Apuntes de Física para Ingreso a Medicina UNA Py

I n s t i t u t o G r i g o r y P e r e l m a n

E l i g i o A y a l a 8 4 4 c a s i T a c u a r y

4 4 1 - 3 2 0 C e l u l a r ( 0 9 7 1 ) 3 2 9 0 6 1

e m i l i o r t i z 1

h o t m a i l . c o m

0 8 / 0 5 / 2 0 1 0

Prof. Master Emilio Ortiz Trepowski Tomados del libro de Frank J. Blatt con solución de ejercicios del libro y de exámenes anteriores.

También del libro de Bonjorno.

Apuntes de Física con Ejercicios Resueltos Ingreso a Medicina UNA

Instituto Grigory Perelman. Prof. Master Emilio Ortiz Trepowski. Teléfono 441.320. [email protected].

2

Introducción

La física es una de las ciencias más básicas. Trata del comportamiento y la estructura de la

materia. El campo de la física está usualmente dividido en las áreas de movimiento, fluidos,

calor, sonido, luz, electricidad y magnetismo, y los tópicos modernos de relatividad, estructura

atómica, física de la materia condensada, física nuclear, partículas elementales, y astrofísica.

Comenzaremos con el movimiento (o mecánica, como es usualmente llamada).

Unidades, Dimensiones, Vectores y Otros Preliminares

Unidades, estándares, y el SI sistema

Algunas longitudes típicas o distancias (orden de magnitud)

Longitud (o distancia) Metros (aproximado)

Neutrón o protón (radio) 1510 m

Átomo 1010 m

Viruses 710 m

Hoja de papel (finura) 410 m

Ancho de un dedo 210 m

Largo de un campo de fútbol 210 m

Altura del Monte Everest 410 m

Diámetro de la tierra 710 m

De la tierra a la luna 1110 m

La estrella más cercana 1610 m

La galaxia más cercana 2210 m

La galaxia más lejana visible 2610 m


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Algunos intervalos de tiempo típicos

Intervalo de tiempo Segundos (aproximado)

Vida de una partícula muy inestable 2310 s

Vida de elementos radioactivos 2210 s a 2810 s

Vida de un muon 610 s

Tiempo entre latidos cardíacos humano 010 ( 1s)

Un día 510 s

Un año 73 10 s

La vida de un ser humano en tiempo 92 10 s

Longitud de la historia grabada 1110 s

Humanos sobre la tierra 1410 s

Vida sobre la tierra 1710 s

Edad del universo 1810 s

Algunas masas

Objeto Kilogramos (aproximadamente)

Electrón 3010 kg

Protón, neutrón 2710 kg

DNA molécula 1710 kg

Bacteria 1510 kg

Mosquito 510 kg


4

Plum 110 kg

Persona 210 kg

Barco 810 kg

Tierra 246 10 kg

Sol 302 10 kg

Galaxia 4110 kg

Prefijos del (SI) métrico

Prefijo Abreviatura Valor

exa E 1810

peta P 1510

tera T 1210

giga G 910

mega M 610

kilo k 310

hecto h 210

deka da 110

deci d 110

centi c 210

mili m 310

micro 610

nano n 910


5

pico p 1210

femto f 1510

atto a 1810

Unidades

En el sistema internacional de medidas , o unidades SI, el metro, el kilogramo, y el segundo son las unidades fundamentales de la longitud, masa, y tiempo, respectivamente.

Ejemplo 1.1.

Un auto se desplaza a una velocidad de 50 millas por hora (mph). ¿Cuál es la velocidad del auto en kilómetros por hora y en metros por segundo?

Solución. La conversión entre millas y kilómetros es 1 milla 1,61 km . Denotando la velocidad del auto por v , tenemos que

50 millas 1,61 km km80,5 1 hora 1 milla hora

v

Observe que las unidades, millas, se cancelan en la conversión.

Para convertir a metros por segundo, observamos que hay una hora por cada 60 minutos y un minuto cada 60 segundos, y que hay 1.000 metros por kilómetro. Así

km 80,5 km 1 h 1 min 1.000 m m80,5 22.4h 1 h 60 min 60 s 1 km s

Ejemplo 1.2.

¿Cuál es el factor de conversión entre pies cúbico y litros?

Solución.

Un litro ( L ) está definido como 1.000 3cm . Para obtener la respuesta, debemos por lo tanto primero determinar el número de centímetros cúbicos contenidos en un pies cúbico. Dado que 1 ft 30, 48 cm , se deduce que


6

3 3 31 ft 30,48 cm 28.320 cm 28,32 L

Una de las características atractivas y convenientes del SI es que es un sistema decimal. Los kilómetros, microgramos, nanosegundos, megawatts, son todos derivados desde las unidades básicas mediante la multiplicación por potencias enteras de diez.

Unidades Fundamentales

Las fuerzas, velocidades, presiones, energías – ciertamente todas las propiedades mecánicas- pueden ser expresadas en términos de tres cantidades básicas: masa, longitud, y tiempo. En el SI las unidades correspondientes son

Kilogramo para la masa, metro para la longitud, y segundo para el tiempo.

Tabla 1.2. Prefijos y sus símbolos usados para designar los múltiplos decimales y submúltiplos

Factor Prefijo Símbolo

1810 exa E

1510 peta P

1210 tera T

910 giga G

610 mega M

310 kilo k

210 hecto h

110 deca da

110 deci d

210 centi c

310 mili m

610 micro

910 nano n


7

1210 pico p

1510 femto f

1810 atto a

Unidades Derivadas y Análisis Dimensional

Las cantidades que son importantes para los científicos no están limitadas a la masa, la longitud, y el tiempo. A menudo describimos el comportamiento de los objetos en términos de sus velocidades; necesitamos identificar las fuerzas que actúan sobre los cuerpos; prestamos atención a las energías consumidas por los implementos y nos da curiosidad la potencia de un motor; la presión atmosférica es un indicador útil de las condiciones del tiempo. Todas estas aparentemente propiedades dispares, medidas en las unidades de metros por segundo (velocidad), newton (fuerza), joule (energía), watt (potencia) y pascal (presión), son últimamente expresadas como productos de potencias de masa, longitud y tiempo. Estas unidades por lo tanto son conocidas como unidades derivadas, para distinguirlas de las unidades más fundamentales.

La especificación numérica de una cantidad particular, una distancia o velocidad, por ejemplo, depende del sistema de unidades que empleamos. Por ejemplo, como se demostró en el Ejemplo 1.1. , un auto que viaja a 50 mph, 80,5 km por hora, y 22,4 m por s son todas las mismas velocidades. Pero notemos que la combinación de unidades usadas para caracterizar la velocidad es la misma siempre, llámese, el ratio longitud/tiempo. El tipo de unidad involucrada es llamada dimensión de la variable y no depende del sistema de unidades que es usado.

Siempre usaremos corchetes, , para indicar la dimensión de una variable. La dimensión de

velocidad es LL

, la de distancia es L . La dimensión de volumen es 3L . Así cuando

decimos que un auto obtiene 30 millas por galón, la dimensión de esta variable es

23

LL

L.

Las ecuaciones que relacionan varias cantidades físicas deben ser dimensionalmente homogéneas. Por esto nosotros significamos lo siguiente. Si una ecuación establece

A B C

los términos , ,A B C deben todos tener la misma dimensión.


8

Ejemplo 1.3.

En un momento dado, que nosotros identificamos como el tiempo 0,t un auto está en

50 m al este de un punto inicial y se está moviendo hacia el este a una velocidad constante de m10s

. ¿Qué tan lejos está desde su punto inicial en t 4s ?

Solución.

Hagamos que la distancia desde el punto inicial sea designada por .d Sabemos que cuando 0 , 50 ;t s d m llamamos a esa distancia 0.d También sabemos que en la medida que el

tiempo progresa, d se incrementa en la medida que el auto se mueve más al este a una velocidad constante. La distancia adicional que el auto viaja depende de su velocidad y del tiempo que transcurre. Así esperamos que d esté dada por una ecuación de la forma:

0d d X

Donde X es alguna combinación algebraica de velocidad y tiempo que debe tener la dimensión de longitud que satisface la condición de homogeneidad condicional.

Dado que la dimensión de velocidad es LL

y que la del tiempo es T , la única combinación

de velocidad, ,v y tiempo, t , que tendrá la dimensión de longitud es el producto .vt Por lo

tanto,

0d d Avt

debe ser la expresión correcta. Aquí A es una constante numérica sin dimensión. El análisis dimensional no nos puede decir cuanto será el valor de esta constante. En este caso, si las unidades para 0, ,d d v y t son consistentes, por ejemplo, metros, metros por segundos, y

segundos, la constante A=1. Sin embargo, si d y 0d están en metros, v , en millas por hora, y t

en segundos, la constante A es 0,444, el factor de conversión de millas por hora a metros por segundo.

50 10 / 4 90 .d m m s s m

Escalares y Vectores

Definiremos algunas relaciones trigonométricas que nos serán de utilidad:


9

sin ac

cos bc

tan ab

donde a,b, y c, se refieren a las longitudes de los lados y la hipotenusa del triángulo rectángulo de la Figura 1.3.

En la física, muchas variables, entre ellas, la masa, volumen, energía, temperatura, y el tiempo, pueden ser completamente descritas por un número único. Les llamamos a estas propiedades escalares.

Un vector es un objeto matemático usado para caracterizar propiedades que tienen asociadas magnitud y dirección. Ejemplos de cantidades vectoriales son los desplazamientos (un objeto es 5 m al este, del origen de coordenadas), la fuerza (estiramos o empujamos un objeto con una fuerza dada en una particular dirección), y velocidad (un auto viaja a 30 km/s al este). Representamos a un vector con una flecha. Los vectores son útiles para caracterizar a cantidades físicas como el desplazamiento, la fuerza, velocidad, aceleración y momentum.

Usamos letras cargadas A,a para designar vectores y letras sin cargar ,A a para designar

sus magnitudes, que son escalares.

Definición. El producto de un vector A y un escalar b es un vector cuya magnitud es bA y cuya dirección es la de .A

Adición y sustracción de Vectores

Supongamos que usted camina 8 pasos al este, para y luego se dirige al norte y camina otros 6

pasos. A pesar de que usted viajo a una distancia total de 14 pasos, su desplazamiento desde el punto de origen es menor que eso, y no es propiamente al este ni al norte. Aplicando el teorema de Pitágoras, determinamos la magnitud del desplazamiento

2 28 6 100 10d pasos

Para determinar la dirección del desplazamiento podemos usar una de las funciones trigonométricas.

1 6tan 378


10

Definición. Si A y B son dos vectores, el vector C A B es obtenido ubicando al vector B de manera que su origen coincida con el fin del vector A . El vector C es entonces obtenido dibujando un vector desde el origen de A al término de .B

Esto se puede extender a tres vectores.

Ejemplo 1.4

Una chica camina 300 m al este. Luego ella camina en una línea recta pero en una dirección diferente. Al final de su caminata ella está exactamente a 200 m al nor-este de su punto inicial. ¿Qué tan lejos ella se fue luego de que cambió de dirección y en que dirección ella camino en la segunda vuelta de su viaje?

Sabemos que

R A + B

Por lo tanto,

B R A R A

Usando esta construcción geométrica, una regla, y un protractor, encontramos que B=210 m a

48 a nor-oeste.

Adición de Vectores Usando Componentes Ortogonales

Cualquier vector puede ser visto como la suma de dos o más vectores. En la Figura 1.1.

Cinemática

Entender el movimiento es entender la naturaleza, Leonardo Da Vinci.

La mecánica es el estudio del movimiento de los cuerpos, está convenientemente dividido en dos partes, cinemática y dinámica. Cinemática es puramente descriptiva y está restringida a responder a la pregunta: dadas ciertas condiciones iniciales y la aceleración de un objeto en

0t y en todos los tiempos subsiguientes, cuál es su posición y su velocidad como funciones del tiempo? La cinemática no requiere responder a las preguntas de porqué los cuerpos se aceleran; sólo describe sus comportamientos. La dinámica está preocupada por la causalidad, con cuales son las causas del movimiento de los objetos.

Movimiento rectilíneo


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Los fenómenos naturales tienen lugar en espacios tridimensionales. Sin embargo, antes de abordar los problemas más complejos de dos y tres dimensiones, nos focalizamos en el más simple de los casos, el movimiento sobre una línea recta. El análisis de este movimiento, en particular, el comportamiento de los cuerpos que caen libremente, en uno de los primeros problemas que ocuparon la atención de los filósofos naturales. Necesitamos conocer el significado de posición, velocidad y aceleración.

En una dimensión, localizamos un cuerpo especificando su posición coordenada, la cual es la distancia de un origen de coordenadas arbitrariamente elegido. La unidad de la dimensión longitud puede ser el metro (m), el centímetro (m), el pie (f) o cualquier unidad conveniente. La variable coordenada es usualmente designada por x .

Velocidad

Si un objeto se mueva a lo largo del eje de coordenadas, decimos que se está transladando. Cuando el objeto se mueve, su posición coordenada cambia como el tiempo progresa. Si en el tiempo 1t t su posición coordenada es 1x , su posición coordenada en el tiempo posterior

2t t , tendrá un nuevo valor, 2x . Su velocidad media, v , durante el intervalo de tiempo

2 1t t t es

2 1

2 1

x x xvt t t

donde 2 1x x x

es su desplazamiento durante el intervalo de tiempo t .

Definición. La velocidad media de un cuerpo es su desplazamiento dividido por el intervalo de tiempo durante el cual este desplazamiento ocurrió.

Si multiplicamos ambos lados de la ecuación anterior por t , tenemos que

x v t

Ó sea

2 1x x vt

Por lo tanto, si conocemos la velocidad media, podemos encontrar el desplazamiento del cuerpo durante el intervalo de tiempo dado; si conocemos su posición inicial, podemos determinar su posición final.


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En la física nosotros hacemos una clara distinción entre velocidad y rapidez (speed). Como mencionamos antes, la velocidad es una cantidad vectorial; asociamos tanto dirección como magnitud con la velocidad. En el caso restringido uni-dimensional, la velocidad puede tener valor positivo o negativo, indicando el translado en la dirección positiva o negativa a lo largo del eje coordenado. Reservamos el término rapidez para el valor absoluto de la velocidad. Así un objeto puede tener una velocidad en la dirección x 40 /m s ó 40 /m s . En cualquier caso su rapidez es 40m/s.

De estas definiciones sigue que las dimensiones de velocidad y rapidez son LT

.

Ejemplo 2.1

Un tren está viajando al este a una velocidad de 120 km/h. ¿Qué tan lejos va el tren en 6 segundos?

120 km/h=120 1 1000 33.3 /

1 3600 1km h m m sh s km

En 6s, el tren cubre una distancia de

33.3 / 6 200x v t m s s m

Ejemplo 2.2

En el tiempo 12t s un auto se encuentra en 50 .x m En 15t s el auto se encuentra en 5 .x m ¿Cuál es la velocidad media y su rapidez media?

5 50 15 /15 12m mv m s

s s

El signo negativo nos dice que el auto se está moviendo en la dirección negativa. Su rapidez es 15 m/s.

Podemos ver, en principio, como determinar la velocidad instantánea. Reducimos el intervalo de tiempo entre sucesivas observaciones de posición hasta que es infinitesimalmente pequeño, y a pesar de que x también se aproxima a cero en la medida que hacemos esto, el

ratio xt

permanece finito.

