APLICACIONES DE LAS MATRICES - …ºBach Cienc... · 1 APLICACIONES DE LAS MATRICES Ejercicio nº...

1

APLICACIONES DE LAS MATRICES

Ejercicio nº 1.-

a) Encuentra los valores de a para los que la matriz:

no es inversible.

Ejercicio nº 2.-

Calcula, si es posible, la inversa de la matriz:

Para los casos en los que a = 2 y a = 0.

Ejercicio nº 3.-

Halla una matriz, X, tal que AX + B = 0, siendo:

Ejercicio nº 4.-

Halla X tal que AX = B, siendo:

Ejercicio nº 5.-

a) Calcula para qué valores de λ existe la inversa de la matriz:

−

−

−−

=

222

11

11

a

a

a

A

1b) Calcula para 2.A a− =

+

+=

aa

aA

11111111

−−−−

=

−−

−=

144412

y111

102011

BA

=

−

−=

213105126

y111

320112

BA

λ−

−λ

−λ

=

21

12

21

A

0. para Calcula b) 1 =λ−A

2

Ejercicio nº 6.-

Expresa el siguiente sistema en forma matricial y resuélvelo utilizando la matriz inversa:

Ejercicio nº 7.-

Expresa y resuelve el siguiente sistema en forma matricial:

Ejercicio nº 8.-

Expresa en forma matricial y resuelve, utilizando la matriz inversa:

Ejercicio nº 9.-

Expresa y resuelve en forma matricial el siguiente sistema de ecuaciones:

Ejercicio nº 10.-

Expresa en forma matricial y resuelve utilizando la matriz inversa:

Ejercicio nº 11.-

Estudia la compatibilidad del siguiente sistema:

=+

=++

−=−+−

32

02

53

z x

zyx

zyx

=++

=+

=−+

32

1

624

zyx

z x

zyx

=+

=−+

=++

02

52

732

zy

zyx

zyx

=+−=+−=+−

72826

zyxzyxzyx

−=+−−=+−

=−+−

1423

12

zyxzyxzyx

=−++−

=+−+

=−+−

1

22

32

tzyx

tzyx

tzyx

3

Ejercicio nº 12.-

Estudia la compatibilidad del sistema:

Ejercicio nº 13.-

Estudia la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones:

Ejercicio nº 14.-

Utiliza el teorema de Rouché para estudiar la compatibilidad del siguiente sistema:

Ejercicio nº 15.-

Estudia la compatibilidad de este sistema de ecuaciones:

Ejercicio nº 16.-

Resuelve, aplicando la regla de Cramer, los siguientes sistemas:

=−+−

=+−

=−+−

=−+

555

22

12

3

zyx

zyx

zyx

zyx

=++=−+−=+−

332132

zyxzyxzyx

=−=−=−+−=+−

2732143

yxz xzyxzyx

=−

=+−

−=+−

=−

5

26

13

32

yx

yx

yx

yx

=−+−=+−

=−+−

=+−=+−

1233

02b)1

53a)

zyxzyxzyx

yxyx

4

Ejercicio nº 17.-

Resuelve, aplicando la regla de Cramer:

Ejercicio nº 18.-

Resuelve los siguientes sistemas, aplicando la regla de Cramer:

Ejercicio nº 19.-

Aplica la regla de Cramer para resolver estos sistemas:

Ejercicio nº 20.-

Resuelve estos sistemas, aplicando la regla de Cramer:

Ejercicio nº 21.-

Estudia la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones y resuélvelo si es posible:

Ejercicio nº 22.-

Estudia, y resuelve si es posible, el siguiente sistema de ecuaciones:

−=−−=++−=−−

−=−=+−

3231202b)

12323a)

zyxzyxzyx

yxyx

=++

=++−

=−+

=+

=−

63

42

2b)

53

02

a)

zyx

zyx

zyx

yx

yx

=+−−=++−

=−+

=+−=+

5353

12b)15

523a)

zyxzyxzyx

yxyx

=+−=−+

−=+−

=−−=+−

63332

32b)732

64a)

zyxzyxzyx

yxyx

=−+=−+−=+−=++

73125362

zyxzyxzyxzyx

−=+−−=++=++

−=−+−

126352

343

zyxzyxzyxzyx

5

Ejercicio nº 23.-

Estudia la compatibilidad del siguiente sistema, y resuélvelo si es posible:

Ejercicio nº 24.-

Estudia, y resuelve si es posible, el sistema:

Ejercicio nº 25.-

Estudia la compatibilidad de este sistema y resuélvelo si tiene solución:

Ejercicio nº 26.-

Discute, y resuelve cuando sea posible, el siguiente sistema de ecuaciones:

Ejercicio nº 27.-

Estudia el siguiente sistema homogéneo según los valores de λ y resuélvelo en los casos en los que resulte ser compatible indeterminado:

Ejercicio nº 28.-

Discute y resuelve el siguiente sistema, según los valores del parámetro m:

Ejercicio nº 29.-

Discute el siguiente sistema homogéneo según los diferentes valores del parámetro λ. Resuélvelo en los casos en los que resulte ser compatible indeterminado:

