• Secciones Cónicas

En geometría, una sección cónica es cualquier curva

producida por la intersección de un plano y un cono recto

triangular. Dependiendo de el ángulo de el plano relativo al

cono, la intersección es un círculo, un elipse, una hipérbola

o una parábola

• Sea O un punto del plano y sea “r” un número real positivo. Se define la

circunferencia como el conjunto de puntos P(x, y) tal que la distancia de P a

O es igual a “r”. Es decir:

• Circunferencia = {P (x ,y )/ d(P ,O ) = r }

LA CIRCUNFERENCIA

Es también uno de los elementos más importantes para la geometría. Se

define como un lugar geométrico determinado por el movimiento de un punto

en el plano, siempre y cuando permanezca a una misma distancia llamada

radio, de un punto central. Se considera circunferencia solo a la longitud

(perímetro) y circulo a los puntos que se encuentran en su superficie (área).

En el plano se consideran dos tipos de circunferencia: con centro en el

origen y con centro fuera del origen. Sus ecuaciones se basan en la

importancia del Teorema de Pitágoras. Las representaciones algebraicas de

estas circunferencias son como se muestran a continuación:

Forma general de la circunferencia:

En el origen:

Fuera del origen

• Aunque parezcan piezas ordinarias en la música requieren mucha precisión para su correcto funcionamiento. Por lo tanto para su fabricación se utilizan las técnicas del radio y del diámetro.

Circunferencia en las armas

Como ya hemos dicho, el diámetro es un segmento que une dos

puntos de la circunferencia pasando por el centro, este diámetro es lo

que se usa para medir el tamaño de agujeros como lo es en las armas.

Se habla normalmente de pistolas calibre de 6.35 mm, 7.65 mm, 9 mm,

etc. Esto no es solo un "nombre", sino que esto se refiere al tamaño

del agujero (cañón) por donde salen los proyectiles (balas) del arma,

usando el tamaño del diámetro y usando una medida milimetra para

lograrlo.

En el transporte también podemos apreciar la presencia de la Circunferencia,

de hecho, donde se puede notar y ejemplificar mejor es en la Bicicleta, un

conjunto de tubos metálicos con dos ruedas que aplican la geometría

perfectamente: Las ruedas están hechas de un “arco” . La mejor parte de esto

es que la rueda se afirma desde el centro y desde este salen un montón de

alambres delgados llamados “rayos” y estos son radios que mantienen la

forma circunferencial de la rueda perfectamente. Otra cosa es que el tamaño

de la rueda es medido en Aro 24, 26, etc. Y esto se hace usando el diámetro.

RUEDAS DENTADAS Y CADENA: (MECANISMOS DE TRANSMISIÓN

CIRCULAR)

La transmisión por ruedas dentadas y cadena de eslabones combina la

función de las poleas (ejes distantes) con la ventaja de los engranajes

(ausencia de resbalamiento).

Los eslabones están constituidos por pequeñas placas y rodillos unidos por

pasadores.

El sistema de ruedas dentadas y cadena transmite el movimiento circular

entre partes separadas, pero evitando el resbalamiento.

El reloj consiste en una placa redonda (circunferencial) que esta dividida en 12

partes iguales, al centro tiene un agujero por donde sale el sistema del horario,

minutero y segundero. Bueno evidentemente dentro del reloj se encuentra todo

un sistema de maquinarias con engranajes y demases, pero me centraré en

otros aspectos. Para dividir la circunferencia en12 partes exactamente iguales,

que a futuro podrán dar una medición de hora perfecta, es necesario usar

criterios de ángulos de la circunferencia. Usando el centro como vértice*, se

puede observar que el ángulo interno de la circunferencia mide 360°. Entonces

será necesario dividir 360° en 12. El resultado será 30° y entonces cada parte

del reloj tendrá que medir 30°. También se puede usar laformula: 2PI** x

radio para obtener el perímetro*** de la circunferencia y entonces dividir este

en 12 para tener la distancia de cada uno de los 12 arcos**** de

la circunferencia, esto se puede hacer con una huincha de medir, ya que estas

son flexibles y se pueden adecuar a la forma redonda de la circunferencia.

