Antecedentes históricos del cálculo

Del legado de las matemáticas, el cálculo infinitesimal es, sin duda, la herramienta más potente y eficaz para el estudio de la naturaleza. El cálculo infinitesimal tiene dos caras: diferencial e integral; y un oscuro interior donde, como demonios, moran los infinitos: grandes y pequeños. Los orígenes del cálculo integral se remontan, como no, al mundo griego; concretamente a los cálculos de áreas y volúmenes que Arquímedes realizó en el siglo III a.C. Aunque hubo que esperar mucho tiempo, hasta el siglo XVII, ¡2000 años!, para que apareciera -o mejor, como Platón afirmaría, para que se descubriera- el cálculo. Varias son las causas de semejante retraso. Entre ellas debemos destacar la inexistencia de un sistema de numeración adecuado -en este caso el decimal- así como del desarrollo del álgebra simbólica y la geometría analítica que permitieron el tratamiento algebraico -y no geométrico- de las curvas posibilitando enormemente los cálculos de tangentes, cuadraturas, máximos y mínimos, entre otros. Todo ello ocurrió principalmente en el siglo XVII.

Ya los griegos se habían preocupado de como tratar ese ente tan curioso -como difícil- que es el infinito. Para los griegos el infinito aparece de dos maneras distintas: lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande. Ya se vislumbra de algún modo en la inconmensurabilidad de la diagonal del cuadrado; también, claro está, lo tenemos en la famosa paradoja de Zenón sobre Aquiles y la tortuga, por ello no es de extrañar que alguien intentara regularlos. Ese alguien fue Aristóteles. Lo que hizo fue prohibir el infinito en acto "no es posible que el infinito exista como ser en acto o como una substancia y un principio", escribió, pero añadió "es claro que la negación absoluta del infinito es una hipótesis que conduce a consecuencias imposibles" de manera que el infinito "existe potencialmente [...] es por adición o división". Así, la regulación aristotélica del infinito no permite considerar un segmento como una colección de puntos alineados pero sí permite dividir este segmento por la mitad tantas veces como queramos. Fue Eudoxio, discípulo de Platón y contemporáneo  de Aristóteles quien hizo el primer uso "racional" del infinito en las matemáticas. Eudoxio postuló que "toda magnitud finita puede ser agotada mediante la substracción de una cantidad determinada". Es el famoso principio de Arquímedes que éste toma prestado a Eudoxio y que sirvió a aquél para superar la primera crisis de las Matemáticas -debida al descubrimiento de los irracionales-.

No obstante, fue Arquímedes el precursor del cálculo integral aunque desgraciadamente su método se perdió y por tanto no tuvo ninguna repercusión en el descubrimiento del cálculo -recordemos que su original método "mecánico" donde además

se saltaba la prohibición aristotélica de usar el infinito in acto se perdió y solo fue recuperado en 1906 ... La genial idea del siracusano fue considerar las áreas como una colección -necesariamente infinita- de segmentos. Habrá que esperar 2000 años hasta que otro matemático -en este caso Cavalieri- volviera a usar de esa manera los infinitos. De hecho Leibniz descubrió la clave de su cálculo al ver un trabajo de Pascal donde éste usaba un método semejante.  

      La necesidad de entender obras griegas difíciles como las de Arquímedes tuvo gran influencia en el nacimiento del cálculo. -ya en el siglo XVII se habían recuperado y se dominaban la mayoría de las obras griegas.

También ayudó al surgimiento del cálculo el cambio de actitud en la matemática del siglo XVII quizá influenciada por los grandes descubrimientos de todo tipo -geográficos, científicos, médicos y tecnológicos- que fue el interés de los matemáticos por descubrir más que por dar pruebas rigurosas. Ello potenció sin duda el uso del infinito sin las limitaciones aristotélicas. Y finalmente, el descubrimiento de la Geometría analítica de Descartes y Fermat.

La primera parte del siglo XVII vio el nacimiento de la geometría analítica de Fermat y Descartes. La importancia de este descubrimiento consiste en que la geometría analítica permite el tratamiento algebraico de problemas geométricos, al asignar a las curvas, superficies, etc. fórmulas algebraicas que las describen y permiten su manipulación analítica. De esta forma encontrar tangentes, por ejemplo, se hacía extremadamente sencillo -basta saber calcular las derivadas como ahora sabemos- frente a los engorrosos, y específicos para cada curva,  procedimientos geométricos.

Como ya mencionamos, en el siglo XVII los matemáticos perdieron el miedo  a los infinitos que los griegos les habían tenido: Kepler y Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal. El primer paso importante se debe a Cavalieri -discípulo de Galileo-. Cavalieri considera áreas formadas por segmentos y volúmenes formados por trozos de áreas planas redescubriendo las bases metodológicas del método mecánico -y desconocido en aquella época- de Arquímedes. Cavalieri incluso fue más allá intentando construir una teoría de indivisibles que le permitiera, evitando los infinitos, demostrar rigurosamente sus resultados -cosa que no consiguió ya que el infinito en acto siempre acababa apareciendo en alguna parte-.  Las desventajas de su método de indivisibles -poca generalidad, debilidad lógica, excesivos razonamientos y procedimientos geométricos- fueron rápidamente superados por Torricelli, Fermat, Pascal, Wallis y Roberval. Otro de los protagonistas de nuestra historia es, sin

duda, Grégoire de Saint-Vicent, jesuita discípulo de Clavius. Sus principales aportaciones las publicó en su Opus geometricum. En ella desarrolla un método de integración geométrico, estudia las series geométricas incluyendo diversas aplicaciones de las mismas discutiendo, como no, la conocida aporía de Zenón sobre Aquiles y la tortuga que además resolvía magistralmente argumentando que Zenón no consideró en la persecución de Aquiles que el tiempo formaba una progresión geométrica de razón 1/2 y por tanto tardaba un tiempo finito en alcanzar a la tortuga. Una de las aportaciones más valiosas de Saint-Vicent consistió en su hallazgo de que el área encerrada bajo una hipérbola se expresaba mediante los logaritmos.

Nuestro próximo personaje es John Wallis, miembro fundador de la Royal Society de Londres y editor de obras de Arquímedes que además escribió una Gramática inglesa. Wallis aritmetizó los indivisibles de Cavalieri asignándoles valores numéricos convirtiendo de esta forma el cálculo de áreas -hasta el momento algo meramente geométrico- en cálculos aritméticos más un primitivo proceso de límite haciendo además un uso "descarado" del infinito -a él debemos también el símbolo que usamos actualmente, ese 8 acostado-. Es curiosa la opinión que él mismo profesaba de sus métodos: "Este procedimiento es altamente heterodoxo, pero puede verificarse mediante el bien conocido método de figuras inscritas y circunscritas, lo que es superfluo, porque la frecuente iteración produce náuseas al lector. Cualquier ducho en la materia puede realizar la prueba", escribió en su Arithmetica infinitorum. Usando su método aritmético, la inducción incompleta,  y su intuición llegó a calcular el área de todas las parábolas generalizadas x ^ r con r racional excluyendo al 1, además de una bellísima fórmula para calcular Pi.

El trabajo de Wallis influyó enormemente en Newton quien aseguró que el desarrollo del binomio y otras ideas iniciales sobre el cálculo se originaron en su estudio del libro de Wallis en la época de estudiante en Cambridge.

