Análisis III (Temas 7 y 8).integrales

INTEGRALES INDEFINIDASINTEGRALES DEFINIDAS: CÁLCULO DE ÁREAS

Matemáticas 2º de Bachillerato Ciencias y Tecnología

Profesor: Juan TortosaColegio Santo Tomás de Villanueva

Granada

www.coleinmaculadanina.org

Departamento de Matemáticas

- 1 - Matemáticas II: Integrales Indefinidas

TEMA 7.- INTEGRALES INDEFINIDAS

1.- FUNCIÓN PRIMITIVA

Hasta ahora hemos estudiado el proceso de cómo calcular la función derivada de otra.Ahora vamos a dedicarnos al proceso inverso, es decir, dada una función, encontrar otracuya derivada sea dicha función.A este proceso se le llama integración, y es, en cierta medida, el proceso recíproco al dederivación.

Sean f(x) y F(x) dos funciones definidas en un mismo dominio D.

Se dice que F(x) es una primitiva de f(x) '( ) ( ) ,F x f x x D

Por ejemplo, una primitiva de la función ( ) 2f x x será la función 2( )F x x

Ahora bien. Las funciones2 2 2 2( ) 1 ; ( ) 2 ; ( ) 5 ; ( ) 2009F x x F x x F x x F x x …..

también son primitivas de ( ) 2f x x .

Teorema

Sean F(x) y G(x) dos primitivas de la función f(x) F(x) = G(x) + C

Es decir, todas las primitivas de una función (que son infinitas) son iguales salvo unaconstante.

Se llama integral indefinida de una función f(x) al conjunto de todas sus primitivas:

( ) ( ) / '( ) ( )f x dx F x C F x f x

El término dx, llamado diferencial de x, indica que la derivada de la función F(x) se hahecho respecto a la variable x. (En nuestro caso es lo normal, aunque si la variabletuviese otro nombre, se cambiaría también el término del diferencial)

Así, por ejemplo:

2

5 5

6 3

cos

dx x C

xdx x C

xdx senx C

Gráficamente, el hecho de que todas las primitivas de una función se diferencien en unaconstante significa que son traslaciones de la misma función.



Ejemplo: Calcular la primitiva de la función f(x) = 4x que pasa por el punto (1,5)

Como 24 2xdx x C , todas sus gráficas serán de la forma:

De todas ellas buscamos la que pasa por (1,5), es decir,

(1) 5 2 1 5 3F C C

Luego la primitiva que buscábamos es 2( ) 2 3F x x

Ejercicio: Calcular la primitiva de la función1

( )f xx

que pase por el punto (e,3)

2.- PROPIEDADES LINEALES DE INTEGRACIÓN

Las propiedades que enunciamos a continuación son consecuencia directa de laspropiedades de derivación.

1. ( ) ( ) ( )f g x dx f x dx f x dx 2. ( ) ( )k f x dx k f x dx

De la obtención conjunta de estas propiedades se obtiene:

3. ( ) ( ) ( )a f b g x dx a f x dx b f x dx

3.- INTEGRALES INMEDIATAS

De las reglas de derivación se obtienen de forma directa una serie de reglas deintegración que se llaman integrales inmediatas. Éstas son:



Integrales Inmediatas

1. 0dx C

2. 1dx x C

3.1

, 11

nn xx dx C n

n

4.1 dx Ln x Cx

5. x xe dx e C

6.x

x aa dx CLna

7. cossenxdx x C

8. cos xdx senx C

9. 2 22

11 sec

costg x dx dx xdx tgx C

x

10. 2 22

11 seccotg x dx dx co xdx cotgx C

sen x

11.2

1arccos

1dx arcsenx C x C

x

12.2

1

1dx arctgx C

x

Aplicando estas reglas y la propiedad 3 de integración (llamado método dedescomposición) podemos empezar a hacer algunas integrales.



Ejemplos:

3

2

3

xx dx C

8 4 8 4

7 3 7 3 7 32 2 2 28 4 8 2

x x x xx x dx x dx x dx x dx x dx C 5 3 5 3 5 3 5 3cosx x x xe senx dx e dx senxdx e dx senxdx e x C

3 2 31 2 2

3 2 3

x xxdx x dx C

1

22

1 1

1

xdx x dx Cx x

Ejercicio:

Calcular las siguientes integrales:

a) 52x dx b) 33 5 2x x dx c) 3x dxd) 2cos 5cosx x dx e)

1 dxx f) 3 25 x dx

g)4

3 dxx h) 3 1x dx i)

32 3

5

x dx

j) 22

32sec

1x dx

x k) 23 3tg x dx

l) 2 5xsenx x dx m)2

3

x dxx n) 4

2

55

3 1x dx

x

A partir de estas reglas se puede aplicar, al revés, la regla de la cadena para derivadas, yobtenemos las reglas de integración en forma compuesta, llamadas integrales cuasi-inmediatas fundamentales para el manejo del cálculo integral:



Integrales Inmediatas (Forma Compuesta)

1.1

' , 11

nn ff f dx C n

n

2.'f dx Ln f C

f

3. 'f fe f dx e C

4. 'f

f aa f dx CLna

5. ' cossenf f dx f C

6. cos 'f f dx senf C

7. 2 22

'1 ' sec '

cos

ftg f f dx dx f f dx tgf Cf

8. 2 22

'1 ' sec cot

fcotg f f dx dx co fdx gf Csen f

9.2

'arccos

1

f dx arcsenf C f Cf

10.2

'

1

f dx arctgf Cf

Ejemplos:

2 21 12 x xxe dx e C (Regla 3: 2( ) 1f x x )

3cos 3 2 (3 2)x dx sen x C (Regla 6: ( ) 3 2f x x )

2

2 12 1

5

x dx Ln x Cx x

(Regla 2: 2( ) 5f x x x )

