APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS - WordPress.com
10
Página 1 de 8 C2ACADEMIA.COM APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS CALCULO DE PARAMETROS 1.-Halla !,#,%&' en la función ((*) = !* ! + #* " + %* + ' sabiendo que el punto .(0,4) es un máximo y el punto 1(2,0) un mínimo. Solución: ! = 1, # = −3, % = 0, '=4 2.-Halla !, # & % en ((*) = !* ! + #* " + %* − 4 de modo que f tenga un máximo en *=1 y un mínimo en 62, #$% ! 7. 3.-Dada la función & = !* & + 3#* ! − 3* " − !* , calcula los valores de !&# sabiendo que la función tiene dos puntos de inflexión uno en *=1 y otro en *= $ " Solución: ! = −1, #=1 4.-De la función ((*) = !* ! + #* sabemos que pasa por (1,1) y en ese punto tiene una tangente paralela a la recta 3* + & = 0. 5.-Teniendo la función ((*) = * ! + 8* " + 9* + : calcula los valores de los parámetros para que la función pase por el punto (−1,4) , que la función tenga un máximo en *=1 , que la función en * = −2 , tenga una recta tangente paralela a & − 3* = 0. 6.-Halla los valores de !&# en la función ((*) = * " + !* − # sabiendo que pasa por el punto .(−2,1) y tiene un extremo relativo en el punto de abscisa * = −3. 7.-Halla !, #, % & ' en la función ((*) = !* ! + #* " + %* + ' sabiendo que el punto .(0,4) es un máximo y el punto 1(2,0) un mínimo 8.-Hallar la ecuación polinómica de segundo grado cuyo gráfico pasa por el punto (0,0), y tiene un máximo en el punto (1,1). 9.-Dada la función & = !* " + #* + %, Calcular los valores de los coeficientes a, b y c sabiendo que la gráfica de la función para por los puntos (1,0) & (0, −2) y que dicha gráfica tiene un máximo en el punto de abscisa *= ! " . 10.-Dada la función & = !* " + #* + %, Calcular los valores de los coeficientes a, b y c sabiendo que la gráfica de la función para por los puntos (1,2) & (2,6) y que la ecuación de la recta tangente a la gráfica en este ultimo punto es 7* − & − 8 = 0.
Transcript of APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS - WordPress.com
Página 1 de 8 C2ACADEMIA.COM
APL ICACIÓN DE LAS DERIVADAS
CALCULO DE PARAMETROS
1.-Halla !, #, %&' en la función ((*) = !*! + #*" + %* + ' sabiendo que el punto .(0,4) es un máximo y el punto 1(2,0)un mínimo.
Solución: ! = 1,# = −3,% = 0,' = 4
2.-Halla !, #&% en ((*) = !*! + #*" + %* − 4 de modo que f tenga un máximo en * = 1 y un
mínimo en 62,#$%! 7.
3.-Dada la función & = !*& + 3#*! − 3*" − !*, calcula los valores de !&#sabiendo que la
función tiene dos puntos de inflexión uno en * = 1 y otro en * =$"
Solución: ! = −1,# = 1
4.-De la función ((*) = !*! + #* sabemos que pasa por (1,1) y en ese punto tiene una tangente paralela a la recta 3* + & = 0.
5.-Teniendo la función ((*) = *! + 8*" + 9* + : calcula los valores de los parámetros para que la función pase por el punto (−1,4) , que la función tenga un máximo en * = 1, que la función en * = −2 , tenga una recta tangente paralela a & − 3* = 0.
6.-Halla los valores de !&#en la función ((*) = *" + !* − # sabiendo que pasa por el punto .(−2,1) y tiene un extremo relativo en el punto de abscisa * = −3.
7.-Halla !, #, %&'en la función ((*) = !*! + #*" + %* + 'sabiendo que el punto .(0,4) es un máximo y el punto 1(2,0) un mínimo
8.-Hallar la ecuación polinómica de segundo grado cuyo gráfico pasa por el punto (0,0), y tiene un máximo en el punto (1,1).
9.-Dada la función & = !*" + #* + %,Calcular los valores de los coeficientes a, b y c sabiendo que la gráfica de la función para por los puntos (1,0)&(0, −2) y que dicha gráfica tiene un
máximo en el punto de abscisa * =!".
