ANTECEDENTES HISTRICOS

El clculo infinitesimal es la rama de las matemticas que comprende el estudio y

aplicaciones del clculo diferencial y del clculo integral.

El clculo diferencial se origina en el siglo XVII al realizar estudios sobre el

movimiento, es decir, al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vaco ya

que cambia de un momento a otro; la velocidad en cada instante debe calcularse,

teniendo en cuenta la distancia que recorre en un tiempo infinitesimalmente

pequeo.

En 1666, el cientfico Ingls Isaac Newton fue el primero en desarrollar mtodos

matemticos para resolver problemas de esta ndole.

Casi al mismo tiempo el filsofo y matemtico Alemn Gottfried Leibniz realizo

investigaciones similares e ideando smbolos matemticos que se aplican hasta

nuestros das.

Destacan otros matemticos por haber hecho trabajos importantes relacionados

con el clculo diferencial, sobre sale entre otros Pierre Fermat matemtico

Francs, quien en su obra habla de los mtodos diseados para determinar los

mximos y mnimos, acercndose casi al descubrimiento de clculo diferencial.

Dicha obra influencio a Leibniz en la investigacin del clculo diferencial. Fermat

dejo casi todos sus teoremas sin demostrar ya que por aquella poca era comn

entre los matemticos el plantearse problemas unos a otros, por lo que

frecuentemente se ocultaba el mtodo propio de solucin, con el fin de reservarse

el xito para s mismo y para su nacin; ya que haba una gran rivalidad entre los

Franceses, Alemanes y los Ingleses. Razn por la cual las demostraciones de

Fermat se hayan perdido.

Nicols resme obispo de la comunidad de Lisieix, Francia, estableci que en la

proximidad del punto de una curva en que la ordenada se considera mxima o

mnima, dicha ordenada varia mas pausadamente.

Johannes Kepler tiempo despus, coincidi con lo que estableci Nicols

resme, conceptos que permitieron a Fermat en su estudio de mximos y

mnimos, las tangentes y las cuadraturas, igualar acero la derivada de la funcin,

debido a que la tangente a la curva en los puntos en que la funcin tiene su

mximo o su mnimo, es decir, la funcin es paralela al eje x donde la pendiente

de la tangente se anula.

Isaac Barrow maestro de Newton, quien por medio del tringulo caracterstico,

en donde la hipotenusa es un arco infinitesimal de curva y sus catetos son

incrementos infinitesimales en que difieren las abscisas y las ordenadas de los

extremos del arco.

Newton concibi el mtodo de las Fluxiones, considerando a la curva como la

trayectoria de un punto que fluye; denominado momento de la cantidad fluente al

arco mucho muy corto recorrido en un tiempo

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Excesivamente pequeo, llamado la razn del momento al tiempo

correspondiente, es decir, la velocidad.

Por lo tanto Fluente es la cantidad variable que identifica como Funcin; Fluxin

es la velocidad o rapidez de variacin de la fuente que identifica como la

derivada; al incremento infinitesimal o instantneo de la fluente se le llama

momento que se indica como la diferencial.

El principio establece que: los momentos de la funciones son entre s como sus

derivadas

La concepcin de Leibniz se logra al estudiar el problema de las tangentes y su

inverso, basndose en el tringulo caracterstico de Barrow, observo que el

tringulo es semejante al que se forma con la tangente, la subtangente y la

ordenad del punto de tangencia, as mismo, es igual al tringulo formado por la

normal, la subnormal y la ordenada del mismo punto. Los smbolos dx, dy/dx, la

palabra derivada y el nombre de ecuaciones diferenciales se debe a Leibniz.

Agustn Louis Cauchy matemtico Francs, impulsor del clculo diferencial e

integral autor de la teora de las funciones de las variables complejas, basndose

para ello en el mtodo de los lmites; las definiciones de funcin de funcin y la

de funcin compuesta, tambin se deben a Cauchy.

