UNIVERSIDAD NACIONAL SAN CRISTÓBAL DE

HUAMANGA

FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS GEOLOGÍA Y

CIVIL

ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE

SISTEMAS

“APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN”

ALUMNO : REYMUNDEZ FLORES, Joel

CURSO : CALCULO III

SIGLA : IS_445

DOCENTE :

AYACUCHO - PERÚ

2015

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

TEMPERATURA

Se trata de medir la temperatura que tiene en cada instante un objeto que se enfría. Sean

T(t) = ‘temperatura del objeto en el instante t’;Ta = ‘temperatura ambiente’:

El enfriamiento de un cuerpo está regido por la siguiente ley:«Ley de Newton. La rapidez con que se enfría un objeto es proporcional a la diferencia entre sutemperatura y la temperatura ambiente.»

Formulando la ley anterior para T(t) encontramos que esta función satisface la ecuación diferencial ordinarialineal

esto es:

donde K es una constante que depende del objeto considerado y de las condiciones externas. La anterior ecuación admite por factor integrante:

Multiplicando ambos miembros de la ecuación por el factor integrante obtenemos:

es decir,

Integrando ahora ambos miembros de la ecuación respecto de la variable independiente:

Por tanto, la solución general de la ecuación es:

Las constantes C y K se determinan en función de los datos del problema particular considerado.

Ejemplo: Un termómetro se saca de una habitación, donde la temperatura es de 70 °F, al exterior, donde la temperatura es de 10 °F. Después de medio minuto, el termómetro marca 50°F. ¿Cuánto marcará al cabo de 1 minuto? ¿Cuánto tardará en alcanzar los 15 °F?

SOLUCIÓN. Sea

T(t) = ‘temperatura del objeto en el instante t’.Sabemos que la temperatura ambiente es Ta = 10 °F. Además, la temperatura inicial del termómetro es de

T(0) = 70 °F, mientras que al cabo de medio minuto es de T(0:5) = 50 °F.De acuerdo con la discusión precedente, la temperatura del termómetro en cualquier instante t viene dadapor:

Ahora bien, 70 = T(0) = 10+C, luego

De otra parte

esto es:

Por tanto,

Así pues, la temperatura del termómetro en cualquier instante t viene dada por:

Al cabo de 1 minuto, el termómetro marcará

Para determinar el tiempo en que alcanzará los 15 _F hemos de resolver la ecuación T(t) = 15, es decir:

Luego

y, por tanto,

de donde

Finalmente,

REACCIONES QUIMICAS

Dos sustancias A y B reaccionan formando una sustancia C. Interesa conocer la cantidad de sustancia C formada en el instante t.Para resolver el problema anterior nos apoyamos en la siguiente ley de la química:«La rapidez de una reacción química en la que se forma un compuesto C a partir de dos sustanciasA y B es proporcional al producto de las cantidades de A y de B que no han reaccionado.»Denotamos por:y(t) = ‘cantidad de C en el instante t’;α = ‘cantidad inicial de A’; a(t) = ‘cantidad de A usada en el instante t’;β= ‘cantidad inicial de B’; b(t) = ‘cantidad de B usada en el instante t’:

Formulando la ley anterior para y(t) encontramos que esta función verifica la ecuación diferencial ordinaria devariables separadas

con condición inicial y(0) = 0 (pues en el instante t = 0 no se ha formado aún sustancia C).

Ejemplo: Dos sustancias químicas A y B se combinan para formar una sustancia C. Inicialmente hay 40 gramos de A y 50 gramos de B, y por cada gramo de B se usan 2 gramos de A. Se observa que se forman 10 gramos de C en 5 minutos. ¿Cuánto se formará en 20 minutos? ¿Cuánto quedará de A y B sin reaccionar después de un tiempo largo?SOLUCIÓN. Sean:y(t) = ‘cantidad de C en el instante t’;α = 40; a(t) = ‘cantidad de A usada en el instante t’;β = 50; b(t) = ‘cantidad de B usada en el instante t’:La Ley de Conservación de la Masa de Lavoisier garantiza que la cantidad de sustancia C creada en el instante t coincide con la suma de las cantidades usadas de A y B. De otra parte, sabemos que por cada gramo de B se usan 2 gramos de A, esto es, la cantidad de sustancia A usada en el instante t es el doble de la de B. Luego:

Conforme a la discusión precedente, la cantidad de sustancia C creada en el instante t verifica la ecuación diferencial ordinaria de variables separadas

