Aplicación de modelado comportamental analógico al ... · Modeling an analog circuit is an...

Click here to load reader

  • date post

    29-Aug-2019
  • Category

    Documents

  • view

    216
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Aplicación de modelado comportamental analógico al ... · Modeling an analog circuit is an...

  • Aplicación de modelado comportamental

    analógico al análisis de circuitos

    Por

    Carlos Manuel Hernández Mejía

    Tesis sometido como requisito parcial para obtener el grado de

    Maestro en Ciencias en la Especialidad de Electrónica

    en el

    Instituto Nacional de Astrofísica

    Óptica y Electrónica.

    Agosto 2007. Tonantzintla, Puebla

    Supervisada por:

    Dr. Arturo Sarmiento Reyes

    Investigador Titular del INAOE

    ©INAOE 2007 Derechos Reservados

    El autor otorga al INAOE el permiso de reproducir y distribuir copias de esta tesis en su totalidad o en partes.

  • Resumen

    El modelado de circuitos análogicos es un importante paso en el proceso de diseño

    analógico. Su principal propósito consiste en generar un equivalente (circuital,

    funcional o comportamental) que permita llevar a cabo las tareas de análisis y

    śıntesis a nivel sistema, circuito o dispositivo.

    En particular, un modelo comportamental describe un dispositivo, circuito o sis-

    tema en términos de ecuaciones matemáticas tratando de capturar la mayor fun-

    cionalidad con menos detalles de implementación. El objetivo principal del mod-

    elado comportamental es la representación de uno o varios parámetros medidos,

    los cuales puede estar en función de múltiples variables independientes ortogonales

    que simultáneamente controlan su comportamiento.

    Para llevar a cabo la codificación de los modelos comportamentales analógicos

    en este trabajo, se recurre a la utilización de lenguajes descriptivos de alto nivel

    (HDLs), en particular Verilog-A y Analog Insydes. En este trabajo se presentan

    las aplicaciones al análisis de circuitos análogicos en el dominio de la frecuencia

    y el dominio del tiempo utilizando modelos comportamentales analógicos. Las

    aplicaciones en el dominio de la frecuencia se ejemplifican mediante estructuras de

    filtros activos Sallen&Key. Mientras por otro lado, las aplicaciones en el dominio

    del tiempo se enfocan a determinar el análisis del comportamiento caótico de varios

    circuitos dinámicos.

    Finalmente, se ilustra que el modelado comportamental analógico puede ser exten-

    i

  • ii

    dido a dispositivos nanoelectrónicos, al aplicarlo a la caracterización del transistor

    de un electrón (SET).

  • Abstract

    Modeling an analog circuit is an important step in analog circuit design. Its prin-

    cipal purpose consists of generating an equivalent (circuital, functional or behav-

    ioral) that allow to carry out the level system, circuit or device tasks of analysis

    and synthesis.

    Particularly, a behavioral model describes a device, circuit or system based on

    mathematical equations expressing functionality with less implementation details.

    The behavioral modeling objective is to represent one or various parameter mea-

    sured, which might be a function of multiple orthogonal independent variables that

    simultaneously control its behavior.

    The analog behavioral models codification is carried out through high-level hard-

    ware description languages (HDL) like Verilog-A and AnalogInsydes. In this work

    applications for frequency-domain and time-domain circuits analysis using analog

    behavioral models are presented. Frequency-domain applications employing active

    filters Sallen&Key are exemplified. On the other hand, time-domain applications

    are focused to determine the chaotic behavior analysis in dynamic circuits.

    Finally, analog behavioral modeling is used in nanoelectronic devices, characteriz-

    ing a single-electron transistor (SET).

    iii

  • iv

  • Índice general

    1. Introducción 1

    1.1. Diseño Top-Down . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.2. Modelado comportamental analógico . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.3. Lenguajes descriptivos de alto nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.3.1. Verilog-A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.3.2. AnalogInsydes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.4. Objetivo de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2. Generación de modelos comportamentales 11

    2.1. Tipos de modelos comportamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    2.1.1. Modelos comportamentales basados

    en circuitos eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    2.1.2. Modelos comportamentales basados

    en subcircuitos eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2.1.3. Modelos comportamentales en el dominio

    de la frecuencia y en el dominio del tiempo . . . . . . . . . . 18

    2.2. Modelos basados en ecuaciones

    constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    3. Metodoloǵıa de modelado 27

    3.1. Metodoloǵıa por reconstrucción de señal . . . . . . . . . . . . . . . 27

    v

  • vi ÍNDICE GENERAL

    3.2. Metodoloǵıa por aproximación de señal . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    3.2.1. Funciones cont́ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    3.2.2. Funciones piecewise linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    3.2.3. Aproximaciones polinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    3.3. Metodoloǵıa por variables de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    4. Casos de estudio 37

    4.1. Circuito de Chua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    4.1.1. Análisis con el modelo i=-arctan·voltaje. . . . . . . . . . . . 414.1.2. Análisis con el modelo Piecewise linear . . . . . . . . . . . . 45

    4.1.3. Análisis con el modelo de Aproximación polinomial . . . . . 52

    4.2. Oscilador Colpitts clásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    4.2.1. Análisis con transistor 2n2222a . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    4.2.2. Análisis con modelo simple del transistor . . . . . . . . . . . 57

    4.2.3. Análisis con modelo Ebers-Moll h́ıbrido-π no lineal . . . . . 59

    4.2.4. Análisis con modelo Ebers-Moll de transporte . . . . . . . . 61

    4.2.5. Análisis con transistor 2n3904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    4.3. Oscilador Colpitts de dos estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    4.3.1. Análisis con modelo simple del transistor . . . . . . . . . . . 65

    4.3.2. Análisis con modelo Ebers-Moll h́ıbrido-π no lineal . . . . . 67

    4.3.3. Análisis con modelo Ebers-Moll de transporte . . . . . . . . 68

    4.4. Filtros Sallen & Key . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    4.4.1. ABM en el dominio de la frecuencia . . . . . . . . . . . . . . 71

    4.4.2. ABM de la parte activa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    4.5. Transistor de un electrón (SET) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    5. Conclusiones 83

  • ÍNDICE GENERAL vii

    A. Modelos en Analog Insydes 85

    A.1. Modelos de la función i=-arctan·voltaje . . . . . . . . . . . . . . . . 85A.2. Modelos para la función Piecewise linear . . . . . . . . . . . . . . . 88

    A.3. Modelos para la Aproximación polinomial . . . . . . . . . . . . . . 92

    B. Módulos en Verilog-A 95

    B.1. Módulos para los osciladores Colpitts . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    B.2. Módulos utilizados en los filtros Sallen & Key . . . . . . . . . . . . 97

    B.3. Módulo utilizado para el transistor de un electrón (SET) . . . . . . 100

  • viii ÍNDICE GENERAL

  • Índice de figuras

    1.1. Jerarqúıa de los niveles de abstracción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.2. Tipos de modelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.3. Ecuación comportamental y las variables que la controlan. . . . . . . . 6

    1.4. Tipos de HDLs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.5. Módulos conectados a un nodo a través de puertos . . . . . . . . . . . 8

    2.1. Circuito eléctrico compuesto de dos amplificadores en emisor común. . . 12

    2.2. Modelo hibrido π a pequeña señal, en dos secciones, con la resistencia ro

    incluida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    2.3. Modelo hibrido π de alta frecuencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2.4. Modelo comportamental basado en circuitos eléctricos. . . . . . . . . . 15

    2.5. Amplificador operacional con retroalimentación en corriente (CFOA). . . 16

    2.6. CFOA compuesto por un current conveyor y un seguidor de voltaje. . . 17

    2.7. CFOA compuesto por dos seguidores de voltaje y un espejo de corriente. 17

    2.8. Modelo comportamental basado en subcircuitos eléctricos. . . . . . . . . 18

    2.9. Establecimiento de la matriz MNA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    2.10. Modelo comportamental en los dominios de frecuencia y tiempo. . . . . 22

    2.11. Redes de (a) dos terminales, (b) tres terminales y (c) n-terminales. . . . 23

    2.12. (a) Transistor npn, (b) su modelo π de pequeña señal y (c) su modelo de

    gran señal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    ix

  • x ÍNDICE DE FIGURAS

    3.1. Curva caracteŕıstica I-V de un NR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    3.2. Zonas de la curva caracteŕıstica I-V de un NR . . . . . . . . . . . . . . 28

    3.3. Prolongación de rectas de las zonas 1, 2, 4 y 5 . . . . . . . . . . . . . . 29

    3.4. Función cont́ınua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    3.5. Función discont́ınua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    3.6. (a) Curva caracteŕıstica I-V del diodo túnel y (b) su aproximación piece-

    wise linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    3.7. Curvas provenientes de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    3.8. Circuito simple RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    4.1. Circuito de Chua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    4.2. Función i=-arctan·voltaje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    4.3. Función piecewise linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    4.4. Aproximación polinomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    4.5. Respuesta del circuito Chua usando función i=-arctan·voltaje. . . . . . . 40

    4.6. Respuesta del circuito Chua usando función Piecewise linear. . . . . . . 40

    4.7. Respuesta del circuito Chua usando aproximación polinomial. . . . . . . 40

    4.8. Zona de análisis del modelo i=-arctan·voltaje. . . . . . . . . . . . . . . 41

    4.9. Análisis del modelo comportamental i=-arctan(α · u). . . . . . . . . . . 41

    4.10. Análisis del modelo comportamental i=-arctan(α · u). . . . . . . . . . . 42

    4.11. Zona de análisis del modelo i=-arctan·voltaje. . . . . . . . . . . . . . . 43

    4.12. Análisis del modelo comportamental i=-arctan(α · u). . . . . . . . . . . 43

    4.13. Análisis del modelo comportamental i=-arctan(α · u). . . . . . . . . . . 44

    4.14. Zona de análisis del modelo Piecewise linear. . . . . . . . . . . . . . . 45

    4.15. Análisis del modelo comportamental Piecewise linear. . . . . . . . . . . 46

    4.16. Zona de análisis del modelo Piecewise linear. . . . . . . . . . . . . . . 47

    4.17. Acercamiento a la zona de análisis del modelo Piecewise linear. . . . . . 47

    4.18. Análisis del modelo comportamental Piecewise linear. . . . . . . . . . . 48

  • ÍNDICE DE FIGURAS xi

    4.19. Zona de análisis del modelo Piecewise linear. . . . . . . . . . . . . . . 49

    4.20. Análisis del modelo comportamental Piecewise linear. . . . . . . . . . . 49

    4.21. Análisis del modelo comportamental Piecewise linear. . . . . . . . . . . 50

    4.22. Zona de análisis del modelo Piecewise linear. . . . . . . . . . . . . . . 50

    4.23. Análisis del modelo comportamental Piecewise linear. . . . . . . . . . . 51

    4.24. Zona de análisis del modelo Aproximación polinomial. . . . . . . . . . . 52

    4.25. Análisis del modelo comportamental Aproximación polinomial. . . . . . 53

    4.26. Análisis del modelo comportamental Aproximación polinomial. . . . . . 54

    4.27. Oscilador Colpitts BJT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    4.28. Análisis con transistor 2n2222a. Eje horizontal: VC1; eje vertical: VC2 . . 56

