Separata Matrices

8/15/2019 Separata Matrices

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"Así como el gusano roe el capullo más precoz antes de abrirse, así el amor trastorna la inteligencia joven y apasionada" (William Shakespeare)

Ciclo: 2012-0 Página 1


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MATRICES

MATRIZEs un arreglo u ordenamiento, en forma rectangular, de m × n elementos (números, funciones, etc.)dispuestos en “m” filas (líneas horizontales) y “n” columnas (líneas verticales).Una matriz de m filas y n columnas se dice que es de orden m × n y ésta se encierra entre“corchetes” o “paréntesis”.

EJEMPLO 01:

2 3

3 2 0A

1 4 5×

− = −

4 3

1 2 3

0 1 2B

4 0 2

5 3 1 ×

− − = −

Una matriz de orden 1 × n (de una sola fila) se denomina matriz fila y otra de orden m × 1 (de unasola columna) se denomina matriz columna.

EJEMPLO 02:

( )1 3

C 7 6 3×

= −

4 1

12

D3

4×

=

Matriz Fila Matriz Columna

Una matriz de orden m × n, en general, se representa así:

Notación de LEIBNITZ

Donde ija se denomina elemento de la matriz, siendo el primer subíndice (i) el número de la fila y elsegundo subíndice (j) el número de la columna a las que pertenece dicho elemento.

EJEMPLO 03:

El elemento a24 está ubicado en la fila 2 y columna 4.

El elemento a35 está ubicado en la fila 3 y columna 5.La matriz anterior se puede representar, en forma abreviada, así:

( )ij m nA a ×= Notación de KRONECKERDonde i = 1, 2, 3,..., m y j = 1, 2, 3,..., n

MATRIZ CUADRADA

Es aquella donde el número de filas es igual al número de columnas. Una matriz de “n” filas y “n”columnas se denomina matriz de orden n.

EJEMPLO:

11 12 13

11 12

21 22 23

21 22 2 231 32 33 3 3

a a aa a

A B a a aa a

a a a××

= =

MATRIZ NULAEs aquella donde todos sus elementos son iguales a cero generalmente lo denotaremos por O.


11 12 13 1n

21 22 23 2n

31 32 33 3n

m1 m2 m3 mn m n

a a a a

a a a a

A a a a a

a a a a×

÷ ÷ ÷= ÷ ÷ ÷

L

L

L

M M M O M

L


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EJEMPLO:

2 3

3 4

0 0 0 00 0 0

A B 0 0 0 00 0 0

0 0 0 0×

×

= =

IGUALDAD DE MATRICES

Sean dos matrices A y B del mismo orden, es decir: ( )ij m n A a ×= y ( )ij m nB b ×=Las matrices A y B son iguales si sus elementos correspondientes son respectivamente iguales:

,ij ij

A B a b i j= ⇔ = ∀ EJEMPLO: Hallar los valores de a, b, c y d para que las matrices sean iguales:

2a b 4 19 a 2bA B

13 3c d c 3d 15

+ − + = = + +

Si son iguales se debe cumplir que:2a + b = 19, a + 2b = – 4,

c + 3d = 13, 3c + d = 15De donde:a = 14, b = – 9, c = 4, d = 3

OPERACIONES CON MATRICES

1. Adición De Matrices.- Sean ( )ij m n A a ×= y ( )ij m nB b ×= dos matrices, entonces la adición de las

matrices A y B denotada por (A + B), es otra matriz ( )ij m nC c ×= llamada matriz suma, tal que:,

ij ij ijc a b i j= + ∀

EJEMPLO:

Sean las matrices:

3 2 3 2

3 4 1 2A 2 2 B 1 3

1 5 4 1× ×

− = = − 3 2

3 1 4 2 4 2C A B 2 1 2 3 3 5

1 4 5 1 5 4×

+ − = + = + + = + −

2. Multiplicación De Una Matriz Por Un Escalar.- Sea la matriz ( )ij m n A a ×= y un escalar k (k ≠ 0),entonces:

( )ij m nkA Ak ka ×= = Es decir, el escalar k multiplica a cada uno de los elementos de la matriz A.