=++−=++−=−+−

811574352

zyxzyxzyx

=+++−=+−+=−++

2221822

tzyxtzyxtzyx

=++−−

=+−+

−=−++

5

3222

22

tzyx

tzyx

tzyx

( )

=++=+++

=+

22321

zyazyxaayax

=−λ+=+λ+−=+−λ

020202

zyxzyxzyx

=++=+=++

112

mzmyx myx

zymx

( )( )

=−+−=+−=+

010202

zyxzyz x

λλ

λ

6

Ejercicio nº 30.-

Discute el siguiente sistema, y resuélvelo cuando sea posible, en función del parámetro a:

Ejercicio nº 31.-

Estudia el siguiente sistema, en función de a y b. Resuélvelo en los casos en los que sea compatible indeterminado:

Ejercicio nº 32.-

Discute, en función de λ y µ, el siguiente sistema de ecuaciones. Resuélvelo en los casos en los que sea compatible determinado:

Ejercicio nº 33.-

Estudia, en función de a y b, el siguiente sistema de ecuaciones. Resuélvelo en los casos en los que sea compatible indeterminado:

Ejercicio nº 34.-

Estudia el siguiente sistema según los valores de los parámetros que contiene. Resuélvelo en los casos en los que sea compatible determinado:

Ejercicio nº 35.-

Discute el siguiente sistema de ecuaciones, según los valores de los parámetros que contiene. Resuélvelo en los casos en los que sea compatible determinado:

( )

=−+−+=+

=+

azaayxazax

azy

2112

12

=−+=++=+−

bazyxazyxazyx

2321

µ=++−=λ−+−

=λ++

zyxzyxzyx

422

2

=+−−=+−

=−+

bzyxzyaxzayx

2122

2

=+λ+

=+−

µ=++−

32

22

zyx

zyx

zyx

=++=+

==+

bxabyxax

yx

235

32

7

SOLUCIONES EJERCICIOS APLICACIONES DE LAS MATRICES

Ejercicio nº 1.-

a) Encuentra los valores de a para los que la matriz:

no es inversible.

Solución:

Calculamos el determinante de A:

Ejercicio nº 2.-

Calcula, si es posible, la inversa de la matriz:

Para los casos en los que a = 2 y a = 0.

−

−

−−

=

222

11

11

a

a

a

A

1b) Calcula para 2.A a− =

1a) La condición necesaria y suficiente para que exista es que 0 . A A− ≠

( ) ( ) →=+−=−−−⋅+−−+=

−

−

−−

= 0253222222

222

11

11

22 aaaaaaa

a

a

a

A

=

=±

=−±

=→321

615

624255

a

aa

.32 para y 1 para inversible es no matriz la tanto, Por == aa

:queda matriz La . 4 que tenemos , 2 Parab) AAa ==

( ) ( )( ) →

−−−=→

−−−

=→

−

−−=

342142

102

311440222

220121112

tAAdjAAdjA

( )( )

−−−==→ −

342142

102

41 1 1 tAAdj

AA

+

+=

aa

aA

11111111

8

Solución:

Para a = 2, queda:

Para a = 0, queda:

Ejercicio nº 3.-

Halla una matriz, X, tal que AX + B = 0, siendo:

Solución:

Despejamos X en la ecuación dada:

=

231

111

113

A

:calculamos La . existe sí caso, este En .2 Entonces, 1−−= AA

( ) ( )( ) →

−−−

−=→

−−

−−=

282251

011

220851

211tAAdj AAdj

( )( )

−−

−

−

==→ −

141

125

21

021

21

11 tAAdjA

A

=

011

111

111

A

. 0 iguales, son filas primeras dos las Como =A

. existe no caso, este en tanto, Por 1−A

−−−−

=

−−

−=

144412

y111

102011

BA

: existe si ver para Calculamos 1−AA

1 Existe02

111

102

011

−→≠−=

−−

−

= AA

BAXBAAXABAXBAX 1110 −−− −=→−=→−=→=+

9

Hallamos la matriz inversa de A:

Obtenemos la matriz X:

Ejercicio nº 4.-

Halla X tal que AX = B, siendo:

Solución:

Despejamos X de la ecuación dada:

Hallamos la matriz inversa de A:

Obtenemos la matriz X:

( ) ( )( ) →

−−−−−

=→

−−−−

−=

202111111

211011211

tAAdjAAdj

( )( )

−−−=

−−−−−

−==→ −

202111111

21

202111111

211 1 tAAdj

AA

−=

−−−−

−=

−−−−

−−−

−=−= −

021121

042242

21

144412

202111111

211BAX

=

−

−=

213105126

y111

320112

BA

: existe si ver para A Calculamos 1−A

1 Existe05

111

320

112−→≠−=

−

−

= AA

BAXBAAXABAX 111 −−− =→=→=

( ) ( )( ) →

−−−−

−=→

−−−−−

=412613

505

465110235

tAAdjAAdj

( )( )

−−−−

−−

==→ −

412613

505

51 11 tAAdj

AA

10

Ejercicio nº 5.-

a) Calcula para qué valores de λ existe la inversa de la matriz:

Solución:

Calculamos el determinante de A:

b) Para λ = 0, la matriz es:

Ejercicio nº 6.-

Expresa el siguiente sistema en forma matricial y resuélvelo utilizando la matriz inversa:

−

−

=

−

−−

−−−

=

−−

−−

−−

=

101

201

113

505

1005

5515

51

213

105

126

412

613

505

51X

λ−

−λ

−λ

=

21

12

21

A

0. para Calcula b) 1 =λ−A

1a) La condición necesaria y suficiente para que exista es que 0 . A A− ≠

( )2222 1336342142 2112

21 +λ=+λ+λ=+λ+λ+−λ+λ=

λ−−λ

−λ=A

( ) 1 01 013 0 2 −=λ→=+λ→=+λ→=A

.1 para existe tanto, Por 1 −≠λ−A

( ) ( )( )

−=→

−=→

−−

−=

210423120

241122030

201102

210tAAdjAAdjA

3=A

( )( )

−==−

210423120

31 11 tAAdj

AA

=+

=++

−=−+−

32

02

53

z x

zyx

zyx

11

Solución:

Expresamos el sistema en forma matricial:

Calcula la inversa de A:

Despejamos X:

Por tanto, la solución del sistema es: x = 1, y = −1, z = 1

Ejercicio nº 7.-

Expresa y resuelve el siguiente sistema en forma matricial:

CAX

z

y

x

C

z

y

x

XA =→

−

=

−−

→

−

=

=

−−

=

3

0

5

102

121

113

3

0

5

;;

102

121

113


1

3 1 11 2 1 1 0 Existe 2 0 1

A A−

− −= = − ≠ →

( ) ( )( ) →

−−−−

=→

−−−

−=

724211312

723

211412

tAAdjAAdj

( )( )

−−−−−

==→ −

724211312

11 tAAdj A

A

CAXCAAXACAX 111 −−− =→=→=

−=

−

−

−−

−−

=

1

1

1

3

0

5

724

211

312

X

=++

=+

=−+

32

1

624

zyx

z x

zyx

12

Solución: Expresamos el sistema en forma matricial:

Calculamos la inversa de A:

Despejamos X:

Por tanto, la solución del sistema es: x = 1, y = 1, x = 0

Ejercicio nº 8.-

Expresa en forma matricial y resuelve, utilizando la matriz inversa:

CAX

z

y

x

C

z

y

x

XA =→

=

−

→

=

=

−

=

3

1

6

112

101

124

3

1

6

;;

112

101

124


1 Existe03

112

101

124−→≠−=

−

= AA

( ) ( )( ) →

−−

−−=→

−−−−

=201561

231

252063111

tAAdj AAdj

( )( )

−−

−−−

==→ −

201561

231

31 11 tAAdj

AA


=

−

−−

=

−

−

−−−

=

0

1

1

0

3

3

31

3

1

6

201

561

231

31X

=+

=−+

=++

02

52

732

zy

zyx

zyx

13

Solución:


Si llamamos:

Obtenemos X:

Por tanto la solución del sistema es: x = 1; y = 2; z = −1

Ejercicio nº 9.-

Expresa y resuelve en forma matricial el siguiente sistema de ecuaciones:

Solución:


CAX

z

y

x

C

z

y

x

XA =→

=

−→

=

=

−=

0

5

7

210

211

132

0

5

7

;;

210

211

132

: por izquierda la por ndomultiplica despejamos ,resolverlo Para 1−AX


: hallamos y 03 que sComprobamo 1−≠= AA

( ) ( )( ) →

−−−

−−=→

−−−−

−=

121542754

157245

124 tAAdjAAdj

( )( )

−−−

−−==→ −

121542754

31 1 1 tAAdj

AA

−

=

−

=

−−

−

−−

== −

1

2

1

3

6

3

31

0

5

7

121

542

754

311CAX

=+−=+−=+−

72826

zyxzyxzyx

CAX

z

y

x

C

z

y

x

XA =→

=

−

−

−

→

=

=

−

−

−

=

7

8

6

121

112

111

7

8

6

;;

121

112

111

14


Despejamos X:

Por tanto, la solución del sistema es: x = 2, y = −1, z = 3

Ejercicio nº 10.-

Expresa en forma matricial y resuelve utilizando la matriz inversa:

Solución:


: existe si ver para , Calculamos 1−AA

1

1 1 12 1 1 1 0 Existe 1 2 1

A A−

−= − = − ≠ →

−

( ) ( )( ) →

−−

−=→

−

−−=

113101011

110101311

tAAdjAAdj

( )( )

−−−

−==→ −

113101

011 11 tAAdj

AA


−=

−−

−

−

=

3

1

2

7

8

6

113

101

011

X

−=+−−=+−

=−+−

1423

12

zyxzyxzyx

CAX

z

y

x

C

z

y

x

XA =→

−

−=

−

−

−−

→

−

−=

=

−

−

−−

=

1

4

1

111

213

121

1

4

1

;;

111

213

121

: existe si ver para , Calculamos 1−AA

1 Existe01

111

213

121−→≠−=

−

−

−−

= AA

15


Despejamos X:

Por tanto, la solución del sistema es: x = −2, y = 0, z = 1

Ejercicio nº 11.-

Estudia la compatibilidad del siguiente sistema:

Solución:

Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:

Luego, ran (A) ≥ 2.

Además:

Por tanto, ran (A) = 3.