El mismo Wallis propone una genealogía del cálculo:

Método de exhausión (Arquímedes)

Método de los indivisibles (Cavalieri)

Aritmética de los infinitos (Wallis)

Métodos de las series infinitas (Newton)

Dediquemos algún tiempo a comentar los métodos infinitesimales relacionados con el cálculo de tangentes, que junto al de áreas constituyeron la base del cálculo. En la parte central del siglo XVII, las cantidades infinitesimales, los

fantasmas de cantidades desaparecidas, como alguien las llamó en el siglo XVIII, fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes, etc.; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral.  Como hemos mencionado Saint Vincent, Pascal, Wallis, ... siguieron los pasos de Kepler y Cavalieri; además de los infinitésimos cada vez se usaban más fórmulas y menos dibujos: la geometría analítica cumplía su función de puente entre la geometría y el análisis. Si Isaac Barrow, el maestro de Newton en Cambridge la hubiera estudiado bien, podría haber arrebatado a su discípulo el descubrimiento del cálculo. En efecto, la geometría analítica amplió considerablemente el horizonte de las curvas geométricas. Este incremento de nuevas curvas hizo imprescindible el desarrollar nuevos métodos para calcular tangentes.  Uno de ellos fue el método de adigualdades de Pierre Fermat que servía además para calcular máximos y mínimos. Esto unido a sus trabajos sobre cuadraturas le hacen merecedor a un puesto de honor como precursor del cálculo. Newton, en una carta descubierta en 1934, escribió en relación con sus ideas para el desarrollo del cálculo: "La indicación me la dio el método de Fermat para las tangentes. Aplicándolo a las ecuaciones abstractas directa e inversamente, yo lo hice general".

Relacionado con los problemas de tangentes surgió a mediados del S.XVII el llamado problema inverso de tangentes, es decir, deducir una curva a partir de las propiedades de sus tangentes. El primero en plantear un problema de este tipo fue Florimond de Beaune, discípulo de Descartes, quien planteó, entre otros, el problema de encontrar la curva con subtangente constante. El propio Descartes lo intentó sin éxito siendo Leibniz el primero en resolverlo en la primera publicación de la "historia sobre el cálculo infinitesimal". De hecho un elemento esencial para el descubrimiento del cálculo fue el reconocimiento de que el problema de las tangentes y las cuadraturas eran problemas inversos; es por eso que la relación inversa entre la derivación y la integración es lo que hoy llamamos Teorema fundamental del cálculo.

Newton en su célebre frase "Si he llegado a ver más lejos que otros es por que me subí en hombros de gigantes" se refiere entre otros a su maestro y mentor Isaac Barrow. Barrow fue probablemente el científico que estuvo más cerca de descubrir el cálculo. Llegó a las matemáticas en su afán de comprender la teología -de hecho se marchó de su cátedra en Cambridge, cediéndosela a Newton para continuar sus estudios teológicos-. En la lección X de su obra Letiones opticae & geometricae Barrow demuestra su versión geométrica del Teorema fundamental del cálculo.

En el último cuarto del siglo XVII, Newton  y Leibniz, de manera independiente, sintetizaron de la maraña de métodos infinitesimales usados por sus predecesores dos conceptos, los que hoy llamamos la derivada y la integral, desarrollaron unas reglas para manipular la derivada -reglas de derivación- y mostraron que ambos conceptos eran inversos- Teorema fundamental del cálculo-: acababa de nacer el cálculo infinitesimal. Para resolver todos los problemas de cuadraturas, máximos y mínimos, tangentes, centros de gravedad, etc. que habían ocupado a sus predecesores bastaba echar a andar estos dos conceptos mediante sus correspondientes reglas de cálculo.

El primero en descubrirlo fue Newton, pero su fobia por publicar le hizo guardar casi en secreto su descubrimiento. Newton gestó el cálculo en sus anni mirabilis (1665-1666) cuando se refugiaba en su casa materna de la epidemia de peste que asolaba Inglaterra. De hecho su primera obra  sobre el cálculo, De analyse per aequationes numero terminorum infinitas -que le valió la cátedra lucasiana que dejó su maestro Barrow- fue finalizada en 1669 aunque sólo la publicó en 1711. La segunda obra de Newton sobre el cálculo fue escrita dos años más tarde en 1671 pero esperaría hasta 1737 para ver la luz !diez años después de su muerte y 66 después de escrita!. Se trata de De methodis serierum et fluxionum.  En ella Newton describe sus conceptos de fluente -es una variable en función del tiempo- y fluxión de la fluente -la derivada respecto al tiempo de la fluente- como entidades propias, con unas reglas algorítmicas de fácil uso que luego usará para resolver distintos problemas de máximos y mínimos, tangentes, cuadraturas -en relación a este último, estableció el ya mencionado Teorema fundamental del cálculo-. Para demostrar la potencia de su cálculo Newton se dedica en unas "pocas" páginas a resolver todos los problemas de cálculo de tangentes, áreas, etc que habían ocupado a sus predecesores.  Una pregunta que casi inmediatamente aflora en la mente es ¿por qué Newton tardó tanto en publicar sus resultados? A parte de su peculiar personalidad y las distintas disputas que tuvo con muchos de sus contemporáneos, Newton era consciente de la débil fundamentación lógica de su método de cálculo de fluxiones -no obstante siempre hubo copias de sus trabajos circulando entre sus amigos-. Este temor también está patente en su obra cumbre: Los Principia, donde optó por un lenguaje geométrico más riguroso -y oscuro- eliminando todo indicio de su cálculo que probablemente usó -se puede encontrar una única mención del mismo en el lema II de la sección II del libro II: la regla para derivar productos-.

Leibniz, más conocido como filósofo, fue el otro inventor del cálculo. Su descubrimiento fue posterior al de Newton, aunque Leibniz fue el primero en publicar el invento. Lo hizo además usando una vía ciertamente novedosa en aquella época: para

facilitar la difusión de sus resultados los publicó en una de las recién creadas revistas científico filosóficas, el Acta Eroditorum, que el mismo había ayudado a fundar -eran ciertamente momentos importantes para la ciencia donde empezaron a aparecer las revistas científicas que permitirían luego y hasta nuestro días la difusión del conocimiento y los descubrimientos científicos-. Durante una estancia en París -ya que era un afamado diplomático- Leibniz conoce a Huygens quien le induce a estudiar matemáticas. En 1673, luego de estudiar los tratados de Pascal, Leibniz se convence que los problemas inversos de tangentes y los de cuadraturas eran equivalentes. Alejándose de estos problemas, a partir de sumas y diferencias de sucesiones comienza a desarrollar toda una teoría de sumas y diferencias infinitesimales que acabarían en la gestación de su cálculo por el año 1680 y a diferencia de Newton si lo publica en las mencionadas Actas con el título "Un nuevo método para los máximos y los mínimos, así como para las tangentes, que no se detiene ante cantidades fraccionarias o irracionales, y es un singular género de cálculo para estos problemas". En este artículo de 6 páginas -e incomprensible como él mismo luego reconoce- Leibniz recoge de manera esquemática sin demostraciones y sin ejemplos su cálculo diferencial -"un enigma más que una explicación" dijeron de él los hermanos Bernoulli. También Leibniz resuelve el ya mencionado problema de De Beaune encontrando que la solución era el logaritmo. El siguiente artículo de Leibniz se llamó "Sobre una geometría altamente oculta y el análisis de los indivisibles e infinitos", también publicado en las Actas Eroditorum en 1686. En él aparece por primera vez la notación para la integral que todavía hoy usamos -en el primero introduce la notación "dx" para la diferencial-.

Como colofón a estas páginas dedicaremos unas líneas a tratar la mayor de todas las disputas que ha conocido la ciencia: la prioridad de la invención del cálculo. Las suspicacias entre Newton y Leibniz y sus respectivos seguidores, primero sobre quién había descubierto antes el cálculo y, después, sobre si uno lo había copiado del otro, acabaron estallando en un conflicto de prioridad que amargó los últimos años de ambos genios. Para comenzar diremos que la disputa fue evitable pues los métodos de ambos genios tienen importantes diferencias conceptuales que indican claramente la génesis independiente de los mismos. Newton consideraba las curvas generadas por el movimiento continuo de un punto basándose su cálculo diferencial en la medida de la variación de la misma -de su fluir- mientras que Leibniz consideraba una curva como formada por segmentos de longitud infinitesimal cuya prolongación generaba la tangente en cada punto y de cuya geometría se obtiene la correspondiente relación entre las diferenciales. Incluso la fundamentación de ambos métodos es totalmente

distinta. Si el de Newton fue resuelto totalmente mediante el concepto de límite, el de Leibniz tuvo que esperar hasta la década 1960-70 hasta la aparición del Análisis no estándard de Abrahan Robinson.

