ELEMENTOS QUE ALMACENAN ENERGIA

El almacenamiento de energía eléctrica en dispositivos se ha venido practicando desde los tiempos de la botella de Leyden. Parte de la energía almacenada en estos dispositivos puede liberarse más tarde y suministrarse a una carga.

1. CAPACITORES. 1.1 Modelo matemático Un capacitor es un elemento de dos terminales formado por dos placas conductoras separadas por un material no conductor. La carga eléctrica se almacena en las placas, el espacio entre las placas se llena con un material dieléctrico. El valor de la capacitancia es proporcional a la constante dieléctrica y al área superficial del material dieléctrico e inversamente proporcional a su espesor. Para obtener mayor capacitancia es necesaria uan estructura muy delgada con un área grande. Para esta configuración, la capacitancia C puede definirse como:

C = ЄA d

Donde E es la constante dieléctrica (8.85x10-12), A es el área de las placas y d el espacio entre las placas. (La constante dieléctrica es una propiedad que determina la energía almacenada por unidad de volumen por unidad de diferencia de voltaje a través de un capacitor)

La carga +q en una placa se define como idéntica a –q en la otra . El voltaje v de la batería suministra la energía para mover la carga q hasta la placa positiva desde la otra placa. El capacitor se ha cargado al voltaje v, que será proporcional a la carga q. por tanto se escribe

q = Cv Donde C es la constante de proporcionalidad, denominada capacitancia. La unidad de capacitancia es el coulomb por volt y se llama Farad (F) en honor a Faraday. Un capacitor es un elemento lineal si se conserva la relación representada en la ecuación anterior. Capacitancia. Es una medida de la propiedad de un dispositivo de almacenar energía en forma de cargas separadas o de campo eléctrico. Cuando se conecta una batería a un capacitor, fluye una corriente mientras las cargas pasan de una placa a la otra. Dado que por convención la corriente i es un flujo de cargas positivas, se puede representar i como aparece en la figura 1. Entonces la corriente es,

Si se deriva obtenemos,

La ecuación 3 es la relación de corriente-voltaje para un modelo de capacitor y puede demostrarse fácilmente que es una relación lineal

Ec. 1

Ec. 2

Ec. 3

FIG. 1

Cuando la corriente fluye hacia la placa izquierda o terminal, hace que la placa adquiera un voltaje positivo con respecto a la placa derecha. 1.2 Función escalar unitario Hay que tener en cuenta q ue un circuito tendrá una corriente i que depende de la derivada del voltaje v a través de un capacitor. Si el voltaje es constante, entonces i = 0. Si el voltaje es como en la fig. 2, entonces,

V=Kt

Entonces, dado que K es una constante,

En la siguiente gráfica, considérese la onda mostrada, en donde el voltaje cambia de un valor constante de cero a otro valor constante de 1, durante un incremento de tiempo ∆t.

Dado que i= C dv/dt, se obtiene,

Así, se obtiene un pulso cuya altura es igual a CV/∆t. al decrecer ∆t, la corriente crecerá. Obviamente, ∆t no puede reducirse hasta cero porque se tendría una corriente infinita. Esta corriente es imposible, puesto que requeriría de potencia infinita y que en las terminales del capacitor ocurriera un movimiento instantáneo de la carga. De acuerdo con la condiciones de conservación de la carga, la cantidad, la cantidad de esta no puede cambiar instantáneamente. Por tanto no es posible un cambio de voltaje instantáneo (∆t=0) a través de un capacitor. El voltaje a través de un capacitor, no puede cambiar instantáneamente. Para calcular el voltaje v(t) en función de i(t) se integran ambos lados de la ecuación 4 y se obtiene

Esta ecuación dice que el voltaje en el capacitor v(t), se puede obtener integrando la corriente de Ʈ= - ∞ hasta Ʈ= t. para lograr esto se necesita conocer el valor de la corriente del capacitor desde Ʈ= - ∞ hasta Ʈ= t. A menudo no se le conoce el valor de la corriente desde Ʈ= - ∞. En lugar de eso, la integral se separa en dos partes

la ecuación dice que el voltaje del capacitor v(t), se puede obtener integrando la corriente desde Ʈ= t0 hasta Ʈ= t, dado que también se conoce el voltaje del capacitor en t0. Ahora solo se requiere conocer la corriente desde Ʈ= t0 hasta Ʈ= t. el tiempo t0 se conoce como tiempo inicial, y el voltaje en el capacitor v(t0) se denomina condición inicial. Frecuénteme, es conveniente seleccionar t0 = 0 como tiempo inicial.