SISTEMA PROPULSOR (HÈLICE)

La hélice es un dispositivo constituido por un número variable de aspas o

palas (2, 3, 4...) que al girar alrededor de un eje producen una

fuerza propulsora. Cada pala está formada por un conjunto de perfiles

aerodinámicos que van cambiando progresivamente su ángulo de incidencia

desde la raíz hasta el extremo (mayor en la raíz, menor en el extremo).

La hélice está acoplada directamente o a través de engranajes o poleas

(reductores) al eje de salida de un motor (de pistón o turbina), el cual

proporciona el movimiento de rotación.

Aunque en principio las hélices se construyeron de madera, actualmente se

fabrican con materiales más ligeros y resistentes. Aunque la propulsión por

hélice es poco utilizada en aviación comercial, su uso está generalizado en

aviones ligeros.

TORNILLO SIN FIN: (MECANISMOS DE TRANSMISIÓN CIRCULAR)

Transmite un movimiento circular entre dos ejes perpendiculares.

El tornillo se monta sobre un eje, de forma que engrana con una rueda que

girará en un eje perpendicular al del tornillo.

La transmisión solo funciona cuando el tornillo hace girar a la rueda

dentada, pero nunca al revés.

ENGRANAJES

Los engranajes son mecanismos formados por piezas dentadas que

transmiten un movimiento circular entre ejes cercanos. El encaje de los

dientes evita el problema que puede ocurrir en las poleas de transmisión si la

correa resbala. Tomando en cuenta que la velocidad de las piezas es mayor

cuanto menor sea su tamaño.

Los engranajes encierran un volumen fijo de fluido. La rotación del engranaje

oval bombea el volumen de fluido contenido en la cámara. En cada revolución

completa de un engranaje oval, se bombea cuatro veces e contenido de la

cámara. Un imán se emplea para detectar el movimiento de rotación. Un sector

detecta las rotaciones. El numero de impulsos emitidos por el sensor es

directamente proporcional al numero de volúmenes bombeados

TUBOS

Los tubos son conductos, generalmente hechos de acero, que tienen la función de transportar

líquidos y otros fluidos. Pueden presentarse en diferentes medidas, formas y extensiones.

También se les suele asignar un nombre en función del fluido que están transportando, por

ejemplo, cuando su función es la de transportar gas se llaman gasoductos, cuando

transportan petróleo, oleoductos. Sin embargo, los tubos también pueden ocuparse para

transportar materiales que no necesariamente son fluidos. Así encontramos tubos utilizados

en el transporte de granos en la agricultura, tubos surtidores de cemento y tubos que sirven

para comunicarse. Estos últimos tienen la mera función de enlazar un lugar con otro para

facilitar el intercambio de documentos, materiales y otros elementos a través, por ejemplo, de

una pared.

En general, podemos encontrar tres métodos de fabricación de tubos: tubos en espiral, tubos

con costura recta y tubos sin soldadura, a estos últimos se le conoce como fabricación de

tubos sin costura.

Este método consta de la selección de un lingote cilíndrico que se calienta a altas

temperaturas. Después de ser calentado, se pasa por un dado cilíndrico y se le hace el

agujero con una máquina llamada penetrador. Por lo regular este tipo de tubo es utilizado para

contener presión y este método de fabricación es el más común.

La cédula en los tubos de acero se refiere a la medida del grosor o espesor del tubo que

forma parte de una tubería.

- Cédula 40: La más utilizada en tuberías de transporte de agua.

- Cédula 80: Utilizada en tuberías de alta presión.

GPS

Wi-fi

Las canchas o lugares en donde se practican deportes

tienen marcas geométricas y Circunferencias que

determinan situaciones reglamentarias, etc. Los campos

de Fútbol, las canchas de Básquetbol, los campos de

Fútbol Americano y en muchas más.

• La parábola es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un

plano paralelo a su generatriz.

• Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano

de tal manera que su distancia a una recta fija, situada en el plano, es

siempre igual a su distancia en el punto fijo del plano que no pertenece a la

recta.

LA PARÀBOLA

Se define como lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de

una recta llamada directriz y un punto externo llamado foco, su forma se

relaciona con la ecuación cuadrática y aparece en muchas ramas de las

ciencias aplicadas. También debemos aclarar que la excentricidad siempre es

igual a 1, esta unicidad nos permite observar parábolas semejantes pero a

diferentes escalas, ya que al hacer un análisis de la parábola cometemos el

error de indicar que sus parámetros, son los que cambian la forma de la

parábola. Las representaciones algebraicas tienen que considerar que su eje

focal tiene una relación con los ejes coordenados:

Forma general de la parábola: ó

Con vértice en el origen:

Con vértice fuera del origen :

LA PARABOLA Y SUS PROPIEDADES REFLEXTORAS:

Si se traza la recta tangente en cualquier punto y la recta que une dicho

punto con el foco, el ángulo que forma la recta tangente con dicha recta

coincide con el que forma la recta tangente con la recta paralela al eje de la

parábola.