    4.29. Análisis con transistor 2n2222a. Eje horizontal: IL; eje vertical: VC1 . . . 57

    4.30. Modelo simple del BJT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    4.31. Análisis con modelo simple. Eje horizontal: VC1; eje vertical: VC2 . . . . 58

    4.32. Análisis con modelo simple. Eje horizontal: IL; eje vertical: VC1 . . . . . 59

    4.33. Modelo Ebers-Moll h́ıbrido-π no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    4.34. Análisis con modelo Ebers-Moll h́ıbrido-π no lineal. Eje horizontal: VC1;

    eje vertical: VC2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    4.35. Análisis con modelo Ebers-Moll h́ıbrido-π no lineal. Eje horizontal: IL;

    eje vertical: VC1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    4.36. Modelo Ebers-Moll de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    4.37. Análisis con modelo Ebers-Moll de transporte. Eje horizontal: VC1; eje

    vertical: VC2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    4.38. Análisis con modelo Ebers-Moll de transporte. Eje horizontal: IL; eje

    vertical: VC1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    4.39. Análisis con transistor 2n3904. Eje horizontal: VC2; eje vertical: VC1 . . . 63

    4.40. Análisis con transistor 2n3904. Eje horizontal: IL; eje vertical: VC2 . . . 63

    4.41. Oscilador Colpitts BJT de dos estados. . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

  • xii ÍNDICE DE FIGURAS

    4.42. Análisis con modelo simple. Eje horizontal: VC ; eje vertical: VE . . . . . 66

    4.43. Análisis con modelo simple. Eje horizontal: IL; eje vertical: VC . . . . . 66

    4.44. Análisis con modelo Ebers-Moll h́ıbrido-π no lineal. Eje horizontal: VC ;

    eje vertical: VE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    4.45. Análisis con modelo Ebers-Moll h́ıbrido-π no lineal. Eje horizontal: IL;

    eje vertical: VC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    4.46. Análisis con modelo Ebers-Moll de transporte. Eje horizontal: VC ; eje

    vertical: VE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    4.47. Análisis con modelo Ebers-Moll de transporte. Eje horizontal: IL; eje

    vertical: VC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    4.48. Filtro Pasa Bajas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

    4.49. Filtro Pasa Altas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

    4.50. Filtro Pasa Bandas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

    4.51. Filtro Pasa Bajas Sallen&Key con fc de 10KHz y Q=10 . . . . . . . . . 72

    4.52. Filtro Pasa Altas Sallen&Key con fc de 10KHz y Q=10 . . . . . . . . . 72

    4.53. Filtro Pasa Bandas Sallen&Key con fc de 10KHz y Q=10 . . . . . . . . 73

    4.54. Filtro Pasa Bajas Sallen&Key con fc de 10KHz y Q=50 . . . . . . . . . 73

    4.55. Filtro Pasa Altas Sallen&Key con fc de 10KHz y Q=50 . . . . . . . . . 74

    4.56. Filtro Pasa Bandas Sallen&Key con fc de 10KHz y Q=50 . . . . . . . . 74

    4.57. Filtro Pasa Bajas Sallen&Key con fc de 10KHz y Q=10 . . . . . . . . . 76

    4.58. Filtro Pasa Altas Sallen&Key con fc de 10KHz y Q=10 . . . . . . . . . 76

    4.59. Filtro Pasa Bandas Sallen&Key con fc de 10KHz y Q=10 . . . . . . . . 77

    4.60. Filtro Pasa Bajas Sallen&Key con fc de 10KHz y Q=50 . . . . . . . . . 77

    4.61. Filtro Pasa Altas Sallen&Key con fc de 10KHz y Q=50 . . . . . . . . . 78

    4.62. Filtro Pasa Bandas Sallen&Key con fc de 10KHz y Q=50 . . . . . . . . 78

    4.63. Circuito esquemático de un SET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    4.64. Circuito eléctrico de un SET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

  • ÍNDICE DE FIGURAS xiii

    4.65. Curvas de salida del SET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

  • xiv ÍNDICE DE FIGURAS

  • Prefacio

    La automatización del diseño analógico es un campo de creciente interés en la

    industria, debido a que los circuitos análogicos poseen una gran demanda tanto

    en interfases como en aplicaciones de alto rendimiento. Sin embargo la ausencia

    de herramientas CAD analógicas resulta en prolongados tiempos de verificación

    y en costosos errores de diseño. Es por lo anterior que se requiren mejoras en

    las metodoloǵıas de diseño, siendo los modelos comportamentales analógicos una

    opción para lograrlas.

    Este trabajo de tesis está constituido por cinco caṕıtulos, donde se han abordado

    los siguientes tópicos:

    En el caṕıtulo 1 se presenta una introducción enfocada hacia tres aspectos fun-

    damentales como la metodoloǵıa de diseño top-down, los principios básicos del

    modelado comportamental análogico (ABM) y los lenguajes descriptivos de alto

    ńıvel utilizados en los ABMs. Asimismo, en este caṕıtulo se plantea el objetivo de

    la tesis.

    El caṕıtulo 2 aborda los tipos de modelos comportamentales existentes aśı como

    los modelos basados en ecuaciones constitutivas de rama, los cuales son usados en

    este trabajo.

    El caṕıtulo 3 estudia tres metodoloǵıas de modelado: metodoloǵıa por reconstruc-

    ción de señal, metodoloǵıa por aproximación de señal y metodoloǵıa por variables

    de estado. Las dos primeras son utilizadas en la presente tesis.

    xv

  • xvi ÍNDICE DE FIGURAS

    El caṕıtulo 4 analiza mediante modelos comportamentales analógicos cinco casos

    de estudio: en el dominio de la frecuencia se ejemplifica con estructuras de filtros

    activos Sallen&Key, mientras que en el dominio del tiempo se analiza el compor-

    tamiento caótico de varios circuitos dinámicos. Por último, se presenta la apli-

    cación del modelado comportamental analógico en dispositivos nanoelectrónicos,

    ilustrandolo a través del análisis del transistor de un electrón (SET).

    Finalmente en el caṕıtulo 5 se resumen las conclusiones de esta tesis.

  • Caṕıtulo 1

    Introducción

    1.1. Diseño Top-Down

    La aproximación tradicional para diseñar es conocida con el nombre de diseño

    bottom-up. Su proceso de diseño comienza con el diseño de bloques individuales,

    los cuales son combinados para formar el sistema. El diseño de los bloques es

    basado en el conjunto de especificaciones y se concluye hasta la implementación a

    nivel transistor. Cada bloque es verificado asumiéndolo como una unidad autónoma

    y comparándolo contra las especificaciones, es decir, cada bloque es considerado

    individual y no en el contexto de un sistema general. Una vez que los bloques han

    sido verificados individualmente, son combinados y verificados en conjunto. Tal

    verificación del sistema completo es realizada a nivel transistor.

    El anterior estilo de diseño es efectivo para diseños pequeños, mientras que para

    diseños extensos y complicados presenta varios problemas importantes:

    Emplea demasiado tiempo en la simulación de los bloques combinados y por

    lo tanto una verificación muy dif́ıcil.

    No existe retroalimentación para la corrección de errores en el nivel arqui-

    tectura del diseño.

    1

  • 2 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

    La necesidad de llevar a cabo un rediseño de los bloques debido a cualquier

    error o problema encontrado una vez que el sistema es ensamblado.

    Falta de comunicación entre los diseñadores de los diferentes bloques.

    Escasez en la verificación a nivel sistema y en el desarrollo de pruebas.

    Para vencer los anteriores inconvenientes se necesita una metodoloǵıa de diseño

    que mejore la comunicación entre los diseñadores, elimine la discontinuidad en el

    flujo del diseño, mejore la verificación, reorganice las tareas de diseño y reduzca la

    necesidad de una extensa verificación final a nivel transistor.

    La metodoloǵıa del diseño debe ser estructurada sobre varios niveles de jerarqúıa.

    Cada nivel de jerarqúıa corresponde a un nivel diferente de abstracción y por lo tan-

    to poseen diferentes primitivas de diseño para ser manipuladas. La metodoloǵıa

    debe ser flexible para el diseño automatizado (DA) de módulos analógicos fun-

    cionales.

    El aspecto clave de tal metodoloǵıa [1] es el uso de simulación simbólica y ma-

    nipulación de ecuaciones de diseño como una solución para construir un sistema

    de śıntesis analógico abierto; en el cual la incorporación de nuevas estructuras y

    conocimientos de diseño sea más simple.

    La metodoloǵıa de diseño que reune tales caracteŕısticas es la llamada top-down. El

    proceso de diseño top-down avanza metódicamente desde el diseño a nivel arquitec-

    tura hasta el nivel transistor. Cada nivel se diseña por completo antes de avanzar

    al siguiente, además son particionados en bloques pequeños bien definidos lo cual

    permite que mas diseñadores trabajen juntos. Esto hace posible la reducción en el

    tiempo total requerido para finalizar el diseño.

    Un proceso de diseño top-down mejora la comunicación entre los diseñadores, pro-

    duciendo aśı una disminución en el número de errores que podŕıa arrastrar el diseño

    debido a la falta de comunicación. Además, reduce el impacto de los cambios tanto

  • 1.1. DISEÑO TOP-DOWN 3

    repentinos como tard́ıos en el ciclo de diseño. Los modelos pueden ser actualiza-

    dos y el impacto sobre el resto del sistema puede ser rapidamente evaluado. El

    plan de simulación y la infraestructura para simulaciones de nivel mezclado estan

    disponibles en la metodoloǵıa y pueden ser rapidamente aplicados para verificar

    cualquier cambio.

    Un diseño top-down exitoso se logra con el cumplimiento de los siguiente principios

    básicos[2]:

    Representación común en el diseño

    Cada variación o cambio es verificado

    Verificación planeada

    Múltiples actualizaciones

    Modelos ejecutables de planes y especificaciones.

    En la figura 1.1 se muestran los diferentes niveles de abstracción que existen den-

    tro de una metodoloǵıa de diseño top-down. Como se puede observar el flujo de

    diseño comienza en una descripción del comportamiento (Nivel Comportamiento),

    en donde la meta es encontrar un algoritmo que represente una idea general del

    sistema. Una vez concluido el anterior nivel, el flujo de diseño debe separarse en

    pequeñas subtareas contenidas en bloques los cuales estan situados dentro de un

    mismo nivel de jerarqúıa (Nivel Circuito). La traslación desde una descripción de

    comportamiento hacia una descripción de circuito involucra la generación de una

    arquitectura o varias, la(s) cual(es) debe(n) tanto alcanzar el funcionamiento ade-

    cuado como cumplir con las especificaciones del sistema. Los ĺımites impuestos por

    las especificaciones sobre la(s) arquitectura(s) generada(s) son propagadas hacia

    el nivel mas bajo de la jerarqúıa de diseño (Nivel Transistor) en el cual se lleva a

    cabo la implementación f́ısica de cada bloque.

  • 4 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

    Figura 1.1: Jerarqúıa de los niveles de abstracción.