224 2

2 2

1 1

x xdx dx arctg x Cx x

(Regla 10: 2( )f x x )

5242

22 2

5

xx x dx C

(Regla 1: 2( ) 2f x x )



A veces hay que “preparar” las integrales para poder aplicar las reglas introduciendo osacando números (propiedad lineal de integración 2). Así:

s 3 1en x dx (falta un 3 multiplicando para poder aplicar la regla 5, así que

introducimos un 3 y sacamos otro dividiendo) =

1 13s 3 1 cos 3 1

3 3en x dx x C

Ejercicio:


a) 323 7x x dx b)2

3

2

6 1

x dxx x

c)

2

2cos

1

x dxsen x

d) 2 13 xe dx e) 5 cossen x xdx f)2

2

1

x dxx

g)4

2

1

x dxx h) 3

2 1x dx i)1

x

x

e dxe

j) 23 5x sen x dx k)xe dxx l)

2Ln x dxx

m) 2

1

1 1dx

x n) 3 xe dx ñ) 2cos3

x dx

o)cos

cos

senx x dxsenx x

p) 21x x dx q)

cos Lnxdx

x

r)21

x

x

e dxe s)

2

1

2 1dx

x t) cossenx xdx

u)Lnx dx

x v)3

81

x dxx w)

2

( )

cos

sen tgx dxx

x)44 4

x dxx

y) 41 3 3x x dx z)

41 9

x dxx



4.- MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

Además del método de descomposición ya visto y de las reglas de integracióninmediatas y compuestas, existen otros métodos de integración según el tipo de funciónque haya en el integrando:

4.1 Método de Integración Por Partes

Este método sirve para calcular la primitiva de un producto de funciones.Supongamos dos funciones derivables u y v.Usando la derivada de un producto, tenemos que:

d u v u dv v du Si integramos en los dos miembros de la ecuación:

d u v u dv v du u v u dv v du

Y despejando obtenemos la fórmula de integración por partes:

u dv u v v du

Esta el popularmente conocida como Regla de la Vaca:

Un Día Vi Una Vaca Vestida De Uniforme

Ejemplo: Vamos a calcular x senxdx

Llamamos u x du dx

Llamamos dv senxdx Integrando cosdv senxdx v x

Y aplicando la fórmula:

cos cos cosx senxdx x x xdx x x senx C

Es importante elegir bien a que parte del producto llamamos u y a qué parte llamamosdv, lo cual exige un poco de intuición y otro poco de entrenamiento. Puede que alaplicar la fórmula, la nueva integral que nos queda sea más complicada que la departida, lo que nos indica que nos hemos equivocado en la elección.



Ejercicio:


a) xxe dx b) xLnxdx c) 2x senxdx

d) Lnxdx e) 2 xx e dx f) arctgxdx

g) (3 )2

x sen x dx h) xxe dx i) 2

cos xx x xe dx

j) cosxe xdx k) 2 22 1 xx x e dx l) 1x xdx

m) axe senxdx n) 2 cos2

xx dx

4.2.- Método de Sustitución o Cambio de Variable

Consiste en sustituir una función o parte de ella por otra variable y expresar todoel integrando en función de esa nueva variable, de manera que la integral que resulte seainmediata o la podamos resolver por otro método. Al terminar el proceso, hay queexpresar de nuevo el resultado en función de la variable original.

Si la integral resultante es más complicada que la original, es obvio que elcambio elegido no es el adecuado y habrá que buscar, por tanto, otro camino.

Veamos un ejemplo:1

1dx

x x

Hacemos el cambio 1t x

Tenemos que poner todo el integrando en función de la nueva variable t.

En primer lugar diferenciamos y despejamos dx:1

1 2 1 22 1

t x dt dx dx x dt tdtx

Todavía nos queda despejar x: 2 21 1 1t x t x x t

Y haciendo el cambio:

2 2

1 1 12 2 2

1 11dx tdt dt arctgt

t t tx x

deshaciendo el cambio

= 2 1arctg x C



En ocasiones puede que haya más de un cambio válido. Es sólo cuestión de probar.También es posible que la integral sea inmediata aunque sea difícil de ver y porsustitución sea más sencillo.Es posible también que al aplicar sustitución salga una integral por partes o porcualquier otro método, o viceversa.

Ejercicio:


a)3

21

x dxx b)

cos 2

2

xdx

x c) 2

1

1dx

x Ln x

d) 1x x dx e)cos( )Lnx dx

x f) 3

1dx

x x

g) Lnxdx h)( 2)

2

Ln x dxx i) ( )sen Lnx dx

4.3.- Integración de Funciones Racionales

Son del tipo( )

( )

P x dxQ x , siendo P(x) y Q(x) polinomios..

Distinguiremos dos casos, según el grado de dichos polinomios:

a) Grado P(x) < Grado Q(x)

En primer lugar hay que descomponer el polinomio Q(x) (por ejemplo por Ruffini) deltipo: 1 2 3( ) nQ x x x x x x x x x

A continuación descomponemos la fracción( )

( )

P xQ x

en fracciones simples, de modo que

cada uno de los denominadores de dichas fracciones serán los factores calculados antes,es decir:

31 2

1 2 3

( )...

( )n

n

A AA AP xQ x x x x x x x x x

Una vez calculados los valores de 1 2 3, , ,... nA A A A (veremos cómo se hace con un

ejemplo), la integral se puede descomponer en integrales sencillas, todas ellasinmediatas de tipo logarítmico:

31 2

1 2 3

( )...

