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MATEMATICAS VTEMA:

ECUACIONES DIFERENCIALES Y APLICACIN DE LAS MATEMATICAS A LA INGENIERIA INDUSTRIALPRESENTA:

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INTRODUCCINUna ecuacin diferencial es una ecuacin en la que intervienen derivadas de una o ms funciones. Dependiendo del nmero de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en: Ecuaciones diferenciales ordinarias: aqullas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. Ecuaciones en derivadas parciales: aqullas que contienen derivadas respecto a dos o ms variables. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:

es una ecuacin diferencial ordinaria, donde variable dependiente, respecto a . la variable independiente,

es la es la derivada de con

La expresin

es una ecuacin en derivadas parciales.

A la variable dependiente tambin se le llama funcin incgnita (desconocida). La resolucin de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemtico que consiste en buscar una funcin que cumpla una determinada ecuacin diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un mtodo especfico para la ecuacin diferencial en cuestin o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace). Orden de la ecuacin El orden de la derivada ms alta en una ecuacin diferencial se denomina orden de la ecuacin. Grado de la ecuacin Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuacin, siempre y cuando la ecuacin este en forma polinomica de no ser as se considera que no tiene grado. Ecuacin diferencial lineal Se dice que una ecuacin es lineal si tiene la forma , es decir: 1

Ni la funcin ni sus derivadas estn elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.

En cada coeficiente que aparece multiplicndolas slo interviene la variable independiente. Una combinacin lineal de sus soluciones es tambin solucin de la ecuacin.

Ejemplos:

es una ecuacin diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones , con k un nmero real cualquiera. es una ecuacin diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales. es una ecuacin diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene

Ejemplos. Definicin y tiposUna ecuacin diferencial ordinaria es una funcin implcita (y = y(x)). F(x; y; y0; y00 : : : ; y;n) = 0 Ejemplo y0 = y2 + x Es una edo. Sin embargo uxx + uyy = 2u u2 Es una ecuacin diferencial en derivadas parciales, un tipo de ecuaciones que no se tratara en este curso. Hay un abismo de dificultad entre las edps y las edos, de modo que a veces se siguen estrategias como esta uxx uyy = 0 u(x; y) = A(x)B(y) Se tiene dos edos en x y otras dos en y, conduciendo la solucin de una edp a la de varias edos (mtodo de separacion de variables). Las ecuaciones diferenciales son extraordinariamente importantes para la fisica. Orden de una ed es el grado ms alto de las derivadas presentes. Solucin es una funcin tal que al sustituirla en la ecuacin la convierte en una identidad. 1 Ecuaciones diferenciales de orden 1 Notacin y00 + yy0 = 2x; y = y (x) y00 + yy0 = 2t ; y = y (t) x + xx = 2t ; x = x (t)

La ultima notacin es la ms habitual en mecnica, donde la funcin x (t) suele ser una Trayectoria. Objetivo hallar todas las soluciones o una en particular (cuando se da el valor inicial: problema de valores inciales)

Usos: Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniera para el modelado de fenmenos fsicos. Su uso es comn tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (fsica, qumica, biologa) o matemticas, como en economa. En dinmica estructural, la ecuacin diferencial que define el movimiento de una estructura es:

Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuacin de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.

La vibracin de una cuerda est descrita por la siguiente ecuacin diferencial en derivadas parciales de segundo orden:

Donde es el tiempo y es la coordenada del punto sobre la cuerda. A esta ecuacin se le llama ecuacin de onda. Solucin de una ecuacin diferencial Tipos de soluciones Una solucin de una ecuacin diferencial es una funcin que al reemplazar a la funcin incgnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuacin, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones: 1. Solucin general: una solucin de tipo genrico, expresada con una o ms constantes. La solucin general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de

acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuacin sea lineal, la solucin general se logra como combinacin lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuacin) de la ecuacin homognea (que resulta de hacer el trmino no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) ms una solucin particular de la ecuacin completa. 2. Solucin particular: Si fijando cualquier punto P(X0,Y0) por donde debe pasar necesariamente la solucin de la ecuacin diferencial, existe un nico valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuacin, ste recibir el nombre de solucin particular de la ecuacin en el punto P(X0,Y0), que recibe el nombre de condicin inicial. Es un caso particular de la solucin general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor especfico. 3. Solucin singular: una funcin que verifica la ecuacin, pero que no se obtiene particularizando la solucin general. Resolucin de algunas ecuaciones Ecuacin diferencial de primer orden Ecuacin diferencial lineal Ecuacin diferencial exacta Ecuacin de Jacobi Ecuacin de Clairaut