    Se puede concluir de la figura 1.1 que un elemento necesario para un proceso

    de diseño top-down es una descripción de comportamiento, bien definida, de la

    función analógica del sistema. Una caracterización de comportamiento adecuada

    está compuesta no sólo de la función que desarrolla el circuito sino también de

    las no idealidades intŕınsecas de segundo orden, ya que los errores en el diseño

    analógico regularmente son resultado del comportamiento no ideal y no de una

    inadecuada funcionalidad seleccionada.

    1.2. Modelado comportamental analógico

    Existen diferentes tipos de modelos para evaluar la función general de un circuito

    o sistema. La figura 1.2 muestra la variedad de modelos por medio de los cuales

    puede ser representado el sistema o circuito bajo estudio.

    Los modelos eléctricos se basan en un análisis eléctrico de los nodos o ramas que

    conforman el circuito o sistema. Debido al análisis empleado, se obtienen modelos

    muy detallados lo cual resulta en un amplio número de variables y de ecuaciones

  • 1.2. MODELADO COMPORTAMENTAL ANALÓGICO 5

    Figura 1.2: Tipos de modelos.

    lineales (KVL, KCL) y por lo tanto en matrices MNA dramáticamente extensas

    en donde el tiempo de computo es muy grande.

    Los modelos de subcircuitos también emplean un análisis eléctrico pero sus ma-

    trices MNA son menos extensas y su tiempo de cómputo es menor. Su principal

    desventaja radica en que su análisis sólo abarca un subcircuito o bloque del sistema

    general.

    Los modelos de retardos son diagramas de bloques que ilustran los retardos a través

    de sus dispositivos o elementos [3]. Su principal limitación es la poca exactitud que

    poseen.

    Por otra parte, los modelos comportamentales describen bloques, circuitos o sis-

    temas de manera funcional con un menor numero de variables provocando aśı sim-

    ulaciones mucho mas rápidas [4]. A causa de la anterior caracteŕıstica, la cual

    implica un menor tiempo de cómputo, el presente trabajo se enfoca en el análisis

    del modelado análogico de comportamiento.

    El modelado comportamental analógico es el proceso de desarrollar un modelo para

    un componente de un circuito o sistema, siendo lineal o no lineal, mediante ecua-

  • 6 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

    ciones generadas fácilmente. El objetivo del modelado comportamental analógico

    es [5] formular una ecuación de forma sencilla que represente un parámetro medi-

    do, el cual puede ser una función de múltiples variables independientes ortogonales

    que simultáneamente controlen el comportamiento del sistema, como se muestra

    en la figura 1.3.

    Figura 1.3: Ecuación comportamental y las variables que la controlan.

    El modelado comportamental posee dos importantes aplicaciones en el dominio

    de la simulación analógica: el modelado de nuevos dispositivos y el modelado de

    sistemas complejos mediante cajas negras. Ambas aplicaciones pueden ser usadas

    para diseñar sistemas en un nivel abstracto para posteriormente avanzar hacia el

    diseño detallado a nivel circuito. El detallado de los modelos corresponde con los

    efectos que deben ser considerados, tales como:

    Comportamiento en pequeña y gran señal.

    Comportamiento en baja y alta frecuencia.

    Comportamiento dinámico.

    Consumo de potencia.

  • 1.3. LENGUAJES DESCRIPTIVOS DE ALTO NIVEL 7

    Ruido, etc.

    Por lo tanto, el modelado comportamental analógico es una técnica de modelado

    de alto nivel en el cual se desarrolla el comportamiento general de un sistema,

    explorando la posibilidad de nuevas arquitecturas de alto nivel.

    1.3. Lenguajes descriptivos de alto nivel

    Los lenguajes descriptivos de hardware (HDLs) [6] son lenguajes de programación

    diseñados para describir el comportamiento de dispositivos y procesos f́ısicos, una

    tarea comúnmente llamada modelado. Los modelos escritos en HDL son usados

    como entrada hacia un simulador para analizar el comportamiento de los disposi-

    tivos.

    Los HDLs tienen dos principales aplicaciones [7]: simulación y śıntesis. La finalidad

    de usar HDLs en la simulación es la expresividad: deben ser capaces de describir

    facilmente una amplia variedad de comportamientos. La finalidad de usar HDLs

    en la śıntesis es el ser realizables: sólo deben permitir los comportamientos que

    pueden ser implementados.

    Los HDLs pueden ser divididos en digital, analógico y de señal mixta, como se

    muestra en la figura 1.4.

    Figura 1.4: Tipos de HDLs.

  • 8 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

    El presente trabajo está enfocado en utilizar herramientas HDLs analógicas.

    1.3.1. Verilog-A

    Verilog-A HDL permite a los diseñadores de sistemas analógicos y circuitos integra-

    dos [8] la creación y uso de módulos los cuales encapsulan descripciones comporta-

    mentales de alto nivel aśı como descripciones estructurales de sistemas, circuitos y

    componentes. El comportamiento de cada módulo puede ser descrito matemática-

    mente en términos de sus terminales y parámetros externos aplicados al módulo.

    Los sistemas pueden ser construidos mediante la conexión de módulos a nodos

    mediante puertos como se muestra en la figura 1.5.

    Figura 1.5: Módulos conectados a un nodo a través de puertos

    1.3.2. AnalogInsydes

    Analog Insydes [9] es una herramienta HDL para el modelado, análisis y diseño

    de circuitos electrónicos analógicos, hecha espećıficamente para aplicaciones indus-

    triales. Basado en un lenguaje de descripción jerárquico, Analog Insydes describe

    tanto circuitos lineales y no lineales aśı como también sistemas de control, y au-

    tomáticamente establece sistemas de ecuaciones en el dominio de la frecuencia y

    en el dominio del tiempo.

  • 1.4. OBJETIVO DE LA TESIS 9

    1.4. Objetivo de la tesis

    El objetivo de la tesis es generar modelos análogicos comportamentales orientados a

    funciones o ecuaciones constitutivas de ramas, lo que permite llevar a cabo análisis

    tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia. Todo esto en el

    contexto de una metodoloǵıa de diseño top-down usando Verilog-A y AnalogInsydes

    como herramientas HDL para la creación de módulos que formarán parte de los

    modelos construidos.

  • 10 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

  • Caṕıtulo 2

    Generación de modelos

    comportamentales

    2.1. Tipos de modelos comportamentales

    Un modelo comportamental trata de capturar la mayor funcionalidad que posee

    un dispositivo, circuito o sistema, con menos detalles de implementación [10]. Lo

    cual implica un sacrificio entre precisión y complejidad (numero de componentes)

    del modelo comportamental.

    2.1.1. Modelos comportamentales basados

    en circuitos eléctricos

    Los modelos comportamentales basados en circuitos eléctricos se realizan mediante

    el establecimiento de la matriz de análisis nodal modificado (MNA) del circuito

    completo.

    Dependiendo del dominio de análisis y el número de elementos involucardos en el

    modelado, vaŕıan los tamaños de las matrices y vectores involucrados en la matriz

    MNA.

    11

  • 12 CAPÍTULO 2. GENERACIÓN DE MODELOS COMPORTAMENTALES

    El circuito de la figura 2.1 muestra un amplificador compuesto de dos amplifi-

    cadores idénticos (Q1, Q2) de emisor común conectados en cascada.

    Las partes activas del circuito pueden ser analizadas con modelos de pequeña

    señal, los cuales solo presentan fenómenos f́ısicos básicos, o con modelos de alta

    frecuencia, los cuales contienen además fenomenos producidos en alta frecuencia.

    Figura 2.1: Circuito eléctrico compuesto de dos amplificadores en emisor común.

    Para realizar un análisis de pequeña señal se emplea el modelo hibrido π con

    resistencia ro incluida [11] para la parte activa del circuito (Q1, Q2), el cual es

    mostrado en la figura 2.2. Siendo (a) su representación como un amplificador de

    transconductancia y (b) su representación como un amplificador de corriente.

  • 2.1. TIPOS DE MODELOS COMPORTAMENTALES 13

    Figura 2.2: Modelo hibrido π a pequeña señal, en dos secciones, con la resistencia ro

    incluida.

    Al realizar la sustitución del modelo en las partes activas del circuito, se obtiene

    la siguiente matriz MNA:

    R1 + R2 + rπ1 0 0

    gm1 R3 + R4 + R5 + rπ2 + ro1 0

    0 gm2 R6 + ro2

    La matriz MNA resultante es de 3x3 con 12 variables.

    Por el contrario, al realizar un análisis de alta frecuencia al circuito de la figura

    2.1 mediante el modelo hibrido π de alta frecuencia [11], el cual se muestra en

    la figura 2.3, y sustituirlo en la(s) parte(s) activa(s) del circuito, se obtiene la

    siguiente matriz MNA:

  • 14 CAPÍTULO 2. GENERACIÓN DE MODELOS COMPORTAMENTALES

    Figura 2.3: Modelo hibrido π de alta frecuencia.

    R1 + R2 + rx1 −rx1 0 0 0

    −rx1 rx1 + rπ1 −sCµ1 0 0+sCπ1 + sCµ1

    0 −sCµ1 + gm1 sCµ1 + ro1 + R3 −rx2 0+R4 + R5 + rx2

    0 0 −rx2 rx2 + rπ2 −sCµ2+sCπ2 + sCµ2

    0 0 0 −sCµ2 + gm2 sCµ2 + R6 + ro2

    La matriz MNA resultante es de 5x5 con 18 variables.

    Como se observa, un cambio en la complejidad de los modelos ocasiona un cambio

    en las dimensiones de la representación MNA. En el anterior ejemplo, el cambio de

    modelo en las partes activas provoca un aumento en el tamaño de la matriz MNA,

    de 3x3 a 5x5, lo cual involucra un incremento en el tiempo de cómputo, como se

    mencionó en el caṕıtulo anterior.

  • 2.1. TIPOS DE MODELOS COMPORTAMENTALES 15

    Para circuitos grandes y a medida que se descienda en el nivel de jerarqúıa, las

    matrices involucradas crecerán en tamaño lo que implicará un aumento en tiempo

    de cómputo y complejidad de cálculo.

    Se requiere entonces de modelos alternativos que permitan llevar a cabo el análisis

    de forma más eficiente. Un enfoque está basado en el modelado comportamental.

    La figura 2.4 describe de manera general como obtener un modelo comportamental

    basado en un circuito eléctrico.

    Figura 2.4: Modelo comportamental basado en circuitos eléctricos.

    Partiendo del circuito eléctrico se establece la matriz MNA, la cual indica la influ-

    encia eléctrica de cada componente en todo el sistema. Posteriormente, de la matriz

    obtenida se genera un modelo comportamental que contenga todos los fenómenos

    eléctricos ha considerarse de acuerdo al dominio de análisis elegido. Finalmente,

    se lleva a cabo una simulación del circuito para lograr una verificación del modelo

  • 16 CAPÍTULO 2. GENERACIÓN DE MODELOS COMPORTAMENTALES

    comportamental generado.

    2.1.2. Modelos comportamentales basados

    en subcircuitos eléctricos

    Los modelos comportamentales basados en subcircuitos eléctricos se realizan me-

    diante el establecimiento de la matriz de análisis nodal modificado (MNA) del

    subcircuito seleccionado, el cual pertenece a una etapa o sección de un circuito

    eléctrico completo.