( )n

n

A AA AP xQ x x x x x x x x x



Ejemplo1 : Vamos a calcular2

2 1

3 2

x dxx x

Descomponiendo el denominador: 2 3 2 1 2x x x x

Luego el cociente quedará descompuesto como :2

2 1

3 2 1 2

x A Bx x x x

Veamos cómo calcular los números A y B:

Sumamos las dos fracciones simples:( 2) ( 1)

1 2 ( 1)( 2)

A B A x B xx x x x

Igualamos a la fracción original:2

2 1 ( 2) ( 1)

3 2 ( 1)( 2)

x A x B xx x x x

Y como los denominadores son iguales, igualamos los numeradores, obteniendola ecuación:

2 1 ( 2) ( 1)x A x B x

Si le damos dos valores cualesquiera a la x, obtendremos un sistema de dondesacar los valores de A y B. Los mejores valores para x son justamente los que sehan obtenido al descomponer el polinomio Q(x):

1 3 3

2 5

Si x A ASi x B

Luego:2

2 1 3 5

3 2 1 2

xx x x x

Y por tanto la integral quedará:

2

2 1 3 53 1 5 2

3 2 1 2

x dx dx dx Ln x Ln x Cx x x x

Importante: la fracción debe descomponerse en tantas fracciones simples como gradotenga el denominador Q(x)

Si el denominador tiene alguna raíz múltiple (por ejemplo, el 1 se repite dos veces), elpolinomio Q(x) se descompondría como 2( ) ( 1)Q x x , y el factor (x-1) tendrá queaparecer como denominador en dos fracciones simples: en una como (x-1) y en otracomo 2( 1)x .

Mejor veamos un ejemplo:



Ejemplo 2 : Vamos a calcular3 2

1

5 8 4

x dxx x x

Si descomponemos el denominador: 23 25 8 4 1 2x x x x x Aparece el 2 como solución doble, luego la fracción debemos descomponerla como:

23 2

1

5 8 4 1 2 2

x A B Cx x x x x x

Si sumamos e igualamos queda: 21 2 1 2 1x A x B x x C x

Dado tres valores a x:1 2

2 3

0 1 4 2 1 8 2 3 2

Si x ASi x CSi x A B C B B

Y por tanto: 23 2

1 2 2 3

5 8 4 1 2 2

xx x x x x x

De donde: 23 2

1 2 2 3

5 8 4 1 2 2

x dx dx dx dxx x x x x x

Aquí hay que tener cuidado porque la última integral que aparece no es logarítmica,

sino que es una potencia 22x , con lo que resolviendo la integral se obtiene:

3 2

1 32 1 2 2

5 8 4 2

x dx Ln x Ln x Cx x x x

b) Grado P(x) Grado Q(x)

En este caso se puede realizar la división (repasar división de polinomios) y utilizar elalgoritmo de la división:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

P x Q x P x Q x C x R x R xP x Q x C x R x C xQ x Q x Q xR x C x

Y por tanto:

( ) ( )( )

( ) ( )

P x R xdx C x dx dxQ x Q x

Donde la segunda integral es del tipo estudiado anteriormente (Grado R(x)<Grado Q(x))



Ejercicio propuesto: Calcular3

2 1

x dxx

Ejercicio:


a)2

1

5 6dx

x x b)3 2

2 1

2

x dxx x x

c)

4

3 2

2 6

2

x x dxx x x

d)2 6 7

( 1)( 2)( 3)

x x dxx x x

e)

3 2

3

4 10 7

7 6

x x x dxx x

f)

2

3

3 5 1

2

x x dxx

g)3 2

1x dxx x h)

2

1

1dx

x i)1

1

x

x

e dxe

4.4.- Integración de Funciones Trigonométricas

En realidad para resolver estas integrales no se usa ningún método nuevo, sino que elmétodo utilizado es el de sustitución. No obstante, los cambios de variable a realizar nosuelen ser muy intuitivos, por lo que conviene conocer los más usuales dependiendo deltipo de función trigonométrica que haya en el integrando:

a) El integrando es una función producto o cociente de potencia impar en elcoseno

En este caso el cambio a realizar es t = senx

Ejemplo:

4 3

2 2 2 2 2

4 3 4 2 4 2 4 6

5 7 5 7

coscos cos

cos 1 cos 1 1

cos cos 1cos

5 7 5 7

dtsenx t x dx dt dxsen x x dx x

Como sen x x x sen x t

dtt x t x dt t t dt t t dtx

t t sen x sen x C



b) El integrando es una función producto o cociente de potencia impar en elseno

En este caso el cambio a realizar es t = cosx

Hacer como ejercicio3

2cos

sen x dxx

c) El integrando es una función producto o cociente de potencia par tanto enel seno como en el coseno

En este caso el cambio a realizar es t = tgx

Hay que tener en cuenta las fórmulas de trigonometría que relacionan la tangentecon el seno o con el coseno:

2 22 2 2

2 22 2

2 2 2

2

1 1 11 cos

cos 1 1

1 11 cot s

1s 1 11

tg x xx tg x t

tg x tg x en xen x tg x t

tg x

Ejemplo:

2 42

22436 2

36 22

324

24 222

34 2 5 54

2 22

11

11cos cos

1cos 111

s s1

1

1 5 51

dttgx t tg x dx dt dx tttsen x dtdx x x

x tttten x en x

t

t t dt t tg xt dt Ctt



d) El cambio2

xtg t

Es un cambio habitual cuando aparecen cocientes de polinomios con senos ycosenos.

