Aplicaciones de las Aplicaciones de las Derivadas: EconomíaDerivadas: Economía

Jasso Martínez Luis GerardoJasso Martínez Luis GerardoJasso Vargas AntonioJasso Vargas Antonio

Reta López Juan AlfonsoReta López Juan AlfonsoSánchez García Daniela CarolinaSánchez García Daniela Carolina

IntroducciónIntroducción

• Las derivadas son útiles en economía, Las derivadas son útiles en economía, psicología, medicina, administración, psicología, medicina, administración, ingeniería, electricidad, electrónica, ingeniería, electricidad, electrónica, termodinámica, mecánica, biología, etc.termodinámica, mecánica, biología, etc.

• Se utilizan para la optimización de Se utilizan para la optimización de recursos para tratar de ocupar el mínimo recursos para tratar de ocupar el mínimo espacio, tiempo o materiales en algo o espacio, tiempo o materiales en algo o maximizar su espacio.maximizar su espacio.

Definiciones ClaveDefiniciones Clave

DerivadaDerivada

La derivada es el resultado de un La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en recta tangente a la gráfica de la función en un punto es decir:un punto es decir:

EconomíaEconomía

Estudia la manera de funcionar los Estudia la manera de funcionar los recursos, la creación de riqueza y la recursos, la creación de riqueza y la producción de bienes y servicios.producción de bienes y servicios.

Definiciones ClaveDefiniciones Clave

En economía se utilizan las En economía se utilizan las derivadas para el calculo de costos máximos derivadas para el calculo de costos máximos o mínimos, también para la búsqueda de la o mínimos, también para la búsqueda de la optimización de gastos sujeta a restricciones optimización de gastos sujeta a restricciones se utiliza la derivación de las funciones.se utiliza la derivación de las funciones.

Las derivadas en la economía pueden Las derivadas en la economía pueden tener muchísimas aplicaciones. Estas son tener muchísimas aplicaciones. Estas son una herramienta debido a que su naturaleza una herramienta debido a que su naturaleza permite realizar cálculos marginales: costo, permite realizar cálculos marginales: costo, ingreso, beneficio o producción.ingreso, beneficio o producción.

Definiciones ClaveDefiniciones Clave

Costos MarginalesCostos Marginales

• Son las variaciónes en el costo total, ante Son las variaciónes en el costo total, ante el aumento de una unidad en la cantidad el aumento de una unidad en la cantidad producida, es decir, es el costo de producir producida, es decir, es el costo de producir una unidad adicional.una unidad adicional.

Definiciones ClaveDefiniciones Clave

EjemplosEjemplos

Aplicación de las derivadas: Economía.Aplicación de las derivadas: Economía.

GananciasGanancias

  

Si x es el numero de Unidades; siendo R(x) el Ingreso Si x es el numero de Unidades; siendo R(x) el Ingreso Total ; c((x), el costo total; la ganancia entonces es:Total ; c((x), el costo total; la ganancia entonces es:

  

G(x) = R(x) – C(x)G(x) = R(x) – C(x)

  

Para maximizar la Ganancia de acuerdo a técnicas Para maximizar la Ganancia de acuerdo a técnicas conocidas se debe derivar e igualar a cero esto significa :conocidas se debe derivar e igualar a cero esto significa :

G’ (x) = R’(x) – C’(x) = 0G’ (x) = R’(x) – C’(x) = 0

r’(x) = C’(x)r’(x) = C’(x)

Entonces en el máximo de la Ganancia el ingreso Marginal, Entonces en el máximo de la Ganancia el ingreso Marginal, debe ser igual al Costo Marginal. debe ser igual al Costo Marginal. 

Ejemplo 1Ejemplo 1

Hallar la ganancia Máxima que se obtiene con determinado bien Hallar la ganancia Máxima que se obtiene con determinado bien cuya ecuación de Costo total es: C(x) = 20 + 14x ; La Demanda cuya ecuación de Costo total es: C(x) = 20 + 14x ; La Demanda que posee el bien es: y= 90-2xque posee el bien es: y= 90-2x

  

El costo total C(xEl costo total C(x) = 20 + 14x) = 20 + 14x

   La Demanda y La Demanda y = 90-2x= 90-2x

   El ingreso Total: R(x) xy El ingreso Total: R(x) xy = x(90-2x)= x(90-2x)

La Ganancia: G(x) La Ganancia: G(x) = R(x) – C(x)= R(x) – C(x)

= x(90-2x) – (20 + 14 x)= x(90-2x) – (20 + 14 x)

= -2x^2 +76x – 20= -2x^2 +76x – 20

  

Maximizando G’(x) Maximizando G’(x) = -4x + 76 = 0 = -4x + 76 = 0 x = 19 x = 19

GMax. = 2*19^2 + 76*19 – 20 = 702GMax. = 2*19^2 + 76*19 – 20 = 702

Ejemplo 2Ejemplo 2

Un propietario de 40 departamentos(dep.) puede alquilarlos a Un propietario de 40 departamentos(dep.) puede alquilarlos a 100 $ c/u, sin embargo observa que puede incrementar en 5$ el 100 $ c/u, sin embargo observa que puede incrementar en 5$ el alquiler por cada vez que alquila un Departamento menos. alquiler por cada vez que alquila un Departamento menos. ¿ cuantos Departamentos debe alquilar para un máximo ingreso?¿ cuantos Departamentos debe alquilar para un máximo ingreso?

