1

DEFINICION.- Es el lugar geomtrico de los puntos cuya distancia a un punto fijo llamado foco es igual a la distancia a una recta fija llamada directriz

PARBOLA:

Excentricidad Razn constante entre la distancia de un punto al foco y la distancia de dicho punto a la directriz.

ECUACIONES

1. VERTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL X

Directriz : X = p LR = | 4p |

Si P>0, la parbola se abre hacia la derecha. Si P0, la parbola se abre hacia la arriba. Si P0, se abre hacia la derecha. Si P0, se abre hacia la arriba. Si P

2

EJERCICIOS DE APLICACIN

1. Hallar la ecuacin de la parbola cannica que tiene como foco a ( 0 ; 3)

2. Hallar la ecuacin de la parbola cannica que tiene como directriz a la recta x + 5 = 0

3. Hallar la ecuacin de la parbola cannica vertical que pasa por el punto ( 2 ; 3 )

4. Hallar la ecuacin de la parbola cannica con eje en las abscisas que pasa por ( -3 ; 5 )

5. Hallar la ecuacin de la parbola que tiene como foco a ( 4 ; 3) y vrtice ( 4 ; -5 )

6. Hallar la ecuacin de la parbola que tiene como foco a (5; - 3) y vrtice ( 7 ; -3 )

7. Hallar la ecuacin de la parbola que tiene como vrtice ( 4 ; -5 ) y directriz y = 5

8. Hallar la ecuacin de la parbola que tiene como vrtice ( 1; 7 ) y directriz x = 4

9. Hallar el foco de la parbola de ecuacin x2 + 24x + 12y + 24 = 0

10. Hallar el vrtice de la parbola de ecuacin y2 + 5x + 4y +34 = 0

PARABOLA PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Hallar la ecuacin de la parbola cuyo vrtice es el origen sabiendo que es simtrica respecto al eje

Y y que pasa por el punto (4;8)

a) y2 16x = 0

b) x2 2y=0

c) x2 + 2y = 0

d) 3x2+2y32=0

e) x2 + 5y = 0

2. Hallar la longitud del radio vector del punto de la parbola x2 + 9y = 0 cuya abscisa es igual a 3/2.

a) 5/2

b) 7/2

c) 9/2

d) 4

e) N.A.

3. Hallar la medida de la cuerda que se forma entre la recta L : x + y3=0 y la parbola x2 4y =0

a) 52 u b) 62 u c) 72 u d) 82 u e) 92 u

4. Hallar la ecuacin de la parbola cuyo foco es F=( 0 ; 3/2) y cuyo directriz es la recta L : 2y + 3 = 0

a) x2 = 8y

b) x2 = 6y

c) x2 = 8y

d) x2 = 6y

e) x2 = 10y

5. Hallar los puntos de la interseccin de la recta 3x+4y12=0 y la parbola y2 + 9x = 0

a) ( 6; 4) ( 7;4 )

b) (4; 6) ( 4; 7)

c) (4; 6 ) (7;4)

d) (6; 4) ( 7; 4)

e) (4; 6)

6. Hallar los puntos de la interseccin de la recta 3x2y+6=0 y la parbola y2 6x = 0

a) ( 5; 8) ( 7;3 )

b) (3;7) ( 4; 7)

c) (6; 6 ) (7;6)

d) (6;6) ( 7; 8)

e) No se interceptan.

7. El rea del tringulo que forman los puntos de interseccin de la parbola y2 2x=0 con la recta

L: x y 4 = 0 ms el vrtice de tal parbola es:

a) 16 u2

b) 6 u2

c) 12 u2

d) 8 u2

e) 24 u2

3

8. Hallar la longitud de la cuerda focal de la parbola x2 +8y =0 que es paralela a la recta 3x + 4y = 7

a. 25/2

b. 25/3

c. 27/4

d. 25

e. 27/5

9. Hallar la longitud del radio focal del punto M de la

parbola y2=20x , si la ordenada del punto M es igual a 2 35.