EJEMPLO:

Sea

3 2

2 0

A 1 1

3 2 ×

= − −

entonces:

3 2 3 2

6 0 10 0

A.3 3 3 5.A 5 5

9 6 15 10× ×

− = − − = − − −

3. Multiplicación De Matrices.- Sean dos matrices ( )ij m p A a ×= y ( )ij p nB b ×= entonces el producto de

multiplicar las matrices A y B es otra matriz ( )ij m nC AB c ×= = tal que:

1

1,..., 1,..., p

ij ik kj

k

c a b i m j n=

= = =∑Observación:

Para que la multiplicación de matrices esté bien definida el número de columnas de A debe ser igualal número de filas de B.



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EJEMPLO 01: Sean las matrices:

2 2 2 2

3 1 1 2A B

2 2 3 5× ×

= =

2 2

3.1 1.3 3.2 1.5C A.B

2.1 2.3 2.2 2.5×

+ + = = + +

2 2

6 11C

8 14×

=

EJEMPLO 02: Sean las matrices:

2 3

3 2

1 21 2 1

A B 4 03 1 1

1 3××

− − = = −

2 2

8 5C A.B

6 9×

− = =

TRAZA DE UNA MATRIZA la suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada A se le denomina traza y sedenota por:

n

11 22 33 nn ii

i 1traza(A) a a a ... a a

== + + + + = ∑ EJEMPLO:

Sea

3 3

6 1 3

A 2 2 1

4 3 5×

− = − −

Traza(A) = 6 + (– 2) + 5 = 9

PROPIEDADES1. k(A + B) = kA + kB = (A + B)k2. – A = (– 1).A3. A – B = A + (– B)4. (k + q).A = k.A + q.A

5. A(B + C) = AB + AC6. (A + B)C = AC + BC7. ABC = A(BC) = (AB)C

8. AB ≠ BA; si ocurre AB = BA, entonces se dice que las matrices son permutables.9. Traza(A + B) = Traza(A) + Traza(B)10. Traza(AB) = Traza(BA)

PROBLEMAS PROPUESTOS1. Sean:

2 2

x 3A

5 y×

= − − 2 2

6 zB

w 2×

=

Hallar x + y + z + w si A y B son iguales.

2. Halle el valor de . . . x y u v si las matrices A y B son iguales:

2 2

x y u vA

x y u v×

+ + = − − 2 2

5 3B

3 1×

= − 3. Sean:

2 2

1 2A

3 0 ×

− =

2 2

x y xB

z y w 2z ×

− = + −

Encuentra “w”, para que A y B sean iguales:

4. Sean las matrices :

2 2

x 3y xA

1 y×

− =

2 2

2 6 yB

1 6 x×

− = −

2 2

4 8C

2 3 ×

− − =

Si A = B hallar la traza de B + C.



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5. Sean:

3 2

4 5

A 7 6

1 8 ×

− = −

− 3 2

2 1

B 7 0

3 5 ×

− =

−

Hallar B – 5A y luego indicar el mayor de sus elementos.

6. Dado que:

2x 2

1 0A

2 1

=

2x 2

1 1B

2 0

− =

Encuentre A.B y luego indicar el mayor de sus elementos.

7. Si :3 5

M1 2

− = −

2 5

N1 3

=

Hallar: ( . )traza M N

8. Siendo2 2

1 2A

3 1×

=

;

2 2

1 0B

4 1×

=

No es cierto que:

a) A + B = B + A b) A(A +B) = A2

+ AB c) A(A – B) = A2

– ABd) (A + B)(A – B) = A2 – B2 e) (A + B)2 = A2 + B2 + 2AB9. Sean:

3 2

2 1

A 1 2

0 1×

− = −

y2 3

4 8 1B

2 1 3×

= −

Hallar: ( . )traza A B

10. Sean las matrices:

2 2

2 1A

3 1 ×

− =

y

2 2

m 1B

n 5 ×

=

Si A y B son permutables respecto a la multiplicación. Calcular el valor de m + n.

11. Si :

2 2

a bA

c d ×

=

2 2

4 a bB

c d 3 ×

+ = + 2 2

a 6C

1 2d ×

= −

Cumplen la siguiente igualdad: 3A – B = C

Indique el valor de: . . .a b c dMATRICES ESPECIALES:

1. Matriz Identidad: Una matriz cuadrada de orden n cuyos elementos de la diagonal principal son todosuno y los otros cero, recibe el nombre de la matriz identidad o matriz unidad. Se denota como n I

n I =

≠

=

jisi

jisi

,0

,1

=

1000

0100

0010

0001

I

2. Matriz Diagonal: Una matriz cuadrada de la forma D = [ ijd ] Se representa usualmente por

( )11 22 33, , , , nn D diag d d d d= L Ejemplo D=

−

−

100

060

003

( )3, 6, 1 D diag= − −

3. Matriz Escalar: Una matriz cuadradaE= [k ijδ ]=k n I , para cualquier constante k, recibe el nombre de una matriz escalar.