  • Nº Total Dep. : 40Nº Total Dep. : 40• Nº Dep. Alquilados : xNº Dep. Alquilados : x• Nº Dep. no alquilados: uNº Dep. no alquilados: u

• Alquiler de 1 dep. originalmente : 100$Alquiler de 1 dep. originalmente : 100$• Incremento por 1 Dep. no alquilado : 5$Incremento por 1 Dep. no alquilado : 5$• Ingreso por u Dep. no alquilados: 5u$Ingreso por u Dep. no alquilados: 5u$• Ingreso por alquiler de 1 DEp. : 100 + 5uIngreso por alquiler de 1 DEp. : 100 + 5u• Ingreso por alquiler de x Dep. : x(100+5u)Ingreso por alquiler de x Dep. : x(100+5u)

  

Reemplazando la ecuación de ingreso es:Reemplazando la ecuación de ingreso es:

R = x((100+5(40-x))R = x((100+5(40-x))

= -5x^2 + 300x= -5x^2 + 300x

  

R’ = -10x + 300 = 0 R’ = -10x + 300 = 0 x = 30 x = 30

Rmax. Rmax. = -5*30^2 + 300*30 = 4500$= -5*30^2 + 300*30 = 4500$

Ejemplo 3Ejemplo 3

El costo de unidades monetarias en el El costo de unidades monetarias en el costo total de fabricación de x relojes, esta costo total de fabricación de x relojes, esta dado por C(x) = 1500 + 3x + x^2 .dado por C(x) = 1500 + 3x + x^2 .

Obtenga:Obtenga:

a)a)La función de costo marginal.La función de costo marginal.

b)b)El costo marginal cuando x=40El costo marginal cuando x=40

c)c)El costo real de fabricación del reloj El costo real de fabricación del reloj cuadragésimo primero.cuadragésimo primero.

La función del costo de fabricación de x reloj es: La función del costo de fabricación de x reloj es:

C(x) = 1500 + 3x + x^2C(x) = 1500 + 3x + x^2

La derivada de la función del costo marginal, de tal modo que:La derivada de la función del costo marginal, de tal modo que:

a)a)C’(x) = 3 + 2xC’(x) = 3 + 2x

b)b)C’(40) = 3 + 2(40) = 3 + 80 = 83C’(40) = 3 + 2(40) = 3 + 80 = 83

c)c)C(41) = 1500 + 3(41) + (41) ^2 = 1500 + 123 + 1681 = C(41) = 1500 + 3(41) + (41) ^2 = 1500 + 123 + 1681 = 33043304

C(40) = 1500 + 3(40) + (40) ^2 = 1500 + 120 + 1600 = C(40) = 1500 + 3(40) + (40) ^2 = 1500 + 120 + 1600 = 32203220

C(41) – C(40) = 3304 – 3220 = 84C(41) – C(40) = 3304 – 3220 = 84

ConclusionesConclusiones

Las derivadas aunque no lo parezcan Las derivadas aunque no lo parezcan son importantes en la vida cotidiana y son importantes en la vida cotidiana y laboral y a veces uno no lo sabe pero las laboral y a veces uno no lo sabe pero las aplicamos a diario.aplicamos a diario.

Cualquier cambio lo puedes Cualquier cambio lo puedes representar por una derivada.representar por una derivada.

Bibliografía.Bibliografía.(s.f.). Recuperado el 18 de Junio de 2013, de (s.f.). Recuperado el 18 de Junio de 2013, de http://usuarios.multimania.es/calculodiferencial/id71.htmhttp://usuarios.multimania.es/calculodiferencial/id71.htm(28 de Marzo de 2012). Recuperado el 18 de Junio de 2013, de (28 de Marzo de 2012). Recuperado el 18 de Junio de 2013, de Blog Blog WordPress:http://calculodiferencial1univia.wordpress.com/2012WordPress:http://calculodiferencial1univia.wordpress.com/2012/03/28/aplicaciones-de-la-derivas-en-la-economia//03/28/aplicaciones-de-la-derivas-en-la-economia/Ávila, J. (s.f.). Ávila, J. (s.f.). RecursosTICRecursosTIC. Recuperado el 18 de Junio de 2013, . Recuperado el 18 de Junio de 2013, de de http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacthttp://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Derivada_de_una_funcion/Derivada_de_una_funcion.htmicos/Derivada_de_una_funcion/Derivada_de_una_funcion.htmGoogle DocsGoogle Docs. (s.f.). Recuperado el 18 de Junio de 2013, de . (s.f.). Recuperado el 18 de Junio de 2013, de https://docs.google.com/document/d/11m8dEWTp05ptJw_Z1Mahttps://docs.google.com/document/d/11m8dEWTp05ptJw_Z1Maq4zEcREJsbvteaolkiQ1qFgs/edit?hl=enq4zEcREJsbvteaolkiQ1qFgs/edit?hl=enZona EconómicaZona Económica. (2011). Recuperado el 18 de Junio de 2013, . (2011). Recuperado el 18 de Junio de 2013, de http://www.zonaeconomica.com/costo-marginalde http://www.zonaeconomica.com/costo-marginal