Aplicativos 2015.docx

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MECÁNICA DE SÓLIDOSCG-06212

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Tema: Aplicación de vectores a la carrera de Electrotecnia Industrial: asores

PROBLEMA 01:

!i"u#ar el diagra$a %asorial & de i$pedancias' & deter$inar las constantes del circuito serie'

suponiendo (ue contiene dos ele$entos) *a tensión & corriente se e+presan en voltios & a$periosrespectiva$ente)

RESOLUCIÓN:

Al estar dadas la tensión & corriente con sus respectivas %ases' el origen de tie$pos está

per%ecta$ente deter$inado)

,a& (ue acer notar (ue a$"as %unciones tienen la $is$a %recuencia)

*os %asores correspondientes a cada una de las ondas son:

Aplicando la de%inición de i$pedancia se tiene:

(ue corresponde a una resistencia & un condensador conectados en serie' cu&os valores vienen

dados por:

P.G.AA !E .ACI .EG3*A.




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En la %igura se $uestra el diagra$a %asorial & el diagra$a de i$pedancias) !el diagra$a %asorial se

co$prue"a (ue el circuito es capacitivo &a (ue la tensión está retrasada respecto de la corriente)

El origen de tie$pos puede ser ca$"iado) 4i se to$a co$o origen de tie$pos un punto cero de la

corriente' el diagra$a %asorial será el $ostrado en pri$er lugar en la %igura siguiente) 4i se to$a

co$o origen de tie$pos la tensión el diagra$a %asorial será el segundo de los representados)





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Pero en a$"os casos' el des%ase tensión - corriente es el $is$o &a (ue está i$puesto por el

argu$ento de la carga)

PROBLEMA 02

3n circuito serie de tres ele$entos contiene una "o"ina de una autoinducción * 5 0'02 enrios) *a

tensión aplicada & la corriente resultante se $uestran en el diagra$a %asorial de la %igura) 4a"iendo

(ue 5 700 rad/s' deter$inar los otros dos ele$entos del circuito)

RESOLUCIÓN:

*a i$pedancia del circuito co$puesto por los tres ele$entos será:





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por tanto' el circuito está %or$ado por una resistencia de: .510 8 & una reactancia inductiva total

de: X L=30Ω

Co$o uno de los ele$entos es una "o"ina de * 5 0'02 enrios' siendo su reactancia de:

' el tercer ele$ento será una "o"ina cu&a reactancia vendrá dada por:

a la (ue le corresponde un coe%iciente de autoinducción *2 dado por:

PROBLEMA 03

3n circuito serie se co$pone de una resistencia . 5 9 & un condensador con una capacidad C 50

;) <A (u= %recuencia la corriente adelanta un ángulo de 0> respecto de la tensión?

RESOLUCIÓN

*a reactancia @C del condensador viene dada por:

*a i$pedancia del con#unto serie .-C se e+presa co$o:

Co$o el argu$ento de la i$pedancia es igual al des%ase entre la tensión & la corriente se tiene

(ue:





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PROBLEMA 04

El ángulo de %ase de la i$pedancia de un circuito serie .-C es de - 7> a una %recuencia % 5 700

,B)

,allar la %recuencia a la (ue el $ódulo de la i$pedancia es:

(a) el do"le (ue para el valor de % , () la $itad (ue para el valor de %

RESOLUCIÓN

*a i$pedancia se e+presa por:

A la %recuencia %1 su argu$ento es de - 7>' es decir:

aD Para la %recuencia %2 a la cual el $ódulo es el do"le del anterior se tiene:

Por tanto:

eniendo en cuenta (ue:

se o"tiene:

() Para la %recuencia % a la cual el $ódulo es la $itad (ue para %1 se tiene:





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*o (ue es i$posi"le) Por tanto' no e+iste ninguna %recuencia para la cual el $ódulo de la

i$pedancia sea la $itad (ue para la %recuencia %1)

PROBLEMA 05

,allar las su$as de las tensiones de los generadores' e+presadas en voltios' $ostrados en la

%igura' & cu&os valores instantáneos viene dados por:

o$ar co$o sentido de la su$a' en pri$er lugar el sentido positivo de v1 tD & en segundo lugar el

de v2

tD)

RESOLUCIÓN:

*os %asores correspondientes a las tensiones de los generadores serán:





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o$ando el sentido de v1 tD para el cálculo de la su$a se tiene:

o$ando el sentido de v2 tD para el cálculo de la su$a se tiene:

El diagra$a %asorial correspondiente a las soluciones es el $ostrado en la %igura)





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PROBLEMA 0!

