ANTECEDENTES HISTÓRICOS

El cálculo infinitesimal es la rama de las matemáticas que comprende el estudio y

aplicaciones del cálculo diferencial y del cálculo integral.

El cálculo diferencial se origina en el siglo XVII al realizar estudios sobre el

movimiento, es decir, al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vacío ya

que cambia de un momento a otro; la velocidad en cada instante debe calcularse,

teniendo en cuenta la distancia que recorre en un tiempo infinitesimalmente

pequeño.

En 1666, el científico Inglés Isaac Newton fue el primero en desarrollar métodos

matemáticos para resolver problemas de esta índole.

Casi al mismo tiempo el filósofo y matemático Alemán Gottfried Leibniz realizo

investigaciones similares e ideando símbolos matemáticos que se aplican hasta

nuestros días.

Destacan otros matemáticos por haber hecho trabajos importantes relacionados

con el cálculo diferencial, sobre sale entre otros Pierre Fermat matemático

Francés, quien en su obra habla de los métodos diseñados para determinar los

máximos y mínimos, acercándose casi al descubrimiento de cálculo diferencial.

Dicha obra influencio a Leibniz en la investigación del cálculo diferencial. Fermat

dejo casi todos sus teoremas sin demostrar ya que por aquella época era común

entre los matemáticos el plantearse problemas unos a otros, por lo que

frecuentemente se ocultaba el método propio de solución, con el fin de reservarse

el éxito para sí mismo y para su nación; ya que había una gran rivalidad entre los

Franceses, Alemanes y los Ingleses. Razón por la cual las demostraciones de

Fermat se hayan perdido.

Nicolás Óresme obispo de la comunidad de Lisieix, Francia, estableció que en la

proximidad del punto de una curva en que la ordenada se considera máxima o

mínima, dicha ordenada varia mas pausadamente.

Johannes Kepler tiempo después, coincidió con lo que estableció Nicolás

Óresme, conceptos que permitieron a Fermat en su estudio de máximos y

mínimos, las tangentes y las cuadraturas, igualar acero la derivada de la función,

debido a que la tangente a la curva en los puntos en que la función tiene su

máximo o su mínimo, es decir, la función es paralela al eje “x” donde la pendiente

de la tangente se anula.

Isaac Barrow maestro de Newton, quien por medio del “triángulo característico”,

en donde la hipotenusa es un arco infinitesimal de curva y sus catetos son

incrementos infinitesimales en que difieren las abscisas y las ordenadas de los

extremos del arco.

Newton concibió el método de las “Fluxiones”, considerando a la curva como la

trayectoria de un punto que fluye; denominado “momento” de la cantidad fluente al

arco mucho muy corto recorrido en un tiempo

Benjamín Garza Olvera, Matemáticas IV, Calculo diferencial, SEP, SEIT 1990

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Excesivamente pequeño, llamado la razón del momento al tiempo

correspondiente, es decir, la velocidad.

Por lo tanto “Fluente” es la cantidad variable que identifica como “Función”; Fluxión

es la velocidad o rapidez de variación de la fuente que identifica como la

“derivada”; al incremento infinitesimal o instantáneo de la fluente se le llama

“momento” que se indica como la “diferencial”.

El principio establece que: “los momentos de la funciones son entre sí como sus

derivadas”

La concepción de Leibniz se logra al estudiar el problema de las tangentes y su

inverso, basándose en el triángulo característico de Barrow, observo que el

triángulo es semejante al que se forma con la tangente, la subtangente y la

ordenad del punto de tangencia, así mismo, es igual al triángulo formado por la

normal, la subnormal y la ordenada del mismo punto. Los símbolos dx, dy/dx, la

palabra “derivada” y el nombre de “ecuaciones diferenciales” se debe a Leibniz.

Agustín Louis Cauchy matemático Francés, impulsor del cálculo diferencial e

integral autor de la teoría de las funciones de las variables complejas, basándose

para ello en el método de los límites; las definiciones de “función de función” y la

de “función compuesta”, también se deben a Cauchy.

Jacobo Bernoulli introduce la palabra “función” en el cálculo diferencial y la

simbología “f(x)” se debe a Leonard Euler, ambos matemáticos Suizos. John

Wallis enuncia el concepto de limite y la representación simbólica “lim” se debe a

Simón Lhuilier; el símbolo tiende a “Æ” lo implanto J.G. Leathem.