En términos matemáticos formales expresamos esto como


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0lim

t

xvt

Si y sólo si la velocidad es constante, podemos usar las expresiones citadas con referencia al desplazamiento en un intervalo de tiempo dado. Esta condición de velocidad constante se

llama movimiento uniforme. Para el movimiento uniforme, la velocidad instantánea

y promedio son iguales.

Aceleración

En la mayoría de las situaciones de interés, los objetos no mantienen movimiento uniforme pero sufren cambios en velocidad; esto es, ellos son acelerados.

La definición de aceleración es análoga a la de velocidad.

Definición

La aceleración media durante el intervalo de tiempo t está dado por

2 1

2 1

v v vat t t

Donde 1v y 2v son velocidades instantáneas en los tiempos 1t y 2t .

Multiplicando ambos miembros por t y obtenemos

2 1

v a t

v v a t

Obtenemos la aceleración instantánea por el mismo proceso límite como antes:

0lim

t

vat

Movimiento Unidimensional

Velocidad Media

El análisis del movimiento es un problema fundamental en física, y la forma más simple de abordarlo es considerar primero los conceptos que intervendrán en la descripción del movimiento (cinemática), sin considerar todavía el problema de cómo determinar el movimiento que se produce en una situación física dada (dinámica).


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Para describir el movimiento, precisamos primero un referencial, que en el caso, unidimensional, es simplemente una recta orientada, en que se escoge el origen 0; la posición de una partícula en movimiento en el instante t es descrita por la abscisa correspondiente

.x t

Un método para “congelar” una posición instantánea de un objeto en movimiento es tirar una fotografía de exposición múltiple en que el objeto es iluminado en intervalos de tiempo

t regulares por un “flash” ultra-rápido (estroboscopia).

Cinemática en dos y tres dimensiones

Denotemos por 1s y 2s los vectores de posición de una partícula en tiempo 1t y

Problema 1 Bonjorno.

Un joven recorre los lados de un terreno rectangular de dimensiones 40 m y 80 m.

a) ¿Cuál es la distancia recorrida por el joven en dos vueltas completas?

b) ¿Cuál es la distancia recorrida y el desplazamiento en el recorrido ABC?

Solución.

a) Una vuelta: 40 80 40 80 240m m m m m

Dos vueltas completas 480 m.

b) Distancia recorrida es 80m+40m=120 m

Desplazamiento es 2 2 2

2 2

80 40

80 40 89, 44 40 5

d

d m m


Una persona sale del punto A y camina pasando por los puntos B,C y D, donde se detiene. En base a la figura, calcule el desplazamiento y el camino recorrido por la persona en los trechos:

a) AB

b) ABCD


15

Solución.

a) Desplazamiento=camino recorrido

2 2 2

2 2

30 40

30 40 2500 50

d

d m

b) Camino recorrido

50 40 50 140m m m m

Desplazamiento

100 m


Considere un automóvil que recorre una pista circular de 80 m de radio. Determine el desplazamiento y el espacio recorrido por el automóvil durante:

a) un cuarto de vuelta.

b) Media vuelta.

c) Una vuelta.

Solución.

a) Camino recorrido=2 80 40

4m m

Desplazamiento= 2 280 80 113,14m


La distancia Tierra-Sol es aproximadamente de 149000000 km. ¿Cuál es el espacio recorrido en km por la Tierra durante una vuelta en su órbita?

Solución.

Circunferencia= 82 2 149.000.000 9.38 10r



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Convierta

a) 90 km/h en m/s

Solución

1000 190 / 90 / 25 /1 60 60

m hkm h km h m skm s

b) 15 m/s en km/h

1 360015 / 15 54 /1000 1

m km sm s km hs m h


¿Cuál es la velocidad en km/h que un avión debe alcanzar para igualar la velocidad de propagación del sonido en el aire, suponiendo que ésta sea 330 m/s?

Solución

m m 3600s 1km330 330 1188 km / hs s 1h 1000m


En el instante 1 2t s un automóvil pasa por el punto A de una carretera rectilínea y, en el

instante 2 7 ,t s pasa por el punto B.

Calcule la velocidad escalar media del automóvil en ese trecho.

Solución.

2 1

2 1

300m 100m 200m 40 m / s7s 2s 5s

s svt t


Un corredor recorre 100 m en 10 s. Determine su velocidad media en km/h.

Solución.


17

100m m 1km 3600s10 36 km/h10s s 1000m 1h

v


Un automovilista recorre tres vueltas de un circuito de 4,5 km de longitud, empleando en cada vuelta los siguientes tiempos: 10 min, 12 min, 12 m 30 s. Calcule en m/s:

a) la velocidad media del automovilista en cada vuelta;

b) la velocidad media del recorrido total.

Solución.

a)

14,5km 4,5km 1000m 1min m7,510min 10 min 1km 60s s

v

24,5km 4,5km 1000m 1min m6, 2512 min 12min 1km 60s s

v

34,5km 4,5km 1min 1000m m6

12,5min 12,5min 60s 1km sv

b) 4,5km 3 13,5km 13,5km 1000m 1min m6,521

10 12 12,5 min 34,5min 34,5min 1km 60s sv


Una estrella se halla a una distancia de 94,5 10 km de la Tierra. Sabiendo que la velocidad

de la luz es de 300000 km/s, ¿cuál es el tiempo que emplea la luz de la estrella para alcanzar la Tierra?

Solución.

Sabemos que


18

9

9 94

km 4,5 10 km300000s

4,5 10 km 4,5 10 km s 15000s 1,5 10 skm 300000 km300000s

svt

t

t


Cierta persona viajaba en un automóvil cuyo velocímetro no funcionaba. Deseando saber cuál era el valor de la velocidad escalar media del automóvil y sabiendo que los postes de la red eléctrica dispuestos en la margen de la carretera distan 60 m uno de otro, la persona comenzó a marcar el tiempo en el instante en que pasó frente a un poste (primer poste) y constató que transcurrieron 45,6 s hasta el instante en que pasó delante del vigésimo poste. Determine la velocidad escalar media del automóvil, en km/h, constatada en el intervalo de tiempo durante el cual la persona se desplazó del 1º al 20º poste.

Solución.

60m 19 m m 1km 3600s km25 9045,6s s s 1000m 1h h

v


La distancia de la facultad hasta la zona este de la ciudad es de 24 km. Considerando la velocidad máxima permitida de 80 km/h, ¿cuántos minutos, como mínimo, una persona debe emplear en el recorrido en un tránsito completamente libre?

Solución.

km 24km80h

24km 24km h 60min0,3h 0,3h 18minkm 80 km 1h80h

svt

t

t



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Dos ciudades A y B distan 600 km. Un automóvil parte de A a las 8h 15 min y llega a B a las 14 h 32 min 20 s.

a) ¿Cuál es el tiempo que se empleó en el viaje?

b) ¿Cuál es la velocidad escalar media del automóvil durante el viaje? Dé la respuesta en km/h.

Solución.

a)

1h 1h 1h 1h14h 32min 20s 8h 15min 30s60 min 3600s 60 min 3600s

14,538888 8,2583333 6, 28h

b)

600km km95,546,28h h

v


Una línea de ómnibus urbano tiene un trayecto de 25 km. Sabiendo que un ómnibus recorre ese trayecto en 85 min, calcule su velocidad escalar media en km/h.

Solución

25km 60min km17,6585min 1h h

v

Problema 15 de Bonjorno.

En un camión cisterna en movimiento, uno de los grifos está mal cerrado y gotea a razón de 2 gotas por segundo. Determine la velocidad del camión, sabiendo que la distancia entre las marcas sucesivas dejadas por las gotas en el asfalto es de 2,5 m.

Solución.

2,5 2m 5m m51s 1s s

v


20


Una escalera mecánica de 6 m de altura y 8 m de base transporta una persona de la base hasta el techo de la escalera en un intervalo de 20 s.

Determine la velocida media de esa persona.

Solución.

La distancia recorrida está dada por 2 28 6 100 10md

10m m0,520s s

v


En una mañana calurosa de un día viernes, la fila única de clientes de un banco tiene una longitud media de 50 m. En promedio la distancia entre las personas en la fila es de 1,0 m. Los clientes son atendidos por 3 cajas.

Cada caja lleva cerca de 3 min para atender un cliente. Se pregunta:

a) ¿Cuál es la velocidad (media) de los clientes a lo largo de la fila?

b) ¿Cuánto tiempo un cliente demora en la fila?

c) Si uno de los cajeros se retira por 30 min, ¿cuántos metros la fila aumenta?

Solución.

a)

21m 1m 1min m1,66 101min min 60s s

v

b) 2

2

m 50m1,6666 10s

50m s 3000s 50min1,6666 10 m

svt

t

t

c)


21

Las tres cajas atendían a una velocidad media de 1m/min. En treinta minutos disminuían la fila en 30 m. Como hay tres cajas, cada caja disminuía la fila en 10 m. Por lo tanto, si una se retira la fila aumentará en 10 m.


Un automóvil recorre 80 km a 40 km/h y, luego, 10 km a 20 km/h. Determine la velocidad media del automóvil durante todo el recorrido.

Solución

El primer tramo lo recorre en dos horas y el segundo en 0,5 horas.

90km km km 2 km 0,5 km36 40 20 362,5h h h 2,5 h 2,5 h

v


Una patrulla de la policía caminera mide el tiempo que cada vehículo emplea para recorrer un trecho de 400 m de una carretera. Un automóvil recorre la primera mitad del trecho con una velocidad de 140 km/h. Siendo 80 km/h la velocidad máxima permitida, ¿cuál debe ser la mayor velocidad media del automóvil en la segunda mitad del trecho para evitar la multa?

Solución.

La primera mitad de 200 m lo recorre a 140 km/h. Por lo tanto, lo hace en un tiempo de 31, 42857 10 horas. La segunda parte la recorre a una velocidad desconocida pero que

deberá permitirle recorre los 200 m restantes en 0,005 horas menos los 0,0014285 horas del primer tramo. Por lo tanto la ecuación es:

33 0,005 1,42857 101,42857 10140 / / 80 /0,005 0,005

40 0,714286 80km56h

v km h y km h km h

y

y


22

Problema 20 Bonjorno

Un niño sale de su casa hacia la escuela, realizando en promedio un paso por segundo. El tamaño medio de su paso es de 0,5 m y él gasta 5 min en el trayecto. ¿Cuál es la distancia entre su casa y la escuela?

Solución

1paso 0,5m s ss s t 300

0,5m300s 150ms

vs

s

Movimiento Uniforme (MU)

Considerando una persona que conduce un automóvil de tal forma que la aguja del velocímetro esté siempre en la misma posición, por ejemplo, 50 km/h, durante ese tiempo.

En esa condición ella recorrerá 50 km en cada hora, esto es, si en 1 h ella recorre 50 km, en 2 h recorrerá 100 km y así sucesivamente. O sea, recorrerá distancias iguales en intervalos de tiempo iguales.

Para que esto ocurra, la velocidad escalar instantánea debe ser igual a la velocidad escalar media en cualquier intervalo de tiempo.

El movimiento descrito en esa situación es denominado movimiento uniforme (MU).

constante 0mv v

Se pueden citar algunos ejemplos: una gota de agua descendiendo por un tubo lleno de aceite, un ciclista con velocidad constante, el viaje de una nave interplanetaria, la subida o bajada de una escalera mecánica, etc.

En la práctica, los movimientos no son perfectamente uniformes. Si la trayectoria es rectilínea, el movimiento se dice que es movimiento rectilíneo y uniforme (MRU).

Función Horaria de las posiciones

El estudio de la cinemática se restringe a la elección de un sistema de referencia y al registro, en términos matemáticos, de las sucesivas posiciones ocupadas por un cuerpo en el transcurso del tiempo.


23

Por tanto, partiendo de la posición actual del cuerpo, en un determinado sistema de referencia, se puede determinar la posición futura en el mismo sistema de referencia.

Así, dados el aquí y ahora del cuerpo –posición y instantes iniciales- para un determinado observador, se puede prever el allí y el después del cuerpo en relación al mismo observador.

Por ello, podemos deducir que:

0s s vt

La función horaria de las posiciones de un movimiento uniforme es la expresión matemática que facilita determinar la posición de un cuerpo durante un intervalo de tiempo en una determinada trayectoria.

Problemas de Aplicación 1

Un cuerpo se mueve sobre una trayectoria rectilínea obedeciendo a la función horaria 40 4s t (en unidades del SI). Determine:

a) su posición inicial y su velocidad

b) su posición a los 5 s

c) la variación del espacio entre los instantes 2s y 7s

d) el instante en que el cuerpo pasa por la posición 60 m

Solución

a)

0s 20mm4s

v

b)

5st

20 4 5 40ms

c)

Para 2, 7t t


24

20 4 2 20 4 7 20 m 20ms

d)

60= 20 4t

10st

Problema de Aplicación 2

Dos móviles parten simultáneamente de dos puntos de una recta, separados por una distancia de 15 m, recorriéndola en la misma dirección y en sentido contrarios, con velocidades constantes e iguales a 2m/s y 3m/s.

a) ¿Cuánto tiempo, después de la partida, se produce el encuentro?

b) ¿Cuál es la posición del encuentro?

Solución

a)

Fijando como origen el punto donde se encuentra el móvil A, se tienen las siguientes funciones horarias:

0

0

0 215 3

A A A

B B B

s s v t ts s v t t

En el encuentro, se tiene:

2 15 33

A Bs st t

t s

c) La posición del encuentro en relación al origen es:

m2 2 3s 6ms

t

Problema de Aplicación 3

Un tren de 200 m de longitud tiene una velocidad escalar constante de 72 km/h. Determine el tiempo que él emplea para recorrer un puente de 50 m de longitud.


25

Solución

km km 1000m 1h m72 72 20h h 1km 3600 sAv

s

La función horaria de las posiciones para el punto A (parte trasera del tren) en el inicio del recorrido es:

0m250m 0 20s

250m 1 s250m 12,5sm 20 m20s

s s vt t

t

Problema 21 de Bonjorno

Un automóvil se mueve según la función horaria s 50 8t (en unidades del SI).

a) ¿Cuál es la posición inicial y la velocidad del automóvil?

b) ¿Cuál es la posición del automóvil en el instante 20s?

c) ¿En qué instante el automóvil pasa por la posición 650 m?

d) ¿Qué distancia el automóvil recorre durante el 10º segundo?

Solución

a) posición inicial igual a 50 m y velocidad instantánea igual a 8.

b) 50 8 20 210ms

c)

650 50 8600 75s8

t

t

d)

50 8 9 50 8 10 8m



26

Un cuerpo se mueve según una trayectoria rectilínea, obedeciendo a la función horaria 60 10s t (en unidades del SI).

Determine:

a) su posición inicial y su velocidad

b) su posición en el instante 3s

c) el instante en que pasa por el origen de las posiciones

d) distancia recorrida en el intervalo de 1s a 10 s

Solución


Un cuerpo se mueve sobre la trayectoria rectilínea de la figura, obedeciendo a la función horaria 4 2s t (en unidades del SI).

a) ¿Cuál es la posición del cuerpo en el instante 5s?

b) Determine el instante en que el cuerpo pasa por el punto A.


En una carretera se observan un camión y un jeep, ambos dirigiéndose en el mismo sentido. Sus velocidades son 54 km/h y 72 km/h, respectivamente.

En el instante t=0, el jeep está a 100 m detrás del camión.

