u ++_p_se conserva a lo largo de una trayectoria, que por ser el ujo estacionario coincide con la lnea de co-rriente. Este principio de conservacin constituye el teorema de Bernoulli. Las condiciones de adia-baticidad y no disipacin viscosa son las mismas que hacen que el ujo sea isentrpico, as puespodemos decir que las condiciones necesarias para que se verique el principio de Bernoulli son queel ujo sea isentrpico y estacionario. La cantidad u +p/ no es otra cosa que la entalpa especcah, por lo que el principio de Bernoulli se puede poner comoEc+h +=cte.1.16 Principio de conservacin de la energa 65En el caso que el uido sea adems incomprensible, DIVv =0, resulta que, por el teorema de conser-vacin de la energa interna, u se mantiene constante por lo que el principio de Bernoulli quedaEc++p=cte.si estamos en el campo gravitatorio, =g z por lo que12v2+g z +p=cte.1.16.3. Teorema de CroccoEl teorema de Bernoulli nos dice que B es constante a lo largo de una lnea de corriente pero nonos dice nada de la variacin de Bentre dos puntos cualesquiera del uido. En el caso de un ujoestacionario y no viscoso, o que podamos ignorar los efectos viscosos, la ecuacin del movimiento lapodemos poner como(v GRAD)v =f GRADpsi las fuerzas proceden de un potencial, f =GRAD, por lo que(v GRAD)v =GRAD1GRADpSe puede demostrar que(v GRAD)v =GRAD12v2vde dondeGRAD12v2v=GRAD1GRADpreordenando, la ecuacin del movimiento quedaGRAD12v2+GRAD+1GRADp =vPodemos calcular ahora el gradiente de la magnitud B,GRADEc+GRADu +GRAD+GRAD_p_=GRADB66 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidosteniendo en cuenta la ecuacin del movimiento y queGRAD_p_= 1GRADp p12 GRADobtenemosv+GRADu p12 GRAD =GRADBEl segundo principio de la termodinmica se escribe comoTdS =du p2dque lo podemos expresar comoT GRADS =GRADu p2 GRADde dondev+T GRADS =GRADB (1.35)que constituye la expresin del teorema de Crocco. Si el uido es homoentrpico6(entropa constan-te a lo largo del uido ) y no solenoidal =0, la magnitud B es constante a lo largo del uido, no soloa lo largo de una lnea de corriente.Ejemplo 1.5Calcular como vara la presin con el radio en los siguientes ujos, v = Ar y v =(A/r).SOLUCINCalculemos primero la vorticidad para cada uno de los ujos. En el primer caso tenemos=v =(rr +1r) Ar =r r(Ar) +Arr r+1r(Ar) +1r Arteniendo en cuenta quer =0y que =r6En meteorologa recibe el nombre de uido barotrpico1.16 Principio de conservacin de la energa 67tenemos=v =2Aksiendo k = r . Puesto que A es un constante, vemos que la vorticidad es constante a lo largo deluido. Por otra parte, la anterior ecuacin nos dice que la constanteA representa un medio de lavorticidad. De la ecuacin del movimiento para un uido estacionarioGRAD12v2v=1GRADp GRADtenemosA2rr =1GRADp gkque se descompone en dos ecuaciones, la ecuacin hidrostticazp =gy la ecuacin radial de la presinr p = A2rla cual se integra fcilmentep(r) p(r0) = 12A2(r2r20)lo cual nos ndica que la presin aumenta con la distancia radial para compensar la fuerza centrfuga.Reordenando la anterior ecuacin1p(r) 12A2r2= 1p(r0) 12A2r20la cual teniendo en cuenta que v = Ar, se tiene1p(r) 12v2= 1p(r0) 12v20lo que signica que el teorema de Bernoulli no se verica cuando vamos de una lnea de corriente aotra. Esto se debe a que el ujo es solenoidal.Veamos que pasa con el otro caso, en esta situacin=v =(rr +1r) Ar =r rAr + Ar r r+1rAr +1rAr =68 Captulo 1. Introduccin a la Mecnica de Fluidos= Ar2k+Ar2(r) =0As pues el ujo es irrotacional. Con este resultado la ecuacin del movimiento