Al realizar este cambio hay que tener en cuenta que, por trigonometría:

22

2 22 2

2 12 12 2

; cos1 11 1

2 2

x xtg tgt tsenx x

x xt ttg tg

Ejemplo:

2

22

2 2

22 2 2

2 2 2 2

22

11

2 2 2cos

2 21 cos11

2

2 1 2 12 2 2 11 1 1

21 1 1 11

11

x xt tg dt tg dxsenx x dx dt dtx dx

x ttg

t t t tdt dt t tt t t dt

t t t ttt

Ahora se ha convertido en una integral racional cuyo numerador y denominadortienen el mismo grado. Dividiendo:

22 2 2

2 2

2 2 2 21 1 1 2

1 1 1

1 2 1 22 2 2 2 2

t tdt dt dt dt t Ln t arctgtt t t

x x x x xtg Ln tg arctg tg tg Ln tg x C

e) Otros cambios

En otras ocasiones conviene utilizar fórmulas trigonométricas para convertir laintegral en otra más sencilla. Las fórmulas más usuales son:



2 2 2 2

2 2

1 cos(2 ) 1 cos(2 )cos 1 ; ; cos

2 2

2 2 cos ; cos(2 ) cos

x xsen x x sen x x

sen x senx x x x sen x

Ejemplo:

2 1 cos(2 ) 1 cos(2 ) 1 12cos(2 )

2 2 2 2 4

1 1(2 )

2 4

x xsen xdx dx dx dx dx x dx

x sen x C

Ejercicio:


a) 3 4cossen x x dx b)1

cosdx

x c) 5 3cossen x x dx

d)2

4cos

sen x dxx e) 2 2cossen x xdx f)

5cos

senx dxx

e) 21 x dx



EJERCICIOS

1.- Calcular una primitiva de la función3

1( )f x x

x cuya gráfica pase por el

punto (3,1)

2.- Calcula una función G(x) de la que se sabe que:G’’(x) = 6x+1 ; G(0) = 1 ; G(1) = 0

3.- Calcula una función G(x) de la que se sabe que:G’’’(x) = 2x ; G(0) = 0 ; G(1) = -1/4 ; G(2) = 2/3

4.- Calcula una función G(x) de la que se sabe que:G’’’(x) = x+1 ; G(0) = 0 ; G’(0) =5 ; G’’(0) = 1

5.- Calcula la función :f sabiendo que 2''( ) 2 2f x x x y que sugráfica tiene tangente horizontal en el punto P(1,2)

6.- Calcula la función : 1,f sabiendo que f(0) = 1 y que

2

3'( )

1f x

x

7.- Halla F(x) sabiendo que F(0) = -5, que tiene un mínimo relativo en el punto deabscisa x = 2 y que F’’(x)=12x+3

8.- De todas las primitivas de la función 2( ) 1f x x x , calcula la que pasa por elpunto (2,0)

9.- Teniendo en cuenta que 2 ( )

1

a dx arctg ax bax b

, calcula:

22 2 2

1 1 1 1; ; ;

1 4 9 4 54 3dx dx dx dx

x x x xx

10.- Gloria afirma que la solución de 2cos x senx dx es 2( )F x sen x C , y Juan

dice que la solución es 2( ) cosG x x C . ¿Cuál de ellos ha dado la solucióncorrecta? Razona la respuesta.



11.- Resuelve las siguientes integrales:

1. dxx3 2. dx3x3

3. dx6x4

4. dx3)+x( 3 5. dx)x1-2x+x( 2 6. dx

x1+x-x 23

7.xdx

2 8.xdx

5 9. dx3

x4 3

10.4 xdx 11. dxx3+x

38 3

12. dxcosx)8+ senx2-x( 2 13. dxx1+ex

14.xx

dx 15. dxx)+cosx+x( 2sec

16. dxx

1+x

17. dxxxsenxsen-x

22

22

cos

cos 18. dx35 xx

19. dxx+1

3-x-1

122

20.

xxsendx

22 cos 21. dx

xsenxsen-2

2

3

22. 2+3xdx

23.x-3

dx 24.

x+2dxx

2

25.)1+(x

dx23 26.

x+1dxx

3

2

27.1+6x-x

dx3)-(x2

28. dxe+2e xx 29. dxx

xln 30. dx1+xx 32

31. dx5xsen 32. dxx6x 2cos 33.xsen+1

dxx2

cos

34. dxex x4 5 35.x+1dx)x(48

3

36. dx2x

37.9+x

dx2 38. dxe7x 39. dx)e+e( -xx

40.x

e x

41. dxe

xxsen

cos 42.

x-25dx

2

43. dx)5+(2x 9 44.x+1

dx)(arctgx2

3

45. dxxxsen5 cos

46. dxxsen

x3 2

cos 47.

xxdxln

48. dxx

xcos



49. dx senxcosx 50. dxee xx cos 51.1+)1+(x

dx2

52.x

dxsenlnx 53. dxx-1x

dx2ln

54. dxex x-3 4

55. dx1+e2-e

ex2x

x

56.x-1

dxx4

57. dxx+1x 2

58. dxx

e2

xtg2

cos 59. dx

xsenx

2cos 60. dx

exxsen

cos

61. dx3xx cos 62. dxxx2 ln 63. dxxx ln

64. dx)x( lnsen 65. dxex x3 2 66.x

dxx2cos

67. dx senxx2 68. dx

xx

12

3

69. 2)2( xxdx

70. dxxx

2

32

71.4-x

dx2 72. dx

6-x+x1-x

2

73.6+5x+x

dx22 74. dx

)1-(xx1+x

2 75.2x+x

dx2 1

76. dx6-x+x

1+x2

2

77. dxx+x1-x

2

3

78. dx1-x1+x

2

2

2

79.1)+(xx

dx2 80.

9-xdx

2 81.1)+(x)1-(x

dxx2 3

82.2)+(x1)-(xx

dx6 83. dx

x+x2-x1+x-x

23

2

84. dx1+x

1-2x+x2 2

4

85.4+x3-x

dx7x)-x(223

2

86.)x+x(dx1)+(2x

32 87. dxxxsen 33 cos

88. senxdxx 22 89.

dxxx

21

190.

dxe

ex

x

12

91. dx

eee

x

xx

1

32

92. 12 xxxdx

93 dxxLn 225

94. dx

eee

xx

x

23295.