Determine:

a) el instante en que el jeep alcanza el camión

b) el camino recorrido por el jeep hasta alcanzar el camión


Dos corredores parten, en sentidos opuestos y en el mismo instante, de los extremos de una pista rectilínea de 600 m de longitud. Sabiendo que sus velocidades son iguales a 8,5 m/s y 6,5 m/s, calcule después de cuánto tiempo la distancia entre ellos es de 450 m.


27


Un batallón de infantería sale del cuartel para una marcha a las 5h de la mañana, a razón de 5 km/h. Después de una hora y media, un soldado sale del cuartel en un jeep para llevar una información al comandante de la marcha, a lo largo de la misma carretera, a 80 km/h. ¿Cuántos minutos empleará el soldado para alcanzar al batallón?


¿Cuánto tiempo emplea un tren de 200 m, a una velocidad de 180 km/h, para atravesar un túnel de 150 m? Exprese la respuesta en segundos.

Gráficos del movimiento uniforme

La matemática, a través de la teoría de las funciones, proporciona medios para relacionar las magnitudes respecto al movimiento: posición, velocidad y tiempo.

Se puede también relacionar esas magnitudes gráficamente.

a) Posición en función del tiempo s f t

b) Velocidad en función del tiempo v f t

Aceleración escalar media

En casi todos los movimientos de un cuerpo el valor de la velocidad varía en el transcurso del tiempo.

Para hacer un estudio más profundo del movimiento de un cuerpo, se necesita saber cuánto varía la velocidad en cada unidad de tiempo; por ejemplo, en cada segundo.

A la magnitud física responsable de la variación rápida o lenta de la velocidad se denomina aceleración.

Para estudiar la aceleración, se considera un punto material recorriendo la trayectoria de la figura de al lado.


28

ma y a

Tipos de movimiento

a) Movimiento acelerado

Es aquel en el cual el módulo de la velocidad aumenta en el transcurso del tiempo. Para que eso ocurra se debe tener la velocidad y la aceleración con el mismo signo.

0v a

b) Movimiento retardado

Es aquel en el cual el módulo de la velocidad disminuye en el transcurso del tiempo. En ese caso, la velocidad y la aceleración deben tener signos contrarios.

0v a

Como ejemplo un automóvil frenando al aproximarse a una persona.

Movimiento uniformemente variado (MUV)

a) Definición

En la mayoría de los movimientos observables en la naturaleza, la velocidad varía durante el transcurso del tiempo.

En este caso, al movimiento se denomina movimiento variado. Si en el movimiento de un cuerpo en intervalos de tiempo iguales éste sufre la misma variación de velocidad escalar, se dice que posee un movimiento uniformemente variado.

Para que eso ocurra en cualquier intervalo de tiempo, la aceleración escalar media debe ser constante, diferente de cero e igual a la aceleración escalar instantánea.

constante 0ma a

c) Funciones Horarias

1º) Velocidad en función del tiempo v t


29

0

0

0

cte

m

m

v vat t

a av v at

2º) Posición en función del tiempo s t

20 0

12

s s v t at

3º) Aceleración en función del tiempo a f t

Un móvil que realiza un movimiento uniformemente variado sufre variaciones de velocidad iguales en intervalos de tiempo iguales.

Para que eso ocurra, la aceleración del cuerpo debe ser constante y diferente de cero.

cte 0a

Ecuación de Torricelli

Es la ecuación que relaciona la velocidad con el espacio recorrido por el cuerpo en un movimiento uniformemente variado.

2 20 2v v a s

Ahora seguiremos a Blatt para demostrar estas importantes relaciones de la cinemática. Es importantísimo hacer las demostraciones porque son ellas las que nos permiten recordar con facilidad las expresiones matemáticas que dan como resultado.

El gran objetivo de la cinemática es generar relaciones que especifiquen la posición y el movimiento de objetos bajo condiciones iniciales dadas y también conocida la aceleración.

De la definición de velocidad media, tenemos que:

0s s vt

Si la aceleración es cero, la velocidad es constante; entonces, y sólo entonces, .v v Si 0,a la velocidad v cambia con el tiempo. En el caso especial que estamos considerando,


30

movimiento uniformemente variado o aceleración constante y diferente a cero, a a . Entonces sabemos que

0 0tv v at v at

La velocidad cambia linealmente con el tiempo, aumentando o decreciendo de acuerdo al signo de .a Cuando la velocidad es una función lineal del tiempo, la velocidad media es sólo la media algebraica de las velocidades inicial y final. Esto es

0 002 2

v at v atv v

y usando este resultado tenemos que

0 0

20 0

212

t

t

ats s v t

s s v t at

Otra relación que es también útil se deriva reescribiendo:

0tv vta

y sustituyendo esta expresión para t en la ecuación anterior:

2 20 0

12t ts s v v

a

Gráficos del movimiento uniformemente variado

a) Velocidad en función del tiempo v f t

La función horaria de la velocidad en el movimiento uniformemente variado es una recta

0 .v v at

Se puede tener dos casos:

Aceleración positiva o negativa.

Propiedades


31

1º) El área limitada por el gráfico representativo y por los ejes coordenados entre los instantes 0 y 1t es igual al valor numérico del espacio recorrido por el cuerpo entre esos

instantes.

Área del trapecio

2º) La tangente del ángulo representa numéricamente la aceleración

b) Posición en función del tiempo s f t

La función horaria de las posiciones del movimiento uniformemente variado es

20 0

1 .2

s s v t at

Como esta función es de 2º grado en relación al tiempo, su gráfico representativo es una parábola.

c) Aceleración en función del tiempo a f t

Se sabe que en el movimiento uniformemente variado la aceleración es constante y diferente de cero.

Propiedad

En el gráfico de la aceleración el área sombreada, mide numéricamente la variación de la velocidad entre los instantes 1t y 2.t

Caída de los cuerpos

Cuando se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba se observa que él sube hasta cierta altura y después cae porque es atraído por la Tierra.

De la misma forma se verifica que un cuerpo cae al ser abandonado de una determinada altura porque es atraído por la Tierra.

Los cuerpos son atraídos por la Tierra porque en torno a ella hay una región llamada campo gravitacional que ejerce atracción sobre ellos.

Se denomina caída libre al movimiento de subida o de bajada que los cuerpos realizan en el vacío, en las proximidades de la superficie de la Tierra.

Se puede también despreciar a la resistencia del aire al movimiento de los cuerpos, durante la subida o la bajada y, en este caso, se los considera como en caída libre.


32

Estudiando el movimiento de un cuerpo en caída libre, Galileo Galilei llegó a las siguientes conclusiones:

1. Las distancias recorridas por un cuerpo en caída libre son proporcionales al cuadrado de los tiempos utilizados en recorreralas, esto es, la función horaria de las posiciones es de 2º grado.

2. Todos los cuerpos, independientemente de su masa, forma o tamaño, caen con aceleración constante e igual.

La aceleración constante de un cuerpo en caída libre es denominada aceleración de la gravedad y se representa por la letra g.

Conclusión:

Si la aceleración de la gravedad es constante y la función horaria de las posiciones es de 2º grado, la caída libre es un MRUV y, por tanto, valen todas las funciones y conceptos de ese movimiento.

La aceleración de la gravedad disminuye con la altura y, al nivel del mar, tiene el valor

aproximado de 9,8 2m/s .

A pesar de eso se acostumbra, para efecto de cálculos, considerar g=10 2m/s .

La aceleración de la gravedad varía también cuando se pasa del ecuador (g=9,78 2m/s ) al polo

(g=9,83 2m/s ).

Para estudiar la caída de los cuerpos se consideran dos casos: lanzamiento vertical hacia arriba y lanzamiento vertical hacia abajo.

a) Lanzamiento vertical hacia arriba

Un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba realiza durante la subida un movimiento rectilíneo uniformemente retardado, pues el módulo de su velocidad disminuye en el transcurso del tiempo.

b) Lanzamiento vertical hacia abajo

Un cuerpo lanzado verticalmente hacia abajo realiza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, pues el módulo de su velocidad aumenta durante el transcurso del tiempo.

Cinemática Vectorial

Vector


33

Es el símbolo matemático utilizado para representar el módulo, la dirección y el sentido de una magnitud física vectorial.

Se representa un vector por medio de una flecha.

v OP P O

Todo vector tiene tres elementos principales:

1) módulo 3v v u

2) dirección de la recta r

3) sentido de O hacia P

El módulo de un vector es la medida de la flecha que él representa. En la representación

anterior el módulo del vector v es igual a tres unidades de medida.

Operaciones con vectores

a) Adición de dos vectores concurrentes

Dados los vectores a y b se obtiene el vector suma R , tal que R a b .

El método del paralelogramo.

El vector suma R tiene las siguientes características:

Módulo 2 2 2 cosR a b ab

Dirección: de la recta OP

Sentido: de O hacia P

La regla del polígono.

b) Sustracción entre dos vectores

Considerando los vectores a A O y b B O , que forman entre sí un ángulo .

El vector diferencia dv está dado por:

dv a b A O B O A B


34

Algebraicamente, el vector dv está dado por

Módulo: 2 2 2 cosdv a b ab

Dirección: de la recta AB

Sentido: de B hacia A

c) Producto de un escalar por un vector

Cuando se multiplica un número a por un vector 1v , se obtiene 2v , tal que:

Intensidad: 2 1v a v

Dirección: la misma de 1v

Sentido: 1

1

si 0, el mismo de

si 0, contrario al de

a v

a v

Vector Opuesto

Se denomina vector opuesto de un vector al vector - a con las siguientes características:

Igual módulo de a

Igual dirección de a

Sentido contrario al de a

1º) Si dos vectores tienen la misma dirección y el mismo sentido, el vector resultante será:

R a b en módulo.

2º) Si dos vectores tienen la misma dirección y sentido contrarios, el vector resultante será .R a b

Componentes rectangulares de un vector

Considerando el vector a y los ejes , .x y

Proyectando, perpendicularmente, el vector a sobre los ejes ,x y se obtienen sus

componentes rectangulares xa y ya .


35

De la figura, se tiene:

cos

sin

x

y

aa

aa

Vector posición

Considerando un móvil que describe la trayectoria indicada en la figura en relación al punto O, origen del sistema cartesiano. Sea P la posición del móvil en un instante t.

Se define como vector posición en el instante considerado el vector .r P O

Vector desplazamiento

Sean 1P y 2P las posiciones del móvil en los instantes 1t y 2t , respectivamente.

Se define como vector desplazamiento, entre los instantes 1t y 2t , el vector 2 1.r P P

Observe que s r .

Velocidad vectorial media

Se define como velocidad vectorial media al cociente del vector desplazamiento r y el tiempo t empleado en ese desplazamiento.

mrvt

Módulo: mrvt

Dirección: la misma que r

Sentido: el mismo que r

Velocidad vectorial instantánea

Considere el movimiento de un móvil del punto 1P hacia el punto 2P sobre la trayectoria

curva de la figura.


36

Cuanto más próximo el punto 2P estuviere al punto 1P , el vector r tiende a ser tangente

a la trayectoria por el punto 1.P

Por tanto, para t tendiendo a cero (el instante 2t es prácticamente igual al instante 1)t ,

el vector velocidad media es denominado vector velocidad instantánea y se indica por v .

0lim m

tv v

La dirección del vector velocidad instantánea es siempre tangente a la trayectoria y el sentido es el del movimiento.

Problema de Aplicación

Un conejo camina 80 m hacia el norte, luego se orienta hacia el este y camina 60 m más. Sabiendo que en todo el recorrido el conejo emplea 10 s, calcule:

a) el módulo del desplazamiento resultante del conejo;

b) el módulo de las velocidades escalar y vectorial media del conejo.

Solución.

Composición de Movimientos

El movimiento resultante de un cuerpo, al describir una trayectoria cualquiera, está muchas veces compuesto por más de un movimiento.

Ejemplos:

a) La velocidad de un barco al atravesar un río

b) La velocidad de un avión

Observando la composición de los movimientos, Galileo Galilei concluyó que podía estudiar el movimiento resultante de un cuerpo analizando separadamente los que lo componen y enunció el principio de independencia de los movimientos.

Si un cuerpo se encuentra bajo la acción simultánea de varios movimientos, cada uno de ellos se ejecutan como si los demás no existiesen.

Velocidad Relativa


37

Consideramos ahora como las observaciones que se realizan en diferentes marcos de referencias están relacionadas unas con otras. Por ejemplo, consideremos dos trenes que se aproximan uno a otro, cada uno con una velocidad de 80 km/h con respecto a la Tierra. Los observadores sobre la Tierra detrás de las vías medirán 80 km/h para las velocidades de cada tren. Los observadores sobre cualquiera de los trenes (un diferente marco de referencia) medirán la velocidad a 160 km/h para el otro tren que se les acerca. Similarmente, cuando un auto está viajando a 90 km/h pasa a un segundo auto viajando en la misma dirección a 75 km/h, el primer auto tiene una velocidad relativa al segundo auto de 90 km/h-75 km/h=15 km/h.

Cuando las velocidades están a lo largo de la misma línea, la simple adición o sustracción es suficiente para obtener la velocidad relativa. Pero si ellas no están en la misma línea, debemos hacer uso de la adición vectorial. Al especificar la velocidad es por lo tanto importante mencionar cuál es el marco de referencia.

Cada velocidad está marcada con dos subíndices: el primero se refiere al objeto, el segundo al marco de referencia en el cual tiene esa velocidad. Por ejemplo, supongamos que un bote va a cruzar un río al lado opuesto. Sea BWv la velocidad del

bote con respecto al agua. Similarmente, BSv es la velocidad del bote con respecto a la

costa, y WSv es la velocidad del agua con respecto a la costa (esto es la velocidad de la

corriente del río).

Lanzamiento oblicuo

Considerando un cuerpo lanzado oblicuamente, con una velocidad inicial 0v formando un ángulo con el eje .x

Despreciando la resistencia del aire, el cuerpo describe una trayectoria parabólica debido a la atracción de la Tierra.

Se puede estudiar ese movimiento imaginando el lanzamiento oblicuo como resultante de la composición de dos movimientos: uno en dirección horizontal x y otro en dirección vertical y.

En la dirección horizontal el movimiento del cuerpo es rectilíneo y uniforme con velocidad

igual a 0 .xv

En la dirección vertical el movimiento del cuerpo es rectilíneo uniformemente variado con

velocidad inicial igual a 0xv y aceleración igual a –g.

Observaciones:


38

1º) El módulo de la velocidad vertical yv disminuye durante el ascenso y aumenta en el descenso.

2º) En el punto de altura máxima máxh el módulo de la velocidad en el movimiento vertical es

cero 0yv .

3º) A la distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y el punto de caída del cuerpo se

denomina alcance máxx . En este punto y=0.

4º) La posición del cuerpo en un determinado instante está determinada por las coordenadas x e y.

5º) La velocidad en un determinado instante se obtiene por la suma vectorial de las

velocidades vertical y horizontal, esto es, 0x yv v v . El vector v es tangente a la trayectoria

en cada instante.

Lanzamiento horizontal

Sea un cuerpo lanzado horizontalmente, con velocidad inicial 0v , de una altura H en relación al suelo.

En este caso, el cuerpo describe también una trayectoria parabólica, resultante de la composición de dos movimientos:

a) un movimiento uniforme en la dirección horizontal

b) un movimiento uniformemente variado en la dirección vertical

El lanzamiento horizontal es un caso particular de lanzamiento oblicuo, en el que el ángulo del lanzamiento es igual a cero, esto es, 00 .