3o bien

Luego,

Integrando la expresión anterior,

Calculamos la integral del primer miembro por descomposición en fracciones simples:

Igualando coeficientes obtenemos:

Por tanto:

Luego,

Las constantes C y K se determinan por las condiciones del problema:

Así pues:

Consecuentemente, la cantidad de sustancia C formada en el instante t viene dada por:

La cantidad de C que se formará transcurridos 20 minutos será:

Para determinar la cantidad de las sustancias A y B que queda sin reaccionar transcurrido un tiempo largo, calculamos en primer lugar cuánta cantidad de C se ha formado transcurrido dicho tiempo.

Por último, como

concluir que transcurrido un tiempo largo quedan sin reaccionar:

PROCESOS DE CRECIMIENTO

Primero estudiaremos el modelo

con a constante. La cantidad x puede ser:

El tamaño de una población que varía según una ley de Malthus

La cantidad de una sustancia radioactiva, como uranio, que se desintegra espontáneamente según la ley

La cantidad de dinero en una cuenta sobre la cual se paga inter´es compuesto continuo

a una tasa anual de interés a (En este caso el tiempo t se mide en años).

EJEMPLO: El crecimiento de una ciudad es proporcional al número de habitantes que hay en un instante cualquiera. Si la población inicial es 400 000; y al cabo de 3 años es de 450 000. ¿Cuánto tardará en duplicarse? ¿Qué población habrá en 10 años?

SOLUCION

dPdt

=kP=¿ P ( t )=Po ekt

Po=400 000habitantes

t=3años=¿ P=450 000habitantes

a¿ t=?=¿P=800 000habitantes

b¿P=?=¿ t=10años

Calcular k:

450 000=400 000e3k

450 000400 000

=e3k=¿ 98

=e3k

ln ( 98 )=ln e3k=¿ ln (1.125 )=3k

k=ln (1.125 )

3=¿k=0.03926

P (t )=400000e0.03926 t

a¿800 000=4000e0.03926 t=¿2=0.03926 t

t= ln20.03926

=¿ t=17.655años

b¿ t=10años P=?

P ( t )=400 000e0.03926 t=¿ P=400 000e0.03926 (10 )

P=400000e0.3926=¿P=400000 (1.4808 )

P=592330habitantes

FAMILIA DE CURVAS Y TRAYECTORIAS ORTOGONALES

Hemos visto que normalmente la solución general de una ecuación diferencial de primer orden es una familia de funciones que contiene una constante arbitraria, llamada parámetro. Si la ecuación diferencial verifica nuestro teorema de existencia y unicidad, por cada punto del dominio de definición A de la ecuación diferencial pasa una única curva solución (máxima). Por lo tanto, las curvas de nuestra familia cubren nuestro dominio A y son disjuntas entre sí. Llamaremos en general, familia a 1-parametro de curvas sobre un conjunto A del plano, a cualquier familia, que dependa de su parámetro, de curvas que son disjuntas entre si y que cubren A.

Si la familia a 1-parametro de curvas viene dada implícitamente por la ecuación

En la mayoria de los casos podemos encontrar una ecuacion diferencial cuya solucion general este dada por (3.1). Para lograr esto, primero derivamos implicitamente 3.1 respecto de x, obteniendo una relación del tipo

Luego, eliminamos el parámetro c (si es posible) usando las ecuaciones 3.1 y 3.2 llegando a una ecuación diferencial de primer orden:

Ejemplo: Considere la familia de círculos tangentes al eje OY en el origen

Y encontremos la ecuación diferencial asociada.

Derivando con respecto a x obtenemos

Pero

Y reemplazando en la ecuación diferencial tenemos

o bien

Como aplicación consideremos el problema de hallar trayectorias ortogonales. Diremos que una familia de curvas, si toda curva de una de las familias es ortogonal (es decir, perpendicular) a todas las de la otra familia. Por ejemplo, la familia de trayectorias ortogonales de la familia de círculos centrados en el origen x2+ y2=c2, c ϵ lR, es la familias de rectas por el origen y=cx , c ϵ lR.

Las correspondientes ecuaciones diferenciales son

Respectivamente, y la ortogonalidad de sus curvas solución se refleja en que

De hecho, la familia de trayectorias ortogonales de una familia de curvas que es la solución general de la ecuación y '=f (x , y ), está dada por la solución general de la ecuación