SISTEMA DE COORDENADAS

MOTIVACIÓNRENE DESCARTES (1596 – 1650):Filósofo y mantenimiento francés nació en la Haya el 31 de Marzo de 1596 y murió en Estocolmo (Suecia) el 11 de febrero 1650. Descartes uso su nombre latinizado Renatus Cartesius; pues el latín era el lenguaje erudito y esta costumbre era muy común.Tuvo problemas con una tos crónica y cuando fue se le permitió permanecer en cama cuando lo desease, mantuvo toda su vida la costumbre de trabajar en la cama. Es esta enfermedad que lo llevó a la tumba. Cuando en 1633 tuvo la noticia de la condena de Galileo por la herejía, abandonó por el momento el libre que estaba escribiendo sobre el universo en el que aceptaba la teoría de Copérnico. Es el padre de la Filosofía moderna y contribuyó principalmente a la ciencia con sus matemáticas inventando el sistema de coordenadas el cual lleva su nombre.

NOCIONES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

CONCEPTO:Los sistemas numéricos: Naturales, enteros racionales y reales, constituyen estructuras algebraicas que se utilizarán en Trigonometría plana. El estudio de estos sistemas numéricos se desarrollan en principio en un sistema unidimensional y posteriormente en un sistema bidimensional ideado por el filósofo francés René Descartes, quien pudo dar consistencia al estudio de las relaciones y funciones.

SISTEMA UNIDIMENSIONAL:Los números reales se pueden ubicar en una recta numérica por convención los números positivos se ubican a la derecha del cero (0) y los números negativos a la izquierda de este.Debido a la gran densidad de los números reales, estos pueden estar ubicados en la recta numérica.La figura nos ilustra un poco más al respecto.

Existiendo una relación biunívoca entre los números reales y cada punto de la recta le corresponde un solo número real, asimismo a cada número real le corresponde un punto de la recta.Como se puede ver en la figura anterior el punto “O” corresponde al cero (0) el punto “A” corresponde al dos (2), al punto “C” le corresponde el tres (3).En general si al número real “x” le corresponde el punto “P” entonces se denota como P(x), que se lee como “el punto P con coordenada x”.Entonces si tenemos:

Se podrá calcular la distancia entre P1 y P2 la cual se define como:

1. TEOREMA:En un sistema coordenado lineal, la distancia dirigida entre los puntos P1(X1) y P2(X2) sobre una recta está dado por:

OBSERVACIÓN:En un sistema de coordenadas lineal, la distancia no dirigida entre dos puntos se obtiene como el valor absoluto de la longitud que une estos puntos.

Ejemplo: 1. Calcular la distancia entre P1 y P2 si:

Resolución:1) Se hará la orientación positiva:

2) Se hará la orientación negativa:

SISTEMA BIDIMENSIONAL:A partir del concepto de un sistema unidimensional se pude establecer una correspondencia biunívoca entre los puntos de un plano y pares ordenados de números reales.Lo cual permite denominar lo que es el “Plano Cartesiano” que es un siste,a formado por dos rectas numéricas las cuales se cortan perpendicularmente en sus orígenes y dicha intersección será el origen de coordenadas.A la recta Horizontal se le conoce como EJE DE ABSCISAS (X), mientras que a la recta Vertical se le denomina EJE DE ORDENADAS (Y).En la figura adjunta podemos observar al plano cartesiano cuyas características son las siguientes:

“O”: Origen de coordenadas

El eje : eje de abscisas (eje X)

El eje : Eje de coordenadas (Eje Y) Se observa también que el plano está dividido en 4 regiones

denominados cuadrantes y numerados como se indica en la figura. También se determina:

- : Semieje positivo de las abscisas

- : Semieje negativo de las abscisas

- : Semieje positivo de las ordenadas.

- : Semieje negativo de las ordenadas

1. UBICACIÓN DE UN PUNTO:La ubicación de un punto en el plano cartesiano se representa mediante un par ordenado (x;y); en donde a este punto se conoce como “Coordenadas del punto”.Entonces: a “x” se le denomina Abscisa del punto P a “y” se le denomina Ordenada del punto P

Entonces: P (x;y) se lee: El punto P de coordenadas x, y. P IC se lee: EL punto P `pertenece al primer cuadrante. El punto R se halla en el plano cartesiano, pero no pertenece a cuadrante alguno, se dice que pertenece al semieje

positivo de abscisas.

OBSERVACIÓN

1) Si (Px;y) IC x > 0; y > 0Si (Px;y) IIC x < 0; y > 0Si (Px;y) IIIC x < 0; y < 0Si (Px;y) IVC x > 0; y < 0

2) A la distancia de un punto del plano cartesiano al origen se llama Radio Vector (r) y se le considera positivo.

De la figura: : radio vector (r).

