1.8 DINÁMICA DEL DESARROLLO DE TUMORES,PROBLEMAS DE MEZCLADO Y TRAYECTORIAS

ORTOGONALESEn esta sección se presentan tres aplicaciones sencillas, pero extremadamente útiles, de las ecuaciones de primer orden. La primera aplicación trata del crecimiento de tumores sólidos; la segunda trata del problema de mezclado o análisis compartimental, y la tercera aplicación indica cómo encontrar una familia de curvas que es ortogonal a una familia dada de curvas.

a) Dinámica del Desarrollo de Tumores

Se ha observado experimentalmente que ciertas células "libres" como las bacterias, se desarrollan o crecen a una tasa proporcional al volumen de las células en proceso de división en ese momento. Denótese por V ( t ) el volumen de las células en el tiempo t . Entonces se tiene

dV

para alguna constante positiva X. La solución de (1) es

V(í)=V0ex( '-'o) (2)

donde V0 es el volumen de las células en división en el tiempo inicial /0- Así pues, las células libres crecen exponencialmente en el tiempo. Una consecuencia importante de (2) es que el volumen celular se duplica continuamente (Ejercicio 1) cada intervalo de tiempo de magnitud In2/X.

Por otro lado, los tumores endurecidos no crecen exponencialmente en el tiempo. Al crecer un tumor de este tipo, continuamente se incrementa el tiempo de duplicación del volumen total. Varios investigadores han señalado que los datos para muchos tumores se ajustan bastante bien, durante un desarrollo a casi 1 000 veces el volumen inicial, a la ecuación

K(0=Koexp(£(l-exp(-a/))) (3)

donde exp (*) = ex; \ y a son constantes positivas.La ecuación (3) se designa usualmente como una relación gompertziana. Expresa que el tumor crece cada

vez más y más lento y que su volumen tiende al valor V 0 e x / a . Durante mucho tiempo, investigadores médicos han tratado de explicar esta desviación del simple crecimiento exponencial. La manera de obtener una mejor perspectiva del problema es encontrar una ecuación diferencial que tenga a V ( t ) como solución. Derivando (3) se obtiene

= l/0Xexp(-a/) exp(^-(l -exp( - «(/)))) = \e~ a t V. (4)

Dos teorías antagónicas han sido propuestas para explicar la dinámica del crecimiento tumoral y corresponden a cada uno de los siguientes arreglos de la ecuación diferencial (4)

(4a)

= \ ( e ~ ° " V ) . (4b)

De acuerdo con la primera teoría, el efecto de retardo en el crecimiento del tumor se debe al aumento del tiempo medio de generación de las células que se reproducen, sin un cambio en la proporción de reproducción de las células. Con el correr del tiempo las células reproductivas maduran o envejecen, por lo que se dividen más lentamente. Esta teoría corresponde a la ecuación (4a).

La ecuación (4b) sugiere que el tiempo medio de generación de las células en proceso de división es constante, y que el retraso en el crecimiento se debe a la pérdida de células reproductoras en el tumor. Una posible explicación de esto es que se desarrolla una región necrótica en el centro del tumor. Esta necrosis aparece para un tamaño crítico en un tipo particular de tumor, y después el núcleo necrótico aumenta

rápidamente a medida que crece la masa total del tumor. Según esta teoría, el núcleo necrótico se desarrolla debido ajjue en muchos tumores el suministro de sangre, y por tanto de oxígeno y nutrientes, se restringe casi por completo a la superficie tumoral y a regiones cercanas a ella. Conforme el tumor aumenta, el suministro de oxígeno por difusión hacia el núcleo se dificulta más, lo que trae consigo la formación de un núcleo necrótico.