Los procesos generales y las reglas prácticas sencillas del cálculo diferencial se

deben a Newton y Leibniz; sin embargo por más de 150 años el cálculo diferencial

continúa basándose en el concepto de la infinitesimal.

En el siglo XIX se han encontrado bases más firmes y lógicas al margen de lo

infinitamente pequeño.

El cálculo diferencial se ha ido desarrollando a través de los años, consolidándose

como una herramienta técnico-científica que se utiliza en el análisis de procesos

que contienen magnitudes en constante cambio, por ejemplo: la velocidad de las

reacciones químicas, los cambios atmosféricos, los desarrollos sociales y

económicos de las naciones, en la astronomía, la estadística, etc.

A Newton y Leibniz se les llama fundadores del cálculo ya que fueron los primeros

en estudiar el problema geométrico fundamental del cálculo diferencial, que se

denomina: “problema de las tangentes” en el cual hay que hallar las rectas

tangentes a una curva dada

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Cálculo infinitesimal

El cálculo infinitesimal, llamado por brevedad "cálculo", tiene su origen en la

antigua geometría griega. Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos

considerándolos formados por un número infinito de secciones de grosor

infinitesimal (infinitamente pequeño). Eudoxo y Arquímedes utilizaron el "método

de agotamiento" o exhaución para encontrar el área de un círculo con la exactitud

finita requerida mediante el uso de polígonos regulares inscritos de cada vez

mayor número de lados. En el periodo tardío de Grecia, el neoplatónico Pappus de

Alejandría hizo contribuciones sobresalientes en este ámbito. Sin embargo, las

dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas de Zenón de

Elea impidieron formular una teoría sistemática del cálculo en el periodo antiguo.

En el siglo XVII, Cavalieri y Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales,

Descartes y Fermat utilizaron el álgebra para encontrar el área y las tangentes

(integración y Derivación en términos modernos). Fermat y Barrow tenían la

certeza de que ambos cálculos estaban relacionados, aunque fueron Newton

(hacia 1660), en Inglaterra y Leibniz en Alemania (hacia 1670) quienes

demostraron que los problemas del área y la tangente son inversos, lo que se

conoce como teorema fundamental del cálculo.

El descubrimiento de Newton, a partir de su teoría de la gravitación universal, fue

anterior al de Leibniz, pero el retraso en su publicación aún provoca controversias

sobre quién de los dos fue el primero. Newton utilizó el cálculo en mecánica en el

marco de su tratado "Principios matemáticos de filosofía natural", obra científica

por excelencia, llamando a su método de "fluxiones". Leibniz utilizó el cálculo en el

problema de la tangente a una curva en un punto, como límite de aproximaciones

sucesivas, dando un carácter más filosófico a su discurso. Sin embargo, terminó

por adoptarse la notación de Leibniz por su versatilidad.

En el siglo XVIII aumentó considerablemente el número de aplicaciones del

cálculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, así

como la intuición geométrica, causaban todavía confusión y duda sobre sus

fundamentos. De hecho, la noción de límite, central en el estudio del cálculo, era

aun vaga e imprecisa en ese entonces. Uno de sus críticos más notables fue el

filósofo George Berkeley.

En el siglo XIX el trabajo de los analistas matemáticos sustituyeron esas

vaguedades por fundamentos sólidos basados en cantidades finitas: Bolzano y

Cauchy definieron con precisión los conceptos de límite en términos de

épsilon_delta y de derivada, Cauchy y Riemann hicieron lo propio con las

integrales, y Dedekind y Weierstrass con los números reales. Fue el periodo de la

fundamentación del cálculo. Por ejemplo, se supo que las funciones diferenciables

son continuas y que las funciones continuas son integrables, aunque los

recíprocos son falsos. En el siglo XX, el análisis no convencional, legitimó el uso

de los infinitesimales, al mismo tiempo que la aparición de las Computadoras ha

incrementado las aplicaciones y velocidad del cálculo.

Actualmente, el cálculo infinitesimal tiene un doble aspecto: por un lado, se ha

consolidado su carácter disciplinario en la formación de la sociedad culta del

conocimiento, destacando en este ámbito textos propios de la disciplina como el

de Louis Leithold, el de Earl W.

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Swokowski o el de James Stewart entre muchos otros; por otro su desarrollo como

disciplina científica que ha desembocado en ámbitos tan especializados como el

cálculo fraccional, la teoría de funciones analíticas de variable compleja o el

análisis matemático. El éxito del cálculo ha sido extendido con el tiempo a las

ecuaciones diferenciales, al cálculo de vectores, al cálculo de variaciones, al

análisis complejo y a la topología algebraica y la topología diferencial entre

muchas otras ramas.