Con esto, también deducimos que ran (A') = 3, siendo A' la matriz ampliada.

( ) ( )( ) →

−−−−

−=→

−−−

−−=

512101

311

513101211

tAAdj AAdj

( )( )

−

−−==→ −

512101311

11 tAAdjA

A

CAXCAAXACAX 111 −−− ==→=

−=

−−

−

−−=

102

14

1

512101311

X

=−++−

=+−+

=−+−

1

22

32

tzyx

tzyx

tzyx

−−−

−−=

11111112

1211

A

031211

:cero de distinto 2 orden de menor un Tomamos ≠=−

09

111

112

211

≠=

−

−

−

16

Así, como ran (A) = ran (A') < no incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.

Ejercicio nº 12.-

Estudia la compatibilidad del sistema:

Solución: Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:

Hallamos el rango de la matriz ampliada:

Como ran (A) = ran (A') = no de incógnitas, el sistema es compatible determinado.

Ejercicio nº 13.-

Estudia la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones:

Solución:

Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:

−−

−

−−

=

11111

21112

31211

'A

=−+−

=+−

=−+−

=−+

555

22

12

3

zyx

zyx

zyx

zyx

( ) 3 03

112

121

111

551

112

121

111

=→≠=

−

−−

−

→

−−

−

−−

−

= AranA

( ) 3' 0'

5551

2

1

3

112

121

111

' =→=→

−−

−

−−

−

= AranAA

=++=−+−=+−

332132

zyxzyxzyx

( ) 2 0111

120

3111

311

12

=→≠=−

−→=→

−−

−

= AranAA

17


Como ran (A) ≠ ran (A'), el sistema es incompatible.

Ejercicio nº 14.-

Utiliza el teorema de Rouché para estudiar la compatibilidad del siguiente sistema:

Solución:

• Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:


Veamos si la 3ª fila depende linealmente de las dos primeras:

Veamos si la 4ª fila depende linealmente de las dos primeras:


• Hallamos el rango de la matriz ampliada:

( ) 3' 05

311

211

112

3311

21

13

11

12

' =→≠−=−

−

→

−−

−

= AranA

=−=−=−+−=+−

2732143

yxz xzyxzyx

−−

−−−

=

01

1101

11

2143

A

022143


−

primeras. dos las de depende fila 3 La0

101

121

143a→=

−

−−

−

primeras. dos las de elinealment depende también fila 4 La0

011

121

143a→=

−

−−

−

0211321143

;0

70131

2143

2071

1101

3111

2143

' =−

−−

=−−

→

−−

−−

−

=A

18

Por tanto, ran (A') =2.

• Así, como ran (A) = ran (A') < no incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.

Ejercicio nº 15.-

Estudia la compatibilidad de este sistema de ecuaciones:

Solución: Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:


Como ran (A) ≠ ran (A'), el sistema es incompatible.

Ejercicio nº 16.-

Resuelve, aplicando la regla de Cramer, los siguientes sistemas:

Solución:

La solución del sistema es: x = 2, y = −1

=−

=+−

−=+−

=−

5

26

13

32

yx

yx

yx

yx

( ) .2 013121

11613121

=→≠=−

−→

−−−

−

= AranA

( ) 3' 03261131

321

52

1161

13

31

21

' =→≠−=−

−−−

→

−−

−−

−

= AranA

=−+−=+−

=−+−

=+−=+−

1233

02b)1

53a)

zyxzyxzyx

yxyx

4;1131

;111531

153a)

−=

−=

−−

=+−=+−

AAyxyx

14

44

1151

;248

41135

−=−

=−

−−

==−−

=−

−

= yx

19

Ejercicio nº 17.-

Resuelve, aplicando la regla de Cramer:

Solución:

La solución del sistema es: x = 1, y = 3

3112

131121

;11123131

0121

1233

02b)−=

−−

−−=

−−−

−−

=−+−=+−

=−+−A

zyxzyxzyx

;339

3112

131101

;34

34

3111

133120

=−−

=−

−−

−−

==−−

=−

−−−

−

= yx

314

314

3112

331

021

=−

−=

−

−−

−

=z

314;3;

34:es sistema del solución La === xyx

−=−−=++−=−−

−=−=+−

3231202b)

12323a)

zyxzyxzyx

yxyx

1;12

23;

112323

12323a)

−=

−

−=

−−

−

−=−=+−

AAyxyx

313

112

33

;111

111

23

=−−

=−

−−

==−−

=−

−−= yx

2231

121112

;323111210112

3231202b)

−=−−

−−−

=

−−−−

−−

−=−−=++−=−−

Azyxzyxzyx

;02

02

231111102

;122

2233

121110

=−

=−

−−−

−

==−−

=−

−−−

−−

= yx

224

2331

121

012

=−−

=−

−−

−

−

=z

20

La solución del sistema es: x = 1, y = 0, z = 2

Ejercicio nº 18.-

Resuelve los siguientes sistemas, aplicando la regla de Cramer:

Solución:

La solución del sistema es: x = 1, y = 2


Ejercicio nº 19.-

Aplica la regla de Cramer para resolver estos sistemas:

Solución:

=++

=++−

=−+

=+

=−

63

42

2b)