a. 8 b. 10 c. 12 d. 14 e. 16

10. Hallar la ecuacin de la parbola que tenga por foco (5/3;0) y directriz la recta L:3x5=0

a. 20y2 + 3x = 0 b. 4y2 + 5x = 0 c. 3x2 + 20y = 0 d. 3y2 + 20x = 0 e. 3y2 20x = 0

11. En cierta parbola la distancia del vrtice al foco F es 1. P es un punto de la parbola que dista 5 unidades del foco. Q es la proyeccin de P sobre la directriz. R es la interseccin de la directriz con el eje. Hallar el rea del cuadriltero PQRF.

a. 8 u2 b. 10 u2 c. 12 u2 d. 14 u2 e. 16 u2

12. Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por el vrtice y los extremos del lado recto de la parbola x2=4y

a. x2 + y2 5y = 0 b. x2 + y2 + 6y = 0 c. x2 + y2 6y = 0 d. x2 + y2 + 3y = 0 e. x2 + y2 + 5y = 0

13. Hallar la longitud de la cuerda focal de la parbola x2=4y que es perpendicular a la recta L:x+2y8=0

a. 13 b. 17 c. 20 d. 22 e. 19

14. Hallar la ecuacin de la parbola cuyo vrtice es ( 0 ; 0 ) y su foco es ( 7 ; 0 ).

a. y2 =8x

b. y2 =18x

c. y2 28x

d. y2 =38x

e. y2 =48x 15. La ecuacin de una parbola es

y2 = 36x. Hallar las coordenadas del foco y la longitud de su lado recto.

a. F(9 ; 0 ) y LR =36

b. F(8 ; 0 ) y LR =36

c. F(7 ; 0 ) y LR =36

d. F(6 ; 0 ) y LR =36

e. F(5 ; 0 ) y LR =36

16. Una parbola pasa por el punto (3 ; 6) y su vrtice coincide con el origen del

sistema de coordenadas, si su eje coincide con el

eje de abscisas, hallar la ecuacin de la parbola.

a. y2 =10x

b. y2 =12x

c. y2 =14x

d. y2 =16x

e. y2 =18x

17. La ecuacin de una parbola es y2 = 48x, si PQ es su lado recto. Hallar las

coordenadas de P y Q.

a. P(12 ; 24 ) y Q(12 ; 18 )

b. P(12 ; 24 ) y Q(12 ; 20 )

c. P(12 ; 24 ) y Q(12 ; 22 )

d. P(12 ; 24 ) y Q(12 ; 24 )

e. P(12 ; 24 ) y Q(12 ; 26 )

18. Hallar el foco de la parbola, cuyo vrtice se encuentra en el origen y directriz la recta L: y5

=0.

a. ( 5 ; 0 )

b. ( 2 ; 0 )

c. ( 2 ; 0 )

d. ( 0 ; 2 )

e. ( 0 ; 5 )

19. La ecuacin de una parbola es x2 +9y = 0, los puntos A( 3 ; a ) y B(b; 4)

pertenecen a la parbola. Hallar la longitud de la

cuerda AB (B IIIQ).

a. 3 10 b. 4 10 c. 5 10 d. 6 10 e. 7 10

4

20. Hallar la ecuacin de la parbola cuyo vrtice y foco tienen por coordenadas (4 ; 3 ) y (1 ; 3 )

respectivamente.

a. (y 3)2 = 8( x + 4)

b. (y 3)2 = 9( x + 4)

c. (y 3)2 = 10( x + 4)

d. (y 3)2 = 11( x + 4)

e. (y 3)2 = 12( x + 4)

21. El eje de la parbola es paralelo al eje X, su foco es (8; 6) y la longitud de su lado recto es 20u.

hallar la ecuacin de la parbola sabiendo adems

que el vrtice esta a la derecha del foco.

a. ( y 6 )2 = 12( x 13)

b. ( y 6 )2 = 14( x 13)

c. ( y 6 )2 = 16( x 13)

d. ( y 6 )2 = 18( x 13)

e. ( y 6 )2 = 20( x 13)