El desarrollo y uso del cálculo ha tenido efectos muy importantes en casi todas las

áreas de la vida moderna: es fundamento para el cálculo numérico aplicado en

casi todos los campos técnicos y/o científicos cuya principal característica es la

continuidad de sus elementos, en especial en la física. Prácticamente todos los

desarrollos técnicos modernos como la construcción, aviación, transporte,

meteorología, etc. hacen uso del cálculo. Muchas fórmulas algebraicas se usan

hoy en día en balística, calefacción, refrigeración, etc.

Como complemento del cálculo, en relación a sistemas teóricos o físicos cuyos

elementos carecen de continuidad, se ha desarrollado una rama especial conocida

como Matemática discreta.

Máximos y mínimos

Problemas:

1. Diseña un envase cilíndrico con capacidad de 300 cm2de manera que la

cantidad de material usada sea mínima.

SOLUCIÓN

El área de dicha superficie (figura 11.15) es el

área de dos círculos iguales de radio r más la

del rectángulo:

A = 2π𝑟2 + ph

en donde el perímetro p es igual a p r = 2π ,

por lo tanto, sustituyendo en la igualdad

A= 2π𝑟2 + 2πrh

Por otra parte, el volumen del envase es el área del círculo de una de las

tapas por la altura del cilindro:

300 = π𝑟2 h

de donde

h= 300

π𝑟2

sustituyendo el valor de h se obtiene:

A= 2π𝑟2 + 2πrh(300

π𝑟2)

A= 2π𝑟2 +(600𝜋𝑟

π𝑟2 )

A= 2π𝑟2 +(600

r)

que es la función a derivar para obtener el máximo y/o mínimo respecto del

radio r. Derivando se obtiene que:

𝑑𝐴

𝑑𝑥= 2π𝑟2 + 600𝑟−1

𝑑𝐴

𝑑𝑥= = 4πr +

600

𝑟2

Igualando a cero y resolviendo

4πr + 600

𝑟2 = 0

multiplicando toda la igualdad por 𝑟2 para eliminar denominadores

4π𝑟3 – 600 = 0

𝑟3 = 600

4π

r= √600

4𝜋

3

r= 3.627

Aplicando la regla general para saber si este valor crítico es máximo o mínimo, es

decir, dando primero un valor un poco menor y sustituyendo en la derivada; luego

un valor un poco mayor y viendo el cambio de signos de la derivada:

Con un valor un poco menor, por ejemplo con r = 3 y sustituyendo en:

𝑑𝐴

𝑑𝑥=4π(3) +

600

32

𝑑𝐴

𝑑𝑥= -28 96

𝑑𝐴

𝑑𝑥=4π(4) +

600

42

𝑑𝐴

𝑑𝑥= 12. 76

La altura del envase con superficie mínima se obtiene sustituyendo el valor del

radio r en la igualdad:

h= 300

π𝑟2

h= 300

π(3.627)2

h = 7.258 cm

Las dimensiones del envase cilíndrico más económico que pueda contener

300 cm3 de volumen son de r = 3.627 cm y altura h = 7.258 cm.

Tomando ahora un valor un

poco mayor, por ejemplo r = 4

y sustituyendo en la derivada:

Como cambió de menos a

más el signo de la derivada,

significa que en el valor

crítico r = 3.627 cm hay un

mínimo.

2. Un granjero cuenta con 500 m de maya y necesita cercar una zona junto al

río. ¿Qué dimensiones debe darle a la zona cercana para que su área sea

máxima, si el lado que está junto al rio no requiere maya?

y

x x

FÓRMULAS

Se tiene que encontrar la suma de los tres lados del

área que se va a cercar, entonces tenemos que:

2x + y= 500m

X + y = área

Procedimiento

Se encontrará el valor de una de las variables, en éste

caso se encontrará primero el valor de “y”, teniendo

que:

Y= -2x + 500

A= xy

A= x (-2x + 500)

A= -2𝑥2 + 500x

𝑑𝐴

𝑑𝑋=-

−2𝑥2 + 500x

𝑑𝑥

= -4x + 500

-4x+500= 0

-4x= -500

x = −500

−4

y= -2(125) + 500

y= -250 + 500

x= 125

y= 250

Derivada

La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor

de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente.