El paraboloide es una superficie que se obtiene al girar una parábola

alrededor de su eje. Los espejos parabólicos tienen forma de paraboloide, y

se usan principalmente en la construcción de telescopios, antenas, en los

faros de los automóviles, proyectores y radares. Una antena satelital o

parabólica es uno de los tantos tipos de antenas conformado por un reflector

del tipo parabólico.

• Que utiliza la televisión por satélite, concentra la señal de ondas electromagnéticas procedentes del satélite al que está orientada y la amplifica.Otro tipo de antena parabólica es la que se utiliza en Radioastronomía para observar objetos celestes muy lejanos, como las galaxias, o para recibir la comunicación de los satélites que exploran el Sistema Solar. Estas antenas son las de mayor tamaño que se han construido; suelen tener 30 a 40 m. de diámetro. Todas ellas utilizan el mismo principio: la transformación de una señal débil en una señal perceptible.

La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un reflector

parabólico tiene su aplicación en pequeñas cocinas solares. El mismo método

se emplea en las grandes centrales captadoras de energia solar. Una fuente

emisora situada en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje:

diversaslámparas y faros tienen espejos con superficies parabólicas

reflectantes para poder enviar haces de luz paralelos emanados de una fuente

en posición focal. Los rayosconvergen o divergen si el emisor se deplaza de la

posición focal.

Se basan en concentración de la radiación solar en un punto, típicamente a

través de un reflector parabólico. En dicho punto se coloca la olla que cocinará

los alimentos. Generan altas temperaturas y permiten freír alimentos o hervir

agua.

• Un concentrador solar es un instrumento que sencillamente consiste en la

concentración en un solo foco de los rayos incidentes en una superficie,

consiguiendo de esta manera alcanzar altas temperaturas que

permiten el cocido de los

alimentos. Basta con orientarlo adecuadamente en la dirección del sol, para

lograr que los espejos cóncavos con que cuenta convenientemente

orientados concentren los rayos solares.

Las cocinas que concentran la radiación solar levantan temperatura muy

rápido y sirven para freír, pueden tener altas potencias de cocción y

funcionan en cualquier día del año, habiendo sol directo con buena

intensidad

La forma de los telescopios, detectores de radar y reflectores luminosos son

parabólicas. En los faros de los coches se coloca la fuente de luz en el foco de

la parábola, de modo que los rayos, al reflejarse en la lámpara, salen formando

rayos paralelos. La nave espacial PLUTO de la NASA incorpora también un

reflector parabólico. Recordar también el conocido efecto de quemar un hoja

de papel concentrando los rayos solares mediante un espejo parabólico.

FAROS DE LOS COCHES

Los faros de los coches tienen una superficie formada al girar un trozo de una

parábola alrededor de su eje. Esta superficie se llama paraboloide.

Además las lámparas tienen dos filamentos: uno para las luces largas y otro

para las luces cortas.

Punto luminoso en el foco de la parábola

Para lograr aprovechar al máximo la luz procedente del punto luminoso, en este

caso representado como un filamento incandescente, todos los faros de

iluminación del camino están dotados de un reflector parabólico perfectamente

plateado y pulido en su interior, que refleja casi el 100% de la luz que incide

desde el punto luminoso. La colocación del emisor de luz dentro de la parábola

determina como será reflejada la luz al exterior. Observe figura que cuando el

punto brillante se coloca en el foco de la parábola la luz reflejada sale como un

haz concentrado formado por lineas paralelas dirigidas rectas al frente del foco,

en este caso el haz luminoso tiene el máximo alcance y representa la luz de

carretera.

¿Dónde hay que situar el punto de luz para el rayo reflejado en la parábola

salga horizontal? ¿Y para que el rayo reflejado alumbre hacia abajo?

Si se enciende el filamento situado en el foco, los rayos de luz se reflejan

paralelos al eje de la parábola, por lo que alumbran hacia el frente del coche.