22. Hallar el lado recto de la parbola, cuya ecuacin es

9x2 + 24x + 72y + 16 = 0

a. 8u

b. 2u

c. 12u

d. 4u.

e. 10u

23. Cual es el vrtice de la parbola que tiene por ecuacin: x2+x+ 3y=11/4 .

a. ( 0,5 ; 1 )

b. ( 1; 0,5)

c. ( 1 ; 1 )

d. ( 0,5 ; 1 )

e. ( 0,5 ; 1 )

24. Hallar la ecuacin de la parbola cuyo foco es el punto (0;4/3) y por directriz tiene la recta y

4/3=0

a. x2 + 16y = 0

b. 3x2 + 15y = 0

c. 3x2 + 16y = 0

d. 3x2 16y = 0

e. x2 16y = 0

25. Hallar la ecuacin de la parbola de vrtice (3;2) y foco ( 5 ; 2)

a. y2 4y 8x +28 =0

b. y2 + 4y 8x +28 =0

c. y2 4y + 8x +28 =0

d. y2 + 4y 8x +28 =0

e. N. A.

26. Hallar la ecuacin de la parbola de foco ( 6 ; 2) y directriz x 2 = 0.

a. y2 + 4y + 8x + 36 =0

b. y2 4y + 8x + 36 =0

c. y2 + 4y 8x 36 =0

d. y2 + 4y 8x + 36 =0

e. y2 - 4y 8x + 36 =0

27. Hallar la ecuacin de la parbola de vrtice ( 2 ; 3 ) de eje // a Y y que pasa por el punto ( 4 ; 5 )

a. x2 4x 2y 10 = 0

b. x2 4x 2y + 10 = 0

c. 4x2 x 2y + 10 = 0

d. x2 + 4x 2y + 10 = 0

e. 3x2 + 4x 2y + 10 = 0 28. Hallar la ecuacin de la parbola de eje // a X que

pase por los puntos (2 ; 1 ) (1 ; 2) (1; 3).

a. 5y2 + 2x + 21y + 20 = 0 b. 5x2 2x + 21y 20 = 0 c. 5y2 + 2x 21y + 20 = 0 d. 5x2 + 3x + 21 = 0 e. 3y2 + 5x 21y + 20 = 0

29. Hallar los puntos de interseccin de la recta:

xy4-=0 y la parbola: y2 = 2x a. ( 8 ; 4 ) y ( 2 ; 0) b. ( 8 ; 4 ) y ( 2;1) c. ( 8 ; 4 ) y ( 2 ;2) d. ( 8 ; 4 ) y ( 2;3) e. ( 8 ; 4 ) y ( 2 ; 4)

30. La ecuacin de la parbola es

(x1)2 = 2(y+2). Hallar los puntos de interseccin de la curva con eje de las abscisas.

a. ( 3 ; 0 ) y (1 ; 0 ) b. ( 4 ; 0 ) y (1 ; 0 ) c. ( 3 ; 0 ) y (2 ; 0 ) d. ( 5 ; 0 ) y (1 ; 0 ) e. ( 3 ; 0 ) y (3 ; 0 )

31. Una parbola tiene su foco en el punto (1 ; 2 ) y su directriz es la recta L: y 6 = 0 Determinar su ecuacin.

a. x2 + 2x 8y + 32 = 0 b. x2 + 2x + 8y 32 = 0 c. x2 + 2x 8y + 31 = 0 d. x2 2x 8y 31 = 0 e. x2 + 2x + 8y 31 = 0

5

32. Una antena de radar se construye de tal manera que cualquier seccin transversal que pasa por su eje es una parbola. Suponga que el receptor se coloca en el foco. Hallar la ubicacin del receptor si la antena tiene un dimetro de 5m. en la abertura y 1m. de profundidad

a. ( 5 ; 3/4 ) b. ( 3 ; 5/4 ) c. ( 0 ; 1/ 4) d. ( 0 ; 25/16 ) e. (0 ; 25/4 )