53

02

a)

zyx

zyx

zyx

yx

yx

5;1312

;50

1312

5302a)

=

−=

−

=+=−

AAyxyx

25

105

5302

;155

51510

=====

−

= yx

12113121111

;611341212111

63422b)

=−−

=

−

−

=++=++−=−+

Azyxzyxzyx

;21224

12163141121

;11212

12116124112

==

−−

===

−

= yx

11212

12613421211

==

−

=z

=+−−=++−

=−+

=+−=+

5353

12b)15

523a)

zyxzyxzyx

yxyx

7;1523

;115523

15523a)

−=

=

−

=+−=+

AAyxyx

21



Ejercicio nº 20.-

Resuelve estos sistemas, aplicando la regla de Cramer:

Solución:


47

2871553

;177

71125

−=−

=−

−

==−−

=−

−

= yx

22311113121

;53115113

1121

5353

12b)=

−−

−=

−−−

−

=+−−=++−

=−+A

zyxzyxzyx

0220

22351153111

;22244

22315115121

==

−−−

===−

−−

= yx

12222

22511

513

121

==−

−−

=z

=+−=−+

−=+−

=−−=+−

63332

32b)732

64a)

zyxzyxzyx

yxyx

5;32

41;

732641

73264a)

−=

−

−=

−

−−

=−−=+−

AAyxyx

15

55

7261

;25

105

3746

−=−

=−

−−

==−−

=−

−−

= yx

17311132

121;

631131323121

63332

32b)=

−−

−=

−−

−−

=+−=−+

−=+−A

zyxzyxzyx

;1745

17361132

131

;1715

17316133

123

=

−−

=−

=−

−−−

= yx

22

Ejercicio nº 21.-

Estudia la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones y resuélvelo si es posible:

Solución:

Empezamos estudiando la compatibilidad del sistema. Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:


Además:

Por tanto, ran (A) =3.


Así, ran (A) = ran (A') = no incógnitas. El sistema es compatible determinado.

Para resolverlo, podemos prescindir de la 4a ecuación, que es combinación lineal de las otras tres.

Lo resolveremos aplicando la regla de Cramer:

1754

17611332321

=−

−−

=z

1754,

1745,

1715:es sistema del solución La ==

−= zyx

=−+=−+−=+−=++

73125362

zyxzyxzyxzyx

−−−

−=

11

3121

12

1311

A

0413

11 :cero de distinto 2 orden de menor un Tomamos ≠−=

−

.011121

113211

≠=−−

−

−

−−−

=

7131156

121113211

'A

( ) 3' que tenemos, 0A' Como == A ran

23


Ejercicio nº 22.-

Estudia, y resuelve si es posible, el siguiente sistema de ecuaciones:

Solución:

En primer lugar, estudiamos la compatibilidad del sistema. Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:


Además:



;21122

11111

153261

;21122

11121

115216

==−−

===−

−

= yx

11111

11121513611

==−

−

=z

−=+−−=++=++

−=−+−

126352

343

zyxzyxzyxzyx

−−

−−

=

23

1111

11

2143

A

0102143

:cero de distinto 2 orden de menor un Tomamos ≠−=−

022311121143

≠−=−−

−−−

−−−

=

1211653

311121143

'A

( ) .3' ,0' Como == AranA

24

Así, ran (A) = ran (A') = no incógnitas. El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la 4ª ecuación, pues es combinación lineal de las otras tres.

Lo resolveremos aplicando la regla de Cramer:


Ejercicio nº 23.-

Estudia la compatibilidad del siguiente sistema, y resuélvelo si es posible:

Solución:




Sabemos que la 3a columna depende linealmante de las otras dos primeras. Veamos qué ocurre con la 4a columna:

Por tanto, ran (A') = 2.

12222

22361151133

;22244

22316125143

=−−

=−

−−−

==−−

=−

−−

= yx

12222

22611

521

343

=−−

=−

−−

=z

=++−=++−=−+−

811574352

zyxzyxzyx

−−=

115712

3111

A

043111

:cero de distinto 2 orden de menor un Tomamos ≠−=−

( ) .2 ran tanto, Por .0A Además, == A

−−−−

=

811574152

3111

'A

0857431511

=−−−

25

Como ran (A) = ran (A') < no incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.

Para resolverlo, podemos prescindir de la 3a ecuación pues es combinación lineal de las dos primeras. Pasamos la z al 2o miembro y aplicamos la regla de Cramer:

Las soluciones del sistema son:

Ejercicio nº 24.-

Estudia, y resuelve si es posible, el sistema:

Solución:



Además:

−−=++−=+−

zyxzyx

4325

λ−−λ+−−

λ=431

2511: Hacemos z

.43111

que Sabemos −=−

λ−=−

λ+−=

−λ−−λ+−

=47

411

4711

434125

x

λ+−

=−

λ−=

−λ−−λ+−−

=41

49

49

441

251

y

. con,;41

49;

47

411 R∈λλ=λ+

−=λ−= zyx

=+++−=+−+=−++

2221822

tzyxtzyxtzyx

−

−

−=

2111

2111

1122A

032111


09121111

122≠=

−−

26


Con esto, también deducimos que ran (A) = 3, siendo A' la matriz ampliada:

Así, como ran (A) = ran (A') < no incógnitas, el sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, pasamos la t al 2º miembro y aplicamos la regla de Cramer:

Las soluciones del sistema son: x = 2 + λ, y = 1 − λ, z = 2 + λ, t = λ, con λ ∈ Ρ.

