AP - 2BTX - U1 - 1516.pdf

1Matrius

2

MatriuUna matriu A és un conjunt de m × n elements distribuïts en m files i n columnes, de manera que cadascun dels elements aij

està a la fila i i a la columna j.

A =

a11 ⋯ a1j ⋯ a1n

⋮ ⋱ ⋮ ⋮ai1 ⋯ aij ⋯ ain

⋮ ⋮ ⋱ ⋮am1 ⋯ amj ⋯ amn

m×n

Els subíndexs indiquen la posició dels nombres dins la matriu. El primer nombre indica la fila i el segon nombre la columna. Per exemple si a24 = 5 vol dir que la matriu A té un 5 a la sego-na fila, quarta columna. Direm que un element és a la diago-nal si té els dos subíndexs iguals.

Ordre d’una matriuL’ordre d’una matriu expressa les seves dimensions; l’ordre s’in-dica amb un nombre que indica el nombre de files, el símbol × i un altre nombre que indica el nombre de columnes.

Exemple

Una matriu A té ordre 2 × 3 perquè té dues files i ters columnes

A = (2 0 41 3 5)

2×3

En aquesta matriu podem veure que

! ! ! a11 = 2! ! a12 = 0! ! a13 = 4

! ! ! a21 = 1! ! a22 = 3! ! a23 = 5

Traça d’una matriuLa traça d’una matriu A és la suma dels elements de la seva diagonal. La traça només està definida quan la matriu és qua-drada (té el mateix nombre de files i columnes).

! ! ! Traça(A) = a11 + a22 + ⋯ + ann

si la matriu té n files i n columnes.

Definicions

Matemàtiques aplicades a les ciències socials2n de Batxillerat curs 2015-2016

3

Igualtat de matriusDirem que dues matrius A i B són iguals si tenen exactament els mateixos elements en les mateixes posicions.

! ! ! ! ! aij = bij ∀ i, j

Perquè dues matrius siguin iguals han de tenir el mateix ordre.

Exemple

Les matrius següents són iguals A = B

! ! ! A = (−4 3−1 1) B = ( x 3

−y 1)si x = − 4 i y = 1.

Podem veure també que l’ordre d’aquestes matrius és iguals i és 2 × 2.

Com que té el mateix nombre de files i columnes és quadrada i si calculem la seva traça, podem veure que:

! ! Traça(A) = Traça(B) = − 4 + 1 = − 3


Repàs de definicions :

Comprovar la res-posta

Pregunta 1 de 3

Donada una A =−2 0 35 −1 −34 0 11 3 5

les següents afirmacions són certes :

A. És una matriu quadrada i a12 = 0

B. Té ordre 4 × 3 i a21 = 0

C. La traça és 2

D. Té ordre 4 × 3 i a32 = 0

4

Matriu fila i matriu columnaUna matriu fila és una matriu que només té una fila i té ordre 1 × n, i per tant té n columnes.

Una matriu columna és una matriu que només té una columna i té ordre m × 1, i per tant té m files.

Exemple:

La matriu A = (1 4 2)1×3 és una matriu fila perquè té una fi-

la i en aquest cas té 3 columnes.

La matriu B = (142)

3×1

és una matriu columna perquè té una co-

lumna i en aquest cas té 3 files.

Matriu nul·laUna matriu nul·la és una matriu que té tots els seus elements iguals a 0, és a dir, (aij) = 0. Pot tenir qualsevol ordre.

Matriu oposadaLa matriu oposada d’una matriu A = (aij) és una matriu que anomenarem −A = (−aij), i consisteix a canviar el símbol de ca-dascun dels seus elements.

Exemple :

Sigui A = (−1 4−3 2), la seva matriu oposada és −A = (1 −4

3 −2).

Matriu transposadaLa matriu transposada d’una matriu A = (aij) és una matriu que

anomenem At = (aji), i consisteix a canviar les files de A per columnes.

Exemple

Sigui A = (2 41 25 0)

3×2

la transposada és At = (2 1 54 2 0)

2×3

Tipus de matrius


5

Matriu quadradaUna matriu quadrada és una matriu que té el mateix nombre de files que de columnes. En aquest tipus de matrius quan diem que té simplement ordre 2, significa que té dues files i dues co-lumnes.

Matriu diagonalAnomenem matriu diagonal, a la matriu D = (dij) que té tots els sus elements 0 menys alguns o tots els elements de la dia-gonal, és a dir dij = 0 si i ≠ j.