La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como

el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando

el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más

pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un

punto dado.

Interpretación geométrica de la derivada

Pendiente de la recta Tangente

En geometría plana se llama tangente a la recta que intersecta a una

circunferencia en un punto y solo uno. Dicho punto se llama punto de tangencia y

la tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia.

Esta definición de tangente no es válida para cualquier curva. En la siguiente

imagen se muestra una recta que es tangente a la curva en un punto P pero la

corta en otro punto Q.

La variación de un fenómenos a través del tiempo

Incremento de la variación independiente.

Cuando una variable X pasa por un valor 𝑥1, a un valor 𝑥2 se llama incremento

que se denota por el símbolo ∆ (delta griego), así ᴧx se lee delta de x

Entonces:

∆x= 𝑥2 − 𝑥1

Por tanto:

𝑥2 = 𝑥1 + ∆x

Ejercicios:

1. Si 𝑥1 =3 y 𝑥2= 5 , entonces:

∆x = 𝑥2 − 𝑥1 = 5-3 = 2

Es decir:

𝑥2 = 𝑥1 + ∆x

5 = 3 + 2

2. Si 𝑋1= -1 y 𝑥2= -6, entonces

∆x = 𝑥2 − 𝑥1

= -6- (-1)

= -6 + 1

= -5

Es decir:

𝑥2 = 𝑥1 + ∆x

-6 = -1 + (-5)

-6 = -6

3. Si 𝑥1 = 7 y 𝑥2 = 7, entonces:

∆x = 7 – 7= 0

Por lo que:

𝑥2 = 𝑥1 +∆ x

7 = 7 + 0

Incremento de una función

Si la variable x pasa del valor 𝑥1 al valor 𝑥2 entonces la función y = f(x) pasa de

𝑦1= f(𝑥1) a 𝑦2= f (𝑥2), es decir, al incremento ∆x=𝑥2 − 𝑥1 corresponde un

incremento ∆y=𝑦2 − 𝑦1 = f (𝑥2) – f ( 𝑥1 )

Ejemplos:

1. Sea y = x + 1, halla ∆y cuando x varía de 1

a 5

Solución

∆y = f (5) – f (1)

= (5 + 1) – (1+1)

= 6 -2

= 4

2. Sea y= 1

2 𝑥2 , calcula el ∆y cuándo x varía de 1 a 4

Solución:

∆y = f (4) – f (1)

=[ 1

2 (42) -

1

2 (12) ]

= [ 1

2 (16) -

1

2 (1) ]

= 8 − 1

2

= 7 1

2

3. Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva y= 𝑥2 + 2𝑥 − 3 en el

punto (𝑥1, 𝑦1)

Solución:

Como y = f(x), entonces f(x) = 𝑥1 2 +2𝑥 − 3 dónde:

f (𝑥1) = 𝑥1 2 +2𝑥 − 3

f(𝑥1 + ∆x) = (𝑥1 + ∆x )2 + 2 (𝑥1 +∆ x) – 3

Sustituyendo en la ecuación

m (𝑥1) = lim 𝑓 (𝑥1 + ∆x )− f(𝑥1)

∆x

Efectuando operaciones

m (𝑥1) = lim [ (𝑥1 + ∆x )2+2 (𝑥1 + ∆x )− 3 ]− [ 𝑥2+2𝑥−3 ]

∆x

Quitando paréntesis:

m (𝑥1) = lim (𝑥1 + 2∆𝑥1+ ∆𝑥2 +2 𝑥1 + 2∆x − 3 −( 𝑥2+2𝑥−3 ]

∆x

Reduciendo términos semejantes:

m (𝑥1) = lim 2 𝑥1∆ x+(∆𝑥)2 + 2∆x

∆x

Como ᴧ𝐱 ---> 0, ∆𝐱 ≠ 0, por tanto se puede dividir entre ᴧ𝐱

m (𝑥1) = lim 2 𝑥1 ∆x + (∆𝑥)2 + 2∆x

Tomando el límite:

m (𝑥1) = 2 𝑥1 + 2

La gráfica de la función se ilustra en la siguiente figura.