La polémica en cuestión se fraguó a finales del siglo XVII: por un lado Leibniz no había hecho ninguna alusión al cálculo infinitesimal de Newton -que el mismo Newton le había indicado que existía en sus Epistolae : Expistola prior  y posterior, sendas cartas dirigidas a Leibniz. En ambas Newton explica muy someramente -básicamente se centra en el teorema del binomio- su método de cálculo.- Además en Holanda -como le aseguró Wallis a Newton- se atribuía el cálculo a Leibniz, eso sin contar que los discípulos de Leibniz habían publicado el primer libro sobre el cálculo: el Analyse des infiniment petits que redactó el Marquéz de L'Hospital a partir de las clases particulares que le dio Juan Bernoulli.

La respuesta de los seguidores de Newton no se hace esperar. Primero el propio Newton hace publicar en el tercer volumen de las obras matemáticas de Wallis la correspondencia cursada con Leibniz, las Epistolas prior y posterior donde éste pedía a Newton le enviase resultados sobre series, luego Fatio de Duillier, amigo de Newton, acusa a Leibniz de haber plagiado a Newton y como no, en su ya mencionada De quadratura curvarum, Newton alega "En una carta escrita al Sr. Leibniz en 1676 y publicada por Wallis, mencionaba un método por el cual había encontrado algunos teoremas generales acerca de la cuadratura de figuras curvilíneas [...] Hace años presté un manuscrito conteniendo tales teoremas; y habiéndome encontrado desde entonces con varias cosas copiadas de él, lo hago público en esta ocasión". La respuesta de Leibniz no se hizo esperar.

En una reseña del De quadratura curvarum, publicada anónimamente -aunque era fácil reconocer a su autor: Leibniz - en 1705 en las Actas se dice "Para entender mejor este libro los siguientes hechos deben ser conocidos. Cuando una cantidad varía continuamente como, por ejemplo, una línea varía por el fluir de un punto que la describe, aquellos incrementos momentáneos son llamados diferencias [...] Y por tanto ha aparecido el cálculo diferencial y su converso, el cálculo sumatorio. Los elementos de este cálculo han sido publicados por su inventor el Dr. Gottfried Wilhelm Leibniz en estas Actas, y sus varios usos han sido mostrados por él y por los Drs. y hermanos Bernoulli y por el Dr. Marquéz de L'Hospital. En vez de las diferencias leibnizianas, el Dr. Newton empleó, y ha empleado siempre, fluxiones". Esta reseña fue el detonante del mayor ataque contra Leibniz desde las Philosophical Transactions firmado por John Keill quien acusa abiertamente a Leibniz de plagio. Tras la protesta de Leibniz la Royal Society

nombra una comisión -que resultó estar plagada de amigos de Newton - que luego de varias deliberaciones dictaminó que Newton fue el primero y no acusó a Leibniz - aunque tampoco rectificó las duras palabras de Keill-. Esta absurda guerra duró hasta principios del siglo XIX cuando finalmente los matemáticos ingleses deciden adoptar la notación leibniziana, que hasta el momento habían ignorado.

Como apéndice a nuestra exposición vamos a relatar, a modo de realzar la gran potencia del cálculo, uno de los problemas que se resolvió gracias a la nueva herramienta descubierta por Newton y Leibniz: el problema de la braquistocrona. El problema consistía en determinar la curva por la que un cuerpo desciende en el menor tiempo posible entre dos puntos que no estén en posición vertical u horizontal. Este problema ya interesó en su día a Galileo aunque éste fue incapaz de resolverlo -lo cual no es raro pues para ello se precisaba del cálculo-. La historia es como sigue. En el número de junio de 1696 de las Actas Eroditorum, Juan Bernoulli lanzó un reto a los mejores matemáticos del mundo. En realidad era un reto encubierto a Newton. Al cabo del año -el plazo original fue de seis meses pero a petición de Leibniz se amplió para que tuvieran tiempo los matemáticos franceses e italianos que se habían enterado tarde- aparecieron cinco soluciones: una de Leibniz,  una del mismo Juan Bernoulli, otra de su hermano Jacobo Bernoulli, una del Marquéz de L'Hospital y una anónima. Todas, excepto la de L'Hospital daban con la solución: la cicloide. ¿Quién era ese autor anónimo que escogió las Philosophical Transactions para publicar su genial solución que sólo contenía 67 palabras?. Un vistazo a la solución fue suficiente para que Juan Bernoulli exclamara "tanquam ex ungue leonen", algo así como "¡reconozco al león por sus garras!" pues claro está que era Newton. Años más tarde se aclaró toda la historia. Como ya dijimos el reto estaba dirigido a los matemáticos ingleses y a Newton en particular justo en el momento en que comenzaba la polémica sobre la prioridad para ver si el cálculo de Newton era tan bueno y poderoso para resolverlo. Además, en una carta de Leibniz a Juan Bernoulli éste conjetura que sólo quien conozca el cálculo podrá resolverlo -Newton entre ellos claro está-.

Como no podía ser de otra forma el reto llegó a Newton aunque por aquel entonces ya no "hacía ciencia" sino que trabajaba en la Casa de la Moneda inglesa. Según cuenta la sobrina de Newton, este recibió el problema a las 4 de la tarde cuando regresó cansado de la Casa de la Moneda y tenía lista su solución 12 horas después -aunque lo que probablemente no sabía la sobrina era que Newton ya había pensado en ese problema unos años antes y que casi seguro lo había resuelto por lo que sólo tuvo que refrescar la memoria ese día-. Nuevamente aparece la misma pregunta: Si Newton ya había

resuelto el problema ¿por qué no lo publicó? Como respuesta final a esta pregunta tomaremos la que dió Augusto de Morgan "Cada descubrimiento de Newton tenía dos aspectos. Newton tuvo que hacerlo y, luego, los demás teníamos que descubrir que él lo había hecho".

La creación de la teoría matemática que hoy llamamos calculo diferencial e integral o simplemente calculo, se atribuye principalmente a Issac Newton y a Wilheelm von Gottfried Leibniz, ambos hombres de ciencia y filósofos. El calculo se desarrollo simultáneamente y en intima relación con la cinemática, que es la parte de la física que se dedica al estudio del movimiento de los cuerpos. Los conceptos físicos de distancia, tiempo, velocidad y aceleración y las relaciones entre ellos son la fuente del cálculo.

SIR ISAAC NEWTON.

Newton nació en el pueblecito de Woolsthorpe, Inglaterra, en 1642. Su madre se encargaba de una granja que su esposo había dejado al morir dos meses antes de que Isaac naciera. Fue educado en escuela de bajo nivel educativo y no mostró ningún rasgo excepcional en su juventud, excepto un interés en aparatos mecánicos. Con cierta deficiencia en geometría, pasó el examen de admisión del Trinity College en la universidad de Cambridge en 1661. Recibió poco estímulo de sus profesores excepto quizás de Isaac Barrow, así que estudio por su cuenta la geometría de Descartes los trabajos de Copérnico, Kepler, Galileo, Wallis y Barrow. Al terminar sus estudios se cerró la universidad debido a la peste que se había extendido mucho en esa área. Newton salió de Cambridge y paso los años de 1665 y 1666 en su casa en Woolsthorpe. Allí inicio sus grandes trabajos de mecánica, matemáticas y óptica. En esta época se dio cuenta que la ley del cuadrado inverso por la gravitación, una ley ya sugerida por Kepler y otros desde 1912 era la clave para una ciencia general de la mecánica. Obtuvo un método general para tratar los problemas del calculo y con experimentos con la luz hizo experimentos importantísimos como el que la luz solar esta compuesta en realidad por todos los colores, desde el violeta hasta el rojo. Estos dos años de 1665 y 1666 fueron la época mayor inventiva de Newton.Newton no dijo nada de esos descubrimientos. En 1667 regresó a Cambridge a obtener una maestría y después un puesto en el Trinity College. En 1669 Issac Barrow renunció y Newton fue nombrado en su lugar como profesor de matemáticas. No parece ser sido un buen maestro y solo Barrow y Edmond Halley, reconocieron la originalidad del material que Newton presentaba en sus conferencias. Newton tenia temor de ser criticado y no publico en un principio sus