Ec. 4

Ec. 5

FIG. 2

1.3 Almacenamiento de energía de un capacitor Carga de un capacitor Cuando se conecta un capacitor descargado a dos puntos que se encuentran a potenciales distintos, el capacitor no se carga instantáneamente sino que adquiere cierta carga por unidad de tiempo, que depende de su capacidad y de la resistencia del circuito.

La figura 2 representa un capacitor y una resistencia conectados en serie a dos puntos entre los cuales se mantiene una diferencia de potencial. Si q es la carga del condensador en cierto instante posterior al cierre del interruptor e i es la intensidad de la corriente en el circuito en el mismo instante, se tiene:

Donde Qf es el valor final hacia el cual tiende asintóticamente la carga del capacitor, I0 es la corriente inicial y e = 2,718 es la base de los logaritmos naturales. En la Figura 3 se representa la gráfica de ambas ecuaciones, en donde se observa que la carga inicial del capacitor es cero y que la corriente tiende asintóticamente a cero.

Al cabo de un tiempo igual a RC, la corriente en el circuito ha disminuido a 1/e [≅ 0,368] de su valor inicial. En este momento la carga del capacitor ha alcanzado una fracción (1 – 1/e) [≅ 0,632] de su valor final. El producto RC es, en consecuencia, una medida de la velocidad de carga del capacitor y por ello se llama constante de tiempo. Cuando RC es pequeña, el capacitor se carga rápidamente; cuando es más grande, el proceso de carga toma más tiempo. Descarga del capacitor: Supongamos ahora, en la Figura 1, que el capacitor ya ha adquirido una carga Q0 y que además hemos quitado la fuente del circuito y unido los puntos abiertos. Si ahora cerramos el interruptor, tendremos que:

FIG. 3

FIG. 4

En la Figura 4 se representan las gráficas de estas expresiones. Observamos que la corriente inicial es I0 y la carga inicial Q0; además, tanto i como q tienden asintóticamente a cero. La corriente es ahora negativa porque tiene, obviamente, un sentido opuesto al de carga.

1.4. Asociación de Condensadores Los condensadores pueden asociarse en serie (figura 5), paralelo (figura 6) o de forma mixta.

- Capacitores en serie Cuando los capacitores se conectan de esta forma se pueden reemplazar por un único capacitor que tendrá un valor que será el equivalente de los que están conectados en serie.

Para obtener el valor de este único capacitor equivalente se utiliza la fórmula:

- Capacitores en paralelo La capacitancia equivalente de un conjunto de N capacitores en paralelo no es más que la suma de las capacitancias individuales. Se puede observar que todos los capacitores en paralelo tienen la misma condición inicial, v(0).

Para obtener el valor de este único capacitor equivalente se utiliza la fórmula:

FIG. 5

FIG. 6

FIG. 7

2. INDUCTORES Los inductores o bobinas son elementos lineales y pasivos que pueden almacenar y liberar energía basándose en fenómenos relacionados con campos magnéticos. 2.1 Modelo matemático Un inductor se define como un elemento de dos terminales formado por un embobinado de N vuelta, que introduce inductancia en un circuito eléctrico. La inductancia se define como la propiedad de un dispositivo eléctrico que hace que el paso de una corriente variable con el tiempo produzca un voltaje a través del mismo.

Un alambre puede enrollarse para formar una bobina o devanado de múltiples vueltas o espiras, como se muestra en la figura 8. Si se le conecta la fuente de corriente if, se determina que le voltaje a través de la bobina es proporcional a la rapidez de cambio de la corriente i = if, que es la que circula en el inductor. Esta relación proporcional puede expresarse por

Donde L es la constante de proporcionalidad llamada inductancia y se mide en henrys (H). Un inductor ideal es una bobina con alambre sin resistencia. Cuando existe corriente en el alambre, se almacena energía en el campo magnético que rodea el devanado. Una corriente constante i en la bobina produce un voltaje cero a través de ella. Una corriente variable en el tiempo produce un voltaje auto inducido. Es imposible un cambio brusco o instantáneo de la corriente, puesto que necesitaría un voltaje infinito.