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Así la matriz

=

400

040

004

E en la que E =4I, es una matriz escalar.

4. Matriz Triangular Superior: Es aquella matriz cuadrada A cuyoselementos situados debajo de la diagonal principal son todos ceros. Esto es0=

ija , si i>j

5. Matriz Triangular Inferior: Es aquella matriz cuadrada A cuyos elementossituados por encima de la diagonal principal son todos ceros. Esto es

0=ija , si i


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3 I B− =1 0 0

0 1 0

0 0 1

−

4 1 0

3 2 1

0 5 2

− − −

=

3 1 0

3 1 1

0 5 3

− − − −

( ) ( )3 33 A I I B− − =2 3 6

3 5 12

6 9 2

−

3 1 0

3 1 1

0 5 3

− − − −

=

15 31 21

6 68 41

45 13 15

− − − − − −

EJERCICIOS PROPUESTOS.1) Dadas las matrices:

1 05 3 8 0 7

0 30 5 1 3 2

7 1

A B C

− = = =

Hallar: a) AB b) CA c) 2 A d) BC

2) Hallar ( )f A , si 2( )f x x x= − ,2 1 1

3 1 2

1 1 0

A

= −

3) Dadas las matrices2 0 1 1 0 1

3 0 0 , 1 2 1

5 1 1 1 1 0

A B

= =

; Calcular: A+B, A-B, AB, BA, AA, BB, A3=AAA.

4) Dadas las matrices:1 0 3 1 1 2 1 4

2 1 2 , 2 3 , 3 0 1

2 2 1 0 4 4 1 5

A B C

= − = − − = − −

, Hallar: 3A+2C, AC, CA, AB.

5) Calcular: 2 3 A A I − − siendo:2 3 1 0

,1 1 0 1

A I

= =

6) Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:

2 32 1 1

4 3 23

1 0 1

A B

A B

+ =

− − − − = − −

7) Resolver la siguiente ecuación matricial:1 1 1 3

3 2 1 2

x x

y y

− = −

8) Una matriz cuadrada M es ortogonal si cumple .t M M I = , donde I es la matriz identidad y t M es la

transpuesta de M. Determinar si la matriz

1 1 0

1 1 1

1 0 1

− −

es ortogonal.

9) Hallar las matrices A simétricas de orden 2 tales que2

A A= .10) Dadas las matrices:1 1 0 2 1 1 2 1

2 1 13 0 1 , 0 3 1 , , 0 1

3 1 11 3 2 1 2 0 1 1

A B C D

− − − − = − = − = = − −

Hallar: AB, BA, 3A+2B, CA, CB, CD, 2 A , 2B , 3A+ 2 A , 2B -AB.

11) Sea1 2

4 3 A

= −

calcular 2 A , 3 A Hallar ( )f A donde3 2( ) 2 4 5f x x x x= − + + .

12) Hallar x, y, z y w si:

6 43

1 2 1 2 3

x y x x y

z w w z w w

+ = +

− + − +



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DETERMINANTES

Definición: a toda matriz cuadrada n A le asociamos un número real llamado determinante, n A ,

simbolizado de la forma:

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

...

...

... ... ... ... ...

...

n

n

n

n n n nn

a a a a

a a a a A

a a a a

=

Dicho número es un resultado que se puede obtener de diferentes maneras. Según el orden y tipos dedeterminantes estudiaremos ciertos métodos para hallar el determinante.

Cálculo de un determinante.

a) Regla de Sarrus.

Orden 2 2× : se toma el producto de los dos elementos de la diagonal principal y se substrae delproducto de los dos elementos de la diagonal secundaria.

11 12 11 12

11 22 21 12

21 22 21 22

det( )a a a a

A A a a a aa a a a

= ⇒ = = −

Orden 3 3×Solo para matrices de orden 3x3 se suele usar la Regla de Sarrus, que consiste en un esquema gráficopara los productos positivos y otro para los negativos.

