434 Álgebra 435Und. 9 Inecuaciones

9.4.1. Inecuación fraccionaria

9.4.1A. Definición

Sean P(x) y Q(x) son polinomios cuyos grados son mayor o igual que 0 y 1, respectivamente, tal que Q(x) ≠ 0, se denomina inecuación fraccionaria a toda desigualdad que presenta alguna de las siguientes formas.

PQ

PQ

PQ

PQ

( )( )

; ( )( )

; ( )( )

; ( )( )

xx

xx

xx

xx

< ≤ > ≥0 0 0 0

9.4.1B. Resolución de la Inecuación

Para resolver una inecuación fraccionaria se procede de un modo similar a lo expuesto en el ítem 9.3.3B, estableciendo en los primeros pasos una ligera variación. Veamos:

1er Paso.- Al trasladar todos los términos de la inecuación al primer miembro se debe obtener una fracción donde el numerador y denominador deben ser polinomios con coeficiente prin-cipal positivo.

2do Paso.- Se factoriza totalmente a cada término de la fracción, es decir, a los polinomios del numerador y denominador.

3ero Paso.- Se determinan los puntos de corte por parte del denominador lo cual se consigue igualando a cero cada uno de sus factores. Se trazan redondeles en blanco en la RN para cada punto encontrado.

La razón de activo, RA, de un negocio se defi-ne como el cociente de sus activos circulantes (efectivo, inventario de mercaderías y cuentas por cobrar), a sus pasivos circulantes PC, (prés-tamos a corto plazo e impuestos). En cierto mo-mento del año 2007 la compañía Ace Sports Equipment, solicitó un préstamo de x millones de dólares, para lo cual la entidad financiera planteó que la razón de activo fuera:

RA ACPC

= xx

→ ++ ≥408

2 5, ;

expresión llamada desigualdad fraccionaria.

9.4 Inecuaciones Fraccionariase Irracionales

4to Paso.- Se determinan los puntos de corte por parte del numerador lo cual se consigue igualando a cero cada uno de sus factores. Se trazan redondeles en la RN para cada punto encontrado en blanco o en negro, según la relación de desigualdad sea estricta () o doble (≥, ≤) respectivamente.

5to Paso.- Se anotan los signos (+) y (–) de los intervalos definidos por los puntos de corte del numerador y de derecha a izquierda.

6to Paso.- La solución estará dada por las zonas (+) o (–) según la relación de desigualdad sea (>, ≥) o ( 0 (< 0), donde P(x) y Q(x) son polinomios con coeficientes principales positivos, como

por ejemplo:

4 13

0 3 12

0 4 3 02

2

2

7 33x

x xx xx x

x x−+

> − ++

< − + >; ( ) ( )( )

;

436 Álgebra 437Und. 9 Inecuaciones

C3. Descripción del método

El método está constituido de los siguientes pasos:

1er Paso.- Expresar la desigualdad racional P( )Q( )

xx

> 0 (< 0), con los polinomios P(x) y Q(x) fac-torizados.

2do Paso.- Se determinan todas las raíces reales de ambos polinomios y se marcan con peque-ños redondeles en la recta numérica real. Las raíces reales se encuentran igualando a cero cada uno de los factores de P(x) y Q(x).

3er Paso.- Comenzando sobre la recta, de derecha a izquierda, se traza una curva que pasará por todos los puntos marcados, teniendo en cuenta que al pasar por una raíz de multiplicidad* impar la curva cruza la recta, mientras que al hacerlo por una de multiplicidad par la curva se queda, o «rebota», por el mismo lado de la recta.

4to Paso.- Se eligen los intervalos de acuerdo con el sentido de la desigualdad:

i) P( )Q( )

xx

> 0 , se consideran los intervalos ubicados sobre la recta.

ii) P( )Q( )

xx

< 0 , se consideran los intervalos ubicados debajo de la recta.

La unión de todos estos intervalos es el conjunto solución de la desigualdad dada.

* La multiplicidad, es el término referido a las veces que una raíz está contenida en el conjunto solución. Este número viene dado por el grado del factor en el que se encuentra la raíz.

Ejemplo 1.- Resolver: (x ) (x )x (x )7 3− +

+

438 Álgebra 439Und. 9 Inecuaciones

De este último esquema, los redondeles en blanco representan a los valores inadmisibles, de modo que no deben ser considerados en el conjunto solución de la inecuación dada. Por tanto:

C.S = 〈-∞; 2] ∪ [5; +∞〉 – {1}

9.4.2. Inecuaciones con radicales

Sean F(x) y H(x) dos expresiones racionales (polinomios o fracciones) y m ∈ N | m ≥ 2,

Una inecuación con radicales o inecuación irracional, es la desigualdad que presenta alguna de las siguientes formas:

F( ) > H( ) ; F( ) < H( ) ; F( ) H( ) F( ) m m m mx x x x x x x≥ ∨ ≤≤ H( )x

9.4.3. Resolución de una inecuación con radicales

Para resolver una inecuación irracional se debe tener en cuenta al índice que presenta el signo radical y al signo de relación.