Exemple:

La matriu D =2 0 00 1 00 0 5 3×3

és diagonal i d’ordre 3.

Matriu identitat o unitatAnomenem matriu identitat a la matriu Id que és quadrada, dia-gonal i té tots els elements de la diagonal 1. Normalment indi-quem amb un subíndex l’ordre de la matriu.

Exemple:

La matriu Id2 = (1 00 1) és la matriu diagonal d’ordre 2.

Matriu triangular superiorUna matriu quadrada s’anomena triangular superior si els ele-ments que estan per sota de la diagonal són 0, és a dir Uij = 0 si i > j. Anomenem aquest tipus de matrius amb la lletra U = (uij) per ser la inicial de upper triangular matrix.

Exemple:

La matriu U =2 3 10 1 00 0 5 3×3

és triangular superior d’ordre 3.

Matriu triangular inferiorUna matriu quadrada s’anomena triangular inferior si els ele-ments que estan per sobre de la diagonal són 0, és a dir Lij = 0 si i < j. Anomenem aquest tipus de matrius amb la lletra L = (lij) per ser la inicial de lower triangular matrix.

Exemple:

La matriu L =2 0 04 1 05 8 5 3×3

és triangular inferior d’ordre 3.


6

Matriu simètricaUna matriu A és simètrica si és una matriu quadrada i aij = aji, és a dir, és simètrica respecte a la diagonal.

Una característica d’aquest tipus de matrius és que són iguals que la seva matriu transposada.

Exemple:

La matriu A =2 −3 1

−3 −1 −51 −5 5

és una matriu simètrica.

Matriu antisimètricaUna matriu A és antisimètrica si és una matriu quadrada i aij = − aji, és a dir, és antisimètrica respecte a la diagonal.

Exemple:

La matriu A =2 −3 13 −1 −5

−1 5 5 és una matriu antisimètrica.


Repàs tipus de matrius


Pregunta 1 de 2La matriu transposada d’una matriu canvia

A. El seu ordre.

B. columnes per files.

C. files per columnes

D. Respostes B i C.

7

Suma de matriusDonades dues matrius A = (aij) i B = (bij) del mateix ordre anomenem matriu suma a la matriu que s’obté de la suma de cada element de la matriu A amb el corresponent element de B, és a dir, el que està a la mateixa fila i columna.

! ! ! ! A + B = (aij + bij)

La suma de dues matrius té com a resultat una matriu amb el mateix ordre que les anteriors.

La suma de matrius compleix les següents propietats:

• Associativa: A + (B + C ) = (A + B) + C

• Commutativa: A + B = B + A

• Existència d’element neutre: A + 0 = A

• Existència d’element oposat: A + (−A) = 0

cal recalcar que 0 és la matriu nul·la de les mateixes dimen-sions que A.

Exemple:

Siguin les matrius A = (1 02 −1

−1 2 )3×2

i B = (3 −1

−1 2−3 −4)

3×2

,

com que les dues matrius tenen el mateix ordre podem calcular la seva suma:

! A + B = (1 02 −1

−1 2 )3×2

+ (3 −1

−1 2−3 −4)

3×2

! ! =1 + 3 0 − 12−1 −1 + 2

−1 − 3 2 − 4 3×2

= (4 −11 1

−4 −2)3×2

La resta de matrius segueix el mateix procès. Només podem restar matrius quan tenen les mateixes dimensions i la matriu resta s’obté restant els elements d’una matriu a l’altra matriu.

! ! ! ! A − B = (aij − bij)

Operacions amb matrius


8

Producte d’un nombre per una matriu

Siguin k ∈ R (un nombre real) i sigui A una matriu de qualsevol ordre, llavors definim el producte de k per A com:

! ! ! ! ! k A = (kaij)

on cada element de la matriu A queda multiplicat per k.

Per anomenar a un nombre real utilitzem el terme escalar quan treballem amb matrius, així doncs aquesta operació l’anomena-rem el producte d’un escalar per una matriu.

Si k = − 1, obtenim la matriu oposada, ja que, −1 ⋅ A = − A.

El producte d’un escalar per una matriu compleix:

• k(A + B) = k A + kB

• (k + h)A = k A + h A

• k A = Ak, tot i que normalment els escalars es deixen davant.

• k(h A) = (kh)A

• 1A = A

on A i B són matrius i k i h són escalars.