Ejemplo:1. Halle el radio para el punto: (8;15); (-3;4); (-5;-4) y (-7;24)Resolución

*

*

*

*

2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS:La distancia entre dos puntos cualesquiera que pertenecen a un plano se calcula de la siguiente manera:Sean los puntos; P1(x1;y1); y P2(x2;y2) ubicados en un plano cartesiano

Por el Teorema de Pitágoras:

Ejemplos:1. Hallar la distancia entre los puntos A(3;7) y B(-2;4)

Resolución:Partiremos de los componentes del punto A

2. Dado los puntos A(-4;3); B(-4;-13) y C(4;2) forman un triángulo al unir los puntos. Calcular su perímetro.

Resolución:Graficando los puntos:

: Como los puntos A y B tienen las mismas abscisas, entonces:

= 13 – (-2) = 15

: los puntos B y C tienen las mismas ordenadas, entonces:

= 4 – (-4) = 8

Perímetro: 15 + 8 +17 Perímetro: 40

3. DIVISIÓN DE UN SEMENTO DE UNA RAZÓN DADA:Para calcular las coordenadas de un punto que divide a un segmento en partes proporcionales mediante una razón se tiene:

Sean P1(x1;y1) y P2(x2;y2) los extremos de un segmento Sea P(x;y) un punto colineal con P1 y P2; el cual divide al segmento P1 P2 en una razón.

P1AP - PB P2

P1AP - PB P2

Por tanto las coordenadas del punto P serán:

Ejemplos:1. Los puntos extremos un segmento son A(3;-6) y B(10;-2). Hallar las coordenadas de un punto P tal que:

Resolución:En las fórmulas se tiene:

2. Sean los puntos M(-2; 3); N(6;-3) y P(x;y) colineales, si . Hallar x – y

Resolución:Se tiene que r= -2, entonces:

4. PUNTO MEDIO DE UNSEGMENTO:Si M(x; y) es el punto medio del segmento que tiene por extremos: P1(x1;y1) y P2(x2;y2), entonces se tiene:

Por propiedad de Trapecio (Base media) x – x1 = x2 - x

Por propiedad de Trapecio (Base media).

Ejemplos:1) Calcule las coordenadas del punto medio M(x,y) del segmento cuyos extremos son(-4;12) y (6;-6)Resolución:Entonces del enunciado tenemos:

2) Si las coordenadas del punto medio del segmento AB es (-2;1)m calcular las coordenadas del punto B si A tiene como coordenadas (8;12) Resolución:Sea M(x;y), las coordenadas del punto medio entre A y B.

Como B(x2;y2) B(-12; -10)

5. COORDENADAS DEL BARICENTRO DE UN TRIÁNGULOSean P1(x1;y1); P2(x2;y2) y P3(x3;y3) las coordenadas de los vértices de un triángulo y sea G(x;y) las coordenadas del baricentro del triángulo, entonces:

* Se traza P2M, donde M punto medio, entonces sus coordenadas serán:

* Como G(x;y) es el baricentro entonces se cumple que:

* Aplicando la fórmula de la división de un segmento en una razón dada tenemos que:

Luego las coordenadas del baricentro G(x;y) será:

Ejemplo:1) Calcule las coordenadas del baricentro de un triángulo cuyos vértices son A(-3;4); B(4;8) y C(-6;-3).

Resolución:De la fórmula se tiene:

2) Calcule las coordenadas del baricentro de un triángulo cuyos vértices son: A(0;0); B(2;4) y C(-3;5)

ResoluciónSea G el baricentro. De la formula se tiene:

6. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

Donde:

1) Hallar la coordenada del punto “P” en:

Resolución:

7. COORDENADAS DEL BARICENTRO (G)

G = (G1 ; G2)

1) Hallar las coordenadas del Baricentro de un triángulo cuyos vértices son:(2;3) , (7;-1) y (0;0)Resolución:

8. ÁREA DE UN POLÍGONOEjemplo ilustrativo:

1) Hallar el área de la región triangular ABC

Resolución:Metodología:

PRIMER PASO: Se elige un vértice cualquiera como punto de partida y siguiendo en sentido antihorario se eligen los demás vértices hasta llegar al de partida

SEGUNDO PASO: Se ordenan verticalmente los vértices de la figura, repitiendo el primer vértice al final, luego observar al detalle los mecanismos.I. Primero se multiplica en aspaII. Se suma dichos productosIII. Luego el área la semidiferencia de los resultados finales.

2) Hallar el área del polígono cuyos vértices son: (1;5) , (-3;3), (-2;-2) y (4;-1).A) 27,3 B) 26,4 C) 29,8D) 30,5 E) 28,2

Resolución:Se hará el esbozo de la gráfica en forma aproximada para ver el orden de los vértices y así evitar equivocaciones.