Movimiento Circular

Cinemática del movimiento circular

Supongamos que una pequeña y masiva piedra está constreñida a realizar un movimiento en un sendero circular alrededor de un centro fijo en 0 y atada a una vara de longitud r . Figura 6.1. Para especificar el movimiento de la piedra en cualquier momento, podríamos dar sus coordenadas x e .y Sin embargo, una descripción más conveniente y natural está


39

dada en términos del ángulo entre el eje y alguna dirección arbitraria, tal como la línea OA. Si y la longitud de la vara r están dadas, entonces sabremos exactamente donde encontraremos a la piedra.

La razón por la cual las coordenadas polares, r y , son preferidas es que en el movimiento circular uno de estos cambia con el tiempo, y lo hace de una manera simple si el movimiento es uniforme. Por contraste, si la piedra atravieza su sendero circular, las coordenadas x e y (ambas) están cambiando; ellas están dadas por:

cossin

x ry r

El radio de este sendero circular es medido en la unidad de medida usual de longitud, el metro. Dos medidas son comunes para especificar el ángulo. Una, la más familiar, es el

grado, definido como 1

360 de un círculo completo, o revolución completa. Esto es, en la

medida que la piedra completa un tránsito circular completo, el ángulo cambia en

360 .

La otra medida de ángulo es el radian.

Definición. Un radián es el ángulo formado por el arco cuya longitud es igual al radio del círculo.


40

Esto es, el ángulo , medido en radianes, está dado por el ratio de la longitud de arco al radio

longitud de arcoradio

sr

Dado que la longitud de un círculo completo de radio r es 2 r , la conversión entre radianes y grados está dada por la condición

2 radianes 360360ó 1 radian 57,32

La siguiente tabla puede ser útil para mantener la medida de radianes en perspectiva.


41

360 2 radianes180 radianes

90 radianes2

60 radianes3

45 radianes4

30 radianes6

Dado que el ángulo está definido por el ratio de dos longitudes, la longitud de cuerda y el radio, el ángulo es una variable sin dimensión.

Al igual que con el movimiento lineal, podemos definir una velocidad angular,

designada por (omega en minúscula). La velocidad angular media está dada por

2 1

2 1t t t (0.1)

donde 1 y 2 denotan valores de en 1t y 2t , y

0t t (0.2)

La velocidad angular instantánea es obtenida por el mismo proceso de encontrar el límite que usamos para llegar a la velocidad instantánea:

0

limt t

(0.3)

La unidad de la velocidad angular es el radian por segundo. Su dimensión es 1 .T

La velocidad angular no es generalmente constante, pero hay muchas situaciones importantes en la que es, por ejemplo, un satélite en una órbita circular alrededor de la tierra. Por el otro lado, la velocidad angular de un auto en una autopista circular en la medida que el auto acelera, no es constante.

La aceleración angular expresa el cambio de una velocidad angular con el tiempo. La

aceleración angular media está expresada por


42

2 1

2 1t t (0.4)

y la aceleración angular instantánea por

0lim

t t

La unidad de la aceleración angular es el radián por segundo cuadrado. Su dimensión es 2 .T

Si es constante, obtenemos de estas definiciones

0

0

2

t

t

t


Un cuerpo se mueve en una trayectoria circular en el sentido antihorario. En los instantes 3s y 5s sus posiciones son 30 y 120 , respectivamente. Calcule:

a) el ángulo descrito en ese intervalo de tiempo;

b) la velocidad angular media.

Solución.


43

a) el ángulo descrito en ese intervalo de tiempo está dado por

2 1 120 30 90

Debemos ahora convertir estos noventa grados en radianes, lo que se hace de la siguiente manera

2 radianes 360 radianes 90

2 90 2 radianes rad360 4 2 2

x

x

b) la velocidad angular media viene dada por la siguiente expresión

2 1

2 1

rad120 30 90 rad25 3 2 2 4t t t s s s s s


44

Problema 156

Un móvil realiza un movimiento circular con una velocidad angular media de rad10 .s

Calcule

el ángulo descrito en 5s.

Solución

La velocidad angular media está dada por

rad10s 5

50 rad

t

s

Problema 157

Un cuerpo con movimiento circular tiene una velocidad angular media de rad

2 s. Calcule

en cuánto tiempo él describe un ángulo de 50 rad.

Solución

rad 50 rad

2 s50 rad

50 rad 2 s1 100srad 1 rad2 s

t

t

t

Movimiento circular uniforme (MCU)

Se dice que un móvil realiza un movimiento circular uniforme cuando su trayectoria es circular y el módulo del vector de velocidad permanece constante y es diferente de cero,

1 2 3 0v v v c

Como ejemplo de movimiento circular uniforme se tienen:


45

a) el movimiento de los extremos de las manecillas de un reloj;

b) el movimiento de las hélices de un ventilador.

Frecuencia y periodo

Un movimiento es llamado periódico cuando se repite de modo idéntico, en intervalos iguales de tiempo.

Como ejemplo se tienen los citados en el apartado anterior. Por tanto, el movimiento circular uniforme es un movimiento periódico, pues a cada vuelta completa el móvil está siempre con las mismas características (posición, velocidad, etc.).

Se denomina periodo T al tiempo empleado por el móvil para realizar una vuelta completa.

En una vuelta se tiene:

2t Ts r

Luego,

2 2 2 2s r r rv T T Tt T v r

Se denomina frecuencia f del movimiento al número de vueltas efectuadas en la unidad de tiempo.

Por tanto:

tiempo número de vueltasT 11 fT f 1

1fT

La unidad de frecuencia en el Sistema Internacional de Unidades es el inverso del segundo 1s

, también llamada hertz, que se indica por Hz.


46

Se puede también indicar la frecuencia en rotaciones por minuto (rpm) 60rpm=1Hz.

Relación entre velocidad escalar y angular

Se considera un móvil describiendo, en el sentido antihorario, la trayectoria circular de la figura de más abajo.

De la figura se tiene:

Sabemos que sr

Por lo tanto, en este caso


47

dividiendo ambos lados por t

t

s s rr

s r v rt

Siguiendo a Blatt, queda una explicación mucho más sólida. En muchos problemas prácticos, el movimiento circular es de alguna manera relacionado con el movimiento lineal. Por ejemplo, la rotación de las ruedas de la bicicleta resulta en su translado. En este caso, cuánto más rápida es la rotación, más rápida es la translación. Obviamente, hay una relación entre los dos movimientos, ¿pero cuál es esa relación?

La Figura 6.5 muestra un tubo con un punto en su superficie. En la medida que el tubo da una revolución completa, el punto P transita un sendero circular de radio r y se mueve una distancia que es igual a 2 .r La longitud del sendero recorrido por un punto del tubo es sólo la longitud del arco ,s y de la definición del radián, esta longitud está relacionada

con el desplazamiento angular por

s (0.5)

Esta relación simple entre la longitud de cuerda y el ángulo sólo se mantiene si el ángulo está medido en radianes. La ecuación (1.5) es la razón por la cual la medida del radián es tan conveniente aquí.

Hemos visto que la distancia tangencial alrededor de un círculo de radio r que corresponde a una rotación de un ángulo de radianes está dado por s r . Relacione similares simples conectan la velocidad tangencial de un punto sobre el perímetro de una rueda con su velocidad angular . Desde la definición de v y , tenemos que

0 0 0lim lim lim

t t t

rsv r rt t t

Similarmente, la aceleración tangencial t está dada por

0 0 0lim lim limt t t t

rv r rt t t

Estas relaciones simples son válidas sólo si las variables angulares están dadas en radianes.


48

Problema de Ejemplo

Un tambor de radio 0,4 m empieza desde el reposo en la cima de un plano inclinado a rodar hacia abajo sin resbalarze (Figura 6-8). El tiempo entre su salida y llegada al punto B, 8 m más abajo en el plano, es 10 s. Encuentre la aceleración angular, la velocidad angular en B, y el número de revoluciones que el tambor ha hecho al viajar desde A a B, asumiendo que el tambor procede a una aceleración constante en su camino hacia abajo en el plano.

Solución

Dado que el tiempo transcurrido es 10 s, la velocidad trasnacional promedia es

8 10 0,8 / .v m s m s Dado que

10 0 10

2 2v v vv


49

10 2 2 0,8 / 1,6 / .v v m s m s

La aceleración tangencial es por lo tanto

21,6 / 0,16 /10t

v m s m st s

y la aceleración angular, dada por ta r , es entonces

220,16 / 0,4 /

0, 4m s rad s

m

Desde la ecuación de relación, la velocidad angular en el punto B es

1010

1,6 / 4 /0, 4

v m s rad sr m

Por último,

8 200,4

s m radr m

Número de revoluciones20 3,18

2 /rad rev

rad rev


Un cuerpo en MCU efectúa 480 vueltas sobre una circunferencia de 0,5 m de radio en 2 min. Determine:

a) la frecuencia;

b) el periodo;

c) la velocidad escalar del cuerpo.

Solución

a)


50

número de vueltas tiempo (s)480 120sf 1120 f 480

480 1f 4 4120s

Hzs

b) 1 1 1 1 1

44 4f T s

T f Hzs

c)

2

2 2 2 4 radian81 s4

8 0,5 4

T

T ss

mv wrs

Problema 158

Un cuerpo efectúa 300 vueltas sobre una circunferencia en 2,5 min.

a) ¿Cuál es el periodo del movimiento?

b) ¿Cuál es la frecuencia, en Hz, del movimiento?

Solución

a) y b) primero hallaremos la frecuencia del movimiento.

número de vueltas tiempo (s)300 150 sf 1

300f= 2150

Hzs

1 1 0,52

T sf Hz

Problema 159


51

Una rueda completa 150 giros por minuto.

a) ¿Cuál es la frecuencia, el periodo y la velocidad angular de la rueda?

b) ¿Cuál es la velocidad escalar de un punto situado a 12 cm del eje de la rueda?

Solución

a) La frecuencia

número de vueltas tiempo (s)150 60sf 1

150f= 2,5 .60

Hz Hz

1 1 0,42,5

T sf

2 2 rad50,4 s

T

b) 5 12 60radv r cm cm ss

Problema 160

Un disco gira a 45 rpm. Sabiendo que el diámetro del disco es igual a 16 cm, calcule la velocidad escalar de un punto de su periferia.

Solución

Primero, convertimos los 45 rpm de frecuencia en Hz.

Sabemos que

60 145

45 / 60 0,75 .

rpm Hzrpm xHz

x Hz

Por lo tanto, sabemos que:

0,75 .f Hz


52

También sabemos que

1 1 1,333330,75

T sf Hz

Sabemos que existe una relación entre T y . Esta relación es:

2

21,3333

2 1,51,3333

T

rad s

Luego también sabemos que existe una relación entre la velocidad escalar y la velocidad angular que está dada por

1,5 8 12v r cm cm s

Problema 161

Un disco horizontal de radio r=0,30m gira en torno a su eje con una velocidad angular 5 rad s . Halle la velocidad escalar en un punto de su periferia.

Solución

5 0,30 1,5v r m s

Problema 162

Un satélite artificial de 30kg será lanzado y girará en torno a la Tierra en una órbita de altitud igual a 500 km, con una velocidad lineal de 7,56 km/s. Admitiendo que el diámetro de la Tierra es de 12.000km ¿cuál será el tiempo, en horas, que él empleará para dar una vuelta completa?

Solución

Sabemos que

v r


53

3

7,56 6.500

0,001163 1,163 10

km kms

rad s

2 2 1719,69 5400 1,50,001163

T s s h

Problema 163

El motor eléctrico de un ventilador efectúa 720 rpm. Sabiendo que 25OB cm y que

50 ,OA cm calcule:

a) la velocidad angular de los puntos A y B;

b) la velocidad escalar de los puntos A y B.


54

Solución

a) la velocidad angular de los puntos A y B.

Convertimos los 720 rpm a Hz

1 60720

12

Hz rpmxHz rpmx Hz

Sabemos que


55

2

1 212

24

T

rad s

Para ambos puntos A y B.

b)

24 50 1200 / 12 /24 25 600 / 6 /

A

B

v r cm s m sv r cm s m s

Problema 164

La velocidad de un automóvil se puede medir fácilmente mediante un dispositivo que registra el número de rotaciones efectuadas por una de sus ruedas, cuando se conoce su diámetro. Considere, por ejemplo, un neumático cuyo diámetro es de 0,50m. Sabiendo que el neumático ejecuta 480 rotaciones en cada minuto, determine la velocidad escalar del automóvil. Adopte 3,14.

Solución

2

1 28

16 /16 0, 25 12,56 / .

T

rad sv m s

Problema 165

Una rueda de 60 cm de radio recorre una trayectoria rectilínea con una velocidad de 86,4 km/h, sin deslizarse.

a) ¿Con qué velocidad angular gira esa rueda?

b) ¿Cuál es la frecuencia de esa rueda?

Solución.


56

24 / 0,640 /

1 2

40 20 6,42

v rm s

rad s

f

f Hz

Problema 166

La manecilla del minutero de un reloj mide 50 cm.

a) ¿Cuál es la velocidad angular de la manecilla?

b) Calcule la velocidad lineal de la punta de la manecilla.

Solución

a)

2

1..........3600.........1

13600

3600 2

/1800

T

sf

f Hz

rad s

b)

50 /1800 36

v cm cm s

Problema 167

Una bicicleta parte del reposo y recorre 20 m en 4s con aceleración constante.

a) ¿Cuál es la aceleración de traslación de la bicicleta?


57

b) Sabiendo que las ruedas de la bicicleta tienen 40 cm de radio, ¿con qué frecuencia estarán girando al final de ese recorrido?

Solución.

Dinámica del Movimiento Circular Uniforme (Blatt)

Ahora que tenemos las ecuaciones apropiadas de la cinemática, dedicamos nuestra atención a la dinámica del movimiento circular uniforme. Esto es, queremos encontrar la respuesta a la pregunta: ¿qué fuerza es necesaria para mantener un cuerpo moviéndose alrededor de un punto fijo a velocidad constante? Este es el problema central que ocupó a los astrónomos desde tiempos ancestrales, y su solución fue uno de los logros monumentales de Isaac Newton. Para Aristóteles y la mayoría de sus sucesores esta cuestión no entrañaba ninguna dificultad; ellas la desecharon simplemente afirmando que el círculo es la más perfecta de las figuras geométricas, los senderos circulares son “naturales” para los cuerpos celestes, y no requería ninguna fuerza.

Pero alguna fuerza externa sí es requerida. Sabemos esto, porque la velocidad de un objeto que se mueve en un sendero circular está continuamente cambiando a pesar de que su rapidez puede ser fija (Figura 6.9 a) Un cambio en la velocidad implica una aceleración, y para aceleran un cuerpo debe experimentar una fuerza neta.

Para determinar esa fuerza, primero debemos conocer la aceleración. La Figura 6.9 b) muestra la diferencia entre dos vectores de velocidad, fv y 0v , de la Figura 6.9 a), determinada por la

construcción geométrica descrita en el capítulo 1. La aceleración media en el intervalo

temporal t durante el cual este cambio en velocidad ocurrió es entonces tva y debe ser

en la dirección de v , esto es, a lo largo de la base del triángulo isósceles cuyos lados son fv

y 0v . Es evidente por la construcción que v es perpendicular a s . Por lo tanto, la

aceleración promedio entre 0P y 1P está dirigida hacia el centro del sendero circular.