33. Un arco parablico tiene una altura de 20 m. y un ancho de 36m en la base, si el vrtice de la parbola esta en la parte superior del arco, a que altura sobre la base tiene un ancho de 9 m.

a. 12,5m. b.14m. c. 15m d. 18,75m. e. 13,6m

34. El foco de una parbola es el punto ( 4 ; 10 ) y la directriz es la recta x + y 18 = 0; hallar su vrtice.

a. 6 ; 12 ) b. ( 1 ; 4 ) c. ( 5 ; 4) d. ( 5 ; 11 ) e. ( 8 ; 4 )

35. Cual es el valor de t 0 para que las coordenadas del foco de la parbola x2 + 4x 4ty 8 = 0 sumen cero.

a. 3 b. 0 c. 2 d. 1 e. N. A.

36. La entrada de una iglesia tiene la forma de parbola de 9 m. de alto y 12 m. de base. Toda la parte superior es una ventana de vidrio cuya base es paralela al piso y mide 8 m. Cual es la altura mxima de la ventana? a. 6m. b. 14m. c. 10m d. 4m. e. 16m

37. Un depsito de agua tiene seccin transversal parablica, cuando el nivel AB del agua alcanza una altura de 6m. su longitud AB mide 24m; se pide calcular la longitud A B del nivel del agua, cuando el nivel desciende 4m.

a. 2 3 b. 10 3 c. 6 3 d. 5 3 e. 8 3

38. El cable de un puente colgante soporta una calzada

de 300m. mediante alambres verticales. Si el cable cuelga adoptando una forma parablica y los alambres mas largos y cortos miden 90m. y 15m. respectivamente, cual es la longitud de los soportes que estn a 60m. de los alambres mas largos.

a. 40m. b. 43m. c. 42m. d. 41m. e. 44m.

39. Un arco parablico tiene una altura de 20m. y de

ancho 36m. en la base. Si el vrtice de la parbola esta en la parte superior del arco, que altura sobre la base tiene un ancho de 18m.

a. 17m. b. 15m. c. 27m. d. 25m. e. 23m.

40. Un arco forma una parbola con eje vertical. Su

punto mas alto es 18m. sobre la base cuya longitud es 36m. Hallar la longitud de una cuerda horizontal que pasa por el arco a 10m. sobre la base. a. 20m. b. 21m. c. 22m. d. 23m. e. 24m.

6

DEFINICION.- Es el lugar geomtrico de los puntos tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es una cantidad constante, y adems mayor a la distancia entre dichos puntos.

ELIPSE

Observaciones

A. Excentricidad

B. Lado Recto

C. Condicin

D. Relacin Bsica

ECUACIONES

1. Ecuacin de la elipse de centro el origen y eje focal, el eje X

C = ( 0 ; 0 ) V1 = ( a ; 0 ) V2 = (a ; 0)

F1 = ( c ; 0 ) F2 = (c ; 0) B1 = ( 0 ; b ) B2 = (0 ; b)

2. Ecuacin de la elipse de centro el origen y el eje focal el eje Y

C = ( 0 ; 0 ) V1 = ( 0 ; a ) V2 = ( 0 ; a) F1 = ( 0 ; c ) F2 = ( 0 ; c) B1 = ( b ; 0 ) B2 = (b ; 0)

3. Elipse de centro ( h ; k ) y eje focal paralelo al eje X

C = ( h ; k ) V1 = ( h + a ; k ) V2 = ( ha ; k ) F1 = ( h + c ; k ) F2 = ( hc ; k ) B1 = ( h ; k + b ) B2 = ( h ; kb )

1

7

4. Elipse de centro ( h , k) y eje focal paralelo al eje Y

C = ( h ; k ) V1 = ( h ; k + a ) V2 = ( h ; k a ) F1 = ( h ; k + c ) F2 = ( h ; k c ) B1 = ( h + b ; k ) B2 = ( h b ; k )

5. Ecuacin General de la Elipse

Siempre que A y B sean del mismo signo.