Sea la matriz11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

=

la multiplicación de diagonales es:

O lo que es igual: 11 22 33 12 23 31 13 32 21 13 22 31 12 21 33 11 23 32det( ) ( ) ( ) A a a a a a a a a a a a a a a a a a a= + + − + +

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Definición: Se denomina sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas a un conjunto de ecuaciones dela forma:

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

1 1 2 2 3 3

...

...; : 1,..., 1,... ,

...

n n

n n

ij i

m m m mn n m

a x a x a x a x b

a x a x a x a x bdonde i m j n a b R

a x a x a x a x b

+ + + + = + + + + = = = ∈ + + + + =

M

- ija son los coeficientes del sistema.

- ib son los términos independientes del sistema.

- j x

son las incógnitas del sistema.



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Se denomina solución del sistema a todo vector ),...,( 21 nsss que verifica las siguientes igualdades:

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

1 1 2 2 3 3

...

..........(1)

...

n n

n n

m m m mn n m

a s a s a s a s b

a s a s a s a s b

a s a s a s a s b

+ + + + = + + + + = + + + + =

M

Forma matricial del sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

b x Abieno

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

mmmnmm

n

n

=

=

,

...

...

...

2

1

2

1

21

22221

11211

Donde: A es la matriz de los coeficientes del sistema, x el vector de las incógnitas del sistema y b el

vector de términos independientes del sistema.

Clasificación de los sistemas de ecuaciones en función del conjunto de soluciones:

1) Sistema Incompatible (S.I): cuando no admite solución.2) Sistema Compatible (S.C): cuando admite más de una solución.3) Sistema Compatible y Determinado (S.C.D): esto es, que tenga una única solución.4) Sistema Compatible e Indeterminado (S.C.I): esto es, que tenga infinitas soluciones.

Clasificación de los sistemas de ecuaciones atendiendo a sus términos independientes:

1) Homogéneo: el vector b es nulo.2) No homogéneo: al menos alguna de las componentes de b es distinta de cero.

Se denomina matriz ampliada o completa del sistema, y serepresenta por ( )b A | , a la matriz que se obtiene de añadir a lamatriz A la matriz columna b . Por tanto toma la forma:

Teorema de Rouché Frobenius: Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es:1) Compatible si y sólo si )|()( b A Ran A Ran = . Además:

a) Si ( ) ( | ) Ran A Ran A b n= = = número de incógnitas, entonces el sistema es compatibledeterminado, es decir tiene una única solución.

b) Si ( ) ( | ) Ran A Ran A b n= < entonces el sistema es compatible e indeterminado, es decir, tieneinfinitas soluciones.

2) Incompatible si y sólo si ( ) ( | ) Ran A Ran A b≠ y no tiene solución.

Observación:


( )

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

...

...|

...

n

n

m m mn m

a a a b

a a a b A b

a a a b

=

M M


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Todos los sistemas homogéneos de la forma 0= x A son compatibles, )0|()( A Ran A Ran = , y

siempre admite como solución: 1 2 30, 0, 0,..., 0n x x x x= = = = denominada solución trivial.El sistema homogéneo 0= x A de m ecuaciones lineales con n incógnitas:

- Sólo tiene solución trivial si ( ) Ran A n=- Admite infinitas soluciones si n A Ran


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4 3.

430 157 8

545 210 1

120 80 3

860 110 0

CONSUMOS

A pan carne mant

a

b

c

d

×

=

3 5

90 91 92 93 94

81 87 95 100 105

770 700 750 800 860

840 910 800 1000 1050 .

PRECIOS

B pan

carne

mant

×

=

3) Encuentra la matriz C que verifica: 2 3 0 A B C + − = donde1 4 2 5

,6 2 6 3

A B

= =

4) Resuélvanse, cuando sea posible, los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a)2 3

2 4 5

x y

x y

+ = −− − =

b)2 3

3 6 9

x y

x y

+ = − + = −

c)

2 3 9

4 5 6 24

3 2 4

x y z

x y z

x y z

+ + = + + = + − =

d)

2 11

3 20

4 2 5 8

x y z

x y

x y z

+ − =

− = − + + =

e)

2 6

3 5

4 2 2 1

x y z

x y z

x y z

+ − = − − + = − + − = −

f)

2 3 1

4 2 6 5

2 3 7

x y z

x y z

x y z

− + = − − + = −− + − = −

g)