Jacobo Bernoulli introduce la palabra funcin en el clculo diferencial y la

simbologa f(x) se debe a Leonard Euler, ambos matemticos Suizos. John

Wallis enuncia el concepto de limite y la representacin simblica lim se debe a

Simn Lhuilier; el smbolo tiende a lo implanto J.G. Leathem.

Los procesos generales y las reglas prcticas sencillas del clculo diferencial se

deben a Newton y Leibniz; sin embargo por ms de 150 aos el clculo diferencial

contina basndose en el concepto de la infinitesimal.

En el siglo XIX se han encontrado bases ms firmes y lgicas al margen de lo

infinitamente pequeo.

El clculo diferencial se ha ido desarrollando a travs de los aos, consolidndose

como una herramienta tcnico-cientfica que se utiliza en el anlisis de procesos

que contienen magnitudes en constante cambio, por ejemplo: la velocidad de las

reacciones qumicas, los cambios atmosfricos, los desarrollos sociales y

econmicos de las naciones, en la astronoma, la estadstica, etc.

A Newton y Leibniz se les llama fundadores del clculo ya que fueron los primeros

en estudiar el problema geomtrico fundamental del clculo diferencial, que se

denomina: problema de las tangentes en el cual hay que hallar las rectas

tangentes a una curva dada

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Clculo infinitesimal

El clculo infinitesimal, llamado por brevedad "clculo", tiene su origen en la

antigua geometra griega. Demcrito calcul el volumen de pirmides y conos

considerndolos formados por un nmero infinito de secciones de grosor

infinitesimal (infinitamente pequeo). Eudoxo y Arqumedes utilizaron el "mtodo

de agotamiento" o exhaucin para encontrar el rea de un crculo con la exactitud

finita requerida mediante el uso de polgonos regulares inscritos de cada vez

mayor nmero de lados. En el periodo tardo de Grecia, el neoplatnico Pappus de

Alejandra hizo contribuciones sobresalientes en este mbito. Sin embargo, las

dificultades para trabajar con nmeros irracionales y las paradojas de Zenn de

Elea impidieron formular una teora sistemtica del clculo en el periodo antiguo.

En el siglo XVII, Cavalieri y Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales,

Descartes y Fermat utilizaron el lgebra para encontrar el rea y las tangentes

(integracin y Derivacin en trminos modernos). Fermat y Barrow tenan la

certeza de que ambos clculos estaban relacionados, aunque fueron Newton

(hacia 1660), en Inglaterra y Leibniz en Alemania (hacia 1670) quienes

demostraron que los problemas del rea y la tangente son inversos, lo que se

conoce como teorema fundamental del clculo.

El descubrimiento de Newton, a partir de su teora de la gravitacin universal, fue

anterior al de Leibniz, pero el retraso en su publicacin an provoca controversias

sobre quin de los dos fue el primero. Newton utiliz el clculo en mecnica en el

marco de su tratado "Principios matemticos de filosofa natural", obra cientfica

por excelencia, llamando a su mtodo de "fluxiones". Leibniz utiliz el clculo en el

problema de la tangente a una curva en un punto, como lmite de aproximaciones

sucesivas, dando un carcter ms filosfico a su discurso. Sin embargo, termin

por adoptarse la notacin de Leibniz por su versatilidad.

En el siglo XVIII aument considerablemente el nmero de aplicaciones del

clculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, as

como la intuicin geomtrica, causaban todava confusin y duda sobre sus

fundamentos. De hecho, la nocin de lmite, central en el estudio del clculo, era

aun vaga e imprecisa en ese entonces. Uno de sus crticos ms notables fue el

filsofo George Berkeley.

En el siglo XIX el trabajo de los analistas matemticos sustituyeron esas

vaguedades por fundamentos slidos basados en cantidades finitas: Bolzano y

Cauchy definieron con precisin los conceptos de lmite en trminos de

psilon_delta y de derivada, Cauchy y Riemann hicieron lo propio con las

integrales, y Dedekind y Weierstrass con los nmeros reales. Fue el periodo de la

fundamentacin del clculo. Por ejemplo, se supo que las funciones diferenciables

son continuas y que las funciones continuas son integrables, aunque los

recprocos son falsos. En el siglo XX, el anlisis no convencional, legitim el uso

de los infinitesimales, al mismo tiempo que la aparicin de las Computadoras ha

incrementado las aplicaciones y velocidad del clculo.