La fuerza que resulta en este movimiento debe también apuntar hacia el centro. Esta es la dirección apropiada para la fuerza; si damos vuelta a un objeto atado a una cuerda de longitud fija, la cuerda está bajo constante tensión y esta tensión es la fuerza que pone al objeto en movimiento circular. Sabemos de la experiencia cotidiana que el objeto en movimiento estira hacia fuera sobre la mano que mantiene la cuerda. Desde la tercera ley de Newton, sigue que


58

la fuerza que la mano ejerce sobre el objeto via la cuerda debe ser una equivalente fuerza hacia adentro. Llamamos a esta fuerza dirigida hacia adentro que actúa sobre el objeto fuerza centrípeta, y la aceleración dirigida hacia adentro del objeto aceleración centrípeta.

Hasta aquí, bien. ¿Pero que tan grande es la fuerza centrípeta y cómo depende de la velocidad angular y el radio del círculo? La experiencia de cada día da algunas ayudas cualitativas. Si tomamos una cuerpo pesado y lo atamos a un palo y lo damos vuelta arriba de la cabeza, encontraremos que cuanto más grande es la velocidad angular, mayor es la fuerza que estira sobre su mano. También si la longitud del palo es alargada y si se mantiene la velocidad angular, la fuerza que estira sobre sus manos también se incrementa. Así la fuerza centrípeta se incrementa con un radio mayor y una mayor velocidad angular.

Para derivar una expresión para la fuerza centrípeta cF , retornamos a la aceleración

centrípeta, ca . En el tiempo ,t el objeto recorre una distancia igual a la longitud de cuerda

s r r t (ver Figura 6.9a). En este mismo tiempo, el vector de velocidad ha cambiado de dirección alrededor del mismo ángulo ; esto es, el ángulo entre 0 y fv v en la Figura

6.9 a) es . Ahora si permitimos que t sea más y más pequeña para obtener la aceleración instantánea, la longitud de cuerda, v de la Figura 6.9 b) se aproxima más y más a la longitud de arco .v Así en el límite tenemos que

0 0lim limc t t

va v vt t

Podemos reescribir este resultado en dos formas convenientes, usando la relación v r . Obtenemos que

2

2

c

c

var

a r

La fuerza centrípeta es ahora dada por la segunda ley de Newton

22

c cmvF ma mr

r

Ejemplo de fuerza centrípeta

Dos masas de 1 kg y 0,5 kg son atadas uno a otra por una cuerda sin masa que pasa a través del hoyo de una tabla horizontal sin fricción (Figura 6.10). La masa de 1 Kg está suspendida


59

debajo de la tabla y está en equilibrio cuando la otra masa se mueve en un sendero circular de 20 cm de radio sobre la tabla. ¿Cuál es la velocidad angular de la masa de 0,5 kg alrededor del hoyo sobre la tabla?

Solución. Dado que la masa menor está en equilibrio, su peso, 21 9,8 / 9,8 ,kg m s N debe

ser igual a la tensión en la cuerda. Esta es también la fuerza centrípeta que la cuerda ejerce sobre la masa rotativa de 0,5 kg. Por lo tanto,

9,8N=(0,5kg)(0,2m) 2

2 2 298rad s

Así, 9,9 / 1,58 / .rad s rev s

Aceleración centrípeta

En el movimiento circular uniforme el vector velocidad es constante en módulo pero es variable en dirección

Como existe variación del vector velocidad, existe aceleración.

La aceleración a está dada por la expresión:

2 1v v vat t

Si a tiene la misma dirección y el mismo sentido que v , se concluye que la aceleración está dirigida hacia el centro de la circunferencia, siendo llamada aceleración centrípeta o

aceleración normal y se indica .cpa

Se demuestra que el módulo de la aceleración centrípeta está dado por

2

2

cp

cp

var

a r

Donde:

a) v es la velocidad escalar

b) r es el radio de la trayectoria


60

La aceleración centrípeta tiene por función variar la dirección del vector velocidad manteniendo el móvil sobre la circunferencia, produciendo el movimiento circular.

En cada posición del móvil el vector cpa es perpendicular al vector v y dirigido hacia el

centro de la circunferencia.

Problema de aplicación

La luna gira en torno a la Tierra, completando una revolución en 27,3 días. Suponiendo que su órbita sea circular y tenga un radio de 385000 km, determine la aceleración de la luna en ese movimiento.

Solución.

T=27,3días=2.358720s=2,36 610 s

r= 385000km=3,95 810 m

Como la órbita se supone circular y el movimiento de la luna es uniforme, se tiene que su aceleración centrípeta es

22

28

26

2

2

2 3,143,85 10

2,36 10

0,0027 /

cp

cp

cp

a r rT

a

a m s

Problema 168

¿Cuál es la aceleración centrípeta de una partícula que recorre una circunferencia de 6m de radio con una velocidad escalar de 30 m/s?

Problema 169

Acoplamiento de Poleas

a) Acoplamiento por correa

Considerando dos poleas acopladas conforme indican las figuras.


61

Para estos tipos de acoplamiento, se tiene:

AR radio de la polea A;

BR radio de la polea B;

Av velocidad escalar de un punto esférico de la polea A;

Bv velocidad escalar de un punto periférico de la polea B.

Suponiendo que la correa es inextensible, todos sus puntos tienen la misma velocidad escalar.

Admitiendo que no hay deslizamiento, los puntos periféricos de cada polea tienen la misma velocidad escalar, que es igual a la velocidad escalar de la correa, esto es:

A Bv v

b) Acoplamiento con el mismo eje

Considerando dos poleas asociadas conforme indica la figura.

En este caso, los puntos A y B describen el mismo ángulo central , en el mismo intervalo de tiempo.

Para este tipo de acoplamiento, se tiene:

La velocidad angular de un punto de la polea A es igual a la velocidad angular de un punto periférico de la polea B, esto es:

A B

Problemas de Aplicación

1. Las poleas indicadas en la figura de al lado tienen radios 60cmAR y

10cm.BR Sabiendo que 20rpmAf , determine el número de rotaciones de

la polea B.

Solución.

Se debe tener:


62

2 2A B A A B B A A B Bv v R R f R f R

20 60 20120rpm

A A B B

B

B

f R f Rf

f

Respuesta: 120rpm.

2. Las poleas indicadas en la figura giran coaxialmente.

Sabiendo que 20cm, 60cmA BR R y que la velocidad escalar de un punto

periférico de la polea A es 50cm/s, calcule la velocidad del punto X.

Solución.

Se deb tener:

50 cm15020 60 s

xA BA B x

A B

vv v vR R

Respuesta: 150 cms

Dinámica Las Leyes del Movimiento de Newton

La Primera Ley

Cada cuerpo continua en su estado de reposo, o de movimiento uniforme sobre una línea recta, a menos que sea compelido a cambiar ese estado por fuerzas que se imponen sobre el.

Aquí Newton introduce el concepto de fuerza. Intuitivamente, sabemos lo que es una fuerza. Es un empujar o estirar que se impone sobre un objeto. Es cualquier cosa que causa que un cuerpo cambie su estado de movimiento.

La Segunda Ley


63

Si una fuerza neta es impuesta sobre un cuerpo, causará una aceleración de ese cuerpo. Esa aceleración está en la dirección de la fuerza neta, y su magnitud es proporcional a la magnitud de la fuerza neta e inversamente proporcional sobre la masa del cuerpo.

De acuerdo con la segunda ley, si un cuerpo particular de masa dada se acelera,

digamos a 2 2

ms

como resultado de aplicar una fuerza ,F se acelerará a 2

m4s

si

aplicamos una fuerza de 2 .F Esto es,

a F

Donde el símbolo significa “es proporcional a”.

También, si una fuerza F es aplicada a un objeto de 1 kg de masa y produce una

aceleración de 2

m2s

, la misma fuerza aplicada a 2 kg de masa causará que ella se

acelere a 2

m1s

. Esto es,

1m

a

Combinando las dos afirmaciones tenemos que:

mFa

A pesar de que la segunda ley de Newton no lo dice explícitamente, claramente implica que la aceleración depende sólo de la fuerza y la masa. La aceleración no depende del tipo de fuerza, ya sea gravitacional, eléctrica, mecánica, magnética, o de cualquier otro origen. Tampoco la aceleración depende de la forma del cuerpo o de su constitución, ya sea plomo o madera, o de su estado, sólido, líquido o gaseoso. Consecuentemente, la segunda ley puede ser aplicada al estudio, por ejemplo, de calcular el fluido de un líquido así como el movimiento de los cuerpos sólidos debido a fuerzas específicas.

El símbolo de proporcionalidad anterior puede ser reemplazado por un signo de igualdad suponiendo que nos ponemos de acuerdo en una apropiada unidad de


64

fuerza. La unidad del SI de la aceleración es el metro por segundo, de la masa es el kilogramo. Si, entonces, podemos escribir la segunda ley de Newton como:

mF a

pero para que esta expresión sea válida, la unidad de fuerza debe ser aquella que

aplicada sobre una masa de 1 kg, imparte una aceleración de 21 ms

. Así la unidad

apropidada es el kilogramo metro por segundo al cuadrado 2

mkgs

. Esta unidad del

SI tiene el nombre de newton, abreviado N. Un newton actuando sobre una masa de 1

kg proporcionará una aceleración de 21 .ms

La dimensión de la fuerza es:

2

M LF

T

La ecuación mF a es una relación entre dos cantidades vectoriales, la fuerza F y la aceleración a . Pero si dos vectores son iguales, sus respectivos componentes a lo largo de mutuamente ortogonales ejes deben también ser iguales. Así la ecuación vectorial es equivalente a las tres ecuaciones algebraicas:

x x

y y

z z

F maF maF ma

Muchos problemas son resueltos más convenientemente mediante la aplicación de las leyes de Newton a los componentes ortogonales en forma separada.

Masa y Peso

Sobre la superficie de la tierra y también en el espacio, cada objeto de masa finita experimenta una fuerza gravitacional hacia el centro de la tierra. A pesar de la que la fuerza gravitacional es prácticamente nula cuando se compara con otras fuerzas de la naturaleza como las fuerzas electromagnéticas o las fuerzas nucleares, la fuerza de la gravedad que actúa sobre los cuerpos ordinarios es substancial, dado que normalmente estamos considerando masas que contienen 2010 ó más átomos individuales interactuando con una masiva esfera, la tierra. La fuerza que la tierra ejerce sobre un objeto de masa dada es el peso del objeto sobre la tierra.


65

Masa y peso son atributos diferentes. Masa es la propiedad que proporciona a un cuerpo su inercia, su resistencia a cambiar su estado de movimiento. Para causar un cambio de movimiento debemos ejercer una fuerza, y la fuerza debe ser mayor cuanto más grande es la masa. Esto es verdadero sobre la superficie de nuestro planeta o en el espacio exterior. La masa es una propiedad inherente de un cuerpo particular.

Dado que el peso es una fuerza, la unidad del SI del peso es el newton, no el kilogramo. Sobre la superficie de la tierra, todos los objetos que no están restringidos se aceleran

hacia abajo a g=9,8 2

ms

. Consecuentemente, el peso W, esto es, la fuerza de gravedad

que actúa sobre un objeto de masa m es,

W=mg

El peso de un objeto de masa m kg es mg N.

La Tercera Ley

A cada acción corresponde siempre una reacción igual opuesta; o, las acciones mutuas de dos cuerpos sobre cada uno son siempre iguales, y dirigidas a la parte contraria.

Esta ley establece que cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre el otro, el segundo ejerce una fuerza igual, dirigida en forma opuesta sobre el primero. La fuerza de acción ejercida por un cuerpo A sobre B es igual en magnitud pero opuesta en dirección a la fuerza de reacción ejercida por el cuerpo B sobre el cuerpo A. La inherente simetría del par acción-reacción impide identificar a una de las fuerzas como acción y a la otra como reacción. Es una cuestión de preferencia.

Consideremos, por ejemplo, el sistema de una masa M sobre una superficie horizontal y que es estirada hacia la derecha por una cuerda. Este sistema se muestra en la Figura 3.2 (a), y el par de acción-reacción del sistema se ilustra en la Figura 3.2 (b). Observemos que en cada caso las dos fuerzas del par son iguales en magnitud y dirigidas opuestamente, y que ellas actúan sobre cuerpos diferentes.

En la Figura 3.2 (b), los subíndices indican sobre que parte del sistema la fuerza actúa y que parte del sistema ejerce la fuerza. Así, SMF es la fuerza ejercida sobre la superficie

por la masa, en este caso, el peso de la masa, mg.

Las dos fuerzas RMF y ,RHF que actúan sobre los dos extremos de la cuerda, no

constituyen un par de acción y reacción. Ellas actúan sobre el mismo cuerpo, la cuerda, y más aún, no son necesariamente iguales en magnitud. Si el sistema se está


66

acelerando hacia la derecha y la cuerda tiene una masa finita RM , entonces de

acuerdo con la segunda ley de Newton, el producto RM a debe ser igual a la fuerza

neta sobre la longitud de la cuerda; esto es, .R RH RMM a F F 0

En la Figura 3.2 (a), la cuerda transmite la fuerza ejercida por la mano en un punto en el espacio a otra locación, el punto en el cual la cuerda está atada a M. La cuerda está bajo tensión, y la tensión en cualquier punto es la magnitud de dos fuerzas opuestas que se necesitaráina para mantener las dos partes de la cuerda juntas si la misma se cortara en ese punto. Una cuerda, en constraste con una roca sólida, puede transmitir sólo fuerzas sensibles, y solo a lo largo de la dirección de la cuerda. Mediante el paso de una cuerda ideal (sin masa) sobre una polea ideal (sin fricción y sin masa), la dirección de esta fuerza sensible puede ser cambiada sin afectar su magnitud.

Observemos que la fuerza de reacción que la superficie ejerce sobre la masa es perpendicular al plano de la superficie. Una línea que es perpendicular a la superficie se dice que es normal, y esta fuerza de reacción es a menudo referida como la fuerza de reacción normal. Una superificie libre de fricción sólo puede ejercer una fuerza normal.

Aplicaciones de las leyes de Newton

Un objeto está en equilibrio si no se está acelerando; por lo tanto, ninguna fuerza neta debe actuar sobre ella. Esto no significa que ninguna fuerza puede ser aplicada sobre el cuerpo. Si varias fuerzas actúan simultáneamente, el equilibrio demanda sólo que la fuerza neta, esto, el vector suma de varias fuerzas, sea nula. Así, una de las condiciones del equilibrio es:

ii

F 0

La otra condición para el equilibrio debe también ser satisfecha. Esto tiene que ver con el movimiento rotacional que lo estudiaremos más adelante.

Fuerza Resultante

Sea una partícula en la cual están aplicadas varias fuerzas. Ese sistema de fuerzas puede ser sustituido por una única fuerza, la fuerza resultante, que es capaz de producir en la partícula el mismo efecto que todas las fuerzas aplicadas.


67

1 2 ... NFR F F F


Dos fuerzas concurrentes, 1F y 2F , de intensidades iguales a 4N y 3N actúan en un mismo punto material, formando un ángulo entre sí. Determine la intensidad de la fuerza resultante para los siguientes valores de :

a) 00

b) 060

c) 0180

Solución

Consideremos algunos ejemplos. El primero, concerniente a un objeto suspendido por una cuerda. Queremos saber la tensión en esa cuerda.

Para resolver este o cualquier otro problema de equilibrio o dinámica necesitamos saber las fuerzas que actuán sobre el objeto.