2

2 3 1

2 4

x y z

x y z

x y z

+ + = + + =

+ + =

h)

8

7 6 7

7 1

x y z

x y z

x y z

+ + = + + = + + =

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE MATRICES.1. Un grupo de inversionistas que planean abrir un centro comercial decidieron

incluir un supermercado, una peluquería, una tienda miscelánea, una farmacia yuna pastelería. Estimaron el costo inicial y la renta garantizada (ambas en dólarespor pie cuadrado) para cada tipo de tienda, respectivamente, como sigue: costoinicial: 18, 10, 8, 10 y 10; renta garantizada: 2.7, 1.5, 1.0, 2.0 y 1.7. Escriba estainformación primero como una matriz de 5 2× y luego como una matriz de 2 5× .

2. Los señores Cruz, Jiménez y Sánchez sufren una enfermedad en las coronarias.Como parte del tratamiento, se les da una dieta baja en colesterol. El señor Cruzlleva la dieta I; Jiménez la dieta II, y Sánchez la dieta III. Se mantuvieronregistros de los niveles de colesterol de cada paciente. Al principio de los meses1, 2, 3 y 4, dichos niveles eran:

- Cruz: 220, 215, 210 y 205.- Jiménez: 220, 210, 200 y 195.

- Sánchez: 215,205, 195 y 190.Represente esta información en una matriz 3 4× .



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3. El inventario de una librería universitaria es: Pasta dura: libros de texto, 5280;ficción, 1680; no ficción 2320; referencia, 1890.Rústica: ficción, 2810; noficción, 1490; referencia, 2070; libros de texto, 1940.El inventario de una librería orientada al mercado preparatoriano es: Pasta dura:libros de texto, 6340; ficción, 2220; no ficción 1790; referencia, 1980. Rústica:ficción, 3100; no ficción, 1720; referencia, 2710; libros de texto, 2050.

a) Represente el inventario de la librería universitaria como una matriz A.b) Represente el inventario de la librería preparatoriana como una matriz B.c) Si las dos deciden unirse, escriba una matriz C que presente el inventario

total de la nueva librería.

4. Un dietista prepara una dieta especificando las cantidades que un paciente debetomar de cuatro grupos básicos de alimentos: grupo I, carnes; grupo II, frutas y

legumbres; grupo III, panes y harinas; grupo IV, productos lácteos. Lascantidades se dan en “intercambios” que representan 1 onza (carne), 1/2 taza(frutas y legumbres), 1 rebanada (pan), 8 onzas (leche), u otras medidasapropiadas.

a) El número de “intercambios” para el desayuno para cada uno de los cuatrogrupos de alimentos, son respectivamente, 2, 1, 2 y 1; para la comida, 3, 2, 2 y1; y para la cena, 4, 3, 2 y 1. Escriba una matriz de 3 4× usando estainformación.

b) Las cantidades de grasa, carbohidratos y proteínas en cada grupo de alimentos,respectivamente, son como sigue.

- Grasas: 5, 0, 0, 10- Carbohidratos: 0, 10, 15, 12- Proteínas: 7, 1, 2, 8

Use esta información para escribir una matriz de 4 X 3.

c) Hay 8 calorías por unidad de grasas, 4 calorías por unidad de carbohidratos y 5calorías por unidad de proteínas; resuma estos datos en una matriz de 3 1× .

5. Al principio de un experimento en laboratorio, cinco ratas jóvenes midieron 5.6,6.4, 6.9, 7.6 y 6.1 centímetros de longitud y pesaron 144, 138, 149, 152 y 146

gramos, respectivamente.a) Escriba una matriz de 2 5× usando esta información.b) Al final de dos semanas, sus longitudes eran de 10.2, 11.4, 11.4, 12.7 y 10.8

centímetros y pesaron 196, 196, 225, 250 y 230 gramos. Escriba una matriz de2 5× con esta información.

c) Use resta de matrices con las matrices encontradas en (a) y (b) para escribiruna matriz que dé la cantidad de cambio en longitud y peso para cada rata.

d) La siguiente semana las ratas crecieron 1.8, 1.5, 2.3, 1.8 y 2.0 centímetros,respectivamente, y ganaron 25, 22, 29, 33 y 20 gramos, respectivamente.Establezca una matriz con esos incrementos y use la adición matricial paraencontrar sus longitudes y pesos al final de esa semana.