Actualmente, el clculo infinitesimal tiene un doble aspecto: por un lado, se ha

consolidado su carcter disciplinario en la formacin de la sociedad culta del

conocimiento, destacando en este mbito textos propios de la disciplina como el

de Louis Leithold, el de Earl W.

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Swokowski o el de James Stewart entre muchos otros; por otro su desarrollo como

disciplina cientfica que ha desembocado en mbitos tan especializados como el

clculo fraccional, la teora de funciones analticas de variable compleja o el

anlisis matemtico. El xito del clculo ha sido extendido con el tiempo a las

ecuaciones diferenciales, al clculo de vectores, al clculo de variaciones, al

anlisis complejo y a la topologa algebraica y la topologa diferencial entre

muchas otras ramas.

El desarrollo y uso del clculo ha tenido efectos muy importantes en casi todas las

reas de la vida moderna: es fundamento para el clculo numrico aplicado en

casi todos los campos tcnicos y/o cientficos cuya principal caracterstica es la

continuidad de sus elementos, en especial en la fsica. Prcticamente todos los

desarrollos tcnicos modernos como la construccin, aviacin, transporte,

meteorologa, etc. hacen uso del clculo. Muchas frmulas algebraicas se usan

hoy en da en balstica, calefaccin, refrigeracin, etc.

Como complemento del clculo, en relacin a sistemas tericos o fsicos cuyos

elementos carecen de continuidad, se ha desarrollado una rama especial conocida

como Matemtica discreta.

Mximos y mnimos

Problemas:

1. Disea un envase cilndrico con capacidad de 300 cm2de manera que la

cantidad de material usada sea mnima.

SOLUCIN

El rea de dicha superficie (figura 11.15) es el

rea de dos crculos iguales de radio r ms la

del rectngulo:

A = 22 + ph

en donde el permetro p es igual a p r = 2 ,

por lo tanto, sustituyendo en la igualdad

A= 22 + 2rh

Por otra parte, el volumen del envase es el rea del crculo de una de las

tapas por la altura del cilindro:

300 = 2 h

de donde

h= 300

2

sustituyendo el valor de h se obtiene:

A= 22 + 2rh(300

2)

A= 22 +(600

2)

A= 22 +(600

r)

que es la funcin a derivar para obtener el mximo y/o mnimo respecto del

radio r. Derivando se obtiene que:

= 22 + 6001

= = 4r +

600

2

Igualando a cero y resolviendo

4r + 600

2 = 0

multiplicando toda la igualdad por 2 para eliminar denominadores

43 600 = 0

3 = 600

4

r= 600

4

3

r= 3.627

Aplicando la regla general para saber si este valor crtico es mximo o mnimo, es

decir, dando primero un valor un poco menor y sustituyendo en la derivada; luego

un valor un poco mayor y viendo el cambio de signos de la derivada:

Con un valor un poco menor, por ejemplo con r = 3 y sustituyendo en:

=4(3) +

600

32

= -28 96

=4(4) +

600

42

= 12. 76

La altura del envase con superficie mnima se obtiene sustituyendo el valor del

radio r en la igualdad:

h= 300

2

h= 300

(3.627)2

h = 7.258 cm

Las dimensiones del envase cilndrico ms econmico que pueda contener

300 cm3 de volumen son de r = 3.627 cm y altura h = 7.258 cm.

Tomando ahora un valor un

poco mayor, por ejemplo r = 4

y sustituyendo en la derivada:

Como cambi de menos a

ms el signo de la derivada,

significa que en el valor

crtico r = 3.627 cm hay un

mnimo.