Dada la ecuacin de la forma:

Se tiene:

a. Si A = B representa una circunferencia. b. Si A > B representa una elipse horizontal. c. Si A < B representa una elipse vertical.

EJERCICIOS DE APLICACIN

1. Hallar la ecuacin de la elipse cuyos vrtices son ( 0 ; 4 )( 0 ; - 4 ) y cuyos focos son ( 0 ; 2 ) ( 0 ; - 2 )

2. Hallar la ecuacin de la elipse cuyos vrtices son ( 5 ; 0 )( -5 ; 0 ) y cuyos focos son ( 4 ; 0 ) ( - 4 ; 0 )

3. Hallar la ecuacin de la elipse cuyos vrtices son ( 5 ; 3 )( 5 ; - 7 ) y cuyos focos son ( 5 ; 2 ) ( 5 ; - 6 )

4. Hallar la ecuacin de la elipse cuyos vrtices son ( -2 ; 3 )( 6 ; 3 ) y cuyos focos son ( 0 ; 3 ) ( 4 ; 3 )

5. Hallar la ecuacin de la elipse cuyos vrtices son ( 0 ; 4 )( 0 ; - 4 ) y su lado recto es 1 / 2

6. Hallar la ecuacin de la elipse cuyos focos son ( 4 ; 0 ) ( - 4 ; 0 ) y su excentricidad es 4 / 5

7. Hallar la ecuacin de la elipse cuyos vrtices son ( 3 ; 7 )( 3 ; - 7 ) y su excentricidad es 3 / 7

8. Hallar el centro de la elipse que tiene como ecuacin 25x2 + 16y2 + 100x 32y 284 = 0

9. Hallar el lado recto de la elipse que tiene como ecuacin. 25x2 + 16y2 + 225 = 0

10. Hallar la suma del lado recto y la excentricidad de la elipse cuya ecuacin

4x2 + 9y2 48x + 72y + 144 = 0

Area del Elipse:

Distancia entre las directrices

( ) ( ) 122

2

2

=

+

a

kyb

hx

c

aky2

=

Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0

122

=+By

Ax

S= pi a . b

d= 2 a 2

c

Ecuacin

Directriz:

8

ELIPSE

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Los vrtices de una elipse son los puntos ( 0 ; 6 ) (

0 ; 6 ) y sus focos son los puntos ( 0 ; 4 ) ( 0 ; 4).

Hallar su ecuacin.

a. 9x2 + 5y2 180 = 0

b. 5x2 + 9y2 180 = 0

c. 9x2 + 5y2 + 180 = 0

d. 9x2 + 5y2 + 180 = 0

e. 9x2 - 5y2 + 180 = 0

2. En la elipse 2x2 + 4y2 = 1, la distancia entre sus

directrices es:

a. 22 b. 1

c. 4

d. 2

e. 6

3. Las rectas x = 8 son directrices de una elipse, cuyo eje menor tiene longitud 8. Hallar la ecuacin

de la elipse.

a. x2 + 9y2 18 = 0

b. x2 + 2y2 32 = 0

c. 2x2 + y2 32 = 0

d. 9x2 + y2 18 = 0

e. 9x2 + 2y2 18 = 0

4. Una elipse con centro en el origen tiene vrtice en (

0 ; 5 ) y una de sus directrices es la recta 4y 25 =

0. Hallar la ecuacin.

a. 25x2 + 9y2 200 = 0

b. 9x2 + 25y2 225 = 0

c. 25x2 + 9y2 225 = 0

d. 9x2 + 25y2 200 = 0

e. x2 + 2y2 32 = 0

5. Hallar la ecuacin de la elipse de excentricidad e =

2/3, centro el origen y cuyas directrices son

y = 9.

a. 9x2 + 5y2 45 = 0

b. 9x2 + 5y2 135 = 0

c. 5x2 + 9x2 180 = 0

d. 9x2 + 5y2 180 = 0

e. 5x2 + 9y2 135 = 0

6. En la elipse 4x2 + 9y2 = 36, el rea del tringulo

formando por un lado recto y los segmentos que

unen sus extremos con el centro de la elipse es:

a. 4/3

b. 45/3 c. 25/3 d. 85/3 e. 3

7. En la ecuacin de la elipse

25x2 + 16y2 = 400. Hallar el permetro del

tringulo formado por los focos y un punto

cualquiera de la elipse distinto del vrtice.