9.4.3A. Si: F( )2n x > H x( )

La resolución considera dos casos, veamos:

Caso (A): F(x) ≥ 0 ∧ H(x) ≥ 0 ∧ F(x) > [H (x)]2n

Caso (B): F(x) ≥ 0 ∧ H(x) < 0

Siendo la solución de la inecuación, la unión de los dos casos.

9.4.3B. Si : F( ) H2n x < ( )x

La resolución plantea: F(x) ≥ 0 ∧ H(x) > 0 ∧ F(x) < [H(x)]2n

9.4.3C. Si : F( ) H2n 1 x+ > ( )x

La resolución plantea: F(x) > [H(x)]2n + 1

9.4.3D. Si : Fn ( ) ( )x x2 1+ <

La resolución plantea: F(x) < [H(x)]2n + 1

Observación.- Para resolver una inecuación irracional de índice impar no existe ninguna res-tricción, basta elevar ambos miembros de la inecuación a un exponente que elimine el signo radical y a continuación proceder a resolver la nueva inecuación obtenida, teniendo en cuenta los diversos criterios de resolución vistos hasta aquí.

Prob. 01.- Resolver: 2 11

1xx

−+

>

A)〈-∞;-2〉∪〈1;∞〉 B)〈-∞;-1〉∪〈3;∞〉 C)〈-∞;-1/2〉∪〈1;∞〉

D)〈-∞;1〉∪〈2;∞〉 E)〈-∞;-1〉∪〈2;∞〉

Trasladando todos los términos al primer miembro tenemos:

2 11 1 0

21 0

xx

xx

−+ − > →

−+ >

Como el numerador y denominador son polinomios que verifican el 2º paso, se procede a determinar los puntos de corte. Veamos:

x – 2 = 0 ; x + 1 = 0 → ptos: 2 y -1

En la recta numérica:

De donde se consigue: x ∈ 〈–∞; -1〉 ∪ 〈2; ∞〉 Rpta. E

Nota. Obsérvese que -1 debe ser extremo abierto porque anula el denominador. Asimismo, 2 es un cero del numerador y es abierto porque la desigualdad es estricta (>).

Prob. 02.-Resolver: 21

31

52x x x− + +

+ <

A)〈-2;0〉∪〈1/3;∞〉 B)〈-2;-1〉∪〈3;∞〉 C)〈-3;-2〉∪〈1/2;2〉

D)〈-2;-1〉∪〈-1/3;1〉 E)〈-1;1〉∪〈2;3〉

Trasladando todos los términos al 1er miembro, se tiene: 2 13

15

2 0x x x− + + − + <

2 1 2 3 1 2 5 1 11 1 2 0

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )

x x x x x xx x x

+ + + − + − − +− + + <

2 3 2 3 2 5 11 1 2 0

2 2 2( ) ( ) ( )( )( )( )

x x x x xx x x

+ + + + − − −− + +

440 Álgebra 441Und. 9 Inecuaciones

Efectuando obtenemos: 3 3 11 1 2 0( )

( )( )( )x

x x x+

− + + <

Observar que: 3 > 0, luego: 3 11 1 2 0x

x x x+

− + + , se tiene:

{x2 – x – 2 ≥ 0 ∧ 2 > 0} ∧ {x2 – x – 2 < 22}

Es decir: {x2 – x – 2 ≥ 0 ∧ 2 > 0} ∧ {x2 – x – 6 < 0}

De donde tenemos: {(x – 2)(x + 1) ≥ 0 ∧ 2 > 0 } ∧ {(x – 3)(x + 2) < 0}

Para la 1ra condición se determinan los puntos de corte: -1 y 2

Para la 2da condición se determinan los puntos de corte: -2 y 3

442 Álgebra 443Und. 9 Inecuaciones

Elaborando un gráfico para cada solución, diremos que la solución final es la que se obtiene al intersectar los intervalos solución de cada condición. Veamos:

Finalmente la intersección viene dada por:

