Aplicación de las TIC a las derivadas en 2º de Bachillerato.

Presentado por: José María Delgado Liébana Línea de investigación: Propuesta de intervención

Director/a:

Ciudad: Fecha:

Juan Antonio Moya Pérez Jaén 28 de Febrero de 2016

Universidad Internacional de La Rioja Facultad de Educación Trabajo fin de máster

AplicacióndelasTICalasderivadasen2ºdeBachillerato.

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Resumen

En el currículo de 2º de Bachillerato, en la materia de Matemáticas en laespecialidad de Ciencias Sociales II, según la legislación vigente, los alumnos seenfrentan al análisis por primera vez y en especial a las derivadas, de las cuales notienen conocimientos previos. Esta carencia dificulta el desarrollo de un aprendizajesignificativo.

Losalumnosde2ºBachilleratoenestaespecialidadsuelenestarmásdispersosenasignaturascomolasmatemáticaspordistintascausasestudiadas,por loquehayqueincidirengranmedidaennuevosconceptos.

Para suplir esta carencia se desarrolla esta propuesta de intervención, en lacualseaplicaránlasnuevastecnologíasdelainformaciónylacomunicaciónsirviendocomo apoyo al proceso de enseñanza –aprendizaje en la unidad didáctica dederivadas.

El uso de las tecnologías de la información y la comunicación desarrollacompetencias yaadquiridasdurante laetapade laEducaciónSecundariaObligatoriatalescomoeltratamientodelainformaciónycompetenciadigitalydelconocimientoeinteracción con elmundo físico, las cuales se aconseja seguir trabajando durante laetapadeBachillerato.

Palabras clave: Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC),aprendizaje significativo, Matemáticas aplicadas a las humanidades y las CienciasSociales,Bachillerato,derivadas,propuestadeintervención.

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Summary

In the curriculum of 2nd of bachelor, in Mathematics subject, speciality ofHumanities and Social Sciences, according to the current law, students face theanalysis for the first time and, especially, the derivatives; they have no previousknowledgeofthisarea.Thislackimpededthedevelopmentofameaningfullearning.

2ndbachelorstudents, inthespecialityofHumanitiesandSocialSciencesareusuallymoredispersedinsubjectslikeMathematicsforvariousreasonsstudied,soitisnecessarytoreinforceonnewconcepts.

Tofillthisgapisnecessarytodevelopthisinterventionproposal.Inwhichnewinformationand communication technology serving to support the teaching-learningprocessinthederivative’seducationalunit.

TheuseofinformationandcommunicationtechnologydevelopscompetencesacquiredpreviouslyduringObligatorySecondaryEducation suchas the treatmentofthe information and digital competence and knowledge and interaction with thephysicalworld,wichisadvisabletobeenworkingthroughBachelor.

Keywords:informationandcommunicationtechnologies,meaningfullearning,applied mathematics to humanities and social sciences, bachelor, derivatives,interventionproposal.

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ÍNDICE

1.INTRODUCCIÓNYJUSTIFICACIÓN 7

1.1 JUSTIFICACIÓN 71.2 OBJETIVOS 81.3 ENTORNODEESTUDIO 81.4 SECUENCIACIÓNDELTRABAJO 91.5 JUSTIFICACIÓNBIBLIOGRÁFICA 9

2. MARCOTEÓRICO 11

2.1 FUNDAMENTODIDÁCTICO 112.2 MARCOSOCIALYEDUCATIVOACTUAL 132.3 MARCOLEGISLATIVOACTUAL 152.4 EMPLEODELASNUEVASTECNOLOGÍASENELAULA. 182.5 DIFICULTADESDELAENSEÑANZAYAPRENDIZAJEENLAUNIDADDEDERIVADAS 19

3. MARCOMETODOLÓGICO 21

3.1 TRABAJODECAMPO 213.1.1 DESTINATARIOS 213.1.2 ANÁLISISDELASITUACIÓNENELAULA 223.1.3 INFORMACIÓNOBTENIDADELOSALUMNOS 233.1.4 INFORMACIÓNDEDOCENTES 243.1.5 INTERPRETACIÓNDELOSRESULTADOS 283.1.5.1 Alumnos: 283.1.5.2 Docentes: 283.1.5.3 Conclusiones: 293.2 PROPUESTADEINTERVENCIÓN 303.2.1.INTRODUCCIÓN 303.2.2.TEMPORALIZACIÓN 313.2.3.OBJETIVOS 313.2.4COMPETENCIASBÁSICAS 323.2.5CONTENIDOS 33Contenidostransversales 343.2.6SECUENCIACIÓNYMETODOLOGÍA 35Sesión1.Introducciónalaunidad 35Sesión2.Tasasdevariación. 36Sesión3.Interpretacióngeométricadeladerivada. 39Sesión4.Afianzamientoyejercicios. 41Sesión5y6.Derivadasdefuncioneselementales 44Sesión7:Derivadasdelasoperacionesconfunciones 48Sesión8:Regladelacadena 49

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Sesión9y10:Repasoyejercicios 51Sesión11:Rectatangenteaunafunción 52Sesión12:Sesiónderepaso 53Sesión13:Pruebaescrita 54Sesión14:Repasodelaunidad 553.2.7EVALUACIÓNDELALUMNADO 56Criteriosdeevaluación 563.2.8IDONEIDADDELAUNIDADDIDÁCTICA 57Calificacióndelaunidad 57Calificacióndelprocesodeenseñanza 58

4.CONCLUSIONES 60

4.1CONCLUSIONESDELAPROPUESTADEINTERVENCIÓN 604.2LIMITACIONESDELAPROPUESTA 614.3LÍNEASDEINVESTIGACIÓNFUTURAS 63

5.REFERENCIASBIBLIOGRÁFICAS 64

ANEXOS 66

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ÍNDICEDEGRÁFICOS,FIGURASYTABLASGRÁFICOS:

Gráfico1.Estudiodealumnosenelaula.......................................................................22Gráfico2.Resultadocuestionarioalumnos...................................................................24Gráfico3.Resultadocuestionariodocentes1................................................................25Gráfico4.Resultadocuestionariodocentes2................................................................26Gráfico5.Resultadocuestionariodocentes3................................................................26Gráfico6.Resultadocuestionariodocentes4................................................................26Gráfico7.Resultadocuestionariodocentes5................................................................27Gráfico8.Resultadocuestionariodocentes6................................................................27Gráfico9.Resultadocuestionariodocentes7................................................................27

FIGURAS:Ilustración1.Procesodeestudiodereferenciasbibliográficas.....................................10Ilustración2.Esquemamarcoteórico............................................................................20Ilustración3.ImpresióndeCazadeltesoropropuesta..................................................35Ilustración4.Esbozográficodeaproximaciónaderivada.............................................38Ilustración5.Esbozográficoejercicio............................................................................39Ilustración6.f(x)=-x^2....................................................................................................40Ilustración7.f(x)=1/x.....................................................................................................41Ilustración8.f(x)=x^2-2x-1............................................................................................43Ilustración9.F(x)=x^2....................................................................................................52TABLAS:Tabla1.CompetenciasclaveatrabajarsegúnLOMCE..................................................16Tabla2.Esquemadesesiones........................................................................................31Tabla3.Contenidos.......................................................................................................33Tabla4.Funcionessesión5............................................................................................44Tabla5.Tabladederivadasinmediatas.........................................................................46Tabla6.Derivadasparacasa..........................................................................................47Tabla7.Ejemplosdepropiedadesdelasderivadas.......................................................48Tabla8.Ejemploregladelacadena...............................................................................50Tabla9.Criteriosdeevaluación.....................................................................................57Tabla10.Sistemadeevaluación....................................................................................58Tabla11.Fichadeevaluacióndelprofesor....................................................................59

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1. INTRODUCCIÓNYJUSTIFICACIÓN

LaOrganizaciónMundialde laSalud,define laadolescencia, comounaépocade cambios dividiéndose ésta en varias etapas de desarrollo. Las personas entredieciséisydieciochoañosseincluyenenunaetapadenominadaadolescenciatardíaenlaqueseproducencambiosfísicosytransformacionespsicológicascaracterizadasporunamayorautonomíayrigorensusrazonamientos,referenciadatambiénporPiagetensusteoríaspsicoevolutivascomoetapadepensamientoformal.

Teniendo en cuenta la citada teoría genética de Piaget y los estudiospsicoevolutivosactualesdeTrianesyGallardo(2011),Delval(2012),PalaciosMarchesiy Coll (2013) y García Madruga (2014), los alumnos de 2º de bachillerato secaracterizan por adquirir un pensamiento hipotético deductivo o formal abstractoposibilitándolesdeunrazonamientocientífico.

Además hay que destacar que los alumnos de estas edades afianzan supensamientológicoabstracto,consiguiendo:

- Que se posea la capacidadde analizar las posibles situaciones (históricas,físicas,matemáticas,sociales…)ylasquesehanproducidoenlarealidad.

- Analizarlasrelacionescausa-efecto,demaneralógicaycontrastándolasconlaexperimentación

- Considerar todas las combinaciones posibles entre las causas de undeterminadoefecto.

- Poseer la capacidad de realizar hipótesis, analizar variables y llegar aconclusiones.

- Utilizar el lenguaje verbal como reguladordel pensamiento abstracto y elcomportamiento.

1.1 Justificación

Teniendo en cuenta las teorías psicoevolutivas indicadas con anterioridad,existenconceptos,loscualeslosalumnosdesconocenporcompleto,quedebidoasunaturaleza no están relacionados con facetas de la vida cotidiana. De acuerdo a lanormativavigente,laLeyOrgánica2/2006yelRealDecreto1467/2007,yautonómicadeAndalucía,Orden5/8/2008,delamateriadeMatemáticasAplicadasalasCienciasSocialesIIde2ºdeBachillerato,emanacomoelementocurricularparalaasignaturaycurso,elconceptodederivada,yenespecial,elcontenidodederivadadeunafunciónenunpuntoylaaproximaciónalconceptoeinterpretacióngeométricadelamisma,

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por lo que partiendo del hecho de que los alumnos carecen de los conocimientospreviosde lasmismas,esnecesarioconstruirunaprendizaje significativo,basadoenlasdistintasteorías.

1.2 Objetivos

El objetivo principal de este trabajo fin de máster es el desarrollo de unapropuestadeintervenciónenlaqueseusenlasnuevastecnologíasdelainformaciónyla comunicación, a partir de ahora TIC, como herramienta de mejora de lacomprensión de conceptos de derivada y de su interpretación geométrica para losalumnosde2ºdeBachilleratoqueseenfrentanporprimeravezalindicadoconcepto,ynosonfácilmenterelacionadasconalgúnconocimientopreviodelavidacotidiana.

Para alcanzar este objetivo general primero plantearemos una serie deobjetivos específicos, necesarios para el proceso, hasta la consecución del objetivogeneral.Estosobjetivossonlossiguientes:

- Fundamentar mediante una revisión bibliográfica, el uso de las tic, enconcretoenalumnosdeestaedad.

- Listarloserroresmáscomunesquelosalumnosrealizanconlaexperienciaqueotrosdocenteshantenidoenotrosaños.

- Estudiarmediante un trabajo de campo las deficiencias observadas en elaulaporpartededocentesyalumnos.

- Desarrollar la unidad didáctica de “Derivadas”, la cual desconocen en sumayoría y se encuentra en el currículo vigente, experimentando condistintastecnologíastalescomovídeos,aplicacionesinformáticas,…

1.3 Entornodeestudio

Los destinatarios de la propuesta de intervención son los alumnos de 2º deBachilleratodeuncolegioconcertado.

Se ha desarrollado en la asignatura de Matemáticas, en la especialidad deCiencias Sociales II, por lo que la presente propuesta de intervención puede serexportadaacualquierotrocentroenelqueseimpartalaasignatura.

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1.4 Secuenciacióndeltrabajo

Lapresentepropuestadeintervenciónhasidodesarrolladateniendoencuentalasdificultadesquelosalumnospresentancuandoseenfrentanporprimeravezantelaunidaddidácticadederivadas.

Antesdecomenzarconunapropuestadeintervención,esnecesarioanalizarelconjunto de ideas, procedimientos y teorías que servirán de eje de investigación deestapropuesta.Paraellosehanestablecidolaslíneasbásicasenelmarcoteórico.

Ensegundolugar,sehadesarrolladountrabajodecampoconelfindedetectarlas deficiencias en el aula y en el proceso de enseñanza-aprendizaje por parte dealumnosydocentesparadefinirlalíneadeactuacióndelapropuesta.

Porúltimosehadesarrolladounapropuestadeunidaddidácticacompletadederivadasconelfindecumplirlosobjetivosdelmarcolegislativoactual.

1.5 Justificaciónbibliográfica

Para la correcta consecución de los objetivos de esta propuesta deintervención, se tendrán en cuenta distintas referencias de autores de los últimosaños. Para la realización del estudio de las referencias se seguirá un esquemacronológico para llegar a la correcta elaboración de la citada propuesta deintervención

Enprimer lugar, sebuscarán referencias sobreelmarco teórico teniendoencuenta las distintas teorías del aprendizaje y comoéstas pueden ser aplicadas en elaulaen laactualidad.Ademásse tendráencuentaelmarcosocialactualycomo lasnuevastecnologíassonalgomásquenecesariasypuedenservirdeapoyoenlasaulasparaentenderconceptoscomplejosparalosalumnos.

Dada la propuesta, y el destino final de llevarla a las aulas, existe unaobligatoriedad de estudiar la normativa nacional actual de educación, haciendoespecialhincapiéenlaLOE2/2006ylaLOMCE8/2013derecienteimplantaciónenlasaulas.