9. COORDENANDA DEL INCENTRO

1) Calcular el incentro del triángulo cuyos vértices son: (0;0) , (4;0) y (2;2 )

Resolución:Primero encontrar las longitudes de los lados:

10. ECUACIÓN DE LA RECTAToda expresión de la forma: y=ax + b representa a un conjunto de puntos que se encuentran en línea recta, por ejemplo:Tabulando ó encontrando valores que cumplen la ecuación:

ECUACIÓN DE LA RECTA

HISTORIA ACERCA DE LAS ECUACIONBES LINEALESLa primera fase, que comprende el periodo de 1700 a.n.e a 1700 d.n.e., se caracterizó por la invención gradual de símbolos y la resolución de ecuaciones. Dentro e esta fase encontramos un álgebra desarrollada por los griegos (300 a.n.e.), llamada álgebra geométrica, rica en métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas.La introducción de la notación simbólica asociada a Viéte (1540-1603), marca el inicio de una etapa en la cual Descartes (1596 – 1650) contribuye de forma importante al desarrollo de dicha notación. En este momento, el álgebra se convierte en la ciencia de los cálculos simbólicos y de las ecuaciones. Posteriormente, Euler (1707 – 1783) la define como la teoría de los “cálculos con cantidades de distintas clases” (Cálculos con números racionales enteros, fracciones ordinarias, raíces cuadradas y cúbicas , progresiones ordinarias, raíces cuadradas y cúbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones).Para llegar al actual proceso de resolución de la ecuación ax + b = c han pasado más de 3,000 años.Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhind – 1,650 a.n.e. y el de Moscú – 1850 a.n.e.), multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayoría de ellos son de tipo aritmético y respondían a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ningún objeto concreto. En éstos, de una forma retórica, obtenían una solución realizando operaciones con os datos de forma análoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones.Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios eran de forma:x + ax = bx + ax + bx =0Donde a, b y c eran números conocidos y x la incógnita que ellos denominaban aha o montón.Una ecuación lineal que aparece en el papiro de Rhind responde al problema siguiente:“un montón y un séptimo del mismo es igual a 24”En notación moderna, la ecuación sería:x + 1/7x = 24INCLINACIÓN DE UNA RECTAEs el ángulo que forma la recta con al eje de abscisas. Este ángulo se mide a partir del semieje positivo de abscisas hasta la ubicación de la recta, tomando dicho ángulo en sentido antihorario. Para que usted comprenda un poco más al respecto vea el siguiente gráfico:

Donde : Medida del ángulo entre la recta L2 y el semieje X positivo.

: medida del ángulo entre la recta L1 y el semieje X positivo

Ejemplos:

PENDIENTE DE UNA RECTASe denomina pendiente de una recta a la razón trigonométrica tangente de la medida del ángulo formado por la recta y el eje X.

NOTAConvencionalmente la pendiente de una recta se denota con la letra m (minúscula)

De la figura mostrada

Sea m1 la pendiente de la recta L1.Luego m1 = tanDe acuerdo a lo que hemos dibujado < 90º

Sea m2 la pendiente de la recta L2

Luego: m2 0 tan

De acuerdo al gráfico > 90º entonces m2 es negativa.

Ejemplo 1:Dado el gráfico, calcule la pendiente de L1.Resolución:Sea:

Ejemplo 2:Dado el gráfico , calcule la pendiente de L2.

Resolución:Sea:

CALCULO DE LA PENDIENTELa pendiente de una recta puede ser calculado conociendo las coordenadas de dos puntos de dicha recta.Par nuestro caso que es una recta “L” los puntos dato o conocido:Serán A(x1; y1) y B(x2;y2), el gráfico ilustra al respecto.

Del gráfico sea n la pendiente de la recta “L”, luego m=tanEn el triángulo AMB.

Esta última relación será la indicada para calcular la pendiente de la recta, teniendo como dato, los componentes de dos puntos pertenecientes a dicha recta.Ejemplo:

1. Dado el gráfico

Sea m la pendiente de “L”

Luego partiendo desde el punto A

Esto indica que:

La pendiente L1 es ó la tan =

CÁLCULO DE LA MEDIDA ANGULAR ENTRE DOS RECTAS

Seguidamente dibujaremos las rectas L1 y L2 con sus respectivos ángulos de inclinación y , con el ángulo que

forman al intersectarse esto es el ángulo .

OBSERVACIÓN

L1 y L2 también forman el ángulo

Sea:

* : cuya pendiente es m1.

* : cuya pendiente esm2.