descubrimientos. Cuando en 1672 publico sus ideas sobre la luz Hooke y Huygens lo criticaron fuertemente y este influyo tanto en Newton que decidió no publicar nada en el futuro. Sin embargo, en 1675 publico otro trabajo que contiene a su teoría corpuscural de la luz. También este trabajo le trajo fuertes criticas. A pesar de todo Newton publicó varios artículos y libros como Principia, la óptica y su Aritmética Universalis.A partir de 1665 aplico la ley de la gravitación al movimiento planetario. En esta área Hooke y Huygens lo influyeron mucho. En 1684 su amigo Halley insistió que publicara sus trabajos pero además de su desagrado de publicar, a Newton le faltaba una demostración de que la atracción gravitacional ejercida por una esfera sólida actúa como si la masa de la esfera estuviera concentrada en el centro. Antes de 1685 creía que eso era falso pero en ese año encontró una demostración de que era cierto y entonces acepto publicar su trabajo.Halley ayudó a Newton en el trabajo editorial y pago la publicación. En 1687 apareció por fin la primera edición de “Philosophiae Naturalis Principia Matemática”. Aunque el libro trajo mucha fama a Newton era muy difícil de entender.En la química Newton tenia ideas muy avanzadas para su época. Pensaba que las propiedades físicas y químicas de los cuerpos podrían explicarse en términos del tamaño la forma y el movimiento de unas partículas mínimas que constituían a la materia. Newton también trabajó en hidrostática e hidrodinámica. Experimento con el amortiguamiento del péndulo en varios medios, la caída de esferas en aire y agua y el flujo de agua en chorros. Como la mayoría de los hombres de esa época, Newton fabricaba su propio equipo. Construyo los telescopios reflectores haciendo desde la aleación para el marco de ellos hasta puliendo el mismo los lentes. Después de servir como profesor durante 35 años Newton se deprimió mucho y sufrió una crisis nerviosa. decidió abandonar la investigación y en 1695 acepto un puesto de guardia en la British Mint de Londres, la casa donde se acuñaba la moneda. Durante los 27 años que trabajo en la casa de moneda excepto por algunos problemas ocasionales no hizo investigación. En 1703 fue nombrado presidente de la Royal Society y conservo ese cargo hasta su muerte en 1727. fue hecho caballero (Sir) en 1705.

RENÉ DESCARTES.

Fue el primer gran filósofo moderno, fundador de la biología, un físico de primera magnitud y, sólo incidentalmente un matemático. Sin embargo, cuando un hombre con su poder intelectual dedica parte de su tiempo a un tema, su trabajo no puede sino ser significativo.

Nació en La Haya en Touraine el 31 de marzo de 1596. su padre, un abogado medianamente rico, lo mandó a una escuela jesuita a la edad de ocho años. Le permitían pasar las mañanas en la cama debido a su delicada salud y durante esas horas trabajaba. Continuo con esta costumbre por el resto de su vida. A los diecisiete años salió de la escuela jesuita y se graduó a los veinte en la universidad de Poitiers como abogado. Después de eso se fue a Paris. Allí estudio matemáticas en Mydorge y con el padre Marin Marsenne durante un año.Pero Descartes se volvió inquieto y se enlisto en el ejercito del príncipe Maurice de Orange en 1617. Durante los siguientes nueve años alternaba el servicio en diversos ejércitos con las parrandas en Paris, pero durante ese periodo continuo sus estudios de matemáticas. Su habilidad para resolver problemas (en particular unos que ponían en un mural de anuncios en Brenda, Holanda) lo convenció de que tenia cierta capacidad para las matemáticas y se puso a pensar seriamente en el tema. Regreso a Paris y, estando entusiasmado con el poder del telescopio, se encerró a estudiar la teoría y la construcción de instrumentos ópticos. En 1628 se mudó a Holanda para propiciarse una vida más calmada y una atmósfera intelectual más libre. Allí vivió por veinte años y escribió sus famosas obras. En 1649 fue invitado a instruir a la reina Cristina de Suecia. Tentado por el honor y el esplendor de la realeza, aceptó. Murió allí de pulmonía en 1650.La filosofía de la ciencia expresada por descartes en sus obras (El discurso del Método, La Geometría, Principia Philosophiae, etc) dominaron el siglo XVII. Solo la iglesia lo rechazo. Descartes era devoto y creyente pero no pensaba que la Biblia era fuente de conocimiento científico.

PIERRE DE FERMAT. (1601-1665)

Miembro de una familia de comerciantes, fue educado como abogado en la ciudad francesa de Toulouse y se ganaba la vida ejerciendo esta profesión. Aunque las matemáticas eran un pasatiempo para Fermat y solo podía dedicarles sus ratos libres, hizo contribuciones de primera magnitud a la teoría de números y al calculo; fue uno de los dos creadores de la geometría de coordenadas (o geometría analítica) y, junto con Pascal, inicio los trabajos sobre la probabilidad. Como todos los matemáticos de su siglo, laboró en problemas científicos fuera de las matemáticas y logró hacer contribuciones duraderas en el campo de la óptica. Ejemplo sobresaliente de esto es el principio de Fermat del mínimo tiempo (en el

fascículo 3 se aplica este principio para estudiar la refracción de la luz).Fermat es conocido principalmente por que en una anotación que hizo en el margen de un libro que estaba leyendo, escribió que había descubierto una maravillosa demostración de que para n > 2 no había soluciones x, y, z enteras de la ecuación.

Pero que no tenía espacio para escribir tal demostración allí. Nunca se encontró una demostración de Fermat de este resultado que se conoce como el “último teorema de Fermat”. Muchos matemáticos han tratado de demostrarlo y no han podido. Tampoco nunca nadie ha podido probar que es falso.

GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646-1716)Y LOS INFINITAMENTE PEQUEÑOS.

Leibniz se conoce como uno de los creadores del calculo. El papel que jugo en la creación del calculo fue complementario al de su contemporáneo Isaac Newton. Antes de 1672, Leibniz había escrito una tesis sobre el arte de las combinaciones y había inventado una maquina calculadora, pero fue en esta fecha cuando su interés en las matemáticas llegó a su madures debido a un viaje que hizo a Paris que lo puso en contacto con varios matemáticos y científicos, Huygens entre ellos. En 1673 fue a Londres donde conoció a otros matemáticos y leyó a Descartes y a Pascal.Leibniz fue un hombre con muchos intereses. Fue diplomático, filosofo, abogado, historiador, filólogo y geólogo. Hizo trabajos importantes en lógica, mecánica, óptica, matemática, ciencias náuticas y maquinas calculadoras. Aunque su profesión era la jurisprudencia se le conoce más por sus trabajos en filosofía y en matemáticas.Leibniz publicó trabajos sobre el calculo desde 1684. sin embargo, muchos de sus resultados se encuentran en unas notas comenzadas en 1673 pero que nunca fueron publicadas por el. En 1714 escribió para el “ Historia et Origo Calculi Diffentialis”, libro con el que expone el desarrollo de sus propias ideas respecto del calculo. Sin embargo, este libro fue escrito muchos años después de que el trabajo había hecho y quizás por la debilidad de la memoria, la exposición no es muy correcta. Como su propósito al escribirlo era defenderse de una acusación de plagio, pudo haber distorsionado inconscientemente su relato del origen de las ideas.Independientemente de todo esto, la notación que Leibniz introdujo para él calculo fue de gran valor durante la etapa en que este se desarrollo. El uso de los infinitivamente pequeños

o infinitesimales, aunque falto el rigor, fue muy útil en las aplicaciones del calculo.Las ideas de Leibniz acerca de los infinitesimales provocaron una delas controversias más grandes en la historia de las matemáticas. A fines del siglo pasado los infinitesimales se desprestigiaron mucho pues no resistieron los requisitos de rigor de la época. Mediante los trabajos de Cauchy y principalmente Weierstrass, se fundamento el calculo en las teorías de limites y de los números reales. Con esto, los infinitesimales “murieron”. Según los matemáticos de la época, los infinitesimales no excitan y además él calculo podía estudiarse sin hacer referencia a ellos. Sin embargo, los infinitesimales se siguió utilizando principalmente por ingenieros no muy al corriente de los últimos avances de las matemáticas, pero su uso fue decayendo asta casi desaparecer. Alrededor de 1962, Abrahán Robinsón, un lógico – matemático estadounidense reviva el concepto de infinitesimal logrando probar que es posible considerar a los infinitesimales como números que realmente existen y que es también posible definir la derivada como un cociente de infinitesimales y la integral como una suma infinita de infinitesimales. Esta nueva presentación del calculo se llama “Análisis no estándar” y aunque esta fuera del alcance de estos fascículos, el lector interesado podrá consultar el libro de J.Kiesler Elementary Calculus del editorial Prindle, Weber y Smith, Boston 1976 y también el articulo del Scientific American de junio de 1972 llamado “Nonstandard análisis “ por Martín Davis y Reuben Hersh.