Teniendo en cuenta el concepto sobre el que se va a realizar la presentepropuesta, se estudiarándistintas referencias sobre las dificultadesque los alumnospueden teneralaprenderel conceptodederivadas,y cuáles son lasmejorespautasparaconseguirunexcelenteprocesodeenseñanza-aprendizaje.Ademásseinvestigarásobrelasdistintasactividadesytareasquesepuedenrealizarparaponerenprácticael

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temadelasderivadas,relacionándolasatravésdeejercicioscondistintasfacetasdelavidacotidiana

Porúltimo,ysiguiendoelesquemacronológicomarcado,sevanaanalizarlasdistintasformasytécnicasdeevaluación,deformaquealahoradeaplicarlapresenteunidad,nosedejedeladolacorrectaevaluacióndelosconceptos,procedimientosyactitudes

Ilustración1.Procesodeestudiodereferenciasbibliográficas

1

• Teoríasdelaprendizaje• Marcosocial• Nuevastecnologías

2• Normativaactualdeeducación

3• Procesodeenseñanzade"derivadas"• Ejercicios,actividadesytareas

4• Técnicasdeevaluación

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2. MARCOTEÓRICO

Conelfindedefinirelconjuntodeideas,procedimientosyteoríasqueservirándeejedeinvestigacióndeestapropuestasehaestudiadoelpresentemarcoteórico.

Sehacomenzadoanalizandoelfundamentodidácticoylasdistintasteoríasenelproceso deevolucióndelaprendizaje.Delmismomodo,sehaanalizadoelmarcosocialactual, lascaracterísticasde lapresentesociedady lanecesidaddelusode lasnuevastecnologías.

No puede obviarse elmarco legislativo actual, por lo que se ha desarrolladoteniendo en cuenta la normativa existente en el proceso de enseñanza-aprendizaje,paraplasmar a continuación lasdificultadesmás comunesen launidaddidácticade“derivadas”porpartedelosalumnosyprofesores.

2.1 Fundamentodidáctico

A lo largo de la historia se ha intentado, por parte de distintos teóricos,desarrollar diferentes aproximaciones acerca del proceso de enseñanza-aprendizaje,las cuales las conocemos como teorías del aprendizaje. Las más representativas sedescribenacontinuación:

- Conductismo:Sefundamentaprincipalmenteenqueaunestímulo,lesigueuna respuesta yentreambos sepuedenestableceruna causa. (Pavlov, I.,1892).

- Constructivismo: El constructivismo defiende que la génesis delconocimiento es el resultado de un proceso de reconstrucción de los“hechosdelmundo”quellevanacabolaspersonasalolargodesuvidaeninteracciónconlosobjetosyconlosdemás(Marín,1999).Enestateoríadelaprendizajesepuedendestacaralossiguientesautores(Sanmartí,2010):

o AprendizajeasimilativodeAusubel:Hacereferenciaenprimerlugaralaprendizajesignificativoteniendoencuentalosconocimientosyaaprendidosconanterioridadyrelacionándolosconlaadquisicióndelos nuevos y por otro lado, al aprendizajememorístico, que es elrealizadoporrepeticiónsinqueestérelacionadoconconocimientosanteriores.(Sanmartí,2010).

o Teoría Piagetiana: Se caracteriza por la evolución intelectual y depensamiento formal abstracto, para basarse en la lógica, laabstracción, el razonamiento científico, las proposiciones y las

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posibilidades. Para aprender hay que poner en práctica lasoperacionesendiferentessituaciones.(Piaget&Inhilder.2007).

o Socioconstructivista: Pone de relieve la importancia del lenguajecomo interacción social en el desarrollo cognitivo del adolescente,paraelloesnecesarioel lenguajeoral, la lecturay laescrituraparapoderentenderlosconocimientos.(Vygotsky.L.,1927).

- Teoría psicológica cognitivista: Se basa en la forma de cómo la mentehumana interpreta y almacena la información, considerando que el serhumano es un constructor de sus experiencias y un receptor activo de lainformación(Chomsky.N,1965)

Teniendoencuentalasdistintasteoríasdelaprendizaje,tantodelasindicadascon antelación como de otras existentes, la que actualmente es dominante en ladidáctica de las ciencias y en especial de lasMatemáticas es la del constructivismo(Sanmarti,2010).

El constructivismo como ya se ha indicado, en especial la rama delconstructivismo entendido como aprendizaje asimilativo de Ausubel, se basa enconocimientos adquiridos con anterioridadque serán recordados y/o alterados paraadquirirnuevosconceptosmáscomplejos.

Paraaprenderdeunaformasignificativa,senecesitaunaestructuralógicadelcontenido, desde los conceptos más generales se llegará a los más específicos. Setendrá en cuenta una estructura cognitiva del alumnado, unas estrategias claras yadecuadasa losconocimientosyunprocesorealizadopor inclusión,diferenciándoseenprimerlugarunaprendizajesubordinado,otrosupraordinadoyuncombinatorio.Atravésdelaprendizajecombinatorioseadquiriránlasnuevasideasteniendoencuentaotraspreexistentes.(Moreira,M.,1996)

Así pues, para desarrollar conocimientos debemos tener en cuenta ideas yaadquiridasconanterioridad,yaúnsiendoescasas,debemosmodificarlasconelfindeque el salto seamínimo y puedan adaptarse en todomomento a su nivel, es decir,relacionando conocimientos matemáticos y científicos adquiridos con anterioridadcomo base para la construcción de un aprendizaje significativo. A partir de estosconocimientos,podránsermodificados,ampliadosy relacionadosa travésde lasTICparalograrunatransposicióndidácticahacialosnuevosconocimientos.

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2.2 Marcosocialyeducativoactual

A lo largo de los últimos años estamos entrando en una sociedad de lainformación donde el volumen de información aumenta cada día, “La informaciónacumulada por la humanidad creció a un ritmo muy lento, casi imperceptible. Deaquellas épocas todavía nos quedan vestigios en algunas comunidades donde lapalabradelancianoserespetabacomocriterioúltimo.Setratadeunasituaciónenlaqueelincrementodeinformaciónenelespaciodedosgeneracionesestanlentoqueelconocimientoacumuladoporlapersonadeedaderaválidopararesolverlosproblemasdelacomunidad;lasabiduríaresidíaenlosancianosdelatribu”(Pina,B.,1996)Porelcontrarioenlaactualidadestoyanoesasí.

Esta nueva realidad conlleva una nueva cultura a través de los procesos deglobalización y que implica nuevas formas de ver el mundo, las técnicas y elcomportamiento de las personas, incluso exigiendo esfuerzos de adaptación.(Domínguez,R.,2009)

“Las llamadas sociedades complejas -en las que nos ha tocado vivir- estánbasadas, fundamentalmente, en el conocimiento, por una parte, y en un grado deinterconectividad, por otra, que las hace vulnerables. Se podría alegar que, lejos degestionar sociedades del conocimiento, todavía estamos gestionando la ignorancia”.(Punset,E.2009).Esporelloqueaúnnosquedamuchoporinnovarparacapacitaralosalumnosdelascompetenciasclaveyloquerepercutedirectamenteenelmarcodelaautonomíapedagógica,elcualdebeserenfocadoaadquirir lascompetenciasparaunanuevasociedaddelainformación.

Existendistintasposturascríticasantelanuevarealidadsocial(Villa,2006):

- Descensodelacapacidaddeconcentración:Lacapacidaddeescucharsehaperdido,granpartede losalumnosson incapacesdeescuchar50minutosdeclase.

- Excesodeinformación:Sobrecualquiertemasepuedeencontrarinfinidadde información y es por eso que hay que desarrollar capacidades deseleccióndematerial,localizacióndefuentes,…

- Saturacióndelasuperficialidad:Lagentenecesitacomunicarsemáshoyendíaperodeunaformasuperficial,aligerandoelpesoinformativo.

- Pasividadypérdidadelespíritucrítico:Setomaunaactitudpasivaantelosmedios,seestáperdiendoelsentidodecríticapersonal.

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- Pérdida de capacidad de razonamiento: Debido a la gran cantidad deinformación es fácil convertirse en un receptor de información sin tenerunaposturacríticaanteelmensaje.

Este cambio lleva aparejado la adaptación del sistema educativo a la nuevascaracterísticas de la sociedad, y para la adaptación al modelo de sociedad de lainformaciónesnecesario:(Cabero,2006)

- Aprender a aprender y a desarrollar la curiosidad por aprender paraenriquecerlavidaentodassusfacetas.

- Aprenderaresolverproblemasnuevosideandonuevassoluciones.- Aprenderalocalizarinformaciónyatransformarlaenconocimiento.- Aprenderarelacionarlaenseñanzaconlarealidadactual.- Usar la interdisciplinaridad para percibir todos los puntos de vista de

problemasysituaciones.

Teniendo en cuenta la lentitud por adaptarse tanto la sociedad como lanormativaaestanuevapostura,hayquebuscarquedichaadaptación rompacon labrechatecnológicadealumnosysobretodoconlabrechadocente,esporello,queelprimer paso es el de formar a los docentes en TIC, manteniéndolos en constanteproceso de aprendizaje de lasmismas, ya que esta sociedadde la comunicación, seencuentraencontinuaevolución.Siseconsigue llevaracaboesteprocesodeformacorrectasepodráexportaralaactividaddocente.(EducacióninfantilyTIC,2014)

El uso de estas tecnologías ayuda en el aula y proporcionan: (Adell, 1997;Bartolomé,1999;Beltrán,2001;Cabero,1996;DePablos,1998):

- Flexibilidad; adaptándose las nuevas tecnologías de la información y lacomunicación a las distintas características de los alumnos lo que va apermitirllevarunaenseñanzamáspersonalizada,constructivistaycreativa.

- Complementariaderecepcióndelainformación;yaquelainformaciónlesllegaalosalumnosatravésdevarioscanalessensorialesalmismotiempo.

- Motivación; gracias a las TIC los alumnos se interesan más en losconocimientosysesientenmotivados.

- Agrupación; las TIC potencian el trabajo cooperativo entre alumnos y atravésdelasredessociales.

- Inconvenientes;delmismomodohayqueprestarespecialatencióna:o Informacioneserróneas:Eldocentedebeguiaralalumnodotándolo

de herramientas y recursos para seleccionar y analizar lainformación.

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o Excesodeinformación:Hayqueevitarelexcesodeinformaciónyaquesaturaríaelprocesodeaprendizaje.

Graciasaestascaracterísticasyenespecialalamotivadora,lasTICayudanalosalumnosaadquirirnuevosconocimientosconinterésydeformamássencilla.Ademásseconseguirámodificaro“maquillar”conocimientosadquiridosconanterioridadparaincorporarlosnuevosdeformasignificativayconstructivistadelaprendizaje.

2.3 Marcolegislativoactual

Durante la redacción de esta propuesta de intervención como trabajo fin deMáster,lasituaciónesdetransiciónentrelaLOE2/2006ylaLOMCE8/2013.Sevanadefinir los elementos curriculares con respecto a las competencias clave y losconocimientosdelasdosleyesorgánicas,entendiendolaLOMCE8/2013comomejoradelaLOE2/2006.HayquedestacarqueparaelBachilleratopropiamentedichonosehabladecompetenciasbásicasperosiseindicaenlanormativaqueesaconsejableirtrabajandolascompetenciasbásicasy/oclaveindicadasparalaEducaciónSecundariaObligatoria.

ParalaLOE2/2006,enconcretoenelRD1631/2006quelasecuencia,selistany definen las competencias básicas que los alumnos deben adquirir al finalizar laEducaciónSecundariaObligatoria(ESO),siendoéstasuntotaldeocho.PorotroladolaLOMCE8/2013indicaqueestascompetenciasahoradenominadascompetenciasclaveademásdeadquirirsedurantelaESOdebenseguirtrabajándoseduranteelperiododeBachillerato y modifica las anteriores ocho competencias básicas en sietecompetenciasclave,integrandojuntoalacompetenciamatemática,lacompetenciaenelconocimientoylainteracciónconelmundofísico.

AtravésdelaLOMCEyelRD.1105/2014,queeselqueincorporaalcurrículolascompetenciasclave,debemosdetrabajardurantetodoelperiododelBachilleratolassietecompetenciasclave,contribuyendoasuadquisicióncomoindicalasiguientetabla,enlaquesepuedeobservar ladefinicióndecadacompetenciasysuformadetrabajarlas.

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Tabla1.CompetenciasclaveatrabajarsegúnLOMCE

COMPETENCIASCLAVE

COMPETENCIA CONTRIBUYECOMO

LINGÜÍSTICA

Utilización del lenguaje comoinstrumento de comunicacióninterpretación y comprensión de larealidad, de construcción ycomunicación del conocimiento y deorganizacióndelasemociones.

- Adquisición de vocabulario yterminologíaespecífica.

- La lectura, comprensión einterpretación de enunciados deproblemasmatemáticos.

- Expresión verbal del procedimientoderesolucióndeproblemas.

MAT

EMÁT

ICAYCIEN

CIAYTECN

OLO

GÍA

Habilidad para utilizar y relacionar losnúmeros, sus operaciones básicas, lossímbolos y las formas de expresión yrazonamiento para resolver problemasrelacionados con la vida cotidiana y elmundo laboral. Del mismo modo semuestra también como habilidad parainteractuar con el mundo físico de talmodoque seposibilita la comprensiónde sucesos, la predicción deconsecuencias y la actividad dirigida ala mejora y preservación de lascondiciones de vida propia, de lasdemáspersonasydelrestodelosseresvivos.

- Conocimiento y utilización denúmeros, símbolos, operaciones,estrategiasmatemáticas.

- Discriminacióndeformas,relacionesyestructurasgeométricas.

- Representación, lectura einterpretación de funciones ygráficos.

- Recogida, organización,representación y análisis de datosmediante procedimientosestadísticos.

- Utilizaciónyvaloracióndecálculodeprobabilidad.

- Aplicación del conocimientomatemáticoenlavidacotidiana.

DIGITAL

Implicaelusocreativo,críticoysegurodelastecnologíasdelainformaciónylacomunicación para alcanzar losobjetivosrelacionadosconeltrabajo,laempleabilidad, el aprendizaje, el usodel tiempo libre, la inclusión yparticipaciónenlasociedad.