Exemple:

Sigui A = (4 20 1) anem a comprovar la segona propietat amb

k = 3 i h = −2. Per tant volem veure que

! ! ! ! (3−2)A = 3A−2A

Per una banda

(3−2)A = 1A = A = A = (4 20 1)

Per l’altra banda

3A−2A = 3 (4 20 1)−2 (4 2

0 1)! = (3 ⋅ 4 3 ⋅ 2

3 ⋅ 0 3 ⋅ 1) + (−2 ⋅ 4 −2 ⋅ 2−2 ⋅ 0 −2 ⋅ 1)

! = (12 60 3) + (−8 −4

0 −2) = (4 20 1)

Podem comprovar llavors que es compleix la segona propietat en aquest cas particular.


9

Pensa que dividir la matriu per un escalar k és el mateix que

multiplicar-la per 1k

, llavors dividir una matriu per un nombre re-

al és dividir cada element de la matriu per aquest nombre.

Producte de matrius

Donades dues matrius A amb ordre m × n i una matriu B amb ordre p × q només podrem fer l’operació A multiplicada per B, és a dir A ⋅ B, si el nombre de columnes d’ A és igual al nom-bre de files de B. En aquest cas per multiplicar les matrius, B ha de tenir dimensions n × q.

El resultat de la multiplicació serà una nova matriu C amb les mateixes files que A i les mateixes columnes que B.

Fixa’t

! ! ! ! Am×n ⋅ Bn×q = Cm×q

Si no es donen aquestes condicions, no podem multiplicar les matrius.

Fins ara hem parlat de quan podem multiplicar les matrius, ara anem a veure com es multipliquen:

• Multiplicació d’una matriu fila per una matriu columna.

Per aprendre a multiplicar matrius primer multiplicarem una ma-triu fila A (té una fila) amb n columnes, per tant amb ordre 1 × n, amb una matriu columna (té una columna) amb n files perquè es pugui fer la multiplicació:

! ! A1×n ⋅ Bn×1 = (a11 a12 ⋯ a1n) ⋅

b11b21⋮

bn1

Fixa’t que estem multiplicant una fila per una columna, aquesta operació tindrà com a resultat un nombre que resulta de fer:

! ! A1×n ⋅ Bn×1 = a11 ⋅ b11 + a12 ⋅ b21 + ⋅ + a1n ⋅ bn1

Multipliquem el primer element d’ A, amb el primer de B i els su-mem a la multiplicació del segon amb el segon, i així fins a l’úl-tim element. El resultat és també una matriu d’ordre 1 × 1, que de fet també es pot considerar com un nombre.

Exemple:

A1×3 ⋅ B3×1 = (2 4 −1) ⋅ (5

−34 )

= 2 ⋅ 5 + 4 ⋅ (−3) + (−1) ⋅ 4 = 10 + −12 + −4 = − 6


10

• Multiplicació de dues matrius

Donades dues matrius A = (aij) i B = (bij) definim la multiplicació de A per B com:

! ! A ⋅ B = C = (cij) =n

∑x=1

aix ⋅ bxj

Aquesta definició sembla difícil però el mecanisme no ho és tant, basta multiplicar cada fila de la primera matriu per cada co-lumna de la segona matriu.

Exemple:

Sigui A = (4 20 1)

2×2 i sigui B = (−1

3 )2×1

.

Podem veure que el nombre de columnes d`A és igual al nom-bre de files de B, per tant podem calcular A ⋅ B, no és així amb B ⋅ A, que en aquest cas no es pot calcular. Comencem llavors a calcular A ⋅ B. Fixa’t que cada fila d’ A multiplicarà a cada co-lumna de B.

A ⋅ B = (4 20 1)

2×2⋅ (−1

3 )2×1

= (4 ⋅ (−1) + 2 ⋅ 30 ⋅ (−1) + 1 ⋅ 3)

2×3= (2

3)2×3

Exemple:

Siguin les matrius A = (1 −10 1

−1 1 )3×2

i B = ( 2 1 −1−1 0 −2)

2×3 .

En aquest cas podem calcular A ⋅ B i també B ⋅ A, vegem que no donen la mateixa matriu i que a més tenen diferent ordre.