quedaGRAD(12A2r2 ) =1GRADp GRADde dondeGRAD(12A2r2 +p+) =0suponiendo que = g z, la anterior ecuacin vectorial da lugar a dos ecuaciones escalares, la ecua-cin hidrostticapz =gy la dependencia radialr(12A2r2 +p) =0de donde se deduce que12A2r2 +p= 12A2r20+p0y teniendo en cuenta que v = A/r, tenemos12v2+p= 12v20+p0que es la ecuacin de Bernoulli. As pues, la ecuacin se verica para cualquier par de puntos deluido, no solo para dos puntos conectados por una lnea de corriente.Captulo 2Ecuaciones meteorolgicas delmovimiento2.1. Ecuaciones del movimiento en una Tierra en rotacinVamos a partir de la ecuacin de conservacin del momento lineal de Navier-Stokes,DvDt =GRADp +f +frdonde con f y frse representas las fuerzas de volumen (por unidad de masa), que en nuestro casoson la aceleracin de la gravedad g y las fuerzas de rozamiento respectivamente. Las anteriores ecua-ciones resultan vlidas en un sistema de referencia inercial. Para el caso de un sistema de referenciano inercial como resulta ser un observador unido ntimamente a la Tierra, las anteriroes ecuacionessiguen siendo vlidas a condicin de incluir los trminos de la aceleracin centrfuga,ry de acelderacin de Coriolis2vrsiendo vr la velocidad relativa, r el radio vector de la burbuja respecto del observador y la velocidadde rotacin de la Tierra que supondremos constante. As pues teniendo en cuenta estos trminos laecuacin del movimiento resulta ser,DvrDt=GRADp +g+fr(r) 2(vr) (2.1)70 Captulo 2. Ecuaciones meteorolgicas del movimientoDe ahora en adelante, para no arrastar el subndice ren la velocidad, se entender que la velocidades la velocidad relativa.2.1.1. Efecto de la fuerza de CoriolisVamos a analizar que efecto produce sobre una partcula de aire la fuerza de Coriolis. De las re-glas del producto vectorial, el vector resultante es ortogonal a los dos trminos que intervienen en elproducto. Imaginemos una Tierra plana, dada la pequea curvatura de sta, esta hiptesis no es muydescabellada si nos ceimos a una regin no muy grande. Sea l la proyeccin sobre la vertical del lu-gar del vector rotacin . En el hemisferio norte el producto vectorial del vector de rotacin local porV(2xV)Figura 2.1: Efecto de la fuerza de Coriolis en el hemisferio norte.

reprersenta la velocidad local de rotacion de la Tierra,que es la proyeccin sobre la vertical del lugar de la velocidad de rotacin de la Tierra, v representa la velocidad horizontal dela partculala velocidad de la partcula, que supondremos se mueve en el plano horizontal, es un vector que estaen el plano horizontal y que apunta a la izquierda del vector velocidad, pero como en la ecuacin 2.1,el trmino de Coriolis aparece con signo menos, el efecto neto es el de giro hacia la derecha. As puessi hay una partcula que se mueve del ecuador hacia el polo, la aceleracin de Coriolis tiende a des-plazarla hacia el este. Reciprocamente si va desde el polo hacia el ecuador, la aceleracion de Coriolistiende a desplazarla hacia el oeste. En el hemisferio sur sucede todo lo contario, pues en este caso laproyeccin de la velocidad angular sobre la vertical del lugar es del signo contrario a la producida enel hemisferio norte.2.1.2. Efecto de la fuerza centrfugaEl triple producto vectorial (r) produce un vector que es paralelo al ecuador y va haciael eje de rotacin de la Tierra, como en la ecuacin 2.1 aparece como signo -, el efecto de la fuerzacentrfuga es tender a separar a la partcula del eje de rotacin de la Tierra. Como aparece el producto2.2 Ecuaciones del movimiento en