10.-Dada la función & = !*" + #* + %,Calcular los valores de los coeficientes a, b y c sabiendo que la gráfica de la función para por los puntos (1,2)&(2,6) y que la ecuación de la recta tangente a la gráfica en este ultimo punto es 7* − & − 8 = 0.
Página 2 de 8 C2ACADEMIA.COM
11.-Calcular los valores de los coeficientes a, b, c y d en la ecuación de la función
& = !*! + #*" + %* + ', sabiendo que su gráfica pasa por el origen de coordenadas, pasa por
el punto 61,'(7 que tiene un máximo relativo en el punto de abscisas * = 1 y un mínimo relativo
en el punto de abscisa 2.
12.- La función ((*) = *" + !* + # pasa por el punto 8(0,4) y tiene un mínimo en el punto 9(2,0). Calcula mentalmente el valor de a y b.
13.- Obtén los valores de los parámetros a, b y c para que la función ((*) = !*! + #* + % pase por el punto ?(0,0) y tenga un mínimo local en 8(1,−1).
14.- Determina los valores de las constantes a, b, c y d para los cuales la gráfica de la función
((*) = !@AB* + #*" + %* + '
Tiene su tangente horizontal en el punto (0,4) y además, su segunda derivada es ())(*) =3@AB* − 10
15.- Dada la función ((*) = !*& + 3#*! − 3*" − !*, calcula los valores de a y b sabiendo
que la función tiene dos puntos de inflexión, uno en * = 1 y otro en * =$"
16.- De la función ((*) = !*! + #* se sabe que tiene una gráfica que pasa por (1,1) y que en ese punto tiene una tangente paralela a 3* + & = 0.Halla a y b
17.- Sea ((*) = *! + !*" + #* + 7. Hallar a y b de manera que la gráfica de la función tenga para * = 1 un punto de inflexión, y cuya recta tangente en ese punto forma un ángulo de 45DE!'F@(.GHIJGHKG; M = N!B 45* = 1) con el eje OX.
Solución: ! = −3,# = 4
18.- Determina a, b y c para que la función ((*) = *! + !*" + #* + % tenga un máximo para * = −4, un mínimo, para * = 0 y tome el valor 1 para * = 1
Solución: ! = 6,# = 0,% = −6
19.- La función ((*) = *" + !* + # pasa por el punto 8(0,4) y tiene un mínimo en el punto 9(2,0). Calcula mentalmente el valor de a y b.
20.- Determinar a, b, c, d y e, de modo que la curva ((*) = !*& + #*! + %*" + '* + A, tenga un punto critico en (1,3) y un punto de inflexión con tangente de ecuación & = 2* en el punto (0,0)
Solución: ! = −5,# = 6,% = 0,' = 2,A = 0
Página 5 de 8 C2ACADEMIA.COM
SOLUCIONES
1.-Halla !, #, %&' en la función ((*) = !*! + #*" + %* + ' sabiendo que el punto .(0,4) es un máximo y el punto 1(2,0)un mínimo.
((*) = !*! + #*" + %* + ' → ()(*) = 3!*" + 2#* + %
W!*XMF(0,4) →((0) = 4 → ' = 4()(0) = 0 → % = 0
WíBXMF(2,0) →((2) = 0 → 8! + 4# = −4()(2) = 0 → 12! + 4# = 0
−4! = −4 → ! = 1
Sabiendo que ! = 1 → 8(1) + 4# = −4 → # = −3
2.-Halla !, #&% en ((*) = !*! + #*" + %* − 4 de modo que f tenga un máximo en * = 1 y un
mínimo en 62,#$%! 7.
((*) = !*! + #*" + %* − 4 → ()(*) = 3!*" + 2#* + %
W!*XMF* = 1 → ()(1) = 0 → 3! + 2# + % = 0
WXBXMF Z2,−103[ → \(
(2) =−103
→ 8! + 4# + 2% =23→ 24! + 12# + 6% = 2
()(2) = 0 → 12! + 4# + % = 0
Ahora solo tienes que resolver un sistema: ]3! + 2# + % = 0
24! + 12# + 6% = 212! + 4# + % = 0
3.-Dada la función & = !*& + 3#*! − 3*" − !*, calcula los valores de !&#sabiendo que la
función tiene dos puntos de inflexión uno en * = 1 y otro en * =$"
& = !*& + 3#*! − 3*" − !* → &) = 4!*! + 9#*" − 6* − ! → &)) = 12!*" + 18#* − 6
.. J.→ * = 1 → ())(1) = 0 → 12! + 18# − 6 = 0
.. J.→ * = 0,5 → ()) Z12[ = 0 → 3! + 9# − 6 = 0
^12! + 18# = 63! + 9# = 6
→ ^ 12! + 18# = 6−12! − 36# = −24
−18# = −18 → # = 1
Sabiendo que # = 1 → ! = −1
Página 6 de 8 C2ACADEMIA.COM
4.-De la función ((*) = !*! + #* sabemos que pasa por (1,1) y en ese punto tiene una tangente paralela a la recta 3* + & = 0.