Para establecer estas fuerzas con claridad, aislamos al cuerpo; esto es, lo mostramos sin cuerdas o cualquier otro aditivo. Si los añadidos transmiten fuerzas al cuerpo, entonces mostramos estas fuerzas mediante el dibujo de los vectores de fuerza.

En nuestro ejemplo, dos fuerzas actúan sobre el cuerpo, como se muestra en la Figura 3.3. Una es la fuerza gravitacional, el peso W . La otra fuerza es la tensión T en la cuerda de soporte. Estas son las únicas fuerzas que actúan sobre el cuerpo aislado. Por lo tanto, nuestra ecuación de equilibrio luce así:

W T 0

Y por lo tanto,

W T


68

Esto es, la tensión en la cuerda que actúa sobre el cuerpo es igual en magnitud al peso del cuerpo pero en dirección opuesta, apuntando hacia arriba.

Todo esto es muy simple. Pero a veces nos olvidamos que cuando un objeto está sobre una mesa, hay fuerzas que actúan sobre el, su peso y la fuerza de reacción hacia arriba de la mesa sobre el objeto. Sin esta última, el objeto caería bajo la fuerza de la gravedad, como lo hace cuando se remueve la mesa de soporte.

Ejemplo 3.1.

Un problema un poco más complicado es ilustrado en la Figura 3.4 (a), que muestra un objeto Q de peso desconocido W suspendido de una cuerda añadida a dos otras cuerdas en A. Una cuerda está pegada a la pared en B, la otra pasa a través de una polea ideal P a otro peso de 15 N. El sistema está en equilibrio cuando las cuerdas PA y BA hacen ángulos de 37 0 y 053 , respectivamente, con el horizontal. El problema es determinar el peso desconocido W.

Solución.

Empezamos por aislar el objeto pero tenemos inmediatamente un dilema. Si aislamos el objeto Q como en la Figura 3.4 (b), vemos que hay dos fuerzas que actúan sobre el, W que apunta hacia abajo y ,AT la tensión que apunta hacia arriba en la cuerda de

soporte. Podemos concluir que AT W pero como ninguna es conocida no hemos

hecho mucho progreso.

En una situación de esta clase, el cuerpo que debemos ver en aislamiento es el punto A, la conjunción de las cuerdas que transmiten las fuerzas. Este diagrama es mostrado en la Figura 3.4 (c).

Ya sabemos desde el ejemplo anterior y desde la tercera ley que la fuerza que actúa sobre A por la cuerda que soporta a Q es igual a W= Qm g . La fuerza que esta cuerda

ejerce sobre Q es hacia arriba, pero la fuerza que la cuerda ejerce sobre el punto de soporte A está dirigida opuestamente, o hacia abajo. Dado que 15 N de peso añadido a la cuerda que pasa por la polea P está en equilibrio, la tensión en esa cuerda debe ser 15 N, como se muestra en la Figura 3.4 (c). Finalmente, hay una tensión BT en la

cuerda AB; su magnitud es desconocida.

Ahora escribimos las ecuaciones para esta situación:


69

Componentes x: 0 0(15 )cos37 cos53 0BN T

Componentes y: 0 015 sin 37 sin 53 0BN T W

La primera de estas ecuaciones puede ser resuelta para BT y da como resultado

20 .BT N Substituyendo este valor en la segunda ecuación y resolviendo para W,

obtenemos W=25 N.

Repetiremos ahora este problema, resolviéndolo con un conjunto diferente de ejes ortogonales, x y y , mostrado en la Figura 3.4 (d). Dado que 0 0 037 53 90 , las dos cuerdas de soporte residen a lo largo de los ejes x y y . Las ecuaciones de equilibrio ahora se leen como:

Componentes 0: 15 sin 37 0x N W

Componentes :y 0cos37 0BT W

Donde hemos descompuesto a W en sus componentes x y .y

Ejemplo 3.2

Este último ejemplo sobre el equilibrio tiene importantes implicaciones prácticas. Una larga cuerda es estirada entre dos puntos A y B, como en la Figura 3.5 (a). En cada extremo, la cuerda es atada a una escala que mide la fuerza que ejerce la cuerda sobre los soportes. Supongamos que la cuerda es estirada hacia abajo en su punto medio por una fuerza de 400 N, produciendo una deflección tal que los dos segmentos hacen un angulo de 5 grados con la línea AB. ¿Cuál es la lectura de la escala?

Solución.

De nuevo aislamos el punto de contacto de las fuerzas. Las ecuaciones de equilibrio son:

Componentes x: 0 02 1cos5 cos5 0T T

Componentes y: 0 02 2sin 5 sin 5 (400 ) 0T T N

1T =2295N


70

La tensión en la cuerda y por lo tanto la fuerza registrada sobre la cuerda en la escala es 2295 N.

Ahora nos dedicaremos a la segunda ley e ilustraremos aplicaciones con varios ejemplos.

Ejemplo 3.3.

Un bloque de masa 2m kg reposa sobre un horizonte ideal, libre de fricción. ¿Cuál es la aceleración del bloque si una fuerza horizontal de 10 N es aplicada a ella?

Solución.

Comenzamos por aislar el cuerpo. Hay tres fuerzas; el peso mW g ; la fuerza de reacción de la superficie de soporte ;R y la fuerza aplica de 10 N. Dado que el bloque no se mueve ni hacia arriba ni hacia abajo, .R W La fuerza neta que actúa sobre el cuerpo es la fuerza horizontal de 10 N.

mF a

Ejemplo 3.4.

Supongamos que en lugar de aplicar una fuerza horizontal, ahora estiramos el bloque con una fuerza de 10 N con una cuerda que hace un ángulo de 37 0 con el horizontal. ¿Cuál es la aceleración del bloque? ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de la reacción normal de la superficie de soporte sobre el bloque?

Solución.

El diagrama del cuerpo libre es mostrado en la Figura 3.7. Descomponemos las fuerzas en sus componentes vertical y horizontal y añadimos los componentes para encontrar la fuerza neta:

Componentes x: 0 0cos 37 10 cos37 8F N N

Componentes y: 0 2sin 37 10 0,6 2 9,8 / 13,6F R W N R kg m s R N

Dado que el bloque permanece en la superficie horizontal, 0yF y R=13,6N.

Observemos que esta fuerza de reacción es menor que en el Ejemplo 3.3, en el cual


71

R=W=19,6N. En este caso, una porción del peso del bloque es soportado por la tensión en la cuerda.

La aceleración en la dirección x está ahora dada por:

28 4 /2

xx

F Na m sm kg

Ejemplo 3.5.

Una masa de 2 kg se desliza hacia abajo en un plano inclinado sin fricción que hace un ángulo de 30 0 con la horizontal. La masa empieza desde el reposo. ¿Cuál es la velocidad después de que se ha deslizado una distancia de 3m?

Ejercicio de Aplicación

Un pasajero de 80 kg de masa está en un ascensor que baja verticalmente con una aceleración constante de 2 m/s 2 .

Determine la intensidad de la fuerza que el piso del ascensor ejerce sobre el pasajero.

Solución.

En el pasajero actúan las fuerzas peso y normal. Como él está bajando con la misma aceleración del ascensor, :AP N aplicando el principio fundamental de la dinámica

en el pasajero, se tiene:

800 80 2640

R A

A

A

F P N maN

N N

Si fuese colocada una balanza en el piso del ascensor ésta indicaría 640 N.

Influencia de la resistencia del aire

El medio en el cual el cuerpo está inmerso (aire o líquido) ofrece también una resistencia al desplazamiento.


72

Un cuerpo abandonado de lo alto de un edificio adquiere movimiento acelerado por la acción de la fuerza de peso. Otra fuerza que actúa en el cuerpo es la fuerza de resistencia del aire, que tiene la misma dirección y sentido contrario que la fuerza de peso.

Esa fuerza de resistencia del aire es variable y depende de la velocidad del cuerpo, de su forma y de la mayor sección transversal en relación a la dirección del movimiento.

Algunos ejemplos:

1) Para una gota de lluvia cuya velocidad es de 2 m/s, la fuerza de resistencia del aire es proporcional a esa velocidad.

2) Para cuerpos pequeños, cuya velocidad varía entre 24 m/s y 330 m/s, la fuerza de resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad.

3) Un paracaídas tiene la forma semiesférica cóncava (área muy grande) para aumentar la fuerza de resistencia del aire.

4) Automóviles, aviones y peces tienen forma aerodinámica (cortan el aire y el agua) y área de sección transversal muy pequeña para disminuir la fuerza de resistencia del aire o del agua.

Tests de Bonjorno.

1. ¿Cuál es el orden de magnitud del número de segundos contenidos en un mes?

a) 10 3

b) 410

c) 510

d) 10 6

e) 10 7

Solución.

660 60 24 30 2,6 10


73

2. El intervalo de tiempo de 2,4 min equivale, en unidades del SI, a:

a) 24 s

b) 124 s

c) 144 s

d) 160 s

e) 240 s

Solución.

602, 4min 1441min

s s

3. En un edificio de 20 pisos (incluyendo la planta baja) el ascensor emplea 36 s para ir de

la planta baja hasta el 20 0 piso. Una persona en el piso X llama el ascensor, que está inicialmente en la planta baja, y 39,6 s después de la llamada de la persona alcanza la planta baja. Si no hubo paradas intermedias, y los tiempos de abrir y cerrar la puerta del ascensor y de entrada y salida de pasajeros son despreciables, se puede decir que el piso X es:

a) 9

b) 11

c) 16

d) 18

e) 19

Solución

Segundos por piso

36 1,820

s sp p

1,8 2 39,6

11

s x sp

x p

4. La velocidad de 54 km/h corresponde a m/s:


74

a) 10

b) 15

c) 20

d) 27

e) 54

Solución.

1000 154 54 151 3600

km km m h mh h km s s

5. Una persona recorre 4 km corriendo con una velocidad escalar media de 12 km/h. El tiempo transcurrido es de:

a) 3,0 min

b) 8,0 min

c) 20 min

d) 30 min

e) 33 min

Solución.

0

4 0 124 4 60 min0,3333 20min

12 12

s s vtt

t h h hh

6. Hace 500 años que Cristóbal Colón partió de Gomera (Islas Canarias) y llegó a Guatemala (Islas Bahamas), después de navegar cerca de 3000 millas marinas (5 556 km) durante 33 días. Considerando que un día tiene 86400 s, la velocidad media de la travesía oceánica, en unidades del SI, fue aproximadamente:

a) 2 m2 10s

b) 1 m2 10s


75

c) 0 m2 10s

c) 1 m2 10s

d) 22 10 ms

Solución.

15556 1000168,366364 2 10 0,1933 86400

s km km m díav s st días día km s

7. Un móvil se desplaza durante 10 min con una velocidad constante de 5 m/min y, después, durante 5 min más con una velocidad constante de 8 m/min. La velocidad media de ese móvil en m/min, en el intervalo de 15 min, es:

a) 3,5

b) 6,0

c) 6,5

d) 13

e) 15

Solución

0

1

2

5 10min 50min

8 5min 40min

90 15

6min

s s vtms m

ms m

m vmv

8. Una persona, caminando normalmente, tiene una velocidad del orden de 1 m/s. ¿Qué distancia, aproximadamente, esa persona recorrerá, caminando durante 15 min?

a) quince metros

b) ciento cincuenta metros


76

c) un kilómetro

d) diez kilómetros

e) noventa metros

Solución

0

1 900 900

s s vtms s ms

9. Entre las ciudades A y B, que distan 180 km una de la otra, hay un servicio de transporte por ómnibus. A cada hora un ómnibus sale de la primera a la segunda ciudad, transitando con una velocidad constante de 60 km/h. Si se viaja en automóvil de Ba A, también con una velocidad constante de 60 km/h, habrá cruzamiento con los ómnibus que transitan en sentido contrario. El intervalo de tiempo entre dos cruzamientos sucesivos es:

a) 10 min

b) 15 min

c) 30 min

d) 45 min

e) 1 h

Solución

180 60

3

km th

t h

58. La inercia de una partícula de masa m se caracteriza:

I – por la incapacidad de esa partícula de modificar, por sí misma, su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme.

II- por la incapacidad de esa partícula de permanecer en reposo cuando una fuerza resultante es ejercida sobre ella.

III- por la capacidad de esa partícula de ejercer fuerzas sobre otras partículas.

De las afirmaciones anteriores, ¿cuáles son correctas?


77

a) Sólo II.

b) Sólo III.

c) Sólo I y II.

d) Sólo I y III.

e) I,II y III.

Solución.

59. Una persona de 80 kg de masa está en el polo Norte de la Tierra donde la aceleración

de la gravedad es supuesta con módulo igual a 10 m/s 2 . La fuerza gravitacional que la persona aplica sobre el planeta Tierra:

a) es prácticamente nula.

b) tiene una intensidad igual a 80 kg.

c) tiene una intensidad igual a 80 N.

d) tiene una intensidad igual a 800 N y está aplicada en el suelo donde la persona pisa.

e) tiene una intensidad igual a 800 N y está aplicada en el centro de gravedad de la Tierra.

Solución.

Adición de Velocidades: Marcos de Referencia

Supongamos que remamos una canoa a una velocidad de 6 km/h encaminándola hacia el norte a través de una correntada de río que corre hacia el este a una velocidad de 3 km/h.

Si el río es de un kilómetro de ancho, nos tomará 1 1 10min

66

km hkmh

alcanzar la otra

costa. Durante ese tiempo, el agua habrá llevado a la canoa río abajo al este a una

distancia de 13 0,5 .6

km h kmh

Así el desplazamiento de la canoa en relación al

punto inicial de partida durante ese 10 min está en una dirección dada por

1 0tan 0,5 26,6 al nor-este

y tiene la magnitud


78

0

1 1,12cos 26,6

kms km

Dado que el desplazamiento real de la canoa está dada por estos valores, la velocidad media de la canoa durante estos 10 min es

01,12 6,72 / ;26,616

kmv km hh

nor-este

Vemos que la velocidad de la canoa con respecto a la costa es la suma de dos contribuciones, la velocidad relativa al agua sobre la cual flota y la velocidad del agua en relación a la costa.

A pesar de que la canoa está viajando en la dirección 26,6 0 , nor-este, la persona remando lo está haciendo hacia el norte. Más aún, para un segundo observador que se encuentra en el río flotando en la correntada, la canoa aparece viajando al norte. Es sólo relativo a la costa que la canoa tiene velocidad nor-este, y la correntada una velocidad al este.

Aceleración Centrípeta

Como se ha visto en el estudio del movimiento circular uniforme, el módulo de la

velocidad v permanece constante mientras que su dirección varía en cada instante debido

a la aceleración centrípeta cpa , dirigida hacia el centro de la curva, cuyo módulo es:

2vr

a

Donde v es la velocidad escalar o el módulo de v y r es el radio de la trayectoria circular.

Fuerza Centrípeta

Por el principio fundamental de la Dinámica, la aceleración que un cuerpo presenta es producida por una fuerza que tendrá la misma dirección y el mismo sentido de la aceleración que causó.

RF ma

En el movimiento circular uniforme, a la fuerza resultante que produce la aceleración

centrípeta se denomina fuerza centrípeta cpF , responsable de que el cuerpo mantenga una trayectoria circular.


79

cp cpF m a

En módulo:

2

cpvF mr

A continuación se presentan algunos ejemplos que evidencia las aplicaciones de la fuerza centrípeta.

La piedra se mantiene en trayectoria circular mientras la cuerda está estirada. Al soltarse la cuerda, se anula la fuerza centrípeta y la piedra tiende a seguir en línea recta tangente a la trayectoria cicular.