Y tambin se llaman ecuaciones de estado diferencial que como las ecuaciones lineales de dos variables, stas son tangentes.

MATEMATICAS APLICADAS A LA INGENIERA INDUSTRIAL

Cules son las ciencias bsicas para la ingeniera industrial? Las ciencias fundamentales que se ocupan de la metodologa son ciencias matemticas, a saber matemticas, estadstica, e informtica. La caracterizacin del sistema emplea as modelos y mtodos matemticos, estadsticos, y de computacin, y da un aumento directo a las herramientas de la ingeniera industrial tales como optimizacin, procesos estocsticos, y simulacin. Los cursos de la especialidad de la ingeniera industrial por lo tanto utilizan estas " ciencias bsicas " y las herramientas del IE para entender los elementos tradicionales de la produccin como anlisis econmico, plantacin de la produccin, diseos de recursos, manejo de materiales, procesos y sistemas de fabricacin, Anlisis de puestos de trabajo, y as sucesivamente. Utilizan las mismas matemticas todos los ingenieros? Todos los ingenieros, incluyendo Ingenieros Industriales, toman matemticas con clculo y ecuaciones diferenciales. La ingeniera industrial es diferente ya que est basada en matemticas de" variable discreta", mientras que el resto de la ingeniera se basa en matemticas de " variable continua". As los Ingenieros Industriales acentan el uso del lgebra lineal y de las ecuaciones diferenciales, en comparacin con el uso de las ecuaciones diferenciales que son de uso frecuente en otras ingenieras. Este nfasis llega a ser evidente en la optimizacin de los sistemas de produccin en los que estamos estructurando las rdenes, la programacin de tratamientos por lotes,

determinando el nmero de unidades de material manejables, adaptando las disposiciones de la fbrica, encontrando secuencias de movimientos, etc. Los ingenieros industriales se ocupan casi exclusivamente de los sistemas de componentes discretos. As que los Ingenieros industriales tienen una diversa cultura matemtica.

DERRAME DE FLUIDOS Si tuvisemos un depsito conteniendo a un lquido que escapa por un orificio del depsito (no existe flujo de entrada); entonces: Puesto que la altura de carga vara con el tiempo, sabemos que , es decir el flujo no es estacionario. Esto significa que la ecuacin de energa debe corregirse introduciendo un trmino de aceleracin, que complica mucho la solucin. En tanto la altura de la carga no vare demasiado rpido no se producir un apreciable error el suponer el flujo estacionario y, por consiguiente, despreciar el termino de carga de aceleracin. Sean V(t) y h(t) el volumen de agua en el deposito y la altura del liquido por encima del orificio, en un instante t despus de empezado el proceso: Por Torricelli sabemos que:

Pero la diferencial del volumen tambin se puede expresar de la siguiente manera: dV = A(h)*d(h) Entonces quedara:

Tendramos una relacin entre la altura y el tiempo.

Ecuaciones diferenciales parcialesEn matemticas una ecuacin en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es una relacin entre una funcinu de varias variables independientesx,y,z,t,... y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulacin matemtica de procesos de la fsica y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas tpicos son la propagacin del sonido o del calor, la electrosttica, la electrodinmica, la dinmica de fluidos, la elasticidad, la mecnica cuntica y muchos otros.