2 21 ( )

1

Ln x Ln x dxx Lnx

96.

2 3x x

dx dxe e

97. 22

1

1dx

x 98.

44( )

1

x dx t xx



12.- Al aplicar integración por partes para calcular ( )f x senxdx , donde f(x) es una

cierta función derivable, se obtiene que:

2( ) ( ) cos 3 cosf x senxdx f x x x xdx

Sabiendo que f(1) = 2, calcular la expresión de f(x)

13.- Calcular

2

21

x dxx

a) Mediante integración de funciones racionalesb) Haciendo el cambio t = x-1

14.- Calcula la función :f sabiendo que ''( )f x xLnx y que

'(1) 0 , ( )4

ef f e

15.- Haciendo el cambio de variable 61 x t , calcular la integral:

31 1

dxx x

16.- Encuentra la función derivable : 1,1f que cumple f(1) = -1 y que2 2 1 0

'( )1 0 1x

x x xf x

e x

17.- De una función derivable se sabe que pasa por el punto A(-1,-4) y que suderivada es:

2 1'( ) 1

1

x xf x

xx

a) Halla la expresión de f(x)b) Obtén la ecuación de la recta tangente a f(x) en x = 2


- 1 - Matemáticas II: Integrales Definidas. Áreas

TEMA 8.- INTEGRALES DEFINIDAS. CÁLCULO DE ÁREAS

1.- INTRODUCCIÓN

El origen del cálculo integral se remonta a la época de matemático griegoArquímedes (siglo III a. C.), que obtuvo el área encerrada por algunos recintos curvos(círculo, segmento de parábola,…). De forma similar, Kepler (siglo XVII) obtuvolongitudes de curvas y volúmenes de cuerpos de revolución. Otros muchos matemáticosresolvieron problemas similares, pero cada uno de ellos necesitó un procedimientoespecífico de resolución.

Las derivadas aparecieron veinte siglos después de Arquímedes y para resolverproblemas que en principio nada tenían en común con el cálculo integral.

El descubrimiento más importante (Newton y Leibniz) fue establecer la relaciónexistente entre la derivada y la integral definida (Teorema Fundamental del CálculoIntegral) y su correspondiente aplicación práctica (Regla de Barrow), a pesar de haberseguido caminos completamente diferentes durante veinte siglos.

La idea a tener en cuenta para llegar al concepto de integral definida es la mismaque en esencia utilizó Arquímedes: dado una región del plano, su área puede calcularsepor medio de regiones poligonales inscritas o circunscritas a la misma, tales que alaumentar el número de lados, el área de esos rectángulos tiende a aproximarse al áreabuscada. La integral definida es la generalización práctica y sutil de este proceso.

2.- ÁREA BAJO UNA CURVA. INTEGRAL DEFINIDA

Sea : ,f a b una función continua en el intervalo [a,b].

Se trata de calcular el área comprendida entre la curva y = f(x), el eje OX y lasdos abscisas x = a y x = b



Dividimos el intervalo [a,b] en n trozos, no necesariamente iguales, formando lo que sellama una partición del intervalo:

0 1 2 3 ... na x x x x x b

Teorema de Weierstrass

Si una función es continua en un intervalo, existen dos puntos de dicho intervalodonde la función alcanza el máximo y el mínimo

Usando este teorema, llamamos im al mínimo de la función en el intervalo 1,i ix x y

tomando como base cada uno de estos intervalos formamos rectángulos cuya altura esese valor mínimo:

El área de la región rayada será por tanto la suma de las áreas de todos esos rectángulos:

1 1 0 2 2 1 3 3 2 1... n n nm x x m x x m x x m x x

Esta suma se llama suma inferior y se expresa como: 11

n

n i i ii

s m x x

, que

obviamente es menor que el área buscada.

De la misma manera, llamamos iM al máximo de la función en el intervalo 1,i ix x y

tomando como base cada uno de estos intervalos formamos rectángulos cuya altura esese valor máximo:



El área de la región rayada será ahora:

1 1 0 2 2 1 3 3 2 1... n n nM x x M x x M x x M x x

Esta suma se llama suma superior y se expresa como: 11

n

n i i ii

S m x x

, que

obviamente es mayor que el área buscada.

Si llamamos A al área que queremos calcular, hasta ahora tenemos la relación:

n ns A S

Evidentemente, si ahora tomamos rectángulos cada vez más finos, es decir, si los puntos

ix los tomamos cada uno más cerca del siguiente, ambas sumas superior e inferior se

irán aproximando cada vez más entre sí y al área que queremos calcular.Es decir, si n se hace cada vez más grande n , tenemos que:

lim limn nn ns S A

Definición

Dada una función f(x) continua en [a,b], llamaremos integral definida de f(x) en[a,b] al límite común de las sumas superiores e inferiores:

( ) lim limb

n nn na

f x dx s S

Llamaremos a = límite inferior, b = límite superior

Nota: la integral definida de una función es un número, y no tiene nada que ver con aintegral indefinida, que era un conjunto de funciones

Ejercicio: Comprobar que4

0

2 16xdx



3.- PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Todas las propiedades que vemos a continuación son muy intuitivas y fáciles deentender teniendo en cuenta el concepto de integral definida que acabamos de ver:

1. ( ) 0a

a

f x dx

2. ( ) ( )b a

a b

f x dx f x dx

3. ( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

4. ( ) ( )b b

a a

k f x dx k f x dx

(Estas dos últimas propiedades coinciden con las ya vistas para integralesindefinidas)

5. Si f es continua en [a,b] y a < c < b , entonces

( ) ( ) ( )b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

6. Si ( ) ( ) , ( ) ( )b b

a a

f x g x x a b f x dx g x dx

7. ( ) ( )b b

a a

f x dx f x dx

8. Si f es continua en [a,b] y ( ) 0 ( ) 0b

a

f x f x dx

Si f es continua en [a,b] y ( ) 0 ( ) 0b

a

f x f x dx

Prestamos especial atención a esta última propiedad. Si hemos asociado la integraldefinida al cálculo de áreas, esta propiedad nos dice que si la gráfica de f está por debajodel eje OX (f(x)<0), entonces la integral definida correspondiente es negativa.Pero, ¡El área no puede ser negativa!Somos nosotros los que, cuando apliquemos la integral definida al cálculo de áreas,tendremos que cambiar el signo en aquellos trozos en los que la gráfica de la funciónesté por debajo del eje OX.