Luego: m1 = tan , m2=tang

Tomando la razón tangente a cada uno de los miembros obtendremos: tan = tan( - ) y utilizando una identidad trigonométrica se tiene:

Reemplazando tan =m2 y tan m1

NOTA +=180º tg = -tgEjemplo:Halle la medida del ángulo que forman las rectas L1 y L2 cuyas pendientes respectivas son 2 y 3Resolución:Sea m1 : La pendiente de L1

m2 : La pendiente de L2

: El ángulo que formanLuego:

Nota:El ángulo que forman L1 y L2

puede ser ó (180º -)ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLESLa ecuación de la forma Ax + By + C = 0 representa geométricamente la ecuación de una recta, así tenemos:

Forma de la ecuación general de la recta.Toda ecuación lineal de la forma Ax + By + C = 0, se denomina ecuación lineal en variables x e y o de primer grado donde (x:y) pertenece a dicha recta. Esto es la ecuación general de una recta, se cumple para todo valor de x e y que satisface dicha ecuación

Del gráfico: Ecuación general

Donde: A, B y C son constantes, siendo m su pendiente.

Seguidamente para entender un poco más síganme con los siguientes ejemplos1. Dada la ecuación e la recta.

2x + 3y + 5 = 0 yAx + By + C = 0 (ecuación general)Sea su pendiente m comparando tendremos:A = 2 y B = 3

2. Dada la ecuación5x + 3y – 7 = 0 y su pendiente m de igual forma: A = 5 y B = 3

3. Dada la ecuación de la recta L1

3x + py + 5 = 0 si su pendiente es -3Halle el valor de P.Resolución

Sea m la pendiente m = -3 pero

4. Halle la pendiente de la recta L1 cuya ecuación es:

3tan60x – sen 53ºy + cos = 0Resolución:Sea m la pendiente de L1

ECUACIÓN DE LA RECTA DADO UN PUNTO Y SU PENDIENTE.La ecuación de una recta que pasa por el punto P(x1;y1) y tiene una pendiente m es:

y – y1 = m(x – x1)

Sea A(x;y) un punto que en general perteneciente a la recta L luego por cálculo de pendiente.Obtendremos:

(ecuación punto y pendiente)Donde:P(x1;y1) : Punto de paso A(x;y) : Punto genérico (punto en general) m : Pendiente

Resolución:Por dato m = 3Punto de paso P(2;3) = P(x1;y1)

y – y1 = m(x – x1)y – 3 = m(x – 2)y – 3 = 3(x – 2) de donde:y – 3 = 3x – 6 3x – y – 3 = 0 (es la ecuación de la recta L)

NOTA: Si dos rectas tienen la misma pendiente Si dos rectas son perpendiculares el producto de sus pendientes es -1.

ÁNGULO FORMADO POR DOS RECTAS

Ejemplo:Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto P(2,-1) y que forma cada una, un ángulo de 45º con la recta L:2x-3y+7 =0SOLUCIÓN:Ilustramos los datos del problema mediante el siguiente gráfico.

Como L: 2x – 3y + 7 = 0

Sea mL1 = m la pendiente de la recta L1

Aplicando la propiedad:

, de donde

La ecuación de la recta L1 es:

Para el caso de la otra recta L2 se tiene m2 = m

Como: de donde

La ecuación de la recta L2 es:

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

EJEMPLO:Hallar los valores de k para que la recta L:4x-3y+k-2=0 diste del punto P(2,-3), 5 unidadesSOLUCIÓNComo d(P,L)=5, entonces.

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS

Ejemplo:Hallar el área de un cuadrado que tiene 2 lados colineales con la recta L1, de ecuación 3x-4y-10=0 y L2: 3x-4y+15=0

SOLUCIÓNEl lado del cuadrado es la distancia entre las áreas L1 y L2; es decir:

Finalmente: S = d2 S = 25 2

RECTA BISECTRIZSean:L1: A1x+B1y+C1 = 0L2: A2x+B2y+C2 = 0

Ejemplo:Hallar la ecuación de la bisectriz del ángulo agudo formado por las rectas x-2y-4=0, 4x-y-4=0

SOLUCIÓNComo el origen O y P están a un mismo lado de L1 y opuestos a L2 entonces d1 = -d2

Como L1: x – 2y – 4 = 0, L2: 4x – y – 4 = 0d1 (P,L1) = -d2(P,L2)

( +4 )x – (2 + ) y -4 - 4 = 0

FAMILIA DE RECTASTodo conjunto de rectas que satisfacen una única condición geométrica, se llama familia de rectas ó haz de rectas.

Ejemplo.Una recta pasa por el origen de coordenadas y por la intersección de las rectas 3x+2y-14=0 y x-3y-1=0. Hallar su ecuación sin determinar el punto de intersección.SoluciónLa recta pedida pertenece a la familia de rectas:L: 3x+2y-14+k(x-3y-1) = 0Como la recta L pasa por el origen (0,0) entonces 0 +0 – 14 + k(0-0-1)=1 ==> k = -14 L: x = 4y

PRACTICA 1 Nivel Básico

1. Indique el cuadrante (o lugar) al cual pertenecen los siguientes pares ordenadosA (-5;1) B (2;3)C (4;-5) D (-2;-3)E (5;0) F (6;6)Rpta: ______________________________

2. Si un mismo punto P del plano cartesiano puede expresarse de la forma. P(x-1;6) y también como P(4;y+3). Calcule x+y.Rpta: ______________________________