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6. La matriz A representa los números de tres tipos de cuentas bancarias el primerode enero en el Banco Central y sus sucursales.

Cuentas de

cheques

Cuentas de ahorro Cuentas de depósitos a plazo

Oficina matriz 2820 1470 1120

Sucursal del Oeste 1030 520 480

Sucursal del Norte 1170 540 460

2820 1470 1120

1030 520 480

1170 540 460

A

=

La matriz B representa los números y tipos de cuentas abiertas durante elprimer trimestre y la matriz C se refiere a los números y tipos de cuentas

cerradas durante el mismo periodo,

=

5070120

5060140

110120260

B

=

402060

403070

8080120

C

a) Encuentre la matriz D, la cual representa el número de cada tipo de cuentaal final del primer trimestre en cada lugar.

b) Debido a la apertura de una fábrica cercana, se prevé un incremento de 10%en la cantidad de cuentas en cada lugar durante el segundo trimestre.Escriba una matriz E que refleje este incremento previsto.

7. Calcule la matriz: 3B – 1/5 ( A – C), si:

1 3

5 2 A

= − ,

7 3

0 1B

−

= − ,6 1

2 5C

= −

8. Calcule las matriz:1/2A+1/3B - (A – C) si:4 6

2 0 A

− =

,

6 3

9 12B

− = −

,

3 1

7 15C

− − =

9. Un fabricante de camisetas tiene la siguiente producción (en cientos de

piezas) en sus fabrica de: TRUJILLO:

0810

461022

7860 34

, CAJAMARCA :

302040

010 30

50010

a) Determine la matriz de la producción total en las dos plantasb) Si la producción de Trujillo se incrementa un 50% y un 25% en

Cajamarca, calcule la nueva matriz que represente el total de ambasplantas.

10. Hay tres tiendas de abarrotes en Cajamarca. Esta semana, la tienda I vendió 88paquetes de pan, 48 cuartos de leche, 16 tarros de crema de maní y 112 libras decarnes frías. La tienda II vendió 105 paquetes de pan, 72 cuartos de leche, 21



14/16

tarros de crema de maní y 147 libras de carnes frías. La tienda III vendió 60paquetes de pan, 40 cuartos de leche, nada de crema de maní y 50 libras de carnesfrías.

a) Use una matriz de 3 4× para expresar la información sobre las ventas de lastres tiendas.

b) Durante la siguiente semana, las ventas de esos productos en la tienda 1 seincrementaron 25%; las ventas en la tienda II se incrementaron en 1/3 y lasventas en la tienda III se incrementaron 10%. Escriba la matriz de ventaspara esa semana.

c) Escriba una matriz que represente las ventas totales en el periodo de las dossemanas.

11. Una compañía de juguetes tiene plantas en Boston, Chicago y Seattle que fabrican

cohetes y robots de juguete. La siguiente tabla da los costos de producción (endólares) para cada artículo en la planta de Boston:

Cohetes Robots

Material 4.27 6.94

Mano de obra 3.45 3.65

a) En Chicago, un cohete cuesta $4.05 por materiales $3.27 por mano de obra; unrobot cuesta $7.1 por materiales y $3.51 por mano de obra. En Seattle, los costosmateriales son de $4.40 para los cohetes y de $6.90 los robots; los costos demano de obra son de $3.54 para los cohetes y de $3.76 para los robots. Escribalas matrices de costos de producción para Chicago y Seattle.

b) Suponga que cada planta hace el mismo número de cada artículo. Escriba unamatriz que exprese los costos promedio de producción para las tres plantas.

c)Suponga que los costos de mano de obra se incrementan en $0.11 por artículo enChicago y los costos por material se incrementan ahí en $0.37 para un cohete y$ 0.42 para un robot. ¿Cuál es la nueva matriz de costos producción paraChicago?

d) Después de los incrementos en costo en Chicago, la planta de Boston cierra y laproducción se divide en partes iguales entre las otras dos plantas. ¿Cuál esla matriz que ahora expresa los costos promedio de producción para todo elpaís?