Es decir, para la función

El área será 27 4 1 7 4 1 12A u

Pero si no estuviésemos interesados en el área sino sólo en la integral definida sería:

( ) 7 4 1 4b

a

f x dx

Teorema de la Media

Si f es continua en [a,b] , entonces , / ( ) ( )b

a

c a b f x dx f c b a Gráficamente:

El área del rectángulo de base b – a y altura f(c) esigual al área bajo la curva.

4.- LA INTEGRAL Y SU RELACIÓN CON LA DERIVADA

Supongamos una función f(x) continua en [a,b].A partir de ella podemos definir una nueva función llamada función integral de f como:

( ) ( ) , ,x

a

F x f t dt x a b

Esta función nueva representa, si f es positiva, el área bajo la curva f entre a y un puntovariable x.



Teorema Fundamental del Cálculo Integral

Si f es una función continua en [a,b] , entonces la función

( ) ( ) , ,x

a

F x f t dt x a b

es derivable y se verifica que '( ) ( )F x f x

Este teorema relaciona el cálculo de áreas (integrales) con la derivación. De hecho, loque acabamos de ver es que la función área bajo la gráfica de f es una primitiva de lapropia función f.

Ejemplos:

1.- Calcula la derivada de la función1

( )x

F x t Lntdt Como la función ( )f t t Lnt es continua en el intervalo 1, , aplicando el

Teorema Fundamental se obtiene que: '( )F x x Lnx

2.- Calcula la derivada de la función0

( ) 2x

F x tdt

Como, por las propiedades,0

0

( ) 2 2x

x

F x tdt tdt , aplicando el Teorema

Fundamental se obtiene que: '( ) 2F x x

3.- Calcula la derivada de la función 2

1

( ) 3x

F x t dt En este caso aplicamos el Teorema Fundamental y la regla de la cadena:

2'( ) 3 2F x x x

Ejercicios:

1. Calcula las derivadas de:

a)5

( ) 1x

tF x e dt b) 1

2( ) log 1x

F x t dt

c)2

0

( ) cosx

F x tdt

2.- Indica dónde se alcanzan los extremos relativos de la función : 0,F

definida por0

( ) ( 1)( 1)x

F x t t dt



5.- REGLA DE BARROW

Si f es una función continua en [a,b] y G(x) es una primitiva de f, entonces:

( ) ( ) ( )b

a

f x dx G b G a

Este teorema relaciona las integrales definidas con las integrales indefinidas y permitecalcularlas usando el cálculo de primitivas.

Ejemplos:

1.- 2

1

2 1x dxCalculamos una primitiva haciendo la integral indefinida:

2( ) 2 1G x x dx x x Si sustituimos: G(2) = 6, G(1) = 2, y por tanto:

2

1

2 1 6 2 4x dx

Normalmente estos cálculos se expresan así:

2

22

11

2 1 4 2 (1 1) 4x dx x x

2.- 00

cos cos ( cos 0) ( 1) ( 1) 2senxdx x

Ejercicio:


a) 4

2

3 2x dx b)1

1e

dxx c)

12

1

1x x dx

d) (3 )sen x dx

e) cos

0

xsenx e dx

f) 3

2

2

3x dx g)1

0

xxe dx h)1 2

20 1

x dxx



6.- CÁLCULO DE ÁREAS

La integral definida tiene múltiples aplicaciones, no sólo en el cálculo, sinotambién en Física, Química, Estadística, Astronomía,…

Dentro del cálculo se puede aplicar al cálculo de áreas, de volúmenes, delongitudes de curvas, etc.

En este curso sólo veremos su aplicación al cálculo de áreas, y distinguiremos enel proceso varios casos:

I. Área comprendida entre la gráfica de una función (que no corta al eje OX entrea y b), el eje OX y las abscisas x = a y x = b

En este caso:

( )b

a

A f x dx

El valor absoluto es por si la función estuviese por debajo del eje OX en lugar depor encima.

II. Área comprendida entre la gráfica de una función (que corta al eje OX entre a yb en uno o más puntos), el eje OX y las abscisas x = a y x = b

En este caso:

( ) ( )c b

a c

A f x dx f x dx

Ponemos el valor absoluto en los dos sitios porque si no tenemos el dibujo nosabemos a priori en qué trozo es positiva y en cuál es negativa



III. Área comprendida entre la gráfica de dos funciones entre a y b

En este caso:

( ) ( ) ( ) ( )c b

a c

A f x g x dx f x g x dx

Sin tener el dibujo no sabemos en cada trozo cuál de las dos funciones está porencima y cuál por debajo. De ahí los valores absolutos

En todos los casos lo primero será calcular los puntos de corte (entre la función y el ejeOX o entre las dos funciones) para descomponer el área en trozos.

Si tenemos que calcular un área que no corresponda a ninguno de estos casos, loprimero será hacer el dibujo y después dividir el área total en áreas más pequeñas que sise puedan calcular según los casos anteriores.