- El uso de los ordenadores, paracomunicarse, búsqueda deinformación, cálculo, representacióngráfica,estadística,…

- Establecimiento de relaciones entrelos lenguajes verbal, numérico,gráfico,simbólicoyalgebraico.

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APRE

NDE

RAAP

RENDE

RImplicaserconscientedeloquesesabey de lo que es necesario aprender, decómo se aprende, y de cómo segestionan y controla el aprendizajepropio. Esta competencia exigecapacidadparamotivarseporaprendery conocer y controlar los propiosprocesosdeaprendizaje.

- Estrategias de resolución deproblemas.

- Elaboración de esquemas y mapasconceptuales.

- Observación, experimentación,descubrimiento, de relaciones eimplicacionesentrelasoperacionesyconocimientosmatemáticos.

SOCIAL

ESYCÍVICAS

Sirve para comprender la realidadsocialenquesevive,cooperar,conviviryejercerlaciudadaníaenunasociedadplural, con el fin de preparar a laspersonas para ejercer la ciudadaníademocrática y participar plenamentedelavidasocialycívica.

- Describir y realizar prediccionessobrefenómenossociales.

- Expresar y discutir adecuadamenteideas y razonamientos sociales yciudadanos.

- Practicar el diálogo y adoptaractitudesderespetoytolerancia.

SENTIDO

DELA

INICIATIVA

YESP

ÍRITU

EMPR

ENDE

DORA

Supone ser capaz de imaginar,desarrollar y evaluar acciones oproyectos individualeso colectivos concreatividad, confianza, responsabilidady sentido crítico, aplicando losconocimientos y utilizando lasdestrezas y actitudes a los diversoscontextossocialesenlosquevivimos.

- La confianza en las propiascapacidadespararesolverproblemasmatemáticos.

- Fomento de la autonomía ycreatividad para enfrentarse a losproblemasmatemáticos.

- Participación en el planteamiento,discusiónyresolucióndeproblemas.

- Autoevaluación crítica de nuestraparticipación en la solución deproblemas.

-CONCIEN

CIAYEX

PRESIONES

CULTURA

LES

Supone conocer, apreciar y valorarmanifestaciones culturales y artísticas,utilizarlas como fuente de cultura ydisfrute y considerarlas patrimonio delos pueblos, conociendo las técnicas yrecursos culturales y desarrollando lainiciativa, la imaginación y lacreatividad.

- Aprecioalhechoculturalengeneralcomo parte del conocimientomatemático.

- Utilización de la geometría comoparte integral de la expresiónartística.

- Conocimiento de las aportacionesmatemáticas a las técnicas yrecursosartísticos.

Teniendoencuentalasdistintascompetenciasclave,enlapresentepropuestade intervencióntienebastanterelevancia lacompetenciamatemáticaycompetencia

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básica en ciencia y tecnología además de la competencia digital, por lo que setrabajaránconespecialinterésperosindejardeladolasdemáscompetenciascomolalingüísticaolacompetenciadeaprenderaaprender

2.4 Empleodelasnuevastecnologíasenelaula.

LaaparicióndelasnuevastecnologíasenlasúltimasdécadasdelS.XXhasidola causade la llamada “Revolucióndigital”, la cualha conseguidoque los cambios ytransformaciones derivadas de las TIC se hayan producidomuy rápido en todos losámbitosde lasociedad.Enelaspectoquenosatañe,en laeducación,sedesarrollanconelfindefavorecerlosaprendizajesyfacilitarlosmediosqueapoyeneldesarrollodelosconocimientosydelascompetenciasparalainserciónsocialylaboral.(Bonilla.J&Rodríguez.S,2010).

Conelusodelosordenadores,nacelaeradigitalenInternet,desarrollándosedistintos software y recursos con el fin demotivar, ayudar y adaptar a los alumnostantoalosconceptosnuevoscomoalasociedadactual.Enocasionesexistenalumnosquesesienteninferioresintelectualmentealnoadaptarsealanuevaeradigital.(Pérezetal.,2009).

Se pueden entender las TIC como “un conjunto de técnicas, desarrollos ydispositivos avanzados que integran funcionalidades de almacenamiento,procesamientoytransmisióndedatos”.(Rodríguez,E.,2009)

“Así y todo, la educación, por su implicación directa en los procesos deproducción de conocimiento, la formación de competencias y sus posibilidadesmultiplicadoras, siempreha sidoconsideradaunespacioprivilegiadopara ladifusiónde losmedios informáticos. Las tecnologías, y en particular losmedios informáticos,actúan como herramientas simbólicas involucradas en la construcción de nuevasformasde comprensiónydeproduccióndeuniversosde significados.Paraqueestastecnologíasrevelentodosupotencialsonnecesariaspolíticaseducativaseinstitucionesbasadasen laequidadque favorezcanelaccesoaesosdispositivos, entendidoen susentidomásintegral,comoapropiación.”(Cabello.R,yKevis,D)

Las TIC más representativas son aquellas que incorporan grafos (dibujos ydiagramas)ylasicónicas(imágenesfijasoanimadasyvídeos).(Área,2004,p.96).

Esta utilización de las TIC aporta al proceso de enseñanza-aprendizaje deinnovación y creatividad dando paso a unas nuevas formas de comunicación queafectandirectamentealosdiversosámbitosdelascienciashumanas,sirviendocomo

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elementoprincipalparacrearunconocimientosignificativo(Bonilla.J&Rodríguez.S,2010).

2.5 Dificultadesdelaenseñanzayaprendizajeenlaunidaddederivadas

Losalumnosdeesteniveleducativotienendiferentesproblemasalencontrarseanteun temacomoelde lasderivadas.Podemosenumerar lasdistintasdificultadesquepresentanacontinuación:

- Límites(Badillo,2004)- Comprensióngráfica(Badillo,2004)- Tasasdevariaciónmediaeinstantánea(Badillo,2004)- Confusión entre la derivada en un punto y la función derivada. (Gómez,

2010)- Nodistinguirconclaridadcuandousar la reglade lacadenao la regladel

producto.(Gómez,2010)- Generalización y confusión al derivar números como si fuesen variables.

(Gómez,2010)

Laproblemáticaantelasderivadasproducidaporloslímiteshacereferenciaaldesconocimientodeladefinicióndelímiteysurepresentacióngráficaenunafunción.Aldesconoceresteconcepto,noentiendencomoelentornodeunafuncióncualquierapuedetenderaceroydelamismaforma,comolatasadevariaciónmedia,estudiadaenunlímitetendiendoacero,seconvierteenlatasadevariacióninstantánea.

Encuantoa laconfusiónentre laderivadaenunpuntoy la funciónderivada,los alumnos, en ocasiones, tienden a no diferenciar estos dos conceptos. Al nodiferenciarlos no son capaces de entender que la derivada en un punto es unaconstante y la funciónderivadanodejade ser loque supropionombre indica, unafunción. Además, este error común lleva a tener bastantes problemas a la hora decalcularlarectaperpendicularaunafunciónenunpunto.

Alahoraderealizarderivadas,yalaplicarsuspropiedadesderesolución,sonalgunoslosalumnosqueusandeformaerrónealaregladelproductoconfundiéndolaconlaregladelacadena.Esteerrorsueleaparecerporconceptosnoadquiridosconanterioridad como el orden de resolución de polinomios formados por productos ysumas.Delmismomodosueleproducirseesteerrorenfuncionesmixtasformadasporrelacionestrigonométricasypolinómicas.

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Porúltimo,enelprimercontactoconlasderivadas,losalumnossuelenderivarnúmeroscomosijuntoaellosexistieseunavariableaunquecarezcadeella,yeso,lesocasiona errores de derivación en los primeros días hasta que entienden que laderivadadeunavariableescero.

Ilustración2.Esquemamarcoteórico

MARCOTEÓRICO

Fundamentodidáctico

Marcosocialyeducativo

Marcolegislativo

TecnologíasdelaInformación

ylacomunicación

Dificultadesenelprocesodeenseñanza-aprendizaje

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3. MARCOMETODOLÓGICO

Lapropuestadeintervenciónconsiste,comoyasehaindicadoconantelación,en la elaboración de la unidad didáctica de “derivadas” en la asignatura deMatemáticasaplicadasalascienciassocialesIIde2ºdeBachillerato.

Sehadesarrolladounesquemade trabajoenelque, trashaberestudiadoelmarcoteórico,sehallevadoacabountrabajodecampoenelquesedenaconocerlasproblemáticae incluso lasnecesidadesenelprocesodeenseñanza-aprendizaje.Paraello se han realizado dos cuestionarios a los docentes y a los alumnos en horariolectivo.

Trasconocerlosresultadosdeltrabajodecampo,sehapasadoadesarrollarlapropuesta de intervención en el aula, aplicando las pautas necesarias a la unidaddidácticade“derivadas”.

3.1 Trabajodecampo

Paracaptar lascaracterísticasdelosalumnosydocentesydelaproblemáticaenelprocesodeenseñanza-aprendizajesehanrealizadodosencuestas,unaenfocadaa los alumnos y otra enfocada a los docentes con el fin de obtener la mayorinformaciónposiblereferentealasituaciónactualenelaula.

3.1.1 Destinatarios

Losdestinatariosde lapropuestade intervenciónson losalumnos ydocentede2ºdeBachilleratodeuncolegioconcertadodelalocalidaddeJaén.

Enelmomentodelarealizacióndeestapropuesta,elaulade2ºdeBachilleratoen laespecialidaddeCienciasSociales IIestácompuestapor19alumnos,quepor loquesehapodidoobservarenelaulapresentalossiguientesperfiles:

- Alumnospreocupadosporlamateriaeinteresadosenaprender:8alumnos.- Alumnosdisruptivosquenoprestanatenciónymolestanaloscompañeros:

5alumnos.- Alumnosconunperfilentrelosdosanteriores:6alumnos.

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Gráfico1.Estudiodealumnosenelaula

3.1.2 Análisisdelasituaciónenelaula

La gran mayoría de los centros educativos están intentando dar un pasoadelanteenlametodologíadidácticaatravésdela inclusiónenlasdistintassesionesdelastecnologíasdelainformaciónydelacomunicación.Graciasaestastecnologíaslosdocentespodrándisponerdematerialesyrecursosenelaulaparalamejoradelaprácticadocente.

Estastecnologíasincluidasenlametodologíadelasdistintassesionesayudanasolventardistintosproblemasenelaulaqueconanterioridaderandifícildecombatirconotrasherramientas.Estasnuevastecnologíasnospermitenampliarlavisiónsobredistintos conceptos con el fin de que los alumnos perciban esos conocimientos deforma más amplia, y a la vez, nos permite relacionar conceptos nuevos con otrosadquiridos con anterioridad para fomentar la significatividad buscada por Piaget,Inhilderyotros,ensusdistintasteorías.

Enlapresenteasignaturaycurso,nosencontramosconelnuevoconceptodederivada y su interpretación geométrica, el cual los alumnos no han visto conanterioridadya travésde lasTICsevaa intentarsolventaresteproblema,haciendoreferenciaapercepcionespreviasrelacionadasconlaunidaddidácticadederivadas.

La LOE 2/2006 y RD. 1105/2014, para la E.S.O nos indican como elementocurricular lascompetenciasclaveaadquirirduranteelcursoquedurantelaetapadeBachillerato seguirán trabajándose una vez adquiridas como contempla la LOMCE8/2013depróxima implantaciónen2ºdeBachillerato. Enel casoquenos atañe, lacompetencia digital se trabajará de forma transversal en las distintas áreas y en lamateriadematemáticasen lametodologíadelaula, tantoenexplicacionescomoenejercicios,actividadesytareas.

42%

26%

32%0%

ALUMNOS

Preocupados Disruptivos Otros

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Deacuerdoconlanormativavigente,lasteoríasdelaprendizajesignificativoylas características de los alumnos de esta edad, la temática de este Trabajo Fin deMáster es la de la inclusión de las TIC en el aula como medio y vehículo para ladocenciatrabajandolatransversalidadeinterdisciplinariedad.

3.1.3 Informaciónobtenidadelosalumnos

Durante una de las sesiones de matemáticas se han realizado unoscuestionariostotalmenteanónimosalosalumnosenlosquesehaintentadorecogerinformaciónsobresuopinióndelaformadeimpartircadaunadelasclases,procesodeevaluaciónyactitudfrentealaasignatura.

Las preguntas realizadas han sido muy acotadas, siempre de forma cerradaparahacerlodelaformamássencillaposibleparalosalumnos.Hansidolassiguientes:

Enclase…

1. Laformadeimpartirlaclasehastaahoraporpartedelprofesorhasido…

a. Buena,notengoproblemasenentenderlosconceptos.

b. Regular,entiendolosconceptosperotengodificultadesensuaplicación.

c. Mala,noentiendolosconceptosqueseimparten.

2. Larelaciónentreclasesprácticasyteóricases…

a. Buena.

b. Megustaríatenermásclasesteóricas.

c. Megustaríatenermásclasesprácticas.

3. Losequipamientos,instalacionesyrecursosenelaulameparecen…

a. Suficientes.

b. Insuficientes,megustaríacontarcon________________.

c. Suficientesperonoseaprovechan.

4. Laformadeevaluarlaasignaturameparece…

a. Buena.

b. Daríamásimportanciaalasactividadesdesarrolladasdurantelaunidaddidáctica.

c. Daríamásimportanciaalaactitudenclaseyantelaasignatura.

d. Megustaríaquelapuntuaciónfuesesóloladelexamen.

Encasa…

5. Alahoradeestudiar…

a. Conlosapuntesdeclaseylasexplicacionesdelprofesortengosuficiente.

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b. Meapoyoademásconalgunodeloslibrosrecomendadosporelprofesor.

c. Buscoinformacióneninternetparaentendermejorlosconceptos.