    El circuito de la figura 2.5 es un amplificador operacional con retroalimentación

    en corriente (CFOA)[12].

    Figura 2.5: Amplificador operacional con retroalimentación en corriente (CFOA).

    El CFOA de la figura 2.5 puede ser sintetizado en dos subcircuitos, un current

    conveyor de segunda generación (CCII) y un seguidor de voltaje (VF), como se

    muestra en la figura 2.6.

    Otra alternativa para sintetizar el CFOA de la figura 2.5 se observa en la figura 2.7,

    en donde el circuito está compuesto de tres subcircuitos: un seguidor de voltaje,

    posteriormente un espejo de corriente (CM) y finalmente otro seguidor de voltaje.

  • 2.1. TIPOS DE MODELOS COMPORTAMENTALES 17

    Figura 2.6: CFOA compuesto por un current conveyor y un seguidor de voltaje.

    Figura 2.7: CFOA compuesto por dos seguidores de voltaje y un espejo de corriente.

    La elección de la topoloǵıa del current conveyor de segunda generación (CCII),

    el seguidores de voltaje (VF) y el espejo de corriente (CM) depende de las carac-

    teŕısticas requeridas de acuerdo a la aplicación, tales como: impedancia de entrada,

    impedancia de salida, ganancia unitaria, ancho de banda de ganancia unitaria, etc.

    La figura 2.8 describe de manera general como obtener un modelo comportamental

    basado en un subcircuito eléctrico.

    Partiendo del circuito eléctrico se establecen los subcircuitos del sistema, para cada

    subcircuito se consideran las especificaciones que se deben cumplir de acuerdo a

    la aplicación. Posteriormente se establecen las matrices MNA de cada subcircuito,

    las cuales sirven para la generación de los modelos comportamentales. Finalmente,

    los subcircuitos son simulados de manera independiente para comprobar su fun-

  • 18 CAPÍTULO 2. GENERACIÓN DE MODELOS COMPORTAMENTALES

    Figura 2.8: Modelo comportamental basado en subcircuitos eléctricos.

    cionamiento y también son interconectados para realizar una verificación general

    del comportamiento de todo el sistema.

    2.1.3. Modelos comportamentales en el dominio

    de la frecuencia y en el dominio del tiempo

    Dominio del tiempo

    Los modelos comportamentales en el dominio del tiempo son realizados mediante

    ecuaciones diferenciales y caracterizados por la evolución de sus variables en el

    tiempo. Su respuesta en el tiempo es tipicamente caracterizada en términos como:

    Steady state gain, amplificación o atenuación de una señal constante despues

  • 2.1. TIPOS DE MODELOS COMPORTAMENTALES 19

    del transiente.

    Rise time, tiempo de reacción a un cambio en la entrada.

    Settling time, tiempo en el cual el transiente alcanza un nivel asintótico.

    Overshoot, distancia entre el valor final y el máximo crecimiento en la re-

    spuesta durante el transiente.

    Uno de sus usos se ha visto en [13], donde se determinan los parámetros de bloques

    analógicos RF, los cuales sólo puedan ser derivados de simulaciones en el dominio

    del tiempo.

    Dominio de la frecuencia

    Los modelos comportamentales en el dominio de la frecuencia son realizados medi-

    ante funciones de transferencia [14], las cuales capturan el comportamiento como

    una función de la variable compleja s. Estos modelos pueden ser manipulados por

    reglas algebraicas simples; por lo tanto, funciones de tranferencia de arquitecturas

    paralelas, series y de retroalimentación pueden ser computadas de manera directa.

    La función de transferencia está dada por una razón de polinomios:

    T (s) =bms

    m + bm−1sm−1 + ...b1s + b0ansn + an−1sn−1 + ...a1s + a0

    (2.1)

    siendo n > m, donde cada coeficiente esta expresado como:

    bi = fb1(C) (2.2)

    ai = fa1(C) (2.3)

  • 20 CAPÍTULO 2. GENERACIÓN DE MODELOS COMPORTAMENTALES

    donde C representa el conjunto de valores de los componentes. Además, los valores

    de los componentes pueden ser separados en valores de dispositivos activos (A) y

    valores de dispositivos pasivos (P), lo cual produce:

    bi = fb1(A,P) (2.4)

    ai = fa1(A,P) (2.5)

    Componentes activos y pasivos son simulados por medio de una correcta repre-

    sentación del análisis nodal modificado (MNA), como se muestra en la figura 2.9.

    Figura 2.9: Establecimiento de la matriz MNA.

    La respuesta en frecuencia es t́ıpicamente caracterizada en términos como:

    Frequency response, representación general del comportamiento del sistema

    como una función de frecuencia.

  • 2.1. TIPOS DE MODELOS COMPORTAMENTALES 21

    Poles, raices del denominador polinomial de la función de transferencia, las

    cuales determinan la estabilidad y, junto con los zeros, las caracteŕısticas

    transitorias.

    Zeros, raices del numerador polinomial de la función de transferencia, las

    cuales determinan la estabilidad inversa y, junto con los poles, las carac-

    teŕısticas transitorias.

    Relative degree, número de poles menos el número de zeros ; determina si un

    sistema es strictly proper, biproper o improper.

    Strictly proper, el sistema tiene mas poles que zeros, es implementable y posee

    una ganacia cero en alta frecuencia.

    Biproper, el sistema tiene igual número de poles y zeros, es implementable y

    posee una ganacia finita en alta frecuencia.

    Improper, el sistema tiene mas zeros que poles, no es implementable y posee

    una ganacia infinita en alta frecuencia.

    En general, un modelo comportamental en el dominio de la frecuencia describe la

    relación entre las componentes espectrales de las señales de entrada y salida en los

    puertos de un dispositivo bajo prueba (DUT)[15].

    La figura 2.10 describe de manera general como obtener un modelo comportamen-

    tal en el dominio de la frecuencia o en el dominio del tiempo.

  • 22 CAPÍTULO 2. GENERACIÓN DE MODELOS COMPORTAMENTALES

    Figura 2.10: Modelo comportamental en los dominios de frecuencia y tiempo.

    2.2. Modelos basados en ecuaciones

    constitutivas

    Los modelos basados en ecuaciones constitutivas [16] provienen de la śıntesis de

    redes ya sean de dos terminales, tres terminales o n-terminales, como se muestra

    en la figura 2.11, usando sólo un conjunto básico de elementos como: resistores,

    capacitores, inductores, fuentes de voltage-corriente independientes y fuentes de

    voltaje-corriente dependientes. Desafortunadamente, el anterior requerimiento no

    es satisfecho cuando se usan dispositivos prácticos como diodos, transistores, etc.

    Sin embargo, tales dispositivos pueden ser reemplazados por un circuito equivalente

    aproximado.

  • 2.2. MODELOS BASADOS EN ECUACIONES CONSTITUTIVAS 23

    Figura 2.11: Redes de (a) dos terminales, (b) tres terminales y (c) n-terminales.

    Cada dispositivo puede tener distintos circuitos equivalentes aproximados. La ha-

    bilidad de seleccionar el más adecuado depende del entendimiento de su aplicación,

    aśı como dos importantes cualidades de una señal: el rango de amplitud y el ancho

    de banda.

    El rango de amplitud corresponde al máximo y al mı́nimo swing de voltaje y

    corriente al cual el dispositivo estará sujeto. El ancho de banda correspode a las

    mas bajas y a las mas altas componentes de frecuencia de las señales.

    La figura 2.12 muestra (a) un transistor npn, (b) su modelo π de pequeña señal

    y (c) su modelo de alta frecuencia. Cualquiera que sea su dominio de anaĺısis, ya

    sea DC, lineal AC o transistorio, siempre las caracteŕısticas de sus elementos de

    ramas podrán ser expresados en una sistema de matrices de la forma

    i1

    i2...

    ib

    =

    y11 y12 . . . y1b

    y21 y22 . . . y2b...

    .... . .

    ...

    yb1 yb2 . . . ybb

    v1

    v2...

    vb

  • 24 CAPÍTULO 2. GENERACIÓN DE MODELOS COMPORTAMENTALES

    La cual puede ser escrita de manera compacta como

    i = Ybv (2.6)

    donde Yb es llamada la matriz de admitancias de ramas.

    Figura 2.12: (a) Transistor npn, (b) su modelo π de pequeña señal y (c) su modelo de

    gran señal.

    Redes topológicas de dos terminales, tres terminales o n-terminales, tanto lineales

    como no lineales, pueden ser modeladas como una interconexión de elementos

    con caracteŕısticas espećıficas. Una descripción completa del modelado de redes

    topológicas debe contener la siguiente información:

  • 2.2. MODELOS BASADOS EN ECUACIONES CONSTITUTIVAS 25

    La forma de interconexión de puertos o ramas de los elementos que integran

    la red topológica.

    La dirección de las señales de corriente y voltaje de los puertos o ramas de

    cada elemento.

    Caracteŕısticas de los puertos o ramas.

    En general, los modelos basados en ecuaciones constitutivas se pueden formar me-

    diante la formulación de ecuaciones que provienen de la ley de voltajes de Kirchhoff

    (KVL) y de la ley de corrientes de Kirchhoff (KCL) aśı también mediante la formu-

    lación de ecuaciones nodales y mediante la formulación de ecuaciones de estado.

  • 26 CAPÍTULO 2. GENERACIÓN DE MODELOS COMPORTAMENTALES

  • Caṕıtulo 3

    Metodoloǵıa de modelado

    3.1. Metodoloǵıa por reconstrucción de señal

    Una metodoloǵıa por reconstrucción de señal construye modelos para dispositivos,

    subcircuitos o circuitos mediante la adquisición de datos provenientes de gráficas

    de salida de las variables a modelar, ya sea en un instante de tiempo espećıfico o

    en rango de frecuencia en particular.

    Figura 3.1: Curva caracteŕıstica I-V de un NR

    27

  • 28 CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA DE MODELADO

    La figura 3.1 muestra la curva caracteŕıstica corriente contra voltaje I-V de un

    resistor no lineal llamado diodo de Chua (NR) [17].

    Inicialmente se observa que la curva caracteŕıstica I-V de la figura 3.1 puede ser

    seccionada en 5 zonas como se muestra en la figura 3.2, en donde cada zona posee

    un rango de operación en especifico aśı como una pendiente constante, ya sea

    positiva o negativa.

    Figura 3.2: Zonas de la curva caracteŕıstica I-V de un NR

    La zona 1 trabaja en un rango de voltaje menor a -400mV y con una pendiente

    positiva aproximada de 8.39x10−4, con un desfase positivo de valor con respesto al

    eje vertical de 0.53x10−3. La zona 2 trabaja en un rango de voltaje mayor o igual a

    -400mV y menor a -114mV, con una pendiente negativa aproximada de 4.05x10−4

    y un desfase positivo de valor con respecto al eje vertical de 38x10−6. La zona 3

    trabaja en un rango de voltaje mayor o igual a -114mV y menor o igual a 114mV,

    con una pendiente negativa aproximada de 8.39x10−4. La zona 4 trabaja en un

    rango de voltaje mayor a 114mV y menor o igual a 400mV, con una pendiente

    negativa aproximada de 4.05x10−4 y un desfase negativo de valor con respecto al

  • 3.1. METODOLOGÍA POR RECONSTRUCCIÓN DE SEÑAL 29

    eje vertical de 38x10−6. La zona 5 trabaja en un rango de voltaje mayor a 400mV

    y con una pendiente positiva aproximada de 8.39x10−4, con un desfase positivo de

    valor con respesto al eje vertical de 0.53x10−3.