Notacin y ejemplos En las ecuaciones en derivadas parciales es muy comn denotar las derivadas parciales empleando sub-ndices (Notacin tensorial). Esto es:

Especialmente en la fsica matemtica, se suele preferir el operador nabla (que en coordenadas cartesianas se escribe como para las derivadas espaciales y un punto ( ) para las derivadas que involucran el tiempo, por ejemplo para escribir la Ecuacin de onda (vase ms abajo) como (notacin matemtica) (notacin fsica) Solucin general y solucin completa Toda ecuacin en derivadas parciales de primer orden posee una solucin dependiente de una funcin arbitraria, que se denomina usualmente solucin general de la EDP. En muchas aplicaciones fsicas esta solucin general es menos importante que las llamadas soluciones completas. Una solucin completa es una solucin particular de la EDP que contiene tantas constantes arbitrarias independientes como variables independientes intervienen en la ecuacin. Por ejemplo la integracin de las ecuaciones del movimiento de un sistema mecnico mediante el mtodo basado en el ecuacin de Hamilton-Jacobi requiere una integral completa, mientras que la solucin general resulta menos interesante desde el punto de vista fsico. Existencia y unicidad Aunque el asunto de la existencia y unicidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias tiene una respuesta muy satisfactoria resumida en el teorema de Picard-Lindelf, el mismo asunto para las ecuaciones en derivadas parciales est lejos de estar satisfactoriamente resuelto. Aunque existe un teorema general, el teorema de Cauchy-Kovalevskaya, que afirma que para una EDP que es analtica en la funcin incgnita y sus derivadas tiene una nica solucin analtica. Aunque este resultado que parece establecer la existencia y unicidad de la soluciones, existen ejemplos de EDP de primer orden cuyos coeficientes tienen derivadas de cualquier orden (aunque sin ser analticas) pero que no tienen solucin.1 Incluso si la solucin de una EDP existe y es nica, sta puede tener propiedades indeseables. Un ejemplo de comportamiento patolgico es la secuencia de problemas de Cauchy dependientes del parmetro n para la ecuacin de Laplace:

concondiciones inciales

Donde n es un entero. La derivada de u con respecto ay se aproxima a 0 uniformemente en x a medida que n se incrementa, pero la solucin es:

Esta solucin se aproxima a infinito si nx no es un entero mltiplo de para cualquier valor de y. El problema de Cauchy para la ecuacin de Laplace se denomina mal propuesto o no bien definido, puesto que la solucin no depende continuamente de los datos del problema. Estos problemas mal definidos no son usualmente satisfactorios para las aplicaciones fsicas.

Clasificacin de las EDP de segundo orden Las EDP de segundo orden se clasifican habitualmente dentro de cuatro tipos de EDP que son de inters fundamental, a continuacin se dan ejemplos de estos cuatro tipos:

Ecuacin

Nombre

Tipo

Laplace

Elptica

Onda

Hiperblica

Difusin

Parablicas

Helmholtz Elptica

Con mayor generalidad, si se tiene una ecuacin de segundo orden del tipo:

se dice que es elptica si la matriz mayor a 0. se dice que es parablica si la matriz igual a 0. se dice que es hiperblica si la matriz menor a 0.

tiene un determinante

tiene un determinante

tiene un determinante

EDP de orden superior Si bien las EDP de segundo orden rigen una inmensa cantidad de fenmenos fsicos, otra cantidad no tan grande es regida por EDP de rdenes superiores, como ejemplos podemos citar:

Flexin mecnica de una placa elstica:

Vibracin flexional de una viga:

Ecuacin de Korteweg-de Vries, que tiene soluciones de tipo solitn,

En matemticas una ecuacin en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es una relacin entre una funcin u de varias variables independientes x,y,z,t,... y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulacin matemtica de procesos de la fsica y otras

ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas tpicos son la propagacin del sonido o del calor, la electrosttica, la electrodinmica, la dinmica de fluidos, la elasticidad, la mecnica cuntica y muchos otros.