6. Cuandobuscaseninternet,suelesbuscar…

a. VideosenYouTubeconexplicacióndeejerciciosy/oconceptos.

b. Páginascontemarioyejerciciostipovitutor.com.

c. Medescargoaplicacionesdondeentendermejoreltemario.

d. Buscolibrosyapuntesdeapoyo.

e. Doypalosdeciegoynosueloencontrarloquebusco.

f. Nobuscoeninternetningúntipodeinformación.

OBSERVACIONES:

Lainformaciónobtenidagraciasalcuestionarioarrojalossiguientesdatos:

Gráfico2.Resultadocuestionarioalumnos

3.1.4 Informacióndedocentes

Delamismaforma,alosdocentesdelasdistintasáreasdeestemismogrupo,seleshasolicitadodeformavoluntarialarealizacióndeuncuestionario,enestecasoabierto.Delos11docenteshanrealizadoelcuestionariountotalde7.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Pregunta1 Pregunta2 Pregunta3 Pregunta4 Pregunta5 Pregunta6

Encuestaalumnos

OPC.A OPC.B OPC.C OPC.D OPC.E OPC.F

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Lascuestionesplanteadashansidolassiguientes:

Comodocente,

1. Enmiprogramaciónutilizocomorecursos,ademásdellibrodelaasignatura:

2. Sueloadaptarmiprogramaciónendeterminadasunidadesdidácticasa losconocimientospreviosyactitudes/aptitudesdelosalumnos:

3. Suelo usar todos los equipamientos, instalaciones y recursos disponibles para impartirdocencia:

4. Veo correcta la forma de evaluar a los alumnos teniendo en cuenta las indicacionesrecomendadasporelcentro:

5. Engeneral,veointerésporlaasignaturaporpartedelosalumnos:

6. Losalumnos,engeneral,trabajanadiarioytraenhechaslastareasdecasa:

7. Los resultados finales de los alumnos están relacionados directamente con su trabajodiario:

Muchasgracias.

Llama laatenciónqueensumayoría, losdocentes,coincidenenvariasde lascuestiones.Lainformaciónobtenidagraciasalcuestionariohasidolasiguiente:

1. Encuantoalosrecursosusados:

Gráfico3.Resultadocuestionariodocentes1

Usoderecursos

PDI Pizarratradicional Auladeinformática Equipodesonido

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2. Suelenadaptarlaprogramación:


3. Usanlamayoríadelosequipamientosyrecursos:


4. Encuantoalaformadeevaluar:


0 1 2 3 4 5 6 7

SI

NO

Adaptanprogramación

Adaptanprogramación

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

SI

NO

Usodeequipamientos

Usodeequipamientos

0 1 2 3 4 5 6

SI

NO

Formadeevaluar

Formadeevaluar

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5. Veninterésenlosalumnosporlaasignatura:


6. Enreferenciaaltrabajodiariodelosalumnos


7. Secorrespondeeltrabajodiariodelosalumnosconsusresultados:


0 1 2 3 4 5 6

SI

NO

Interésporlaasignatura

Interésporlaasignatura

0 1 2 3 4 5 6 7

SI

NO

Trabajoadiario

Trabajoadiario

0 1 2 3 4 5 6

SI

NO

Correspondenciacontrabajo

Correspondenciacontrabajo

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3.1.5 Interpretacióndelosresultados

Graciasaloscuestionariosrealizadostantoadocentescomoaalumnos,sehapodidoobtenerinformación,lacualvaaserelejevertebradordeestetrabajofindemáster. A continuación se refleja la información obtenida por parte de alumnos ydocentes:

3.1.5.1 Alumnos:

Seha realizadoel cuestionario en el aula y handecididoparticipar dieciochoalumnos.Delasdistintascuestionesseinterpreta:

Laprimeracuestiónreferentealamaneradeimpartirclaseenelaulaporpartedel profesor ha resultado de gran ayuda para conocer que los alumnos no estáncontentosconlaformadeimpartirlassesionesypareceestarrelacionadoconloquesereflejaenlasegundapreguntaalindicarlagranmayoríaquelesgustaríatenermásclasesprácticasdelasquehastaahoraserealizan.

La respuesta a la cuestión tercera ha sido contundente, catorce de losdiecinueve alumnos han indicado que se dispone en el aula de suficientesequipamientoseinstalacionesperonoselessacaprovecho.

Encuantoa la formadeevaluara losalumnos,estos indicanque lesgustaríaque lasactividadesrealizadasdurante launidadtuviesenmásrepercusiónen lanotafinal,asícomolaactitudenelaulayantelaasignatura.

En la última cuestión referente a la búsqueda de información en casa, enaspectosreferentesalaasignatura,lagranmayoríabuscanvideoseninternetparalaresolución de los distintos ejercicios; esto es debido principalmente a no copiar enclase losejerciciosdeejemploque sevan realizando.Hayquedestacarquealgunosalumnosbuscaninformaciónenpáginassobreeltemarioparaampliarlainformaciónqueselesimparteyotroslabuscanperonolaencuentran.

3.1.5.2 Docentes:

De las cuestiones realizadas en el cuestionario a los docentes, obtenemos lainformación general de que la mayoría de ellos responden por igual a las distintascuestiones. Laprimerapreguntaesen laqueexistealgomásdedisparidadperoengeneral se observa que la pizarra digital interactiva (PDI) no es usada en todas lasasignaturas como se aconseja desde la dirección del centro y aún siguen usando lapizarra tradicional. En cuanto al resto de respuestas de la primera cuestión, cabedestacar,queelauladeinformáticasololahanusadoendosasignaturas.

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Todos los docentes suelen adaptar su programación a los conocimientosprevios ademásdea las actitudes y aptitudesde los alumnos,peroal ver la terceracuestión tres indican que no usan los equipamientos que se presentan en el aula ycuatrodeellossí.

Encuantoa laevaluacióngeneraldelaasignatura, losdocentes indicanensumayoríaquenoestándeacuerdoconlaspautasqueindicandesdeladirecciónyaqueexiste un examenal final de trimestre que si se aprueba se aprueba la asignatura ysegúnlosencuestadosesunerroryaquelosalumnosnoseesfuerzanencadaunodelaspruebasdelasunidadesylodejantodoparaelfinaldetrimestre.Hayquedestacarque algunos están de acuerdo con que existan estas pruebas pero sólo con unavaloración del 20% sobre la nota final ya que al final de curso deberán estarpreparadospararealizarunexamendevariostemasdecaraalaPAU.

Las preguntas cinco, seis y siete, pueden comentarse a la vez. En general losalumnosnotrabajanadiario,lodejantodoparalosúltimosdíaspreviosalexamen,loquerepercutedirectamenteensus resultadosyaquesuelenserbajos.Losdocentesensumayoríavenundesinterésgeneralporlosalumnosantelasdistintasasignaturas,indicandoqueeselpeorcursoquehanimpartidoenlosúltimosaños.

3.1.5.3 Conclusiones:

Comointerpretaciónfinaldeamboscuestionarios,yestudiandolosresultados,seobservaqueexistenvariasrelacionesentrealumnosyprofesoresrespectoavariasinquietudesenelaula.Estassimilitudes llevanalautoratomar lassiguientespautaseneldesarrollodelaunidaddidácticadederivadas:

Encuantoaldesarrollodelassesionessepartirádeconocimientosqueposeanlos alumnos con anterioridad para explicar el tema y se tendrá en cuenta que losalumnosquierentenermássesionesprácticasderesolucióndeejercicios.Ademásseintentaránrealizarunasclasesmásamenasconelfindequelosalumnosempiecenatener algomásde interéspor la asignatura y los resultados finales se correspondanconelinterésmostrado.

En cuanto a los equipamientos del aula, se intentarán usar al máximo losequipamientosdelosquesedispone,usandolaPDIyguardandolainformaciónparapoderremitirlaalosalumnos.Ademásdemandaralosalumnoslainformacióndelasclasesimpartidas,selesinformarádebibliografíayenlaceswebdondepoderampliarel temario si tienen dudas. Para el envío de información a los alumnos se usará unperfilderedsocialpúblicoparatodosdonde lospropiosalumnospuedansolicitar laresolucióndedudas.

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Respectoal sistemadeevaluación,esnecesario realizarlo teniendoencuenta ademásdel examenpropio de la unidaddidáctica, las distintas actividades yejercicios realizados, la actitud en el aula del alumno y las distintas pruebastrimestralesobligatoriasporelcentro.

3.2 Propuestadeintervención

Serealizalaunidaddidácticade“derivadas”paradesarrollarenelaulaatravésde las nuevas tecnologías de la información y la comunicación de tal forma que seasienten unos conocimientos previos a la explicación de las derivadas propiamentedichas.Acontinuaciónseindicanlosconocimientosquetienenqueaprenderatravésde TIC para favorecer que los conocimientos posteriores se queden perfectamenteasentados; para ello en la primera parte de cada sesión teórica se hará especialhincapiéatravésdelasTICenlossiguientesconceptos.

- Tasadevariación.- Límiteslaterales,derivadadeunafunciónenunpunto.- Interpretacióngeométricadeladerivada- Derivadasdefuncioneselementales.- Derivadasdelasoperacionesconfunciones.- Regladelacadena.- Tabladederivadas.- Derivaciónlogarítmica.- Rectatangentedeunafunción.Ecuación

Cadaunodeestosconceptosseintroducirádesdeconocimientospreviosconlaayudadepresentaciones,actividadesyaplicacionestipo“Geogebra”enelaula.

Además, se creará un perfil en la red social Facebook el cual los alumnospodránseguir.Enelladiariamentesecolocarán losenlacesdondepoderdescargarseinformacióndeampliaciónsobreloimpartidoenelaula,losdocumentosydiapositivasdeclasequeseguardaránenDropbox.Ademásloalumnospodránpedirinformaciónenelmismoperfil,tantopararesolverenesemomentocomoparaprepararlaparalasesiónsiguienteenelaula.

3.2.1.Introducción

Tras haber estudiado los límites en el tema anterior vamos a empezar elestudio de las derivadas relacionadas directamente con los límites, que son los dospilaresfundamentalesdelcálculoinfinitesimal.

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A comienzos del siglo XVII el primer matemático que formuló la idea dederivada fue Fermat (1601-1665) a través de los estudios demáximos ymínimos yañosdespuésloscoetáneosNewton(1642-1727)yLeibniz(1646-1716)atravésdelosestudios de velocidad y el estudio de cantidades infinitesimalmente pequeñasrespectivamente.

FueenelsigloXVIIIcuandoyaseempezóadarrigoryprecisiónalconceptodederivada manteniéndose esa idea hasta nuestros días, la cual nos va a servir endistintasmateriasdelcursotrabajandoatravésdelascompetenciasclave.

3.2.2.Temporalización

La duración de la unidad didáctica, será de 14 sesiones de 60minutos en elaula, a excepción de la primera sesión que será de introducción en el aula deinformática.Teniendoencuenta laperiodicidadde4sesionessemanales laduraciónseráde3semanas.Hayquetenerencuentaqueenelcentrodondesedesarrollaestáprogramada para ser la unidad número 5, para comenzar tras las vacaciones deNavidad,loquepermitequelosalumnosesténmásdescansadosypuedancomenzarunnuevotrimestreconganasapesardelanotaquehayantenidoenelanterior.

Cada una de las sesiones, en función de su temática, tendrá el siguienteesquema:

Tabla2.Esquemadesesiones

TEÓRICA PRÁCTICA1ªparte Resolucióndedudas Resolucióndedudas2ªparte Introducciónteórica Ejerc.Nivel13ªparte Explicacióndeconceptos Ejerc.Nivel24ªparte Ejerciciopráctico Ejerc.Nivel3

5ªparte Subidadedatosyejerciciosparacasa

Subidadedatosyejerciciosparacasa

3.2.3.Objetivos

Los objetivos generales de la etapa de Bachillerato están plasmados en elartículo 3 del Real Decreto por el que se establecen las enseñanzas mínimas delBachilleratoyenelartículo4delDecretoporelqueseestablecelaordenacióny lasenseñanzasdelBachilleratoenAndalucía.LosobjetivosgeneralesdelamateriaestánrecogidosenelAnexoIIdelRealDecreto1467/2007.

LosobjetivosparalaunidaddidácticadeDerivadasensegundodeBachillerato,y en relación con los objetivos generales de la etapa y de la materia según el RD.1467/2007,sonlossiguientes:

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1. Interpretarycalcularlasdistintastasasdevariacióndeunfenómeno.2. Calcularladerivada,tantodefuncioneselementales,comodefunciones

quesonresultadodeoperarconellas.3. Interpretar geométricamente el concepto de derivada de una función

enunpunto.4. Determinarsiunafunciónesonoderivable.

Además,teniendoencuentaloselementosovalorestransversalesestablecidosenlosartículos39y40delaLEA(17/2007)yenelartículo6.4delDecreto416/2008,losobjetivostransversalesquesequierendesarrollarenestaunidaddidáctica,estaránenfocadosaconseguirelusodelasTecnologíasdelaInformaciónylacomunicación,yparaellosetendráencuenta:

1. Educarenlacorrectautilizacióndeinternet.2. Utilizar Internet y programas informáticos para el conocimiento

globalizadodelasdistintasáreas.3. AplicarTecnologíasde la Informaciónyde laComunicaciónalproceso

deenseñanza-aprendizaje.4. UtilizarlosrecursosTICparafavorecerlaintegracióndelosalumnoscon

necesidadeseducativasespeciales.

3.2.4Competenciasbásicas

El artículo 6 de la LOE (2/2006) establece un nuevo elemento curricular, lascompetenciasbásicas.Elartículo38delaLEAindicaquelascompetenciasbásicasseestablecen para la enseñanza obligatoria (Educación primaria y la ESO). Estascompetencias se concretan en el Real Decreto 1513/2006 para primaria y el RealDecreto1631/2006paralaESO.