Para cualquier valor de X su correspondiente valor e y

se obtiene a partir de la ecuación y= 𝑥2 + 2𝑥 − 3,

mientras que el valor de la pendiente se obtiene a

partir de las ecuaciones

m(𝑥1) = 2 𝑥1 + 2

Así para:

𝑎) 𝑥1= -3 y= 𝑥2 + 2𝑥 − 3, m(-3)= 2 (-3) +

2

= 9-6-3 = - 6 + 2

= 0 = - 4

Es decir que cuando x = -3, su ordenada correspondiente es 0 por lo que para el

punto (-3, 0) de la curva la recta tangente en dicho punto tiene pendiente m = -4

a) 𝑥1 = -2 y = (−22) + 2(−2) − 3, m(-2)= 2 (-2) + 2

= 4- 4- 3 = - 4 + 2

= -3 = - 2

De manera que para x= -2, y= -3, o sea que el punto (-2, -3) de la curva recta

tangente en dicho punto tiene pendiente m= -2

b) 𝑥1 = 0 y= 02 + 2(0) − 3, m(0)= 2 (0) + 2

= 1 + 2 - 3 = 2 + 2

= 0 = 4

Entonces, en el punto (1, 0) de la curva, la recta tangente tiene pendiente m= 4

E de particular importancia determinar los puntos de la gráfica tiene una tangente

horizontal, pues ésta tiene pendiente cero. Ichos puntos se obtienen al hacer m

(𝑥1)= 0 y resulver para 𝑥1

En este ejemplo se tiene que:

m (𝑥1)= 2 𝑥1 + 2

Es decir:

m (𝑥1)= 0

0= 2 𝑥1 + 2

De donde:

-2 = 2 𝑥1

−2

2= 𝑥1

-1 = 𝑥1

O bien

𝑥1 = −1

Esto significa que el punto de la curva que tiene su abscisa igual a -1, la

recta tangente es paralela al eje de las x

EJERCICIOS

Máximos y Mínimos

1) Halla dos números cuya suma es 18, sabiendo que el producto de uno por

el cuadrado del otro es máximo

2) Se dispone de una lámina de cartón cuadrada de

12 cm. de lado. Cortando cuadrados iguales en

las esquinas se construye una caja abierta

doblando los laterales. Hallar las dimensiones de

los cuadrados cortados para que el volumen sea

máximo

3) ¿Cuál será la forma rectangular de un campo de área dada

a 36 𝐷𝑚2 para que sea cercado por una valla de longitud

máxima

4) Se quiere cercar un campo rectangular que está junto a

un camino. Se la valla del lado que está junto al camino

cuesta BF. 8 el metro y para los lados BF. 4 el metro,

halla el área del mayor campo que pueda cercarse con

BF. 1440.

5) Una esfera tiene un radio de 6 cm. Hallar la altura del cilindro

de volumen máximo inscrito en ella

6) Para hacer un filtro de laboratorio, se pliega un papel circular.

Si el radio de dicho papel mide 9cm. Calcular la altura del cono

que se forma para que el volumen sea máximo

7) Se dispone de una caja de papel para un cartel que mide 2

c𝑚2. Los márgenes superior e inferior, miden 20 cm cada

uno y los laterales 12 cm cada uno. Hallar las dimensiones

de las hojas, sabiendo que la parte impresa es máxima

8) De todo los triángulos isósceles de 12 metros de perímetro,

hallar el de área máxima

9) En un triángulo isósceles, los lados iguales miden 20 cm

cada uno. Hallar la longitud de la base para que el área

sea máxima

10) Determine las dimensiones del rectángulo

que se puede inscribir en un semicírculo de

radio “a” de manera que dos de sus vértices

estén sobre el diámetro

Variación de un fenómeno a través del tiempo

1. Determina el ∆x cuando x varía de

a) 𝑥1= 2 a 𝑥2 = 7

b) 𝑥1=0 a 𝑥2= -2

c) 𝑥1= -1 a 𝑥2= -1

d) 𝑥1=-3 a 𝑥2= -5

e) 𝑥1= -5 a 𝑥2= -1

2. Para cada función y= f(x) determina ∆𝑦 cuando x toma los valores 𝑥1 y 𝑥2 dados:

a) y= 3x-2, 𝑥1= -1 y x2= 3

b) y= 𝑥2+ 5x, 𝑥1= -5

2 y 𝑥2= -2

c) y= 5- 4x- 𝑥2 , 𝑥1= -3 y 𝑥2= -2

d) y= 2𝑥2, 𝑥1= 0 y 𝑥2= 1

e) y= √𝑥 + 4, 𝑥1= 0 y 𝑥2= 1