Ejercicio nº 25.-

Estudia la compatibilidad de este sistema y resuélvelo si tiene solución:

−−

−=

221211111181122

'A

−=++−−=−++=++

tzyxtzyxtzyx

2221822

λ−−λ−−λ+

λ=22121

11118122

: Hacemos t

.9121111

122 que Sabemos =

−−

λ+=λ+

=λ−

−λ−λ+

= 29

9189

1222111

128

x

λ−=λ−

=λ−−

−λ−λ+

= 1999

91221111

182

y

λ+=λ+

=λ−−

λ−λ+

= 29

9189

2221111822

z

=++−−

=+−+

−=−++

5

3222

22

tzyx

tzyx

tzyx

27

Solución:



Además:


Con esto, también deducimos que ran (A') = 3, siendo A' la matriz ampliada:

Así, como ran (A) = ran (A') < no incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.

Para resolverlo, pasamos t al 2º miembro y aplicamos la regla de Cramer:

Hacemos t = λ. Entonces:

−−−

−=

11112211

1221

A

031221

:cero de distinto 2 orden de menor un Tomamos ≠−=

02111212

121≠−=

−−−

−−−

−−=

511113221221121

'A

−=+−−−=−+

+−=++

tzyxtzyxtzyx

52322

22

λ−−−λ−−λ+−

511123212

2121

.2111212

121 que Sabemos −=

−−−

λ−=−

λ+−=

−

−λ−−λ−

λ+−

= 51621032

21152123

122

x

λ+−=−

λ−=

−

λ−−−λ−

λ+−

= 4132826

21512232

121

y

28

Las soluciones del sistema son: x = 16 −5λ, y = −13+4λ, z = 8−2λ, t = λ, con λ ∈ Ρ.

Ejercicio nº 26.-

Discute, y resuelve cuando sea posible, el siguiente sistema de ecuaciones:

Solución:

Estudiando el rango de la matriz de los coeficientes:

• Si a ≠ −1 → ran (A) = ran (A') = 3. El sistema es compatible determinado. Para cada valor de a ≠ −1, tenemos un sistema con solución única:

Para cada valor de a ≠ 1, tenemos un sistema diferente. Cada uno de los sistemas tiene solución única:

x = 1, y = 0, z = 2

• Si a = −1

λ−=−

λ+−=

−

λ−−−λ−λ+−

= 282

4162

5112312

221

z

( )

=++=+++

=+

22321

zyazyxaayax

( ) ( ) 10112212012101

−=→=+−=+−−=→

+= aaaaaAaa

A

( ) 111

112212301

=−−−−

=+−

+

=aa

a

aa

x

( ) 01

1201310

=+−

++

=a

aaaa

y

( )( )

( ) 2112

1220

3211

=+−+−

=+−

++

=aa

a

aaaa

z

29

Las dos últimas filas son iguales, luego ran (A') = 2.

Como ran (A) = ran (A') < no incógnitas, en este caso el sistema sería compatible indeterminado. Prescindimos de la 3a ecuación, pues es idéntica a la 2a, pasamos z al 2o miembro y resolvemos el sistema:


Ejercicio nº 27.-

Estudia el siguiente sistema homogéneo según los valores de λ y resuélvelo en los casos en los que resulte ser compatible indeterminado:

Solución:

Por tratarse de un sistema homogéneo, siempre tiene la solución trivial (0, 0, 0).Veamos si tiene, en algún caso, más soluciones:

Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes:

• Si λ ≠ −1 → el sistema solo tiene la solución trivial (0, 0, 0).

• Si λ = −1, quedaría:

1 1 00 2 10 2 1

A−

=

( ) .2 entonces ,011201

Como =≠= Aran

1 1 0 1' 0 2 1 2

0 2 1 2

A− −

=

λ−=λ−

=→λ=

−=−=+−

211

22 Hacemos

221

yzzy

yx

λ−=+λ−=+=2121

2111yx

1 12 ; 1 ; , con 2 2

x y zλ λ λ λ= − = − = ∈ R

=−λ+=+λ+−=+−λ

020202

zyxzyxzyx

( ) 1013363

12

21

2122 −=λ→=+λ−=−λ−λ−=→

−λ

λ−

−λ

= AA

−−−−−−

000

12

1211

211

30

Luego, ran (A) = ran (A') = 2 < no incógnitas.

El sistema sería compatible indeterminado. Para resolverlo, pasamos z al 2o miembro y aplicamos la regla de Cramer:


x = µ; y = µ; z = µ, con µ ∈ Ρ

Ejercicio nº 28.-

Discute y resuelve el siguiente sistema, según los valores del parámetro m:

Solución:


• Si m ≠ 0, m ≠ 1 y m ≠ −1 → El sistema es compatible determinado.