3. halle el área del cuadrado ABCD

Rpta: ______________________________

4. Si las coordenadas del baricentro de un triángulo ABC son (2;3), además:A(4;a) B(8;3) C(b;9)Calcule: a+bRpta: ______________________________

5. Si el punto medio de A(2;a) y B(4;a+2) es M(3;9), calcule a:Rpta: ______________________________

6. Halle el área de un triángulo equilátero si dos de sus vértices son: A(4;3) B(7;2)

Rpta: ______________________________

7. Halle el perímetro de un pentágono regular si dos de sus vértices consecutivos son A(4;6) y B(2;3)Rpta: ______________________________

8. Si P(a;2b-3), equidista de A (7;3) y B(4,9) calcule a + bRpta: ______________________________

9. Halle el área de la región triangular A(2;3), B(4;5), C(6;7)Rpta: ______________________________

10. ¿Cuál de los siguientes pares ordenados está más cerca del eje de abscisas?A(4;7) B(2;9) C(8;5)Rpta: ______________________________

11. ¿Cuál de los siguientes pares ordenados esta más lejos del eje de ordenadas?A(3;5) B(7;3) C(-9;-8)Rpta: ______________________________

12. Determine el valor de m. Si la distancia entre los puntos A(7;1) y B(3;m) es 5.Rpta: ______________________________

CONTINUAR NIVEL BASICO (NUMERACION ORDENAR)

1. Halle la ecuación de una recta L que pasa por el punto (4;-3) y es paralela a una recta L, cuya ecuación es: y = 3x + 5.Rpta: _____________________________________

2. Una recta pasa por los puntos (2;3) y (10;8), halle la ecuación de dicha recta.Rpta: _____________________________________

3. Halle el punto de intersección de las rectas:L1 : 2x – y + 3 = 0L2 : x – 3y 1 = 0Rpta: _____________________________________

4. Halle la ecuación de la recta que pasa por (-2;3) y es paralela a otra recta que pasa por (-1;2) y (3;-4)Rpta: _____________________________________

5. Si las rectas:L1 ; y = Mx + NL2 : y = Ax + bSon perpendiculares, se cumple que:Rpta: _____________________________________

6. Según el gráfico ABCD es un cuadrado = 6 y = 4. determine la ecuación de la recta

Rpta: _____________________________________

7. Según el gráfico OA = AB y G es baricentro de la región triangular DAB. Determine la ecuación de

Rpta: _____________________________________

8. Del gráfico hallar la ecuación de la recta

Rpta: _____________________________________

9. La ecuación L: 4 4x + 2y + b = 0 pasa por el punto (4;-10) obtener “b”.

Rpta: _____________________________________

10. Halle el punto e intersección de las rectas:L1 ; 4x – 2y = 0L2 : 6x + 2y + 3 = 0

Rpta: _____________________________________

11. La recta que pasa por (6;-8) y es perpendicular a la recta y = -4x + 3, tiene por ecuación:

Rpta: _____________________________________

12. Halle la ecuación de la recta que pasa por (2;4) y es paralela a la recta y = 4x + 1

Rpta: _____________________________________

13. halle el valor de “a” de modo que la recta:L1: ax + (a – 3)y + 2009 = 0 sea paralelo a la recta:L2: 8x + 6y + 7 = 0

Rpta: _____________________________________

14. Las rectas :ax + 2by + c = 0 y 9x – 3y + 2009 = 0 son perpendiculares. El valor e ab-1 será:

Rpta: _____________________________________

15. Dado las rectas2x + 5y – 30 = 0 y mx + 8y – 45 = 0Calcule el valor de m para que dichas rectas sean paralelas:Rpta: _____________________________________

SISTEMA DE COORDENADAS

1. Hallar el área del rectángulo ABCDa) 40 2

b) 50 2

c) 60 2

d) 30 2

e) 55 2

2. En la figura, hablar la suma de las coordenadas de P; si PA = 5a) 4b) 6c) 10d) 9e) 8

3. De la gráfica, hallar (a+b)a) 3b) 4c) 5d) 7e) 8

4. Obtenga la distancia entre los puntos: P(a+1;b+4) y Q(a+5 ; b+1)a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 5

5. Determine el radio vector de (3;-2)

a) b) c)

d) e)

6. El triángulo de vértices (3;2), (5;-4) y (1;-2) es:a) Isósceles b) Rectángulo c) Equilátero d) Escaleno e) Rectángulo - Isósceles

7. Determinar el valor de “b” si la distancia entre los puntos A(7;1) y B(3;b) es 5 (b<0) a) -1 b) -2 c) -8 d) -5 e) -3

8. Calcular la suma de los valores de “a”, si la distancia del punto P al punto Q es de 5. Siendo: P=(m+3;3a+1) y Q=(m-1;2a) a) 4 b) 2 c) -2

d) -4 e) 3

9. De la figura. Hallar : x+ya) 7b) 9c) 11d) 12e) 14

10. Sabiendo que (9;2) divide a AB en la relación 3/7 donde A(6;8). Hallar B a) (6;-14) b) (16;-11) c) (16;-13) d) (16;-12) e) N.A.