Es la luz larga.

Si se enciende el filamento situado a la derecha del foco, los rayos de luz se

inclinan hacia el eje de la parábola y alumbran hacia abajo. Es la luz corta.

Son parabólicas. En los faros de los coches

se coloca la fuente de luz en el foco de la

parábola, de modo que los rayos, al

reflejarse en la lámpara, salen formando

rayos paralelos.

La nave espacial PLUTO de la NASA

incorpora también un reflector parabólico.

PALACIO DE BELLAS ARTES

Resistencia de Materiales, el diagrama de momento de flexión de una

viga sometida a una carga uniforme es una parábola.

• En algunas construcciones arquitectónicas se utilizan cables en forma parabólica, ya que estas distribuyen de manera uniforme el peso al cual son sometidas.

• Una elipse es la curva cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono

por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la

generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de

su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que

gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.

• Sean F1 y F2 dos puntos del plano y sea a una constante positiva. La Elipse

se define como el conjunto de puntos Pxy (, ) tales que la suma de su

distancia a F1 con su distancia a F2 es igual a 2a. Es decir:

LA ELIPSE

Se define como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano para los

cuales se cumple que el cociente entre sus distancias a un punto fijo que se

denomina foco y a una recta dada llamada directriz, permanece constante y es

igual a la excentricidad de la misma. Presenta una excentricidad que puede

tomar valores entre cero y uno, ella indicara la forma que tendrá esa elipse,

cuando se acerca a uno la elipse será alargada, pero si se acerca a cero se

asemeja a una circunferencia. Las representaciones algebraicas tienen que

considerar como su eje focal tiene una relación con los ejes coordenados de

manera paralela y donde se encuentra el vértice, son las siguientes:

Forma general de la elipse:

Con vértice en el origen: ó

Con vértice fuera del origen: ó

En la ópticaEl espejo eliptico refleja todos los rayos emitidos por uno de sus focos, F1 a F2

a lo largo de cualquier camino son iguales

La propiedad óptica de la elipse se aplica en las "galerías de murmullos" como

la que se encuentra en el Convento del Desierto de los Leones, cerca de la

Ciudad de México, en la cual un orador colocado en un foco puede ser

escuchado cuando murmura por un receptor que se encuentre en el otro foco,

aún cuando su voz sea inaudible para otras personas del salón.

Otra aplicación de la propiedad óptica de la elipse es la de ciertos hornos

construidos en forma de elipsoides. Si en uno de sus focos se coloca la fuente

de calor y en el otro se coloca el material que se quiere calentar, todo el calor

emanado por la fuente de calor se concentrará en el otro foco.

• Una revolucionaria técnica medica introducida a mediados de la década

pasada para el tratamiento de los cálculos renales utiliza propiedades

reflexivas de las cónicas. La idea principal consiste en usar ondas sonoras

intensas generadas fuera del cuerpo del paciente para pulverizar las piedras

y convertirlas en arena que pueda ser fácilmente eliminada por el

organismo. La clave esta en enfocar las ondas para que no afecten al

cuerpo, solo al calculo. Para ello se usa una cámara semielipsoidal. En uno

de sus focos se crea una poderosa chispa que evapora agua. La parte que

golpea el reflector converge en el otro foco, donde se encuentra la piedra,

con toda su intensidad, provocando su destrucción. La mejor cura para un

cálculo es un poco de cálculo.

• Este tratamiento se aplica en la actualidad en más del 80 % de piedras en el

riñón y la uretra.

LEVA (MECÁNICA)

En ingeniería mecánica, una leva es un elemento mecánico que está sujeto a

un eje por un punto que no es su centro geométrico, sino un alzado de centro. En

la mayoría de los casos es de forma ovoide. El giro del eje hace que el perfil o

contorno de la leva toque, mueva, empuje o conecte con una pieza conocida

como seguidor. Existen dos tipos de seguidores: de traslación y de rotación.

La unión de una leva se conoce como unión de punto en caso de un plano o unión

de línea en caso del espacio. Algunas levas tienen dientes que aumentan el

contacto con el seguidor. La forma de una leva depende del tipo de movimiento

que se desea que imprima en el seguidor. Ejemplos: árbol de levas del motor de

combustión interna, programador de lavadoras, etc.