La luna se mantiene en órbita por la fuerza centrípeta debido a la atracción gravitacional de la Tierra sobre ella.

Se debe al rozamiento entre los neumáticos y la carretera la fuerza centrípeta necesaria para conservar el automóvil en una trayectoria circular. Eliminándose ese rozamiento, el automóvil, por inercia, “sale por la tangente”, no consiguiendo completar la curva.


Un vehículo de 1000 kg de masa recorre el trecho de una carretera conforme indica la

figura, con una velocidad constante de 18 km/h. Siendo g=10 m/s 2 , determine la intensidad de la fuerza normal que la carretera ejerce sobre el vehículo en los puntos A y B.

Solución.

Gravitación Universal

Leyes de Kepler

Primera Ley

Los planetas describen órbitas elípticas en torno al Sol, ocupando éste uno de sus focos.

Donde:


80

a semieje mayor (radio medio de la órbita descrita);

b semieje menor.

Al punto A de la órbita del planeta más próximo al Sol se denomina perihelio y al punto B más distante, afelio.

Segunda Ley

Las áreas barridas por el segmento imaginario que une el centro del Sol al centro del planeta son proporcionales a los tiempos empleados en barrerlas.

1 2

1 2

cteA At t

Observaciones:

1) Si 1 2 1 2.A A t t

Como 1 2 1 2.s s v v

Esto quiere decir que los planetas se mueven alrededor del Sol con velocidad variada.

2) La velocidad de los planetas es mayor cuando ellos están más próximos al Sol, y menor cuando están más lejos.

3) El movimiento de traslación es variado, esto es:

Tercera Ley

El cuadrado del período de revolución de los planetas es proporcional al cubo de sus distancias medias del Sol.

2

3

T ka

Observaciones:


81

1) A través de esta ley se puede concluir que el period de translación de un planeta aumenta con el aumento del semieje mayor de su trayectoria alrededor del Sol, esto es, aumenta su año.

Ejemplos: Mercurio, año de 88 días terrestres

Plutón, año de 248 años terrestres

2) Las tres leyes de Kepler son válidas para cualquier cuerpo girando alrededor de una gran masa central, esto es, los satélites naturales y los artificiales.

3) La constante k sólo depende de la masa del Sol y no del planeta que gira alrededor de él.

Ley de la gravitación universal

Newton explicó las leyes de los movimientos de los planetas por una hipótesis aplicable a la universalidad de los casos desde la atracción de los planetas hasta las atracciones moleculares de los cuerpos.

Estudiando el movimiento de la Luna, él concluyó que la fuerza que la mantiene en órbita es del mismo tipo que la fuerza que la Tierra ejerce sobre un cuerpo ubicado en sus proximidades.

A esas fuerzas las denominó gravitacionales y luego enunció la ley de la gravitación universal:

Dos cuerpos se atraen con fuerzas proporcionales a sus masas e inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia entre sus centros.

Esas fuerzas tienen la misma intensidad, la dirección que pasa por el centro de los dos cuerpos y el sentido contrarios.

2

MmF Gd

Donde:

1) M y m son las masas;

2) G es la constante de gravitación universal;

3) d es la distancia entre los centros de los dos cuerpos;

4) F es la intensidad de la fuerza gravitacional.


82

La constante G no depende de los cuerpos ni del medio en que se encuentran ni de la distancia entre ellos. Depende solamente del sistema de unidades utilizado.

El valor en el SI es:

211

2

Nm6,67 10kg

G

Aceleración de la gravedad

Alrededor de la Tierra hay una región denominada campo gravitacional, donde los cuerpos allí colocados sufren su influencia, que se presenta en forma de una fuerza.

Dentro de ese campo los cuerpos son atraídos hacia la Tierra, sufriendo variaciones de velocidad, en virtud de la aceleración. Esa aceleración es denominada aceleración de la gravedad y es representada con la letra “g”.

Se tienen dos casos, que son:

1º caso: Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra.

Todo punto material de masa m ubicado en la superficie de la Tierra es atraído hacia su centro.

Esa fuerza atractiva es el peso del cuerpo, que está dada por la expresión:

P m g

Pero, debido a la ley de Newton, la intensidad de la fuerza de atracción gravitacional entre la Tierra y el cuerpo está dada por:

2

m MF GR

Donde:

1) M masa de la Tierra;

2) R radio de la Tierra.

No teniendo en cuenta la rotación de la Tierra, la fuerza peso es la fuerza propia de atracción gravitacional. Luego:

2

mMP F mg GR


83

superficie 2

Mg GR

Esta fórmula es la expresión que permite calcular la aceleración de la gravedad en la superficie de cualquier planeta.

Se nota que la aceleración de la gravedad en la superficie es independiente de la masa m del punto material que fue atraído.

2º caso: Aceleración de la gravedad para puntos externos a la Tierra.

Si el punto material está a una altura h de la superficie de la Tierra, se tiene:

22 externoM Mg G g Gd R h

Observación:

Los cuerpos flotan dentro de una nave espacial porque la fuerza gravitacional (fuerza peso) que actúa sobre el cuerpo hace el papel de la fuerza centrípeta que actúa sobre él para mantenerlo en una trayectoria circular. A la sensación de la ausencia del peso de los cuerpos se llama ingravidez.

Satélite estacionario

Particularmente interesante para la telecomunicación son los satélites que describen una órbita circular sobre el plano ecuatorial en 86400 s, es decir, 24 h.

Cuando el satélite tiene órbita circular contenida en el plano ecuatorial y el período de rotación del satélite es igual al período de la Tierra, el satélite permanece en reposo en relación a un sistema de referencia fijo en la superficie de la Tierra y es llamado satélite estacionario.

Ellos deben estar a una altura aproximada de h=35 840 km de la superficie de la Tierra.

Energía

El concepto de energía puede ser considerado intuitivo. No es algo que se puede tocar con las manos, pero se pueden sentir sus manifestaciones. Ejemplos: se siente calor cuando la madera se quema; el agua de una cascada mueve las turbinas de una usina hidroeléctrica; se ve la luz emitida por la llama de una vela, etc.

Para evaluar cuantitativamente la energía, se debe medir la transferencia de energía de un cuerpo a otro, esto es, la transformación de una forma de energía en otra.


84

Para medir la cantidad de energía transferida de un cuerpo a otro se introducirá el concepto de trabajo.

Trabajo de una fuerza

El significado de la palabra trabajo, en Física, es diferente de su significado habitual, empleado en el lenguaje común. Por ejemplo: un hombre que levanta un cuerpo hasta una determinada altura realiza un trabajo. En Física, el trabajo que una persona realiza al sostener un objeto a una cierta altura sin moverse es nulo, pues no hay desplazamiento.

El trabajo en Física, está siempre relacionado a una fuerza y a un desplazamiento. Una fuerza aplicada a un cuerpo realiza trabajo cuando produce un desplazamiento del cuerpo.

Se tienen dos casos, que se pasan a analizar:

1º caso: La fuerza tiene la misma dirección del desplazamiento

Considerando un punto material que, por la acción de la fuerza F , horizontal y constante, se mueve de la posición A a la posición B, sufriendo un desplazamiento d.

El trabajo de F en el desplazamiento AB está dado por:

,A BT F d

La unidad de trabajo en unidades del SI es el Nm, llamada joule e indicada por J.

Si la fuerza F tiene el mismo sentido que el desplazamiento, el trabajo se dice motor. Si tiene sentido contrario, al trabajo se denomina resistente.

Por convención:

0 y 0motor resistenteT T

2º caso: La fuerza no tiene la misma dirección del desplazamiento.

Considerando un punto material que, bajo la acción de la fuerza F , pasa de la posición A a la posición B sufriendo un desplazamiento d.

Descomponiendo la fuerza F , se tiene:

El trabajo de la componente yF en el desplazamiento d es nulo, pues no hay

desplazamiento en la dirección y. Luego, solamente xF realiza trabajo, dado por:

, xA B F F xT T T F d


85

Pero cos ;xF F por tanto:

, cosA BT F d

Observación:

Si la fuerza F es perpendicular a la dirección del desplazamiento, el trabajo de F es nulo, pues 0cos90 0.

Propiedad:

Se puede calcular el trabajo de una fuerza F , constante, utilizando el gráfico:

,A BA F d A T

El área A es numéricamente igual al módulo del trabajo de la fuerza F en el desplazamiento de A hacia B.

Esta propiedad es válida cuando la fuerza F es variable y también para cualquier trayectoria.


1. Un punto material se desplaza 10 m por la acción de una fuerza de 50 N de intensidad, como se indica en la figura.

Determine el trabajo realizado por la fuerza F en el desplazamiento AB.

Solución.

0, cos 50 10 cos 60 250A BT F d J

2. Un bloque de 10 kg se mueve en línea recta sobre una mesa lisa, en posición horizontal, bajo la acción de una fuerza variable que actúa en la misma dirección del movimiento, conforme muestra el gráfico.

Calcule el trabajo realizado por la fuerza cuando el bloque se desplaza del origen hasta el punto 5 .x m

Solución.


86

Test de Bonjorno al final de la página 198

1. ¿Cuál es el orden de magnitud del número de segundos contenidos en un mes?

a) 310

b) 410

c) 510

d) 610

e) 710

Solución.

660 60 24 30 2592000 2,6 10

2. El intervalo de tiempo de 2,4 min equivale, en unidades del Sistema Internacional, a:

a) 24 s

b) 124 s

c) 144 s

d) 160 s

e) 240 s

Solución.

El Sistema Internacional mide el tiempo en segundos. Por lo tanto,

60 s2, 4 min 2,4 min 144 s1 min

3. En un edificio de 20 pisos (incluyendo la planta baja) el ascensor emplea 36 s para ir de

la planta baja hasta el 20 piso. Una persona en el piso X llama el ascensor, que está inicialmente en la planta baja, y 39,6 s después de la llamada la persona alcanza la planta baja. Si no hubo paradas intermedias, y los tiempos de abrir y cerrar la puerta del ascensor y de entrada y salida de pasajeros son despreciables, se puede decir que el piso X es:

a) 9


87

b) 11

c) 16

d) 18

e) 19

Solución.

0

20 3620 0,555536

s s vtv

v

Es decir el ascensor recorre 0,5555 pisos por cada segundo.

Digamos que la persona está en el piso x . Como el ascensor tiene que primero subir hasta este piso y luego bajar, la distancia recorrida es 2x .

2 0,5555 39,611

xx

4. La velocidad de 54 km/h corresponde, en m/s, a:

a) 10

b) 15

c) 20

d) 27

e) 54

Solución.

km 1000 m 1 h m54 15 h 1 km 60 60 s s

5. Una persona recorre 4 km corriendo con una velocidad escalar media de 12 km/h. El tiempo transcurrido es de:

a) 3,0 min

b) 8,0 min


88

c) 20 min

d) 30 min

e) 33 min

Solución.

0

4 1260 min0,33 h 0,33 h 19,8 min

1 h

ms s v tt

t

6. Hace 500 años que Cristóbal Colón partió de Gomera (Islas Canarias) y llegó a Guanahani (Islas Bahamas), después de navegar cerca de 3000 millas marinas (5 556 km) durante 33 días. Considerando que un día tiene 86 400 s, la velocidad media de la travesía oceánica, en unidades del Sistema Internacional, fue aproximadamente:

a) 22 10 m/s

b) 12 10 m/s

c) 2 10 m/s

d) 12 10 m/s

e) 22 10 m/s

Solución.

0

5556 33km 1 dia 1000 m m m168,36 km/dia 168,36 2 2 10dia 86400 s 1 km s s

s s vtv

v

7. Un móvil se desplaza durante 10 min con una velocidad constante de 5 m/min y, después, durante 5 min más con una velocidad constante de 8 m/min. La velocidad media en m/min, en el intervalo de 15 min, es:

a) 3,5

b) 6,0


89

c) 6,5

d) 13

e) 15

Solución.

8. Una persona, caminando normalmente, tiene una velocidad del orden de 1 m/s. ¿Qué distancia, aproximadamente, esa persona recorrerá, caminando durante 15 min?

a) Quince metros

b) Ciento cincuenta metros

c) Un kilómetro

d) Diez kilómetros


90

e) Noventa metros

Solución.

m 60 s1 15 min 900 m 1 kms 1 m

s vt

9. Entre las ciudades A y B, que distan 180 km una de la otra, hay un servicio de transporte por ómnibus. A cada hora un ómnibus sale de la primera a la segunda ciudad, transitando con una velocidad constante de 60 km/h. Si se viaja en automóvil de B a A, también con una velocidad constante de 60 km/h, habrá cruzamiento con los ómnibus que transitan en sentido contrario. El intervalo de tiempo entre dos cruzamientos sucesivos es:

a) 10 min

b) 15 min

c) 30 min

d) 45 min

e) 1 h

Solución.


91

10. Dos móviles, A y B parten de un mismo punto x con velocidades de 20 m/s y 50 m/s, respectivamente. El móvil A recorre una semicircunferencia, mientras que el móvil B recorre una trayectoria recta. Sabiendo que la distancia 0x es de 1000 m, para que los dos móviles lleguen juntos al punto y el intervalo de tiempo entre sus partidas debe

ser de:

a) 95 s

b) 117 s

c) 135 s

d) 157 s

e) 274 s


92

Solución.

Sabemos que en el movimiento uniforme:

0s s vt

Dividiendo ambos miembros de esta igualdad por R :

0

0

ss v tR R R

t

En el movimiento uniforme, el móvil B se desplazará una distancia de 2000 m en 40 s.

2000 502000 40 s50

t

t

Por su parte, el móvil A se desplazará una distancia de 2

2R

m, la mitad de la

circunferencia en 157 s.

2 1000202

1000 1000157 s

s v tR R

t

t


93

Por lo tanto, para que lleguen juntos a y deben salir con una diferencia de 157 s

menos 40 s. O sea con una diferencia de 117 s.

11. Dos automóviles, A y B, se desplazan sobre una misma carretera, en la misma dirección y en sentidos opuestos, animados, respectivamente de velocidades constantes 90 km/hAv y 60 km/hBv . En un determinado instante 0 0 ht ,

pasan por el mismo punto de referencia. Al final de 15 min, contados a partir del punto de referencia, la distancia entre los automóviles, en km, será de:

a) 10,0

b) 37,35

c) 42,7

d) 54,8

e) 81,3

Solución.

12. Un objeto se desplaza con movimiento rectilíneo uniforme durante 30 s. La figura representa el gráfico del espacio en función del tiempo. El espacio del objeto en el instante t=30 s, en metros, será:


94

a) 30

b) 35

c) 40

d) 45

e) 50

Solución.

13. Cuando un conductor aumenta la velocidad escalar de su automóvil de 60 km/h a 78 km/h en 10 s, él está comunicando al automóvil una aceleración escalar media, en

2m/s de:

a) 18

b) 0,2

c) 5

d) 1,8

e) 0,5

Solución.


95

2 1

2 1

km78 60 18 18 km 1h 1000m mh 0,5

10 10 s 10 h s 3600s 1km sm

v t v ta

t t

14. Un avión parte del reposo y después de 20 s despega con una velocidad de 360 km/h. Admitiéndose la aceleración constante, ¿cuál es su valor en 2m/s ?

a) 2

b) 5

c) 10

d) 18

e) 72

Solución.