a. 10

b. 12

c. 14

d. 16

e. 18

8. Hallar la excentricidad de la elipse, si la distancia

entre las directrices es el triple de la distancia

entre sus focos.

a. 1/3

b. 43/3 c. 3/3 d. 23/3 e. 3

9. Hallar la ecuacin de la elipse de centro en el

origen, uno de sus focos es el punto ( 0 ; 3 ) y el

semieje mayor igual a 5.

a. 25x2 + 9y2 225 = 0

b. 25x2 + 16y2 + 225 = 0

c. 25x2 + 16y2 + 400 = 0

d. 25x2 + 16y2 400 = 0

e. 25x2 + 9y2 400 = 0

10. Hallar la ecuacin de la elipse de focos ( 0 ; 4) y que pase por el punto (12/5 ; 3 )

a. 25x2 + 9y2 225 = 0

b. 25x2 + 9y2 + 225 = 0

c. 9x2 + 25y2 225 = 0

d. 9x2 + 225y2 + 225 = 0

e. 25x2 + 9y2 325 = 0

11. Hallar la ecuacin de la elipse de la forma a2 x2 + b2

y2 = a2 b2 sabiendo que la distancia entre sus

directrices 49/10 y su excentricidad 210/7 .

a. 49x2 + 9y2 441 = 0

b. 49x2 + 9y2 361 = 0

c. 9x2 + 49y2 441 = 0

d. 9x2 + 49y2 361 = 0

e. 4x2 + 5y2 52 = 0

9

12. Hallar la ecuacin de la elipse con centro en el

origen, eje focal en el eje Y y pasa por el punto ( 1

; 4 ) y la relacin del lado recto a la semidistancia

focal es 2.

a. x2 + 2y2 9 = 0

b. 2x2 + y2 18 = 0

c. 2x2 + y2 9 = 0

d. x2 + 2y2 18 = 0

e. x2 + y2 9 = 0

13. Hallar el rea comprendida dentro de la elipse 4x2 +

9y2 = 144 y fuera de la circunferencia x2 + y2

=16.

a. 6 pi u2.

b. 8 pi u2.

c. 10 pi u2.

d. 12 pi u2.

e. 14 pi u2.

14. En la elipse 3x2 + 4y2 = 48. Hallar el rea del

tringulo formado por un lado recto y los

segmentos que une en sus extremos al vrtice

opuesto de la elipse

a. 10 u2.

b. 12u2.

c. 14u2.

d. 16 u2.

e. 18 u2.

15. Hallar los radios vectores del punto

P1 (3 ; 7/4) que esta sobre la elipse

7x2 + 16y2 = 112.

a. 7/4 y 25/4

b. 7/5 y 23/4

c. 9/5 y 25/4

d. 7/4 y 23/4

e. 7/4 y 21/4

16. Hallar la ecuacin de la elipse cannica y eje focal

sobre X sabiendo que la curva pasa por

( 2 ; 3 ) y el lado recto es el triple de la

semidistancia focal.

a. 4x2 + 3y2 48 = 0

b. 4x2 + 9y2 97 = 0

c. 5x2 + 2y2 32 = 0

d. 3x2 + 5y2 57 = 0

e. x2 + 3y2 31 = 0

17. Hallar la ecuacin de la elipse cuyos focos y

vrtices coinciden con los focos y vrtices de las

siguientes Parbolas P1: y2 + 4x 12 =

0 y

P2: y2 4x 12 = 0

a. 9x2 + 5y2 45 = 0

b. 9x2 + 5y2 15 = 0

c. 5x2 + 9y2 45 = 0

d. 5x2 + 9y2 15 = 0

e. 5x2 + 9y2 135 = 0

18. Determinar los puntos de la elipse

7x2 + 16y2 112 = 0 cuyas distancias al foco

izquierdo son iguales a 5/2.