2. Un granjero cuenta con 500 m de maya y necesita cercar una zona junto al

ro. Qu dimensiones debe darle a la zona cercana para que su rea sea

mxima, si el lado que est junto al rio no requiere maya?

y

x x

FRMULAS

Se tiene que encontrar la suma de los tres lados del

rea que se va a cercar, entonces tenemos que:

2x + y= 500m

X + y = rea

Procedimiento

Se encontrar el valor de una de las variables, en ste

caso se encontrar primero el valor de y, teniendo

que:

Y= -2x + 500

A= xy

A= x (-2x + 500)

A= -22 + 500x

=-

22 + 500x

= -4x + 500

-4x+500= 0

-4x= -500

x = 500

4

y= -2(125) + 500

y= -250 + 500

x= 125

y= 250

Derivada

La derivada de una funcin es una medida de la rapidez con la que cambia el valor

de dicha funcin matemtica, segn cambie el valor de su variable independiente.

La derivada de una funcin es un concepto local, es decir, se calcula como

el lmite de la rapidez de cambio media de la funcin en un cierto intervalo, cuando

el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez ms

pequeo. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta funcin en un

punto dado.

Interpretacin geomtrica de la derivada

Pendiente de la recta Tangente

En geometra plana se llama tangente a la recta que intersecta a una

circunferencia en un punto y solo uno. Dicho punto se llama punto de tangencia y

la tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia.

Esta definicin de tangente no es vlida para cualquier curva. En la siguiente

imagen se muestra una recta que es tangente a la curva en un punto P pero la

corta en otro punto Q.

La variacin de un fenmenos a travs del tiempo

Incremento de la variacin independiente.

Cuando una variable X pasa por un valor 1, a un valor 2 se llama incremento que se denota por el smbolo (delta griego), as x se lee delta de x

Entonces:

x= 2 1

Por tanto:

2 = 1 + x

Ejercicios:

1. Si 1 =3 y 2= 5 , entonces:

x = 2 1 = 5-3 = 2

Es decir:

2 = 1 + x

5 = 3 + 2

2. Si 1= -1 y 2= -6, entonces

x = 2 1

= -6- (-1)

= -6 + 1

= -5

Es decir:

2 = 1 + x

-6 = -1 + (-5)

-6 = -6

3. Si 1 = 7 y 2 = 7, entonces:

x = 7 7= 0

Por lo que:

2 = 1 + x

7 = 7 + 0

Incremento de una funcin

Si la variable x pasa del valor 1 al valor 2 entonces la funcin y = f(x) pasa de 1= f(1) a 2= f (2), es decir, al incremento x=2 1 corresponde un incremento y=2 1 = f (2) f ( 1 )

Ejemplos:

1. Sea y = x + 1, halla y cuando x vara de 1

a 5

Solucin

y = f (5) f (1)

= (5 + 1) (1+1)

= 6 -2

= 4

2. Sea y= 1

2 2 , calcula el y cundo x vara de 1 a 4

Solucin:

y = f (4) f (1)

=[ 1

2 (42) -

1

2 (12) ]

= [ 1

2 (16) -

1

2 (1) ]

= 8 1

2

= 7 1

2

3. Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva y= 2 + 2 3 en el

punto (1, 1)

Solucin:

Como y = f(x), entonces f(x) = 1 2 +2 3 dnde:

f (1) = 1 2 +2 3

f(1 + x) = (1 + x )2 + 2 (1 + x) 3

Sustituyendo en la ecuacin

m (1) = lim (1 + x ) f(1)

x

Efectuando operaciones

m (1) = lim [ (1 + x )

2+2 (1 + x ) 3 ] [ 2+23 ]

x

Quitando parntesis:

m (1) = lim (1 + 21+

2 +2 1 + 2x 3 ( 2+23 ]

x

Reduciendo trminos semejantes:

m (1) = lim 2 1 x+()

2 + 2x

x

Como ---> 0, 0, por tanto se puede dividir entre

m (1) = lim 2 1 x + ()2 + 2x

Tomando el lmite:

m (1) = 2 1 + 2

La grfica de la funcin se ilustra en la siguiente figura.