    Los valores de las pendientes se obtienen seleccionando dos puntos que pertenecen

    a la recta y posteriormente utilizando la siguiente fórmula:

    m =y2 − y1x2 − x1 (3.1)

    en donde x1 y y1 son las coordenadas en los ejes horizontal y vertical respectiva-

    mente del punto 1, x2 y y2 son las coordenadas en los ejes horizontal y vertical

    respectivamente del punto 2 y, m es la pendiente resultante entre los dos puntos

    seleccionados.

    Figura 3.3: Prolongación de rectas de las zonas 1, 2, 4 y 5

  • 30 CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA DE MODELADO

    El desfase de valor con respecto al eje vertical se calcula mediante la prolongación

    de la recta hasta topar con el eje. En la figura 3.3 se muestra el procedimiento para

    obtener los valores de desfase de las rectas de las zonas 1, 2, 4 y 5 de la figura 3.1.

    Finalmente se puede concluir que para llevar a cabo una metodoloǵıa por recon-

    strucción de señal se deben seguir los siguientes pasos:

    1. Seccionar la curva caracteŕıstica en zonas.

    2. Calcular las pendientes de las rectas de cada zona.

    3. Obtener los desfases de valor con respecto a los ejes de las zonas que no

    pasan por el origen.

    3.2. Metodoloǵıa por aproximación de señal

    Una metodoloǵıa por aproximación de señal construye modelos para dispositivos,

    subcircuitos o circuitos mediante la utilización de funciones cont́ınuas, funciones

    piece-wise linear (PWL) o aproximaciones polinomiales, ya sea en un instante de

    tiempo espećıfico o en una frecuencia en particular.

    3.2.1. Funciones cont́ınuas

    Una función f definida sobre un intervalo I es cont́ınua si la curva que la representa,

    es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida por un

    trazo cont́ınuo, como en la figura 3.4 y no como en la figura 3.5.

    El intervalo I de x es el dominio de definición de f , definido como el conjunto de

    los valores de x para los cuales f(x) existe. El intervalo J de y es el codominio

    (también conocido como contradominio, rango o imagen) de f , el conjunto de

    valores de y, tomados como y = f(x). Se escribe J = f(I).

  • 3.2. METODOLOGÍA POR APROXIMACIÓN DE SEÑAL 31

    Figura 3.4: Función cont́ınua

    Figura 3.5: Función discont́ınua

    El mayor elemento de J se llama el máximo absoluto de f en I, y el menor valor

    de J es su mı́nimo absoluto en el dominio I.

    3.2.2. Funciones piecewise linear

    Una función piecewise linear [18] es la aproximación de un comportamiento no-

    lineal utilizando un mapeo de descripciones lineales por segmentos, donde cada

    segmento puede ser visto como una ecuación de recta. El problema básico es trans-

    formar una ecuación no lineal a un sistema de ecuaciones lineales.

  • 32 CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA DE MODELADO

    La figura 3.6 muestra a) la curva caracteŕıstica I-V del diodo túnel y b) su aprox-

    imación piecewise linear.

    Figura 3.6: (a) Curva caracteŕıstica I-V del diodo túnel y (b) su aproximación piecewise

    linear

    3.2.3. Aproximaciones polinomiales

    Un polinomio es una expresión que está construida a partir de una o varias vari-

    ables y constantes, usando solo las operaciones de suma, resta, multiplicación y

    exponentes de números enteros positivos constantes. Ejemplo de un polinomio es

    x2 − 4x + 8 (3.2)

  • 3.2. METODOLOGÍA POR APROXIMACIÓN DE SEÑAL 33

    Una función polinomial es una función definida por la evaluación de un polinomio.

    Por ejemplo, la función f definida por

    f(x) = x3 + 6x (3.3)

    es una función polinomial. Las funciones polinomiales son una clase importante de

    funciones “suaves”. El adjetivo “suave” proviene de cálculo. Significa que siempre

    es posible tomar las derivadas sucesivas de una función polinomial, repetidamente,

    hasta el orden del polinomio.

    Figura 3.7: Curvas provenientes de polinomios

    La figura 3.7 muestra algunas curvas provenientes de polinomios. La curva de la

    figura 3.7 a) proviene de un polinomio de segundo grado de la forma

  • 34 CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA DE MODELADO

    f(x) = x2 − x− 2 = (x− 1)(x− 2) (3.4)

    La curva de la figura 3.7 b) proviene de un polinomio de tercer grado de la forma

    f(x) =x3

    5+

    4x2

    5− 7x

    5− 2 (3.5)

    La curva de la figura 3.7 c) proviene de un polinomio de cuarto grado de la forma

    f(x) =1

    14(x + 4)(x + 1)(x− 1)(x− 3) + 0,5 (3.6)

    La curva de la figura 3.7 d) proviene de un polinomio de quinto grado de la forma

    f(x) =1

    20(x + 4)(x + 2)(x + 1)(x− 1)(x− 3) + 2 (3.7)

    3.3. Metodoloǵıa por variables de estado

    La representación o modelado mediante variables de estado consiste en relacionar

    matemáticamente las salidas con las entradas a través de las variables de estado

    como paso intermedio.

    Cualquier red concentrada obedece tres leyes básicas: la ley de voltajes de Kirch-

    hoff, la ley de corrientes de Kirchhoff y las leyes de elementos (caracteŕısticas

    de ramas). Si se parte de la tres anteriores leyes, entonces se pueden reducir las

    ecuaciones de un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden linealmente

    independientes

    ẋ = f(x, t) (3.8)

  • 3.3. METODOLOGÍA POR VARIABLES DE ESTADO 35

    donde x es un conjunto de n variables auxiliares independientes, conocidas como

    estados.

    Figura 3.8: Circuito simple RLC

    La figura 3.8 muestra un circuito simple RLC, en el cual para encontrar un mod-

    elo por variables de estado debemos primeramente considerar que el número de

    variables de estado es igual al número de almacenadores de enerǵıa que hay en el

    sistema, es decir la cantidad de capacitores o inductores que tiene el circuito. La

    elección común de variables de estado en el circuito de la figura 3.8 son la tensión

    en el capacitor Vc y la corriente eléctrica a través del inductor IL. Considerando IR

    como la corriente a través de la resistencia R y u = u(t), las ecuaciones de estado

    pueden obtenerse mediante leyes de Kirchhoff:

    u = R · IR + VcC · dVc

    dt= IR − IL (3.9)

    L · dILdt

    = Vc

    Despejando IR de la primera ecuación y sustituyendola en la segunda, se obtiene

  • 36 CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA DE MODELADO

    dVcdt

    =u

    CR− Vc

    CR− IL

    CdILdt

    =1

    L· Vc (3.10)

    La ecuación 3.10 define totalmente el comportamiento del circuito y puede ser

    resuelta en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia.

    Uno de los problemas mas importantes para llevar a cabo el modelado mediante

    variables de estado reside en el hecho de identificar estados (voltajes de capacitores

    y corrientes de inductores) que sean linealmente independientes [19].

  • Caṕıtulo 4

    Casos de estudio

    En el presente caṕıtulo se aborda la aplicación al análisis de circuitos de modelos

    comportamentales analógicos que se orientan a funciones constitutivas de rama.

    Estos modelos se han codificado en Verilog-A y verificado mediante simulación

    circuital en HSPICE.

    Adicionalmente, se usa otra herramienta llamada Analog Insydes la cual permite la

    generación de modelos comportamentales con énfasis en la manipulación simbólica.

    4.1. Circuito de Chua

    El circuito de Chua es un claro ejemplo de un circuito oscilador simple autónomo

    no-lineal, el cuál exhibe comportamiento caótico. Consiste de un resistor R, dos

    capacitores C1 y C2, un inductor L y una conductancia activa no-lineal NL. La

    figura 4.1 muestra los elementos del circuito Chua, aśı como sus interconexiones.

    Los valores de los elementos del circuito son asumidos como: R = 1.43Ω, C1 =

    111mF , C2 = 1F , L = 143mH [20].

    37

  • 38 CAPÍTULO 4. CASOS DE ESTUDIO

    Figura 4.1: Circuito de Chua.

    La conductancia activa no-lineal NL posee una relación corriente-voltaje como

    función constitutiva de rama. En este ejemplo para observar oscilaciones caóticas

    se utilizan funciones que tienen una relación voltaje-corriente cualitativamente,

    como: -arctan, funciones piecewise linear (PWL) y aproximaciones polinomiales.

    −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−1.5

    −1

    −0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    Voltaje

    Cor

    rient

    e

    Figura 4.2: Función i=-arctan·voltaje.

  • 4.1. CIRCUITO DE CHUA 39

    −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−3

    −2

    −1

    0

    1

    2

    3

    Voltaje

    Cor

    rient

    e

    Figura 4.3: Función piecewise linear.

    −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−3

    −2

    −1

    0

    1

    2

    3

    Voltaje

    Cor

    rient

    e

    Figura 4.4: Aproximación polinomial.

    Posteriormente se implementan las diferentes relaciones voltaje-corriente, mostradas

    en las figuras 4.2, 4.3 y 4.4, de la conductancia no lineal NL mediante modelos

    análogicos comportamentales generados en Analog Insydes. Finalmente se estruc-

    tura un modelo general del circuito mostrado en la figura 4.1 el cual contiene los

    modelos analógicos comportamentales de las tres diferentes funciones y se obtienen

    mediante análisis en transitorio las gráficas mostradas en las figuras 4.5, 4.6 y 4.7.

  • 40 CAPÍTULO 4. CASOS DE ESTUDIO

    -1.5 -1 -0.5 0.5 1 [email protected]

    -2

    -1

    1

    2

    [email protected]

    Figura 4.5: Respuesta del circuito Chua usando función i=-arctan·voltaje.

    -2 -1 1 [email protected]

    -2

    -1

    1

    2

    [email protected]

    Figura 4.6: Respuesta del circuito Chua usando función Piecewise linear.

    -4 -2 2 [email protected]

    -4

    -2

    2

    4

    [email protected]

    Figura 4.7: Respuesta del circuito Chua usando aproximación polinomial.

  • 4.1. CIRCUITO DE CHUA 41

    4.1.1. Análisis con el modelo i=-arctan·voltaje.

    El modelo i=-arctan·voltaje cuya función se muestra en la figura 4.2 se modificadentro de la zona comprendida entre las dos funciones de la figura 4.8. Los valores

    implican escalamientos de la función i=-arctan·voltaje por un coeficiente llamadoα. El coeficiente α toma valores de 1.25, 1.5, 1.75, 2, 2.05 y 2.06, como se muestra

    en las figuras 4.9 y 4.10. El objetivo es analizar el comportamiento de los atractores

    cuando la función del modelo i=-arctan·voltaje se aproxima al eje y.