Para deter$inar las constantes r & * de una i$pedancia "o"ina realD' se conecta =sta en serie con

una resistencia de 27 resistencia cali"radaD' & al con#unto se le aplica una %uente de tensión de

120 F' 60 ,B) 4e $iden las tensiones en "ornas de la resistencia & de la i$pedancia' o"teni=ndose

los valores: F. 5 0'9 F & FH5 96 F)

<Cuáles son los valores de los pará$etros' r & *' de la i$pedancia en cuestión? El es(ue$a del

$onta#e del $=todo de los tres volt$etros es el indicado en la siguiente %igura)

RESOLUCIÓN:

En pri$er lugar se a de %i#ar el origen de tie$pos' &a (ue no está de%inido por (ue sólo se

proporcionan los valores e%icaces de las tensiones en los e+tre$os de la resistencia & de la

i$pedancia)

*a Jnica varia"le co$Jn a todos los ele$entos pasivos del circuito es la corriente (ue circula por

todos ellos)

o$ando co$o origen de tie$pos esta corriente se tiene (ue: *a tensión en los e+tre$os de la

resistencia %.' está en %ase con dica corrienteK *a tensión en los e+tre$os de la parte resistiva de

la i$pedancia desconocida %r' está en %ase con dica corrienteK *a tensión en los e+tre$os de la

parte reactiva de la i$pedancia desconocida F *' está adelantada L0> respecto de dica corriente)

Por otra parte' se sa"e (ue la tensión total en los e+tre$os de la i$pedancia desconocida F' será

la su$a de la tensión de su parte resistiva Fr & la tensión de su parte reactiva F) Por tanto' dica

tensión estará adelantada un cierto ángulo' $enor de L0>' respecto de la corriente) eniendo en

cuenta todo lo anterior' se con%igura el diagra$a %asorial de la %igura)





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El valor de la i$pedancia & vendrá dado por:

El %asor tensión H se o"tendrá de:

por tanto:

El valor e%icaB de la corriente se o"tiene aplicando la le& de o$ a la resistencia de 27 8' con lo

(ue el %asor vendrá dado por:

por tanto:

) i#ando el origen de tie$pos con la tensión entre los ter$inales de la i$pedancia'





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H' se o"tiene el diagra$a %asorial de la %igura)

o$ando el origen de re%erencia indicado' la corriente (ue circula por la i$pedancia estará

retrasada un cierto ángulo' desconocido' respecto de la tensión de re%erencia' &a (ue por tratarsede un circuito serie con una resistencia & una inductancia tendrá un carácter neta$ente inductivo)

*a tensión' supuesta e+istente entre los e+tre$os de la parte resistiva de la i$pedancia F corriente)

Por el contrario' la tensión supuesta e+istente entre los e+tre$os de la parte inductiva de la

i$pedancia Fr' estará en %ase con la estará des%asada L0> en adelanto respecto de la corriente)

Para estos dos Jlti$os %asores se veri%icará (ue su su$a Fr M F*' será igual a la tensión entre los

e+tre$os de la i$pedancia FB)

*a tensión entre los e+tre$os de la resistencia' .' estará en %ase con la corriente del circuito)

Por Jlti$o' la su$a de las tensiones correspondientes a la resistencia & a la i$pedancia F.M FH'proporcionará la tensión total F)

eniendo en cuenta (ue son conocidos los valores e%icaces de las tensiones' se puede o"tener' a

partir del diagra$a %asorial' las %ases de las tensiones & en particular el des%ase entre la tensión

entre los e+tre$os de la i$pedancia FH & la corriente (ue circula por la $is$a)

As se tiene (ue:





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N por tanto:

') o$ando co$o origen de re%erencia la tensión total su$inistrada al circuito F se o"tiene eldiagra$a %asorial representado en la %igura ad#unta)





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El raBona$iento (ue se sigue para su construcción es si$ilar al indicado en el apartado anterior)

4e parte del %asor F (ue se sitJa en el origen de tie$pos) *a corriente estará des%asada un cierto

ángulo desconocido respecto de dica tensión' pero por tratarse de un circuito inductivo &a (ue

sólo está %or$ado por dos resistencias & una inductancia' el des%ase será en retraso) 4ituado el

%asor corriente' se representa el %asor F.' tensión entre los e+tre$os de la resistencia' (ue estará

en %ase con dica corriente) Por Jlti$o' la tensión entre los e+tre$os de la i$pedancia vendrá dado

por la co$posición vectorial: F 5 F.M FH

tra %or$a de situar el %asor FH' es representar sus %asores constitutivos' es decir' (ue estará en