A ⋅ B = (1 −10 1

−1 1 )3×2

⋅ ( 2 1 −1−1 0 −2)

2×3

=1 ⋅ 2 + (−1) ⋅ (−1) 1 ⋅ 1 + (−1) ⋅ 0 1 ⋅ (−1) + (−1) ⋅ (−2)

0 ⋅ 2 + 1 ⋅ (−1) 0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 0 ⋅ (−1) + 1 ⋅ (−2)(−1) ⋅ 2 + 1 ⋅ (−1) (−1) ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 (−1) ⋅ (−1) + 1 ⋅ (−2)

3×3

= (3 1 1

−1 0 −2−3 −1 −1)

3×3

En canvi

B ⋅ A = ( 2 1 −1−1 0 −2)

2×3⋅ (

1 −10 1

−1 1 )3×2

= ( 2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 + (−1) ⋅ (−1) 2 ⋅ (−1) + 1 ⋅ 1 + (−1) ⋅ 1(−1) ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 + (−2) ⋅ (−1) (−1) ⋅ (−1) + 0 ⋅ 1 + (−2) ⋅ 1)

2×2


11

= (3 −21 −1)

2×2

Com podem veure donen matrius totalment diferents per tant,

! ! ! ! ! A ⋅ B ≠ B ⋅ A

i podem concloure que la multiplicació de matrius no és commu-tativa.

Propietats de la multiplicació de matrius

• Associativa:

! ! ! A ⋅ (B ⋅ C ) = (A ⋅ B) ⋅ C

• Distributiva respecte a la suma:

! ! ! D1: A ⋅ (B + C ) = A ⋅ B + A ⋅ C

! ! ! D1: (A + B) ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C

• No es compleix la distributiva:

! ! ! ! A ⋅ B ≠ B ⋅ A

Potència d’una matriu quadradaSigui A una matriu quadrada, anomenem potència enèsima d’A, al producte de n factors tots ells iguals a la matriu A.

! ! ! ! An = A ⋅ A ⋅ ⋯ ⋅ An factors A

Fixa’t que la matriu ha de ser quadrada perquè puguem poten-ciar-la, ja que el nombre de files d’A, ha de ser igual al nombre de columnes d’ A.

Propietats de la potència de matrius.

• Am ⋅ An = Am+n

• (Am)n = Am⋅n

• (k A)n = knAn

on m, n ∈ N i k ∈ R.

Altres propietats de les potències de nombres reals són també certes per matrius però en aquest curs amb aquestes propie-tats tenim suficient. Però d’altres no són certes com per exemple:

! ! ! ! (A ⋅ B)n ≠ An ⋅ Bn


12

Propietats de la matriu transposadaFins hem vist totes les operacions que podem fer amb matrius, vegem les propietats quan es relacionen amb la transposada d’una matriu.

Propietats

• (A + B)t = At + Bt

• (k A)t = k At

• (A ⋅ B)t = Bt ⋅ At

• (An)t = (At)n

on A, B són matrius les dimensions perquè es puguin fer les operacions en cada cas, k ∈ R i n ∈ N.


REPASO 1.1 Lorem Ipsum dolor amet, consectetur


Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua.

A. Respuesta 1

B. Respuesta 2

C. Respuesta 3

D. Respuesta 4

13

Equació matricialAnomenem equació matricial a la igualtat entre dues expres-sions algebraiques amb matrius i on desconeixem els elements que configuren la matriu incògnita X.

Per resoldre equacions matricials podem utilitzar totes les pro-pietats de les operacions amb matrius així com la igualtat entre matrius.

Vegem algunes propietats bàsiques que podem utilitzar per re-soldre una equació matricial.

Al canviar una matriu d’un costat a un altre de la igualtat, el seu símbol també canvia.

Quan en un costat de la igualtat tenim la matriu incògnita X mul-tiplicada per un escalar, podem aïllar la matriu incògnita i l’esca-lar passa a l’altre costat de la igualtat dividint.

Amb aquestes dues propietats ja podem resoldre unes quantes equacions matricials, vegem alguns exemples.

Exemple

Aïlla la matriu X :

A + X = B ⟹ X = B − A

Per tant si tenim les matrius A i B és fàcil trobar quant val la ma-triu X.

Exemple

5X − 2(A + B) = 3X − B ;

5X − 2A − 2B = 3X − B ;

5X − 3X = 2A + 2B − B ;

2X = 2A + B ;

X = 12 (2A + B)

Si sabem el valor de les matrius A i B és molt fàcil trobar el va-lor de la matriu X.

Equacions i sistemes matricials


AP - 2BTX - U1 - 1516.pdf

Documents

Transcript of AP - 2BTX - U1 - 1516.pdf