coordenadas esfricas 71vectorial del radio vector con la velocidad de ratacin de la Tierra, esta fuerza es proporcional a ladistancia de la partcula al eje de rotacin.Este trmino se suele incluir en la fuerza de gravitacin g de tal manera que a partir de este mo-mento g va a representar el efecto combinado de la atraccon gravitatoria centrpeta y la aceleracincentrfuga.2.2. Ecuaciones del movimiento en coordenadas esfricasDada la esfericidad de la Tierra es conveniente escribir las ecuaciones del movimiento en coorde-nadas esfricas.Las coordenadas esfricas {r, , } en trminos de las coordenadas cartesianas {x, y, z} vienendenidas por las ecuacionesx = r coscosy = r cossenz = r sensiendo la latitud y la longitud. Los vectores base, vienen denidos por las tangentes a las lneascoordenadas (curvas en las que solo vara una coordenada),r_r coscosi +r cossenj +r senk_,_r coscosi +r cossenj +r senk_r,_r coscosi +r cossenj +r senk_r,operando, obtenemos r = coscosi +cossenj +senk = r sencosi r sensenj +r cosk = r cosseni +r coscosjcuyas longitudes son respectivamente (hr = 1, h = r, h = r cos). Dividiendo por sus correspon-72 Captulo 2. Ecuaciones meteorolgicas del movimientodientes longitudes obtenemos los vectores base unitarios,r = coscosi +cossenj +senk = sencosi sensenj +cosk = seni +cosjLa gura 2.2 nos muestra la disposicin de los vectores base.rFigura 2.2: Vectores base de las coordenadas esfricas.El vector velocidad en esfricas viene dado por la expresinv = DXDt = rrX+X+Xque teniendo en cuenta las deniciones de los vectores base resulta,v = r r + +donde vemos que las componentes del vector velocidad en esfericas son ( r ). Estas componentesno tienen dimensiones fsicas de velocidad. Para obtener las componentes fsicas de velocidad vamosa multiplicar y dividir cada termino de la expresin anterior por (hr, h, h) respectivamente. Al divi-dir los vectores base por sus correspondiente longitudes obtenemos los vectores base unitarios, por2.2 Ecuaciones del movimiento en coordenadas esfricas 73lo que resulta para el vector velocidad la expresinv =hr r r +h +h= r r +r +r coslas componentes { r, r , r cos} tienen ya dimensiones de velocidad y constituyen las componentesfsicas de la velocidad. Las designaremos por {vr, v, v}, o tambien por { z, y, x} siendo z la longitudmedida a lo largo de un radio vector, y la longitud medida a lo largo del meridiano y x la medida a lolargo del paralelo.Las componentes fsicas del operador GRAD en esfricas vienen dadas por la expresin1hrr +1h+1h=r +1r+1r cosPasemos ya a dar las expresiones de conservacin del momento lineal en coordenadas esfricas. Nosvamos a centrar en el trmino inercialv GRADvel cual se puede escribir, teniendo en cuenta las expresines anteriores, como(vrr +vr+vr cos)(vrr +v+v)operandov GRADv =vrr(vrr) +vrr(v) +vrr(v)+vr(vrr) +vr(v) +vr(v)+vr cos(vrr) +vr cos(v) +vr cos(v)Teniendo en cuenta la expresin de los vectores base unitarios,rr =0r =r =cosr=0=r=senr=0=0=sencosr74 Captulo 2. Ecuaciones meteorolgicas del movimientollegamos a quev GRADv =r(vrvrr+vrvr+vr cosvrv2rv2r)++(vrvr+vvrr+vrv+vr cosv+v2rtan)++(vrvr+vrv+vvrrvvrtan+vr cosv)Una vez visto como expresar en coordenadas esfricas el trmino no inercial vamo a ver como se ex-presa el trmino de Coriolis, para ello jemonos en la gura 2.3Figura 2.3:La proyeccin sobre el triedro de referencia de la velocidadangular de la Tierra viene dada por la expresin=(senr +cos)de donde2v =2v[vcosr +vsen+(vr cosvsen)]Llevandolaanteriorexpresinalasecuacionesdel movi-miento