Las bobinas devanadas helicoidalmente en una sola capa suelen llamarse solenoides. Un ejemplo se muestra en la figura 9. Cuando la longitud de la bobina es mayor que la mitad del diámetro y el núcleo es de un material no ferromagnético, la inductancia de la bobina está dada por:

Donde N es el número de vueltas, A el área transversal en m2, l la longitud en metros, d el diámetro en metros y µ0 = 4πx10-7 H/m, una constante llamada permeabilidad del espacio libre. Los núcleos de hierro tienen mayor permeabilidad que el aire, por lo cual concentran el flujo magnético. Este efecto aumenta la inductancia en la bobina.

FIG. 8

FIG. 9

La fuerza que experimentan dos alambres vecinos que conducen corriente puede describirse por la existencia de un campo magnético, que a su vez puede expresarse en función del flujo magnético que forma un circuito alrededor de la bobina, como se muestra en la figura 10. En una bobina asociado con una corriente i, existe un flujo magnético ⱷ(t). En este caso se tiene una bobina de N vueltas y cada línea de flujo pasa a través de ellas. Se dice entonces que el flujo total es Nⱷ. Si suponemos que una bobina tiene N vueltas y que el material del núcleo tiene una permeabilidad relativamente alta, de manera que el flujo magnético ⱷ se concentra en el área A. según Faraday, el flujo cambiante crea un voltaje inducido en cada vuelta, igual a la derivada del flujo ⱷ, de forma que el voltaje total v a traves de N vueltas es

Sin embargo, puesto que el flujo total Nⱷ es proporcional a la corriente i en la bobina, se tiene

Donde L, la inductancia, es la constante de proporcionalidad. Al sustituir la ecuación 2A en la ecuación 1A, se obtiene

2.2 Simbología La convención del signo pasivo para un inductor requiere que la corriente fluya hacia la terminal positiva. Desde el punto de vista del modelado de dispositivos eléctricos, el capacitor es un elemento usado a menudo para representar el efecto de campos eléctricos. De igual forma, el inductor modela los efectos de campos magnéticos.

La inductancia es una medida de la capacidad de un dispositivo para almacenar energía en forma de campo magnético. 2.3 Función escalar unitario Si se examina la ecuación 3A, se observa que si la corriente i es constante, el voltaje a través del conductor es cero. A medida que la corriente cambie más rápidamente, el voltaje aumentara. Si consideramos el voltaje de un inductor en el que la corriente cambia cuando t=0, de cero a un valor que crece constantemente y finalmente se estabiliza como se muestra en la figura 12.

FIG. 10

EC. 1A

EC. 2A

EC. 3A

FIG. 11

La corriente (en amperes) puede describirse como sigue:

Si tomamos un inductor de 0.1H y calculamos la onda de voltaje. Tenemos que v=L di/dt, se tiene (en volts)

El pulso de voltaje resultante se muestra en la figura 12. Notamos que si t1 disminuye, la magnitud del voltaje aumenta. Es claro que no se puede hacer t1= 0, puesto que el voltaje requerido seria infinito y se necesitaría una potencia infinita para las terminales del inductor. Por consiguiente no es posible que los cambios de la corriente por un inductor sean instantáneos.

Para un inductor lineal, ⱷ(t)=Mi(t), donde M es una constante. Lo mismo que a un capacitor se aplica el principio de conservación de la carga, a un inductor se le aplica la conservación del flujo. Entonces, el flujo ⱷ(t) no puede tener discontinuidades y, por tanto, i(t) a través del inductor no puede tener discontinuidades. La corriente de un inductor en términos del voltaje a través de él puede determinarse integrando la relación

De t0 hasta t. de la ecuación 4A. Se obtiene,

Al integrar, se obtiene

Donde i(t0) es la corriente que se acumula de t = -∞ a t0. Normalmente se elige t0=0. 2.4 Almacenamiento de energía de un inductor