Las levas se pueden clasificar en función de su naturaleza. Hay levas de

revolución, de traslación, desmodrómicas (las que realizan una acción de doble

efecto), etc. La máquina que se usa para fabricar levas se llama generadora.

Con este mecanismo se consigue accionar distintos seguidores, de manera que

cada uno de ellos realice un movimiento diferente. El árbol de levas puede

utilizarse como programador

LAMPARA DE ILUMINACION INTRAORAL

Una aplicación óptica se puede encontrar en el dispositivo de iluminación de los

dentistas. Este consta de un espejo en la forma de un arco de elipse y una

lámpara que se coloca en el foco cercano. La luz de la lámpara se enfoca a

través del espejo en el otro foco, que se ajusta por el dentista para ser un punto

dentro de la boca de su paciente.

En Ingeniería civil se emplea mucho la elipse en Resistencia de Materiales.

En Ingeniería Eléctrica se utilizan en la teoría de las corrientes eléctricas

estacionarias: homofocais conjuntos de puntos suspensivos (elipses mismo

foco).

• Mesa de billar elíptica:

• .Una bola que pasa por el foco, pasa sucesivamente por los focos y su trayectoria irá acercándose poco a poco al semieje mayor.

• Un espejo elíptico refleja todos los rayos emitidos por

uno de sus focos,F1, y los focalizan en el otro foco

F2.Las distancias recorridas por la luz de F1 a F2 a lo

largo de cualquier camino son iguales.

• El altavoz elíptico es el resultado de la combinación de dos altavoces de diámetros diferentes.

• Así un altavoz elíptico equivale a dos altavoces, uno para grave y otro para agudos. La sección del diafragma es exponencial, con el fin de favorecer la respuesta de altas frecuencias de audio. Es usado en aparatos donde el espacio es reducido y no exige una reproducción de alta calidad.

En este caso las lentes elípticas nos

favorecerán en lo que es la

propagación de una luz precisamente

lo que se pide a un buen proyecto de

iluminación en la ciudad.

3194 Sforza LED con horquilla -

extensiva con lentes elípticas

• Una hipérbola es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas

obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría con

ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

• Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano

de modo que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos

puntos fijos del plano, llamados focos, es igual a una cantidad constante,

positiva y menor que la distancia comprendida entre los focos.

• Sean F1 y F2 dos puntos del plano y sea a una constante positiva. La

Hipérbola se define como el conjunto de puntos P(x, y) del plano tales que

el valor absoluto de la diferencia de su distancia a F1 con su distancia a F2

es igual a 2a. Es decir:

Se define como el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor

absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es

igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva. La

excentricidad, al igual que en la elipse, es la relación entre las distancias de foco

a foco y de vértice a vértice, entonces la excentricidad en la hipérbola siempre

es mayor que la unidad, sus representaciones algebraicas son:

Forma general de la elipse:

Con vértice en el origen: ó

Con vértice fuera del origen: ó

022 EDyCxByAx

12

2

2

2

b

y

a

x1

2

2

2

2

a

y

b

x

1)()(

2

2

2

2

b

ky

a

hx 1)()(

2

2

2

2

a

ky

b

hx

• La propiedad de la definición de la hipérbola "la diferencia de las distancias de

los puntos de la hipérbola a los focos es constante", se utiliza en la

navegación. En el sistema de navegación LORAN, una estación radioemisora

maestra y otra estación radioemisora secundaria emiten señales que pueden

ser recibidas por un barco en altamar. Puesto que un barco que monitoree las

dos señales estará probablemente más cerca de una de las estaciones, habrá

una diferencia entre las distancias recorridas por las dos señales, lo cual se

registrará como una pequeña diferencia de tiempo entre las señales. En tanto

la diferencia de tiempo permanezca constante, la diferencia entre las dos

distancias será también constante. Si el barco sigue la trayectoria

correspondiente a una diferencia fija de tiempo, esta trayectoria será una

hipérbola cuyos focos están localizados en las posiciones de las dos

estaciones. Si se usan dos pares de transmisores, el barco deberá quedar en

la intersección de las dos hipérbolas correspondientes.

• La Hipérbola tiene propiedades de reflexión análogas a

las de la elipse. Si se dirige un haz de luz en dirección de

un foco, por ejemplo de f, se reflejará antes de llegar a él

en la hipérbola en dirección del foco f'. Este principio se

usa en los telescopios del tipo Cassegrain.