Ejemplo 1:

Hallar el área comprendida entre la curva 3y x x , el eje X y las abscisasx = 0 y x = 2

En primer lugar calculamos los puntos de corte de la curva con el eje OX:

3 20 1 0 0 , 1 , 1x x x x x x x

De esos puntos de corte nos interesan los que estén dentro del intervalo [0,2], es decir,sólo el 1, y por tanto el área será:

1 2

3 3

0 1

A x x dx x x dx

Calculamos cada trozo:

11 4 23

0 0

22 4 23

1 1

1 1 10

4 2 4 2 4

1 1 1 1 94 2 2 2

4 2 4 2 4 4 4

x xx x dx

x xx x dx



Y por tanto el área pedida será:

21 9 1 9 5

4 4 4 4 2A u

Gráficamente (aunque no hace falta para resolver el ejercicio):

Ejemplo 2:

Halla el área limitada por las gráficas de las funciones2

( )2

xf x y

( ) 2g x x

Como no hay intervalo, el área se calcula entre los puntos de corte más alejados entre sí.Calculamos los puntos de corte entre las dos funciones igualándolas:

2 4

4 32 2 8 0 8 0 0 , 22 4

x xx x x x x x x x

Luego el área será: 2 2 2

0 0

( ) ( ) 22

xA f x g x dx x dx

Calculamos la integral indefinida:

21 12 22 2

3 33 32

1 1 12 2 2 2

2 2 2 2

221 132 3 2 6 3

2

x x dx x dx x dx x dx x dx

xxx x

Y por tanto:



2

32 2 3

00

2 8 8 8 42

2 6 3 6 3 6 3

xx xx dx

(El que haya salido negativa nos dice de paso que la función f está por debajo de lafunción g en ese intervalo.

El área será entonces: 24 4

3 3A u

Ejemplo 3:

Halla el área del recinto comprendido entre la parábola 2 1y x , la recta5y x y el eje de abscisas

Como no corresponde a ninguno de los casos habituales, dibujamos el recinto:

Como podemos ver, el recinto se puede dividir en dos partes cada una de las cuales sepuede calcular como área entre una función y el eje X.



Lo primero es calcular los puntos de corte entre las gráficas:

2 21 5 6 0 2 , 3x x x x x x

En el trozo que nos ocupa sólo nos importa el 2.

Tenemos que calcular también los puntos de corte de cada función con el eje X, aunqueen este caso es fácil ver que los puntos que nos interesan son el 1 y el 5.

Por tanto el área será:

2 5

2

1 2

1 5A x dx x dx

Calculamos cada trozo por separado:

22 32

1 1

55 2

2 2

8 1 41 2 1

3 3 3 3

25 95 5 25 10 2

2 2 2

xx dx x

xx dx x

Y tenemos entonces:

24 9 35

3 2 6A u

Ejercicios:

1.- Calcula el área que determina la curva 2 2y x x con el eje X entre lasabscisas -1 y 4

2.- Halla el área limitada por las gráficas de las funciones:3( ) 2f x x x ; 2( ) 2g x x x

3.- Halla el área de la región del plano encerrada por la curva y Lnx entre supunto de corte con el eje X y la abscisa x = e

4.- Halla el área del recinto limitado por las rectas , 2y x y x y la parábola2y x



EJERCICIOS

1.- Calcula las siguientes integrales:

a)2

20 1

x dxx

b)3

1

1x dxx

c)4

0

cossenx x dx

d)

2

220

2 1

1

x dxx x

e)

2

21 2

dxx x f)

1

0

1

1 2 x dxe

2.- Dada la función:2 2 0

( ) 2 0 2

10 3 2 4

x xf x x x

x x

Calcula1

1

( )f x dx y

4

2

( )f x dx

Represéntala gráficamente e indica si alguna de las integrales calculadasanteriormente representa un área.

3. Calcula la derivada de la función

2

0

( ) cosx

F x tdt de dos formas:

a) Obteniendo primero de forma explícita F(x) y después derivandob) Usando el Teorema Fundamental del Cálculo

4.- Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

a) 2

3

( )x

F x t dt b)3

2

1( )

( 1)x

F x dtLn t

c)

1

( ) 2 1senx

F x dt

d)3

2

( )1

xF x dxx

e)

22

0

( )x

F x t t dt

5.- De una función f continua se sabe que 2

0

( ) 1x

f t dt x x . Calcula

razonadamente f(2)

6.- Calcula los extremos relativos de la función2

0

; 01

( )1

x

xtf x dt

t



7.- Calcula el área encerrada ente2

6( )

1

xf xx

y el eje de abscisas para 1,1x

8.- Calcula el área comprendida entre las funciones 2y x e 2y x

9.- Halla el área limitada por las gráficas de las funciones3 2( ) 2 , ( ) 2f x x x g x x x

10.- Calcular m para que el área comprendida entre y mx e 2y x sea 36 2u

11.- Calcular el área comprendida entre la gráfica de la función 24y x x y lasrectas tangentes a dicha curva en los puntos de corte con el eje OX

12.- Dibuja el recinto limitado por las funciones cosy x e 1 cosy x y las

rectas2

x y

2x . Calcula su área

13.- Considérese la región acotada que determinan las curvas xy e e 2xy e y larecta x = 1. Halla su área

14.- Determinar razonadamente y sin calcularlas cuál de las siguientes integralestiene mayor valor:

a)2 3

2 2

1 1

x xe dx y e dx

b)2 3

1 1

0 0

x xe dx y e dx

15.- Estudia la monotonía y halla las abscisas de los máximos y mínimos relativos de

la función: 22

0

( ) 1x

tF x t e dt .