GALILEO GALILEI

La filosofía de la ciencia de Galileo Galilei coincidía en gran parte con la de Descartes, pero fue Galileo quien formuló los procedimientos concretos de la ciencia moderna y quien, a través de su propio trabajo, demostró su efectividad.Galileo (1564-1642), nació en Pisa, Italia, hijo de un comerciante en telas. Estudió medicina en la Universidad de Pisa. Aprendió matemáticas en forma privada con un ingeniero práctico y a los diecisiete años se cambió de medicina a matemáticas. Después de ocho años de estudios trató de conseguir un puesto de profesor en la Universidad de Boloña pero fue rechazado por no haberse distinguido lo suficiente; consiguió un puesto en la Universidad de Pisa. Allí comenzó a atacar la ciencia aristotélica y no dejaba de expresar sus opiniones aunque eso lo alejara de sus colegas. Había también comenzado a escribir trabajos importantes de matemáticas que provocaron celos de parte de los que eran menos competentes que él. A Galileo le hicieron sentir incómodo en Pisa y en 1592 se cambió a la Universidad de Padua. Allí

escribió un libro pequeño, Le mecaniche (1604). Después de ocho años fue invitado a Florencia por el gran duque Cósimo II de Medici, quien lo nombró matemático jefe de su corte, le dio un hogar y un buen salario y lo protegió de los jesuitas quienes dominaban el papado y ya lo habían amenazado por defender las teorías de Copérnico. En Florencia, Galileo encontró libertad para proseguir sus estudios y escribir. Su simpatía por la teoría de Copérnico irritó a la Inquisición romana y en 1616 fue llamado a Roma. Sus enseñanzas sobre la teoría heliocéntrica fueron condenadas por la Inquisición, tuvo que prometer no publicar nada más sobre tema. En 1630 el papa Urbano VIII le dio permiso para publicar con la condición de que hiciera su libro de carácter matemático y no doctrinal. En 1632 publicó su famoso y clásico Diálogo sobre los grandes sistemas del mundo. La Inquisición romana lo mandó llamar de nuevo en 1633 y bajo la amenaza de torturarlo lo obligó a retractarse públicamente de su convicción acerca de la teoría heliocéntrica. Se le volvió a prohibir publicar y se le obligó a vivir prácticamente bajo arresto domiciliario pero él se puso a escribir sus pensamientos de todos esos años sobre el fenómeno del movimiento y la resistencia de los materiales. Su manuscrito titulado Discursos y demostraciones matemáticas concernientes a dos nuevas ciencias fue transportado en secreto a Holanda y publicado allí en 1638. Este es el libro clásico en que Galileo presentó su nuevo método científico.

En 1610 Galileo expresó lo siguiente:

La filosofía (la naturaleza) está escrita en ese gran libro que siempre está abierto frente a nuestros ojos –quiero decir el universo- pero no podemos entenderlo si no aprendemos primero el lenguaje y captamos los símbolos en que está escrito. El libro está escrito en el lenguaje matemático y los símbolos son triángulos, círculos y otras figuras geométricas sin cuya ayuda es imposible comprender una sola palabra de él; sin lo cual uno vaga en vano a través de un laberinto obscuro.

Doctrina de Galileo

La naturaleza es simple y ordenada y su comportamiento es regular y necesario. Actúa de acuerdo con leyes matemáticas perfectas e inmutables. La razón divina es la fuente de lo racional en la naturaleza; Dios puso en el mundo esa necesidad rigorosa matemática que los hombres alcanzan sólo laboriosamente. El conocimiento matemático, por lo tanto, no

es sólo verdad absoluta sino tan sacrosanta como cualquier línea de las Escrituras. De hecho es superior porque hay mucho desacuerdo acerca de las Escrituras pero no puede haberlo respecto a las verdades matemáticas.

ISAAC BARROW

(Londres, 1630 - id., 4 de mayo,1677) fue un teólogo, profesor y matemático inglés al que históricamente se le ha dado menos mérito en su papel en el desarrollo del cálculo moderno. En concreto, en su trabajo respecto a la tangente; por ejemplo, Barrow es famoso por haber sido el primero en calcular las tangentes en la curva de Kappa. Isaac Newton fue discípulo de Barrow.

Barrow empezó el colegio en Charterhouse (donde era tan agresivo y combativo que se cuenta que su padre rezaba a Dios para pedirle que, si algún día tuviera que llevarse a alguno de sus hijos, se llevara a Isaac). Completó su educación en el Trinity College, Cambridge, donde su tío y tocayo (más tarde obispo de St. Asaph), era Miembro de la Junta de Gobierno del colegio. Fue muy estudioso, sobresaliendo especialmente en matemáticas; tras graduarse en 1648, le fue concedida un puesto de investigación en 1649. Residió unos cuantos años en Cambridge, y le fue ofrecido un puesto de profesor de Griego en Cambridge, pero en 1655 fue expulsado debido a la persecución a la que era sometido por los independientes. Los siguientes cuatro años estuvo viajando por Francia, Italia e incluso Constantinopla, y tras varias aventuras regresó a Inglaterra en 1659. Fue ordenado al año siguiente, así como nombrado profesor Regius de griego en Cambridge. En 1662 fue profesor de Geometría en el Gresham College, y en 1663 fue elegido para ocupar la cátedra Lucasiana en Cambridge. Mientras ocupaba esta cátedra publicó dos trabajos matemáticos de gran aprendizaje y elegancia, el primero de ellos en Geometría y el segundo en Óptica. En 1669 dejó la cátedra en favor de su pupilo, Isaac Newton, quien fue considerado durante mucho tiempo el único matemático inglés que le ha superado. Durante este tiempo también escribió sus Expositions of the Creed, The Lord's Prayer, Decalogue, and Sacraments. El resto de su vida fue muy devota pues se dedicó al estudio de la teología. En 1672 fue director del Trinity College, donde fundó una biblioteca, que regentó hasta su muerte en Cambridge en 1677.

Además de los trabajos ya mencionados, escribió otros importantes tratados en matemáticas, pero en la literatura se dedicó especialmente a escribir sermones, que fueron obras

maestras de argumentaciones elocuentes, donde su tratado Pope's Supremacy es considerado como uno de los tratados de controversia más perfectos que existen. Barrow como hombre fue en todos los aspectos digno de sus grandes talentos, aunque tuvo una gran vena excéntrica. Murió sin casarse en Londres a la temprana edad de 47 años.

Ha sido descrito como "bajo de estatura, flaco y de pálido aspecto", despreocupado en sus vestimentas y un empedernido fumador. Fue notoria su fuerza y valentía, y se cuenta que una vez cuando viajaba hacia el Este logró esquivar el ataque de unos piratas gracias a su destreza. Su predisposición e ingenio le hicieron favorito de Charles II, quien indujo a sus cortesanos a respetarle aunque no le mostraran aprecio. Escribía muy a menudo y con algo de majestuosa elocuencia, y con su intachable vida y su escrupulosa conciencia fue uno de los personajes más impresionantes de su tiempo.