\ x ∈ 〈-2; -1] ∪ [2; 3〉 Rpta. C

Prob. 06.- Resolver: x33 1− > −x 1

A)〈-∞;-1〉∪〈2;∞〉 B)〈-∞;0〉∪〈1;∞〉 C)〈-∞;-2〉∪〈3;∞〉

D)〈-∞;0〉∪〈1;∞〉 E)〈-∞;0〉∪〈3;∞〉

Teniendo en cuenta el algoritmo de resolución de una inecuación irracional del tipo F Hn ( ) ( )x x2 1+ > , se tiene:

La inecuación dada es: x x33 1 1− > −

Elevando al cubo tenemos: x3 – 1 > x3 – 3x2 + 3x – 1

Reduciendo conseguimos: 3x2 – 3x > 0

Factorizando obtenemos: 3x(x – 1) > 0

Observar que: 3 > 0

Luego: x(x – 1) > 0

Los puntos de corte son: 0 y 1

En la recta numérica:

De donde se consigue: x ∈ 〈-∞; 0〉 ∪ 〈1; ∞〉 Rpta. B

Prob. 07.- Resolver: 2 1 3x − >

A)〈5;∞〉 B)〈-∞;5〉∪〈8;∞〉 C)〈-∞;-5〉∪〈5;∞〉

D)〈-∞;3〉∪〈5;∞〉 E)〈3;∞〉

La inecuación dada corresponde al primer caso expuesto en la teoría, luego para su resolu-ción se planteará lo siguiente:

Caso (A): 2x – 1 ≥ 0 ∧ 3 ≥ 0 ∧ 2x – 1 > 9

x ≥ 1/2 ∧ R ∧ x > 5

De donde intersectando conseguimos: x > 5 ↔ x ∈ 〈5; ∞〉

Caso (B): 2x – 1 ≥ 0 ∧ 3 < 0

x ≥ 1 ∧ ∅ (Absurdo)

De donde intersectando conseguimos: x ∈ ∅

Finalmente la solución de la inecuación viene dada por la unión de los casos (A) y (B), veamos: x ∈ 〈5; ∞〉 ∪ ∅ \ x ∈ 〈5; ∞〉 Rpta. A

Prob. 08.- Resolver: 2 3 1x x+ > +

A)[-2;5〉∪〈6;∞〉 B)〈-∞;-3/2〉 C)〈-∞;-2〉∪[4;∞〉

D)〈-∞;3〉∪〈5;∞〉 E)[-3/2; 2 〉

De acuerdo con lo expuesto en el primer caso del ítem 9.4.3A. para resolver la inecuación dada se procede de la siguiente manera:

Caso (A): {2x + 3 ≥ 0 ∧ x + 1 ≥ 0} ∧ {2x + 3 > x2 + 2x + 1}

{2x + 3 ≥ 0 ∧ x + 1 ≥ 0} ∧ {x2 – 2 < 0}

{2x + 3 ≥ 0 ∧ x + 1 ≥ 0} ∧ {(x + 2 )(x – 2 ) < 0}

En la recta numérica:

La intersección viene dada por:

444 Álgebra 445Und. 9 Inecuaciones

De donde se obtiene que: x ∈[- ; 1 2

Caso (B): 2x + 3 ≥ 0 ∧ x + 1 < 0

Intersectando en la recta numérica se tiene:

x ∈ [-3/2; -1〉

Finalmente la solución de la inecuación viene dada por la unión de las soluciones obtenidas en los casos (A) y (B), es decir:

x ∈[ ∪[- ; -3/2; -1 2 1 \ x ∈∈-3/2; 2 Rpta. E

Prob. 09.- Resolver: 2 1− ≤ +x x

A)〈1;5] B)〈-∞;-3〉 ∪ 〈4;∞〉 C)[-1/2;6〉 ∪ 〈7;∞〉

D)[-1;1/2] E)〈-1;2]∪ 〈3;∞〉

Para resolver la inecuación planteada será suficiente hacer cumplir simultáneamente la condición de existencia a cada radical para luego elevar ambos miembros de la inecuación al cuadrado, veamos:

2 1− ≥ +x x → 2 – x ≥ 0 ∧ x + 1 ≥ 0 ∧ 2 – x ≥ x + 1

x – 2 ≤ 0 ∧ x + 1 ≥ 0 ∧ 2x – 1 ≤ 0

De donde tenemos: x ≤ 2 ∧ x ≥ -1 ∧ x ≤ 1/2

\ x ∈ [–1; 1/2] Rpta. D

Prob. 10.- Determinarelmínimovalorde f ( )x x x= − + +2 2 2 2 ;x ∈R

A)1 B)2 C)3 D)4 E) 3

Una inspección minuciosa del radicando, sugiere plantear que:

(x – 1)2 ≥ 0; ∀ x ∈ R x2 – 2x + 1 ≥ 0

Sumando 1: x2 – 2x + 2 ≥ 1

Extrayendo raíz cuadrada: x x2 2 2 1− + ≥

Sumando 2 conseguimos: x x2 2 2 2 1 2− + + ≥ +

f(x) ≥ 3

\ f(x) mínimo = 3 Rpta. C

Prob. 11.- Resolver: − − +−

∧ − 0 ∧ x2 – 9 < 0

x2 – x – 2 > 0 ∧ x2 – 9 < 0

Factorizando cada polinomio del primer miembro:

(x – 2)(x + 1) > 0 ∧ (x + 3)(x – 3) < 0

En la recta real: ∩

de la intersección: -3 < x < -1 ∨ 2 < x < 3 \ CS = 〈-3; -1〉 ∪ 〈2; 3〉 Rpta. D

Prob. 12.- Resolver xx

−+

>41

015

7,darcomorespuestaelcomplementodesuconjuntosolución.

A)〈-1;4〉 B)〈-4;1〉 C)[-4;1] D)〈-∞;-1〉 ∪ 〈4; ∞〉 E)[-1;4]

446 Álgebra 447Und. 9 Inecuaciones

La inecuación dada es: xx

−+

>41

015

7

Fácilmente podemos reconocer que en R el signo de x − 415 es el mismo que el de x – 4, asimismo que el signo de x + 17 es el mismo que el de x + 1.

Ahora la inecuación se puede reescribir así: xx−+ >

41 0

En la recta real: → CS = 〈-∞; -1〉 ∪ 〈4; ∞〉

\ (CS)' = [-1; 4] Rpta. E

Prob. 13-Determinarelconjuntosolucióndelainecuación: x xx

< −−16

1

A)〈1;4〉 B)〈1;4〉 C)〈0;5〉 D)〈2;4〉 E)〈3;4]

De acuerdo con la teoría, se cumple que: x xx

x xx

≥ ∧ −−

≥ ∧ < −−

0 161

0 161

por -1

x xx

x xx

≥ ∧ −−

≤ ∧ − −−

448 Álgebra 449Und. 9 Inecuaciones

01.-Resolver: 41

1xx +

>

A)〈-∞;-1〉∪〈1/3;∞〉

B)〈-1;1/3〉

C)〈-∞;1〉∪〈4/3;∞〉

D)〈-∞;-2〉∪〈2/3;∞〉

E)〈-∞;-1〉∪〈1/2;∞〉

02.- Resolver: 21

41x x+

≥−

A)〈-3;1〉∪〈1;∞〉 B)〈-∞;-3]∪〈-1;1〉

C)〈-3;1〉 D)〈-3;-1]∪〈1;2〉

E)〈-∞;-3]∪〈-1;1〉

03.- Resolver: 21

3 1x x x− + >

A)〈0;1/2〉∪〈1;∞〉

B)〈-∞;0〉∪〈1/2;1〉

C)〈-∞;1〉

D)〈1/2;1〉∪〈1;∞〉

E)〈0;1/4〉∪〈1/2;∞〉

04.- Resolver: x xx x

2

22

20− −

+ −≤

luegoindicarlacantidaddenúmerosenteros«x»queverifiquenlainecuación.

A)1 B)2 C)3

D)4 E)Infinitos

05.-Resolver: 32

4x −

>

A)〈2;11/4〉 B)[2;11/4〉 C)〈2;11/4]

D)∅ E)R

06.-Resolver: x x xx x

5 3

4 23

3 11+ +

+ +≤

A)〈3;6〉 B)〈-∞;1] C)〈-1;2〉

D)〈0;1〉 E)〈0;3]

07.- Indicarunintervalosoluciónde:xx

xx

++

> ++

34

12

A)[-4;-2〉 B)〈-4;-2〉 C)[-3;-2〉

D)〈-∞;-4〉 E)〈-3;-5〉

08.- Resolver: 4 3 2 7− > −xx x

A)〈1/2;0〉 B)∅ C)〈0;∞〉

D)R E)〈-∞;-1/2〉∪〈0;∞〉

09.- Silaexpresión: xx x x−

− + − −12

18

12

es no negativa, ¿cuál es el intervalo al cualpertenece«x»?