11. Hallar la razón “r” en que el punto P(x;x-1), divide al segmento FG, donde F(6;-2) y G(0;0)a) -4 b) 6 c) 7 d) -9 e) -812. Hallar (x+y), en la figura, si JK/KA = -2a) 3a + 2bb) 3a 2bc) 2a + 3bd) 3b 2ae) 2a 3b

13. Si (-1;2) es el punto medio del segmento formado al unir los puntos (-3;-1) y (a;b). Determinar “a+b” a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

14. Si (4;2) es el punto medio del segmento formado al unir los puntos (a;-3) y (5;b).

Determinar: E=

a) b) c) 2

d) 3 e) 515. En la figura hallar el baricentro:

a)

b)

c)

d)

e)

16. Dados los vértices de un triangulo ABC: A(-4;6), B(m;n), C(-3;-8), si el baricentro G es (2;6). Hallar “m+n”. a) 26 b) 28 c) 30 d) 33 e) 35

17. Calcular el baricentro del triángulo ACD si el baricentro del triángulo ABC es G1(3;2), siendo los vértices: A(0;0), B(3;6) y C(6;a), además D(3;-3) a) (3;6) b) (3;-1) c) (0;-1) d) (2;-1) e) (2;0)

18. Calcule el área de la región triangular ABC, sabiendo que: A(-6;-8), B(-4;3) y C(8;-2) a) 392 b) 412 c) 542 d) 202 e) 242

19. Hallar el área del polígono cuyos vértices son: (2;5), (7;1), (3;-4), (-2;3) a) 39,5 b) 35 c) 39 d) 38,5 e) 37

20. Determine el área del paralelogramo ABCD, tres de cuyos vértices son los puntos A(4;9), B(10;1) y C(3,7) a) 82 b) 102 c) 162 d) 202 e) 242

21. En la figura BESO y AMOR son cuadrados siendo el área de la región del cuadrado mayor 4 veces el área de la región del cuadrado menor. Calcular la suma de las coordenadas del vértice E.

a) -2 b) -2 c) -4

d) -4 e) N.A.

22. Si tg2 = 2/3. Hallar las coordenadas del punto Ja) (14;16)b) (15;11)c) (16;13)d) (16;18)e) (14;20)

23. Determine las coordenadas de “B” (ABCD es paralelogramo)

a) (-3;9) b) (-3;5) c) (-2;11)d) (-3;11) e) (-2;5)

24. Al tener el menor valor de “x” al resolver:

Obtenemosa) xZ+ b) xZ- c) -x Z+d) -xZ- e) El problema es absurdo

25. En la figura “N” es punto medio de BC, ABCD es un cuadrado, AO=3AD=12. Hallar las coordenadas del punto “P”, si PN=2OP a) (6;3) b) (7;8) c) (1;3) d) (7;9) e) (6;4/3)

26. Hallar las coordenadas del baricentro, si

a) b) c)

d) e) N.A.

27. Según el gráfico, AM=MO y R=2. Calcule de las coordenadas del punto A

a) (2; ) b) (3; ) c) (1; )

d) (3; ) e) (1; )

29. En la figura O1 y O2 son centros de los cuadrados PQRS y ABCD respectivamente. Calcule O1O2

a) 13 b) 26 c) 9

d) 13 e) 12

30. Hallar la pendiente de la recta que pasa por (3;4), (1;-2) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

31. Hallar la pendiente de la recta que pasa por (6;0), (6; )

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) no existe

32. Un microbio desea observar desde el eje x a dos amiguitas con ángulos de elevación respecto del eje x e igual medida. Si las dos fulanas viven en los puntos (-1,4) y (5,2). Hallar el punto donde debe ubicarse el microbio.

a) (10/3; 0) b) (8/3;0) c) (4;0) d) (3;0) e) (2;0)