2

360 km 360 km 1000m h m520 h s 20 h s km 3600s sm

vat

15. La tabla indica la velocidad instantánea de un objeto en intervalos de 1 s. Las velocidades instantáneas del objeto a los 3,60 s y 5,80 s son, respectivamente:

a) 15,7 m/s y 20,5 m/s

b) 13,8 m/s y 22,6 m/s

c) 14,5 m/s y 19,5 m/s

d) n.d.a.

Solución.

Entre 3s y 4s, hay una modificación de la velocidad instantánea de 2,3 m/s.

Esto nos da la derivada 2,3dvdt

. Por lo tanto, para hallar la velocidad que le

corresponde a 3,6 s, debemos multiplicar 0,6 por 2,3. Esto nos da 1,38 que es lo que debemos sumar a 13,1, obteniéndose 14,48 m/s.

Para 5,8 s, el procedimiento es el mismo. Se obtiene en este caso 19,5 m/s.

16. La función horaria del movimiento de una partícula se expresa por 2 10 24s t t en unidades del SI. La posición del móvil al cambiar de sentido es:


96

a) 24 m

b) -25 m

c) 25 m

d) 1 m

e) -1 m

Solución.

El punto de referencia para cambiar de sentido es t=0. Por lo tanto, s=24.

17. Un automóvil que parte del reposo emplea 5 s para recorrer 25 m en movimiento uniformemente variado. La velocidad final del automóvil es de:

a) 5 m/s

b) 10 m/s

c) 15 m/s

d) 20 m/s

e) 25 m/s

Solución.

0

20 0

2

2

0

12

125 52

2 /m2 5 10s

v v at

s s v t at

a

a m s

v v at

18. Un tren posee una velocidad de 108 km/h al pasar por un punto A y, después de recorrer 125 m, pasa por un punto B con una velocidad de 72 km/h. La distancia recorrida por el tren hasta detenerse, medida a partir del B, es:

a) 50 m

b) 100 m


97

c) 225 m

d) 301 m

e) 426 m

Solución.

19. Un tren marcha con una velocidad de 20 m/s cuando el maquinista ve un obstáculo a 50 m de él. La desaceleración mínima que debe ser dada al tren para que no haya choque es de:


98

a) 24m/s

b) 22m/s

c) 21m/s

d) 0,5 2m/s

e) Cero

Solución.

20. ¿Cuál fue la aceleración escalar media del cuerpo entre los instantes t=0 s y t=8 s, en

cm/s 2 ?

a) 0,75

b) 1,1

c) 1,5

d) 2

e) 3,2

Solución.


99

212 0 1,5cm/s8ma

21. ¿Cuál es la distancia recorrida por el cuerpo entre los instantes t=0s y t=8s, en cm?

a) 8,0

b) 12

c) 24

d) 48

e) 96

Solución.

20 0

2

12

10 0 1,5 8 48cm2

s s v t at

s

22. Una partícula describe un movimiento representado por el gráfico. Sabiendo que su posición inicial es de 100 m, su posición final es de:

a) 1 290 m

b) 1 390 m

c) -3 810 m

d) 89 000 cm

e) -38 100 dm

Solución.


100

23. Un móvil se mueve sobre una recta, con su posición variando con el tiempo como indica el gráfico. La aceleración de ese movimiento es:

a) 22m/s

b) 23m/s

c) 4 2m/s

d) 5 2m/s

e) 6 2m/s

Solución.


101

24. Un móvil que parte del reposo ejecuta un movimiento rectilíneo cuya aceleración escalar varía con el tiempo conforme al diagrama. Se puede afirmar que, al final de 4s, el espacio recorrido es:

a) 45 m

b) 100 m

c) 180 m

d) 30 m

e) 50 m

Solución.


102

25. Un cuerpo es lanzado del suelo hacia arriba, con una velocidad inicial de 100 m/s.

Siendo 210m/sg . ¿cuál es la altura en que se detiene y el tiempo que emplea en caer?

a) 1 000 m, 100 s

b) 750 m, 50 s

c) 500 m, 25 s

d) 500 m, 10 s

e) 350 m, 5 s

Solución.

0

0 100 1010s

v v att

t

Le lleva 10 s llega a la altura máxima. Luego la altura máxima estará dada por:

2 20 0

1 1100 10 10 10 500m2 2

s s v t at

Al caer:


103

2

2

1500 0 0 102

10010s

t t

tt

26. Lanzando una piedra verticalmente hacia arriba y considerando la aceleración de la gravedad y la resistencia del aire, se puede afirmar que:

a) el tiempo de subida es menor que el tiempo de bajada

b) el tiempo de subida es mayor que el tiempo de bajada

c) el tiempo de subida es igual al de bajada

d) la fuerza de la resistencia del aire actúa en el mismo sentido de la gravedad tanto en la subida como en la bajada

e) Ninguna de las afirmaciones es verdadera

Solución.

Como puede observarse en el ejercicio anterior, el tiempo de subida es igual al tiempo de bajada.

27. Un cuerpo es abandonado a partir del reposo y alcanza el suelo con una velocidad de 20 m/s. Considerando g=10 2m/s , el cuerpo cae de una altura de:

a) 200 m

b) 100 m

c) 50 m

d) 20 m

e) 10 m

Solución.

0

20 0 102s

v v att

t


104

20 0

12

10 0 10 42

20m

s s v t at

s

s

28. Una piedra, que parte del reposo, cae de una altura de 20 m. Se desprecia la

resistencia del aire y adopta g=10 2m/s . La velocidad de la piedra al alcanzar el suelo y el tiempo empleado en la caída, respectivamente, valen:

a) v=20 m/s y t=2 s

b) v=20 m/s y t=4 s

c) v=10 m/s y t=2 s

d) v=10 m/s y t=4s

Solución

2120 0 102

2sm10 2 20s

t

t

v

29. Un cuerpo es abandonado en caída libre de lo alto de un edificio. Suponiendo la

aceleración de la gravedad constante, de módulo g=10 2m/s y despreciando la resistencia del aire, la distancia recorrida por el cuerpo durante el quinto segundo es:

a) 125 m

b) 80 cm

c) 205 m

d) 5 m

e) 45 m

Solución.


105

Estática

“Denme un punto de apoyo y moveré el mundo.”

La Estática es de interés relevante en el cálculo de grandes estructuras, tales como puentes y edificios, donde la ausencia de rotación y traslación son condiciones necesarias y suficientes para mantenerlos en equilibrio.

Esta ciencia ilustra y justifica la diferencia entre intentar cerrar una puerta aplicando la fuerza próxima a las bisagras o distante de ellas, o aplicar la fuerza al punto más distante o más próximo al eje de rotación de una llave de boca, cuando se desea retirar la tuerca de un tornillo.

Principio de traslación de fuerzas

Si se estira un cuerpo de forma cúbica con una fuerza F en el punto A, centro de la cara lateral derecha del cuerpo,

Se puede también empujar ese cuerpo, pasando el punto de aplicación de la

fuerza F hacia el punto B, centro de la cara lateral izquierda.

En los dos caso, el efecto de la fuerza F sobre el cuerpo es el mismo.


106

Esto siempre ocurrirá si el punto de aplicación de la fuerza sobre el cuerpo estuviera en la línea de acción de esa fuerza.

El efecto de la fuerza F sobre el cuerpo es el mismo si ella es aplicada a los puntos A, B ó C de su línea de acción.

El efecto de una fuerza sobre un cuerpo no se altera cuando se desplaza su punto de aplicación a lo largo de su línea de acción.

Centro de Gravedad

Se puede considerar los cuerpos materiales como un sistema de partículas, cada una de las cuales es atraída por la Tierra con una fuerza igual al peso de la partícula.

La resultante total de todas esas fuerzas parciales es el peso total del cuerpo. Sea G el punto en el cual se puede considerar que se aplica el peso total de ese cuerpo. El punto G se denomina centro de gravedad del cuerpo.

Centro de gravedad de un cuerpo es el punto de aplicación de la fuerza peso.

La Tierra atrae al cuerpo como si toda su masa estuviese localizada en el centro de gravedad.

Par a cuerpos homogéneos, esto es, de masa uniformemente distribuida, que admiten un eje de simetría, sus centros de gravedad están sobre ese eje.

En un cuerpo homogéneo de forma cúbica, el centro de gravedad es el punto de intersección de las diagonales.


107


Determine las coordenadas del centro de gravedad de los cuerpos homogéneos y de espesores despreciables que se indican en las figuras.

Solución.

Estableciendo los ejes x e y, se tiene:

Problemas Propuestos


108

373. Halle las coordenadas del centro de gravedad de los cuerpos homogéneos, cuyos espesores son despreciables, que se indican en las figuras.

Solución

374. Calcule las coordenadas del centro de gravedad de la chapa triangular equilátera y de espesor despreciable que se indica en la figura. El lado del triángulo

mide 40 3 cm.


109

Solución

Equilibrio estático de un punto material

Para que un punto material se encuentre en equilibrio estático es necesario y suficiente que la resultante de todas las fuerzas que en él actúan sea nula.

Punto material de equilibrio 0R


Un cuerpo de 80 N de peso se mantiene en equilibrio mediante hilos ideales, conforme indica la figura.

Determine las intensidades de las tracciones soportadas por los hilos AB y AC.

Solución.


110

Descomponiendo las fuerzas en sus componentes, en los ejes x e y, se tiene:


111


375. El esquema representa dos cuerpos X e Y de pesos iguales a 30 N y 20 N, respectivamente, suspendidos por hilos, 1 y 2, ideales.

Calcule la intensidad de la tracción en los hilos 1 y 2.

Solución


112

376. Un cuerpo de 400 N de peso se halla en equilibrio, como se ilustra en la figura. Determine la intensidad de las fuerzas tensoras en las cuerdas, supuestas de pesos despreciables.

Solución

377. Un bloque de peso 80P N está suspendido por hilos, como indica la figura.

a) ¿Cuál es la intensidad de la tracción que se ejerce en el hilo AB?


113

b) ¿Cuál es la intensidad de la tracción que se ejerce en el hilo horizontal ABC?

378. En un gimnasio hay dos puntos fijos, A y B, de los cuales se suspende una lámpara de 600 N de peso, mediante los hilos AC y BC, como se indica en la figura.

Determine la intensidad de la fuerza de tracción en cada hilo.

379. Calcule la fuerza en cada uno de los hilos flexibles AB y AC, sabiendo que el peso del

cuerpo colgado es de 26 N. Considere sen45 cos 45 0,7 y cos30 0,8.

380. La posición de una lámpara se puede ajustar con la ayuda de un contrapeso, como se indica en el esquema.

Para la situación representada, el contrapeso es de 10 N. ¿Cuál es el peso de la lámpara?

381. El hombre que se indica en la figura posee 70 kg de masa y se halla en equilibrio. Sabiendo que él se halla en una posición horizontal, que su peso actúa en el punto A y que

cos30 0,8, calcule:

a) la fuerza tensora en el hilo;

b) la reacción opuesta por la pared a los pies del hombre.

382. Un cuerpo de 200 N de peso se halla en equilibrio sobre un plano inclinado bajo la acción

de una fuerza F paralela al plano. Despreciando los rozamientos, calcule:

a) la intensidad de F ;

b) la intensidad de la fuerza normal que el cuerpo ejerce sobre el plano inclinado.

383. El bloque A de la figura pesa 100 N. El bloque B pesa 20 N y el sistema se halla en equilibrio. ¿Cuál es la intensidad de la fuerza de rozamiento ejercida sobre el bloque A?

384. Un bloque A de 10 kg se encuentra en reposo sobre un plano horizontal liso, como se

indica en la figura de al lado. Considerando que las poleas y los hilos son ideales y 2

m10s

g , y

sabiendo que la masa del bloque C que equilibra el sistema es de 2 kg, calcule la masa del bloque B.

Hidrostática

La hidrostática tiene su origen en los estudios de Arquímedes (287-212 a.C.) sobre la Mecánica de los fluidos.


114

Si se comprendió la Unidad IV, se comprenderán fácilmente los principios de la Hidróstatica, pues ahora, la fuerza será ejercida por un líquido o gas, o sea, un fluido.

Dieron contribución a este tema los científicos Torricelli (1608-1647), Stevin (1548-1620), Pascal (1623-1662), entre otros.

La hidrostática ayuda a entender, por ejemplo, por qué los esquimales utilizan un zapato con suela en forma de raqueta de tenis, qué es la presión atmosférica y cómo medirla, la diferencia entre nadar en una piscina de agua dulce y en el mar, el funcionamiento de una prensa hidráulica.

Al tomar una gaseosa con pajita, ¿por qué el líquido sube por la pajita? Al sumergir cuerpos en líquidos, algunos se hunden y otros quedan flotando en la superficie. ¿Por qué será? ¿Y por qué razón, cuando se sumerge a grandes profundidades se tienen problemas de respiración aun con equipo de buceo?

¿Cómo un avión a chorro, o aun movido a hélice, consigue volar? ¿Qué fuerzas lo mantienen en el aire?

Fluido

Se denomina fluido a toda sustancia que puede fluir, es decir, deslizarse con facilidad. Por eso a los líquidos y a los gases se denominan fluidos.

El estudio de los fluidos en reposo o en movimiento se trata en un apartado de la Física a que se denomina Mecánica de los Fluidos.

Con fines didácticos la Mecánica de los Fluidos se divide en:

Fluido-estática: estudia los fluidos en reposo.

Fluido-dinámica: estudia los fluidos en movimiento.

Como el líquido utilizado antiguamente era el agua, cuyo prefijo es hidro, se emplean también los nombres Hidrostática para la Fluido-estática e Hidrodinámica para la Fluido-Dinámica.

Densidad absoluta o masa específica

Se denomina densidad absoluta o masa específica de un cuerpo al cociente entre la masa y el volumen del cuerpo.

mV

Donde:


115

masa especificamasa del cuerpovolumen del cuerpo

mV

La unidad de densidad absoluta en el Sistema Internacional es el kilogramo por metro cúbico,

que se representa por 3

kgm

.

Es muy utilizada la unidad 3

gcm

.

Observación:

La densidad de un cuerpo puede no tener el mismo valor de la densidad absoluta de la sustancia que constituye el cuerpo. Los valores serán iguales solamente cuando el cuerpo es macizo y homogéneo.


La densidad de la glicerina es 1,26 3

gcm

. ¿Cuánto pesan 4l de glicerina? Considere 2

m10s

g .

Solución

3

g1, 26cm

34 4000cmV l

2

m10s

g

La masa de la glicerina es igual a:

2

1, 26 5,04kg4000

mPor lo tanto, 5,04kg 10 50, 4Ns

m m mV

P m g


Fórmula matemática de la presión


116

Considere dos personas, A y B, de igual peso, que caminan en la nieve.

Observe que la persona A deja marcas más profundas en la nieve que la persona B, a pesar de que tienen el mismo peso.

Esto ocurre porque el área de la superficie sobre la cual A se apoya es menor que la superficie de apoyo de B.

La física relaciona esas dos magnitudes, fuerza peso y área de la superficie, a través de la magnitud física llamada presión.

Considerando la fuerza F que actúa perpendicularmente sobre el área S en la figura de al lado.

Se denomina presión (p) al cociente entre la intensidad de la fuerza F y el área S en el que la fuerza se distribuye.

presionfuerzaarea

FpS

pFS

La unidad de presión en el Sistema Internacional de Unidades es el newton por metro

cuadrado, que se indica por N/m 2 y es denominada pascal.

2

1N 1 pascal 1 Pam

Otras unidades que también se utilizan son:

Apuntes de Física para Ingreso a Medicina UNA Py

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