%ase con la corriente & F* (ue estará adelantado L0> respecto de la corriente) *a su$a de a$"os

proporcionará FH)

El des%ase tensión entre los e+tre$os de la i$pedancia' FH' & la corriente se o"tiene del diagra$a

%asorial aciendo:





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PROBLEMA 0"

,allar los valores de r & @* en el circuito de la %igura sa"iendo (ue: el valor e%icaB de la corriente total es de

2L'L A' el valor e%icaB de la corriente (ue circula por la resistencia pura de 17 8 es de 9 A' & el valor e%icaB de

la corriente por la ra$a paralelo r-* es de 22' A)

RESOLUCION:

4e to$a co$o origen de tie$pos la corriente I .' (ue circula por la resistencia cali"rada' & (ueestará en %ase con la

tensión (ue se presenta en sus e+tre$os)

*a corriente (ue se su$inistra a la i$pedancia IH

estará retrasada un cierto ángulo con respecto a

la tensión &a (ue se trata de una i$pedancia inductiva) Esta corriente se puede desco$poner en

dos: una corriente Ir' en %ase con la tensión' & supuesta$ente de"ida a la parte resistiva de la

carga' & una corriente I* des%asada en retraso L0> con respecto a la tensión' supuesta$ente de"ida

a la parte inductiva de la i$pedancia)

*a su$a de la corriente por la resistencia' I.' & la corriente por la i$pedancia' IH' es igual a la

corriente total' I' su$inistrada por el generador) El diagra$a %asorial correspondiente al circuito esel $ostrado en la %igura ad#unta)





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tra %or$a de o"tener el valor de & de L es $ediante la pro&ección del vector & segJn la

dirección del %asor & so"re su perpendicular) As se tiene (ue:





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Co$o a$"os ele$entos supuestos están en paralelo' su tensión será la $is$a e igual a' & por

tanto:





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PROBLEMA 0#

En el diagra$a %asorial de la %igura' se veri%ica:

4e pide: aD !i"u#ar el circuito (ue corresponde a este diagra$a %asorial' e+plicando los raBona$ientos

seguidos para su o"tenciónK "D ,allar los valores de sus resistencias & reactancias)

RESOLUCION:

El circuito resultante tiene (ue veri%icar las dos ecuaciones siguientes' o"tenidas del diagra$a %asorial:

*a pri$era ecuación indica la presencia de una con%iguración de la %or$a:

*a segunda ecuación $uestra la e+istencia de dos ra$as paralelas)

As pues' las posi"les con%iguraciones serán:

Esta con%iguración no es correcta' &a (ue el des%ase entre la tensión F AO para el ele$ento conectado & la

corriente I2 (ue circula por el $is$o es $a&or de L0>)





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Esta con%iguración ta$poco es válida &a (ue por el ele$ento conectado entre A & O no circula la corriente I 1'

tal co$o indica el enunciado)Por tanto' la con%iguración correcta será la del siguiente es(ue$a)





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!el diagra$a %asorial se tiene (ue:

El ángulo %or$ado por los %asores F AC & F AO' es igual al ángulo %or$ado por los %asores I e I1) Este ángulo'

deno$inado a' viene dado por:

PROBLEMA 0$

3n generador de corriente' %recuencia 70 ,B' ali$enta tres ele$entos pasivos puros' conectados de %or$adesconocida) El diagra$a %asorial del circuito es el $ostrado en la %igura)

4a"iendo (ue la corriente I1 sólo circula por el ele$ento conectado entre A & C' se pide:





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RESOLUCIÓN

!el diagra$a %asorial se puede esta"lecer (ue: I 5 I1 M I2' es decir' a& una ra$i%icación de la corriente & por

tanto e+isten dos ra$as en paralelo)

Co$o se veri%ica (ue: F AC 5 F AO M FOC' signi%ica (ue e+isten dos ele$entos conectados en serie) *a corriente

I1 no puede circular por el ele$ento conectado entre A & O &a (ue el des%ase entre la citada corriente & la

tensión F AO es $a&or de L0>) Co$o la corriente I1 sólo puede circular por el ele$ento situado ente A & C' la

con%iguración del circuito será el de la %or$a indicada en la %igura ad#unta)

Por tanto' el es(ue$a del circuito será el indicado)





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El valor de sus co$ponentes se o"tienen de la %or$a siguiente:

*a i$pedancia e(uivalente al con#unto serie "o"ina-condensador tiene un valor dado por:

para la %recuencia indicada se veri%ica (ue:

con lo (ue el diagra$a %asorial se reduce al $ostrado en la %igura)





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