33. Al ubicar en el plano “x”; “y”; “z” y “w” y unirlos con rectas, tal que B es el eje de las abscisas y H es el eje de ordenadas. Calcular la suma de las áreas del mayor y menor triángulo formado

a) 3bh b) 5bh c) 4bh/2d) 7bh/2 e) 9bh/2

34. Según el gráfico calcular la pendiente de EP, si ABCD es un cuadrado y DC=2BP.

a) 1 b) ½ c) 2d) 3/2 e) 2/3

NIVEL INTERMEDIO Y AVANZADO

35. Del gráfico, A(12;-5). Halle las coordenadas del punto P.a) (6;9)b) (5;3) c) (6;6)d) (6;4) e) (6;7)

28. De acuerdo a la gráfica calcular el área de la región sombreada si ABCD es un paralelogramo y MN = 2DM=2NC

a) 5 2 b) 10 2 c) 15 2

d) 20 2 e) N.A

1. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento AB siendo A(-2,3) y B(3,-1)a) 5x + 3y + 1 = 0b) 10x – 8x – 8y + 5 = 0c) 8x – 10y + 3 = 0d) 10x – 8y + 3 = 0e) 6x – 7y + 2 = 02. Hallar el área del paralelogramo donde tres de sus vértices son: (-4,5); (6,4) y (8,-1)a) 5 u2 b) 48 u2 c) 15 u2 d) 30 u2 e) 10 u2 3. Hallar las coordenadas de los vértices de un triángulo cuyas coordenadas de los puntos medios (3,2) (-1,-2) y

(5,-4). Dar como respuesta las suma de las abscisas de los vértices del triángulo.a) 7 b) 10 c) 11 d) -6 e) -24. En una semicircunferencia de diámetro AB; A(-3,0), en dicha semicircunferencia se ubica el punto C (3,3), si la

ordenada de B es cero; calcular la coordenada de B.a) (2,0) b) (5/2,0) c) (3/2,0)d) (7/2.0) e) (9/2,0)5. Del gráfico AB = 3BC y R = 3. Hallar la ecuación de la recta L

a) y + 3x -15 = 0b) 3y + 4x -16 = 0c) x + 3y -10 = 0d) 4y + 3x -15 = 0e) 3y + 3x -10 = 06. Una recta intersecada unos ejes coordenados en los puntos (0,8) y (4,0). Hallar el área de la mayor región

rectangular que se puede inscribir en el triángulo formado por la recta y lo sejes de coordenadas.a) 2 u2 b) 4 u2 c) 6 u2 d) 7 u2 e) 9 u2 7. En el gráfico BC =2CD, Calcule la pendiente de OD

a) 1

b)

c)

d)

e) 2/38. Hallar la ecuación de la recta L si T es punto de tangencia y T(2,4)

a) 5x – 4 y + 10 = 0b) 3x + 4 y – 10 = 0c) 3x – 4 y + 10 = 0d) x – y + 10 = 0e) 4x – 3 y + 10 = 09. Según la figura halle la ecuación de la recta de L si la región cuadrada EDCB y la región triangular equilátera

OBA tienen igual perímetro.

a) 4y = 3x b) 3y = 4x c) 3y = xd) 4y = x e) 5y = 4x

10. En el gráfico MN = MB; R=2AQ y T es punto de tangencia. Calcular la pendiente de QM

a) 1/3 b) 2/3 c) ½d) ¾ e) 2/511. Según el gráfico ABCD es un cuadrado, si A(9,2) halle la ecuación de la recta que contiene a los centros del

cuadrado y de la circunferencia (P y Q son puntos de tangencia)

a) 4x + 5y – 5 = 0b) 4x – 5y + 5 = 0c) 4x + 5y + 45 = 0d) 4x + 5y - 45 = 0e) 4x + 4y - 45 = 0

12. En el gráfico las ecuaciones L1 y L2 son x + y = 0 y x – 2y = 0 respectivamente. Calcula la distancia del punto medio de AB al origen de coordenadas

a) /2 b) /2 c)

d) 2 /3 e) 4

13. El área de la región paralelográmica ABOC es 8 u2 y S es el punto de tangencia de L.

a) 3x + y -8 = 0

b) x + 3y – 4 = 0

c) x + y -8 = 0

d) x + y -2 = 0

e) x + 3y - 8 = 0

14. En la figura AB = BC, PQ=QR, 2BC=3PQ, RD = 2 y A(-2,0), calcule la distancia de A hacia la recta L

a) 8 /10 b) 9 /10 c) 7 /10

d) 11 /10 e) 13 /10

15. Calcular las coordenadas del punto C del cuadrado ABCD, para que TC // O1O2 siendo O1O2 centros, D y T son puntos de tangencia, además OT=2

a) (2, ) b) (2,2 ) c) (2,5)

d) (2, 2 ) e) (2, 3 )

16. Hallar el área de la región del cuadrado ABCD

a) 8 u2 b) 9 u2 c) 10 u2 d) 11 u2 e) 12 u2 17. En la figura hallar la ecuación de la recta L, si las coordenadas de A y B suman cero, además M es punto medio

de AB.

a) y + x = 0 b) y + 2x = 0c) y – x = 0 d) y = -x/2e) y = 2x18. Se tiene un segmento AB donde M es punto medio, siendo A(3,1) y B(5,5). Hallar las coordenadas del punto P

situado en el eje de las abscisas teniendo el ángulo de inclinación de PM cuya medida es 45º.a) (2/3,0) b) (1/3,0) c) (1,0) d) (½,0) e) (2,0)