    −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−1.5

    −1

    −0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    Voltaje

    Cor

    rient

    e

    Figura 4.8: Zona de análisis del modelo i=-arctan·voltaje.

    -2 -1 1 [email protected]

    -2

    -1

    1

    2

    [email protected]

    -2 -1 1 [email protected]

    -3

    -2

    -1

    1

    2

    3

    [email protected]

    (a) α=1.25 (b) α=1.5

    Figura 4.9: Análisis del modelo comportamental i=-arctan(α · u).

  • 42 CAPÍTULO 4. CASOS DE ESTUDIO

    -2 -1 1 [email protected]

    -3

    -2

    -1

    1

    2

    3

    [email protected]

    -2 -1 1 2 [email protected]

    -4

    -3

    -2

    -1

    1

    2

    3

    [email protected]

    (c) α=1.75 (d) α=2

    -2 -1 1 2 [email protected]

    -4

    -3

    -2

    -1

    1

    2

    [email protected]

    -2 -1 1 2 [email protected]

    -4

    -3

    -2

    -1

    1

    2

    [email protected]

    (e) α=2.05 (f) α=2.06

    Figura 4.10: Análisis del modelo comportamental i=-arctan(α · u).

  • 4.1. CIRCUITO DE CHUA 43

    En un segundo experimento la función del modelo i=-arctan·voltaje se modificadentro de la zona comprendida entre las dos funciones de la figura 4.11. El coefi-

    ciente α toma valores de 0.82, 0.81, 0.8, 0.78, 0.76, 0.75, 0.74, 0.72 y 0.71, como

    se muestra en las figuras 4.12 y 4.13. El objetivo es analizar el comportamiento de

    los atractores cuando la función del modelo i=-arctan·voltaje se aproxima al eje x.

    −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−1.5

    −1

    −0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    Figura 4.11: Zona de análisis del modelo i=-arctan·voltaje.

    -1 -0.5 0.5 [email protected]

    -1.5

    -1

    -0.5

    0.5

    1

    [email protected]

    (a) α=0.82

    Figura 4.12: Análisis del modelo comportamental i=-arctan(α · u).

  • 44 CAPÍTULO 4. CASOS DE ESTUDIO

    -1 -0.5 0.5 [email protected]

    -1.5

    -1

    -0.5

    0.5

    1

    [email protected]

    -1 -0.5 0.5 [email protected]

    -1

    -0.5

    0.5

    1

    [email protected]

    (b) α=0.81 (c) α=0.8

    -1 -0.5 0.5 [email protected]

    -1

    -0.5

    0.5

    1

    [email protected]

    -1 -0.5 0.5 [email protected]

    -1

    -0.5

    0.5

    1

    [email protected]

    (d) α=0.78 (e) α=0.76

    -1 -0.5 0.5 [email protected]

    -1

    -0.5

    0.5

    1

    [email protected]

    -1 -0.5 0.5 [email protected]

    -1

    -0.5

    0.5

    1

    [email protected]

    (f) α=0.75 (g) α=0.74

    -0.5 0.5 [email protected]

    -1

    -0.5

    0.5

    1

    [email protected]

    -0.5 0.5 [email protected]

    -1

    -0.5

    0.5

    1

    [email protected]

    (h) α=0.72 (i) α=0.71

    Figura 4.13: Análisis del modelo comportamental i=-arctan(α · u).

  • 4.1. CIRCUITO DE CHUA 45

    Conclusiones

    Se observa que mientras el coeficiente α incremente su valor por encima de la

    unidad, es decir la función del modelo i=-arctan·voltaje se aproxima al eje y,uno de los atractores presente en el circuito dinámico comenzará a desaparecer

    paulatinamente hasta el instante en el cual exista un solo atractor. Por otra parte,

    mientras el coeficiente α decremente su valor por debajo de la unidad, es decir

    la función del modelo i=-arctan·voltaje se aproxima al eje x, los dos atractorescomenzarán a desaparecer paulatinamente hasta formar un sistema oscilatorio sin

    atractores.

    4.1.2. Análisis con el modelo Piecewise linear

    El modelo piecewise linear cuya función se muestra en la figura 4.3 se modifica

    dentro de la zona comprendida entre las dos funciones de la figura 4.14. Los valores

    implican ángulos de la pendiente central de la función piecewise linear represen-

    tados por φ. El ángulo φ toma valores de 48.36◦, 41.18◦, 14.03◦ y 3.57◦, como

    se muestra en la figura 4.15. El objetivo es analizar el comportamiento de los

    atractores cuando el ángulo φ se aproxima a 0◦ con respecto al eje y.

    −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−3

    −2

    −1

    0

    1

    2

    3

    Voltaje

    Cor

    rient

    e

    Figura 4.14: Zona de análisis del modelo Piecewise linear.

  • 46 CAPÍTULO 4. CASOS DE ESTUDIO

    -2 -1 1 [email protected]

    -3

    -2

    -1

    1

    2

    [email protected]

    -3 -2 -1 1 2 [email protected]

    -4

    -2

    2

    4

    [email protected]

    (a) φ=48.36◦ (b) φ=41.18◦

    -4 -2 2 [email protected]

    -6

    -4

    -2

    2

    4

    6

    [email protected]

    -4 -2 2 [email protected]

    -6

    -4

    -2

    2

    4

    6

    [email protected]

    (c) φ=14.06◦ (d) φ=3.57

    Figura 4.15: Análisis del modelo comportamental Piecewise linear.

  • 4.1. CIRCUITO DE CHUA 47

    En un siguiente experimento la función del modelo Piecewise linear se modifica

    dentro de la zona comprendida entre las dos funciones de la figura 4.16. La figura

    4.17 brinda un acercamiento a la zona de análisis. Los valores implican ángulos de

    la pendiente central de la función piecewise linear representados por φ. El ángulo

    φ toma valores de 38.1◦, 37.3◦ y 36◦, como se muestra en la figura 4.18. El objetivo

    es analizar el comportamiento de los atractores cuando el ángulo φ se aproxima a

    0◦ con respecto al eje x.

    −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−3

    −2

    −1

    0

    1

    2

    3

    Voltaje

    Cor

    rient

    e

    Figura 4.16: Zona de análisis del modelo Piecewise linear.

    −1.5 −1.4 −1.3 −1.2 −1.1 −1 −0.9 −0.8 −0.7 −0.6

    0.65

    0.7

    0.75

    0.8

    0.85

    0.9

    0.95

    Voltaje

    Cor

    rient

    e

    Figura 4.17: Acercamiento a la zona de análisis del modelo Piecewise linear.

  • 48 CAPÍTULO 4. CASOS DE ESTUDIO

    -2 -1 1 [email protected]

    -2

    -1

    1

    2

    [email protected]

    (a) φ=38.1◦

    0.5 1 [email protected]

    -1.5

    -1

    -0.5

    [email protected]

    0.5 1 [email protected]

    -1.5

    -1

    -0.5

    0.5

    [email protected]

    (b) φ=37.3◦ (c) φ=36◦

    Figura 4.18: Análisis del modelo comportamental Piecewise linear.

  • 4.1. CIRCUITO DE CHUA 49

    Un tercer experimento consiste en modificar la función del modelo Piecewise lin-

    ear dentro de la zona comprendida entre las dos funciones de la figura 4.19. Los

    valores implican ángulos de las pendientes laterales de la función piecewise linear

    representados por φ. El ángulo φ toma valores de 62.24◦, 60.23◦ y 59.9◦, como se

    muestra en las figuras 4.20 y 4.21. El objetivo es analizar el comportamiento de

    los atractores cuando el ángulo φ se aproxima a 0◦ con respecto al eje y.

    −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−3

    −2

    −1

    0

    1

    2

    3

    Voltaje

    Cor

    rient

    e

    Figura 4.19: Zona de análisis del modelo Piecewise linear.

    -2 -1 1 [email protected]

    -2

    -1

    1

    2

    [email protected]

    (a) φ=62.24◦

    Figura 4.20: Análisis del modelo comportamental Piecewise linear.

  • 50 CAPÍTULO 4. CASOS DE ESTUDIO

    -2 -1 1 [email protected]

    -2

    -1

    1

    2

    [email protected]

    -0.5 0.5 1 1.5 2 [email protected]

    -2.5

    -2

    -1.5

    -1

    -0.5

    0.5

    [email protected]

    (b) φ=60.23◦ (c) φ=59.9◦

    Figura 4.21: Análisis del modelo comportamental Piecewise linear.

    El último experimento consiste en modificar la función del modelo Piecewise lin-

    ear dentro de la zona comprendida entre las dos funciones de la figura 4.22. Los

    valores implican ángulos de las pendientes laterales de la función piecewise linear

    representados por φ. El ángulo φ toma valores de 23.96◦, 15.94◦ y 12.52◦, como

    se muestra en la figura 4.23. El objetivo es analizar el comportamiento de los

    atractores cuando el ángulo φ se aproxima a 0◦ con respecto al eje x.

    −10 −5 0 5 10−3

    −2

    −1

    0

    1

    2

    3

    Voltaje

    Cor

    rient

    e

    Figura 4.22: Zona de análisis del modelo Piecewise linear.

  • 4.1. CIRCUITO DE CHUA 51

    -2 -1 1 [email protected]

    -2

    -1

    1

    2

    [email protected]

    (a) φ=23.96◦

    -1.5 -1 -0.5 0.5 1 [email protected]

    -1.5

    -1

    -0.5

    0.5

    1

    1.5

    [email protected]

    -0.25 0.25 0.5 0.75 1 1.25 [email protected]

    -1.5

    -1

    -0.5

    0.5

    [email protected]

    (b) φ=15.94◦ (c) φ=12.52◦

    Figura 4.23: Análisis del modelo comportamental Piecewise linear.

  • 52 CAPÍTULO 4. CASOS DE ESTUDIO

    Conclusiones

    Se observa que mientras el ángulo φ de la pendiente interna se aproxime al eje

    y, los atractores presentes en el circuito dinámico empezarán a acercarse uno con

    otro hasta formar un sistema oscilatorio alrededor de ellos. Por el contrario, si

    el ángulo φ de la pendiente interna se aproxima al eje x, uno de los atractores

    desaparecerá rápidamente mientras el otro sufrirá deformaciones en su anchura.

    Tamb́ıen se puede observar que la aproximación de las pendientes laterales ya sea

    hacia el eje x o hacia el eje y ocasionará que uno de los atractores desaparezca

    mientras el otro se deforma.

    4.1.3. Análisis con el modelo de Aproximación polinomial

    El modelo de aproximación polinomial cuya función se muestra en la figura 4.4 se

    modifica dentro de la zona comprendida entre las dos funciones de la figura 4.24.

    Los valores implican escalamientos en la variable de tercer grado de la aproximación

    polinomial por un coeficiente llamado β.

    −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−5

    −4

    −3

    −2

    −1

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    Voltaje

    Cor

    rient

    e

    Figura 4.24: Zona de análisis del modelo Aproximación polinomial.