De acuerdo al artículo 38 de la LEA, en Bachillerato no se establecen lascompetencias básicas y por lo tanto no se incluyen en el Real Decreto 1467/2007.Siguiendodichasdirectrices,enlaunidaddidáctica,noseconcretanlascompetenciasbásicas. Sin embargo, en Bachillerato se afianzará, profundizará y consolidarán lascompetencias adquiridas durante la ESO, conectando y aplicando las actividades asituacionesyrealidadesconcretasdelavidacotidiana.

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Teniendoen cuenta lanormativa indicadahabráque trabajarpor igual todaslas competencias haciendo especial hincapié en afianzar las competenciasinstrumentalesde lengua,matemáticas yde tratamientode la información ydigital,ademásdetrabajarlatransversalidadatravésdelacompetenciasocialyciudadanalascompetencias en maduración personal como aprender a prender e iniciativa yautonomíapersonal.

Del mismo modo durante la época del Bachillerato se deberá de facilitar eltrabajoautónomoysu iniciativapersonale,de lamismaforma,estimularalalumnoparael trabajocooperativo,potenciandoelusode lasTICypotenciando la labordeinvestigaciónparallevaralavidacotidianalosconocimientosadquiridos.

3.2.5Contenidos

Los contenidos son formulados partiendo de los bloques de contenidos delReal Decreto 1467/2007 por el que se establecen las enseñanzas mínimas delBachillerato y las aportaciones que la Comunidad Autónoma de Andalucía realiza atravésdelosnúcleostemáticosdelamateriadeMatemáticasaplicadasalasCienciasSociales II concretadosen laOrden5/8/2008porelquesedesarrollaelcurrículodeAndalucía.

Partiendode losbloquesdecontenidosycon lasaportacionesde losnúcleostemáticos del currículo anteriormente citado, los contenidos, concretados enconceptos,procedimientosyactitudes,queseproponenpara launidaddidácticade“Derivadas”sonlossiguientes:

Tabla3.Contenidosfuente:http://ieselchaparil.org

APORTACIONESDELOSNÚCLEOSTEMÁTICOSYBLOQUESDECONTENIDOS

CONCE

PTOS

1. Tasasdevariación.2. Derivadadeunafunciónenunpunto.3. Funciónderivada.4. Cálculodederivadas.5. Ecuacióndelarectatangenteaunacurvaenunpunto.6. Funcionesnoderivables.

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PROCE

DIMIENTO

S1. Cálculodelasdistintastasasdevariación.2. Determinación de la derivada de una función en un punto usando la

definición.3. Cálculodeladerivadadeunafunciónutilizandolasreglasdederivación.4. Determinación de la ecuación de la recta tangente a una curva en un

punto.5. Determinacióndelospuntosenlosqueunafunciónnoesderivable.

ACTITU

DES 1. Valoración del concepto de derivada y de sus aplicaciones, tanto

geométricascomoasociadasaotrotipodefenómenos.2. Interés por aplicar correctamente las reglas de derivación y por saber

determinarenquépuntosexisteladerivadadeunafunción.

Contenidostransversales

Los artículos 39 y 40 de la LEA (17/2007), concretados en el artículo 5.4 delDecreto 231/2007 por el que se establece la ordenación y las enseñanzascorrespondientes a la Educación SecundariaObligatoria y el artículo 6.4 delDecreto416/2008porelqueseestablecelaordenaciónylasenseñanzascorrespondientesalBachillerato, estableceque las diferentesmaterias del currículo integraránde formatransversal:

1. Educaciónenderechoshumanosylibertadesfundamentales.2. ConocimientodelaConstituciónyelestatutodeautonomía3. EducaciónparalaSalud.4. EducaciónVial.5. EducacióndelConsumo.6. Educaciónderespetoalmedioambiente.7. Educaciónparalautilizaciónresponsabledeltiempolibreydeocio8. FormaciónparalautilizacióndelasTIC.9. Educaciónparasuperacióndedesigualdadesporrazóndesexo.10. CulturaAndaluza

En esta unidad, se trabajará la número ocho referente a “Formación para lautilizaciónde las TIC”, usando, entreotrasestrategiasde intervencióneducativa, lassiguientes:

• Utilizacióndelasnuevastecnologíasparabúsquedadeinformación.

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• Utilización de las TIC para recordar conocimientos previos de otrasmaterias.

• UsodelasTICpararepresentacióndegráficasytablasmatemáticas.• Usode lasTICpara lacreacióndeunperfil socialqueseaseguidopor

losalumnos.• Uso de procesadores de textos con el fin de presentar trabajos e

informes.• Uso de hojas de cálculo para obtener resultados de operaciones

combinadas.

3.2.6Secuenciaciónymetodología

Sesión1.Introducciónalaunidad

Debidoaldesconocimientodelosalumnossobreestetemasepropondráunaactividad tipo “Caza del Tesoro”. Para desarrollar esta actividad, será necesariosolicitar el aula de informática para que en parejas los alumnos puedan desarrollaranteunordenadorlaactividad.

Se comenzará la actividadindicandoalosalumnosladirecciónweb donde pueden entrar arealizarla. Para ello entrarán enhttp://webquest.carm.es/majwq/wq/v

ercaza/7550 y se les explicará laformadeproceder.Enprimerlugartendrán que responder a una seriedepreguntassencillasbuscandolasrespuestas en la bibliografíapreviamente dada. Una vezcontestadas todas las preguntas,tendrán que responder una granpreguntaqueserálaquedépasoa

lasiguientesesión.

Lasdistintaspestañasquesepresentanenlaactividadson:

Ilustración3.ImpresióndeCazadeltesoropropuesta

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Introducción:

Para realizar lapresenteactividad tendréisque juntarosenparejasy trabajarlaspreguntasqueseosindicanbuscandolasrespuestasenlabibliografíaadjunta.ParacontestarlaspreguntasdeberéisabrirunarchivodeWordycontestarlasconvuestraspalabras,noconseguiremosnadasinosdedicamosacopiarypegarinformacióndelosenlacesqueosheadjuntado.

Preguntas:

1. ¿Quiéndescubrióanteslasderivadas,NewtonoLeibniz?2. ¿Por qué descubrieron las derivadas, que estaban buscando cada uno de

ellos?3. Definederivadadeunafunciónenunpunto4. ¿Quérelaciónexisteentrelarectatangentedeunafunciónenunpuntoyla

derivadadeunafunciónenesemismopunto?

Recursos:

• http://www.dervor.com• http://todosobreladerivada.blogspot.com.es/p/historia-de-la-derivada.html• http://www.catedu.es/matematicas_mundo/HISTORIA/historia_derivada.h

tm

Lagranpregunta:

¿Estánrelacionadosloslímitesconlasderivadas?Explicacontuspalabrascualesesarelación.

Evaluación:

Esperoqueossirvalabúsquedadeinformaciónparaintroducireltema,enlasiguientesesiónhablaremossobrelapresenteactividadeindicarélosfallosyaciertosdecadapareja.

Sesión2.Tasasdevariación.

Como ya se ha indicado con anterioridad, todas la sesiones tendránunosminutos al comienzo de la clase para resolución de dudas, en este caso al no

Se dejará programado para publicar a las 16.00 horas la resolución de laactividadde lacazadeltesoroylosdistintosenlacesporsiquierenbuscarmásinformación.

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haber impartido lección alguna se dedicará a hablar de la actividad de la sesiónanterioryeldocenteresponderáalaspreguntasdelacazadeltesoroparaapartirdelagranpreguntaintroducireltema.

Lagranpreguntahacereferenciaalarelaciónentreloslímitesylasderivadasyparaelloseexplicarálatasadevariaciónmediaeinstantáneaatravésdeunejerciciopráctico, obtenido del proyecto Descartes delMinisterio de Educación y Cultura. SecomenzaráproyectandosobrelaPDIlafuncióny=50t–5t2,estafunciónrepresentaelmovimientodeunabolalanzadaverticalmentehaciaarribadesdeelsuelo.

Si aumentamos de forma continua el tiempo t verán como la bola se elevahasta alcanzar una altura máxima, después desciende hasta llegar al suelo. Paraestudiar el movimiento consideramos el instante inicialt0y el instante finalt. En eltiempo trascurridot - t0segundos la altura ha variadof(t)-f(t0)metros. El siguientecocienterepresenta el cambio experimentadopor la altura enun segundo, es decirmidelarapidezdelcambiodealturaysedenominaTASADEVARIACIÓNMEDIAenelintervalo[t0,t].

La TVM mide la variación de la función relativa a un intervalo pero no nosinformadecómofuevariandoalolargodelintervalo.Unavezexplicado,sepasaráahacerlassiguientespreguntas:

• Averigualaalturamáximaalcanzada.• Averiguaeltiempoquetardaenalcanzarlaalturamáxima.• Averiguaeltiempoquetardaencaeralsuelo.• ¿LatasadevariaciónmediaTVMeslamismaencualquierintervalode

tiempo?Explicacómovacambiando.• CalculalaTVMenlossiguientesintervalos[t0=0,t=1];[t0=1,t=2];[t0=2,

t=4];[t0=5,t=7]• ¿QuésignificaunaTVMnegativa?• SicalculamoslaTVMenunintervalomuypequeñoporejemplo[t0=2,

t=2,12]¿QuérepresentaríalaTVMenlavelocidadquellevalabolaenelinstantet(0)=2segundos?

• Si laTVMesnula¿quieredecirquelafunciónnohavariadoa lo largodelintervalo?Explicaesto.

• Buscados instantesdetiempot(0)y tdonde labolaestéa80metrosdelsuelo.¿CuáleslaTVMenesteintervalo?

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Una vez aprendido a que nos referimos con la tasa de variación mediaexplicaremos la tasa de variación instantánea partiendo de la interpretacióngeométricadelavariaciónmediaparapasaralatasadevariacióninstantáneacuandoel límitedel intervalotiendeacero.Aesteconceptolo llamaremostasadevariacióninstantáneayatravésdelagráficaanteriordellanzamientodelapelotaverticalmentepodremoscalcularloenelinstantet=2segundosdelasiguienteforma:

Aestatasadevariacióninstantánealallamamosderivadadelafunciónenelpuntoycoincidecon lapendientede lafunciónendichopunto.Paraellose lemostraránenlapizarravariasfuncionesysedibujaránlaspendientesdelafunciónendistintospuntosparaquevayanadquiriendoelconceptodederivada.

Ilustración4.Esbozográficodeaproximaciónaderivada

Losúltimosminutos losdedicaremosasubir la informaciónaDropboxparaquelosalumnospuedanteneraccesoalaexplicacióndehoyencasa,ademássesubirátambiénunarelacióndeejerciciosparaquevayantrabajandoeltematambiénobtenidosdelprogramaDescartes.

1. Cuandoseestudialaestaturadeunapersonaseobservaquesutallacambiamuchoentrelos6ylos9años,mientrasqueentrelos20y23cambiamuypoco.LaTVMdelatalladeunapersonaesmayoren

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el primer caso que en el segundo, pues en el mismo tiempo haaumentadomássuestatura.

2. El consumo de electricidad en una población no es el mismo entodaslashorasdeldía.SilaTVMenunafranjahorariaesaltaindicalanecesidaddereforzarlacapacidaddesuministroeléctricoduranteesetiempo.

3. Cuando se estudia la variación de temperatura de un líquido a lolargo del tiempo, la TVM es la velocidad de enfriamiento ocalentamientodellíquido.

4. Cuando se estudia la variación de las ordenadas de los puntos deuna curva y = f(x) en un cierto intervalo [a, b] de la variableindependientex,laTVMeslapendientedelarectaquepasaporlospuntos(a,f(a))y(b,f(b)),ymidelavariaciónmediadelafunciónendichointervalo.

Sesión3.Interpretacióngeométricadeladerivada.

Lasesióncomenzaráconlaresolucióndedudasdeldíaanteriorylacorreccióndealgunosejerciciosdelosmandadosencasa.Secorregiráúnicamenteuno,elqueleshayaresultadomásdifícilyaquelasiguientesesión,lanúmero4,estarádestinadaalacorreccióndeejerciciosyasentamientodeconocimientos.

Sedejaráprogramadoparapublicaralas16.00horasunenlaceaDescartesdondepodrán aprendermás sobre el tema y tendránejercicios parecidos.http://goo.gl/6eWyty.AdemásseadjuntaelenlacedeDropboxdelaclase.

Ilustración5.Esbozográficoejercicio

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Una vez resueltas las posibles dudas pasaremos a hacer una introducciónteórica de la interpretación geométrica de la derivada. Para ello proyectaremos denuevo distintas funciones polinómicas y con la tasa de variación media entre dospuntos, iremos acercando los puntos hasta que el entorno seamínimo y la tasa devariaciónmediacoincidaconlarectatangenteenelpunto.

Seexplicará,atravésdelawebdelproyectoDescartes,enlaqueseindicaquelarectatangenteenesepuntotieneunapendienteysiunarectatieneunángulodeinclinaciónadecimos que su pendiente esm = tg(a). Para que entiendanmejor a loquenosreferimos,partiremosdelosconocimientosdegeometríaeindicaremosquelaformaexplícitadelaecuacióndeunarectaesy=mx+n.Si(x0,y0)esunpuntodedicha recta se cumplirá y0=mx0+n y restando estas dos expresiones se obtiene y-y0=m(x-x0),esdeciry=m(x-x0)+y0.

Sea y=f(x) una cierta funciónqueadmitauna recta tangenteenel puntoP(a,f(a)). Este punto también pertenecerá a la recta tangente a la curva y=f(x) y lapendientedelarectaserám=f'(a).