Su primer trabajo fue una edición completa de los Elementos de Euclídes, que fue editado en latín en 1655 y posteriormente en inglés en 1660; en 1657 publicó una edición de Datos. Sus lecturas, publicadas en 1664, 1665 y 1666, fueron más tarde publicadas en 1683 bajo el título de Lecciones Matemáticas (en latín Lectiones Mathematicae); la mayoría hablan de fundamentos de metafísica para verdades matemáticas. Sus lecturas de 1667 fueron publicadas el mismo año, y hablan del análisis sobre cómo Arquímedes pudo llegar a los resultados que obtuvo. En 1669 publicó sus Lectiones Opticae et Geometricae. Se dice en el prefacio que el propio Newton revisó y corrigió personalmente estas lecturas, añadiendo ideas propias, pero parece probable que los comentarios de Newton sólo se refirieron a aquellas partes que hablan de los tratados de óptica. Este trabajo, que es su trabajo más importante en matemáticas, volvió a ser publicado con algunas pequeñas modificaciones en 1674. En 1675 publicó una nueva edición con numerosos comentarios de los primeros cuatro libros de On Conic Sections de Apolonio de Pérgamo, y de otros trabajos de Arquímedes y de Teodosio.

GEORG FRIEDRICH BERNHARD RIEMANN (1826-1866). Gran matemático alemán. Realizó numerosas contribuciones a varias ramas de las matemáticas, siendo las más conocidas en Geometría no Euclídea, ecuaciones diferenciales y teoría de números. Sus hallazgos fueron fundamentales para el desarrollo posterior de la Teoría Especial de la Relatividad de Einstein.

Cuando hemos hablado del Cálculo como rama de las matemáticas, hemos mencionado varios de los problemas que dieron lugar a su origen y desarrollo. Uno de ellos es el problema del área de una región plana. A lo largo de estas páginas pretendo introducir el concepto de integral definida como instrumento fundamental para el cálculo de dicha área. Comenzaremos con el concepto de sumatorio y la notación sigma Σ (debe su nombre a la letra griega con la que se representa) para expresar estos sumatorios.

Por ejemplo si queremos expresar la suma de los primeros diez números naturales podemos hacerlo así en notación sigma:

La letra i recibe el nombre de índice de suma, los números 1 y 10 son los límites inferior y superior de la suma y tienen que cumplir que:

límite inferior <= límite superior

JHON WALLIS

Matemático inglés. Estudió medicina y filosofía en Cambridge, siendo ordenado sacerdote en 1640. Fundador de la Royal Society de Londres. Su mérito más trascendental reside en haber establecido claramente la noción de límite en la forma rigurosa hoy vigente. Gran parte de la obra de Wallis en Cálculo precedió a Newton y Leibniz, sobre quienes ejerció una notable influencia. 

Su obra "Arithmetica Infinitorum" (1655) lo llevó a la fama. A lo largo de sus páginas abordaba cuestiones tales como las series, la teoría de los números, las cónicas, los infinitos... A Wallis se atribuye la introducción del símbolo , utilizado habitualmente para denotar el infinito.

Alcanzó cierto éxito enseñando a hablar a sordomudos.

Citas:

  "Puesto que la naturaleza no admite más de tres dimensiones [...], parecería muy impropio hablar de sólidos [...] de cuatro, cinco, seis o más dimensiones." Algebra, 1685.

  "Los números complejos no son más absurdos que los números negativos, y si éstos se pueden representar en una línea recta entonces es posible representar los números complejos en un plano"

AUGUSTIN LOUIS CAUCHY

(París 21 de agosto 1789- 23 de mayo 1857) matemático francés.

Cauchy fue pionero en el análisis y la teoría de permutación de grupos. También investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y física matemática

En 1814 el publicó la memoria de la integral definida que llegó a ser la base de la teoría de las funciones complejas. Gracias a Cauchy, el análisis infinitesimal adquiere bases sólidas.

Cauchy precisa los conceptos de función, de límite y de continuidad en la forma actual o casi actual, tomando el concepto de límite como punto de partida del análisis y eliminando de la idea de función toda referencia a una expresión formal, algebraica o no, para fundarla sobre la noción de correspondencia. Los conceptos aritméticos otorgan ahora rigor a los fundamentos del análisis, hasta entonces apoyados en una intuición geométrica que quedará eliminada, en especial cuando más tarde sufre un rudo golpe al demostrarse que hay funciones continuas sin derivadas, es decir: curvas sin tangentes.

Cauchy toma el concepto tradicional de integral, como suma y no como operación inversa. También introdujo el rigor en el tratamiento de las series fijando criterios de convergencia y eliminando, algo a pesar suyo, las series divergentes.

Muchos términos matemáticos llevan su nombre: el teorema integral de Cauchy, la teoría de las funciones complejas, las ecuaciones de Cauchy-Riemann y secuencias de Cauchy.

Cauchy, produjo 789 escritos, pero fue desaprobado por la mayoría de sus amigos.

LEONHARD EULER

De Wikipedia Leonhard Euler

Matemático suizo

Nacimiento-15 de abril de 1707Basilea, Suiza

Fallecimiento-18 de septiembre de 1783San Petersburgo, Rusia

Leonhard Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza. Murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo, Rusia. Vivió en Rusia la mayor parte de su vida. Probablemente uno de los más grandes matemáticos de la historia, comparable a Gauss, Newton o Arquímedes.

Fue discípulo de Jean Bernoulli, pero supero rápidamente el notable talento matemático de su maestro. Su carrera profesional se circunscribió a las Academias de Ciencias de Berlín y San Petersburgo, la mayor parte de su trabajo se publicó en los anales de ciencias de estas instituciones. Fue protegido de Federico el Grande, en cuya corte protagonizó agrias discusiones metafísicas con Voltaire, de las que solía retirarse enfurecido por su incapacidad en la Retórica y la metafísica.

Perdió la vista de un ojo durante un experimento en óptica (según otras fuentes, mientras hacía un mapa topográfico de Rusia), y en 1766 la vista del otro, ya de mayor. Pasó los últimos años de su vida ciego, pero siguió publicando trabajos.

Posiblemente es el matemático con más trabajos publicados de la historia. La mayor parte de ellos se los dictó a su hijo mayor cuando ya estaba ciego. A pesar de que su actividad de publicación era incesante, un promedio de 800 páginas de artículos al día en su época de mayor producción, entre 1727 y 1783, la mayor parte de su obra completa está sin publicar. La labor de recopilación y publicación completa de sus trabajos comenzó en 1911 y no hay indicios de que se complete. El proyecto inicial planeaba el trabajo sobre 887 títulos en 72 volúmenes, a día de hoy se supone que alcanzará los 200 con facilidad. Se le considera el ser humano con mayor número de trabajos y artículos en cualquier campo del saber, solo equiparable a Gauss.

Tratados

        Introductio in Analysis Infinitorum(1784)

        Institutiones Calculi Differentialis(1755)

        Institutiones Calculi Integralis (1768-1794)

Trabajos importantes

         Contribución a las notaciones: Fue el primero en emplear la notación f(x) proporcionando más comodidad frente a los rudimentarios métodos del cálculo infinitesimal existentes hasta la fecha, iniciados por Newton y Leibniz, pero desarrollados en base a las matemáticas del último.

         El número "e" como límite de una sucesión y cuya propiedad más importante es la de su derivada equivalente.

         Unió los símbolos matemáticos más trascendentes ( e, pi,i, -1) en forma de una ecuación, conocida como la Fórmula de Euler.

         En relación con lo anterior sentó las bases del análisis matemático avanzado al generalizar su fórmula para que conectase las funciones exponenciales y las trigonométricas. Con ello también desarrolló el cálculo complejo.

         Euler ya empleaba las series de Fourier antes de que el mismo Fourier las descubriera y las ecuaciones de Lagrange del cálculo variacional, las Ecuaciones de Euler-Lagrange.

         Mecánica de Newton: En su tratado de 1739 introdujo explícitamente el concepto de partícula y de masa puntual. Introdujo la notación vectorial para representar la velocidad y la aceleración, que definiría todo el estudio de la Mecánica hasta Lagrange

         Sólido Rígido: Definió los tres ángulos de Euler para describir la posición. Publicó el teorema principal del movimiento (siempre existe un eje de rotación instantáneo). Solución del movimiento libre (consiguió despejar los ángulos en función del tiempo)

         Hidrodinámica:Estudio el flujo de un fluido ideal incompresible, detallando las Ecuaciones de Euler de la Hidrodinámica.