12. La siguiente tabla da los logros educativos de la población de 25 años de edad ymayores en Estados Unidos.


Año

Hombres % Mujeres %

4 años debachillerato o

más

4 años deuniversida

d o más

4 años debachillerato

o más

4 años deuniversidad o más

1940 22.7% 5.5% 26.3% 3.8%

1950 32.6 7.3 36.0 5.2

1959 42.2 10.3 45.2 6.0

1970 55.0 14.1 55.4 8.2

1980 69.1 20.8 68.1 13.5

1987 76.0 23.6 75.3 16.5

1991 78.5 24.3 78.3 18.8


15/16

a) Escriba una matriz para los logros educativos de los hombres.b) Escriba una matriz para los logros educativos de las mujeres.c) Use las matrices de las partes (a) y (b) para escribir una matriz que muestre

cuánta más (o menos) educación han logrado los hombres que las mujeres.

13. Una empresa usa cuatro diferentes materias primas 1 2 3 4, , , M M M M en la

elaboración de su producto. El número de unidades de 1 2 3 4, , , M M M M usadas

por unidad del producto son: 4, 3, 2, y 5, respectivamente. El costo por unidad delas cuatro materias es de 5, 7, 6 y 3 dólares, respectivamente. Exprese el costototal de las materias primas por unidad del producto como el producto de dos

matrices.14. Guillermo y Miguel tienen acciones de la bolsa, dadas por la matriz

Miguel

Guillermo

0400200100

200100300200

= A

TRW IBM GM BAC

al cierre de operaciones en cierto día,

los precios de las acciones están dados por la matriz

TRW

IBM

GM

BAC

B

=

82

98

48

54

. Calcule AB,

y explique el significado de las entradas de la matriz AB.

15. Cinema Center tiene cuatro salas, de la I a la IV. El precio decada función es de $2 por niño, $3 por estudiante y $4 por adulto.La asistencia a la matinée del domingo está dada por la matriz.Niño Estudiante AdultoEscriba un vector columna B que represente el precio de laentrada. Luego, calcule AB, el vector columna que representa el ingreso bruto decada sala. Por último, encuentre el ingreso total por concepto de entradas en dichamatinée.

16. B y B, S.A. de C.V., empresa de bienes raíces construye casas en tres estados. Elnúmero proyectado de unidades habitacionales de cada modelo por construir encada estado está dado por la matriz

Modelo I II III IV60 80 120 40 . .

20 30 60 10 .

10 15 30 5 .

N Y

A Conn

Mass

=

Las ganancias proyectadas son $20 000, $22 000, $25000 $30000,respectivamente, para cada modelo de casa I al IV.a. Escriba una matriz columna B que represente la ganancia para cada tipo decasa.

b. Encuentre la utilidad total esperada por B y B, SA en cada estado, si se vendentodas las casas.


225 110 50

75 180 225

280 85 110

0 250 225

Sala I

Sala II A

Sala III

Sala IV

=


16/16

17. Tres asesores en redes, Alan, María Esteban, recibieron un bono a fin de año, de$10 000 cada uno, y decidieron invertir en un plan de retiro 401K auspiciado porsu empresa. Bajo este plan, cada empleado puede colocar sus inversiones en tres

fondos, un fondo accionario I, un fondo de desarrollo II, y un fondo global III.Las distribuciones de las inversiones de los tres empleados al principio del año seresumen en la matriz A y los réditos de los tres fondos después de un año estándados por la matriz B:

4000 3000 3000

2000 5000 3000

2000 3000 5000

I II III

Alan

A María

Esteban

=

0.18

0.24

0.12

I

B II

III

=

¿Cuál empleado obtuvo los mejores réditos en su inversión para el año encuestión? ¿Quién obtuvo los peores réditos?

18. Un comité de admisión de una universidad anticipa la inscripción de 8000estudiantes de primer ingreso para el próximo año. Para satisfacer las cuotas deingreso, se ha clasificado a los futuros estudiantes según sexo y lugar deresidencia. El número de estudiantes en cada categoría está dado por la matriz A.

Hombre Mujer

2700 3000

800 700

500 300

Local

A Foráneo

Extranjero

=

LyC Artes Admón Ing.

0.25 0.20 0.30 0.25

0.30 0.35 0.25 0.10

HombresB

Mujer

=

Al utilizar los datos acumulados de años anteriores, el comité de admisiónconsidera que estos estudiantes optarán por asistir a la Facultad de Letras y

Ciencias, a la Facultad de Artes, la Escuela de Administración y la Escuela deIngeniería según los porcentajes que aparecen en la matriz B.Encuentre la matriz AB que muestra el número de estudiantes locales, foráneos y

extranjeros que se espera que se inscriban en cada facultad o escuela.


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