Para cada valor de m, distinto de 0, 1 y −1, tenemos un sistema diferente, todos ellos con solución única:

.031211

además, y,iguales son filas primeras dos Las ≠=−−−

µ=

=−−=−−

=−−=+−−

zzyx

zyxzyxzyx

Hacemos2

20202

µ−

µ−−−12

211

.31211

que Sabemos =−−−

µ=µ

=µ

µ−−

=µ=µ

=−µ−µ−

=3

33

221

;3

33

112

yx

=++=+=++

112

mzmyx myx

zymx

( )

−===

→=−=−=→

=

110

011

0111

23

mmm

mmmmAmm

mm

A

( )( )( ) 1

12112

1

101112

222 −−

=−

−=

−=

mm

mmmm

mm

mmm

x

31

• Si m = 0, queda:

Luego, el sistema es compatible indeterminado.

Las soluciones serían:

• Si m = 1, queda:

• Si m = −1, queda:

Las ecuaciones 1ª y 3ª son contradictorias. El sistema sería incompatible.

Ejercicio nº 29.-

Discute el siguiente sistema homogéneo según los diferentes valores del parámetro λ. Resuélvelo en los casos en los que resulte ser compatible indeterminado:

( )( )( ) 1

21

21

1101112

222 −−

=−

−=

−=

mm

mmmm

mm

m

m

y

( ) 01

111121

2=

−=

mm

mm

m

z

−−

−− 0,

12,

112: 22 m

mmmSolución

112

00101

0110

.010110

y iguales son filas últimas dos Las ≠−=

21 Es decir: 1, 2 , , con

y zx x y zz

λ λ λλ

= − = = = − = ∈=

R

le.incompatib sería sistema El orias.contradict son 3 y 1 ecuaciones Las

111110112111

aa

( )

−−−

−−−⋅→

−−−

− −

111110112111

111110112111

a

a

a

3

2

11FILAS

( )( )

=−+−=+−=+

010202

zyxzyz x

λλ

λ

32

Solución:

Por tratarse de un sistema homogéneo, siempre tiene la solución trivial (0, 0, 0). Veamos si tiene, en algún caso, más soluciones.


• Para λ = 1, queda:

El sistema sería compatible indeterminado.

Para resolverlo, pasamos z al 2o miembro:

Las soluciones serían: x = −2µ; y = µ; z = µ, con µ ∈ Ρ

El sistema sería compatible indeterminado. Para resolverlo, pasamos z al 2o miembro:

=λ

=λ=−λ+λ−=→

−−λ−λ

λ=

34

10473

11112020

2AA

( )4Para 1 y El sistema solo tiene la solución trivial 0, 0, 0 .3

λ λ• ≠ ≠ →

−

−000

11012

1001

( ) ( ) .2' ,0110

01 Como ==≠−=

−AranAran

2 0 2Hacemos

0x z x z

zy z y z

µ+ = = −

= − + = =

4Para , queda:3

λ• =

−

−

0

00

113/112

3/2003/4

( ) ( ) .2' ,098

320

034

Como ==≠−

=− Aran Aran

zzy

zzx

zyzx

zyzx

zy

zx

23

23

23

46

3264

032064

032

0234

=−−

=

−=

−=

−=−−=

=+−=+

=+−

=+

3 3Las soluciones serían: ; ; , con 2 2

x y zµ µ µ µ−= = = ∈ R

33

Ejercicio nº 30.-

Discute el siguiente sistema, y resuélvelo cuando sea posible, en función del parámetro a:

Solución:


Estudiamos el rango de la matriz ampliada:

Por tanto, ran (A') = 2.

Como ran (A) = ran (A') < no incógnitas, el sistema es compatible indeterminado para cualquier valor de a. Podemos prescindir de la 3ª ecuación, pues es combinación lineal de las dos primeras. Lo resolvemos pasando la z al 2º miembro:

Las soluciones del sistema serían:

Ejercicio nº 31.-

Estudia el siguiente sistema, en función de a y b. Resuélvelo en los casos en los que sea compatible indeterminado:

Solución: Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes:

( )

=−+−+=+

=+

azaayxazax

azy

2112

12

( ). de valor cualquier para0

1110110

2 aAaaaa

A =→

−−=

( ) . de valor cualquier para2 entonces ,010110

Como aAran =≠−=

( )0

2111201

10

212

1

1110110

' 2 =−

+→

+

−−=

aaa

aa

aaaa

A

λ=

−+=−=

+=+=+

zzaax

azyazax

azy Hacemos

121

12

122

22 1 ; 1 ; , con .x a a y a zλ λ λ λ= + − = − = ∈ R

=−+=++=+−

bazyxazyxazyx

2321

34

• Si a ≠ 0 → El sistema es compatible determinado, cualquier que sea el valor de b.

• Si a = 0, queda:

Si a = 0 y b ≠ 2 → ran (A) = 2 ≠ ran (A') = 3. El sistema es incompatible.