    El coeficiente β toma valores de 0.03, 0.04, 0.05, 0.08, 0.15, 0.2, 0.25 y 0.3, como

    se muestra en las figuras 4.25 y 4.26. El objetivo es analizar el comportamiento

  • 4.1. CIRCUITO DE CHUA 53

    de los atractores cuando la pendiente negativa de la aproximación polinomial se

    reduce en su rango de operación.

    -2 -1 1 [email protected]

    -2

    -1

    1

    2

    [email protected]

    -2 -1 1 [email protected]

    -2

    -1

    1

    2

    [email protected]

    (a) β=0.03 (b) β=0.04

    -2 -1 1 [email protected]

    -2

    -1

    1

    [email protected]

    -1.5 -1 -0.5 0.5 1 [email protected]

    -1.5

    -1

    -0.5

    0.5

    1

    1.5

    [email protected]

    (c) β=0.05 (d) β=0.08

    Figura 4.25: Análisis del modelo comportamental Aproximación polinomial.

  • 54 CAPÍTULO 4. CASOS DE ESTUDIO

    -1 -0.5 0.5 [email protected]

    -1

    -0.5

    0.5

    1

    [email protected]

    -1 -0.5 0.5 [email protected]

    -1

    -0.5

    0.5

    1

    [email protected]

    (e) β=0.15 (f) β=0.2

    -0.5 0.5 [email protected]

    -1

    -0.5

    0.5

    1

    [email protected]

    -0.75-0.5-0.25 0.25 0.5 [email protected]

    -1

    -0.5

    0.5

    1

    [email protected]

    (g) β=0.25 (h) β=0.3

    Figura 4.26: Análisis del modelo comportamental Aproximación polinomial.

    Conclusiones

    Se observa que mientras el coeficiente β incremente su valor y por la tanto la

    pendiente negativa de la aproximación polinomial reduzca su rango de operación,

    los atractores presentes en el circuito dinámico empezarán a deformarse en su

    anchura y además se formará un sistema oscilatorio alrededor de ellos.

  • 4.2. OSCILADOR COLPITTS CLÁSICO 55

    4.2. Oscilador Colpitts clásico

    El oscilador Colpitts bajo estudio se muestra en la figura 4.27. Trabajos anteriores

    [21, 22] han establecido que el oscilador Colpitts BJT puede exhibir comportamien-

    to caótico y además que tal comportamiento caótico no es un efecto paraśıtico. El

    circuito consiste de un transistor Q de unión bipolar (BJT), el cual es polarizado

    en su región activa por medio de VEE, REE y VCC . El lazo de retroalimentación

    consiste en un inductor L con una resistencia en serie RL, y un divisor capacitivo

    compuesto por C1 y C2.

    Figura 4.27: Oscilador Colpitts BJT.

    La parte activa del circuito es sustituida por el transistor 2n2222a, un modelo

    simple del transistor como un elemento puramente resistivo, el modelo Ebers-Moll

    h́ıbrido-π no lineal [23], el modelo Ebers-Moll de transpote [23] y finalmente por

  • 56 CAPÍTULO 4. CASOS DE ESTUDIO

    el transistor 2n3904. Los tres modelos son codificados en modulos Verilog-A para

    posteriormente ser insertados en la parte activa del circuito.

    La frecuencia fundamental (ω = 2πf) para el oscilador Colpitts BJT puede ser

    calculada mediante la siguiente expresión

    ω =

    √C1 + C2LC1C2

    (4.1)

    4.2.1. Análisis con transistor 2n2222a

    Mediante el uso del transistor 2n2222a para la parte activa del circuito y el es-

    tablecimiento de los siguientes parámetros: VCC = 5V , VEE = −5V , REE = 400Ω,RL = 35Ω, L = 0.36µH, C1 = 330pF y C2 = 330pF , se obtienen las gráficas de

    salida mostradas en las figuras 4.28 y 4.29.

    VC

    2

    −2.0

    −1.0

    0.0

    1.0

    VC1

    1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0

    Figura 4.28: Análisis con transistor 2n2222a. Eje horizontal: VC1; eje vertical: VC2

  • 4.2. OSCILADOR COLPITTS CLÁSICO 57

    VC

    1

    0.0

    2.0

    4.0

    6.0

    IL

    −60.0m −50.0m −40.0m −30.0m −20.0m −10.0m 0.0 10.0m

    Figura 4.29: Análisis con transistor 2n2222a. Eje horizontal: IL; eje vertical: VC1

    4.2.2. Análisis con modelo simple del transistor

    Se asume que el transistor BJT en el oscilador Colpitts actúa como un elemento

    puramente resistivo, por lo cual se modela como un resistor NR de dos segmentos

    lineal a trozos controlado por voltaje y una fuente de corriente lineal controlada

    por corriente, como se muestra en la figura 4.30.

    Figura 4.30: Modelo simple del BJT

    Tal modelo opera en dos regiones: activo y corte. Por lo tanto, se establecen las

    siguientes condiciones de operación

  • 58 CAPÍTULO 4. CASOS DE ESTUDIO

    IB =

    0 si VBE ≤ VTHVBE−VTH

    RONsi VBE > VTH

    IC = βF IB

    donde VTH es el voltaje de umbral, RON es la resistencia de pequeña señal de la

    unión base-emisor y βF es la ganancia de corriente.

    Mediante el uso del modelo simple, codificado en un modulo Verilog-A, para

    la parte activa del circuito y el establecimiento de los siguientes parámetros:

    VCC = 5V , VEE = −5V , REE = 400Ω, RL = 35Ω, L = 0.36µH, C1 = 330pFy C2 = 330pF , se obtienen las gráficas de salida mostradas en las figuras 4.31 y

    4.32.

    VC

    2

    −1.0

    −0.5

    0.0

    0.5

    1.0

    VC1

    2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0

    Figura 4.31: Análisis con modelo simple. Eje horizontal: VC1; eje vertical: VC2

  • 4.2. OSCILADOR COLPITTS CLÁSICO 59

    VC

    1

    2.0

    3.0

    4.0

    5.0

    6.0

    IL

    −50.0m −40.0m −30.0m −20.0m −10.0m 0.0 10.0m

    Figura 4.32: Análisis con modelo simple. Eje horizontal: IL; eje vertical: VC1

    4.2.3. Análisis con modelo Ebers-Moll h́ıbrido-π no lineal

    El modelo Ebers-Moll h́ıbrido-π no lineal es mostrado en la figura 4.33. Donde

    Figura 4.33: Modelo Ebers-Moll h́ıbrido-π no lineal

    ICCβF

    =ISβF

    [eqVBE

    KT − 1] (4.2)

    IECβR

    =ISβR

    [eqVBC

    KT − 1] (4.3)

  • 60 CAPÍTULO 4. CASOS DE ESTUDIO

    ICT = ICC − IEC = IS{[eqVBE

    KT − 1]− [e qVBCKT − 1]} (4.4)

    IS es la corriente de saturación del transistor, BF es la ganancia de corriente de

    gran señal en emisor común y BR es la ganancia de corriente inversa de gran señal

    en emisor común.

    Mediante el uso del modelo Ebers-Moll h́ıbrido-π no lineal, codificado en un modu-

    lo Verilog-A, para la parte activa del circuito y el establecimiento de los siguientes

    parámetros: VCC = 5V , VEE = −5V , REE = 400Ω, RL = 35Ω, L = 0.36µH,C1 = 330pF y C2 = 330pF , se obtienen las gráficas de salida mostradas en las

    figuras 4.34 y 4.35.

    VC

    2

    −3.0

    −2.0

    −1.0

    0.0

    1.0

    VC1

    0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0

    Figura 4.34: Análisis con modelo Ebers-Moll h́ıbrido-π no lineal. Eje horizontal: VC1;

    eje vertical: VC2

  • 4.2. OSCILADOR COLPITTS CLÁSICO 61

    VC

    1

    0.0

    2.0

    4.0

    6.0

    IL

    −0.1 −75.0m −50.0m −25.0m 0.0 25.0m

    Figura 4.35: Análisis con modelo Ebers-Moll h́ıbrido-π no lineal. Eje horizontal: IL; eje

    vertical: VC1

    4.2.4. Análisis con modelo Ebers-Moll de transporte

    El modelo Ebers-Moll de transporte se conforma ya sea por las corrientes con las

    flechas apuntando hacia arriba o por las corrientes con las flechas apuntando hacia

    abajo presentadas en la figura 4.36.

    Figura 4.36: Modelo Ebers-Moll de transporte

    Mediante el uso del modelo Ebers-Moll de transporte, codificado en un modulo

    Verilog-A, para la parte activa del circuito y el establecimiento de los siguientes

    parámetros: VCC = 5V , VEE = −5V , REE = 400Ω, RL = 35Ω, L = 0.36µH,

  • 62 CAPÍTULO 4. CASOS DE ESTUDIO

    C1 = 330pF y C2 = 330pF , se obtienen las gráficas de salida mostradas en las

    figuras 4.37 y 4.38.

    VC

    2

    −3.0

    −2.0

    −1.0

    0.0

    1.0

    VC1

    0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0

    Figura 4.37: Análisis con modelo Ebers-Moll de transporte. Eje horizontal: VC1; eje

    vertical: VC2

    VC

    1

    0.0

    2.0

    4.0

    6.0

    IL

    −0.1 −75.0m −50.0m −25.0m 0.0 25.0m

    Figura 4.38: Análisis con modelo Ebers-Moll de transporte. Eje horizontal: IL; eje ver-

    tical: VC1

  • 4.2. OSCILADOR COLPITTS CLÁSICO 63

    4.2.5. Análisis con transistor 2n3904

    Mediante el uso del transistor 2n3904 para la parte activa del circuito y el es-

    tablecimiento de los siguientes parámetros: VCC = 5V , VEE = −5V , REE = 400Ω,RL = 35Ω, L = 0.36µH, C1 = 330pF y C2 = 330pF , se obtienen las gráficas de

    salida mostradas en las figuras 4.32 y 4.40. V

    C2

    −1.0

    −0.5

    0.0

    0.5

    1.0

    VC1

    2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0

    Figura 4.39: Análisis con transistor 2n3904. Eje horizontal: VC2; eje vertical: VC1

    VC

    1

    2.0

    3.0

    4.0

    5.0

    6.0

    IL

    −50.0m −40.0m −30.0m −20.0m −10.0m 0.0 10.0m

    Figura 4.40: Análisis con transistor 2n3904. Eje horizontal: IL; eje vertical: VC2

  • 64 CAPÍTULO 4. CASOS DE ESTUDIO

    Conclusiones

    Se observa que al emplear el modelo simple del transistor, el modelo Ebers-Moll

    h́ıbrido-π no lineal y el modelo Ebers-Moll de transporte para la parte activa del os-

    cilador Colpitts BJT, el comportameinto caótico se presenta de manera semejante

    al observado con los transistores 2n2222a y 2n3904.

    4.3. Oscilador Colpitts de dos estados

    Una versión novedosa del oscilador Colpitts caótico [24] se muestra en la figura

    4.41, el cual posee dos transistores de unión bipolar acoplados en serie y su lazo

    de resonancia consiste de un inductor y tres capacitores. En comparación con el

    oscilador Colpitts clásico, contiene un transistor extra Q2 acoplado en serie con el

    transistor Q1 y además un capacitor extra C3. El capacitor CO aterriza las señales

    de corriente alterna y el inductor LO juega el rol de estrangulador.