16.- a) Calcula los extremos absolutos de la función : 7,1f definida por3 2( ) 6 49f x x x

b) Sea el punto en el que f alcanza su máximo absoluto. Calcular

7

( )f x dx

17.- Siendo 2( ) 4f x x , calcular3

0

2 ( )f x dx

18.- Halla el área del recinto comprendido entre las gráficas de las funciones xy e ,xy e y la recta y e



19.- Calcula el área de la región limitada por las curvas de ecuaciones: 2y x e

2y x

20.- De la función 3 2( )f x ax bx cx d se sabe que tiene un máximo relativo en

x = 1, un punto de inflexión en (0,0) y que1

0

5( )

4f x dx . Calcula a, b, c y d

21.- Calcula el área de la región limitada por las curvas 2, 1y x y x y las

rectas x = -1 y x = 1

22.- Dada la función 2

0

2( ) ; 1,

1

x tF x dt xt

:

a) Calcular F(1)b) Estudiar su monotoníac) Calcular la ecuación de la recta tangente a F(x) en el punto de abscisa 0

23.- Representar el recinto limitado por las parábolas 2 2 3y x x e22 4 3y x x y calcular su área

24.- Dada la función :f definida por:2

2

0

( )0 0 3

6 3

x xf x x x

x x

Calcular3

3

3 ( )f x dx

25.- a) Halla el punto de inflexión de la función ( ) xf x x e b) Dibuja la región limitada por la gráfica de f(x), el eje OX y la recta x ,

donde es la abscisa del punto de inflexión calculado anteriormentec) Calcula el área de dicha región

26.- Haz el cambio x = sent para calcular la integral1

2

0

1 x dx

(Ten en cuenta que 2 1 cos 2cos

2

xx )

27.- Calcular 2

1

e

Ln x dx



28.- Determina el área limitada por la curva xy e x , su recta tangente en el puntoP(1,e-1) y el eje de ordenadas

29.- Estudia la continuidad de la función:

2

02

0

( )

0

xt

senx x

f x x e dtx

x

30.- Dada la función 22y xa) Calcular en qué punto de su gráfica la recta tangente tiene pendiente -1 y

calcular la ecuación de dicha recta tangenteb) Dibujar el recinto limitado por la función, la recta tangente anterior y el

eje OYc) Calcular el área de dicho recinto

31.- Calcular1

1

xx e dx

32.- Representa gráficamente las curvas cuyas ecuaciones son 4 2 2,y x x y x y determina el área de la región que limitan en el primer cuadrante

33.- Dada la función 3 2( ) 3 2f x x x a) Calcula la ecuación de la recta tangente a f en su punto de inflexiónb) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, la recta tangente

anterior y el eje OY

34.- Hallar las coordenadas de los extremos relativos de la función

2

2

1

( ) 1x

F x t dt

35.- Calcula el valor de a para que el área limitada por la curva2

( )1

f xx

y las

rectas x = 0 y x = a sea igual a 2.

36.- Sea : 0,F la función definida por0

( ) (2 )x

F x Ln t dt .

Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) F(0) = Ln2

b)1

'( )2

F xx

c) F es creciente en todo su dominio



39.- Dibujar el recinto limitado por las gráficas de las funciones ( )2

xf x y

( ) 1g x x y calcular su área

40.- Halla el área de la región acotada comprendida entre la gráfica de la función

2

1( )

2f x

x

y las rectas

5

2x e y = 1

41.- Se sabe que las dos gráficas del dibujo corresponden a la función :f definida por f(x) = x2ex y a su función derivada f’

a) Indica, razonando la respuesta, cuál es la gráfica de f y cuál la de f’b) Calcula el área de la región sombreada

42.- Indica razonadamente si la función

2

1

( ) , 1x

F x Lnt dt x tiene puntos de

inflexión

43.- Halla el área del recinto rayado que aparece en la figura sabiendo que la parte

curva tiene como ecuaciónx

xy

1

22



44.- Para calcular el volumen de un cuerpo de revolución generado al girar unafunción ( )f x , ,x a b , alrededor del eje OX se usa la fórmula:

2( )b

a

V f x dx

Calcular el volumen del cuerpo de revolución generado al girar la recta y xalrededor del eje X en el intervalo 0,1 . ¿Qué figura es?

45.- Calcula el área del recinto limitado por las curvas ( ) 1f x x y1

( )2

xg x

y representa gráficamente dicho recinto

46.- Determina la constante a, a>0, sabiendo que la figura plana limitada por laparábola 23 2y ax x , la recta y = 0 y las rectas x = 0 y x = a tiene de área

22 1a

47.- a) Calcula los puntos de corte con los ejes y los extremos relativos de lafunción 4 2( ) 2f x x x y represéntala gráficamente

b) Dibuja el recinto limitado por la gráfica de la función anterior y laparábola 22y x y calcula su área

48.- Dada la función8

( )f x ax bx

, calcular a y b para que su gráfica pase por el

punto (-2,-6) y admita en ese punto tangente horizontal. Calcular también el árealimitada p0r la gráfica de f y las rectas x = 1 , x = 2 e y = 0

49.- Dada la función

2

0

cos 0

( ) 1 0

10

xt

x x

F x x

e dt xx

Estudiar su continuidad y derivabilidad y calcular su función derivada



50.- La velocidad de un móvil que parte del origen viene dada en metros/segundo porla siguiente gráfica:

a) Calcula la función espacio recorrido (ten en cuenta que la velocidad es laderivada del espacio respecto al tiempo)

b) Prueba que el área bajo la curva que da la velocidad coincide con el espaciototal recorrido

51.- Sea2 3

20 1

xI dxx

a) Expresa I aplicando el cambio de variable 21t x b) Calcula el valor de I

52.- Sea f una función derivable en (0,1) y continua en [0,1] tal que f(1) = 0 y1

0

2 '( ) 1xf x dx . Utiliza la fórmula de integración por partes para hallar

1

0

( )f x dx

53.- Se sabe que la gráfica de la función 3( )f x x ax bx c es la que apareceen el dibujo:

a) Determina la funciónb) Calcula el área de la región

sombreada

Análisis III (Temas 7 y 8).integrales

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