Esdecir,tenemosunpuntodelarectax0=a,y0=f(a)yconocemossupendiente,luegolaecuacióndelarectatangenteay=f(x)enx=aesy=f'(a)(x-a)+f(a)

Paraterminarlasesiónyasentarlosconocimientosrealizaremosunejercicio,obtenido del proyecto Descartes del ministerio de Educación y Cultura. Desde lagráficay=-x2seplantearánlassiguientescuestiones:

Ilustración6.f(x)=-x^2

1. Enelejemplodelafiguraanterior,calculalassiguientesderivadas:f'(-2),f'(-1),f'(0),f'(2.5).

2. Comprueba que en los puntos donde la función crece la derivada espositiva,enlospuntosdondelafuncióndecreceladerivadaesnegativa.

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3. ¿Dóndeelcrecimientoesmásrápidoenx=-2óenx=-1.5?4. ¿Dóndeesmáslentoeldecrecimientoenx=0.5óenx=1.5?5. ¿Quédebedeocurrirenlospuntosdondehayunmáximoounmínimo

local?6. Observa la recta tangente en distintos puntos y comprueba que la

ecuacióndelarectaeslaquehemosdeducidoanteriormente

Losúltimos5minutosdelasesiónserviránparasubirlasesiónaDropboxyquelosmismosalumnospuedanverencasaeltemario.Ademásseindicaráquehaganelmismoejercicioperoconlafunciónf(x)=1/x.

Sesión4.Afianzamientoyejercicios.

En esta sesión los primerosminutos se dedicarán a resolver dudas siexistenyaexplicarde formaesquemática loquehemosvistohastaestemomento.GraciasalaPDIyalassesionesguardadasiremospasandodiapositivasdeloimpartidoendíasanterioresyexplicandolomásimportanteparadeestaformarefrescartodoslosconocimientos.

Una vez recordado lo impartido, pasaremos a realizar ejerciciossiguiendolostresnivelesdedificultad.Comenzaremosrealizandounprimerejercicio

Se dejará programado para publicar a las 16.00 horas un enlace a lawebdonde podrán aprender más sobre el tema y tengan ejercicios deampliación.http://goo.gl/ualSJo.AdemásseadjuntaelenlacedeDropboxdelaclase.

Ilustración7.f(x)=1/x

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detasasdevariaciónmediaeinstantáneadelosmarcadosenlasegundasesión;sisevepocointerésseelegiráaunalumnoparaqueloresuelvaélenlapizarra.

El siguiente ejercicio lo realizaremos entre todos en el aula. Esteejercicioeraelindicadoenlasesiónnúmero3conlafunciónf(x)=1/x.Seiránhaciendolas preguntas una por una en voz alta y tendrán que indicar siguiendo un orden laformaderesolverlo.

Porúltimo,comoejerciciodetercernivelcalcularemosunaderivada;laderivadaseresolveráa travésde límitescomohemosvistoen lasegundasesión,deesta forma los alumnos tendránmás facilidad para entender la siguiente sesión. ElejerciciosehaobtenidodelproyectoDescartesdelMinisteriodeEducaciónyCultura.

Sea lafuncióny=f(x)=x2-2x-1.Queremoscalcular laderivadaenelpuntodeabscisax=2.

Laordenadacorrespondienteesf(2)=-1

Veamoselprocedimientoaseguir:

Sigamosconotroejemploycalculemosparalafunciónanteriorladerivadaenx=0.5,laordenadaparax=0.5esf(0.5)=-1.75

Porúltimo,dibujaremoslafunciónparacomprobarlosdatosobtenidos.

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Ilustración8.f(x)=x^2-2x-1

Los últimosminutos los dedicaremos como cada sesión a subir a Dropbox lainformacióndeclaseyademásselesindicaráqueconlafuncióndibujadaenelúltimoejercicio realicen el siguiente ejercicio del proyecto Descartes del Ministerio deEducaciónyCultura:

1. Enlaimagenactual,observaelvalordef(3)eindicasuimagen.2. Observaelvalordeladerivadaf'(3).Aplicaelprocedimientoaprendido

paracalcularf'(3)ycompruebaelresultado.3. Calculalaecuacióndelarectatangentealacurvaenx=3ycomprueba

elresultadoconeldelaimagencorrespondiente.4. Determinaelpuntodondef'(a)=0.¿Cómosellamaestepunto?5. Hallar el valor deaperteneciente al intervalo [-1,1] para el que se

cumplequelatasadevariaciónmediaTVM[-1,1]coincideconlatasadevariacióninstantáneaf´(a)

Se dejará programado para publicar a las 16.00 horas un enlace a lawebdondepodránrealizarmásejerciciosyencontrarinformacióndeampliación.http://goo.gl/pyFYr3.AdemásseadjuntaelenlacedeDropboxdelaclase.

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Sesión5y6.Derivadasdefuncioneselementales

La sesión 5 y 6 tendrán una metodología idéntica. Al entrar,aprovechandocomoencadasesión,mientrasseenciendelaPDIysecargalaúltimasesión,seprocederáaresolver lasdudasdeltemarioyaresolverelejercicio quesequedópendienteparaestasesión.Seresolveráproyectandosobre laPDI lagráficayenvozaltalosalumnosindicaráncomoresolverlo.Aprovechandoesteejerciciosedarápasoalanuevasesión.

Se indicará que para resolver las derivadas no es necesario aplicar ladefinición de derivada. En primer lugar se mostrarán en la PDI, las derivadas dealgunasfuncionesquepuedanobtenerseapartirdeladefinicióndederivadacomolafunciónconstante,funciónidentidadylafunciónlogarítmica.Ademásseproyectaránlas funciones y se compararán con su derivada para poder entender mejor sudefinición.

Tabla4.Funcionessesión5

Función derivada

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ConlafunciónlogarítmicatendremosmásproblemaspararesolverlayporelloseindicaqueexisteunatabladederivadaslacualseproyectarásobrelaPDIyquelapodrándescargarencasa.

Una vez proyectada la tabla de la siguiente página, se pasará a hacer unejemplo sencillo de cada tipo de derivada para que tengan una primera toma decontacto.Hayque incidir sobre lanecesidaddeque la tabla laaprendanparapoderrealizarlasdeunaformarápida.

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Tabla5.Tabladederivadasinmediatas

Está previsto que para la sesión 5 se vea hasta la función y = 1/xn y para lasesión6seveanelresto,siemprerealizandoderivadassencillasyelementales.

Losúltimosminutosserviránparasubir lasdiapositivasde laPDIy latabladederivadas.Ademássesubiráunatablaconfuncionesparaquecalculenlasderivadas.Paralasiguientesesión6habráqueindicarlesquehaganlas10primerasyparala7lassiguientes10.Latabladeejercicioseslasiguiente:

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Tabla6.Derivadasparacasa

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Sesión7:Derivadasdelasoperacionesconfunciones

Enestasesión,traslaexplicacióndelasderivadaselementalesseprevéquelosalumnos tengan bastantes dudas. Las que sean sobre la propia tabla, habrá queindicarlesque realizandoejerciciosescomomejor laspuedensolventar; con lasquetenganmayor problema se realizará en la pizarra un ejemplo para que entre todosellosloresuelvanindicandolospasosaseguir.

Enlasesiónseestudiaránlasoperacionesconfuncionesderivadas;alosalumnoshayqueexplicarlesquetienenqueestudiarselaspropiedadessiguientespararealizarlas.

1. (f+g)’=f’+g’2. (f·g)’=f’·g+g’·f3. (k·f)’=k·f’,conk∈R4. (f-g)’=f’-g’5. (f/g)’=(f’·g–f·g’)/g2

Teniendoencuentalaspropiedadesdelasfuncionesseexplicarácadaunadeellasconunejemplosencilloparaentenderlas.Cadaunodelosejemplosseexplicaráyunavezexplicadoseproyectarálagráficadelafunciónyladeladerivadaparapodercontrastarlas.

Tabla7.Ejemplosdepropiedadesdelasderivadas

Función Derivada

y=3x2+2x-1

y’=6x+2

Se dejará programado para publicar a las 16.00 horas un enlace a lawebdonde podrán ver videos sobre resolución de derivadashttp://goo.gl/51JSgR .AdemásseadjuntaelenlacedeDropboxdelaclaseconlastablasdederivadas.

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y=x·cosx

y’=-xsenx+cosx

y=3senx

Y’=3cosx

y=x/sen(x)

y’=senx–xcosx

Los últimos minutos se dedicarán a resolver las posibles dudas que hayansurgidoyasubiraDropboxlasdiapositivasdelaclase.Paralasiguientesesióntendránquehacerlassiguientes15derivadasdelatabla.

Sesión8:Regladelacadena

Enestasesióncontinuaremosconlasoperacionesdelasfuncionesperocentrándonosenlapropiedadconlaquemásproblemassuelentenerlosalumnos:Laregladelacadena.Losprimerosdiezminutoscomoencadasesiónlosdedicaremosa

Se dejará programado para publicar a las 16.00 horas un enlace a lawebdonde podrán ver videos sobre resolución de derivadashttp://goo.gl/51JSgR.AdemásseadjuntaelenlacedeDropboxdelaclase.

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resolver dudas que hayan tenido al realizar los ejercicios de casa y resolveremosaquellos con losquehayan tenidomásproblemas, teniendoen cuentaqueesen lasiguientesesióndeafianzamientoyrepasodondepodremoshacervariosejercicios.

Unavezresueltaslasposiblesdudaspasaremosaexplicarlaregladelacadena.Paraelloescribiremosen laPDI[g(f(x)]’=g’(f(x)) · f’(x).Diremosquecuandotenemos una función formada por otras funciones en el interior hay que aplicar laregla de la cadena. Haremos el siguiente ejercicio y como en cada propiedaddibujaremossusgráficas:

Tabla8.Ejemploregladelacadena

Función derivada

y=Ln(cos(x))

y’= 𝐜𝐨𝐬(𝒙)𝒔𝒆𝒏(𝒙)

Paraafianzarmejorlaregladelacadenaharemos3ejerciciosmás,cadaunodeellosmáscomplejoqueelanterior,paradeestaformairavanzandoeneltemaeirsolventandodudasconformevayanapareciendo.

• Y=Ln(x2+1)• Y=Sen(cos(x))• Y=cos(sen(sen(x)))

Unavez resueltos losejerciciospasaremosaqueellosmismospuedansaliraresolver losejerciciosen lapizarraparapoderobservar si los conocimientos los vanadquiriendo;paraellosepediráquealgúnvoluntario,evitandoqueseaunodelosdesiempre,salgaalapizarraaresolverlasiguientederivada:

• Y=Ln(x3-3x-+2)

Durantelaresolucióndelejercicioporelcompañerolosalumnostendránqueestaratentos,puesellostendránqueayudarleasuresoluciónsinlaayudadelprofesoryasísepodrácomprobarsiestánentendiendoeltema.

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Los últimos minutos de clase servirán para guardar las diapositivas de losejercicios y la explicación enDropbox, además se indicará que para el día siguientetendrán que tener 15 derivadas más de la relación dada en la 5ª sesión, puesdedicaremoslahoracompletaaveryrevisarlas60primeras.

Sesión9y10:Repasoyejercicios

En estas dos sesiones prácticas, comenzaremos resolviendo las dudasmásimportantesdelaparteteóricaylasqueseandeejercicioslasdejaremosparairsolventándolaspocoapococonlarealizacióndelosmismos.

Una vez solventadas las dudas empezaremos a resolver derivadas.Norealizaremostodas,lasmásimportantesarealizarsonla6,12,14,15,16,22,26,29,32,33,36,37,38,44,46,48,51,57y60.Entotalseresolverán19.Losalumnosiránsaliendounoporunoalapizarraaresolverlas,teniendoencuentaqueademásdeenlaPDI,alavezsePODRÁNresolverotraenlapizarraclásicaydeestemodoiralgomásrápido.

Enlasesión9seharádela6ala33ymientrasestánresolviéndolassepasaráporlasmesastomandonotadelosalumnosquehanhecholasactividadesyaquepuntuaráparalanotafinalelhaberrealizadoloscitadosejercicios.

Los últimosminutos de la sesión 9 y 10, en este caso, se dedicarán aguardar los archivos y colgarlos en Dropbox para que puedan seguir repasando losejercicioscorregidos.Sepreguntaráenestemomentodelaclasecomoveneltemaydondeestán teniendomásproblemasparapoder incidir de aquí hasta el final de launidadenesosaspectos.Seindicaráquedelamismaformaquehanestadohaciendoderivadastendránquehacerhastaelejercicionúmero100antesdelexamenyaquesevolveránapedirparapuntuarlas.

Se dejará programado para publicar a las 16.00 horas enlaces a vídeosdonde podrán ver el uso de las propiedades de las derivadashttps://goo.gl/waIsdC y https://goo.gl/YjVy3z . Además se adjunta elenlacedeDropboxdelaclase.

Se dejará programado para publicar a las 16.00 horas un enlace dondepueden comprobar si una derivada está bien hecha y como se resuelvehttp://goo.gl/mXQUQ.AdemásseadjuntaelenlacedeDropboxdelaclase.

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Sesión11:Rectatangenteaunafunción

En esta última sesión teórica comenzaremos de igual forma que en lasanteriores,preguntandopordudasyproblemasenejerciciosquehayantenido.

Unavezresueltaslasdudasrecuperaremoslasdiapositivasdelasesión2dondedescubrimos que la pendiente en un punto está relacionada directamente con laderivadayapartirdeestedatos,dibujaremosenlaPDIlasiguienteecuación:

y=x2

Sobreelladibujaremosunarectatangentealacurvaenx=4yrecordaremoscomosecalculabalaecuaciónpuntopendientedelostemasdegeometría,para,conociendoestosdatos,podercalcularlarectatangenteaunacurvaenunpunto

dado.

y–f(a)=f’(a)·(x-a)

Una vez explicada la teoría realizaremos un ejercicio sencillo de talformaqueafiancenlosconocimientosypuedanver lospasosarealizarparacalcularlarectatangente,delmismomodoseindicaráquerealicenelsegundoparacasa.