a. (2 ; 21/2) b. (2 ; 19/2) c. (2 ; 17/2) d. (2 ; 15/2) e. (2 ; 13/2)

19. Hallar la ecuacin de la elipse cuyos focos estn

sobre el eje X, centro en el origen, pasa por (5 ; 2) y la distancia entre sus directrices es 10.

a. 6x2 + 5y2 30 = 0

b. 2x2 + 5y2 30 = 0

c. 5x2 + 3y2 30 = 0

d. 3x2 + 4y2 31 = 0

e. 5x2 + 3y2 37 = 0

20. De las siguientes ecuaciones determinar el centro,

los focos, los vrtices, el lado recto, la

excentricidad y la distancia entre las directrices.

4x2 + 9y2 48x + 72y + 144 = 0

7x2 + 16y2 14x 64y 41 = 0

25x2 + 16y2 + 100x 32y 284 = 0

9x2 + 25y2 + 50y 200 = 0

25x2 + 9y2 + 100x 800 = 0

4x2 + 25y2 + 8x + 100y + 4 = 0

21. Uno de los vrtices de una elipse es

( 6 ; 1 ) y un extremo de sus eje menor es ( 3 ; 2

). La ecuacin general de la elipse es:

a. x2 + 9y2 6x + 18y + 8 = 0

b. x2 + 9y2 6x 18y + 9 = 0

c. x2 + 9y2 + 6x 18y + 8 = 0

d. x2 + 9y2 6x 18y 8 = 0

e. x2 + 9y2 6x + 18y + 9 = 0

10

22. Los vrtices de una elipse son los son los puntos (5

;3 ) y ( 4 ; 3 ). La longitud de su eje menor es de 6

unidades. Entonces la longitud de su lado recto es:

a. 6 u.

b. 8 u.

c. 4 u.

d. 10 u .

e. 2 u

23. Hallar el centro de la cnica que tiene una vrtice

en el punto ( 6 ; 2 ), un foco en ( 4 ; 2 ) y directriz

correspondiente

3x = 28.

a. ( 0 ; 2 )

b. ( 1 ; 2 )

c. ( 2 ; 2 )

d. ( 3 ; 2 )

e. ( 1 ; 9 )

24. La distancia entre directrices de una elipse es 24.

Determinar su ecuacin si los focos son F1 ( 1 ; 2 )

y F2 (5 ; 2 ).

a. 3 ( x + 2 )2 + 4( y + 2 ) 2 = 108

b. 3 ( x + 2 )2 + 6( y 2 ) 2 = 108

c. 3 ( x + 2 )2 + 4( y 2 ) 2 = 108

d. 4 ( x + 2 )2 + 3( y 2 ) 2 = 108

e. 4 ( x + 2 )2 + 6( y 2 ) 2 = 108

25. La distancia entre las directrices de una elipse es

18. Hallar su ecuacin si los focos son los puntos ( 1

; 5 ) ( 1 ; 3 ).

a. 9 ( x 1)2 + 8 ( y 4 )2 = 72

b. 8 ( x 1)2 + 9 ( y 4 )2 = 72

c. 9 ( x 1)2 + 7 ( y 4 )2 = 72

d. 7 ( x 1)2 + 9 ( y 4 )2 = 72

e. 9 ( x 1)2 + 5 ( y 4 )2 = 72

26. Una curva tiene por ecuacin:

9x2 + 4y2 8y 32 =0. Hallar el centro de dicha

curva.

a. ( 0 ; 4 )

b. ( 1 ; 0 )

c. ( 0 ; 1 )

d. ( 1 ; 2 )

e. ( 0 ; 1 )

27. Hallar la ecuacin de la elipse de la figura:

a. 4x2 + 8x + y2 + 4y + 4 = 0

b. 4x2 + 8x + y2 4y + 4 = 0

c. 4x2 8x + y2 + 4y 4 = 0

d. 4x2 8x + y2 + 4y + 4 = 0

e. 4x2 8x + y2 4y + 4 = 0

28. Hallar le ecuacin de la elipse de centro

(1 ; 1), uno de los vrtice el punto (5 ;1), y su

excentricidad 2/3.