         Arquitectura e Ingeniería: Desarrolló la ley que lleva su nombre sobre el pandeo de vigas y generó una nueva rama de ingeniería con sus trabajos sobre la carga crítica de las columnas.

         Ecuaciones diferenciales: Se llama método de Euler al método numérico consistente en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada.

         Electromagnetismo: Adelantándose más de cien años a Maxwell previó el fenómeno de la Presión de Radiación, fundamental en la teoría unificada del Electromagnetismo. En los cientos de trabajos de Euler se encuentran referencias a problemas y cuestiones tremendamente avanzadas para su tiempo, que no estaban al alcance de la ciencia de su época.

         Publicó trabajos sobre el movimiento de la luna.

         Problema de los puentes de Königsberg. Demostró que un esquema de dichos puentes no podía recorrerse. Este problema pudo haber sido la primera aplicación en teoría de grafos o en topología, (con el desarrollo del problema de los puentes de Königsberg por Euler se da inicio a la topología).

         Geometría: Desarrolló lo que se llama característica de Euler o teorema de poliedros de Euler. Básicamente es buscar una relación entre número de caras, aristas y vértices en los poliedros. Utilizó esta idea para demostrar que no existían más poliedros regulares que los conocidos hasta entonces. Además dentro del campo de la geometría analítica descubrió que tres de los puntos notables de un triángulo ( baricentro, ortocentro y circuncentro) podían obedecer a una misma ecuación, es decir a una misma recta. A la recta que contiene el baricentro, ortocentro y circuncentro se le denominó "Recta de Euler" en honor a este.

PETER GUSTAV LEJEUNE DIRICHLET

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Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (Düren, actual Alemania, 13 de febrero de 1805 - Gotinga, id., 5 de mayo de 1859) fue un matemático alemán.

Su familia era natural del pueblo de Richelet en Bélgica, de donde su apellido "Lejeune Dirichlet" ("le jeune de Richelet" = "el joven de Richelet") derivó, y ese era el lugar donde vivió su padre.

Cursó sus estudios en París, relacionándose con matemáticos como Fourier. Tras graduarse, fue profesor en las universidades de Breslau (1826-1828), Berlín (1828-1855) y Gotinga, en donde ocupó la cátedra dejada por Gauss tras su muerte. Sus aportaciones más relevantes se centraron en el campo de la teoría de números, prestando especial atención al estudio de las series, y desarrolló la teoría de las series de Fourier. Consiguió una demostración particular del teorema de Fermat, aplicó las funciones analíticas al cálculo de problemas aritméticos y estableció criterios de convergencia para las series. En el campo del análisis matemático perfeccionó la definición y concepto de función, y en mecánica teórica se centró en el estudio del equilibrio de sistemas y en el concepto de potencial newtoniano.

JOSEPH-LOUIS DE LAGRANGE

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Joseph Louis Lagrange (25 de enero de 1736 - 10 de abril de 1813) fue un matemático, físico y astrónomo italiano que después vivió en Prusia y Francia. Lagrange trabajó para Federico II de Prusia, en Berlín, durante veinte años. Lagrange demostró el teorema del valor medio, desarrolló la mecánica Lagrangiana y tuvo una importante contribución en astronomía.

Primeros años

Nació (como el Giuseppe Luigi Lagrangia) en Turin. Su padre militar, era de posición social buena y adinerado, pero antes de que su hijo creciera había perdido la mayoría de sus propiedades especulando, y el joven Lagrange tenía que confiar en sus propias habilidades.

Fue educado en la universidad de Turin, pero no fue hasta que los diecisiete años que mostró su interés por las matemáticas y su entusiasmo lo despertó la lectura

de una obra del astrónomo Edmund Halley. Tras un año de incesante trabajo, era ya un matemático consumado.

Cuando tenía sólo diecinueve años, envió una carta a Leonhard Euler en que resolvió un problema que había sido un asunto de discusión durante más de medio siglo mediante una nueva técnica el cálculo de variaciones. Euler reconoció la generalidad del método, y su superioridad; y con una cortesía rara en él retuvo un papel que él había escrito previamente para que el joven italiano tuviera tiempo para completar su trabajo, como exige la invención de un nuevo método de cálculo. El nombre de esta rama del análisis la sugirió el propio Euler. Este trabajo puso Lagrange en primera línea entre los matemáticos de su época. En 1758, con la ayuda de sus alumnos, Lagrange publicó en la Academia de Turin la mayoría de sus primeros escritos consistentes en los cinco volúmenes, normalmente conocidos como Miscellanea Taurinensia .

En 1761 Lagrange no tenía rival en el campo de las matemáticas; pero su trabajo incesante durante los últimos nueve años habían afectado seriamente su salud, y los doctores se negaron a ser responsables de su vida a menos que él se lo tomara en serio. Aunque su salud fue temporalmente restablecida nunca su sistema nervioso recuperó su tono, y de aquí en adelante padeció constantemente ataques de melancolía severa.

Lagrange era de mediana altura, complexión débil, con ojos azul claro y un color de piel pálida. Era de un carácter nervioso y tímido, detestó la controversia, y al evitarla de buena gana permitió a otros tener crédito por cosas que él había hecho.

Su obra

Miscellanea Taurinensia

El primer volumen contiene un documento de la teoría de la propagación de sonido; indica un error hecho por Newton, y obtiene la ecuación diferencial general para el movimiento, y halla la solución para el movimiento en línea recta. Este volumen también contiene la solución completa del problema de una cuerda que vibra transversalmente; en este trabajo señala la falta de generalidad en las soluciones dadas previamente por Brook Taylor, D'Alembert y Euler llegando a la conclusión de que la forma de la curva para un tiempo t cualquiera viene dada por la ecuación

. El artículo concluye con una hábil discusión sobre ecos, y sonidos compuestos. Otros artículos en este volumen son serie recursivas, probabilidad, y cálculo de variaciones.

El segundo volumen contiene un documento largo que incluye los resultados de varios documentos del primer volumen y notas sobre el cálculo de variaciones; e ilustra su uso deduciendo el principio de mínima acción, y las soluciones de varios problemas de dinámica.

El tercer volumen incluye la solución de varios problemas de dinámica mediante el cálculo de variaciones; algunos documentos de cálculo integral; una solución del problema de Fermat, encontrar un número x qué hará que ( x ² n + 1)sea un cuadrado dónde n es un entero dado que no es un cuadrado; y las ecuaciones de diferencial generales del problema del movimiento de n-cuerpos y su aplicación al Problema de los tres cuerpos que se mueven bajo sus atracciones mutuas.

El álgebra

El mayor número de sus artículos de álgebra los envió a la Academia de Berlín. Cabe destacar:

         Su discusión de la solución enteras de las formas cuadráticas, 1769, y generalmente de ecuaciones indeterminadas, 1770.

         Su tratado de la teoría de eliminación de parámetros, 1770.

         Sus papeles en el proceso general por resolver una ecuación algebraica de cualquier grado, 1770 y 1771; este método falla para las ecuaciones de un orden superior al cuarto, porque involucra la solución de una ecuación de orden superior, pero da todas las soluciones de sus predecesores.

         La solución completa de una ecuación binomial de cualquier grado, esta ocupa el último lugar en los papeles mencionados.

         Por último, en 1773, su tratamiento de determinantes de segundo y tercer orden, y de sus invariantes.

La teoría de números

Algunos de sus papeles iniciales también tratan de preguntas conectadas con el abandonado pero singularmente fascinante tema de la teoría de números. Entre éstos es lo siguiente:

              Su prueba del teorema que cada entero positivo que no es un cuadrado puede expresarse como la suma de dos, tres o cuatro cuadrados de enteros, 1770.

              Su prueba del teorema de Wilson que si n es un numero primo, entonces ( n - 1)! + 1 siempre es un múltiplo de n , 1771.