()(*) = 3!*" + #
Tienes que identificar la pendiente de la recta a la que es paralela:
3* + & = 0 → & = −3* → M = 3
(1,1) → _((1) = 1()(1) = −3
→ ^ ! + # = 13! + # = −3
→ −2! = 4 → ! = −2
@!#XAB'F`aA! = −2 → # = 1 − ! → # = 3
5.-Teniendo la función ((*) = *! + 8*" + 9* + : calcula los valores de los parámetros para que la función pase por el punto (−1,4) , que la función tenga un máximo en * = 1, que la función en * = −2 , tenga una recta tangente paralela a & − 3* = 0.
()(*) = 3*" + 28* + 9
La pendiente de la recta tangente tiene que ser paralela a & − 3* = 0 → & = 3* → M = 3
(−1,4) → ((−1) = 4W8b* = 1 → ()(1) = 0
* = −2EA%N!N!BDABNA → ()(−2) = 3→−1 + 8 − 9 + : = 43 + 28 + 9 = 012 − 48 + 9 = 3
Con las dos ultimas ecuaciones, haciendo un sistema puedes calcular los valores de A y B:
68 = 12 → 8 = 2@!#XAB'F8, !ℎFE!%!d%ad!9, 9 = −3 − 28 → 9 = −7
Finalmente, con estos dos valores y la primera ecuación: −1 + 8 − 9 + : = 4 → : = −4
6.-Halla los valores de !&#en la función ((*) = *" + !* − # sabiendo que pasa por el punto .(−2,1) y tiene un extremo relativo en el punto de abscisa * = −3.
()(*) = 2* + !
.(−2,1) → ((−2) = 1G*NEAMF* = −3 → ()(−3) = 0
→ 4 − 2! − # = 1−6 + ! = 0
De una de las ecuaciones puedes despejar directamente el valor de ! → ! = 6
Ahora con este valor determinas el valor del parámetro # → # = −9
Página 7 de 8 C2ACADEMIA.COM
7.-Halla !, #, %&'en la función ((*) = !*! + #*" + %* + 'sabiendo que el punto .(0,4) es un máximo y el punto 1(2,0) un mínimo
()(*) = 3!*" + 2#* + %
W8bJW?(0,4) → _((0) = 4()(0) = 0
→ ' = 4% = 0
MXBXMF(2,0) → _((2) = 0()(2) = 0
→ 8! + 4# + 4 = 012! + 4# = 0
Con las dos ecuaciones que obtienes del mínimo haces un sistema para determinar a y b:
MANF'F'AEA'a%%XFB → −4! = 4 → ! = −1
12! + 4# = 0 → # = 3
8.-Hallar la ecuación polinómica de segundo grado cuyo gráfico pasa por el punto (0,0), y tiene un máximo en el punto (1,1).
Lo primero que tienes que saber es la expresión de una ecuación de segundo grado:
& = !*" + #* + %
&) = 2!* + #
(0,0) → ((0) = 0 → % = 0
W8bJW?(1,1) → _((1) = 1()(1) = 0
→ ^! + # + % = 12! + # = 0
→ ^ ! + # = 12! + # = 0
Haciendo el método de reducción: −! = 1 → ! = −1
! + # = 1 → # = 2
9.-Dada la función & = !*" + #* + %,Calcular los valores de los coeficientes a, b y c sabiendo que la gráfica de la función para por los puntos (1,0)&(0, −2) y que dicha gráfica tiene un
máximo en el punto de abscisa * =!".
&) = 2!* + #
(1,0) → ((1) = 0 → ! + # + % = 0(0,−2) → ((0) = −2 → % = −2
Wá*XMF** =32→ (′ Z
32[ = 0 → 3! + # = 0
→ :FBd!gEXMAE!&NAE%AE!A%a!%XóBℎ!%A@aB@X@NAM!'AA%a!%XFBA@:
^ ! + # = 23! + # = 0
→ −2! = 2 → ! = −1
# = 3
Página 8 de 8 C2ACADEMIA.COM
10.-Dada la función & = !*" + #* + %,Calcular los valores de los coeficientes a, b y c sabiendo que la gráfica de la función para por los puntos (1,2)&(2,6) y que la ecuación de la recta tangente a la gráfica en este ultimo punto es 7* − & − 8 = 0.