    Las partes activas del circuito, Q1 y Q2, son sustituidas por transistores 2n2222a,

    modelos simples del transistor como un elemento puramente resistivo, modelos

    Ebers-Moll h́ıbrido-π no lineal, y modelos Ebers-Moll de transporte. Los tres mod-

    elos son codificados en modulos Verilog-A para posteriormente ser insertados en

    las partes activas del circuito.

    La frecuencia fundamental (ω = 2πf) para el oscilador Colpitts BJT mostrado en

    la figura 4.41, puede ser calculada mediante la siguiente expresión

    ω =

    √C1C2 + C1C3 + C2C3

    LC1C2C3(4.5)

  • 4.3. OSCILADOR COLPITTS DE DOS ESTADOS 65

    Figura 4.41: Oscilador Colpitts BJT de dos estados.

    4.3.1. Análisis con modelo simple del transistor

    Mediante el uso del modelo simple del transistor, codificado en un modulo Verilog-

    A, para las partes activas del circuito y el establecimiento de los siguientes parámet-

    ros: VCC = 11V , REE = 510Ω, RL = 13Ω, L = 80nH, C1 = 47pF , C2 = C3 =

    150pF , R1 = 750Ω, R2 = 200Ω, R3 = 1,2kΩ, CO = 47nF y LO = 100µH se

    obtienen las gráficas de salida mostradas en las figuras 4.42 y 4.43.

  • 66 CAPÍTULO 4. CASOS DE ESTUDIO

    Ve

    5.0

    10.0

    15.0

    Vc

    −20.0 −10.0 0.0 10.0 20.0 30.0 40.0

    Figura 4.42: Análisis con modelo simple. Eje horizontal: VC ; eje vertical: VE

    Vc

    −20.0

    0.0

    20.0

    40.0

    IL

    −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3

    Figura 4.43: Análisis con modelo simple. Eje horizontal: IL; eje vertical: VC

  • 4.3. OSCILADOR COLPITTS DE DOS ESTADOS 67

    4.3.2. Análisis con modelo Ebers-Moll h́ıbrido-π no lineal

    Mediante el uso del modelo Ebers-Moll h́ıbrido-π no lineal, codificado en un modulo

    Verilog-A, para las partes activas del circuito y el establecimiento de los siguientes

    parámetros: VCC = 11V , REE = 510Ω, RL = 13Ω, L = 80nH, C1 = 47pF , C2 =

    C3 = 150pF , R1 = 750Ω, R2 = 200Ω, R3 = 1,2kΩ, CO = 47nF y LO = 100µH se

    obtienen las gráficas de salida mostradas en las figuras 4.44 y 4.45. V

    e

    4.0

    5.0

    6.0

    7.0

    Vc

    4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0

    Figura 4.44: Análisis con modelo Ebers-Moll h́ıbrido-π no lineal. Eje horizontal: VC ; eje

    vertical: VE

    IL

    −0.1 −75.0m −50.0m −25.0m 0.0 25.0m 50.0m 75.0m

    Vc

    0.0

    5.0

    10.0

    15.0

    20.0

    Figura 4.45: Análisis con modelo Ebers-Moll h́ıbrido-π no lineal. Eje horizontal: IL; eje

    vertical: VC

  • 68 CAPÍTULO 4. CASOS DE ESTUDIO

    4.3.3. Análisis con modelo Ebers-Moll de transporte

    Mediante el uso del modelo Ebers-Moll de transporte, codificado en un modulo

    Verilog-A, para las partes activas del circuito y el establecimiento de los siguientes

    parámetros: VCC = 11V , REE = 510Ω, RL = 13Ω, L = 80nH, C1 = 47pF , C2 =

    C3 = 150pF , R1 = 750Ω, R2 = 200Ω, R3 = 1,2kΩ, CO = 47nF y LO = 100µH se

    obtienen las gráficas de salida mostradas en las figuras 4.46 y 4.47.

    Ve

    0.0

    10.0

    20.0

    30.0

    Vc

    −75.0 −50.0 −25.0 0.0 25.0 50.0 75.0

    Figura 4.46: Análisis con modelo Ebers-Moll de transporte. Eje horizontal: VC ; eje

    vertical: VE

    Vc

    −100.0

    −50.0

    0.0

    50.0

    100.0

    IL

    −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

    Figura 4.47: Análisis con modelo Ebers-Moll de transporte. Eje horizontal: IL; eje ver-

    tical: VC

  • 4.4. FILTROS SALLEN & KEY 69

    Conclusiones

    Se observa que al emplear el modelo simple del transistor, el modelo Ebers-Moll

    h́ıbrido-π no lineal y el modelo Ebers-Moll de transporte para las partes activas

    del oscilador Colpitts BJT de dos estados, el comportameinto caótico se presenta

    de manera semejante al observado con técnicas de simulación simbólica.

    4.4. Filtros Sallen & Key

    Para ilustrar la aplicación de modelos comportamentales analógicos en el dominio

    de la frecuencia se analiza la conocida estructura Sallen&Key [25] determinandose

    funciones de transferencia y respuesta en frecuencia.

    La función bicuadrática de transferencia de un filtro general de segundo orden se

    expresa de la forma estándar

    T (s) =a2s

    2 + a1s + a0s2 + ω0

    Qs + ω20

    (4.6)

    donde ω0 y Q determinan los polos, según la ecuación

    p1, p2 = − ω02Q

    ± jω0√

    1− ( 14Q2

    ) (4.7)

    El parámetro Q determina la distancia de los polos desde el eje jω; cuanto más

    alto es el valor de Q, mas cerca están los polos al eje jω lo cual ocasiona una

    respuesta más selectiva del filtro. Un valor infinito de Q ubica a los polos sobre el

    eje jω. El parámtro Q recibe el nombre de factor calidad de polo, o simplemente

    Q de polo.

    Los ceros de transmisión de un filtro de segundo orden son determinados por los

    coeficientes del numerador a0, a1 y a1. Los coeficientes del numerador determinan

  • 70 CAPÍTULO 4. CASOS DE ESTUDIO

    el tipo de función del filtro de segundo orden (es decir, Filtro Pasa Bajas, Filtros

    Pasa Altas, Filtros Pasa Bandas, etc.)

    Figura 4.48: Filtro Pasa Bajas de segundo orden

    Figura 4.49: Filtro Pasa Altas de segundo orden

    Figura 4.50: Filtro Pasa Bandas de segundo orden

    Las figuras 4.48, 4.49 y 4.50 muestran los filtro de segundo orden Pasa Bajas,

    Pasa Altas y Pasa Bandas respectivamente, en una topoloǵıa llamada Sallen&Key,

    donde se emplean amplificadores operacionales en forma de VCVS (fuente de volta-

    je controlada por voltaje) con ganancia K. Sus funciones de transferencia son

  • 4.4. FILTROS SALLEN & KEY 71

    H(s) =K

    C1C2R1R2

    s2 + ( 1R1C1

    + 1R2C2

    + 1−KR2C2

    )s + 1C1C2R1R2

    (4.8)

    H(s) =Ks2

    s2 + ( 1R2C2

    + 1R2C1

    + 1−KR1C1

    )s + 1C1C2R1R2

    (4.9)

    H(s) =1+KR1C2

    s

    s2 + ( C2+C1R2C2C1

    −K 1R1C2

    )s + 1C1C2R1R2

    (4.10)

    las cuales se comparan con sus funciones de transferencia general para obtener los

    valores de Q y ω0

    T (s) =a0

    s2 + sω0Q

    + ω20(4.11)

    T (s) =a2s

    2

    s2 + sω0Q

    + ω20(4.12)

    T (s) =a1s

    s2 + sω0Q

    + ω20(4.13)

    4.4.1. ABM en el dominio de la frecuencia

    El uso de modelos analógico comportamentales (ABM) en el dominio de la frecuen-

    cia se encuentra enfocado en aspectos considerados por las funciones de transfer-

    encia o los parámetros de estabilidad que definen el comportamiento de sistemas

    lineales como los filtros de segundo orden Sallen & Key, mostrados en las figuras

    4.48, 4.49 y 4.50.

    Mediante la creación de modelos comportamentales ideales, los cuales parten de

    las funciones de transferencia, se implementan los filtros Sallen&Key de segundo

    orden Pasa Bajas, Pasa Altas y Pasa Bandas. Las respuestas en la frecuencia de

    los filtros son mostradas de la figuras 4.51 a la figura 4.56, donde los filtros de las

  • 72 CAPÍTULO 4. CASOS DE ESTUDIO

    figuras 4.51, 4.52 y 4.53 tiene una frecuencia de corte fc de 10KHz con una Q=10

    y los filtros de las figuras 4.54, 4.55 y 4.56 tienen una frecuencia de corte fc de

    10KHz con una Q=50. Todos los filtros poseen una ganancia de 0dB.

    f(Hz)

    1.0 10.0 100.0 1.0k 10.0k 100.0k 1meg

    V(d

    B)

    −100.0

    −50.0

    0.0

    50.0

    Figura 4.51: Filtro Pasa Bajas Sallen&Key con fc de 10KHz y Q=10

    f(Hz)

    1.0 10.0 100.0 1.0k 10.0k 100.0k 1meg

    V(d

    B)

    −200.0

    −100.0

    0.0

    Figura 4.52: Filtro Pasa Altas Sallen&Key con fc de 10KHz y Q=10

  • 4.4. FILTROS SALLEN & KEY 73

    f(Hz)

    1.0 10.0 100.0 1.0k 10.0k 100.0k 1meg

    V(d

    B)

    −100.0

    −50.0

    0.0

    50.0

    Figura 4.53: Filtro Pasa Bandas Sallen&Key con fc de 10KHz y Q=10

    f(Hz)

    1.0 10.0 100.0 1.0k 10.0k 100.0k 1meg

    V(d

    B)

    −100.0

    −50.0

    0.0

    50.0

    Figura 4.54: Filtro Pasa Bajas Sallen&Key con fc de 10KHz y Q=50

  • 74 CAPÍTULO 4. CASOS DE ESTUDIO

    f(Hz)

    1.0 10.0 100.0 1.0k 10.0k 100.0k 1meg

    V(d

    B)

    −200.0

    −100.0

    0.0

    100.0

    Figura 4.55: Filtro Pasa Altas Sallen&Key con fc de 10KHz y Q=50

    f(Hz)

    1.0 10.0 100.0 1.0k 10.0k 100.0k 1meg

    V(d

    B)

    −200.0

    −100.0

    0.0

    100.0

    Figura 4.56: Filtro Pasa Bandas Sallen&Key con fc de 10KHz y Q=50

  • 4.4. FILTROS SALLEN & KEY 75

    4.4.2. ABM de la parte activa

    El uso de modelos analógico comportamentales (ABM) en la parte activa de los

    filtros Sallen&Key parte de la definición de modelos comportamentales orientados

    hacia el amplificador operacional, los cuales incluyen efectos tales como ganancia

    alta, polo sencillo y ancho de banda de ganancia unitaria.

    La ganancia del amplificador operacional (A) puede ser expresada por las siguientes

    variantes

    Gananc