              Sus papeles de 1773, 1775, y 1777, qué da las demostraciones de varios resultados enunciadas por Fermat, y no demostrado previamente.

              Y, por último, su método por determinar los factores de números de la forma x2 + ay2.

Miscelánea

Hay también numerosos artículos sobre varios puntos de geometría analítica. En dos de ellos, escrito bastante después, en 1792 y 1793, redujo las cuádricas a su forma canónica.

Durante los años de 1772 a 1785 contribuyó con una larga serie de artículos que crearon ciencia, la ecuaciones diferenciales, en derivadas parciales. Una gran parte de estos resultados se ha reunido en la segunda edición del cálculo integral de Euler que se publicó 1794.

Durante los últimos años en Francia su trabajo se centra en el Análisis

Infinitesimales

Con posterioridad Lagrange usó los infinitesimales en el cálculo diferencial en el estudio de fórmulas algebraicas; y en el prólogo a la segunda edición del Mécanique que se publicó en 1811, él justifica el empleo de infinitesimales, con estas palabras: "cuando nosotros hemos cogido el espíritu del método infinitesimal, y o ha verificado la exactitud de sus

resultados por el método geométrico de primeras y últimas proporciones, o por el método analítico de funciones derivadas, nosotros podemos emplear las cantidades infinitamente pequeñas como un medio seguro y valiosos de acortar y simplificar nuestras pruebas. "

Fracciones continuas

Su Résolution des équations numériques, publicada en 1798, también es fruto de sus conferencias en la Escuela politécnica. En él da el método de aproximar las raíces reales de una ecuación por medio de Fracciones continuas, y enuncia varios otros teoremas. Al final en una nota muestra el pequeño teorema de Fermat

donde p es un número primo y a es un número entero primo de entre si con p (m.c.d. (a,p)=1, puede aplicarse para dar la solución algebraica completa de cualquier ecuación binomial. Explica también cómo la ecuación cuyas raíces son los cuadrados de las diferencias de las raíces de la ecuación original puede usarse para dar mucha información acerca de la posición y naturaleza de esas raíces.

La matemática pura

Los intereses de Lagrange eran esencialmente aquéllos de un estudiante de matemática pura: buscó y obtuvo resultados abstractos de largo alcance, y estaba satisfecho de dejar las aplicaciones a otros. De hecho parte de los descubrimientos de su gran contemporáneo, Laplace, consiste en la aplicación de las fórmulas de Lagrange a los hechos de naturaleza; por ejemplo, las conclusiones de Laplace de la velocidad de sonido y de la aceleración secular de la Luna están ya implícitamente en los resultados de Lagrange. La única dificultad en Lagrange es generalidad extrema de sus procesos; pero su análisis es tan lúcido y luminoso como es simétrico e ingenioso."

Un reciente escritor que habla de Lagrange dice de verdad que él tomó una parte fundamental en el avance de casi todas las rama de la matemática pura. Como Diofanto y Fermat, él poseyó un genio especial para la teoría de números, y en este asunto dio soluciones de muchos de los problemas que se habían propuesto por

Fermat, y agregó algunos teoremas propios. Creó el cálculo de variaciones. La teoría de ecuaciones diferenciales está en deuda con él por convertirla en una ciencia en lugar de una colección de ingeniosos artificios para la solución de problemas particulares.

Contribuyó al cálculo de diferencias finitas con la fórmula de interpolación que lleva su nombre. Sus tres trabajos sobre el método de interpolación de 1783, 1792 y 1793,: están ahora en la misma fase en que Lagrange los dejó.

BLAISE PASCAL

De Wikipedia

Blas Pascal, (en francés Blaise Pascal) (19 de junio de 1623 - 19 de agosto de 1662) fue un matemático, físico y filósofo religioso francés. Sus contribuciones a las ciencias naturales y ciencias aplicadas incluyen la construcción de calculadoras mecánicas, estudios sobre la teoría de probabilidad, investigaciones sobre los fluidos y la aclaración de conceptos tales como la presión y el vacío. Después de una experiencia religiosa profunda en 1654, Pascal abandonó las matemáticas y la física para dedicarse a la filosofía y a la teología.

Nacido en Clermont-Ferrand, Puy-de-Dôme, Francia, Blaise perdió a su madre a la edad de tres años. Él y su hermana Jacqueline (1625 - 1661) fueron criados por su padre, Étienne

Pascal (1588 - 1651), que era matemático. Blaise es considerado un niño prodigio y fue educado por su padre.

Los historiadores de la computación reconocen su contribución a este campo. A los 18 años construyó una calculadora mecánica capaz de realizar operaciones como la adición y la sustracción (el museo de Zwinger, en Dresden, Alemania exhibe una de sus calculadoras mecánicas originales). También escribió un tratado sobre las secciones cónicas en su juventud. En 1654, incitado por un amigo interesado en problemas de apuestas, Blaise mantuvo correspondencia con Pierre de Fermat y le envió una primera aproximación al cálculo de probabilidades.

Años más tarde formuló la Apuesta de Pascal, una discusión sobre la creencia en Dios, basada en probabilidades. El triángulo de Pascal, una manera de presentar coeficientes binomiales, también lleva su nombre, aunque los matemáticos conocían los coeficientes binomiales desde hacía ya mucho tiempo. Sus contribuciones notables a los campos del estudio de líquidos (hidrodinámica e hidrostática) se centraron en los principios sobre líquidos hidráulicos. Sus invenciones incluyen la prensa hidráulica (que usa la presión hidráulica para multiplicar la fuerza) y la jeringuilla. También aclaró conceptos tales como la presión (cuya unidad lleva su nombre) y el vacío.

En 1650, por problemas de salud, Pascal abandonó las matemáticas. Sin embargo, en 1653, se recuperó y escribió el Traité du triangle arithmétique en el cual describió el "triángulo aritmético" que lleva su nombre.

Después de un accidente en 1654 en el puente de Neuilly, donde los caballos se hundieron pero el carruaje sobrenadó milagrosamente, Pascal abandonó las matemáticas y la física definitivamente para dedicarse a la filosofía y a la teología.

En 1660, el rey Luis XIV ordenó la destrucción y quema de su obra Cartas provinciales en defensa de Antoine Arnauld. Esta obra está considerada como un modelo de prosa francesa y de ironía.

Pascal nunca terminó su trabajo más influyente, Pensamientos (Pensées sur la religión, 1669), pero una versión de sus notas para el libro apareció impresa en 1670, ocho años después de su muerte, y pronto se convirtió en una obra clásica de la literatura religiosa. Falleció en París y está enterrado en el cementerio de St. Étienne-du-Mont.

JEAN-BAPTISTE JOSEPH FOURIER

De Wikipedia

Jean-Baptiste-Joseph Fourier (21 de marzo 1768 en Auxerre - 16 de mayo 1830 en Paris), matemático y físico francés conocido por sus trabajos sobre la descomposición de funciones periódicas en series trigonometricas convergentes llamadas Series de Fourier.

Fue hijo de un sastre y educado por los benedictinos, luego estuvo en el colegio militar. Participó en la revolución francesa y, gracias a la caída del poder de Robespierre, se salvó de ser guillotinado. Se incorporó a la Escuela Normal Superior en donde tuvo entre sus profesores a Joseph-Louis Lagrange y Pierre-Simon Laplace. Posteriormente, ocupará una cátedra en la Escuela Politécnica.

Fourier participó en la expedición de Napoleón a Egipto en 1798 y ocupará después un alto puesto diplomático en el país conquistado. A su regreso a Francia en 1801, Napoleón lo nombra prefecto de Isère.

Entró a la Academia de Ciencias Francesa en 1817.

Trabajos

Fue en Grenoble donde condujo sus experimentos sobre la propagación del calor que le permiten modelar la evolución de la temperatura a través de series trigonométricas. Estos trabajos mejoraron el modelado matemático de fenómenos físicos y contribuyeron a los fundamentos de la termodinámica.

Sin embargo, la simplificación excesiva que proponen estas herramientas fue muy debatido, principalmente por Pierre-Simon Laplace y Joseph-Louis Lagrange.