Dar como respuesta 42

22cakh

++

a. 2

b. 3

c. 4

d. 5

e. 6

29. El punto (3; 1 ) es un extremo del eje menor de

una elipse cuyos focos estn en la recta y + 6

= 0. Hallar la ecuacin de la elipse si la

excentricidad es 2/2.

a. ( x 3 )2 + 25 ( y + 6 ) 2 = 50

b. ( x 3 )2 + 50 ( y 6 ) 2 = 50

c. 2 ( x + 3 )2 + 25 ( y 6 ) 2 = 50

d. 50 ( x 3 )2 + 25 ( y + 6 ) 2 = 1520

e. 25 ( x 3 )2 + 50 ( y + 6 ) 2 = 1250

30. Hallar la longitud del lado recto de la elipse cuyos

vrtices son (3 ; 5 ) y (3 ; 1) sabiendo que la

excentricidad es 1/3.

a. 25/3

b. 10/3

c. 16/3

d. 20/3

e. 14/3

1 2 1

2 C

11

31. Los vrtices de una elipse son los puntos

(1 ; 6) y (9 ; 6) y la longitud de cada lado recto es

9/2. Hallar la ecuacin de la elipse y dar como

respuesta el producto de las abscisas de los focos.

a. 15

b. 18

c. 21

d. 24

e. 27

32. Hallar la ecuacin de la elipse cuyos vrtices son:

(7; 2) (5; 2) y que pasa por el punto ( 3 ; 2).

a. 2 ( x 1)2 + ( y + 2 )2 = 24

b. ( x 1)2 + 5 ( y 2 )2 = 10

c. ( x 1)2 + 3 ( y 2 )2 = 52

d. 9 ( x 1)2 + 8 ( y 2 )2 = 72

e. ( x 1)2 + 2 ( y 2)2 = 36

33. Los focos de una elipse estn en las rectas L1 : 2x

9y = 0 y L2 : 2x y = 0. El eje focal es la recta L :

y = 2. Hallar la ecuacin de la elipse si el eje mayor

mide 10.

a. 9 ( x 5)2 + 25 ( y 2 )2 = 225

b. 25 ( x 5)2 + 9 ( y 2 )2 = 225

c. 9 ( x 2)2 + 25 ( y 5 )2 = 225

d. 9 ( x 5)2 + 10 ( y 2 )2 = 90

e. 25 ( x 2)2 + 9 ( y 5 )2 = 225

34. Hallar la longitud del eje mayor de la elipse que

pasa por (1 ; 5) y cuyos focos son (5 ; 2) y ( 3 ; 2 ).

a. 12

b. 10

c. 16

d. 14

e. 20

35. Los focos de una elipse (4 ; 2 ) y (2 ; 2). Hallar

la ecuacin de la elipse si uno de sus vrtices esta

sobre la recta L: x y 8 = 0

a. 25 ( x 1)2 + 16 ( y + 2)2 = 400

b. 25 ( x 1)2 + 16 ( y 2 )2 = 400

c. 16 ( x 1)2 + 25 ( y + 2 )2 = 400

d. 16 ( x 1)2 + 25 ( y 2 )2 = 400

e. 25 ( x + 1)2 + 9 ( y + 2 )2 = 400

36. Hallar la ecuacin de la elipse en la cual un vrtice

es (3 ; 2) y el foco opuesto (11 ; 2) y la longitud del

eje menor es 8.

a. 25 ( x 8)2 + 16 ( y 2)2 = 400

b. 16 ( x + 8)2 + 25 ( y 2)2 = 400

c. 16 ( x 8)2 + 25 ( y + 2)2 = 400

d. 16 ( x 8)2 + 25 ( y 2)2 = 400

e. 25 ( x + 8)2 + 16 ( y + 2)2 = 400