1. Hallalaecuacióndelarectatangenteaf(x)=2x4enelpuntodeabscisax=-1.Ademásrealizaunesbozográficodelarectatangenteasícomodelafunción.

Ilustración9.F(x)=x^2

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2. Dadaf(x)=x2-10x+9,hallaelpuntoenelquelarectatangentealagráficaesparalelaalejedeabscisas.

LosúltimosminutossededicaránaresolverlasdudasquelosalumnostenganyseaprovecharáparaguardarenDropboxlasesióndehoy.

Sesión12:Sesiónderepaso

Lasesiónpreviaalapruebaescritatendráuncaráctereminentementeprácticoconel findeque losalumnos resuelvansusdudasdecaraa lapróximasesión.Paracomenzar lasesión, losdiezprimerosminutossededicaránaresolverdudasteóricasquelosalumnosexpongan.

Durantelossiguientesveinteminutosseresolverándelamismaformaqueenla sesión9 y10un total de10derivadasde las indicadaspara realizar en clase. Lasderivadasarealizarseránla66,69,72,77,80,82,87,89,93y95.Saldránlosalumnosarealizarlas,solicitandovoluntariosydurantelaresoluciónporpartedelosalumnosseaprovecharáparapasarpor lasmesas,pidiendo laresoluciónde losejercicios, loscualesdeberánestarhechosensumayoría.

Unavez realizadas lasderivadas indicadasconanterioridad,sesolicitaráa losalumnossitienenalgunadudaenalgunaotraderivadaparaquesearesueltaporpartedelprofesordeformarápidaenlaPDI.

Una vez resueltas las derivadas y las dudas tanto teóricas como prácticas sepasaráarealizardosejerciciosprácticosqueresumantodosloscontenidosimpartidosenlaunidad.Laresolucióndeambosejerciciosserealizaráporelprofesor,solicitandoalosalumnosquelevayanindicandolospasosaseguir.

1. Consideralacurvadeecuaciónf(x)=kx3+6x2–kx-18.a. ¿CuántodebevalerksilastangentesenlospuntosA(1F(1))yB

(-2,f(-2))sonparalelas?b. Determinalaecuaciónpuntopendientedeambastangentesc. Realizaunesbozográficodelafunción

2. Elcostede fabricaciónde“n”unidadesdeciertoproductoesC=n3–5n2+5000n+2000(euros).Siactualmentetenemosunaproducciónde

Sedejaráprogramadoparapublicara las16.00horaselenlaceaunawebdonde se explica con ejercicios la sesión de hoy http://goo.gl/1eZexP .AdemásseadjuntaelenlacedeDropboxdelaclase.

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5 unidades y queremos incrementarla en 5,2n ¿Cuál sería el cambioproducidoenelcostedebidoaesteincremento?

Una vez terminada la resolución de ambos ejercicios se subirá a Dropbox lasesióndehoyyserecordaráqueenlasiguientesesióntendránlapruebaescrita.

Sesión13:Pruebaescrita

Enestasesiónserealizaráunapruebaescritadondeseevaluaráporpartedelprofesorlosconceptos,procedimientosyactitudesadquiridosporlosalumnosenestaunidad. La duración de la prueba será de 55 minutos, indicado en los 3 primerosminutoslaspautasderealizacióndelamisma.Lapruebaserálasiguiente:

Atenerencuenta:

• Laduracióncompletadelexamenesde55minutos.• Usarbolígrafoazulonegro,elusodeotrocoloroutensilioserámotivo

depuntuaciónnulaeneseejercicio.• Deberáscontestara5delos6ejerciciosqueacontinuaciónseproponen

teniendocadaunodeellosunapuntaciónde2puntoscomomáximo.• Cada falta de ortografía descontará 0,25 puntos de la nota hasta un

máximode1punto.• Sedisponendeuntotalde7carasdefoliopararealizarlos5ejercicios.

Comienzaenestemismopapelporelreverso.

1. SupongamosqueelproductonacionalbrutodeciertopaísvienedadosporlaexpresiónP(t)=t2+3t+150,dondetindicalosañostranscurridosdespuésdelaño2010yP(t)vienedadoenmilesdeeuros.

a) ¿Cuáleslarazóndecambioen2016?b) ¿Cómohavariadoelproductonacionalbrutodesdeelaño2010

al2016?

2. Una colonia de bacterias tarda unmes en iniciar su reproducción. Lafunción que da su número en función del tiempo, t, en meses,

es:𝑓 𝑡 = 2000,𝑠𝑖0 ≤ 𝑡 ≤ 12000𝑒678,𝑠𝑖𝑡 > 1

a) Estudiasilapoblaciónesunafuncióncontinuadeltiempo.

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b) Calcula la tasa de variación media de la población en losintervalos[0,1]y[1,3]

c) Hallalatasadevariacióninstantáneaent=3.

3. Enlasiguientefunción,f(x)=y=x2+3x+1

a) ¿Enquépuntoladerivadatomaelvalorcero?b) ¿Cómoserálarectatangentealacurvaendichopunto?c) Realizaunesbozográficodelafunciónysuderivadaenelpunto.

4. Hallalafunciónderivadadelafunción:

𝑦 = 3 · (𝑠𝑒𝑛𝑥)?@A

5. Halla latangentea lacurva𝑓 𝑥 = AABC8

enelpunto 2, DEyrealizaun

esbozográficodelafunciónf(x)ysuderivadaendichopunto.

Sesión14:Repasodelaunidad

La última sesión de la presente unidad se dedicará al repaso de losconocimientos adquiridos y a la revisión de la prueba escrita realizada en la sesiónanterior.

La sesión comenzará con la entregade las pruebas realizadas el día anterior,corregidas,paraquelosalumnosconozcanloserroresyaciertosenlacitadaprueba.Delamismaforma,seindicaráquéerroresdehancometidoengeneralenlapruebayseharáunanálisisgeneraldelamisma.

Aprovechandolarevisióndesuspruebasporpartedelosalumnos,serealizaráen la pizarra digital interactiva cada uno de los ejercicios para que comprueben susresultadosyasientenlosconocimientos.

Porúltimo,serecogerán laspruebasde losalumnosquenotengandudasensusexámenesylosquetenganalgúnproblemaodudaloindicaránalprofesorparaenlasegundamitaddelasesiónpasarunoporunoacomentarlas.

Lasegundamitaddelasesiónelprofesorindicaráqueeltemadederivadassetendráquetenerencuentaenpróximasunidades,porloquesededicaránlosúltimos15minutos,aprovechandoquepasarátutoríasindividualesconlosquetengandudas

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desusprueba,arealizarunatablaconlasfórmulasdederivaciónylaspropiedadesdelaspropiasderivadas,ademásdeincluirlafórmuladelaecuaciónpuntopendiente.Enestatablapodránincluirtodoloquedeseen,siempre,teniendoencuentaqueesunresumendelaunidad.

Alfinalizarlasesiónsesubirálasesióndehoyylacorreccióndelapruebaparaquelospropiosalumnospuedanrepasarla.

3.2.7Evaluacióndelalumnado

De acuerdo con el Decreto 416/2008, y la Orden 15/12/2008, por el que seestablece laevaluaciónenBachillerato, laevaluacióndelprocesodeaprendizajedelalumnado en esta etapa educativa será continua y diferenciada según las distintasmaterias, se llevará a cabo por el profesorado, teniendo en cuenta los diferenteselementos del currículo, la evolución del proceso de aprendizaje de cada alumnoalumnaenel conjuntode lasmaterias y sumadurez y rendimiento académico a lolargodelcurso,enrelaciónconlosobjetivosdelBachillerato,asícomo,alfinaldesuetapa,susposibilidadesdelprogresoenestudiossuperiores:

• Serácontinuaencuantoestará inmersaenelprocesodeenseñanzayaprendizajedelalumnado.

• Serádiferenciadasegún lasdistintasmateriasdelcurrículo,por loqueobservará los progresos del alumnado en cada una de ellas y tendrácomoreferenteloscriteriosdeevaluacióndelasmateriasparavalorarel grado de consecución de los objetivos previstos para cada una deellas.

Criteriosdeevaluación

ElRealDecreto1467/2007,deenseñanzasmínimasdelBachillerato,concretalos criterios de evaluación mínimos para cada una de las materias. Estos son losaprendizajesbásicosque requiereelalumnadoparaproseguirde formasatisfactoriasuprocesodeaprendizaje.

De acuerdo a los criterios de evaluación del Real Decreto 1467/2007, ensíntesis, los criterios de evaluación que se proponen en la unidad didáctica de“Derivadas”sonlossiguientes:

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Tabla9.Criteriosdeevaluación

CRITERIOSDEEVALUACIÓN

1. Conocer los conceptos de tasa de variación media e instantánea y surepresentacióngráfica.

2. Conocerlafunciónderivada,suinterpretacióngeométricaysurelaciónconlastasasdevariaciónmediaeinstantánea.

3. Sabercalcularderivadasinmediatassinaplicacióndepropiedades.4. Saberaplicarcorrectamentelaspropiedadesdelasderivadasparalaresolución

deestas.5. Saber calcular la ecuación punto pendiente de la recta perpendicular a una

funciónatravésdelapendientecomoderivadayunpuntodelafunción.6. Saberidentificarcuandounafunciónnoesderivable.

3.2.8Idoneidaddelaunidaddidáctica

Tras haber estudiado los distintos procedimientos de evaluación, debido alcuestionario realizado y a las necesidades de esta etapa y materia se realizará laevaluacióndelaunidadconlossiguientesinstrumentosytécnicas:

• Técnicas:o Observaciónsistemáticao Revisióncorrecciónyanálisisdetareas.o Pruebasoralesyescritas.

• Instrumentos:o Escalasdeobservacióno Portafolioso Rúbrica

Calificacióndelaunidad

De acuerdo a la Orden 15/2/2008 de evaluación del Bachillerato, losprofesores/as,enelmarcodelaevaluacióncontinua,expresaránlosresultadosdelaevaluaciónmediantecalificacionesnuméricasde0a10sindecimales,considerándosenegativaslascalificacionesa5.Estoindicaquelacalificaciónfinaldelaasignaturaseráunnúmeroentero,loquenoobligaquesisecalificaporunidadesdebansernúmerosenterosporloqueseestableceunaescalanuméricadecalificacióndelaunidadde0a

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10 puntos y secuencia de puntuación 0,25 puntos por lo que podrá ser puntuado amododeejemplocon7.25puntosenlaunidad.

Teniendo en cuenta las técnicas e instrumentos a usar en la unidad, acontinuaciónsemuestralaformadecalificarconsusporcentajes:

Tabla10.Sistemadeevaluación

SISTEMADEEVALUACIÓN

SISTEMA EXPLICACIÓN PUNTUACIÓN

Observaciónsistemática

Se puntuará de 0 a 10 la participación en elaulaysuactitudantelaasignaturasiendo0noparticipay10participaen todas las sesiones.Ademássetendráencuentasienelperfildela redsocialse tieneunaparticipaciónactiva,mediaosinparticipación.

10%

Correccióndetareas

Seobservarádosdíasdelos14delasesiónsilas tareas han sido realizadas y se puntuarácon5puntos cadadía;así, si lasha realizadolosdosdíastendráun10,silasharealizadoundía tendrá un 5 y si no las ha realizado noconseguirápuntoseneldenominadoportfoliodelalumno.

10%

Tareadeintroducción

La tarea de introducción o “Caza del Tesoro”se valorará de 0 a 10 con una escala deobservación sencilla puntuando 1,5 puntoscadapreguntay4lagranpregunta.

10%

Pruebaescrita

Lapruebaescritaseevaluaráa travésdeunarúbrica, donde se encuentran definidos unosestándares/indicadores de aprendizajeevaluables de forma gradual en distintosnivelesdedificultadyexigencia.

70%

TOTAL 100%

Calificacióndelprocesodeenseñanza

Seconsideranecesariosabersiaquelloqueestransmitidoalosalumnosseharealizadodeformacorrecta.Paraellosepresentaunahojaderecogidadedatossobreel proceder docente y sobre el proceder del discente con respecto al proceso deenseñanza,lacualserealizaráalfinaldelaunidaddidáctica.

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Tabla11.Fichadeevaluacióndelprofesor

U.D. CURSO: FECHA://PROFESOR

EVALUACIÓNDELPROFESORNº CUESTIÓN NOTA

1 ¿Creesqueelprofesortehaayudadoaaprendercosasnuevas?

2 ¿Haresueltodudas?

3 ¿Considerasqueloquehemostrabajadoesútileinteresante?

4 ¿Considerasqueteníaestababienpreparadoeltrabajodiario?

5 ¿Piensasquesehaimprovisadoenclase?

6 ¿Sehaexplicadocorrectamentelateoríadelaunidad?

7 ¿Sehanexplicadocorrectamentelosejercicios,actividadesytareas?

8 ¿Respetantuscompañerosalprofesor?

9 ¿Trataconrespetoelprofesoralosalumnos?

10 ¿Trataconrespetoalprofesorarestodecompañeros?

11 ¿Sehavigiladoeltrabajoenclaseodehadescuidado?

12 ¿Piensasqueelsistemadetrabajoeseladecuado?

13 ¿Considerasquelascalificacionesdelaunidadhansidojustas?

14 Endefinitiva…¿Quénotacreesquesemereceelprofesor?

Sideseas,puedesaprovecharpararealizaralgúncomentario.

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4.CONCLUSIONES

4.1Conclusionesdelapropuestadeintervención

Las conclusiones de este trabajo de investigación, teniendo en cuenta loexpuestoconanterioridad,ademásde losobjetivosmarcadosparaelmismo,son lassiguientes:

1. Tras el estudio del marco teórico tanto de las distintas teorías delaprendizaje,comodelaaplicacióndelasnuevastecnologíasenelaulasindejar de lado el marco legal actual, se puede concluir que las nuevastecnologíasaplicadascorrectamente,puedenservirdeayudaenelaula,aunque existan reticencias por parte de algunas personas de lacomunidadeducativa.En el proceso de enseñanza-aprendizaje en alumnos de 2º deBachillerato, se concibe la necesidad de formar a los docentes paraintegrarseenestasociedaddelainformaciónconelfindeaprovecharalmáximo las posibilidades que las nuevas tecnologías nos ofrecen.Además, deben estar inmersos en un proceso de aprendizaje einvestigación continuo ya que estamos frente a una metodologíaevolutiva.