A)〈-∞;-2〉∪〈-1;1〉∪〈3;∞〉

B)〈-∞;-2]∪〈-1;1〉∪[3;∞〉

C)〈-∞;-1〉∪〈1;∞〉

D)〈∞;-2]∪〈-1;3〉–{1}

E)[-2;-1〉∪〈1;3〉

9.4. InecuacionesFraccionarias e Irracionales

Práctica10.- Resolver: 2 1 1x − >

A)x≥1/2 B)x>1 C)x≥2

D)x>3 E)x>0

11.-Resolver: x2 1 4− > -

A)〈-1;1〉 B)〈-∞;0〉

C)〈-∞;-1〉∪〈1;∞〉 D)〈1;∞〉

E)〈-∞;-1]∪[1;∞〉

12.- Resolver: x x x2 12− − >

A)R B)∅ C)〈-∞;0]

D)〈-∞;-3] E)〈-∞;-3〉

13.-Resolver: 3 2 2x + <

A)[-2/3;2/3] B)[-2/3;2/3〉

C)〈-2/3;2/3〉 D)〈-2/3;2/3]

E)〈-∞;2/3〉

14.- Resolver x x2 5 4 2− + < , para luegoindicarlacantidaddenúmerosenterospositi-vos«x»queverificanlainecuación.

A)1 B)2 C)3

D)4 E)5

15.- Resolver: x x2 2 5− − < -

A)〈-1;2〉 B)〈-2;1〉

C)〈-∞;-1]∪[2;∞〉 D)∅

E)〈-∞;-2]∪[1;∞〉

16.-Resolver: x x33 8 2+ ≤ +

A)[-2;0] B)[-2;0〉

C)〈-∞;-2]∪[0;∞〉 D)〈-∞;-2〉∪〈0;∞〉

E)〈-∞;-1]∪[1;∞〉

17.- ¿Cuántosnúmerosenteros«x»verifican

lasiguienteinecuación: x x33 7 1− < − ?

A)1 B)2 C)3

D)4 E)5

18.- Resolver: x x− ≤ −4 11

A)[4;11] B)[15/2;11] C)[4;15/2]

D)[2;15/2] E)∅

19.- Resolver: xx

−+

>32

0

A)R–[-2;3] B)R–[2;3]

C)R–[-3;2] D)R–[1;5]

E)R–[2;9]

20.- Alresolver: x xx x

2

22 34 3

3− +− +

> - ,seobtiene:

A)R–

B)R–∪〈2;3〉

C)〈-∞;-1〉∪〈3/2;2〉

D)R–〈1;3〉

E)〈-∞;1〉∪〈3/2;2〉∪〈3;∞〉

21.- Resolver: x x xx

4 6 7

117 1 2

10+

( ) +( ) +( )−( )

≤

A)∅ B)R C)[-3;-1〉

D)[-3;1〉 E)[-2;1〉

22.- Unintervalosoluciónde:

xx n

x

x n

nx n

n−

≤−

++

>8 2 02

2 2; es:

A)〈-n;n〉 B)〈n;3n〉 C)[3n;∞〉

D)〈n;3n] E)[3n;∞〉

450 Álgebra

23.-Resolver: xx

xx

−+ ≤

+−

22

11

A)x ∈〈-2;0〉∪〈1;∞〉

B)x∈〈-2;1〉

C)x∈〈-1;1〉∪〈2;∞〉

D)x∈〈-1;0〉∪〈1;∞〉

E)x∈∅

24.-Si:0>b>a,resolver: ax bbx a

++ ≥ -1

A)x∈〈-∞;-a/b〉∪[-1;∞〉

B)x∈〈1;a/b〉

C)x∈〈-∞;0〉∪〈1;a/b〉

D)x∈〈-∞;-a/b〉∪〈1;∞〉

E)R

25.-Dado: M |= ∈ − ≤{ }x x 2 9 4 ,indiqueelcardinalde«M».

A)4 B)2 C)3

D)6 E)8

26.-Al resolver: 2 52− − >x x - indicar elproductodelmenorconelmayorentero«x».

A)-2 B)1 C)3

D)0 E)-3

27.- Resolver: xx

−−

− + ≥

A)x<-1/4∪x>1/3

B)x>1/5∪x<3/4

C)x>-2/3∪x<1

D)x>-5/3∪x<1

E)x>1

30.-Determinarelintervaloformadoporlosvalores de «x» que satisfacen la siguienteinecuación:

2 2 4 22 4

1x x xx x− − −− −

>( )

A)〈4;∞〉 B)〈2;∞〉 C)〈-2;4〉

D)〈2;4〉 E)〈0;∞〉

..

..

..

ABF

()x y+n

Claves:

20E

19A

18C

17B

16C

15D

14B

13B

12D

11E

10B

09B

08E

07D

06B

05A

04B

03A

02B

01A

21E

28D

27E

26A

25D

24A

23A

22D

29E

30A