& = !*" + #* + %
&) = 2!* + #
_.(1,2)
jA%N!N!BDABNA(2,6);M = 7→ \
((1) = 2
_((2) = 6()(2) = 7
→ k! + # + % = 2
^4! + 2# + % = 64! + # = 7
De la ultima ecuación:
# = 7 − 4!
Esta información la introducimos en las otras dos ecuaciones para calcular los valores de a y c:
_ ! + # + % = 24! + 2# + % = 6
→ _! + 7 − 4! + % = 2
4! + 2(7 − 4!) + % = 6 → ^−3! + % = −5−4! + % = −8
Si ahora realizas el método de reducción con ambas ecuaciones:
^−3! + % = −5−4! + % = −8
! = 3
Sabiendo el valor de a, puedes saber el parámetro c y después b:
−3! + % = −5 → −9 + % = −5 → % = 4
! + # + % = 2 → 3 + # + 4 = 2 → # = −5
Ejercicio 11
f axstbx cxd.yl3ax2bxtl.COMsd 0
1,56 Atb 1C 56 s ba166 16 5
11 1 MAX 3alrftt.be 1 C 0s3at2b C0X2mins3al2l2t2bl2 C 0s12a 4bi C
OJatrbc
Onaiwa.co Hbatbb ibc
53a2btc 0 ba 3 2 0 a
IE s.j j6 b 2
Ejercicio 12
flxt xtaxtbtlxl 2xa.lu4lsb 4 sirvePorcomprobar
queel
resultadoesta
12,0 min s fly O s 4 tlatb.cl bienf ht 0 s 4 ia 0 az 4
Ejercicio 13
faxstbxtcyi3axtb.CO0 sC 0
fln 1 s Gtb 1C 1 s Atb 11 11 ftp.OS3a b 0.3atb 0
Restando las ecuaciones metodo de reducción
2a 1 a entonces Atb 11
cubito z b 1
b
Ejercicio 14
flxt atenx ibxr cxdflxlacosx 2b.lt 1C
Tangente horizontal quHot4 D 4flol O At O s 3
la pendientede unatangente
horizontal
es MIO
la segunda derivada tiene que ser fkxt 3 mx 10 entonces
f txt admit 2b por tantoa 3 y 2b 10a 3 b 5
Ejercicio ti
ftp.ax43bx 3XaxHxI4ax't9bx 6x a
f 4 Max 1184 6Puntos de inflexión en K1 y xf H O Matt b bfReducción La 6 a 1 b 1f111 0 s 3A 96 6
si Ei t.ws iat.TEEn6a6
Ejercicio
16.11 1 6 44En
rectatangente
f txt 3AMtbparalela
a ymxtnpln.nlHA 1 atb 1 HMMRecta tangente paralela a y 4 pmfin 3 3A b 3
atb 13htb 32a 4 o a 2
Sabiendo que a 2 Atb 1 b 3
Ejercicio 17
flxt XSaxrtbxttflxl3xt 2ax.to1LA 6kt La11 1 Punto Inflexión f 111 0 6111 4 0 s a 3Recta tangente 11 1 ftp 1.3 2atb 1 b4mtg450 1Ejercicio 18
tw X tamb Xtcsabiendo
quebo
HH 3Mt laxibMAXIMO X 4 fkut 0.48 8atb.co a 6
minino 4 0 s filo _O b O11,11 Heike 1tatbtc
1ab c 0 ci 6
Ejercicio 19
tlxl ktax.to141 2 1 aA10,41 flot4 to 4112,01 flato 4 ilatb 0 az 4
414 O 4 1 0 a 4
Ejercicio20
tlxl axhtbxs cxltdxeflxlhaxs 3bxt.tk i d
f 1 1 14 2 64 12C1,3 HA 3 Atb ctd e 3sdtb
11YA 0.4a 3b 2c d 0sha 3bi.luo1sflol 0sC 0
pendiente m 2 tilo _2 d L a ib 1 ae 5
f 101 0 O
Gtb 1 l ka lib44 35 21
44A136 2
D 6 sb b