2. Habiendo estudiado los errores más comunes de los alumnos en laadquisición de los conceptos propios de las derivadas, los docentessuelen tener la mayoría de los problemas a la hora de interpretar laderivada como límite de una función en un punto y por ende en suinterpretación geométrica y tasas de variación tanto instantánea comomedia.Porotro lado losalumnos suelen tenerproblemasenconceptospropios de las derivadas como conceptos y propiedades que no seenseñanatravésdeaprendizajessignificativos.

3. Los resultados del trabajo de campo realizado tanto a alumnos comoadocentesreflejanquelosprimerosnoestándeacuerdoconlaformadeimpartir y evaluar la asignatura deMatemáticas en esta especialidad ynecesitandeunaayudaextra, lacualhasidopuestaenmarchaatravésde esta propuesta de intervención. Por parte de los docentes de lasdistintasáreas,traselestudiorealizado,seobservaquelagranmayoría

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se encuentran estancados en una forma de impartir clasemonótona yrutinaria,sinadaptarsealostiemposactuales.

4. Por último, referente a la realización de una unidad didáctica dederivadas,conelfindeseraplicadaenlaasignaturadeMatemáticasenlaespecialidaddecienciasSociales II,aplicando lasnuevastecnologías, losalumnos se encontraránmásmotivados frente a la presente asignaturagraciasalusodelapizarradigitalinteractiva,aplicacionesenelaulayunaredsocialdondepuedanrepasarconceptoseinclusoampliarlos.

4.2Limitacionesdelapropuesta

Es de especial interés mostrar las limitaciones de la presente propuesta deintervención.EnprimerlugarseindicaránlasdificultadesencontradaseneldesarrollodelpresenteTrabajoFindeMáster,yunavezindicadassemostraránlaslimitacionesdelmismoparaunacorrectaextrapolacióndelapropuestadeintervención.

Las limitacionesencontradaspara laelaboraciónde lapresentepropuestadeintervenciónsonlassiguientes:

1. LaLeyOrgánicaparalaMejoradelaCalidadEducativa(LOMCE8/2013)se encuentra implantándose actualmente y para el curso de 2º deBachilleratoaunnoestáimplantadaensutotalidad,siendolanormativaaplicable la Ley Orgánica de Educación (LOE 2/2006). Debido a estaproblemática de normativa, existe una dificultad para el estudio decontenidos,competenciasyotrasdirectricesemanadasdelasmismas.

2. El estudio de la problemática para los alumnos en las “Derivadas” hasido fruto del estudio de distintas investigaciones y sería necesarioobtenerinformaciónenelcentrodondesehadesarrolladoeltrabajodecampo, ya que los alumnos tendrán unas características personales ysocialessemejantes.

3. Para el desarrollo de ejercicios, actividades y tareas será necesarioadaptar las dificultades a las características de los alumnos. En laelaboracióndelapresentepropuestadeintervenciónsehantenidoencuenta alumnos sin grandes dificultades y debería contextualizarse encaso de existir algún alumno con necesidades específicas de apoyoeducativoodeatenciónaladiversidad.

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Encuantoa laextrapolaciónde lapropuestaotrabajodecampo,estosdatospuedenserexportadosteniendoencuentalossiguientestérminos:

1. Lapropuestade intervenciónhasidodesarrolladaenelmarco teóricoactual y teniendo en cuenta que la Ley Orgánica de Educación LOE2/2006seencuentraentransiciónhacialaLeyOrgánicaparalaMejorade la Calidad Educativa LOMCE 8/2013 su extrapolación debe ser deforma cautelosa y atendiendo al marco de la autonomía pedagógicavigente.

2. Para la adquisición de la problemática de los alumnos de esta edadfrentea launidaddidácticadederivadas, sehan tenidoencuenta losconceptos a estudiar incorporados al currículo a través de la OrdenAndaluza 5/8/2008 por lo que en el caso de ser exportada en otracomunidad autónoma deben comprobarse los elementos curricularestalescomoconceptos,objetivosytransversalidadeducativa.

3. Lamuestraestudiadahayquetenerencuentaquehasidodesarrolladaen una localidad con unos alumnos y características concretas por loquelaextrapolacióndelosresultadosobtenidoseneltrabajodecamposedebehacerconcautela.

4. Alnohaberllevadoacabolapuestaenmarchadelaunidaddidácticaynodisponerderesultadossobre losalumnoshayquetenerencuentaque la extrapolación al aula de la presente unidaddebe ser de formacautelosa, realizando evaluaciones parciales sobre cada una de lassesiones.

5. TeniendoencuentalasherramientasTICdisponiblesenlaactualidad,lapizarra digital interactiva es de las más usadas y la que másposibilidades ofrece ya que pueden ser proyectados videos,aplicaciones,actividades,presentaciones…Ademássehausadounaredsocial la cualpuedeserentendidacomounapizarradigitalencasayaque puede mostrar el mismo tipo de información pero existen dosgrandeslimitaciones,porunladolanecesidaddedisponerdeconexiónainternetyequipoinformáticoenellugardeestudioyporotroladolaproblemáticadela leydeprotecciónalmenor,por lacual,eltutordel

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alumnomenor de 18 años debe autorizar la visita al perfil de la redsocial.

4.3Líneasdeinvestigaciónfuturas

Como primera línea de investigación futura se debería ampliar la presentepropuestade investigaciónuna vez implantada la LeyOrgánicapara laMejorade laCalidadEducativa(LOMCE),haciendoespecialhincapiéenmodificaraspectostenidosencuentaconlanormativaactualLOE2/2006

Sería interesanteampliar lamuestraaotrosniveles,centrosy localidadesconel fin de generalizar la problemática de los alumnos frente a la asignatura deMatemáticas.

Delamismaforma,seríadebastanteimportanciaobtenerlosresultadosdelaaplicación de la presente unidad en el aula con el fin de poder experimentar dedistintasformaslasTICusadasycomprobarlapuestaenmarchadelaunidaddidácticaenelaula.

Porúltimo,teniendoencuenta laaplicacióndelapresenteunidadenelaula,deberíanlocalizarseposiblesproblemasenlosalumnosdurantelapuestaenprácticadelamismaparamodificarlapropuestadecaraanuevasimplantaciones.

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5.REFERENCIASBIBLIOGRÁFICAS

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Domínguez, R. (2009). La sociedad del conocimiento y los nuevos retos educativos.UniversidaddeGranada.

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Moreira, M. A. (2014). Innovación Pedagógica con TIC y el desarrollo de lascompetenciasinformacionalesydigitales.inasp,1(4),1-14.

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OrdenECD/65/2015,de21deenero,por laquesedescriben las relacionesentre lascompetencias, los contenidos y los criterios de evaluación de la educaciónprimaria, la educación secundaria obligatoria y el bachillerato.BoletínOficialdelEstado,no25de29deenerode2015.

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Pérez,D.,Gras-Marti,A.,Gras-Velázquez,À.,Guevara,N.G.,Togasi,A.G.,Joyce,A.,...&Santos,J.(2009).ExperienciasdeenseñanzadelaquímicaconelapoyodelasTIC.UniversidadNacionalAutónomadeMéxico(UNAM).México.

RD1631/2006,de29dediciembre,porelqueseestablecen lasenseñanzasmínimascorrespondientes a la Educación Secundaria Obligatoria. Boletín Oficial delEstado,nº5de5deenerode2007.

Sánchez-Matamoros, G. (2007) La comprensión de la derivada como objeto deinvestigación en didáctica de lamatemática. Departamento deMatemáticas.UniversidaddeSevilla

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V.V.A.A. (2010). Proyecto Descartes. INTEF del Ministerio de Educación, Cultura yDeporte.http://recursostic.educacion.es/descartes

ANEXOS

ÍNDICEDEANEXOS

1. Encuestaalalumnado

2. Encuestaalprofesorado

3. Pruebaescritadeevaluacióndeunidad

ENCUESTAPARAOBTENERINFORMACIÓNSOBRELAMARCHANORMALDELASSESIONESENELAULA

YSUREPERCUSIÓNENCASA

Estimadoalumno,conmotivodeunestudioparamejorareldesarrollode lasclasesymejorareldíaa

díaenel aula, estamos interesados enconocer suopinión sobre laasignaturadeMatemáticasaplicadasa las

HumanidadesyCienciasSocialesde2ºdeBachillerato.

Enclase…

1. Laformadeimpartirlaclasehastaahoraporpartedelprofesorhasido…

a. Buena,notengoproblemasenentenderlosconceptos.

b. Regular,entiendolosconceptosperotengodificultadesensuaplicación.

c. Mala,noentiendolosconceptosqueseimparten.

2. Larelaciónentreclasesprácticasyteóricases…

a. Buena.

b. Megustaríatenermásclasesteóricas.

c. Megustaríatenermásclasesprácticas.

3. Losequipamientos,instalacionesyrecursosenelaulameparecen…

a. Suficientes.

b. Insuficientes,megustaríacontarcon________________.

c. Suficientesperonoseaprovechan.

4. Laformadeevaluarlaasignaturameparece…

a. Buena.

b. Daríamásimportanciaalasactividadesdesarrolladasdurantelaunidaddidáctica.

c. Daríamásimportanciaalaactitudenclaseyantelaasignatura.

d. Megustaríaquelapuntuaciónfuesesololadelexamen.

Encasa…

5. Alahoradeestudiar…

a. Conlosapuntesdeclaseylasexplicacionesdelprofesortengosuficiente.

b. Meapoyoademásconalgunodeloslibrosrecomendadosporelprofesor.

c. Buscoinformacióneninternetparaentendermejorlosconceptos.

6. Cuandobuscaseninternet,suelesbuscar…

a. VideosenYouTubeconexplicacióndeejerciciosy/oconceptos.

b. Páginascontemarioyejerciciostipovitutor.com.

c. Medescargoaplicacionesdondeentendermejoreltemario.

d. Buscolibrosyapuntesdeapoyo.

e. Doypalosdeciegoynosueloencontrarloquebusco.

f. Nobuscoeninternetningúntipodeinformación.

Muchasgracias.

ENCUESTAPARAOBTENERINFORMACIÓNSOBRELAMARCHANORMALDELASSESIONESENELAULA

YSUREPERCUSIÓNENCASA

Estimadodocente,conmotivodeunestudioparamejorareldesarrollode lasclasesymejorareldíaa

díaenelaula,estamosinteresadosenconocersuopiniónsobrelaasignaturaqueimparteen2ºdeBachillerato

enlaespecialidaddehumanidadesycienciassociales.

1. Enmiprogramaciónutilizocomorecursos,ademásdellibrodelaasignatura:__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Sueloadaptarmiprogramaciónendeterminadasunidadesdidácticasalosconocimientospreviosyactitudes/aptitudesdelosalumnos:__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Suelousastodoslosequipamientos,instalacionesyrecursosdisponiblesparaimpartirdocencia:__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Veocorrectalaformadeevaluaralosalumnosteniendoencuentalasindicacionesrecomendadasporelcentro:__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. Engeneral,veointerésporlaasignaturaporpartedelosalumnos:__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. Losalumnos,engeneral,trabajanadiarioytraenhechaslastareasdecasa:__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7. Losresultadosfinalesdelosalumnosestánrelacionadosdirectamenteconsutrabajodiario:

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Muchasgracias.

Nombre:

Atenerencuenta:

• Laduracióncompletadelexamenesde55minutos.• Usar bolígrafo azul o negro, el uso de otro color o utensilio será motivo de

puntuaciónnulaeneseejercicio.• Deberás contestar a 5 de los 6 ejercicios que a continuación se proponen

teniendocadaunodeellosunapuntaciónde2puntoscomomáximo.• Cadafaltadeortografíadescontará0,25puntosdelanotahastaunmáximode

1punto.• Se disponen de un total de 7 caras de folio para realizar los 5 ejercicios.

Comienzaenestemismopapelporelreverso.

1. Supongamos que el producto nacional bruto de cierto país viene dados por laexpresiónP(t)=t2+3t+150,dondetindicalosañostranscurridosdespuésdelaño2010yP(t)vienedadoenmilesdeeuros.

a) ¿Cuáleslarazóndecambioen2016?b) ¿Cómohavariadoelproductonacionalbrutodesdeelaño2010al2016?

2. Unacoloniadebacteriastardaunmeseniniciarsureproducción.Lafunciónque

dasunúmeroenfuncióndeltiempo,t,enmeses,es:

𝑓 𝑡 = 2000,𝑠𝑖0 ≤ 𝑡 ≤ 12000𝑒678,𝑠𝑖𝑡 > 1

a) Estudiasilapoblaciónesunafuncióncontinuadeltiempo.b) Calculalatasadevariaciónmediadelapoblaciónenlosintervalos[0,1]y

[1,3]c) Hallalatasadevariacióninstantáneaent=3.

3. Enlasiguientefunción,f(x)=y=x2+3x+1

a) ¿Enquépuntoladerivadatomaelvalorcero?b) ¿Cómoserálarectatangentealacurvaendichopunto?c) Realizaunesbozográficodelafunciónysuderivadaenelpunto.

4. Hallalafunciónderivadadelafunción:

𝑦 = 3 · (𝑠𝑒𝑛𝑥)?@A

5. Halla la tangente a la curva𝑓 𝑥 = A

ABC8en el punto 2, D

E y realiza un esbozo

gráficodelafunciónf(x)ysuderivadaendichopunto.

Aplicación de las TIC a las derivadas en 2º de Bachillerato.

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