Para cualquier valor de X su correspondiente valor e y

se obtiene a partir de la ecuacin y= 2 + 2 3,

mientras que el valor de la pendiente se obtiene a

partir de las ecuaciones

m(1) = 2 1 + 2

As para:

) 1= -3 y= 2 + 2 3, m(-3)= 2 (-3) +

2

= 9-6-3 = - 6 + 2

= 0 = - 4

Es decir que cuando x = -3, su ordenada correspondiente es 0 por lo que para el

punto (-3, 0) de la curva la recta tangente en dicho punto tiene pendiente m = -4

a) 1 = -2 y = (22) + 2(2) 3, m(-2)= 2 (-2) + 2

= 4- 4- 3 = - 4 + 2

= -3 = - 2

De manera que para x= -2, y= -3, o sea que el punto (-2, -3) de la curva recta

tangente en dicho punto tiene pendiente m= -2

b) 1 = 0 y= 02 + 2(0) 3, m(0)= 2 (0) + 2

= 1 + 2 - 3 = 2 + 2

= 0 = 4

Entonces, en el punto (1, 0) de la curva, la recta tangente tiene pendiente m= 4

E de particular importancia determinar los puntos de la grfica tiene una tangente

horizontal, pues sta tiene pendiente cero. Ichos puntos se obtienen al hacer m

(1)= 0 y resulver para 1

En este ejemplo se tiene que:

m (1)= 2 1 + 2

Es decir:

m (1)= 0

0= 2 1 + 2

De donde:

-2 = 2 1 2

2= 1

-1 = 1

O bien

1 = 1

Esto significa que el punto de la curva que tiene su abscisa igual a -1, la

recta tangente es paralela al eje de las x

EJERCICIOS

Mximos y Mnimos

1) Halla dos nmeros cuya suma es 18, sabiendo que el producto de uno por

el cuadrado del otro es mximo

2) Se dispone de una lmina de cartn cuadrada de

12 cm. de lado. Cortando cuadrados iguales en

las esquinas se construye una caja abierta

doblando los laterales. Hallar las dimensiones de

los cuadrados cortados para que el volumen sea

mximo

3) Cul ser la forma rectangular de un campo de rea dada

a 36 2 para que sea cercado por una valla de longitud

mxima

4) Se quiere cercar un campo rectangular que est junto a

un camino. Se la valla del lado que est junto al camino

cuesta BF. 8 el metro y para los lados BF. 4 el metro,

halla el rea del mayor campo que pueda cercarse con

BF. 1440.

5) Una esfera tiene un radio de 6 cm. Hallar la altura del cilindro

de volumen mximo inscrito en ella

6) Para hacer un filtro de laboratorio, se pliega un papel circular.

Si el radio de dicho papel mide 9cm. Calcular la altura del cono

que se forma para que el volumen sea mximo

7) Se dispone de una caja de papel para un cartel que mide 2

c2. Los mrgenes superior e inferior, miden 20 cm cada

uno y los laterales 12 cm cada uno. Hallar las dimensiones

de las hojas, sabiendo que la parte impresa es mxima

8) De todo los tringulos issceles de 12 metros de permetro,

hallar el de rea mxima

9) En un tringulo issceles, los lados iguales miden 20 cm

cada uno. Hallar la longitud de la base para que el rea

sea mxima

10) Determine las dimensiones del rectngulo

que se puede inscribir en un semicrculo de

radio a de manera que dos de sus vrtices

estn sobre el dimetro

Variacin de un fenmeno a travs del tiempo

1. Determina el x cuando x vara de

a) 1= 2 a 2 = 7

b) 1=0 a 2= -2

c) 1= -1 a 2= -1

d) 1=-3 a 2= -5

e) 1= -5 a 2= -1

2. Para cada funcin y= f(x) determina cuando x toma los valores 1 y 2 dados:

a) y= 3x-2, 1= -1 y x2= 3

b) y= 2+ 5x, 1= -5

2 y 2= -2

c) y= 5- 4x- 2 , 1= -3 y 2= -2

d) y= 22, 1= 0 y 2= 1

e) y= + 4, 1= 0 y 2= 1