Una ecuacin en derivadas parciales muy simple puede ser:

donde u es una funcin de x e y. Esta relacin implica que los valores de u(x, y) son completamente independientes de x. Por lo tanto la solucin general de esta ecuacin diferencial es:

donde f es una funcin arbitraria de y. La ecuacin diferencial ordinaria (Similar a la EDP, pero con funciones de una variable) anloga es

que tiene la siguiente solucin

Donde c es cualquier valor constante (independiente de x). Estos dos ejemplos ilustran que las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales ordinarias se mantienen con constantes, pero las soluciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales generan funciones arbitrarias. Una solucin de una ecuacin en derivadas parciales generalmente no es nica; de esta forma se tienen que proporcionar condiciones adicionales de contorno capaces de definir la solucin de forma nica. Por ejemplo, en el caso sencillo anterior, la funcin f(y) puede determinarse si u se especifica sobre la lnea x = 0.

Notacin y ejemplos En las ecuaciones en derivadas parciales es muy comn denotar las derivadas parciales empleando sub-ndices (Notacin tensorial). Esto es:

Especialmente en la fsica matemtica, se suele preferir el operador nabla (que en coordenadas cartesianas se escribe como para las derivadas espaciales y un punto ( ) para las derivadas que involucran el tiempo, por ejemplo para escribir la Ecuacin de onda (vase ms abajo) como (notacin matemtica) (notacin fsica) Solucin general y solucin completa Toda ecuacin en derivadas parciales de primer orden posee una solucin dependiente de una funcin arbitraria, que se denomina usualmente solucin general de la EDP. En muchas aplicaciones fsicas esta solucin general es menos importante que las llamadas soluciones completas. Una solucin completa es una solucin particular de la EDP que contiene tantas constantes arbitrarias independientes como variables independientes intervienen en la ecuacin. Por ejemplo la integracin de las ecuaciones del movimiento de un sistema mecnico mediante el mtodo basado en el ecuacin de Hamilton-Jacobi requiere una integral completa, mientras que la solucin general resulta menos interesante desde el punto de vista fsico. Existencia y unicidad Aunque el asunto de la existencia y unicidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias tiene una respuesta muy satisfactoria resumida en el teorema de Picard-Lindelf, el mismo asunto para las ecuaciones en derivadas parciales est lejos de estar satisfactoriamente resuelto. Aunque existe un teorema general, el teorema de Cauchy-Kovalevskaya, que afirma que para una EDP que es analtica en la funcin incgnita y sus derivadas tiene una nica solucin analtica. Aunque este resultado que parece establecer la existencia y unicidad de la soluciones, existen ejemplos de EDP de primer orden cuyos coeficientes tienen derivadas de cualquier orden (aunque sin ser analticas) pero que no tienen solucin (Lewy, 1957). Incluso si la solucin de una EDP existe y es nica, sta puede tener propiedades indeseables. Un ejemplo de comportamiento patolgico es la secuencia de problemas de Cauchy dependientes del parmetro n para la ecuacin de Laplace:

con condiciones inciales

Donde n es un entero. La derivada de u con respecto a y se aproxima a 0 uniformemente en x a medida que n se incrementa, pero la solucin es:

Esta solucin se aproxima a infinito si nx no es un entero mltiplo de para cualquier valor de y. El problema de Cauchy para la ecuacin de Laplace se denomina mal propuesto o no bien definido, puesto que la solucin no depende continuamente de los datos del problema. Estos problemas mal definidos no son usualmente satisfactorios para las aplicaciones fsicas.

Clasificacin de las EDP de segundo orden Las EDP de segundo orden se clasifican habitualmente dentro de cuatro tipos de EDP que son de inters fundamental, a continuacin se dan ejemplos de estos cuatro tipos: Ecuacin Nombre Tipo

Laplace

Elptica

Onda Hiperblica Difusin Helmholtz Parablicas Elptica

Con mayor generalidad, si se tiene una ecuacin de segundo orden del tipo:

se dice que es elptica si la matriz tiene un determinante mayor a 0. se dice que es parablica si la matriz tiene un determinante igual a 0. se dice que es hiperblica si la matriz tiene un determinante menor a 0.