FIG. 11

FIG. 12

EC. 4A

EC. 5A

EC. 6A

La potencia y la energía almacenada en un inductor La potencia que entra al inductor es igual al producto de la corriente y el voltaje a través del inductor. La potencia está dada por:

dt

ditLip L

LL )(

Si el inductor tiene una corriente inicial i(t0)=0, la energía almacenada en t0=0 es igual a cero. Por tanto, la energía magnética, Wm, almacenada en el inductor está dada por:

2

)(

0

2

1

)(

0

Lm

ti

LLm

t

t

LLm

LiW

diLiW

dtdt

ditLiW

L

Respuesta transitoria de un circuito RL serie Cuando se cierra el interruptor S, los elementos R y L son recorridos por la misma corriente. Esta corriente, que es variable (se llama transitoria hasta llegar a su estado estable), crea un campo magnético. Este campo magnético genera una corriente cuyo sentido está definido por la Ley de Lenz. La ley de Lenz establece que: "La corriente inducida por un campo magnético en un conductor tendrá un sentido que se opone a la

corriente que originó el campo magnético." Es debido a esta oposición, que la corriente no sigue inmediatamente a su valor máximo, sino que sigue la siguiente forma:

La duración de la carga está definida por la constante de tiempo T. La bobina alcanza su máxima corriente cuando t (tiempo) = 5 x T. En otras palabras, cuando han pasado el equivalente a 5 constantes de tiempo. - T = L/R La ecuación de la línea de carga anterior tiene la siguiente fórmula: - IL(t) = IF x ( 1 - e -t/T) Donde: - IL(t) = corriente instantánea en la bobina o inductor - IF = corriente máxima - e = base de logaritmos naturales (aproximadamente = 2.73) - t = tiempo - T = constante de tiempo (L/R)

FIG. 13

EC. 7A

EC. 8A

Las formas de onda de la tensión y la corriente en el proceso de carga y descarga en un inductor se muestran en las siguientes figuras:

- IL(t) (descarga) = Io x e-t/T - VL(t) (carga) = Vo x e-t/T - VL(t) (descarga) = Vo x e-t/T Dónde: - Io = corriente inicial de descarga - Vo = tensión inicial de carga o descarga - IL(t) = corriente instantánea en la bobina - VL(t) = tensión instantánea en la bobina - e = base de logaritmos naturales (aproximadamente = 2.73) - t = tiempo - T = constante de tiempo (L/R) 2.5. Asociación de Inductores Una conexión de inductores serie y paralelo puede reducirse a un solo inductor equivalente. Inductores en serie Al igual que las combinaciones serie-paralelo de resistencias pueden reducirse a una única resistencia equivalente, las combinaciones serie-paralelo de bobinas puede reducirse a una única bobina condensador. La Figura 15 muestra un conjunto de bobinas en serie. Aquí, las bobinas están obligadas a transportar la misma corriente; por tanto, definimos una única corriente para la combinación en serie.

Bobinas en serie.

Las caídas de tensión en bornes de las bobinas individuales son

La tensión en los extremos de la conexión serie es

A partir de lo cual debería resultar obvio que la inductancia equivalente de una serie de bobinas conectadas en serie es la suma de las inductancias individuales. Para n bobinas en serie,

Si las bobinas originales transportan una corriente inicial i(to), la bobina equivalente transporta la misma corriente inicial. La figura 16 muestra el circuito equivalente para una serie de bobinas en serie que transportan una corriente inicial.

FIG. 14

FIG. 15

EC. 9A

EC. 10A

Un circuito equivalente para bobinas en serie que transportan una corriente inicial i(to). Inductores en paralelo Las bobinas en paralelo tienen la misma tensión entre sus terminales. En el circuito equivalente, la corriente en cada bobina está en función de la tensión entre los terminales y de la corriente inicial que atraviesa la bobina. La Figura 17 muestra tres bobinas en paralelo. Aquí, las corrientes de las bobinas individuales son

∫

∫

∫

La corriente en los terminales de las tres bobinas en paralelo es la suma de las corrientes de todas las bobinas:

Sustituyendo la Ecuación 11A en la Ecuación 12A se obtiene

(

)∫

Comparando las Ecuaciones 12A y 13A, podemos interpretar la Ecuación (12.6) en términos de una única bobina; es decir,

∫

Comparando la Ecuación 13A con la Ecuación 14A, vemos que

FIG. 16

FIG. 17

EC. 11A

EC. 12A

EC. 13A

EC. 14A

APLICACIONES DE INDUCTORES EN LA ELECTRONICA

1. APLICACIÓN DEL SENSOR MAGNETICO CON PLC

En el siguiente circuito se demostrara el funcionamiento de un relé activado por un transistor que se activa por

medio de un pulsador y enciende o activa un motor eléctrico

Figura 1

Este circuito debe ir conectado a la salida del PLC ya que tendrá como función mover un motor mediante el

accionamiento de un relé, este circuito hará parte del modulo de prueba de control con PLC. El PLC hará el

funcionamiento de la practica Nº 2 “Normalmente abierto, Normalmente cerrado”, el cual quedara en conjunto

para enlazar a las demás aplicaciones dentro del modulo de prueba de control con PLC con el mismo

circuito.

MATERIALES:

Protoboard

1 Pulsador

1 Resistencia de 10KΩ

1 Relé de 24v

Transistor 2N-2222

Fuente regulada de voltaje de 24v

PROCESO OPERATIVO

Ensamblar en el protoboard el circuito de la figura 1 y conectar a una fuente ajustada a 24V DC.

Medir voltaje y corriente en el interruptor magnético sin pasar el imán sobre él.

Medir voltaje y corriente en el interruptor magnético cuando el imán está cerca del mismo.

De los valores medidos realizar un rediseño al circuito anterior, para que pueda trabajar de manera óptima cuando este mismo acciona un relé y enciende una lámpara o cualquier otro dispositivo eléctrico, sin que supere la corriente máxima que el sensor o interruptor magnético requiere

2. APLICACIÓN DEL CIRCUITO DE OPTOACLOPADOR CON PLC

En el siguiente circuito se demostrara el funcionamiento de un relé activado por un transistor que se activa por

medio de un optoacoplador y que activa la base de un transistor para encender un motor eléctrico por medio

de una bobina

Este circuito debe ir conectado a la salida del PLC ya que tendrá como función mover un motor mediante el

accionamiento de un relé, este circuito hará parte del modulo de prueba de control con PLC. El PLC hará el

funcionamiento de la practica Nº 2 “Normalmente abierto, Normalmente cerrado”, el cual quedara en conjunto

para enlazar a las demás aplicaciones dentro del modulo con el mismo circuito.

MATERIALES:

Protoboard

1 Optoacoplador KT3010

2 Resistencias de 220Ω

1 Resistencia de 37kΩ

1 Resistencia de 100Ω

Transistor 2N-2222

2 Diodos Led

Fuente regulada de voltaje de 10v

PROCESO OPERATIVO

Ensamblar en el protoboard el circuito de la figura 1 y conectar a una fuente ajustada a 10V DC.

Medir voltaje y corriente en el Led D2 y en el emisor del optoaclopador

Medir voltaje y corriente en el receptor del optoaclopador

Interrumpir la comunicación entre el diodo emisor y el diodo receptor en la ranura óptica, y observar el comportamiento del circuito

Medir voltajes y corriente en el circuito cuando se interrumpe la comunicación entre el diodo emisor y el diodo receptor en el optoaclopador

Con lo datos obtenidos anteriormente realizar un rediseño para que el circuito trabaje de manera optima

Comprobar los datos calculados en el rediseño del circuito, realizando medidas de voltaje y corriente a los elementos modificados

APLICACIONES DE CONDENSADORES EN LA ELECTRONICA

1. FUENTE REGULADA DE 0 A 12V x 1A La fuente que se muestra proporciona tensiones entre 0 y 12 volt aproximadamente, con corrientes hasta 1A. El transformador debe tener el secundario de 12V con una corriente de 1A. El transistor debe montarse con disipador de calor.

2. OSCILADOR DE F.I. CON FILTRO CERAMICO

Este oscilador produce una señal de 455kHz aproximadamente según el filtro cerámico usado. Podemos hacer un calibrador preciso para radios, basado en esta configuración.