19. En un triángulo ABC de ortocentro H (AC esta en el eje y), B y H pertenecen a la recta L:3y – 4x = 0, BC es perpendicular al eje x, B pertenece al primer cuadrante, C(16,0). Hallar la ecuación de CH.

a) 12x + 7y + 192 = 0b) 12x - 7y + 192 = 0c) 12x + 7y - 192 = 0d) 12x - 7y - 192 = 0e) 6x + 7y + 192 = 0

20. En el gráfico mostrado las ecuaciones de la rectas L1 y L2 son: L1: y +2x – 4 = 0L2: x – 3y + 3 = 0Calcular la ecuación de la recta L

a) x – 2y + 2 = 0 b) 2x – y + 2 = 0 c) 2x + 3y -2 = 0 d) 2x + 3y = 6e) x + 2y – 2 = 021. En la figura T es punto de tangencia, PQ=QN, OP = 10. Halle la ecuación de la recta L.

a) 4x – y – 8 = 0b) 4x – y – 4 = 0c) 4x – y – 16 = 0d) 4x – y – 15 = 0e) 4x – y – 10 = 0

22. Hallar la ecuación general de la recta L si BC=10.

a) x – 3y + 20 = 0b) 4x – 3y – 20 = 0c) x – 3y – 20 = 0d) 5x – 3y + 20 = 0e) 6x – 3y + 20 = 0

23. Si ABCD es un cuadrado y L2: 2x – y – 4 = 0; hallar la ecuación de la recta L1

a) x + y – 6 = 0b) 3x + 4y – 6 = 0c) 3x + y – 6 = 0d) 3x – y + 6 = 0e) x + 3y – 8 = 0

24. Del gráfico hallar la ecuación de la recta “L” en términos de “”, si ABCD es un cuadrado de lado

a) y Cos + x Sen = 1b) y Cos + x Sen = Cosc) y Cos – x Sen = Cosd) x Cos – y Sen = Sene) x Cos – y Sen = Cos

25. Si un punto sobre la recta 3x + 5y = 15 equidista de los ejes coordenados, entonces el punto mencionado puede encontrarse:

a) En ninguno de los cuadrantes b) En el cuadrante I solamentec) Únicamente en los cuadrantes I y IId) Únicamente en los cuadrantes I, II y IIIe) En cada uno de los cuadrantes.

26. un cuadrilátero tiene sus vértices en los puntos coordenados A(0,0), B(2,2), C(7,2) y D(5,0).I. Si sólo los valores de las abscisas se multiplica por 2, entonces este nuevo cuadrilátero es semejante al

originalII. Si los valores de las abscisas y ordenadas se multiplica por un mismo número, entonces este cuadrilátero

es semejante al original.III. Si los valores de las abscisas se multiplican por 2 y las ordenadas por 3, entonces el área de este nuevo

cuadrilátero es 5 veces mayor que el original.a) FVF b) FFV c) VFF d) FFF e) VVF27. La recta L cuyos puntos equidistan de las rectas L: 12x – 5y + 3 = 0, L: 12x – 5y – 6 = 0; tiene por ecuación

a) 12x – 5y - =0 b) 12x – 5y – 3 = 0

c) 12x – 5y + 9= 0 d) 12x – 5y + = 0

e) 12x – 5y - = 0

28. Escríbase la ecuación de la recta L. Si MO es a BM como 1 es a (1+ ), m1= -1, m2 = y I =( ;3)

a) L: y = x+3-

b) L: x = y+3+

c) L: y = x-3 +

d) L: y = 2x-3+

e) L: 2y = x+3-

29. Escríbase la ecuación de la recta L. Si OM es a MC como 6 es a 10, m1= , y m2= -

a) L: x + 3y -36= 0b) L: 2x - 3y +36= 0c) L: 4x + y -36= 0d) L: 4x + 3y -36= 0e) L: x + y -36= 0

30. Escríbase la ecuación de la recta L. Si B=(a;20) y MC es a OB como 3 es a 5; además L1 mediatriz de OC

a) x – y = 0b) x + 2y = 0c) 4x – y = 0d) x – 4 y = 0e) x + y = 0

31. Escríbase la ecuación de la recta que pasa por lis puntos B y C, si AM es MC como 6 es a 5

a) y = x

b) y = 2x c) y = -2x

d) y = - x

e) y = x

32. Escríbase la ecuación de la bisectriz, si la recta L tiene por pendiente -1, M(10,0), además se verifica que OM es a AM como 1 es a

a) y(1- )x + 10(1 + )

b) y x + 10(1 - )

c) y(2- )x + 10(1 + )

d) y(1+ )x + 8(1 - )

e) y(1- )x + 9(1 - )

33. Escríbase la ecuación de la recta L, si OQ es a OP como 1 es a 2

a) y + x = 0

b) y +x = 0

c) y - x = 0

d) 2y + x = 0

e) y - 2x = 0