Si a = 0 y b = 2 → ran (A) = ran (A') = 2 < no incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos:

Ejercicio nº 32.-

Discute, en función de λ y µ, el siguiente sistema de ecuaciones. Resuélvelo en los casos en los que sea compatible determinado:

Solución:


• Si λ ≠ 1 → El sistema es compatible determinado, cualquiera que sea el valor de µ. Lo resolvemos aplicando la regla de Cramer:

003

21

12

11

=→=−=→

−

−

= aaA

a

a

a

A

206321

312111

31

02100

1211

' =→=−=−

→

−= bb

bbA

31

33211

;34

31311

;31211

321

===

−

==−

λ==+=−

yxzyxyx

4 1Las soluciones son : ; ; , con 3 3

x y z λ λ= = = ∈ R

µ=++−=λ−+−

=λ++

zyxzyxzyx

422

2

1033141

2111

=λ→=λ−=→

λ−−

λ= AA

λ−λµ−

=λ−

λµ−=

λ−

µλ−−

λ

=1

233

3633

142212

x

033

1121

21

=λ−

µλ−−−

λ

=y

35

• Si λ = 1, queda:

Si λ = 1 y µ ≠ 2 → ran (A) = 2 ≠ ran (A') = 3. El sistema es incompatible.

Si λ = 1 y µ = 2 → ran (A) = ran (A') = 2 < no incógnitas. El sistema es compatible indeterminado.

Ejercicio nº 33.-

Estudia, en función de a y b, el siguiente sistema de ecuaciones. Resuélvelo en los casos en los que sea compatible indeterminado:

Solución:


• Si a ≠ 1 y a ≠ 4 → El sistema es compatible determinado, cualquiera que sea el valor de b.

• Si a =1, queda:

Si a = 1 y b ≠1 → ran (A) = 2 ≠ ran (A') = 3. El sistema sería incompatible.

Si a = 1 y b =1 → ran (A) = ran (A') = 2 < no incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos:

λ−−µ

=λ−

−µ=

λ−

µ−−

=1

233

6333

41221

211

z

.1

2,0,1

2 es solucion La

λ−−µ

λ−λµ−

206341

221211

22

14111

2111

' =µ→=−µ=µ

−−→

µ−−−=A

=+−−=+−

=−+

bzyxzyaxzayx

2122

2

=

==−+−=→

−

−

−

=4

1045

112

22

112

a

aaaAa

a

A

103312

12

2111

1

2

11221

2111

' =→=+−=

−−−→

−−

−−= bb

bbA

λ=

−−=−+=+

−=+−=−+

zzyx

zyxzyxzyx

Hacemos212

2122

2

36

Las soluciones son: x = 1; y = 1 + λ; z = λ, con λ ∈ Ρ

• Si a = 4, queda:

El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos:

Ejercicio nº 34.-

Estudia el siguiente sistema según los valores de los parámetros que contiene. Resuélvelo en los casos en los que sea compatible determinado:

λ−−−

λ+2121

211

133

3221

12

;321

11=

−−

=−

−λ−−λ+

=−=−

x

λ+=−

λ−−=

−λ−−

λ+

= 1333

3211

21

y

210918

12124

2411

2

11221

2441

' −=→=−−=

−−−→

−

−

−−= bb

bbA

( ) ( )1Si 4 y 2 3. El sistema sería incompatible.2

a b ran A ran A− ′= ≠ → = ≠ =

( ) ( )1Si 4 y 2 2

oa b ran A ran A n incógnitas− ′= = → = = <

λ=

−−=−+=+

−=+−=−+

zzyx

zyxzyxzyx

Hacemos2124

241224

24

λ−−−

λ+2124

241

3186

18221

42

;1824

41 λ−=

−λ

=−

−λ−−λ+

=−=−

x

21

31896

18214

21

+λ

=−

−λ−=

−λ−−

λ+

=y

1Las soluciones son: ; ; , con 3 2 3

x y zλ λ λ λ−= = + = ∈ R

=+λ+

=+−

µ=++−

32

22

zyx

zyx

zyx

37

Solución:


• Si λ ≠ 0 → El sistema es compatible determinado. Para cada valor de λ ≠ 0 y cada valor de µ, tenemos un sistema diferente, cada uno de ellos con solución única. Lo resolvemos:

• Si λ = 0, queda:

Si λ = 0 y µ = 1 → ran (A) = ran (A') = 2 < no incógnitas. El sistema es compatible determinado. Si λ = 0 y µ ≠ 1 → ran (A) = 2 ≠ ran (A') = 3. El sistema es incompatible.

Ejercicio nº 35.-

Discute el siguiente sistema de ecuaciones, según los valores de los parámetros que contiene. Resuélvelo en los casos en los que sea compatible determinado:

Solución:

• Observando la 2ª y la 4ª ecuación, deducimos que, si a ≠ b, el sistema es incompatible.

003

21

112

111

=λ→=λ=→

λ

−

−

= AA

λλµ−µ−λ+

=λ

λ−

µ

=3

2223

2311211

x

λµ−

=λ

µ−=

λ

µ−

=1

333

323112211

y

λλµ+µ+λ+−

=λ

λ−

µ−

=3

2213

31212

11

z

λλµ+µ+λ+−

λµ−

λλµ−µ−λ+

3221,1,

3222 :Solución

101301212

11

32

20111

1211

' =µ→=−µ=−µ−

→

µ

−−

=A

=++=+

==+

bxabyxax

yx

235

32

38

• Si a = b, queda:

El sistema sería compatible determinado. La solución es: x = a, y = 3 − 2a

aaaxayax

axy

ayxax

yx

23533533

2323

335

32

−=−+=−+==

−=−=

+=+==+

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